文档内容
秘密★启用前
2026 年高三年级 4 月份适应性测试
数学试题
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项:
1. 答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡
上.写在本试卷上无效.
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单选题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分.每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的.
5
1.复数z= ,则
2−i
高三数学试题 第1页 共4页
z 的共轭复数 z 为
A. 2 + i B.−2−i C. − 2 + i D. 2 − i
2.设集合 A = x x 2 − 2 x − 3 0 , B = x x 1 ，则 A B =
A. 1 , 3 B. ( 1 , 3 C. ( − 1 ,1 ) D. ( 1 , 3 − 1
3.已知 a
n
是等差数列，b 是等比数列，且
n
b
2
= 3 , b
3
= 9 , a
1
= b
1
, a
1 4
= b
4
, 则a =
6
A. 9 B. 1 0 C. 1 1 D. 1 2
4.“ R , 使得a =b”是“a//b”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.函数y=sinx+ 3cosx,x − , 的值域为
2 2
A.
−
1
2
,
1
2
1
B.−1,1 C. − ,1 D.−1,2
2
6.某公司开发了两款智能模型 A 和 B 用于客服系统. 测试期间，系统在第 1 天随机选择一
款模型投入使用. 若第 1 天使用模型 A ，则第 2 天继续使用模型 A 的概率为0.6；若第 1 天
使用模型B，则第2天切换到模型A的概率为0.8.则第2天使用模型A的概率为
A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.9
{#{QQABTYKEogCIQJBAAAgCAwX6CgMYkAECCKgOABAYoAABiAFABAA=}#}7.已知椭圆和双曲线有相同的焦点
高三数学试题 第2页 共4页
F
1
和F ，点
2
P 是椭圆与双曲线的一个公共点，且 F
1
P F
2 2
= ,
椭圆的离心率为
3
2
，则双曲线的离心率为
A.
2
3
3
B.
6
2
C.
2
5
D.
7
2
8.已知函数 f ( x ) = e x + m − l n x + m , m R ，若 f ( x ) 0 恒成立，则 m 的取值范围为
A. ( − 1 , + ) B. − 1 , + ) C. ( − , − 1 D. ( − , − 1 )
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知 m n 0 ，则下列说法正确的是
A. l n m l n n B. c o s m c o s n C.若 c 0 , 则 m c n c
1 m 1 n
D.
2 2
10.已知点 A ( 3 , 4 ) , B ( 2 , 0 ) ，圆 C : ( x − 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 9 ，点P在圆C上运动，点 Q 满足
O Q = O A + O P ，其中 O 为坐标原点.则下列说法正确的是
A. P Q // O A B.点 Q 的轨迹方程为 ( x − 4 ) 2 + ( y − 6 ) 2 = 9
C. O Q O B 的取值范围是 1 , 7 D.点 Q 到直线l:3x+4y−12=0距离的最小值为
9
5
11.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制；
满十进一就是十进制；满十六进一，就是十六进制等等.一般地，若 k 是一个大于 1 的整数，
那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式 a
n
a
n − 1
a
1
a
0 (k )
（ a
n
, a
n − 1
, , a
1
, a
0
0 ,1 , 2 , , k − 1 ， a
n
0 ），k进制的数也可以表示成不同位上数字符号
与基数的幂的乘积之和的形式，如a a aa =a kn+a kn−1++ak+a ．例如：十进
n n−1 1 0(k) n n−1 1 0
制数22=232+13+1，所以 2 2 在三进制下可写为 2 1 1
(3 )
, 则下列说法正确的是
A.三进制数 2 1 1
(3 )
转化成五进制数为 4 2
(5 )
B.现用八进制表示十进制的 9 1 9 ,则这个八进制数的最后一位为 1
C.正整数 m 在三进制下的各位数字之和记为S(m)，在集合1,2,3,,2026中任选一个正整
数m，则 S ( m )
337
为3的倍数的概率为
1013
D.一副两种颜色的卡片共 2 2 张，每种颜色11张，上面分别标有数字1,2,22,23, ,210，从这
22张卡片中任取m(mN*)张，则取出的卡片上数字之和为2026的取法共有2027种
{#{QQABTYKEogCIQJBAAAgCAwX6CgMYkAECCKgOABAYoAABiAFABAA=}#}第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12.若
高三数学试题 第3页 共4页
a , b 0 ，且 a b = a + b + 3 ，则 a b 的取值范围为 ．
13.已知奇函数f(x)的周期为 2 ,且当 x (1 , 2 ) 时, f ( x ) = 2 x + 1 ,
16
则f log = ．
2 3
14.已知一个棱长为4 6的正四面体容器（容器壁厚度忽略不计）,则此容器外接球（正四
面体容器各顶点都在球面上）的体积为 ；如果一个半径为 1 的小球在该容器内
可向各个方向自由运动，则小球永远不可能接触到的容器内壁面积为 .（第一空
2分，第二空3分）
四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15.(13分) 已知 A B C 的角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，满足 b c o s C + c s i n B = a .
