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九年级数学上学期期末模拟试题（一）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自
己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2020·山东阳谷·初三期末）随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、
国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个
图形叫做中心对称图形，据此依次判断即可.
【解析】∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这
个图形叫做中心对称图形，∴A、C、D不符合，不是中心对称图形，B选项为中心对称图形.故选：B.
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握相关概念是解题关键.
2．（2020.绵阳市初三期末）下列说法错误的是（ ）
A．必然事件的概率为1 B．心想事成，万事如意是不可能事件
C．平分弦（非直径）的直径垂直弦 D． 的平方根是
【答案】B
【分析】逐一对选项进行分析即可．
【详解】A. 必然事件的概率为1，该选项说法正确，不符合题意；
B. 心想事成，万事如意是随机事件，该选项说法错误，符合题意；
C. 平分弦（非直径）的直径垂直弦，该选项说法正确，不符合题意；
D. 的平方根是 ，该选项说法正确，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题主要考查命题的真假，掌握随机事件，垂径定理，平方根的概念是解题的关键．
3．（2020·浙江慈溪初二期末）如果关于 的方程 没有实数根，那么 的最大整数值是（）
A．-3 B．-2 C．-1 D．0
【答案】B
【分析】先根据根的判别式求出k的取值范围，再从中找到最大整数即可．
【解析】 解得
∴k的最大整数值是-2 故选：B．
【点睛】本题主要考查根的判别式，掌握根的判别式与根的个数的关系是解题的关键．
4.（2020•碑林区模拟）如图，四边形ABCD内接于 O，∠D＝100°，CE⊥AB交 O于点E，连接OB、
OE，则∠BOE的度数为（ ） ⊙ ⊙
A．18° B．20° C．25° D．40°
【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于 O，∠D＝100°，∴∠ABC＝180°﹣∠D＝80°，
∵CE⊥AB，∴∠ECB+∠ABC＝90°，⊙∴∠BCE＝90°﹣80°＝10°，
∵在同圆或等圆中，圆周角是所对弧的圆心角的一半，∴∠BOE＝2∠BCE＝20°，故选：B．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形的内角和定理，垂直的定义，圆周角定理，正确的识别
图形是解题的关键．
5．（2020·河北省初三期末）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程 的一根，
则此三角形的周长是（ ）
A．16 B．12 C．14 D．12或16
【答案】A
【分析】通过解一元二次方程 求得等腰三角形的两个腰长，然后求该等腰三角形的周长．
【解析】解方程 ，得： 或 ，
若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，故选：A．【点睛】此题考查三角形三边关系，等腰三角形的性质，解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握
运算法则
k
6．（2020·河南遂平·初二期中）如图，直线l和双曲线y= x (k>0)交于A、B两点，P是线段AB上的点(不
与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC
的面积为S、△BOD的面积为S、△POE的面积为S，则( )
1 2 3
A．S＜S＜S B．S＞S＞S C．S＝S＞S D．S＝S＜S
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
【答案】D
xy k
【分析】根据双曲线的解析式可得 所以在双曲线上的点和原点形成的三角形面积相等，因此可得S
1
＝S，设OP与双曲线的交点为P，过P 作x轴的垂线，垂足为M，则可得△OP M的面积等于S 和S ，
2 1 1 1 1 2
因此可比较的他们的面积大小.
1
k
【解析】根据双曲线的解析式可得 xy k 所以可得S＝S=2
1 2
设OP与双曲线的交点为P，过P 作x轴的垂线，垂足为M
1 1
1
S S S k
因此 OP 1 M 1 2 2 而图象可得 S OP 1 M S 3 所以S 1 ＝S 2 ＜S 3 故选D
xy k
【点睛】本题主要考查双曲线的意义，关键在于 ，它代表的就是双曲线下方的矩形的面积.7．（2020.四川省绵阳市初三期中）若函数 的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围
是
A． 且 B． C． D．
【答案】A
【解析】抛物线与坐标轴有三个交点，则抛物线与x轴有2个交点，与y轴有一个交点．
解：∵函数 的图象与坐标轴有三个交点，
∴ ，且 ，解得，b<1且b≠0.故选A.
