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高中数学知识总结归纳（打印版）
引言
1.课程内容：
必修课程由5 个模块组成：
必修 1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）
必修 2：立体几何初步、平面解析几何初步。
必修 3：算法初步、统计、概率。
必修 4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。
必修 5：解三角形、数列、不等式。
以上是每一个高中学生所必须学习的。
上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、
函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打
好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上
做过高的要求。
此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。
选修课程有4 个系列：
系列 1：由2个模块组成。
选修 1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。
选修 1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图
系列 2：由3个模块组成。
选修 2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
空间向量与立体几何。
选修 2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数
选修 2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。
系列 3：由6个专题组成。
选修 3—1：数学史选讲。
选修 3—2：信息安全与密码。
选修 3—3：球面上的几何。
选修 3—4：对称与群。
选修 3—5：欧拉公式与闭曲面分类。
选修 3—6：三等分角与数域扩充。
系列 4：由10个专题组成。
选修 4—1：几何证明选讲。
选修 4—2：矩阵与变换。
选修 4—3：数列与差分。
选修 4—4：坐标系与参数方程。
选修 4—5：不等式选讲。
选修 4—6：初等数论初步。
选修 4—7：优选法与试验设计初步。
选修 4—8：统筹法与图论初步。
选修 4—9：风险与决策。
选修 4—10：开关电路与布尔代数。
2．重难点及考点：
重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数
难点：函数、圆锥曲线
高考相关考点：
⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件
第 1 页⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、
指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用
⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用
⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、
三角函数的图象与性质、三角函数的应用
⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用
⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等
式的应用
⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系
⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲
线的应用
⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间
向量
⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用
⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布
⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用
⒀复数：复数的概念与运算
第 2 页高中数学 必修1知识点
第一章 集合与函数概念
〖1.1〗集合
【1.1.1】集合的含义与表示
（1）集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
（2）常用数集及其记法
N 表示自然数集，N 或N 表示正整数集，Z 表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.
（3）集合与元素间的关系
对象a与集合M 的关系是aM ，或者aM ，两者必居其一.
（4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.
③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.
（5）集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合
叫做空集().
【1.1.2】集合间的基本关系
（6）子集、真子集、集合相等
名称 记号 意义 性质 示意图
AB (1)AA
（或 A 中的任一元素都 (2) A
子集 A(B)
B A
属于B (3)若AB且BC，则AC
B A)
(4)若AB且B A，则AB 或
AB （1）A（A为非空子集）
AB，且B中至
真子集 （或 少有一元素不属于
(2)若AB且BC，则AC B A
A
BA）
A 中的任一元素都
集合 (1)AB
AB 属于 B，B 中的任 A(B)
相等 (2)BA
一元素都属于A
（7）已知集合A有n(n1)个元素，则它有2n个子集，它有2n 1个真子集，它有2n 1个非空子集，它
有2n 2非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算
（8）交集、并集、补集
名称 记号 意义 性质 示意图
（1）A A A
{x|xA,且
A B （2）A
交集
（3）A B A A B
xB}
A BB
第 3 页（1）A A A
{x|xA,或
A B （2）A A
并集
（3）A B A A B
xB}
A BB
1 A (ð A)
{x|xU,且xA} 痧(A B)( A) (? B) U
补集 ð A U U U
U
痧(A B)( A) (? B)
U U U 2A (ð A)U
U
【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
（1）含绝对值的不等式的解法
不等式 解集
|x|a(a0) {x|a xa}
|x|a(a0) x|xa或xa}
把 axb 看成一个整体，化成|x|a ，
|axb|c,|axb|c(c0)
|x|a(a0)型不等式来求解
（2）一元二次不等式的解法
判别式
0 0 0
b2 4ac
二次函数
y ax2 bxc(a0)
O
的图象
一元二次方程 b b2 4ac
x
1,2 2a b
ax2bxc0(a0) x x 无实根
1 2 2a
的根 （其中x x )
1 2
ax2bxc0(a0) b
{x|x x 或x x } {x| x } R
1 2 2a
的解集
ax2bxc0(a0)
{x|x x x }
1 2
的解集
〖1.2〗函数及其表示
【1.2.1】函数的概念
（1）函数的概念
①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f ，对于集合A中任何一个数x，在集合B中
都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则 f ）叫
做集合A到B的一个函数，记作 f :AB．
第 4 页②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．
（2）区间的概念及表示法
①设a,b是两个实数，且ab，满足a xb的实数x的集合叫做闭区间，记做[a,b]；满足a xb
的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a xb，或a xb的实数x的集合叫做半开半闭
区间，分别记做 [a,b) ， (a,b] ；满足 xa,xa,xb,xb 的实数 x 的集合分别记做
[a,),(a,),(,b],(,b)．
注意：对于集合{x|a xb}与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须
ab，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．
（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
① f(x)是整式时，定义域是全体实数．
② f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
③ f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．
⑤ytanx中，xk (kZ)．
2
⑥零（负）指数幂的底数不能为零．
⑦若 f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的
定义域的交集．
⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知 f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数 f[g(x)]的
定义域应由不等式a g(x)b解出．
⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．
⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．
（4）求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个
最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是
提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：
①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．
②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的
值域或最值．
③判别式法：若函数y f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程
a(y)x2 b(y)xc(y)0，则在a(y)0时，由于x,y为实数，故必须有
b2(y)4a(y)c(y)0，从而确定函数的值域或最值．
④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．
第 5 页⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为
三角函数的最值问题．
⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．
⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．
⑧函数的单调性法．
【1.2.2】函数的表示法
（5）函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．
解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之
间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．
（6）映射的概念
①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则 f ，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有
唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则 f ）叫做集合A到B
的映射，记作 f :AB．
②给定一个集合A到集合B的映射，且aA,bB．如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫
做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．
〖1.3〗函数的基本性质
【1.3.1】单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性
①定义及判定方法
函数的
定义 图象 判定方法
性 质
如果对于属于定义域I内 （1）利用定义
某个区间上的任意两个 y y=f(X) （2）利用已知函数
自变量的值x、x,当x< f(x ) 的单调性
1 2 ．1． ． 2
（3）利用函数图象
x 时，都有f(x) ． f ． ( ． x ．2． ) ． ， f(x
2
)
（在某个区间图
那么就说 f(x)在这个区
o x x x 象下降为减）
间上是减函数． 1 2
．．． （4）利用复合函数
②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为
增函数，减函数减去一个增函数为减函数．
③对于复合函数y f[g(x)]，令u g(x)，若y f(u)为增，u g(x)为增，则y f[g(x)]为增；
若 y f(u) 为减，u g(x)为减，则 y f[g(x)]为增；若 y f(u) 为增，u g(x)为减，则
y f[g(x)]为减；若y f(u)为减，u g(x)为增，则y f[g(x)]为减．
第 6 页a
（2）打“√”函数 f(x) x (a0)的图象与性质 y
x
f(x)分别在(, a]、[ a,)上为增函数，分别在
[ a,0)、(0, a]上为减函数．
（3）最大（小）值定义
①一般地，设函数y f(x)的定义域为I ，如果存在实数M o x
满足：（1）对于任意的xI ，都有 f(x)M ；
（2）存在x I，使得 f(x )M ．那么，我们称M 是函
0 0
数 f(x)的最大值，记作 f (x)M ．
max
②一般地，设函数 y f(x)的定义域为I ，如果存在实数m满足：（1）对于任意的xI ，都有
f(x)m；（2）存在 x I ，使得 f(x )m ．那么，我们称m 是函数 f(x) 的最小值，记作
0 0
f (x)m．
max
【1.3.2】奇偶性
（4）函数的奇偶性
①定义及判定方法
函数的
定义 图象 判定方法
性 质
如果对于函数 f(x)定义 （1）利用定义（要
域内任意一个 x，都有 先判断定义域是否
f(－x)=－f(x),那么函数 关于原点对称）
．．．．．．．．．．．
（2）利用图象（图
f(x)叫做奇函数．
．．．
象关于原点对称）
函数的
奇偶性 如果对于函数 f(x)定义 （1）利用定义（要
域内任意一个 x，都有 先判断定义域是否
f(－x)=f(x),那么函数 关于原点对称）
．．．．．．．．．．
（2）利用图象（图
f(x)叫做偶函数．
．．．
象关于y轴对称）
②若函数 f(x)为奇函数，且在x0处有定义，则 f(0)0．
③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．
④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或
奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．
〖补充知识〗函数的图象
（1）作图
利用描点法作图：
①确定函数的定义域； ②化解函数解析式；
③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．
第 7 页利用基本函数图象的变换作图：
要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本
初等函数的图象．
①平移变换
y
f(x)h0,左
移h 个单
位
y f(xh) y
f(x)k0,上
移k 个单
位
y f(x)k
h0,右移|h|个单位 k0,下移|k|个单位
②伸缩变换
01,伸
y f(x)y f(x)
1,缩
0A1,缩
y f(x)y Af(x)
A1,伸
③对称变换
x轴 y轴
y f(x)y f(x) y f(x)y f(x)
y f(x) 原 点 y f(x) y f(x) 直 线 y x y f 1(x)
去掉y轴左边图象
y f(x)y f(|x|)
保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象
保留x轴上方图象
y f(x)y| f(x)|
将x轴下方图象翻折上去
（2）识图
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义
域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．
（3）用图
函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，
获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
（1）根式的概念
①如果xn a,aR,xR,n1，且nN ，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次
方根用符号n a表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号n a
表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．
②式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为
偶数时，a0．
③ 根 式 的 性 质 ： (n a)n a ； 当 n 为 奇 数 时 ， n an a ； 当 n 为 偶 数 时 ，
a (a0)
n an |a| ．
a (a0)
（2）分数指数幂的概念
m
①正数的正分数指数幂的意义是：an n am(a0,m,nN ,且n1)．0的正分数指数幂等于
0．
第 8 页 m 1 m 1
②正数的负分数指数幂的意义是：a n ( )n n ( )m(a0,m,nN ,且n1)．0的负分数
a a
指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
①ar as ars(a0,r,sR) ②(ar)s ars(a0,r,sR)
③(ab)r arbr(a0,b0,rR)
【2.1.2】指数函数及其性质
（4）指数函数
函数名称 指数函数
定义 函数y ax(a 0且a1)叫做指数函数
a1 0a1
y y ax y ax y
图象
y 1 y 1 (0,1)
(0,1)
1 1
O 0 x O 0x
定义域 R
值域 (0,)
过定点 图象过定点(0,1)，即当x0时，y 1．
奇偶性 非奇非偶
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
ax 1 (x0) ax 1 (x0)
函数值的
ax 1 (x0) ax 1 (x0)
变化情况
ax 1 (x0) ax 1 (x0)
a变化对 图象的影响 在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义
①若ax N(a0,且a1)，则x叫做以a为底N 的对数，记作xlog N ，其中a叫做底数，N 叫
a
