专题07二次函数中特殊四边形存在性（五大题型）90专练（原卷版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_中考数学压轴题（全国通用）

专题 07 二次函数中特殊四边形存在性（五大题型）90 专练 通用的解题思路： 题型一：平行四边形的存在性 解题策略： 1.直接计算法根据平行四边形对边平行且相等，按这条线段为边或为对角线两大类，分别计算 （适用于：已知两点的连线就在坐标轴上或平行于坐标轴） 2.构造全等法过顶点作坐标轴的垂线，利用对边所在的两个三角形全等，把平行且相等的对边 转化为水平或者垂直方向的两条对应边相等 （适用于：已知两点的连线，不与坐标轴平行，容易画出草图） 3.平移坐标法 利用平移的意义，根据已知两点间横、纵坐标的距离关系，得待定两点也有同样的数量关系。 （适用于：直接写出答案的题） 题型二：菱形存在性 由于菱形是一组邻边相等的平行四边形，因此解决菱形存在性问题需要综合运用平行四边形和等腰三 角形存在性问题的方法。 题型三：矩形存在性 由于矩形是含 90 度角的平行四边形，因此解决矩形存在性问题需要综合运用平行四边形和直角三角形 存在性问题的方法。 题型四：正方形存在性 由于正方形即是矩形又是菱形，因此解决正方形存在性问题需要灵活选用所有存在性问题的方法。 题型五：梯形存在性 解梯形的存在性问题一般分三步： 第一步分类，第二步画图，第三步计算．一般是已知三角形的三个顶点，在某个图象上求第四个点，使得四个点围成梯形．过三角形的每个顶点画对边的平行线，这 条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点． 因为梯形有一组对边平行，因此根据同位角或内错角，一定可以构造一组相等的角，然后根据相似比列方程，可以使得解题 简便． 题型一：平行四边形的存在性 1．（2024·甘肃武威·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx5a0交x轴于A，C两点， 与y轴交于点B，且5OAOBOC． (1)求此抛物线的表达式； (2)已知抛物线的对称轴上存在一点M ，使得 ABM 的周长最小，请求出点M 的坐标；  (3)连接BC，点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形OBQP为平行四 边形时点P的坐标．2．（2024·江苏宿迁·一模）材料一；《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到 一般，由 简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索题 发展的重要途径，是思想阀门 发现新问题、新结论的重要方法，在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思 想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题． 材料二：分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种解题策略，在数学中的应用相当多，它能使许多看似 非常复杂的问题简单化．因此在用分类讨论解决数学问题时要遵循一定的规则，注意合理的分类，对全体 对象的分类必须做到不重复、不遗漏，每次分类必须保持在同一标准． 请阅读上述材料，完成题目： 2 如图，抛物线y x2bxc与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为1,0，与y轴 3 交于点C0,2，直线CD:yx2与x轴交于点D．动点M 在抛物线上运动，过点M 作MPx轴，垂足 为P，交直线CD于点N ． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在线段OD上时，VCDM 的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理 由； (3)点E是抛物线对称轴与x轴的交点，点F 是x轴上一动点，点M 在运动过程中，若以C、E、F、M 为顶 点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F 的坐标．3．（2024·广东珠海·一模）已知抛物线yax2bx4(a0)与x轴交于点A(1,0)和B(4,0)，与y轴交于点C (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，连接 OQ，当四边形OCPQ恰好是平行四边形时，求点Q的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且DQE2ODQ，在 直线QE上是否存在点F ，使得△BEF与△ADC相似？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2024·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yxb的图象经过点A2,0，且 与二次函数ykx2x1的图象交于点B3,a． (1)求一次函数与二次函数的表达式； (2)设M 是直线AB上一点，过点M 作MN∥y轴，交二次函数ykx2x1的图象于点N ，若以点O、C、 M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标． 5．（2024·陕西渭南·二模）如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，点B的坐标为 3,0,OC 2,AB4，点D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若直线BC与抛物线的对称轴交于点E，点P是抛物线上的动点，点Q是直线BC上的动点，是否存在以 D、E、P、Q为顶点的四边形是以DE为边的平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理 由．1 6．（2024·甘肃武威·一模）如图．抛物线y x2mxn交x轴于点A4,0和点B，交y轴于点C0,2， 2 点Px,y在第二象限的抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P的坐标为2,3时，求  BCP的面积； (3)过点P作PQx轴，交直线AC于点Q，是否存在点P，使得四边形PQOC是平行四边形？