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：①抛物线与x轴有两个交点，则△＞0；②抛物线与x
轴无交点，则△＜0；③抛物线与x轴有一个交点，则△＝0．
8．（2020·四川初三期末）如图，在矩形 中， ， ，以 为直径作 .将矩形
绕点 旋转，使所得矩形 的边 与 相切，切点为 ，边 与 相交于点 ，
则 的长为（ ）
A．2.5 B．1.5 C．3 D．4
【答案】D
【分析】连接OE,延长EO交 CD于点G，作 于点H,通过旋转的性质和添加的辅助线得到四边
形 和 都是矩形， 利用勾股定理求出 的长度，最
后利用垂径定理即可得出答案．
【详解】连接OE,延长EO交 CD于点G，作 于点H则 ∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为
∴四边形 和 都是矩形，
∵四边形 都是矩形 即 故选：D．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理及垂径定理，掌握矩形的性质，勾股定理及垂径定理是解题
的关键．
9．（2020·山东初三期中）如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说
法正确的是（ ）
A．极差是8℃ B．众数是28℃ C．中位数是24℃ D．平均数是26℃
【答案】B分析：根据折线统计图中的数据可以判断各个选项中的数据是否正确，从而可以解答本题．
【解析】由图可得，极差是：30-20=10℃，故选项A错误， 众数是28℃，故选项B正确，
这组数按照从小到大排列是：20、22、24、26、28、28、30，故中位数是26℃，故选项C错误，
平均数是： ℃，故选项D错误，故选B．
点睛：本题考查折线统计图、极差、众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，能够判断各个
选项中结论是否正确．
10．（2020.江苏省初三期末）将二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x
轴所得的线段长为4，则a＝（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可以写出平移后的函数解析式，然后根据截x轴所得的线段长为4，可以求得a的值，
本题得以解决．
【详解】解：二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，
再向右平移3个单位之后的函数解析式为：y＝a（x﹣3）2﹣2，
当y＝0时，ax2﹣6ax+9a﹣2＝0，
设方程ax2﹣6ax+9a﹣2＝0的两个根为x，x，则x+x＝6，xx＝ ，
1 2 1 2 1 2
∵平移后的函数截x轴所得的线段长为4，∴|x﹣x|＝4，
1 2
∴（x﹣x）2＝16，∴（x+x）2﹣4xx＝16，∴36﹣4× ＝16，解得，a＝ ，故选：D．
1 2 1 2 1 2
【点睛】本题考查解二次函数综合题，解题关键是根据题意可以写出平移后的函数解析式.
11．（2020·银川市初三期中）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向
右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A，第2
1
次移动到A，…，第n次移动到A．则△OAA 的面积是（ ）
2 n 2 2018A．504m2 B． m2 C． m2 D．1009m2
【答案】A
【分析】由OA =2n知OA = +1=1009，据此得出AA =1009-1=1008，据此利用三角形的面积公
4n 2017 2 2018
式计算可得．
【详解】由题意知OA =2n，∴OA =2016÷2=1008，即A 坐标为(1008，0)，
4n 2016 2016
∴A 坐标为(1009，1)，则AA =1009－1=1008(m)，
2018 2 2018
∴ ＝ AA ×A A＝ ×1008×1＝504(m2).故选：A.
2 2018 1 2
【点睛】本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即为
下标的一半，据此可得．
12．（2020·河南信阳·初三期中）如图，抛物线 与 轴交于点 ，其对称轴为直
线 ，结合图象分析下列结论：① ；② ；③当 时， 随 的增大而增大；④
一元二次方程 的两根分别为 ， ；⑤ ；⑥若 ， 为方
程 的两个根，则 且 ，其中正确的结论有（ ）A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】利用二次函数图象与系数的关系，结合图象依次对各结论进行判断．
【详解】解： 抛物线 与 轴交于点 ，其对称轴为直线
抛物线 与 轴交于点 和 ，且
由图象知： ， ， 故结论①正确；
抛物线 与x轴交于点
故结论②正确；
当 时，y随x的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小 结论③错误；
，
抛物线 与 轴交于点 和
的两根是 和 ，
即为： ，解得 ， ；故结论④正确；
当 时， 故结论⑤正确；
抛物线 与 轴交于点 和 ，， 为方程 的两个根
， 为方程 的两个根
， 为函数 与直线 的两个交点的横坐标
结合图象得： 且 故结论⑥成立；故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，关键在于二次函数的系数所表示的意义，以及与一元二次方程的
关系,这是二次函数的重点知识.
