哈尔滨市哈师大附中2025—2026学年度高一下学期4月月考数学_2026年04月高一试卷_260413黑龙江哈尔滨市哈师大附中2025—2026学年度高一下学期4月月考（全科）

第1页（共4页） 第2页（共4页） A C M O D B 哈师大附中 2025--2026 学年度高一下学期月考数学试题 考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 第Ⅰ卷 （选择题共 58 分） 一、单选题：本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．化简： A B + A C + B A + C B 等于（ ） A． A B B． B A C． C A D．AC 2．一个圆锥的高是 3 ，侧面积是 2 π ，则该圆锥轴截面的周长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．设a,b是非零向量，则 a a = b b 是 a = 2 b 成立的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个 边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A．4 B． 4 + 4 3 C．16 D．8 2 5．已知向量 a ( 2 c o s , 1 ) , b ( 3 c o s , 1 )   = − = ，且 a ⊥ b ，则 c o s 2  = （ ） A． − 2 3 B． 2 3 1 1 C．− D． 3 3 6．对于两个不共线向量e ,e ，已知a =4e +3e ， 1 2 1 2 b = e −2e ，若 1 2 2 a − b 与b共线，则 m 的值为 （ ） 5 A．− B． 3 8 3 8 C．− D． 3 5 3 7．如图，在棱长为2的正方体ABCD−ABCD 中， 1 1 1 1 E 8．在 是AB的中点， 动点P在正方体内部或表面上，若PB //平面DEC ，则动点P的轨迹 1 1 所形成的区域面积为（ ） 9 21 A．4 B． C．6 D． 2 4 A B C 中，已知 A B  A C = 9 ， s in B = c o s A  s in C ， A B C 的面积为6， P 为线段 A B 上的一点，且 C P = x  C C A A + y  C C B B ，则 1 x + 1 y 的最小值为（ ） A． 7 + 1 2 2 3 B． 7 + 1 3 2 2 C． 7 + 1 2 2 6 D． 7 + 1 4 2 3 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知平面向量 a = ( 1 , 3 ) ， b = ( − 2 , 1 ) ，则（ ） A． a = 10 B． ( 2 a − b ) ⊥ b C． a 与 b 的夹角为锐角 D． a 在 b 上的投影向量为  − 2 5 , 1 5  10．在正方体 A B C D − A 1 B C1 1 D 1 中，点 E , F ,G分别是棱AB ,BC ,BB 的中点，则（ ） 1 1 1 1 1 A． F G // 平面 A A 1 D 1 D B． E F // 平面BCD 1 1 C． F G // 平面 B C 1 D 1 D．平面 E F G // 平面BCD 1 1 11．如图， A B , C D 是半径为1的圆 O 的两条不同的直径， A M = 2 M O ，则（ ） A． A M = 1 3 M B 8 B．MCMD=− 9 C．满足MB=MC+MD的实数与的和为定值4 D． s i n  C M D 3 的最大值为 5 第Ⅱ卷（非选择题共 92 分） 三、填空题：本大题共3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知向量 a , b 满足 a−b = 5， a+b = 2a−b ，则 b =________． 13．若圆锥和圆柱的底面半径、高和侧面积都相等，设该圆锥体积为3 3π，则该圆柱的高为______． 7 3 14．已知一正三棱台的上、下底面边长分别为 3、2 3，若该正三棱台的体积为 ，则它的外接球 4 的体积为_________． m四、解答题：本大题共5小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知向量 O A 1 C 1 1 B 1 P O A C B P M A B D N C 第3页（共4页） 第4页（共4页） a , b 满足 a = 3 ， b = 2 ， ( a + b ) ⊥ b . (1)求向量 a 与b的夹角的余弦值； (2)求 2 a + b . 16．（15分）设 A B C 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，其面积为 S ，已知2S+ 3ABAC =0. (1)求角A的大小； (2)若 a = 3 ，设G是 ABC的重心，求 A G 的最小值． 17．（15分）如图，在圆柱 O O 1 中，AC， A C1 1 分别为圆O，圆 O 1 的直径， A A 1 ， B B 1 ， C C 1 为圆柱的母线. (1)求证：平面 A 1 O B / / 平面 O 1 B 1 C ； (2)若圆О的半径为2，BAC=30， A 1 A = A B ，点P为 A 1 B 的中点， 求三棱锥 P − O 1 B C1 的体积． 18．（17分）如图，在四棱锥P−ABCD中， A D / / B C ，M，N分别是 P B ，CD的中点， A D = 3 B C ， PE=ED． (1)求证： M N / / 平面PAD； (2)若 P B / / 平面 A C E ，求的值； (3)当 2  = 时，若 P A = P B = P C = A D = 9 ， C D = 1 2 ，AF =2FD， 请在图中作出四棱锥 P − A B C D 19．（17分）对于一组向量 过点B，E，F的截面（保留作图痕迹）， 并求出截面周长． a 1 , a 2 , a 3 , , a ( n  N , n  3 ) ，记  n = { a 1 , a 2 , a 3 , , a } ，令向量 S =a +a +a + +a ，如果存在向量 1 2 3 a ， p  { 1 , 2 , 3 , , n } ，使得 a  S + a ( k  Z ) ， 那么称 a 是 的“ n k 向量”． (1)设 a =(n,x−n),nN*，若 a 3 是  3 的“ − 3 向量”，求实数x的取值范围； (2)若 a =  s i n n π 2 , c o s n π 2  , n  N * ，  7 是否存在“ − 1 向量”？给出你的结论并说明理由； (3)已知 a 1 , a 2 , a 3 均是  3 的“ − 1 向量”，其中 a 1 =(sinx,cosx)， a 2 =(2cosx,2sinx)．设在平面直角坐 标系中有一点列 P 1 , P 2 , P 3 , , P n 满足： P 1 为坐标原点， P 1 P 2 = a 3 ，且 P 2 k + 1 与 P 2 k 关于点 P 1 对称， P 2 k + 2 与 P 2 k + 1 ( k  N * ) 关于点 P 2 对称，求 P 2 0 2 5 P 2 0 2 6 的最小值． n p n n p p n k n p n n