文档内容
2025-2026 学年第二学期试卷 高三数学
2026.03
本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在
试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分。在每小题列出的四个选项中, 选出
符合 题目要求的一项。
(1)已知集合 A={x∣y=log (x+1)},B={x∣(x+2)(x−3)>0} ，则 A∪B=
2
(A) (−1,3) (B) (−2,−1)
(C) (−∞,−2)∪(3,+∞) (D) ⋯(−∞,−2)∪(−1,+∞)
(2)已知复数 z 满足 (1+i)z+2=i ，则在复平面内，复数 z 对应的点位于
(A) 第一象限 (B) 第二象限
(C) 第三象限 (D) 第四象限
(3)下列函数中，是奇函数且最小正周期为 π 的是
(A) f (x)=2sinxcosx (B) f (x)=|cosx|
(C) f (x)=tan2x (D) f (x)=x3
(4)已知 a,b∈R ，且 a>b ，则下列不等式恒成立的是
a+b 1 1
(A) ≥√ab (B) >
2 a2+1 b2+1
(C) ac2>bc2 (D) ea>eb
x2 y2
(5)若双曲线 − =1 的离心率为 √2 ，则其渐近线方程为
a2 b2
(A) y=±x (B) y=±√3x
√3 √2
(C) y=± x (D) y=± x
3 2
(6)在 △ABC 中， C=120∘ ， a+2b=6 ， sinA=4sinB ，则 c=
(A) √13 (B) √21(C) √17+4√3 (D) √17−4√3
(7)矩形 ABCD 中， BC=6 ， AB=3 ，且 ⃗PC=2⃗AP ，则 ⃗BA⋅⃗BP=
9 9
(A) (B)
2 4
(C) 6 (D) 3
(8)设等差数列 {a } 的公差为 d(d≠0) ，其前 n 项和为 S ，则 “ d>0 ” 是
n n
“ S 存在最小值” 的
n
(A)充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(9)在平面直角坐标系 xOy 中，若对任意的点 P(x ,ax 1)(a>0且a≠1) ，都存在
1
Q(x ,2log x )(b>0且b≠1) ,使得 ⃗OP⋅⃗OQ=0 ,且 |⃗OP|=|⃗OQ| ,则
2 b 2
(A) ab=1 (B) ab=2
(C) a2b=1 (D) ab2=1
(10)三角形的重心是指三角形三条中线的交点，垂心是指三条高的交点，且已知三
角形的重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.
在平面直角坐标系中作 △ABC , AB=AC=6 ,点 B(−3,2) ,点 C(1,−2) ,且其 “欧
拉线” 与圆 M:(x+a) 2+(y+a+2) 2=r2 相切. 则圆 M 上的点到直线 x−y+6=0
的距离的最小值为
√2
(A) (B) 2√2
2
3√2 5√2
(C) (D)
2 2
第二部分 (非选择题 共 110 分.
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
( 2 ) 6
(11) x− 的展开式中，常数项为_____.
x2
(12)已知抛物线 C:y2=4x 上一点 M(x ,y ) 到焦点 F 的距离为 4，则 |y |=
0 0 0
_____.
( π)
(13)已知 α 是任意角，且满足 cos α+k⋅ =sinα ，则常数 k 的一个取值为
3_____.
(14)长方体 ABCD−A B C D 的底面 ABCD 是一个正方形，其边长为 4，长方
1 1 1 1
体的高为 2√2 ，联结各表面的中心构成一个八面体，则这个八面体的表面积为八
面体的体积和长方体的体积之比为_____。
(15)若非空实数集 X 中存在最大元素 M 和最小元素 m ，记 Δ(X)=M−m .
①已知 X={0,1},Y ={−1,b} ，且 Δ(X)=Δ(Y) ，则 b=0 ；
②已知 X=[a−2,a],Y ={y∣y=x2,x∈X} ，则存在实数 a ，使得 Δ(Y)<1 ；
③已知 X={x∣f (x)≥g(x),x∈[−1,1]} ，若 Δ(X)=2 ，则对任意 x∈[−1,1] ，
都有 f (x)≥g(x)
④已知 S 是等比数列 {a } 的前 n 项和， X={y∣y=S ,n∈N∗} ，则存在等比
n n n
数列 {a } ,使得 Δ(X)≤1 ; 其中所有不正确的命题是_____.
n
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
(16)(本小题 14 分)
如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 是一个等腰梯形， AD//BC ，
BC=2AD ， AB=AP=AD=1,M 为 BP 的中点.(I) 求证: AM// 平面 PCD ;
( II ) 若 PA⊥ 平面 ABCD .