做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：xlog N ax N(a0,a1,N 0)．
a
第 9 页（2）几个重要的对数恒等式
log 10，log a1，log ab b．
a a a
（3）常用对数与自然对数
常用对数：lgN ，即log N；自然对数：lnN ，即log N （其中e2.71828„）．
10 e
（4）对数的运算性质 如果a0,a1,M 0,N 0，那么
M
①加法：log M log N log (MN) ②减法：log M log N log
a a a a a a N
③数乘：nlog M log Mn(nR) ④alog a N N
a a
n log N
⑤log Mn log M(b0,nR) ⑥换底公式：log N b (b0,且b1)
ab b a a log a
b
【2.2.2】对数函数及其性质
（5）对数函数
函数
对数函数
名称
定义 函数y log x(a0且a1)叫做对数函数
a
a1 0a1
x 1 x 1
y y log x y y log x
a a
图象
(1,0)
1 1
O (1,0) x O x
0 0
定义域 (0,)
值域 R
过定点 图象过定点(1,0)，即当x1时，y 0．
奇偶性 非奇非偶
单调性 在(0,)上是增函数 在(0,)上是减函数
log x0 (x1) log x0 (x1)
a a
函数值的
log x0 (x1) log x0 (x1)
a a
变化情况
log x0 (0 x1) log x0 (0 x1)
a a
a变化对 图象的影响 在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．
(6)反函数的概念
设函数y f(x)的定义域为A，值域为C，从式子y f(x)中解出x，得式子x(y)．如果对
第 1 0 页于 y 在C 中的任何一个值，通过式子 x(y) ，x在 A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子
x(y)表示x是y的函数，函数x(y)叫做函数y f(x)的反函数，记作x f 1(y)，习惯上改
写成y f 1(x)．
（7）反函数的求法
①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y f(x)中反解出x f 1(y)；
③将x f 1(y)改写成y f 1(x)，并注明反函数的定义域．
（8）反函数的性质
①原函数y f(x)与反函数y f 1(x)的图象关于直线y x对称．
②函数y f(x)的定义域、值域分别是其反函数y f 1(x)的值域、定义域．
③若P(a,b)在原函数y f(x)的图象上，则P'(b,a)在反函数y f 1(x)的图象上．
④一般地，函数y f(x)要有反函数则它必须为单调函数．
〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数y x叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．
（2）幂函数的图象
第 1 1 页（3）幂函数的性质
①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第
一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非
偶函数时，图象只分布在第一象限．
②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．
③单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．如果0，则幂函数的图
象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．
q
④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当 （其中 p,q互
p
q q
质，p和qZ ），若 p为奇数q为奇数时，则y xp是奇函数，若 p为奇数q为偶数时，则y xp 是偶
q
函数，若 p为偶数q为奇数时，则y xp是非奇非偶函数．
⑤图象特征：幂函数y x,x(0,)，当1时，若0 x1，其图象在直线y x下方，若x1，
其图象在直线 y x上方，当1时，若0 x1，其图象在直线y x上方，若x1，其图象在直线
y x下方．
〖补充知识〗二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式： f(x)ax2 bxc(a0)②顶点式： f(x)a(xh)2 k(a0)③两根式：
f(x)a(xx )(xx )(a0)（2）求二次函数解析式的方法
1 2
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．
③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 f(x)更方便．
（3）二次函数图象的性质
b
①二次函数 f(x)ax2 bxc(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x ,顶点坐标是
2a
第 1 2 页b 4acb2
( , )．
2a 4a
b b b
②当a0时，抛物线开口向上，函数在(, ]上递减，在[ ,)上递增，当x 时，
2a 2a 2a
4acb2 b b
f (x) ；当a0时，抛物线开口向下，函数在(, ]上递增，在[ ,)上递减，
min 4a 2a 2a
b 4acb2
当x 时， f (x) ．
2a max 4a
③二次函数 f(x)ax2 bxc(a0)当b2 4ac0时，图象与x轴有两个交点
M (x,0),M (x ,0),|M M ||x x | ．
1 1 2 2 1 2 1 2 |a|
（4）一元二次方程ax2 bxc0(a0)根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不
够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，
下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．
设一元二次方程ax2 bxc0(a0)的两实根为x ,x ，且x x ．令 f(x)ax2 bxc，从以
1 2 1 2
b
下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：x ③判别式： ④端点函数
2a
值符号．
①k＜x≤x
1 2
y y
b
x
f(k)0 a0 2a
O k O
k x 1 x 2 x x 1 x 2 x
b f(k)0
x a0
2a
②x≤x＜k
1 2
y y
b
f(k)0 x
a0
2a
O x O k
2
x 1 k x x 1 x 2 x
b a0 f(k)0
x
2a
③x＜k＜x af(k)＜0
1 2
第 1 3 页y y
a0
f(k)0
O k
x 1 x 2 x x 1 O k x 2 x
f(k)0
a0
④k＜x≤x＜k
1 1 2 2
y a0 y b
x
2a
f(k 1 )0 f(k 2 )0
x 1 x 2 k 1 k 2
O k 1 k 2 x O x 1 x 2 x
f(k )0
b 1 f(k )0
x 2
2a a0
⑤有且仅有一个根x（或x）满足k＜x（或x）＜k f(k)f(k)0，并同时考虑f(k)=0
1 2 1 1 2 2 1 2 1
或f(k)=0这两种情况是否也符合
2
y
a0 y
f(k 1 )0 f(k 1 )0
x k k
1 2 2
O k 1 x 2 x O x 1 k 1 x 2 x
f(k )0
2 a0 f(k )0
2
⑥k＜x＜k≤p＜x＜p
1 1 2 1 2 2
此结论可直接由⑤推出．
（5）二次函数 f(x)ax2 bxc(a0)在闭区间[p,q]上的最值
1
设 f(x)在区间[p,q]上的最大值为M ，最小值为m，令x (pq)．
0 2
（Ⅰ）当a0时（开口向上）
b b b b
①若 p，则m f(p) ②若 p q，则m f( ) ③若 q，则m f(q)
2a 2a 2a 2a
a 0
y
x
b
a 0 y b a 0 y b
2a x x
2a 2a
f f f
f
(q)p (p) (p)
(q) q
O
q
x p O q x p O x
f
b b
(p)b f( ) f f( )
f( )
2a 2a
2a (q)
b b
①若 x ，则M f(q) ② x ，则M f(p)
2a 0 2a 0
a 0 y b
a 0 y x b 第 1 4 页 x 2a
2a f
f (p)
x q
x(q) 0
0
b
f( )
2a
b
f( )
2a(Ⅱ)当a0时(开口向下)
b b b b
①若 p，则M f(p) ②若 p q，则M f( ) ③若 q，则M f(q)
2a 2a 2a 2a
a 0
y
b a 0
y
b
a 0
f(
y
b
)
f( ) f( ) f 2a
2a 2a
f
f (q)
(p) q
(p)
q
p
O p x O p x O q x
f f f
b
x ( q
b
) x ( q
b
) (p)
x
2a
2a 2a
b b
①若 x ，则m f(q) ② x ，则m f(p)．
2a 0 2a 0
a 0 y b a 0 y b
f( ) f( )
2a f 2a
f
(q)
(p)
x q x p
0
0
O p x O q x
f
b f b
x ( q) x
2a (p) 2a
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数 y f(x)(xD) ，把使 f(x)0 成立的实数 x 叫做函数
y f(x)(xD)的零点。
2、函数零点的意义：函数y f(x)的零点就是方程 f(x)0实数根，亦即函数y f(x)的图象
与x轴交点的横坐标。即：
方程 f(x)0有实数根函数y f(x)的图象与x轴有交点函数y f(x)有零点．
3、函数零点的求法：
求函数y f(x)的零点：
○1 （代数法）求方程 f(x)0的实数根；
○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y f(x)的图象联系起来，并利用
函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数y ax2 bxc(a 0)．
１）△＞０，方程ax2 bxc 0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数
有两个零点．
２）△＝０，方程ax2 bxc 0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，
二次函数有一个二重零点或二阶零点．
３）△＜０，方程ax2 bxc 0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．
第 1 5 页高中数学 必修2知识点
第一章 空间几何体
1.1柱、锥、台、球的结构特征
（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，
由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE A'B'C'D'E'或用对角线的端点字母，如五棱柱AD'
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于
底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：用各顶点字母，如五棱锥P A'B'C'D'E'
几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高
的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字母，如五棱台P A'B'C'D'E'
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点
（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
1.2空间几何体的三视图和直观图
1 三视图：
正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下
2 画三视图的原则：
长对齐、高对齐、宽相等
3直观图：斜二测画法
4斜二测画法的步骤：
（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；
（3）.画法要写好。
5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图
1.3 空间几何体的表面积与体积
第 1 6 页（一 ）空间几何体的表面积
1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和
2 圆柱的表面积 S 2 r l 2 r 2 3 圆锥的表面积 S rlr2
S rlr2 RlR2 S 4R2
4 圆台的表面积 5 球的表面积
（二）空间几何体的体积
1
1柱体的体积 V S h 2锥体的体积 V S h
底 3 底
1
3台体的体积 V （S S S S )h 4球体的体积
3 上 上 下 下
4
V R3
3
第二章 直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1
1 平面含义：平面是无限延展的
2 平面的画法及表示
（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如
图）
（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的
四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
3 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
符号表示为
D C
A∈L
A α
B∈L => L α
α ·
A∈α L A B
B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 A B
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α， α · C ·
·
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 公共直线。
β
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 α P
L
·
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
第 1 7 页平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b
=>a∥c
c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直
线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
2
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
a α a∩α=A a∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
第 1 8 页（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直
线 L 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂
足。
L
p
α
2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
第 1 9 页2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
本章知识结构框图
平面（公理1、公理2、公理3、公理4）
空间直线、平面的位置关系
直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系
第三章 直线与方程
3.1直线的倾斜角和斜率
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成
的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k =
tanα
⑪当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑫当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、 直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：
斜率公式: k=y2-y1/x2-x1
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，
那么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即
如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负
倒数，那么它们互相垂直，即
3.2.1 直线的点斜式方程
1、 直线的点斜式方程：直线l经过点P (x ,y )，且斜率为k y y k(x x )
0 0 0 0 0
2、、直线的斜截式方程：已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0,b) y kxb
第 2 0 页3.2.2 直线的两点式方程
1、直线的两点式方程：已知两点P(x ,x ),P (x ,y )其中(x x ,y y ) y-y1/y-y2=x-x1/x-x2
1 1 2 2 2 2 1 2 1 2
2、直线的截距式方程：已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a0,b0
3.2.3 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程：关于x,y的二元一次方程Ax By C 0（A，B不同时为0）
2、各种直线方程之间的互化。
3.3直线的交点坐标与距离公式
PP x x 2 y y 2
1 2 2 2 2 1
3.3.1 两直线的交 点坐标
1、给出例题：两直线交点坐标
L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0
3x4y20
解：解方程组
2x2y20
得 x=-2，y=2
所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）
3.3.2 两点间距离
两点间的距离公式
3.3.3 点到直线的距离公式
1．点到直线距离公式：
Ax By C
点P(x ,y )到直线l: AxByC 0的距离为：d 0 0
0 0
A2 B2
2、两平行线间的距离公式：
已知两条平行线直线l 和l 的一般式方程为l ：AxByC 0，
1 2 1 1
C C
l AxByC 0，则l 与l 的距离为d 1 2
2 2 1 2
A2 B2
第四章 圆与方程
4.1.1 圆的标准方程
1 、 圆 的 标 准 方 程 ： (xa)2 (yb)2 r2
圆 心 为 A(a,b),半径为r的圆的方程
2、点M(x ,y )与圆(xa)2 (yb)2 r2的关系的判断方法：
0 0
（1）(x a)2 (y b)2>r2，点在圆外 （2）(x a)2 (y b)2=r2，点在圆上
0 0 0 0
（3）(x a)2 (y b)2=n ,且nN)结论都成立。
0
考点三 证明
1. 反证法: 2、分析法: 3、综合法:
数系的扩充和复数的概念
复数的概念
(1) 复数:形如abi(aR,bR)的数叫做复数，a和b分别叫它的实部和虚部.