如果存在， 求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，抛物线yx2bxc与y轴交于点A，与x轴交于点B 5,0，C 1,0． (1)求该抛物线的表达式； (2)将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线y，Q是新抛物线y与x轴的交点(靠近y轴)， N 是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M ，使得以BQ为边，且以M 、N 、B、Q为顶点 的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点M 的坐标．8．（2024·四川南充·模拟预测）如图1，抛物线yax22axca0与x轴交于A1，0，B两点（点A在 点B的左侧），与y轴交于点C，OC3OA． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，是否存在以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 求点Q的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，若点D是第四象限抛物线上的一个动点，直线AD与直线BC交于点E，连接BD，设 BDE的面  S 积为S ， ABE的面积为S ，求 1 的最大值及此时点D的坐标． 1  2 S 29．（2024·山西大同·二模）综合与探究 如图，抛物线yax2bx2与x轴交于A(2,0)，B(4,0)，与y轴交于点C．作直线BC，P是抛物线上的 一个动点． (1)求抛物线的函数表达式并直接写出直线BC的函数表达式． S 2 (2)当点P在直线BC下方时，连接CP，BP，OP．当 △BCP  时，求点P的坐标． S 5 △OBP (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直 接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）如图，抛物线yx2bxc经过A(1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点 B，点M是抛物线的顶点，直线AM 与y轴交于点D． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四 边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2024·上海虹口·二模）新定义：已知抛物线yax2bxc（其中abc0），我们把抛物线ycx2axb 称为yax2bxc的“轮换抛物线”．例如：抛物线y2x23x1的“轮换抛物线”为yx22x3． 已知抛物线C ：y4mx24m5xm的“轮换抛物线”为C ，抛物线C 、C 与y轴分别交于点E、F ， 1 2 1 2 点E在点F 的上方，抛物线C 的顶点为P． 2 (1)如果点E的坐标为0,1，求抛物线C 的表达式； 2 (2)设抛物线C 的对称轴与直线y3x8相交于点Q，如果四边形PQEF为平行四边形，求点E的坐标； 2  1 (3)已知点M4,n在抛物线C 上，点N 坐标为2,7 ，当△PMN∽△PEF时，求m的值． 2  24 12．（2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线y x2bx4与x轴交于A(3,0)，B两点，与y轴交于 3 点C． (1)求抛物线解析式及B，C两点坐标； (2)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标； (3)该抛物线对称轴上是否存在点E，使得ACE45，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理 由．13．（2023·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc(a0)经过点A(1,0)和 B(0,3)，其顶点的横坐标为1． (1)求抛物线的表达式． (2)若直线xm与x轴交于点N ，在第一象限内与抛物线交于点M ，当m取何值时，使得ANMN 有最大 值，并求出最大值． (3)若点P为抛物线yax2bxc(a0)的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后 抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M ，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q 点坐标；若不能构成，请说明理由．14．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，抛物线yx2bxc经过A(1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点 B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH DH的最小值； (3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四 边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2024·山西晋城·一模）综合与探究 1 4 如图，抛物线y x2  x4与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，P是直线BC 3 3 上方抛物线上一动点． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式． (2)连接PB，PC，求  PBC面积的最大值及此时点P的坐标． (3)在（2）的条件下，若F是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使以B，F，P，Q为顶点的 四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2023·山东聊城·中考真题）如图①，抛物线yax2bx9与x轴交于点A3,0，B6,0，与y轴交 于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点． (1)求抛物线的表达式； (2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标； (3)如图②，当点Pm,0从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作 PE∥BC，交AC于点E，作PDBC，垂足为点D．当m为何值时，VPED面积最大，并求出最大值．1 17．