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．（2020·四川初三期末）如图，将 绕直角顶点 顺时针旋转 ，得到 ，连结 ，
若 ，则 的度数是____．
【答案】
【分析】先根据旋转的性质得出 ，然后得出
，进而求出 的度数，再利用 即可求出答案．
【详解】∵ 绕直角顶点 顺时针旋转 ，得到
∵
故答案为：70°．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，直角三角形两锐角互余，掌握旋转的性质是解题的关键．
14．（2020·广东省初三课时练习）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个
顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角
形的周长为_____．【答案】πa
【分析】首先根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a，再利用弧长公式求出 的
长= 的长= 的长= ，那么勒洛三角形的周长为
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a，
∴ 的长= 的长= 的长= ，∴勒洛三角形的周长为 故答案为πa．
【点睛】本题考查了弧长公式： （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），也考查了等边
三角形的性质．
15．（2021·重庆南开中学初三开学考试）现有五张正面分别标有数字 ， ， ， ， 的不透明卡片，
它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，
再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为 ， ．则点 在第四象限的概率为
______．
【答案】
【分析】画树状图展示所有25种等可能的结果数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求解．
【解析】解：根据题意画图如下：共有25种等可能的情况数，其中 在第四象限的有6种，概率为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符
合事件A的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A的概率为 ．
16．（2020·云南昆明初三一模）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根分别为x、x，且x+3x
1 2 1 2
＝4，则m的值为
【答案】
【分析】利用根与系数的关系可得出x+x＝3，结合x+3x＝4可求出x 的值，再将其代入原方程即可求出
1 2 1 2 2
m的值．
【解析】∵x、x 是一元二次方程x2﹣3x+m＝0的解，∴x+x＝3．
1 2 1 2
∵x+3x＝4，即3+2x＝4，∴x＝ ，将x＝ 代入原方程，得： ﹣ +m＝0，∴m＝ ．
1 2 2 2 2
【点睛】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，理解一元二次方程的解的意义，熟练掌握根与
系数关系是解答的关键.
17．（2020·广东省初三其他）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已
知点 、 、 、 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为 ， 为半圆
的直径，则这个“果圆”被 轴截得的弦 的长为_________．【答案】
【分析】连接CM，根据抛物线解析式求出OD=12，AO=2，BO=6，AB=8，M（2，0），利用勾股定理求
出OC，即可得到CD的长度.
【解析】连接CM，∵抛物线的解析式为 ，∴点D的坐标为（0，-12），∴OD=12.
设y=0，则0=x2-4x-12，解得：x=-2或6，∴A（-2，0），B（6，0）.
∴AO=2，BO=6，AB=8，M（2，0），∴MC=4，OM=2，
在Rt COM中，OC= ,∴CD= OD+ OC= ,
△
即这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长 ，故答案为： .
【点睛】此题考查二次函数的性质，图象与坐标轴的交点坐标，数轴上两点之间的距离，圆的半径相等的
性质，勾股定理，正确掌握基础知识点是解题的关键.