(2) 分类:复数abi(aR,bR)中,当b0,就是实数; b0,叫做虚数;当a0,b0时,叫做纯虚数.
(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。
(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
复数的运算
1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行
设z abi,z cdi(a,b,c,dR)则
1 2
（ 1 ） z z (ac)(bd)i （ 2 ） z z (acbd)(adbc)i （ 3 ）
1 2 1 2
z (acbd)(adbc)i
1 (z 0)
z c2d2 2
2
2,几个重要的结论
(1) |z z |2 |z z |22(|z |2 |z |2) (2) zz|z|2|z|2 (3)若z为虚数,则|z|2 z2
1 2 1 2 1 2
3.运算律
(1) zmzn zmn ;(2) (zm)n zmn ;(3)(z z )n znz n(m,nR)
1 2 1 2
4.关于虚数单位i的一些固定结论：
（1）i2 1 （2）i3 i （3）i4 1 （2）in in2 in3in4 0
数学选修 2－3
第一章 计数原理
知识点：
1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M 种不同的方法，在第二类办法中有M 种不
1 2
同的方法，……，在第N类办法中有M 种不同的方法，那么完成这件事情共有M +M +……+M 种不同的方法。
N 1 2 N
2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成 N 个步骤，做第一 步有 m1 种不同的方法，做第二步有 M 不同的方
2
法，……，做第N步有M 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M M ...M 种不同的方法。
N 1 2 N
3、排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按
．
照
．
一
．
定
．
顺
．
序
．
排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个
排列
n!
4、排列数： Amn(n1)(nm1) (mn,n,mN)
(nm)!
5、组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
第 6 5 页6、组合数：CmCm A m nA m n n( n n (n 1 1 ) ) ( ( n n m m 1) 1) CCm m n! n!
n nAmAm mm!! n n m!(mn!(nm)!m)!
m m
CmCnm; Cm1CmC m
n n n n n1
(ab)nC0anC1an1bC2an2b2„Cranrbr„Cnbn
7、二项式定理： nn n n n
二项展开式8、的二通项式项通公项式公式：TCranrbr(r0，1„„n)
r1n
第二章 随机变量及其分布
1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样
的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母 ξ、η等表示。
2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这
样的随机变量叫做离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x,x,..... ,x ,......,x
1 2 i n
X取每一个值 x(i=1,2,......）的概率P(ξ=x）＝P，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列
i i i
4、分布列性质① p≥0, i =1，2， „ ； ② p + p +„+p= 1．
i 1 2 n
5、二点分布：如果随机变量X的分布列为：
其中03.841时，X与Y有95%可能性有关；K2>6.635时X与Y有99%可能性有关
回归分析
回归直线方程yˆ abx
第 6 7 页1
其中b
xy
n
xy
(xx)(y y) , S P a ybx
x2
1
(x2)
(xx) 2 SS
x
n
高中数学选修4-1知识点总结
平行线等分线段定理
平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相
等。
推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
平分线分线段成比例定理
平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
相似三角形的判定及性质
相似三角形的判定：
定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或
相似系数）。
由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是
否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：
（1）两角对应相等，两三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
（3）三边对应成比例，两三角形相似。
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。
判定定理 1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这
两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。
判定定理 2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角
相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理 3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么
这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三
角形的第三边。
定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；
（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个
直角三角形相似。
相似三角形的性质：
（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；
（2）相似三角形周长的比等于相似比；
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。
直角三角形的射影定理
射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射
影与斜边的比例中项。
圆周定理
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
第 6 8 页圆内接四边形的性质与判定定理
定理1：圆的内接四边形的对角互补。
定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。
推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。
圆的切线的性质及判定定理
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
弦切角的性质
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
与圆有关的比例线段
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
选修4-4数学知识点
一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：
1．坐标系：
① 理解坐标系的作用.
② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，
能进行极坐标和直角坐标的互化.
④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图
形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.
2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义.
② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
二、知识归纳总结：
xx,(0),
:
P(x,y) yy,( 0).
1．伸缩变换：设点 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 的作用下，
P(x,y) P(x,y)
点 对应到点 ，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
O O Ox
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点 ，叫做极点；自极点 引一条射线 叫做极轴；再选定一个
长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点 O 与点M 的距离 |OM | 叫做点M 的极径，记为 ；以极
轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的 xOM 叫做点M 的极角，记为 。有序数对 (,) 叫做点M 的极坐
M(,)
标，记为 .
(,) (,2k)(kZ) O (0,)(R)
极坐标 与 表示同一个点。极点 的坐标为 .
0 0 (,) (,) (,) (,)
4.若 ,则 ,规定点 与点 关于极点对称，即 与 表示同一点。
0,0 2 (,)
如果规定 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 表示；同时，极坐标
第 6 9 页(,)
表示的点也是唯一确定的。
5．极坐标与直角坐标的互化：
2 x2 y2, x cos,
y
y sin, tan (x 0)
x
6。圆的极坐标方程：
在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是 r ；
C(a,0) (a 0) a 2acos
在极坐标系中，以 为圆心， 为半径的圆的极坐标方程是 ；
C(a, )
在极坐标系中，以 2 (a 0) 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 2asin ；
(0) (R)
7.在极坐标系中， 表示以极点为起点的一条射线； 表示过极点的一条直线.
A(a,0)(a 0) cosa
在极坐标系中，过点 ，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是 .
x,y t
8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 都是某个变数 的函数
x f(t),
y g(t), t M(x,y)
并且对于 的每一个允许值，由这个方程所确定的点 都在这条曲线上，那么这个方程
x,y t
就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 的变数 叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
x arcos,
(为参数)
(xa)2 (yb)2 r2 y brsin.
9．圆 的参数方程可表示为 .
x2 y2 x acos,
1 (为参数)
椭圆a2 b2 (a b 0)
的参数方程可表示为
y bsin.
.
x 2px2,
(t为参数)
y2 2px y 2pt.
抛物线 的参数方程可表示为 .
x x tcos,
o
M (x ,y ) l y y tsin. t
经过点 O o o ，倾斜角为 的直线 的参数方程可表示为 o （ 为参数）.
10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使
x,y
的取值范围保持一致.
高中数学选修4--5知识点
1、不等式的基本性质
abba
①（对称性）
第 7 0 页ab,bcac
②（传递性）
abacbc
③（可加性）
（同向可加性） a b,c d ac bd
（异向可减性） a b,c d ac bd
a b,c 0 ac bc
④（可积性）
a b,c 0 ac bc
⑤（同向正数可乘性）ab0,cd 0acbd
a b
ab0,0cd
（异向正数可除性） c d
ab0an bn(nN,且n1)
⑥（平方法则）
⑦（开方法则）ab0nanb(nN,且n1)
1 1 1 1
a b0 ;ab0
⑧（倒数法则） a b a b
2、几个重要不等式
a2 b2
a2 b2 2aba，bR ab .
① ,（当且仅当 ab 时取""号）. 变形公式： 2
ab
ab a，bR
②（基本不等式） 2 ,（当且仅当 ab 时取到等号）.
2
ab
ab .
ab2 ab 2
变形公式：
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.
abc
3 abc
③（三个正数的算术—几何平均不等式） 3
(a、b、cR)
（当且仅当 abc 时取到
等号）.
a2 b2 c2 abbccaa，bR
④
abc
（当且仅当 时取到等号）.
a3b3c3 3abc(a0,b0,c0)
⑤
abc
（当且仅当 时取到等号）.
b a
若ab0,则 2
⑥ a b （当仅当a=b时取等号）
第 7 1 页b a
若ab 0,则 2
a b （当仅当a=b时取等号）
b bm an a
1
⑦a am bn b ，（其中
ab0，m0，n0)
规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.
当a0时，x ax2 a2 xa或xa;
⑧
x a x2 a2 a xa.
a b ab a b.
⑨绝对值三角不等式
3、几个著名不等式
2 ab a2 b2
ab
①平均不等式： a1b1 2 2 ， （a,bR ，当且仅当 ab 时取""号）.
（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.
变形公式：
ab 2 a2 b2 (ab)2
ab ; a2 b2 .
2 2 2
②幂平均不等式：
1
a2 a 2 ...a 2 (a a ...a )2.
1 2 n n 1 2 n
③二维形式的三角不等式：
x2 y2 x 2 y 2 (x x )2 (y y )2 (x ,y ,x ,y R).
1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2
④二维形式的柯西不等式：
(a2 b2)(c2 d2)(acbd)2(a,b,c,dR).
ad bc
当且仅当 时，等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式：
(a2 a 2 a 2)(b2 b 2 b2)(ab a b ab )2.
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
⑥一般形式的柯西不等式：
(a2a 2...a 2)(b2b2...b 2) (ab a b ...a b )2.
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
⑦向量形式的柯西不等式：
,
, k k
设 是两个向量，则 当且仅当 是零向量，或存在实数 ，使 时，等号成立.
⑧排序不等式（排序原理）：
a a ...a ,b b ...b c ,c ,...,c b,b ,...,b
设 1 2 n 1 2 n 为 两 组 实 数 . 1 2 n 是 1 2 n 的 任 一 排 列 ， 则
ab a b ...a b ac a c ...a c ab a b ...a b .
1 n 2 n1 n 1 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n
（反序和乱序和顺序和），当
a a ...a b b ...b
且仅当 1 2 n或 1 2 n时，反序和等于顺序和.
第 7 2 页⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）
f(x) x,x (x x ),
若定义在某区间上的函数 ,对于定义域中任意两点 1 2 1 2 有
x x f(x) f(x ) x x f(x) f(x )
f( 1 2) 1 2 或 f( 1 2) 1 2 .
2 2 2 2 则称f(x)为凸（或凹）函数.
4、不等式证明的几种常用方法
常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；
其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.