（2024·山西晋城·一模）综合与探究：如图1，已知抛物线y x2x4与x轴相交于A，B两点（点 2 A在点B的左侧），与y轴相交于点C，直线BD与y轴相交于点D，交线段AC于点E，且2BD7DE. (1)求A，B，C三点的坐标； (2)求直线BD的函数表达式； (3)如图2，若抛物线的对称轴l与直线BD交于点P，试探究，在平面内是否存在一点Q，使以点A，C， P，Q为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.18．（2024·山西吕梁·一模）综合与探究 如图1，已知抛物线yx22x3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，点M 是 直线BC上方抛物线上的一动点． (1)求抛物线的顶点D的坐标和直线BC的解析式； MP 1 (2)如图1，连接AM 交BC于点P，若  ，求此时点M 的坐标； AP 2 (3)如图2，直线yxb与抛物线交于A，E两点，过顶点D作DF∥y轴，交直线AE于点F ．若点G是 抛物线上一动点，试探究在直线AE上是否存在一点H，使得以点D，F ，G，H为顶点的四边形是平行 四边形，若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．19．（2024·山东泰安·一模）综合与实践 如图，抛物线y2x24x6与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点D是抛物 线上的一动点． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)如图2，当点D在第四象限时，连接BD，CD和BC，得到△BCD，当△BCD的面积最大时，求点D的 坐标； (3)点E在x轴上运动，以点B，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，请借助图1探究，直接写出点E 的坐标． 20．（2024·江苏宿迁·模拟预测）若直线yx5与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数yax2bxc的图象经过点A，点B，且与x轴交于点C1,0． (1)求二次函数的解析式； (2)若点P为直线AB下方抛物线上一点，过点P作直线AB的垂线，垂足为E，作PF∥y轴交直线AB于点 F，求线段PF最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线y，Q是新抛物线y与x轴的交点（靠近y轴）， N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四 边形，请直接写出符合条件的点M的坐标． 21．（2024·山东聊城·一模）如图，二次函数yax2bxc的图象与x轴交于O（O为坐标原点）、A两点，且二次函数的最小值为2，点M1,m是其对称轴上一点，点B在y轴上，OB1． (1)求二次函数的解析式； (2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连接PA，PB，求 PAB面积的最大值；  (3)在二次函数图象上是否存在点N ，使得以A，B，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直 接写出所有符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 3 22．（2023·山东·中考真题）如图，直线yx4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为x 的抛物线经 2过B，C两点，交x轴负半轴于点A．P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交 抛物线于另一点M ，作x轴的垂线PN ，垂足为N ，直线MN交y轴于点D． (1)求抛物线的解析式； 3 (2)若0m ，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？ 2 3 (3)若m ，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN 2ME？若存在，求出此时m的 2 值；若不存在，请说明理由． 23．（2024·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线yx2bxc与x轴交于点A，B两点，它的对称轴直线x1交抛物线于点M，过点M作MC y轴于点C，连接BC，已知点A 的坐标为1,0． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)动点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m,m1，其中1m1． ①若POAQBO，请求此时点Q的坐标； ②在线段BC上是否存在一点D，使得以C，P，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写 出此时m的值；若不存在，说明理由． 24．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc经过点A1,0、点B0,3，M是抛物线上第一象限内的点，过点M作直线MN x轴于点N. (1)求抛物线的表达式； (2)当直线MN是抛物线的对称轴时，求四边形ABMN 的面积 (3)求ANMN 的最大值，并求此时点M的坐标； (4)在（3）的条件下，若P是抛物线的对称轴上的一动点，Q是抛物线上的一动点，是否存点点P、Q，使 以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求点Q的坐标，若不存在，请说明理由. 3 25．（2024·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x2bxc与x轴交于点A4,0与y 4轴交于点B0,3． (1)求抛物线的函数解析式； 6 (2)点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM  AM 的最大 5 值及此时点P的坐标； 3 (3)在（2）的条件下，点P与点P关于抛物线y x2bxc的对称轴l对称．点C在抛物线上，点D在 4 对称轴l上，直接写出所有使得以点A、P、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标． 26．（2024·甘肃天水·一模）抛物线yax2bx4a经过A1,0、C0,4两点，与x轴交于另一点B．