18．（2020.北京市初三期中）如图，AB为半圆的直径，点D在半圆弧上，过点D作AB的平行线与过点A半圆的切线交于点C，点E在AB上，若DE垂直平分BC，则 ＝______．
【答案】
【分析】连接CE，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，可证四边形ACHB是矩形，可得AC＝
BH，AB＝CH，由垂直平分线的性质可得BE＝CE，CD＝BD，可证CE＝BE＝CD＝DB，通过证明
Rt△ACE≌Rt△HBD，可得AE＝DH，通过证明△ACD∽△DHB，可得AC2＝AE•BE，由勾股定理可得
BE2﹣AE2＝AC2，可得关于BE，AE的方程，即可求解．
【详解】解：连接CE，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，
∵AC是半圆的切线∴AC⊥AB，∵CD∥AB，∴AC⊥CD，且BH⊥CD，AC⊥AB，
∴四边形ACHB是矩形，∴AC＝BH，AB＝CH，
∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE，CD＝BD，且DE⊥BC，∴∠BED＝∠CED，
∵AB∥CD，∴∠BED＝∠CDE＝∠CED，∴CE＝CD，∴CE＝BE＝CD＝DB，
∵AC＝BH，CE＝BD，∴Rt△ACE≌Rt△HBD（HL）∴AE＝DH，
∵CE2﹣AE2＝AC2，∴BE2﹣AE2＝AC2，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC+∠BDH＝90°，且∠ADC+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BDH，且∠ACD＝∠BHD，∴△ACD∽△DHB，
∴ ，∴AC2＝AE•BE，∴BE2﹣AE2＝AE•BE，∴BE＝ AE，
∴ 故答案为： ．
【点睛】本题考察垂直平分线的性质、矩形的性质和相似三角形，解题关键是连接CE，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，证明出四边形ACHB是矩形.
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
19．（2020.河北省初三期末）（1）用配方法解方程：x2+4x+2＝0
（2）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点上，将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得
到△AB C ．请作出△AB C ，写出各顶点的坐标，并计算△AB C 的面积．
1 1 1 1 1 1 1 1 1
【答案】（1）∴x＝﹣2+ x＝﹣2﹣ ；（2）A（﹣1，﹣1），B （﹣4，0），C （﹣4，2），
1 2 1 1 1
△AB C 的面积＝ ×2×3＝3．
1 1 1
【分析】（1）按配方法的步骤解一元二次方程即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的
对应点A、B 、C ；然后写出△AB C 各顶点的坐标，利用三角形面积公式计算△AB C 的面积．
1 1 1 1 1 1 1 1 1
【详解】（1）x2+4x+2＝0（配方法） x2+4x＝﹣2， x2+4x+4＝﹣2+4， （x+2）2＝2，
∴x+2＝ ， ∴x＝﹣2+ x＝﹣2﹣ ；
1 2
（2）如图，△AB C 为所作；A（﹣1，﹣1），B （﹣4，0），C （﹣4，2），
1 1 1 1 1 1
△AB C 的面积＝ ×2×3＝3．
1 1 1【点睛】本题主要考察作图-旋转变换、三角形的面积公式和解方程，解题关键是熟练掌握计算法则.
20．（2020·四川初三期末）某市2012年国民经济和社会发展统计公报显示，2012年该市新开工的住房有
商品房、廉租房、经济适用房和公共租赁房四种类型．老王对这四种新开工的住房套数和比例进行了统计，
并将统计结果绘制成下面两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（1）求经济适用房的套数，
并补全图1；（2）假如申请购买经济适用房的对象中共有950人符合购买条件，老王是其中之一．由于购
买人数超过房子套数，购买者必须通过电脑摇号产生．如果对2012年新开工的经济适用房进行电脑摇号，
那么老王被摇中的概率是多少？（3）如果计划2014年新开工廉租房建设的套数要达到720套，那么2013
～2014这两年新开工廉租房的套数的年平均增长率是多少？
【答案】（1）475套；（2） ；（3）20%．
分析：（1）根据扇形统计图中公租房所占比例以及条形图中公租房数量即可得出，衢州市新开工的住房
总数，进而得出经济适用房的套数；
（2）根据申请购买经济适用房共有950人符合购买条件，经济适用房总套数为475套，得出老王被摇中的概率即可；
（3）根据2012年廉租房共有6250×8%=500套，得出500（1+x）2=720，即可得出答案．
【解析】（1）1500÷24%=6250 6250×7．6%=475 所以经济适用房的套数有475套；
如图所示：
（2）老王被摇中的概率为： ；
（3）设2013～2014这两年新开工廉租房的套数的年平均增长率为x