常见不等式的放缩方法：
1 3 1
(a )2 (a )2;
①舍去或加上一些项，如 2 4 2
②将分子或分母放大（缩小），
1 1 1 1 2 2 1 2
, , ,
k2 k(k1) k2 k(k1) 2 k k k k k k1
如
1 2
(kN*,k 1)
k k k1
等.
5、一元二次不等式的解法
ax2 bxc0(或0)
求一元二次不等式
(a0,b2 4ac0)
解集的步骤：
一化：化二次项前的系数为正数.
二判：判断对应方程的根.
三求：求对应方程的根.
四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集.
规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.
6、高次不等式的解法：穿根法.
分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的
解集.
7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
f(x)
0 f(x)g(x)0
g(x)
f(x) f(x)g(x)0
0
g(x) g(x)0 “或”
（ 时同理）
规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解
f(x)0
f(x) a(a0)
f(x)a2
⑪
f(x)0
f(x) a(a 0)
f(x)a2
⑫
第 7 3 页f(x)0
f(x)0
f(x) g(x)g(x)0 或
g(x)0
f(x)[g(x)]2
⑬
f(x)0
f(x) g(x)g(x)0
f(x)[g(x)]2
⑭
f(x)0
f(x) g(x) g(x)0
f(x) g(x)
⑮
规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.
9、指数不等式的解法：
a1 af(x) ag(x) f(x) g(x)
⑪当 时,
0a1 af(x) ag(x) f(x) g(x)
⑫当 时,
规律：根据指数函数的性质转化.
10、对数不等式的解法
f(x)0
log f(x)log g(x)g(x)0
a a
f(x) g(x)
a1
⑪当 时,
f(x)0
log f(x)log g(x)g(x)0 .
a a
f(x) g(x)
0a1
⑫当 时,
规律：根据对数函数的性质转化.
11、含绝对值不等式的解法：
a (a0)
a .
a (a0)
⑪定义法：
f(x) g(x) f 2(x) g2(x).
⑫平方法：
⑬同解变形法，其同解定理有：
x aa xa(a0);
①
x a xa或xa(a0);
②
f(x) g(x)g(x) f(x) g(x) (g(x)0)
③
f(x) g(x) f(x)g(x)或f(x)g(x) (g(x)0)
④
规律：关键是去掉绝对值的符号.
12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：
规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.
13、含参数的不等式的解法
第 7 4 页ax2 bxc0
解形如 且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：
a
⑪讨论 与0的大小；
⑫讨论与0的大小；
⑬讨论两根的大小.
14、恒成立问题
ax2 bxc0
⑪不等式 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：
a0 b0,c0;
①当 时
a0
a0
0.
②当 时
ax2 bxc0
⑫不等式 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：
a0 b0,c0;
①当 时
a0
a0
0.
②当 时
f(x)a f(x) a;
⑬ 恒成立 max
f(x)a f(x) a;
恒成立 max
f(x)a f(x) a;
⑭ 恒成立 min
f(x)a f(x) a.
恒成立 min
15、线性规划问题
⑪二元一次不等式所表示的平面区域的判断：
法一：取点定域法：
AxByC 0 AxByC
由于直线 的同一侧的所有点的坐标代入 后所得的实数的符号相同.所以，在
(x ,y ) Ax By C
实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点 0 0 （如原点），由 0 0 的正负即可判断
AxByC 0 ( 0)
出 或 表示直线哪一侧的平面区域.
即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.
法二：根据 AxByC 0 ( 或 0) ，观察B的符号与不等式开口的符号，若同号， AxByC 0 ( 或
0)
表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.
⑫二元一次不等式组所表示的平面区域：
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
z AxBy (A,B
⑬利用线性规划求目标函数 为常数）的最值：
法一：角点法：
第 7 5 页z AxBy x、y
如果目标函数 （ 即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在
该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z值，最大的那个数为目
标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值
法二：画——移——定——求：
l :AxBy 0 l
第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线 0 ，平移直线 0（据可行域，
l (x,y) (x,y)
将直线 0平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解 ；第四步，将最优解 代入目标函数
z AxBy
即可求出最大值或最小值 .
第二步中最优解的确定方法：
A z z
y x
利用z的几何意义： B B , B 为直线的纵截距.
①若 B0, 则使目标函数 z AxBy 所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，使直线的纵截
距最小的角点处，z取得最小值；
②若 B0, 则使目标函数 z AxBy 所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小值，使直线的纵截
距最小的角点处，z取得最大值.
⑭常见的目标函数的类型：
z AxBy;
①“截距”型：
y yb
z z ;
②“斜率”型： x 或 xa
z x2 y2 z x2 y2;
③“距离”型： 或
z (xa)2 (yb)2 z (xa)2 (yb)2.
或
在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.
附：高中数学常用公式及常用结论
1. 元素与集合的关系
xA xC A,xC A xA.
U U
2.德摩根公式
C (A B)C A C B;C (A B)C A C B.
U U U U U U
3.包含关系
A B A A B B A BC BC A
U U
A C B C A B R
U U
4.容斥原理
card(A B)cardAcardBcard(A B)
card(A B C)cardAcardBcardCcard(A B)
card(A B)card(B C)card(C A)card(A B C).
5．集合{a ,a , ,a }的子集个数共有2n 个；真子集有2n–1 个；非空子集有2n –1 个；非空的
1 2 n
真子集有2n–2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
第 7 6 页(1)一般式 f(x)ax2 bxc(a0);
(2)顶点式 f(x)a(xh)2 k(a0);
(3)零点式 f(x)a(xx )(xx )(a0).
1 2
7.解连不等式N f(x)M 常有以下转化形式
N f(x)M [f(x)M][f(x)N]0
M N M N f(x)N
| f(x) | 0
2 2 M f(x)
1 1
.
f(x)N M N
8.方程 f(x)0在(k ,k )上有且只有一个实根,与 f(k )f(k )0不等价,前者是后者的一个必要
1 2 1 2
而不是充分条件.特别地, 方程 ax2 bxc 0(a 0) 有且只有一个实根在 (k ,k ) 内,等价于
1 2
b k k k k b
f(k )f(k )0,或 f(k )0且k 1 2 ,或 f(k )0且 1 2 k .
1 2 1 1 2a 2 2 2 2a 2
9.闭区间上的二次函数的最值
b
二次函数 f(x)ax2 bxc(a 0)在闭区间 p,q 上的最值只能在x 处及区间的两端点处取
2a
得，具体如下：
b b
(1)当a>0时，若x p,q ，则 f(x) f( ), f(x) f(p), f(q)；
2a min 2a max max
b
x p,q ， f(x) f(p), f(q)， f(x) f(p), f(q).
2a max max min min
b b
(2)当 a<0 时，若 x p,q ，则 f(x) minf(p), f(q) ，若 x p,q ，则
2a min 2a
f(x) maxf(p), f(q)， f(x) minf(p), f(q).
max min
10.一元二次方程的实根分布
依据：若 f(m)f(n)0，则方程 f(x)0在区间(m,n)内至少有一个实根 .
设 f(x)x pxq，则
2
p2 4q0
（1）方程 f(x)0在区间(m,)内有根的充要条件为 f(m)0或 p ；
m
2
f(m)0
f(n)0
f(m)0
（2）方程 f(x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为 f(m)f(n)0或p2 4q0 或
af(n)0
p
m n
2
f(n)0
或 ；
af(m)0
p2 4q0
（3）方程 f(x)0在区间(,n)内有根的充要条件为 f(m)0或 p .
m
2
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间(,)的子区间L（形如, ， ,，, 不同）上含参数的二次不等式
f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是 f(x,t) 0(xL).
min
(2)在给定区间(,)的子区间上含参数的二次不等式 f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是
f(x,t) 0(xL).
man
第 7 7 页a0
a0
(3) f(x)ax4 bx2 c0恒成立的充要条件是b0或 .
b2 4ac0
c0
12.真值表
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
13.常见结论的否定形式
原结论 反设词 原结论 反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有（n1）个
小于 不小于 至多有n个 至少有（n1）个
对所有x， 存在某x，
成立 不成立 p或q p且q
对任何x， 存在某x，
不成立 成立 p且q p或q
14.四种命题的相互关系
原命题 互逆 逆命题
若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ
15.充要条件
（1）充分条件：若 pq，则 p是q充分条件.
（2）必要条件：若q p，则 p是q必要条件.
（3）充要条件：若 pq，且q p，则 p是q充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
16.函数的单调性
(1)设x x a,b,x x 那么
1 2 1 2
f(x ) f(x )
(x x )f(x ) f(x )0 1 2 0 f(x)在 a,b 上是增函数；
1 2 1 2 x x
1 2
f(x ) f(x )
(x x )f(x ) f(x )0 1 2 0 f(x)在 a,b 上是减函数.
1 2 1 2 x x
1 2
(2)设函数y f(x)在某个区间内可导，如果 f(x)0，则 f(x)为增函数；如果 f(x)0，则 f(x)
为减函数.
17.如果函数 f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f(x) g(x)也是减函数; 如果函
数 y f(u)和u g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y f[g(x)]是增函数.
18．奇偶函数的图象特征
第 7 8 页奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对
称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
19.若函数 y f(x)是偶函数，则 f(xa) f(xa) ；若函数 y f(xa) 是偶函数，则
f(xa) f(xa).
20.对于函数 y f(x) ( xR ), f(xa) f(bx) 恒成立,则函数 f(x) 的对称轴是函数
ab ab
x ;两个函数y f(xa)与y f(bx) 的图象关于直线x 对称.
2 2
a
21.若 f(x) f(xa),则函数 y f(x)的图象关于点( ,0)对称; 若 f(x) f(xa),则函
2
数 y f(x)为周期为2a的周期函数.
22．多项式函数P(x)a xn a xn1 a 的奇偶性
n n1 0
多项式函数P(x)是奇函数 P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数P(x)是偶函数 P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数y f(x)的图象的对称性
(1)函数y f(x)的图象关于直线xa对称 f(ax) f(ax)
f(2ax) f(x).
ab
(2)函数y f(x)的图象关于直线x 对称 f(amx) f(bmx)
2
f(abmx) f(mx).
24.两个函数图象的对称性
(1)函数y f(x)与函数y f(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.
ab
(2)函数y f(mxa)与函数y f(bmx)的图象关于直线x 对称.
2m
(3)函数y f(x)和y f 1(x)的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数 y f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y f(xa)b的图象；若将曲线
f(x,y) 0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线 f(xa,yb)0的图象.
26．互为反函数的两个函数的关系
f(a)b f 1(b)a.
1
27.若函数y f(kxb)存在反函数,则其反函数为y [f 1(x)b],并不是y [f 1(kxb),而
k
1
函数y [f 1(kxb)是y [f(x)b]的反函数.
k
28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数 f(x)cx, f(x y) f(x) f(y), f(1)c.
(2)指数函数 f(x)ax, f(x y) f(x)f(y), f(1)a0.