(1)求抛物线、直线BC的函数解析式； (2)在直线BC上方抛物线上是否存在一点P，使得  PBC的面积达到最大，若存在则求这个最大值及P点坐 标，若不存在则说明理由． (3)点E为抛物线上一动点，点F 为x轴上一动点，当以A，C，F ，E为顶点的四边形为平行四边形时， 直接写出点E的坐标．  16 27．（2024·山东济南·模拟预测）已知二次函数的图象过原点，顶点坐标为4, ．  3 (1)求该二次函数的解析式； (2)如图1，在x轴下方作x轴的平行线l，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足 分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求A点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，作直线AC，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同 时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时， P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒(t 0)．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于 点F ，当以A、E、F、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 2 28．（2023·广东广州·中考真题）已知点Pm,n在函数y x0的图象上． x(1)若m2，求n的值； (2)抛物线yxmxn与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为 E． ①m为何值时，点E到达最高处； ②设  GMN 的外接圆圆心为C，  C与y轴的另一个交点为F，当mn0时，是否存在四边形FGEC为平 行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由． 29．（2024·山西阳泉·二模）综合与探究1 如图，抛物线y x2bxc与x轴交于点A1,0和点B，与y轴交于点C0,1，抛物线的对称轴交x轴于 5 点D．过点B作直线l x轴，连接CD，过点D作DECD，交直线l于点E，作直线CE． (1)求抛物线的函数表达式并直接写出直线CE的函数表达式； (2)如图，点P为抛物线上第二象限内的点，设点P的横坐标为m，连接BP与CE交于点Q，当点Q为线段BP 的中点时，求m； (3)若点M 为x轴上一个动点，点N 为抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点D，E， M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 30．（2024·甘肃平凉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B4,0，C0,4，连接BC，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个 动点． 备用图 (1)求该抛物线的函数解析式． (2)在线段BC的下方是否存在点P，使得 BCP的面积最大？若存在，求点P的坐标及面积最大值．  (3)在对称轴上是否存在点N，使得以点B，C，P，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的 坐标；若不存在，请说明理由．2 31．（2024·广东惠州·一模）综合探究：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y x2bxca0与 3 x轴交于A1,0、B3,0两点，与y轴交于点C，连接BC． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点D在第一象限抛物线上一点，连接BC、DC，若DCB2ABC，求点D的坐标； (3)若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得B，C，M ，N 为顶点的四边形是平行 四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．32．（2024·甘肃陇南·一模）如图，抛物线yx2bxc与x 轴交于A，B2,0两点（点A 在点B 的左侧）， 与y轴交于点C0,8． (1)求该抛物线的解析式； (2)若D为抛物线的顶点，求 ACD的面积；  (3)若P是平面直角坐标系内一点，是否存在以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写 出点P的坐标，若不存在，请说明理由．33．（2024·山东淄博·一模）已知抛物线yax²bx3a0与x轴交于点A(1,0)，点B(3,0)，与y轴交于 点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若直线BC下方的抛物线上有一动点M ，过点M 作y轴平行线交BC于N ，过点M 作BC的垂线， 垂足为H，求△HMN周长的最大值； (3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形， 若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； (4)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一 1 1 点F ，使得当经过点F 的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有  为定值？若存在，求 FS2 FT2 出点F 坐标及定值，若不存在，请说明理由．34．（2024·山西朔州·二模）综合与探究 如图，抛物线yax2bx2a0与x轴交于A4,0，B1,0两点，与y轴交于C点．点D与点C关于 x轴对称，直线AD交抛物线于另一点E． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出直线AD的函数表达式． (2)点P是直线AE下方抛物线上的一点，过点P作直线AE的垂线，垂足为F．设点P的横坐标为m，试探 究当m为何值时，线段PF最大？请求出PF的最大值． (3)在（2）的条件下，当PF取最大值时，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点 B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在， 请说明理由．35．