因为2012年廉租房共有6250×8%=500（套） 所以依题意，得 500（1+x）2=720…
解这个方程得，x=0．2，x=-2．2（不合题意，舍去）
1 2
答：这两年新开工廉租房的套数的年平均增长率为20%．
考点：1．一元二次方程的应用；2．扇形统计图；3．条形统计图；4．概率公式．
21．（2020·河南初二期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋b（b＜0）与坐标轴交于A，B两点，
与双曲线y＝ （x＞0）交于D点，过点D作DC⊥x轴，垂足为C，连结OD．已知△AOB≌△ACD，
（1）试探究k与b的数量关系；（2）直接写出直线OD的解析式；（3）过点D作OD的垂线交轴于点
E，当b＝﹣2时，求直线DE的解析式．【答案】（1）k＝b2；（2）y＝x；（3）y＝﹣x＋4．
【分析】（1）点A、B的坐标分别为：（﹣ b，0）、（0，b），而△AOB≌△ACD，则CD＝OB，AO
＝AC，故点D的坐标为（﹣b，﹣b），进而求解；（2）由点D的坐标即可求解；
（3）b＝﹣2时，则点D的坐标为（2，2），进而求出点E的坐标为（4，0），进而求解．
【解析】解：（1）对于直线y＝2x＋b，令x＝0，则y＝b，令y＝0，则x＝﹣ b，
则点A、B的坐标分别为：（﹣ b，0）、（0，b）．
∵△AOB≌△ACD，∴CD＝OB，AO＝AC，∴点D的坐标为（﹣b，﹣b）．
∵点D在双曲线y＝ （x＞0）的图象上，∴k＝（﹣b）•（﹣b）＝b2．即k与b的数量关系为：k＝b2；
（2）∵点D的坐标为（﹣b，﹣b），∴直线OD的解析式为y＝x；
（3）b＝﹣2时，则点D的坐标为（2，2），故OC＝DC＝2，∴∠DOC＝45°，
∵DE⊥DO，∴∠DEO＝∠DOC＝45°，∴DO＝DE，∵DC⊥OE，∴CE＝OC＝2，∴点E的坐标为（4，
0），
设直线DE的表达式为：y＝mx＋n，则 ，解得 ，故直线DE的表达式为：y＝﹣x＋
4．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以
及反比例函数图象的特征，此题难度不大，但综合性强．
22．（2020·河南省初三期末）关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x，x 是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S= + + x+x，S的值能为2吗？若能，求出此
1 2 1 2
时k的值．若不能，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．
【解析】试题分析：（1） 本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一
元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根
之和的形式，代入数值计算即可．
试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,
x= 有一个解；
②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，
△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ² ＋4＞0
方程有两不等根
综合①②得不论k为何值，方程总有实根
（2）∵x ₁＋x ₂＝ ,x ₁ x ₂=
∴S= + + x+x= =
1 2
= = =2k-2=2，
解得k=2，∴当k=2时，S的值为2
∴S的值能为2，此时k的值为2．
考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．
23．（2020·四川初三月考）如图，圆的内接五边形ABCDE中，AD和BE交于点N，AB和EC的延长线
交于点M，CD∥BE，BC∥AD，BM＝BC＝1，点D是 的中点．
（1）求证：BC＝DE；（2）求证：AE是圆的直径；（3）求圆的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） ．
【分析】（1）根据平行线得出∠DCE＝∠CEB，求出 即可；（2）求出AB＝BC＝BM，得出
△ACB和△BCM是等腰三角形，求出∠ACE＝90°即可；（3）根据 求出∠BEA＝
∠DAE＝22.5°，∠BAN＝45°，求出BN＝1， ，根据勾股定理求出AE2的值，即可求出答
案．
【详解】（1）证明：∵CD∥BE，∴∠DCE＝∠CEB，∴ ，∴DE＝BC；
（2）证明：连接AC，∵BC∥AD，∴∠CAD＝∠BCA，∴ ，∴AB＝DC，
∵点D是 的中点，∴ ，∴CD＝DE，∴AB＝BC．
又∵BM＝BC，∴AB＝BC＝BM，即△ACB和△BCM是等腰三角形，
在△ACM中， ，
∴∠ACE＝90°，∴AE是圆的直径；
（3）解：由（1）（2）得： ，
又∵AE是圆的直径，∴∠BEA＝∠DAE＝22.5°，∠BAN＝45°，∴NA＝NE，∴∠BNA＝∠BAN＝45°，∠ABN＝90°，∴AB＝BN，
∵AB＝BM＝1，∴BN＝1，∴ ．
由勾股定理得：AE2＝AB2+BE2＝ ，
∴圆的面积 ．
【点睛】本题主要考察正多边形与圆、勾股定理、平行线的性质，解题关键是根据勾股定理求出AE2的值.