(3)对数函数 f(x)log x, f(xy) f(x) f(y), f(a)1(a0,a1).
a
(4)幂函数 f(x) x, f(xy) f(x)f(y), f '(1).
(5)余弦函数 f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx， f(xy) f(x)f(y)g(x)g(y)，
g(x)
f(0)1,lim 1.
x0 x
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1） f(x) f(xa)，则 f(x)的周期T=a；
（2） f(x) f(xa)0，
1
或 f(xa) (f(x)0)，
f(x)
1
或 f(xa) (f(x)0),
f(x)
第 7 9 页1
或 f(x) f 2(x) f(xa),(f(x)0,1),则 f(x)的周期T=2a；
2
1
(3) f(x)1 (f(x)0)，则 f(x)的周期T=3a；
f(xa)
f(x ) f(x )
(4) f(x x ) 1 2 且 f(a)1(f(x ) f(x )1,0|x x |2a) ，则 f(x) 的周期
1 2 1 f(x )f(x ) 1 2 1 2
1 2
T=4a；
(5) f(x) f(xa) f(x2a)f(x3a) f(x4a)
f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则 f(x)的周期T=5a；
(6) f(xa) f(x) f(xa)，则 f(x)的周期T=6a.
30.分数指数幂
m 1
(1)an （a0,m,nN，且n1）.
n am
m 1
(2)a n （a0,m,nN，且n1）.
m
an
31．根式的性质
（1）(n a)n a.
（2）当n为奇数时，n an a；
a,a0
当n为偶数时，n an |a| .
a,a0
32．有理指数幂的运算性质
(1) ar as ars(a0,r,sQ).
(2) (ar)s ars(a0,r,sQ).
(3)(ab)r arbr(a0,b0,rQ).
注： 若 a＞0，p 是一个无理数，则 ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理
数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
log N bab N (a0,a1,N 0)
a .
34.对数的换底公式
log N
log N m (a0,且a1,m0,且m1, N 0).
a log a
m
n
推论 log bn log b(a0,且a1,m,n0,且m1,n1, N 0).
am m a
35．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)log (MN)log M log N ;
a a a
M
(2) log log M log N ;
a N a a
(3)log Mn nlog M(nR).
a a
36.设函数 f(x)log (ax2 bxc)(a 0),记 b2 4ac.若 f(x)的定义域为R,则a 0，且
m
0;若 f(x)的值域为R,则a 0，且0.对于a 0的情形,需要单独检验.
37. 对数换底不等式及其推广
1
若a0,b0,x0,x ,则函数y log (bx)
ax
a
1 1
(1)当ab时,在(0, )和( ,)上y log (bx)为增函数.
ax
a a
第 8 0 页1 1
(2)当ab时,在(0, )和( ,)上y log (bx)为减函数.
， a a ax
推论:设nm1， p0，a0，且a1，则
（1）log (n p)log n.
mp m
mn
（2）log mlog nlog 2 .
a a a 2
38. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为 p，则对于时间x的总产值y，有y N(1 p)x.
39.数列的同项公式与前n项的和的关系
s , n1
a 1 ( 数列{a }的前n项的和为s a a a ).
n s s ,n2 n n 1 2 n
n n1
40.等差数列的通项公式
a a (n1)d dna d(nN*)；
n 1 1
其前n项和公式为
n(a a ) n(n1)
s 1 n na d
n 2 1 2
d 1
n2 (a d)n.
2 1 2
41.等比数列的通项公式
a
a aqn1 1qn(nN*)；
n 1 q
其前n项的和公式为
a (1qn)
1 ,q1
s 1q
n
na ,q1
1
a a q
1 n ,q1
或s 1q .
n
na ,q1
1
42.等比差数列 a :a qa d,a b(q0)的通项公式为
n n1 n 1
b(n1)d,q1
a bqn (d b)qn1d ；
n ,q1
q1
其前n项和公式为
nbn(n1)d,(q1)
s d 1qn d .
n (b ) n,(q1)
1q q1 1q
43.分期付款(按揭贷款)
ab(1b)n
每次还款x 元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).
(1b)n 1
44．常见三角不等式
（1）若x(0, )，则sinx xtanx.
2
第 8 1 页
(2) 若x(0, )，则1sinxcosx 2.
2
(3) |sinx||cosx|1.
45.同角三角函数的基本关系式
sin
sin2cos21，tan= ，tancot1.
cos
46.正弦、余弦的诱导公式
n
n (1)2sin, (n为偶数)
sin( )
2 n1
(1) 2 cos,
(n为奇数)
(n为偶数)
n
n (1)2cos,
cos( )
(n为奇数)
2 n1
(1) 2 sin,
47.和角与差角公式
sin()sincoscossin;
cos()coscos sinsin;
tantan
tan() .
1 tantan
sin()sin()sin2sin2(平方正弦公式);
cos()cos()cos2sin2.
b
asinbcos= a2 b2 sin()(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,tan ).
a
48.二倍角公式
sin2sincos.
cos2cos2sin22cos2112sin2.
2tan
tan2 .
1tan2
49. 三倍角公式
sin33sin4sin34sinsin( )sin( ).
3 3
cos34cos33cos4coscos( )cos( ) .
3 3
3tantan3
tan3 tantan( )tan( ).
13tan2 3 3
50.三角函数的周期公式
函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期
2
T ；函数ytan(x)，xk ,kZ (A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T .
2
51.正弦定理
a b c
2R.
sinA sinB sinC
52.余弦定理
a2 b2 c2 2bccosA;
b2 c2 a2 2cacosB;
c2 a2 b2 2abcosC.
53.面积定理
第 8 2 页1 1 1
（1）S ah bh ch （h、h、h 分别表示a、b、c边上的高）.
2 a 2 b 2 c a b c
1 1 1
（2）S absinC bcsinA casinB.
2 2 2
1
(3)S (|OA||OB|)2 (OAOB)2 .
OAB 2
54.三角形内角和定理
在△ABC中，有ABC C (AB)
C AB
2C 22(AB).
2 2 2
55. 简单的三角方程的通解
sinxa xk(1)k arcsina(kZ,|a|1).
cosxa x2karccosa(kZ,|a|1).
tanxaxkarctana(kZ,aR).
特别地,有
sinsink(1)k(kZ).
coscos2k(kZ).
tantank(kZ).
56.最简单的三角不等式及其解集
sinxa(|a|1) x(2karcsina,2karcsina),kZ .
sinxa(|a|1) x(2karcsina,2karcsina),kZ.
cosxa(|a|1) x(2karccosa,2karccosa),kZ .
cosxa(|a|1) x(2karccosa,2k2arccosa),kZ.
tanxa(aR)x(karctana,k ),kZ.
2
tanxa(aR)x(k ,karctana),kZ .
2
57.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
58.向量的数量积的运算律：
(1) a·b= b·a （交换律）;
(2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）;
(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.
59.平面向量基本定理
如果e、e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ
1 2
、λ，使得a=λe+λe．
1 2 1 1 2 2
不共线的向量e、e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
1 2
60．向量平行的坐标表示
设a=(x ,y ),b=(x ,y )，且b0，则a b(b0) x y x y 0.
1 1 2 2 1 2 2 1
53. a与b的数量积(或内积)
a·b=|a||b|cosθ．
61. a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
62.平面向量的坐标运算
(1)设a=(x ,y ),b=(x ,y )，则a+b=(x x ,y y ).
1 1 2 2 1 2 1 2
(2)设a=(x ,y ),b=(x ,y )，则a-b=(x x ,y y ).
1 1 2 2 1 2 1 2
(3)设A(x ,y )，B(x ,y ),则ABOBOA(x x ,y y ).
1 1 2 2 2 1 2 1
第 8 3 页(4)设a=(x,y),R，则a=(x,y).
(5)设a=(x ,y ),b=(x ,y )，则a·b=(x x y y ).
1 1 2 2 1 2 1 2
63.两向量的夹角公式
x x y y
cos 1 2 1 2 (a=(x ,y ),b=(x ,y )).
1 1 2 2
x2 y2 x2 y2
1 1 2 2
64.平面两点间的距离公式
d =| AB| ABAB
A,B
(x x )2 (y y )2 (A(x ,y )，B(x ,y )).
2 1 2 1 1 1 2 2
65.向量的平行与垂直
设a=(x ,y ),b=(x ,y )，且b0，则
1 1 2 2
A||bb=λa x y x y 0.
1 2 2 1
ab(a0)a·b=0 x x y y 0.
1 2 1 2
66.线段的定比分公式
设P(x ,y )，P(x ,y )，P(x,y)是线段PP 的分点,是实数，且PPPP ，则
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
x x
x 1 2
1 OP OP
OP 1 2
y y 1
y 1 2
1
1
OPtOP (1t)OP （t ）.
1 2 1
67.三角形的重心坐标公式
△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x ,y )、 B(x ,y )、 C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是
1 1 2 2 3 3
x x x y y y
G( 1 2 3 , 1 2 3).
3 3
68.点的平移公式
x' xh x x'h
OP' OPPP' .
y' yk y y' k
注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F'上的对应点为P'(x',y')，且PP' 的坐标为(h,k).
69.“按向量平移”的几个结论
（1）点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P'(xh,yk).
(2) 函数 y f(x) 的图象 C 按向量 a= (h,k) 平移后得到图象 C' ,则 C' 的函数解析式为
y f(xh)k.
(3) 图象C'按向量 a=(h,k) 平移后得到图象C ,若C 的解析式 y f(x),则C' 的函数解析式为
y f(xh)k.
(4)曲线C: f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到图象C',则C'的方程为 f(xh,yk)0.
(5) 向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).
70. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则
2 2 2
（1）O为ABC的外心OA OB OC .
（2）O为ABC的重心OAOBOC0.
（3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.
（4）O为ABC的内心aOAbOBcOC0.
（5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC.
71.常用不等式：
（1）a,bR a2 b2 2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．
第 8 4 页ab
（2）a,bR ab (当且仅当a＝b时取“=”号)．
2
（3）a3b3c3 3abc(a0,b0,c0).
（4）柯西不等式
(a2 b2)(c2 d2)(acbd)2,a,b,c,dR.
（5） a b ab a b .
72.极值定理
已知x,y都是正数，则有
（1）若积xy是定值 p，则当x y时和x y有最小值2 p ；
1
（2）若和x y是定值s，则当x y时积xy有最大值 s2.
4
推广 已知x,yR，则有(x y)2 (x y)2 2xy
（1）若积xy是定值,则当| x y|最大时,| x y|最大；
当| x y|最小时,| x y|最小.
（2）若和| x y|是定值,则当| x y|最大时, | xy|最小；
当| x y|最小时, | xy|最大.
73.一元二次不等式ax2 bxc0(或0) (a0,b2 4ac0)，如果a与ax2 bxc同号，
则其解集在两根之外；如果a与ax2 bxc异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两
根之间.
x x x (xx )(xx )0(x x )；
1 2 1 2 1 2
x x ,或x x (xx )(xx )0(x x ).