(i) 求证: AC⊥ 平面 ABP ;
(ii) 求二面角 A−PB−C 的余弦值.
(17)(本小题 13 分)
( π)
已知函数 f (x)=√2sin(2x+φ) |φ|< ，从条件 ①、条件 ②、条件 ③ 这三个条
2
件中选择一个作为已知,使函数 f (x) 存在.
(I) 求 φ 的值.
[ π ]
(II) 设 g(x)=f (x)−4cos2x+2 ,求 g(x) 在区间 − ,0 上的最大值和最小值.
2
条件 ①: f (x) 是偶函数；
π
条件 ②: f (x) 的图象上所有点向右平移 个单位长度，所得函数是奇函数；
8
[ 3π π]
条件 ③: f (x) 在区间 − , 上单调递增.
8 8
注:如果选择的条件不符合要求，得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解
答， 按第一个解答计分.
(18)(本小题 13 分)
2024 年联合国教科文组织第 46 届世界遗产大会上, 我国申报的 “北京中轴线一一
中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》.北京中轴线坐落于北京
老城中心, 全长 7.8 公里, 始建于 13 世纪, 是统领老城整体规划格局的建筑与遗址
的组合体. 它共包含15处遗产点，可分为 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五种类型，
具体如下表:
A 古代 C 古代 E 居
类 皇家宫 B 古代皇家祭祀 城市管 中道路
型 苑建筑 建筑 理设施 D 国家礼仪和公共建筑 遗存
中 故 景 太 社 天 先 钟 万 端 天 外 天 正 永 中
轴 宫 山 庙 稷 坛 农 鼓 宁 门 安 金 安 阳 定 轴
线 坛 坛 楼 桥 门 水 门 门 门 线
遗 桥 广 南
产 场 段
点 及 道建 路
筑 遗
群 存
某研学团队计划随机选取 3 处遗产点开展研学活动.
(I)若从15处遗产点中随机选取，求选取的3处遗产点均为 D 类的概率；
(II)若从 A 、 B 、 C 这三类遗产点中随机选取 3 处，设选取的 3 处遗产点的
类型种数为 X ,求 X 的分布列及数学期望;
(Ⅲ)该研学团队通过调查发现:所有参观北京中轴线的人群可分为老年人、中年人、
青少年三个群体,其人数比值为 1:2:1 ,同时,这三个群体选择参观 A 类或 D 类遗
产点的频率分布如下表:
人群 老年人 中年人 青少年
只参观 A 类型遗产 60% 25% 30%
点
只参观 D 类型遗产 20% 45% 30%
点
两类遗产点都参观 20% 30% 40%
用频率估计概率,若从所有参观 A 类或 D 类遗产点的人群中随机选取 1 人，记
“只参观 A 类型遗产点” 的概率为 P ， “只参观 D 类型遗产点” 的概率
1
为 P ，请根据表中信息，判断 P 与 P 的大小关系. (结论不要求证明)
2 1 2
(19)(本小题 15 分)
x2 y2
已知椭圆 C: + =1(a>b>0) 与 y 轴的交点为 A,B (点 A 位于点 B 的上
a2 b2
√2
方)，且 |AB|=4 ,椭圆的离心率为 .
2
(I) 求椭圆 C 的标准方程;
( II ) 若直线 y=kx+4 与椭圆 C 交于不同两点 M,N ，直线 y=1 与直线 BM
S |AG|
交于点 G . 设 △AGB 与 △NGB 的面积分别为 S ， S ，比较 1 与 的
1 2 S |NG|
2
大小，并说明理由.
(20)(本小题 15 分)
1
已知函数 f (x)=−x+ln(−ax) ， g(x)= xe−x−1 ， a≠0 .
a
(I) 当 a=2 时,求曲线 y=g(x) 在点 (0,g(0)) 处的切线方程；
(II) 讨论 f (x) 的单调性;(III) 是否存在 a ,使得不等式 f (x)≤g(x) 恒成立,若存在,求出 a 的所有值; 不存在,
请说明理由.