24．（2020.广东省初三期末）网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲
自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出
2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元 ，每日销售量 与销售单价x
（元 ）满足关系式： ．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元 ．
当每日销售量不低于 时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．
（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利
最大？最大利润为多少元？（3）当 元时，网络平台将向板栗公可收取a元 的相关
费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值．
【答案】（1） ；（2）当销售单价定为28元时，日获利最大，
且最大为46400元；（3）
【分析】（1）首先根据题意求出自变量x的取值范围，然后再分别列出函数关系式即可；
（2）对于（1）得到的两个函数关系式在其自变量取值范围内求出最大值，然后进行比较，即可得到结果；
（3）先求出当 ，即 时的销售单价，得当
，从而 ，得 ，可知，当时， 元，从而有 ，
解方程即可得到a的值．
【解析】（1）当 ，即 ， ．
∴当 时，
当 时， ．
（2）当 时， ．
∵对称轴为 ，∴当 时， 元．
当 时， ．
∵对称轴为 ，∴当 时， 元．
∴综合得，当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元．
（3） ， ，则 ．
令 ，则 ．解得： ．
在平面直角坐标系中画出w与x的数示意图．观察示意图可知： ．
又 ， ．．
对称轴为
， 对称轴 ．∴当 时， 元．
， ．
又 ， ．
【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系及
二次函数的性质是解题的关键．
25．(2020北京市初三期末)已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过点E作EF⊥BD交BC于点F，
连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG．（1）如图1，求证：EG=CG；（2）将图1中的ΔBEF绕
点B逆时针旋转45°，如图2，取DF的中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，
给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图1中的ΔBEF绕点B逆时计旋转任意角度，如图3，取DF
的中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求
证明）
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.
【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．
（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明
DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出 DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明 AMG≌△ENG，得出
△AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依△然成立．过F作CD的平行线并延长CG△交于M点，连接EM、
EC，过F作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证 CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因为
BE=EF，易证∠EFM=∠EBC，则 EFM≌△EBC，∠FEM△=∠BEC，EM=EC，得出 MEC是等腰直角三
△ △角形，就可以得出结论．
1
【解析】（1）在RtΔFCD中，G为DF的中点，∴CG= FD．
2
1
同理，在RtΔDEF中，EG= FD．∴EG=CG．
2
（2）如图②，（1）中结论仍然成立，即EG=CG．
理由：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．∴∠AMG=∠DMG=90°．
∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=BC=AB，∠ADG=∠CDG．∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°．