1 2 1 2 1 2
74.含有绝对值的不等式
当a> 0时，有
x a x2 a2 a xa.
x a x2 a2 xa或 x a.
75.无理不等式
f(x)0
（1） f(x) g(x) g(x)0 .
f(x) g(x)
f(x)0
f(x)0
（2） f(x) g(x)g(x)0 或 .
g(x)0
f(x)[g(x)]2
f(x)0
（3） f(x) g(x)g(x)0 .
f(x)[g(x)]2
76.指数不等式与对数不等式
(1)当a1时,
af(x) ag(x) f(x) g(x);
f(x)0
log f(x)log g(x)g(x)0 .
a a
f(x) g(x)
(2)当0a1时,
af(x) ag(x) f(x) g(x);
第 8 5 页f(x)0
log f(x)log g(x)g(x)0
a a
f(x) g(x)
77.斜率公式
y y
k 2 1 （P(x ,y )、P(x ,y )）.
x x 1 1 1 2 2 2
2 1
78.直线的五种方程
（1）点斜式 y y k(xx ) (直线l过点P(x ,y )，且斜率为k)．
1 1 1 1 1
（2）斜截式 ykxb(b为直线l在y轴上的截距).
y y xx
（3）两点式 1 1 (y y )(P(x ,y )、P(x ,y ) (x x )).
y y x x 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2
2 1 2 1
x y
(4)截距式 1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)
a b
（5）一般式 AxByC 0(其中A、B不同时为0).
79.两条直线的平行和垂直
(1)若l :y k xb ，l :y k xb
1 1 1 2 2 2
①l ||l k k ,b b
;
1 2 1 2 1 2
②l l kk 1.
1 2 1 2
(2)若l :AxB yC 0,l :A xB yC 0,且A 、A 、B 、B 都不为零,
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2
A B C
①l ||l 1 1 1 ；
1 2 A B C
2 2 2
②l l AA BB 0；
1 2 1 2 1 2
80.夹角公式
k k
(1)tan| 2 1 |.
1k k
2 1
(l :y k xb ，l :y k xb ,k k 1)
1 1 1 2 2 2 1 2
AB A B
(2)tan| 1 2 2 1 |.
AA BB
1 2 1 2
(l :AxB yC 0,l :A xB yC 0,AA BB 0).
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2
直线l l 时，直线l 与l 的夹角是 .
1 2 1 2 2
81. l 到l 的角公式
1 2
k k
(1)tan 2 1 .
1k k
2 1
(l :y k xb ，l :y k xb ,k k 1)
1 1 1 2 2 2 1 2
AB A B
(2)tan 1 2 2 1 .
AA BB
1 2 1 2
(l :AxB yC 0,l :A xB yC 0,AA BB 0).
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2
直线l l 时，直线l 到l 的角是 .
1 2 1 2 2
82．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点P(x ,y )的直线系方程为y y k(xx )(除直线x x ),其中
0 0 0 0 0 0
k 是待定的系数; 经过定点P(x ,y )的直线系方程为 A(xx )B(y y )0,其中A,B是待定的系
0 0 0 0 0
数．
(2)共点直线系方程：经过两直线l :AxB yC 0,l :A xB yC 0的交点的直线系方程
1 1 1 1 2 2 2 2
第 8 6 页为(AxB yC )(A xB yC )0(除l )，其中λ是待定的系数．
1 1 1 2 2 2 2
(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线
AxByC 0平行的直线系方程是AxBy0(0)，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线 AxByC 0 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是
BxAy0,λ是参变量．
83.点到直线的距离
| Ax By C|
d 0 0 (点P(x ,y ),直线l：AxByC 0).
0 0
A2 B2
84. AxByC 0或0所表示的平面区域
设直线l:AxByC 0，则AxByC 0或0所表示的平面区域是：
若B0，当B与AxByC同号时，表示直线l的上方的区域；当B与AxByC异号时，表
示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若B0，当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与AxByC异号时，表
示直线l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.
85. (AxB yC )(A xB yC )0或0所表示的平面区域
1 1 1 2 2 2
设曲线C:(AxB yC )(A xB yC )0（AA BB 0），则
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
(AxB yC )(A xB yC )0或0所表示的平面区域是：
1 1 1 2 2 2
(AxB yC )(A xB yC )0所表示的平面区域上下两部分；
1 1 1 2 2 2
(AxB yC )(A xB yC )0所表示的平面区域上下两部分.
1 1 1 2 2 2
86. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 (xa)2 (yb)2 r2.
（2）圆的一般方程 x2 y2 DxEyF 0(D2 E2 4F ＞0).
xarcos
（3）圆的参数方程 .
y brsin
（4）圆的直径式方程 (xx )(xx )(y y )(y y )0 (圆的直径的端点是 A(x ,y ) 、
1 2 1 2 1 1
B(x ,y )).
2 2
87. 圆系方程
(1)过点A(x ,y ),B(x ,y )的圆系方程是
1 1 2 2
(xx )(xx )(yy )(yy )[(xx )(y y )(y y )(x x )]0
1 2 1 2 1 1 2 1 1 2
(xx )(xx )(yy )(yy )(axbyc)0,其中axbyc0是直线 AB 的方程,λ是
1 2 1 2
待定的系数．
(2) 过 直 线 l : AxByC 0 与 圆 C : x2 y2 DxEyF 0 的 交 点 的 圆 系 方 程 是
x2 y2 DxEyF(AxByC)0,λ是待定的系数．
(3) 过圆C :x2 y2 DxE yF 0与圆C :x2y2D xE yF 0的交点的圆系方程
1 1 1 1 2 2 2 2
是x2 y2 DxE yF (x2y2D xE yF )0,λ是待定的系数．
1 1 1 2 2 2
88.点与圆的位置关系
点P(x ,y )与圆(xa)2 (yb)2 r2的位置关系有三种
0 0
若d (ax )2 (by )2 ，则
0 0
d r 点P在圆外;d r 点P在圆上;d r 点P在圆内.
89.直线与圆的位置关系
直线AxByC 0与圆(xa)2 (yb)2 r2的位置关系有三种:
d r 相离0;
d r 相切0;
d r 相交0.
第 8 7 页AaBbC
其中d .
A2 B2
90.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O，O，半径分别为r，r，OO d
1 2 1 2 1 2
d r r 外离4条公切线;
1 2
d r r 外切3条公切线;
1 2
r r d r r 相交 2条公切线;
1 2 1 2
d r r 内切1条公切线;
1 2
0 d r r 内含 无公切线.
1 2
91.圆的切线方程
(1)已知圆x2 y2 DxEyF 0．
①若已知切点(x ,y )在圆上，则切线只有一条，其方程是
0 0
D(x x) E(y y)
x x y y 0 0 F 0.
0 0 2 2
D(x x) E(y y)
当(x ,y )圆外时, x x y y 0 0 F 0表示过两个切点的切点弦方程．
0 0 0 0 2 2
②过圆外一点的切线方程可设为y y k(xx )，再利用相切条件求 k，这时必有两条切线，
0 0
注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆x2 y2 r2．
①过圆上的P(x ,y )点的切线方程为x x y yr2;
0 0 0 0 0
②斜率为k的圆的切线方程为ykxr 1k2 .
x2 y2 xacos
92.椭圆 1(ab0)的参数方程是 .
a2 b2 y bsin
x2 y2
93.椭圆 1(ab0)焦半径公式
a2 b2
a2 a2
PF e(x )， PF e( x).
1 c 2 c
94．椭圆的的内外部
x2 y2 x2 y2
（1）点P(x ,y )在椭圆 1(ab0)的内部 0 0 1.
0 0 a2 b2 a2 b2
x2 y2 x2 y2
（2）点P(x ,y )在椭圆 1(ab0)的外部 0 0 1.
0 0 a2 b2 a2 b2
95. 椭圆的切线方程
x2 y2 x x y y
(1)椭圆 1(ab0)上一点P(x ,y )处的切线方程是 0 0 1.
a2 b2 0 0 a2 b2
x2 y2
（2）过椭圆 1(ab0)外一点P(x ,y )所引两条切线的切点弦方程是
a2 b2 0 0
x x y y
0 0 1.
a2 b2
x2 y2
（3）椭圆 1(ab0)与直线AxByC 0相切的条件是A2a2 B2b2 c2.
a2 b2
x2 y2
96.双曲线 1(a0,b0)的焦半径公式
a2 b2
第 8 8 页a2 a2
PF |e(x )|， PF |e( x)|.
1 c 2 c
97.双曲线的内外部
x2 y2 x2 y2
(1)点P(x ,y )在双曲线 1(a0,b0)的内部 0 0 1.
0 0 a2 b2 a2 b2
x2 y2 x2 y2
(2)点P(x ,y )在双曲线 1(a0,b0)的外部 0 0 1.
0 0 a2 b2 a2 b2
98.双曲线的方程与渐近线方程的关系
x2 y2 x2 y2
b
(1）若双曲线方程为 1渐近线方程： 0 y x.
a2 b2 a2 b2 a
b x y x2 y2
(2)若渐近线方程为y x 0 双曲线可设为 .
a a b a2 b2
x2 y2 x2 y2
(3)若双曲线与 1有公共渐近线，可设为 （ 0，焦点在x轴上，0，
a2 b2 a2 b2
焦点在y轴上）.
99. 双曲线的切线方程
x2 y2 x x y y
(1)双曲线 1(a0,b0)上一点P(x ,y )处的切线方程是 0 0 1.
a2 b2 0 0 a2 b2
x2 y2
（2）过双曲线 1(a0,b0)外一点P(x ,y )所引两条切线的切点弦方程是
a2 b2 0 0
x x y y
0 0 1.
a2 b2
x2 y2
（3）双曲线 1(a0,b0)与直线AxByC 0相切的条件是A2a2 B2b2 c2.
a2 b2
100. 抛物线y2 2px的焦半径公式
p
抛物线y2 2px(p0)焦半径 CF x .
0 2
p p
过焦点弦长 CD x x x x p.
1 2 2 2 1 2
y 2
101.抛物线y2 2px上的动点可设为P( ,y )或P(2pt2,2pt)或 P(x ,y )，其中 y2 2px .
2p
b 4acb2
102.二次函数 yax2bxca(x )2 (a0)的图象是抛物线：（1）顶点坐标为
2a 4a
b 4acb2 b 4acb2 1 4acb2 1
( , )；（2）焦点的坐标为( , )；（3）准线方程是y .
2a 4a 2a 4a 4a
103.抛物线的内外部
(1)点P(x ,y )在抛物线y2 2px(p0)的内部 y2 2px(p0).
0 0
点P(x ,y )在抛物线y2 2px(p0)的外部 y2 2px(p0).
0 0
(2)点P(x ,y )在抛物线y2 2px(p0)的内部 y2 2px(p0).
0 0
点P(x ,y )在抛物线y2 2px(p0)的外部 y2 2px(p0).