(21)(本小题 15 分)
设 m 为正整数，数列 a ,a ,…,a 是公差不为 0 的等差数列，若从中删去两
1 2 4m+2
项 a 和 a (i< j) 后剩余的 4m 项可被平均分为 m 组,且每组的 4 个数都能构成
i j
等差数列,则称数列 a ,a ,…,a 是 (i, j) 可分等差数列.
1 2 4m+2
( I ) 说明数列 a ,a ,…,a 是不是 (1,2)、(1,6)、(2,4)、(5,6) 可分等差数列;
1 2 6
( II ) 当 p,q∈N,0≤p≤q≤m 时,证明: 数列 a ,a ,…,a 是 (4 p+1,4q+2) 可
1 2 4m+2
分等差数列;
(III) 当 m≥2 时,数列 a ,a ,…,a 是 (i, j) 可分等差数列,证明: 满足条件的
1 2 4m+2
(i, j) 个数不少于 m2+m+1 个。
2025-2026 学年第二学期
高三数学参考答案及评分标准 2026.3
一、选择题(共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分)
(1) D (2)B (3) A (4)D (5) A
(6) B (7) C (8)°C (9)C (10)D
二、填空题(共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分)
3
(11)60 (12)2 √3 (13) 6m− (m∈z) 均可 (14)16✓ 2，1:6
2
(15)①②③(注:对一个2分，对二个3分，有选错0分)
三、解答题(共 6 小题，共 85 分)
(16)(共14分)
(I) 取 PC 的中点 N ,连接 MN,ND .
因为 M 为 BP 的中点，
1
所以 MN= BC,MN//BC . 1 分
2
因为 AD//BC ， BC=2AD ，
所以 AD//MN 。 AD=MN所以四边形 AMND 是平行四边形. 2 分
所以 AM//DN 。 3 分
且 AM⊄ 平面 CDP,DN⊂ 平面 CDP . 4 分
所以: AM// 平面 CDP
(II)(i)因为 AP⊥ 平面 ABCD .
所以 AP⊥AC . 5 分
因为底面 ABCD 是一个等腰梯形， AD//BC ， BC=2AD ， AB=AD=1
π
所以 ∠ABC= ,AC=√3 6 分
3
所以 ∠BAC=90∘ ，即 AB⊥AC 7 分
又因为 AP,AB⊂ 面 ABP,AP∩AB=A . 8 分
所以知 AC⊥ 平面 ABP .
(ii) 由 (i) 知 AP⊥ 平面 ABCD .
所以 AB⊥AC .
如图建立空间直角坐标系 A−xyz .
则 P(0,0,1),C(0,√3,0),B(1,0,0) .
所以 ⃗BC=(−1,√3,0),⃗PB=(1,0,−1),⃗AC=(0,√3,0) . 9 分
设平面 PBC 的法向量为 n=(x,y,z) ,则
{n⋅⃗BC=0, {−x+√3 y =0,
即 10 分
n⋅⃗PB=0, x−z =0.