（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线 yax²2axc与x轴交于A1,0、B两点，顶点为P，与y 轴交于C点，且 ABC的面积为6．  (1)求抛物线的对称轴和解析式； (2)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于E，顶点Q在原抛物线上，当四边形APQE是平行四边形时， 求平移后抛物线的表达式； (3)若过定点K 2,1的直线交抛物线于M、N两点（N在M点右侧），过N点的直线 y2xb与抛物线交 于点 G， 求证： 直线MG必过定点．36．（2015·山东临沂·一模）如图，抛物线yax2bx2与x轴交于点A1,0和B4,0． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点， FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物 线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标； 若不存在，请说明理由． 37．（2023·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线yax2bx经过 OAB的三个顶点，其中O为坐标原点， 9 点A3,3，点B在第一象限内，对称轴是直线x ，且  OAB的面积为18 4 (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求点B的坐标； (3)设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A的对应 点为A．问是否存在点P，使得以A，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条 1 1 件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 38．（2023·四川南充·中考真题）如图1，抛物线yax2bx3（a0）与x轴交于A1,0，B3,0两点， 与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式； (2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； (3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K1,3的直线（直线KD除外）与抛物线交于 G，H两点，直线DG，DH 分别交x轴于点M，N．试探究EMEN是否为定值，若是，求出该定值；若 不是，说明理由． 39．（2024·四川广元·二模）如图，已知直线BC：yx2交 x轴于点B，交y轴于点C，抛物线yax2 xc 的图象过点 B，C，且与x轴交于另一点A（点 A 在点 B 的左侧）．在直线 BC下方的抛物线上有一点P，过点 P 作PF x轴，垂足为 F，交 BC于点M，连接AC，PC，AP，AP交BC于点E． (1)求抛物线的解析式． S 1 (2)当 △CPE  时，求点 P 的坐标． S 3 △ACE (3)连接BP，AM ，已知点 D 是抛物线对称轴上的一个动点，当 △BPC的面积最大时，在该抛物线上是 否存在动点 Q，使得以点 A，M，Q，D为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，求出点 Q 的坐标；若 不存在，请说明理由． 40．（2024·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc的顶点坐标为F1,4交x 轴于A、C两点，交y轴于点B，抛物线的对称轴交x轴于点E．(1)求抛物线的解析式； (2)已知抛物线上点P2,3，以点P为直角顶点构造Rt△PHK，使点H在x轴上，点K在y轴上，G为HK 的中点，求EG的最小值； (3)M 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A，B，M ，N 为顶点的四边形为 矩形？若存在，求出点N 的横坐标；若不存在，请说明理由． 题型二：菱形存在性 1．（2024·陕西渭南·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx2（a、b为常数，且a0）与x轴交于点A4,0和点B，与y轴交于点C，且OCOB． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接BC，点D是抛物线的对称轴l上的动点，点E是平面内的点，是否存在以点B、C、D、E为顶点的 四边形是菱形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2bx3的图象交x轴于 A1，0、B3，0两点，交y轴于点C，点P在线段OB上，过点P作PDx轴，交抛物线于点D，交直线BC 于点E． (1) a ，b ； (2)在点P运动过程中，若 CDE是直角三角形，求点P的坐标；  (3)在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐 标；若不存在，请说明理由． 3．（2024·青海西宁·一模）如图，抛物线 yx2bxc与y轴交于点A0,2，点B 是抛物线的顶点，直线x2是抛物线的对称轴，且与x轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)点D是对称轴左侧抛物线上一点，连接BD， DBC 45,求点 D 的坐标． (3)在(2)的条件下，若点M是x轴上方抛物线对称轴上一点，点 P 在坐标平面内，且以点A，D，M，P为 顶点的四边形是以AD为边的菱形，请求出所有符合条件的点M的坐标 4．（2023·湖南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2xc经过点A2,0和点B4,0， 且与直线l:yx1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M 为直线l上的一动点，设点M 的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式． (2)过点M 作x轴的垂线，与拋物线交于点N ．若0t4，求 NED面积的最大值．  (3)抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请 求出所有满足条件的点R的坐标． 5．（23-24九年级上·广东中山·期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N 在图形M 的内部，或在图形 M 上，且点N 的横坐标和纵坐标相等时，则称点N 为图形M 的“梦之点”．