0 0
(3)点P(x ,y )在抛物线x2 2py(p 0)的内部 x2 2py(p0).
0 0
点P(x ,y )在抛物线x2 2py(p 0)的外部 x2 2py(p0).
0 0
(4) 点P(x ,y )在抛物线x2 2py(p 0)的内部 x2 2py(p0).
0 0
点P(x ,y )在抛物线x2 2py(p0)的外部 x2 2py(p0).
0 0
104. 抛物线的切线方程
第 8 9 页(1)抛物线y2 2px上一点P(x ,y )处的切线方程是y y p(xx ).
0 0 0 0
（2）过抛物线y2 2px外一点P(x ,y )所引两条切线的切点弦方程是y y p(xx ).
0 0 0 0
（3）抛物线y2 2px(p0)与直线AxByC 0相切的条件是 pB2 2AC.
105.两个常见的曲线系方程
(1)过曲线 f (x,y)0, f (x,y)0的交点的曲线系方程是
1 2
f (x,y)f (x,y)0(为参数).
1 2
x2 y2
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程 1,其中k max{a2,b2}.当k min{a2,b2}时,
a2 k b2 k
表示椭圆; 当min{a2,b2}k max{a2,b2}时,表示双曲线.
106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB (x x )2 (y y )2 或
1 2 1 2
AB (1k2)(x x )2 |x x | 1tan2| y y | 1cot2 （ 弦 端 点
2 1 1 2 1 2
y kx b
A(x ,y ),B(x ,y )，由方程 消去y得到ax2 bxc 0，0,为直线AB的倾斜角，
1 1 2 2 F(x,y) 0
k为直线的斜率）.
107.圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线F(x,y)0关于点P(x ,y )成中心对称的曲线是F(2x -x,2y y)0.
0 0 0 0
（2）曲线F(x,y)0关于直线AxByC 0成轴对称的曲线是
2A(AxByC) 2B(AxByC)
F(x ,y )0.
A2 B2 A2 B2
108.“四线”一方程
x yxy
对于一般的二次曲线Ax2 BxyCy2 DxEyF 0，用x x代x2，用y y代y2，用 0 0
0 0 2
x x y y
代xy，用 0 代x，用 0 代y即得方程
2 2
x yxy x x y y
Ax xB 0 0 Cy yD 0 E 0 F 0，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方
0 2 0 2 2
程均是此方程得到.
109．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；
（4）转化为线面垂直；
（5）转化为面面平行.
110．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
111．证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；
（3）转化为线面垂直.
112．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直；
（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.
113．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
第 9 0 页（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
114．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直.
115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律：a＋b=b＋a．
(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．
(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为
始点的对角线所表示的向量.
117.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b存在实数λ使a=λb．
P、A、B三点共线 AP|| AB APtAB OP(1t)OAtOB.
AB||CD AB、CD共线且AB、CD不共线 ABtCD且AB、CD不共线.
118.共面向量定理
向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对x,y,使 paxby．
推论 空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对x,y,使MP xMA yMB，
或对空间任一定点O，有序实数对x,y，使OPOM xMAyMB.
119.对空间任一点O和不共线的三点 A、B、C，满足OP xOA yOBzOC（x yz k），则
当k 1时，对于空间任一点O，总有P、A、B、C四点共面；当k 1时，若O平面ABC，则P、A、B、
C四点共面；若O平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．
A、B、 C、D 四点共面 AD与AB、AC共面 AD xAB yAC
OD(1xy)OAxOByOC（O平面ABC）.
120.空间向量基本定理
如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组 x，y，z，使 p
＝xa＋yb＋zc．
推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使
OP xOA yOBzOC.
121.射影公式
已知向量AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射影A'，作B点在l上的射影
B'，则
A'B' | AB|cos〈a，e〉=a·e
122.向量的直角坐标运算
设a＝(a ,a ,a )，b＝(b,b ,b )则
1 2 3 1 2 3
(1)a＋b＝(a b,a b ,a b )；
1 1 2 2 3 3
(2)a－b＝(a b,a b ,a b )；
1 1 2 2 3 3
(3)λa＝(a ,a ,a ) (λ∈R)；
1 2 3
(4)a·b＝ab a b a b ；
1 1 2 2 3 3
123.设A(x ,y ,z )，B(x ,y ,z )，则
1 1 1 2 2 2
ABOBOA= (x x ,y y ,z z ).
2 1 2 1 2 1
124．空间的线线平行或垂直
r r
设a(x ,y ,z )，b(x ,y ,z )，则
1 1 1 2 2 2
第 9 1 页x x
r r r r r r 1 2
aPb ab(b0) y y ；
1 2
z z
1 2
r r r r
ab ab0 x x y y z z 0.
1 2 1 2 1 2
125.夹角公式
设a＝(a ,a ,a )，b＝(b,b ,b )，则
1 2 3 1 2 3
ab a b a b
cos〈a，b〉= 1 1 2 2 3 3 .
a2 a2 a2 b2 b2 b2
1 2 3 1 2 3
推论 (ab a b ab )2 (a2a2a2)(b2b2b2)，此即三维柯西不等式.
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
126. 四面体的对棱所成的角
四面体ABCD中, AC与BD所成的角为,则
|(AB2 CD2)(BC2 DA2)|
cos .
2ACBD
127．异面直线所成角
r r
cos|cos a,b |
r r
|ab| |x x y y z z |
= r r 1 2 1 2 1 2
|a||b| x2 y2 z2 x 2 y 2 z 2
1 1 1 2 2 2
r r
（其中（0o 90o）为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量）
128.直线AB与平面所成角
ABm
arcsin (m为平面的法向量).
| AB||m|
129.若ABC所在平面若与过若AB 的平面成的角,另两边AC ,BC与平面成的角分别
是、 ,A、B为ABC的两个内角，则
1 2
sin2sin2 (sin2 Asin2 B)sin2.
1 2
特别地,当ACB90 时,有
sin2sin2 sin2.
1 2
130.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面成的角分别是
、 ,A'、B'为ABO的两个内角，则
1 2
tan2tan2 (sin2 A'sin2 B')tan2.
1 2
特别地,当AOB90 时,有
sin2sin2 sin2.
1 2
131.二面角l的平面角
mn mn
arccos 或arccos （m，n为平面，的法向量）.
|m||n| |m||n|
132.三余弦定理
设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为，AB与AC所成的角为
1
，AO与AC所成的角为．则coscoscos .
2 1 2
133. 三射线定理
若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是, ,与二面角的棱所成的
1 2
角是θ，则有sin2sin2sin2sin2 2sinsin cos ;
1 2 1 2
| |180 ()(当且仅当90 时等号成立).
1 2 1 2
134.空间两点间的距离公式
第 9 2 页若A(x ,y ,z )，B(x ,y ,z )，则
1 1 1 2 2 2
d =| AB| ABAB (x x )2 (y y )2 (z z )2 .
A,B 2 1 2 1 2 1
135.点Q到直线l距离
1
h (|a||b|)2 (ab)2 (点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量b=PQ).
|a|
136.异面直线间的距离
|CDn|
d (l ,l 是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l ,l 上任一点，d 为l ,l 间的距离).
1 2 1 2 1 2
|n|
137.点B到平面的距离
| ABn|
d （n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）.
|n|
138.异面直线上两点距离公式
d h2 m2 n2 2mncos.
d h2 m2 n2 2mncos EA',AF .
d h2 m2 n2 2mncos（ EAA'F）.
(两条异面直线 a、b 所成的角为θ，其公垂线段 AA'的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两点 E、F，
A'E m,AF n,EF d).
139.三个向量和的平方公式
2 2 2
(abc)2 a b c 2ab2bc2ca
2 2 2
a b c 2|a||b|cos a,b 2|b||c|cos b,c 2|c||a|cos c,a
140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l、l、l ，夹角分别为
1 2 3
、、 ,则有
1 2 3
l2 l2l2l2 cos2cos2 cos2 1sin2sin2 sin2 2.
1 2 3 1 2 3 1 2 3
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
141. 面积射影定理
S'
S .
cos
(平面多边形及其射影的面积分别是S 、S'，它们所在平面所成锐二面角的为).
142. 斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是S 和V ,它的直截面的周长和面积分别是c
斜棱柱侧 斜棱柱 1
和S ,则
1
①S cl .
斜棱柱侧 1
②V Sl.
斜棱柱 1
143．作截面的依据
三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.
144．棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点
到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积
的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．
145.欧拉定理(欧拉公式)
V FE 2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).
（1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的关系：
1
E nF；
2
第 9 3 页1
（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：E mV .
2
146.球的半径是R，则
4
其体积V R3,
3
其表面积S 4R2．
147.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的
外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:
6 6
棱长为a的正四面体的内切球的半径为 a,外接球的半径为 a.
12 4
148．柱体、锥体的体积
1
V Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.
柱体 3
1
V Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.
锥体 3
149.分类计数原理（加法原理）
N m m m .
1 2 n
150.分步计数原理（乘法原理）
N m m m .
1 2 n
151.排列数公式
n！
Am=n(n1)(nm1)= .(n，m∈N*，且mn)．
n (nm)！
注:规定0!1.
152.排列恒等式
(1）Am (nm1)Am1;
n n
n
（2）Am Am ;
n nm n1
（3）Am nAm1;
n n1
（4）nAn An1An;
n n1 n
（5）Am Am mAm1.
n1 n n
(6) 1!22!33! nn!(n1)!1.
153.组合数公式
Am n(n1)(nm1) n！
Cm= n = = (n∈N*，mN ，且mn).
n Am 12m m！(nm)！
m
154.组合数的两个性质
(1)Cm=Cnm ;
n n
(2) Cm+Cm1=Cm .
n n n1
注:规定C0 1.
n
155.组合恒等式
nm1
（1）Cm Cm1;
n m n
n
（2）Cm Cm ;
n nm n1
第 9 4 页n
（3）Cm Cm1;
n m n1
n
（4）Cr =2n;
n
r0
（5）Cr Cr Cr Cr Cr1.
r r1 r2 n n1
(6)C0 C1 C2 Cr Cn 2n.
n n n n n
(7)C1 C3 C5 C0 C2 C4 2n1.
n n n n n n
(8)C1 2C2 3C3 nCn n2n1.
n n n n
(9)CrC0 Cr1C1 C0rCr Cr .
m n m n m n mn
(10)(C0)2 (C1)2 (C2)2 (Cn)2 Cn .
n n n n 2n
156.排列数与组合数的关系
Am m！Cm .
n n
157．单条件排列
以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列.
（1）“在位”与“不在位”
①某（特）元必在某位有Am1种；②某（特）元不在某位有Am Am1（补集思想） A1 Am1（着
n1 n n1 n1 n1
眼位置） Am A1 Am1（着眼元素）种.
n1 m1 n1
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：k(k mn)个元在固定位的排列有AkAmk种.
k nk
②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有Ank1Ak 种.注：此类问题常用捆绑法；
nk1 k
③插空：两组元素分别有k、h个（k h1），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近
的所有排列数有AhAk 种.
h h1
（3）两组元素各相同的插空
m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
An
当nm1时，无解；当nm1时，有 m1 Cn 种排法.
