文档内容
湖南长沙市雅礼中学 2025-2026 学年高三下学期开学考试数学试题
命题人；薛祖山 审题人：张鎏
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
.
C 第三象限 D. 第四象限
2. 已知符号函数 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知向量 与 的夹角为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 下列结论中，错误的是（ ）
A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为6
.
B 若随机变量 ，则
C. 已知经验回归方程为 ，且 ，则
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学科网（北京）股份有限公司的
D. 根据分类变量 与 成对样本数据，计算得到 ，依据小概率值 独立性检验
，可判断 与 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001
5. 白舍窑位于江西省南丰县白舍镇，是宋元时期“江西五大名窑”，其瓷器以白瓷最为闻名，素有“白如
玉，薄如纸”的特点．如图是白舍窑生产的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部为一个圆台，下部实心且外形
为圆柱．现测得底部直径为6cm，上部直径为12cm，茶杯侧面与水平面的夹角为 ，则该茶杯容量（茶
杯杯壁厚度忽略不计）约为（ ）（单位： ）
A. B. C. D.
6. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数 ，若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范
围是（ ）
A. B. C. D.
8. 设 为正整数，在平面直角坐标系 中，若 ，且 ）
恰好能表示出12个不同的椭圆方程，则 的一个可能取值为（ ）
A. 12 B. 8 C. 7 D. 5
第2页/共6页
学科网（北京）股份有限公司二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数 的部分图象如图所示，若将函数 的图
象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ，再向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则下列命题
正确的是（ ）
A. 函数 的解析式为
B. 函数 的解析式为
C. 函数 在区间 上单调递增
D. 函数 图象的一条对称轴是直线
的
10. 已知抛物线C： 焦点为F，直线 与C交于点A，B（A在第一象限），以AB为直径的圆E
与C的准线相切于点D．若 ，则下列说法正确的是（ ）
A. A，B，F三点共线 B. l的斜率为
C. D. 圆E的半径是4
11. 如图，在棱长为2的正方体 中，M，N，P分别是 ， ， 的中点，Q是
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学科网（北京）股份有限公司线段 上的动点，则( )
A. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B. 存在点Q，使 平面MBN
C. 过Q，M，N三点的平面截正方体 所得截面面积的取值范围为
D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若曲线 的一条切线为 ，其中 为正实数，则 的取值范围是
__________.
13. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 ，点 是第一象限内双曲
线 上的一点，满足 .记 的面积分别为 、 ，则
______.
14. 锐角 中，角 所对应的边分别为 ，满足 ， ，则 的周
长的取值范围为_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 的各项均为正数，前 项和为 ，且 ， 是 与 的等差中项.
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明：数列 是等差数列；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
16. 在直角梯形 中， ， ， ，如图（1）．把
沿 翻折，使得平面 平面 ．
（1）求证： ；
（2）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出 的值；若不存在，
说明理由．
17. 有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同.某人做摸球答题
游戏.规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题.若答题正确，则将该球放入乙罐；若答
题错误，则将该球放回甲罐.此人答对每一道题目的概率均为 当甲罐内无球时，游戏停止.假设开始时乙
罐无球.
（1）求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率；
（2）设第 次答题后游戏停止的概率为 问： 是否存在最大值?若存在，求出最大值；
若不存在，试说明理由.
18. 已知点 ，动点 满足 ，动点 的轨迹记为 .
（1）求 的方程；
（2）直线 与 轴交于点 为 上的动点，过 作 的两条切线，分别交 轴于点 .
①证明：直线 的斜率成等差数列；
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学科网（北京）股份有限公司② 经过 三点，是否存在点 ，使得 ？若存在，求 ；若不存在，请说明理由.
19. 已知 为常数，函数 .
（1）讨论 的单调性；
.
（2）若 有两个零点
①求 的取值范围；
②若 恒成立，求 的取值范围.
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