令 x=√3 ,则 y=1,z=√3 . 于是 n=(√3,1,√3) . 11 分⃗AC⋅n √7
因为 ⃗AC 为平面 PAB 的法向量,且 cos<⃗AC,n>= = , 13 分所以二面
|⃗AC|⋅|n| 7
√7
角 A−PB−C 的余弦值为 . 14 分
7
(17)(共13分)
(I) 解: 选择② 1 分
( π) π
将函数 f (x)=√2sin(2x+φ) |φ|< 的图象上所有点向右平移 个单位长度,
2 8
[ ( π) ] ( π)
可得到函数 y=√2sin 2 x− +φ =√2sin 2x+φ− , 2 分
8 4
( π) π
由函数 y=√2sin 2x+φ− 为奇函数,则 φ− =kπ(k∈Z) , 4 分
4 4
π π π
可得 φ= +kπ(k∈Z) ,又因为 |φ|< ,则 φ= . 5 分
4 2 4
解: 选择③ 1 分
[ 3π π] [ 3π π ]
由 x∈ − , ,可得 2x+φ∈ − +φ, +φ 2 分
8 8 4 4
[ 3π π]
f (x) 在区间 − , 上单调递增,且 f (x) 的最小正周期为 π 3 分
8 8
3π π π π
所以 − +φ=− +2kπ,k∈z, +φ= +2kπ,k∈z 4 分
4 2 4 2
π
所以 φ= 5 分
4
( π)
(II) 解: 由 (1) 可知, f (x)=√2sin 2x+ =sin2x+cos2x ,
4
则
g(x)=f (x)−4cos2x+2=sin2x+cos2x−(2+2cos2x)+2=sin2x−cos2x=√2sin ( 2x− π)
4
8 分
[ π ] π [ 5π π]
由 x∈ − ,0 ,可得 2x− ∈ − ,− 9 分
2 4 4 4
π 5π π
当 2x− =− 时, f (x) 取最大值 1,此时 x=− 11 分
4 4 2π π π
当 2x− =− 时, f (x) 取最小值 −√2 ,此时 x=− 13 分
4 2 8
(18)(共13分)
解:(I)设这 3 个遗产点都在 D 类为事件 A ， 1 分
C3
20 4
P(A)= 6 = = . 3 分
C3 5×7×13 91
15
(II) X=1,2,3 , 4 分
C3
4 4 1
P(X=1)= 4= = = ,
C3 120 8×7 14
8
C1×C2+C2×C1+C1×C2+C2×C1+C1×C2+C2×C1
9
P(X=2)= 2 4 2 4 4 2 4 2 2 2 2 2=
C3 14
8
C1×C1×C1
16 2
P(X=3)= 2 4 2= = .
C3 56 7
8
1 9 4 2
或 P(X=2)=1−P(X=1)−P(X=3)=1− − = = . 7 分
14 14 14 7
X 1 2 3
P 1 9 14 2 7
14
1 9 4 1+18+12 31
E(X)=1× +2× +3× = = . 10 分
14 14 14 14 14
(III) p =p 13 分
1 2
(19)(共15分)
2b=4
{
c √2
(I) 根据题可得 = , 2 分
a 2
a2=b2+c2,
x2 y2
解得 a=2√2,b=2 ,椭圆 C 的标准方程 + =1 . 5 分
8 4
(II) 将曲线 C 的方程变为为 x2+2y2=8 ,点 A,B 的坐标分别为 (0,2),(0,−2) .
{ y=kx+4,
由 得 (1+2k2)x2+16kx+24=0 . 7 分
x2+2y2=8,因为直线与曲线 C 交于不同的两点,所以 Δ=(16k) 2−4(1+2k2)×24>0 ,
3
即
k2>
. 8 分
2
设点 M,N 的坐标分别为 (x ,y ),(x ,y ) ,则 y =kx +4,y =kx +4 ,
1 1 2 2 1 1 2 2
−16k 24
x +x = ,x x = . 9 分
1 2 1+2k2 1 2 1+2k2
y +2 3x
( )
直线 BM 的方程为 y+2= 1 x ,点 G 的坐标为 1 ,1 . 10 分因为直线
x y +2
1 1
y −2 y +2
AN 和直线 AG 的斜率分别为 k = 2 ,k =− 1 .
AN x AG 3x
2 1
y −2 y +2
所以 k −k = 2 + 1 11 分
AN AG x 3x
2 1
kx +2 kx +6 4kx x +6(x +x )
= 2 + 1 = 1 2 1 2
x 3x 3x x
2 1 1 2
4 2(x +x )
= k+ 1 2
3 x x 12 分
1 2
x
1
−16k
2×
4 1+2k2
= k+ =0 . 即 k =k .
3 24 AN AG
1+2k2
所以 A,G,N 三点共线. 13 分
所以设 △AGB 与 △NGB 的高相等， 14 分
S |AG|
所以 1= 15 分
S |NG|
2
(20)(共15分)
1
解: (I) 当 a=2 时, g(x)= xe−x−1 ,
2
1 1
所以
g′(x)= e−x− xe−x
. 1 分
2 2
1
g′(0)= ,g(0)=−1. 3 分
21
所以曲线 y=g(x) 在点 (0,g(0)) 处切线的方程为 y= x−1 . 4 分
2
(II) 当 a>0 时, f (x) 的定义域为 (−∞,0) . 5 分
1 1−x
f′(x)=−1+ = >0.
x x
所以 f (x) 的单调递减区间为 (−∞,0) 6 分
当 a<0 时， f (x) 的定义域为 (0,+∞) .