An m1
n
（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为Cn .
mn
158．分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共有
(mn)!
N Cn Cn Cn Cn Cn .
mn mnn mn2n 2n n (n!)m
（2）(平均分组无归属问题)将相异的m
·
n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有
Cn Cn Cn ...Cn Cn (mn)!
N mn mnn mn2n 2n n .
m! m!(n!)m
（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n +n + +n )个物体分给m个人，物件必须被分完，
1 2 m
分别得到n ，n ，„，n 件，且n ，n ，„，n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有
1 2 m 1 2 m
p!m!
N Cn 1 Cn 2 ...Cn m m! .
p pn 1 n m n!n !...n !
1 2 m
（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n +n + +n )个物体分给m个人，物件必须被分
1 2 m
完，分别得到n ，n ，„，n 件，且n ，n ，„，n 这m个数中分别有 a、b、c、„个相等，则其分
1 2 m 1 2 m
第 9 5 页Cn 1 Cn 2 ...Cn m m! p!m!
配方法数有N p pn 1 n m .
a!b!c!... n !n !...n !(a!b!c!...)
1 2 m
（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n +n + +n )个物体分为任意的n ，n ，„，n 件无
1 2 m 1 2 m
p!
记号的m堆，且n ，n ，„，n 这m个数彼此不相等，则其分配方法数有N .
1 2 m n!n !...n !
1 2 m
（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n +n + +n )个物体分为任意的n ，n ，„，n
1 2 m 1 2 m
件无记号的m 堆，且n ，n ，„，n 这m 个数中分别有 a、b、c、„个相等，则其分配方法数有
1 2 m
p!
N .
n!n !...n !(a!b!c!...)
1 2 m
（7）(限定分组有归属问题)将相异的 p（ pn +n + +n ）个物体分给甲、乙、丙，„„等m个
1 2 m
人，物体必须被分完，如果指定甲得n 件，乙得n 件，丙得n 件，„时，则无论n ，n ，„，n 等m个
1 2 3 1 2 m
数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
p!
N Cn 1 Cn 2 ...Cn m .
p pn 1 n m n!n !...n !
1 2 m
159．“错位问题”及其推广
贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为
1 1 1 1
f(n)n![ (1)n ].
2! 3! 4! n!
推广: n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为
f(n,m)n!C1(n1)!C2(n2)!C3(n3)!C4(n4)!
m m m m
(1)pCp(n p)! (1)mCm(nm)!
m m
C1 C2 C3 C4 Cp Cm
n![1 m m m m (1)p m (1)m m ].
A1 A2 A2 A4 Ap Am
n n n n n n
160．不定方程x +x + +x m的解的个数
1 2 n
(1)方程x +x + +x m（n,mN）的正整数解有Cn1个.
1 2 n
m1
(2) 方程x +x + +x m（n,mN）的非负整数解有 Cn1 个.
1 2 n
nm1
(3) 方程x +x + +x m（n,mN）满足条件x k (kN,2in1)的非负整数解有
1 2 n i
Cn1 个.
(n2)(k1)
m1
(4) 方程x +x + +x m（n,mN）满足条件x k (kN,2in1)的正整数解有
1 2 n i
Cn1 C1 Cn1 C2 Cn1 (1)n2Cn2Cn1 个.
nm1 n2 mnk2 n2 mn2k3 n2 m1(n2)k
161.二项式定理 (ab)n C0an C1an1bC2an2b2 Cranrbr Cnbn ;
n n n n n
二项展开式的通项公式
T Cranrbr (r 0，1，2，n).
r1 n
162.等可能性事件的概率
m
P(A) .
n
163.互斥事件A，B分别发生的概率的和
P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
164.n个互斥事件分别发生的概率的和
P(A1＋A2＋„＋An)=P(A1)＋P(A2)＋„＋P(An)．
165.独立事件A，B同时发生的概率
P(A·B)= P(A)·P(B).
166.n个独立事件同时发生的概率
第 9 6 页P(A1· A2·„· An)=P(A1)· P(A2)·„· P(An)．
167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
P(k)CkPk(1P)nk.
n n
168.离散型随机变量的分布列的两个性质
（1）P 0(i 1,2, );
i
（2）P P 1.
1 2
169.数学期望
E xP x P x P
1 1 2 2 n n
170.数学期望的性质
（1）E(ab)aE()b.
（2）若～B(n,p),则Enp.
1
(3) 若服从几何分布,且P(k) g(k,p)qk1p，则E .
p
171.方差
Dx E2 p x E2 p x E2 p
1 1 2 2 n n
172.标准差
= D.
173.方差的性质
(1)Daba2D；
(2）若～B(n,p)，则Dnp(1 p).
q
(3) 若服从几何分布,且P(k) g(k,p)qk1p，则D .
p2
174.方差与期望的关系
D E2 E2 .
175.正态分布密度函数
x2
1
f x e 262 ,x,，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均
26
数与标准差.
176.标准正态分布密度函数
1
x2
f x e 2 ,x,.
26
177.对于N(,2)，取值小于x的概率
x
Fx .
P x x x P x x P x x
1 0 2 2 1
Fx Fx
2 1
x x
2
1
.
178.回归直线方程
n n
x xy y x y nx y
i i i i
b i1 i1
y abx，其中
n
x x2
n
x2 nx2
.
i i
i1 i1
a ybx
179.相关系数
第 9 7 页n n
x xy y x xy y
i i i i
r i1 i1 .
n n n n
(x x)2(y y)2 (x2 nx2)(y2 ny2)
i i i i
i1 i1 i1 i1
|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.
180.特殊数列的极限
0 |q|1
（1）limqn 1 q1 .
n
不存在 |q|1或q1
0 (k t)
a nk a nk1 a a
（2）lim k k1 0 t (k t) .
n b t nt b t1 nt1 b 0 b k
不存在 (k t)
（3）S lim a 1 1qn a 1 （S 无穷等比数列 aqn1 (|q|1)的和）.
n 1q 1q 1
181. 函数的极限定理
lim f(x)a lim f(x) lim f(x)a.
xx 0 xx 0 xx 0
182.函数的夹逼性定理
如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x 的附近满足：
0
（1）g(x) f(x)h(x);
（2）limg(x)a,limh(x)a（常数）,
xx xx
0 0
则lim f(x)a.
xx
0
本定理对于单侧极限和x的情况仍然成立.
183.几个常用极限
1
（1）lim 0，liman 0（|a|1）；
nn n
1 1
（2）lim x x ，lim .
xx 0 xx x x
0 0 0
184.两个重要的极限
sinx
（1）lim 1；
x0 x
x
1
（2）lim
1
e(e=2.718281845„).
x x
185.函数极限的四则运算法则
若lim f(x)a，limg(x)b，则
xx xx
0 0
(1)lim
f xgx
ab；
xx
0
(2)lim
f xgx
ab;
xx
0
f x a
(3)lim b0 .
xx gx b
0
186.数列极限的四则运算法则
若lima a,limb b，则
n n
n n
(1)lima b ab；
n n
n
第 9 8 页(2)lima b ab；
n n
n
a a
(3)lim n b0
nb b
n
(4)limca limclima ca( c是常数).
n n
n n n
187. f(x)在x 处的导数（或变化率或微商）
0
y f(x x) f(x )
f(x ) y lim lim 0 0 .
0 xx 0 x0x x0 x
188.瞬时速度
s s(tt)s(t)
s(t) lim lim .
t0t t0 t
189.瞬时加速度
v v(tt)v(t)
av(t) lim lim .
t0 t t0 t
190. f(x)在(a,b)的导数
dy df y f(xx) f(x)
f(x) y lim lim .
dx dx x0x x0 x
191. 函数y f(x)在点x 处的导数的几何意义
0
函数y f(x)在点x 处的导数是曲线y f(x)在P(x , f(x ))处的切线的斜率 f(x )，相应的切线
0 0 0 0
方程是y y f(x )(xx ).
0 0 0
192.几种常见函数的导数
(1) C0（C为常数）.
(2) (x )' nxn1(nQ).
n
(3) (sinx)cosx.
(4) (cosx)sinx.
1 1
(5) (lnx) ；(logax) log e.
x x a
(6) (ex)ex; (ax)axlna.
193.导数的运算法则
（1）(uv)' u' v'.
（2）(uv)' u'vuv'.
u u'vuv'
（3）( )' (v0).
v v2
194.复合函数的求导法则
设函数u (x) 在点 x 处有导数u ' '(x) ，函数 y f(u) 在点 x 处的对应点 U 处有导数
x
y ' f'(u)，则复合函数y f((x))在点x处有导数，且y' y' u' ，或写作 f'((x)) f'(u)'(x).
u x u x x
195.常用的近似计算公式（当 x 充小时）
1 1
(1) 1x 1 x;n 1x 1 x；
2 n
1
(2)(1x)1x(R)； 1x；
1x
(3)ex 1x；
(4)l (1 x) x；
n
(5)sinx x（x为弧度）；
(6)tanx x（x为弧度）；
(7)arctanx x（x为弧度）
第 9 9 页196.判别 f(x )是极大（小）值的方法
0
当函数 f(x)在点x 处连续时，
0
（1）如果在x 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则 f(x )是极大值；
0 0
（2）如果在x 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则 f(x )是极小值.
0 0
197.复数的相等
abicdiac,bd.（a,b,c,dR）
198.复数z abi的模（或绝对值）
|z|=|abi|= a2 b2 .
199.复数的四则运算法则
(1)(abi)(cdi)(ac)(bd)i;
(2)(abi)(cdi)(ac)(bd)i;
(3)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i;
acbd bcad
(4)(abi)(cdi) i(cdi0).
c2 d2 c2 d2
200.复数的乘法的运算律
对于任何z ,z ,z C，有
1 2 3
交换律:z z z z .
1 2 2 1
结合律:(z z )z z (z z ).
1 2 3 1 2 3
分配律:z (z z ) z z z z .
1 2 3 1 2 1 3
201.复平面上的两点间的距离公式
d |z z | (x x )2 (y y )2 （z x yi，z x y i）.
1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2
202.向量的垂直
非零复数z abi，z cdi对应的向量分别是OZ ，OZ ，则
1 2 1 2
z
OZ OZ z z 的实部为零 2 为纯虚数 |z z |2|z |2 |z |2
1 2 1 2 z 1 2 1 2
1
|z z |2|z |2 |z |2 |z z ||z z | acbd 0 z iz (λ为非零实数).
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
203.实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程ax2 bxc0，
b b2 4ac
①若b2 4ac0,则x ;
1,2 2a
b
②若b2 4ac0,则x x ;
1 2 2a
③若b2 4ac0，它在实数集 R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根
b (b2 4ac)i
x (b2 4ac0).
2a
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