（1）求角B；
（2）若b= 2， ABC的面积为 1 ，求 A B C 的周长.
16.(15分)已知全等的等腰直角三角形 ABC和 A D C ，其中 A B C A D C
2
= = ，
A B = B C = A D = D C = 2 ，现将 A B C 沿AC进行翻折，使二面角 B − A C − D 的大小为
3
，
连接BD得到四面体 B − A C D .
（1）证明: A C ⊥ B D ；
（2）求直线 B C 与平面 A B D 所成角的正弦值.
{#{QQABTYKEogCIQJBAAAgCAwX6CgMYkAECCKgOABAYoAABiAFABAA=}#}17.(15分) 已知函数
高三数学试题 第4页 共4页
f ( x ) = x ln x .
（1）求函数 f ( x ) 的单调区间；
（2）若过点 P ( a , 0 ) 可作曲线y= f (x)的两条切线，求 a 的取值范围；
（3）若曲线 y = f ( x ) 的切线l过点 P ( a , 0 ) ，其中 a 1 ，求证：曲线上除切点外的点都在
直线 l 的上方.
18.(17分) 已知曲线 上任意一点 M
13
到点N ,0的距离比它到
4
y 轴的距离大
5
4
.
（1）求曲线 的方程；
（2）P(x ,3)为曲线
0
上一点，直线 l 与曲线 交于 A , B 两点（ A , B 不与点 P 重合），直线
P A 与 y 轴交于点 R ( 0 , y
R
) ，直线 P B 与 y 轴交于点 S ( 0 , y
S
) ，且 y
R
+ y
S
= 6 .
（i）求直线 l 的斜率；
（ii）证明: P A B 的外接圆的圆心在定直线上.
19.(17分) 某商场组织抽奖活动，规则如下：在一个不透明的盒子中装有 1 0 个形状、大
小、质地完全相同的小球，其中白球4个，红球 6 个. 每位顾客从盒子中随机抽取 1 个球，
记录颜色后放回盒子中. 若抽得白球，则获得九折优惠券；若抽得红球，则获得七折优惠
券. 每位顾客只有一次抽奖机会.
（1）求前四位顾客中，至少有两位顾客获得七折优惠券的概率；
（2）若一个不透明的盒子中共有N ( NN*,N 3 ) 个形状、大小、质地相同的小球，其中
红球的个数是一个离散型随机变量X . 证明：从该盒子中随机抽取 1 个球，抽到红球的概
率为
E (
N
X )
；
（3）为增加趣味性，商场第二天调整了规则：在每位顾客抽奖完成并放回小球后，店员
往盒子中增加3个与刚才取出球颜色不同 的小球（若取出红球，则增加3个白球；若取出
白球，则增加3个红球），然后下一位顾客再进行抽奖. 已知第一位顾客抽奖前，盒子中仍
为 4 个白球和 6 个红球. 求第n位顾客获得七折优惠券的概率 P
n
.
参考公式：若X,Y 是离散型随机变量，有E(X +Y)=E(X)+E(Y).
{#{QQABTYKEogCIQJBAAAgCAwX6CgMYkAECCKgOABAYoAABiAFABAA=}#}