在 DAG和 DCG中，¿ ，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG=CG．
∵△G为DF的△中点，∴GD=GF．∵EF⊥BE，∴∠BEF=90°，
∴∠BEF=∠BAD，∴AD∥EF，∴∠N=∠DMG=90°．
在 DMG和 FNG中，¿ ，∴△DMG≌△FNG（ASA），∴MG=NG．
∵△∠DA∠AM△G=∠N=90°，∴四边形AENM是矩形，∴AM=EN，
在 AMG和 ENG中，¿ ，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG=EG，∴EG=CG；
（△3）如图③△，（1）中的结论仍然成立．
理由：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN⊥AB于N．
∵MF∥CD，∴∠FMG=∠DCG，∠MFD=∠CDG．∠AQF=∠ADC=90°
∵FN⊥AB，∴∠FNH=∠ANF=90°．∵G为FD中点，∴GD=GF．
在 MFG和 CDG中¿ ，∴△CDG≌△MFG（AAS），
∴△CD=FM．△MG=CG．∴MF=AB．
∵EF⊥BE，∴∠BEF=90°．
∵∠NHF+∠HNF+∠NFH=∠BEF+∠EHB+∠EBH=180°，∴∠NFH=∠EBH．
∵∠A=∠ANF=∠AMF=90°，∴四边形ANFQ是矩形，∴∠MFN=90°．
∴∠MFN=∠CBN，∴∠MFN+∠NFE=∠CBN+∠EBH，∴∠MFE=∠CBE．
在 EFM和 EBC中¿ ，∴△EFM≌△EBC（SAS），∴ME=CE．，∠FEM=∠BEC，
∵△∠FEC+∠△BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，∴△MEC是等腰直角三角形，
∵G为CM中点，∴EG=CG，EG⊥CG．【点睛】考查了正方形的性质的运用，矩形的判定就性质的运用，旋转的性质的运用，直角三角形的性质
的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
26．（2020.成都市初三一诊）如图，矩形AOBC放置在平面直角坐标系xOy中，边OA在y轴的正半轴上，
边OB在x轴的正半轴上，抛物线的顶点为F，对称轴交AC于点E，且抛物线经过点A（0，2），点C，
点D（3，0）．∠AOB的平分线是OE，交抛物线对称轴左侧于点H，连接HF．
（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上有动点M，线段BC上有动点N，求四边形EAMN的周长的最
小值；（3）该抛物线上是否存在点P，使得四边形EHFP为平行四边形？如果存在，求出点P的坐标；如
果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝ x2﹣ x+2；（2） ；（3）不存在点P，使得四边形EHFP为平行四边形，理
由见解析．
【分析】（1）根据题意可以得到C的坐标，然后根据抛物线过点A、C、D可以求得该抛物线的解析式；
（2）根据对称轴和图形可以画出相应的图形，然后找到使得四边形EAMN的周长的取得最小值时的点M
和点N即可，然后求出直线MN的解析式，然后直线MN与x轴的交点即可解答本题；
（3）根据题意作出合适的图形，然后根据平行四边形的性质可知EH＝FP，而通过计算看EH和FP是否相等，即可解答本题．
【详解】解：（1）∵AE∥x轴，OE平分∠AOB，∴∠AEO＝∠EOB＝∠AOE，∴AO＝AE，
∵A（0，2），∴E（2，2），∴点C（4，2），设二次函数解析式为y＝ax2+bx+2，
∵C（4，2）和D（3，0）在该函数图象上，
∴ ，得 ，∴该抛物线的解析式为y＝ x2﹣ x+2；
（2）作点A关于x轴的对称点A，作点E关于直线BC的对称点E，连接AE，交x轴于点M，交线段
1 1 1 1
BC于点N．根据对称与最短路径原理，此时，四边形AMNE周长最小．
易知A（0，﹣2），E（6，2）．设直线AE 的解析式为y＝kx+b，
1 1 1 1
，得 ，∴直线AE 的解析式为 ．
1 1
当y＝0时，x＝3，∴点M的坐标为（3，0）．
∴由勾股定理得AM＝ ，ME ＝ ，
1
∴四边形EAMN周长的最小值为AM+MN+NE+AE＝AM+ME +AE＝ ；
1
（3）不存在．理由：过点F作EH的平行线，交抛物线于点P．
易得直线OE的解析式为y＝x，
∵抛物线的解析式为y＝ x2﹣ x+2＝ ，∴抛物线的顶点F的坐标为（2，﹣ ），
设直线FP的解析式为y＝x+b，将点F代入，得 ，
∴直线FP的解析式为 ．
，解得 或 ，∴点P的坐标为（ ， ），FP＝ ×（ ﹣2）＝ ，
，解得， 或 ，
∵点H是直线y＝x与抛物线左侧的交点，∴点H的坐标为（ ， ），
∴OH＝ × ＝ ，易得，OE＝2 ，
EH＝OE﹣OH＝2 ﹣ ＝ ，
∵EH≠FP，∴点P不符合要求，∴不存在点P，使得四边形EHFP为平行四边形．
【点睛】本题主要考察二次函数综合题，解题关键是得到C的坐标，然后根据抛物线过点A、C、D求得
抛物线的解析式.