1 1−x
f′(x)=−1+ =
x x
所以 x∈(0,1) 时, f′(x)>0;x∈(1,+∞) 时, f′(x)<0 .
所以 f (x) 的单调递增区间为 (0,1) ; 单调递减区间为 (1,+∞) . 8 分
1
(III) 令 h(x)=−x+ln(−ax)− xe−x
a
要使得不等式 f (x)≤g(x) 恒成立,即 h(x)≤−1 成立, 9 分
(1 e−x )
h′(x)=(1−x) − . 10 分
x a
当 a>0 时, f (x) 的定义域为 (−∞,0) .
所以 f′(x)<0,f (x) 在 (−∞,0) 上单调递减.
1
因为 h ( − 1) = 1 + 1 ea>0 ,所以 a>0 不合题意. 12 3
a a a2
当 a<0 时, f (x) 的定义域为 (0,+∞) .
因为 x∈(0,1) 时, f′(x)>0;x∈(1,+∞) 时, f′(x)<0 .
所以 f (x) 的单调递增区间为 (0,1) ; 单调递减区间为 (1,+∞) .
1
所以 f (x) =f (1)=−1+ln(−a)− . 13 3
max ae
1 1 1 ex+1
设 g(x)=−1+ln(−x)− ,则 g′(x)= + = ,
ex x ex2 ex2
因为 x∈ ( −∞,− 1) 时, g′(x)<0;x∈ ( − 1 ,0 ) 时, g′(x)>0 ,
e e( 1) ( 1 )
所以 g(x) 的单调递减区间为 −∞,− ; 单调递增区间为 − ,0 .
e e
( 1)
所以 g(x) =g − =−1 . 14 分
min e
1
当 a=− ,f (x)≤g(x) 不等式恒成立. 15 分
e
(21)(共 15 分)
( I ) 解: 数列 a ,a ,…,a 是 (1,2)、(1,6)、(5,6) 、可分数列,不是 (2,4) 可分数
1 2 6
列 4 分
( II ) 证明: 当 p、q∈N,0≤p≤q≤m
数列 a ,a ,…,a 中删去 a 和 a 两项后, a 前面是 a ,a ,…,a (有
1 2 4m+2 4p+1 4q+2 4p+1 1 2 4p
连续的 4 p 项,当 p=0 时,无这 4 p 项); a 后面是 a ,a ,…,a (有连
4q+2 4q+3 4q+4 4m+2
续的 4m+2−(4q+3)+1=4(m−q) 项,当 q=m 时,无这 4(m−q) 项), a 和 a
4p+1 4q+2
中间是 a ,a ,…,a (有连续的
4p+2 4p+3 4q+1
4q+1−(4 p+2)+1=4(q−p) 项,当 q=p 时,无这 4(q−p) 项),因为都是连续的 4 的
整数倍项,显然都可以平均分成每组都是 4 个数公差为 d 的等差数列. 8 分
(III) 首先证明: 数列 a ,a ,…,a 是 (4P+2,4q+9) 可分数列,
1 2 4m+2
其中 p,q∈N,0≤p≤q≤m−2 .
证明: (1) 数列 a ,a ,…,a 中删去 a 和 a 两项后, a 前面是
1 2 4m+2 4p+2 4q+9 4p+1
a ,a ,…,a (有连续的 4 p 项,当 p=0 时,无这 4 p 项), a 后面是
1 2 4p 4q+10
a ,a ,…,a (有连续的 4m+2−(4q+11)+1=4(m−q−2) 项,当 q=m−2
4q+11 4q+12 4m+2
时,无这 4(m−q−2) 项),因为都是连续的 4 的整数倍项,显然都可以平均分每组都
是 4 个数公差为 d 的等差数列. 10 分
(2)分析中间的数列 a ,a ,…,a ,a 是 (4P+2,4q+9) 可分数列.
4p+1 4p+2 4q+9 4q+10