(1)如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A1,2，B1,1，C3,1，D3,2，在点N 1,1，N 2,2， 1 2 N 3,3中，是矩形ABCD“梦之点”的是______； 3 1 9 (2)如图②，已知点A，B是抛物线y x2x 上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接 2 2 AC，AB，BC，判断 ABC的形状并说明理由．  (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以AB为对角线， 以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 6．（23-24九年级上·重庆南岸·期末）如图，已知抛物线yx2bxc与x轴交于A1,0和B5,0两点， 与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数解析式； (2)若直线xm5m0与抛物线交于点D，与直线BC交于点F，交x轴交于点E．当DF取得最大值时， 求m的值和DF的最大值； (3)若抛物线yx2bxc的顶点为P，Q是该抛物线对称轴上一点，在平面内确定一点R，使得以点C， R，P，Q为顶点的四边形是菱形，求点R的坐标． 7．（2023·四川广安·一模）如图，抛物线yax2bxca0与x轴交于A4,0，B2,0两点，与y轴交 于点C0,4．(1)求抛物线的函数解析式； (2)P是抛物线上位于直线AC上方一动点，且在抛物线的对称轴右侧，过点P作y轴的平行线交直线AC于 点E，过点P作x轴的平行线与抛物线的对称轴交于点F，求PEPF的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中PEPF取得最大值的条件下，将该抛物线沿x轴向右平移6个单位长度，平移后的抛物线与 平移前的抛物线交于点H，M为平移前抛物线对称轴上一点．在平面直角坐标系中确定一点N，使得以点 H，P，M，N为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点N的坐标． 4 8．（2023·山东济宁·二模）如图，已知直线y x4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线yax2bx4 3 经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x1．(1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的 坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的 菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2024·山东济南·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2bx4交x轴于点A1，0， B4,0两点， 交y轴于点C．(1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点 P 作． PEBC于点E，过点P作y轴的平行线交直线BC 于点 F ，求 PEF 周长的最大值及此时点P的坐标；  (3)如图2，在（2） 问的条件下，将该抛物线沿射线CB的方向平移 2 2个单位后得到新抛物线y．点M 为平移后的新抛物线y的对称轴上一点． 在平面内确定一点N ． 使得四边形 AMPN 是菱形，请求出符 合条件的点 N 的坐标． 1 10．（2024·湖南·一模）如图，O为坐标原点，抛物线C :y x2ax与x轴交于M(4,0)，顶点为A． 1 4(1)如图1，求直线AM 的函数解析式； (2)如图1，将直线AM 绕点M顺时针旋转45得到直线MN并交抛物线C 于点N，若Q为x轴上一点，求 1 5NQ 5MQ的最小值； (3)如图2，将抛物线C 平移得到C ，顶点由A平移到B(4,b)，若点B在直线AM 上，点D和E分别在抛物 1 2 线C 和C 上，那么四边形ADEB是否可以为菱形？若可以，求出D点坐标，若不可以，说明理由． 1 2 11．（2023·四川德阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y2x6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y= - 2x2+ bx+ c过A，C两点，与x轴交于另一点B． (1)求抛物线的解析式； 1 (2)在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF  BF 时，求E点坐 2 标． (3)在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面上一点，当以M， N，E，B为顶点的四边形是菱形时，直接写出点M的坐标．12．（2024·四川泸州·一模）如图，抛物线yax2bx6a0与x轴交于A1,0，B3,0两点，顶点为 D． (1)求抛物线的解析式； (2)若在线段BC上存在一点M ，使得BMO45，过点O作OH OM 交BC的延长线于点H，求点M 的 坐标； (3)点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的 四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标，请说明理由．13．（2024·四川成都·模拟预测）如图，抛物线yax22ax3与y轴交于点C，与x轴交于点A(1,0)和点B （点A在点B的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)无论a取何值，抛物线yax22ax3一定经过两个定点M，N（点M在点N的左侧），点H是线段BC 上一点，连接MH，NH，MN ，当△MNH为直角三角形时，求点H的坐标； (3)在（2）的条件下，点P是线段AC上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q（x 0），使得以 Q P，Q，M，H 为顶点且以MH为边的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理 由．14．（2024·山东枣庄·一模）如图，二次函数yx2bxc的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的 坐标为1,0，对称轴是直线x=1，点P是x轴上一动点，PM x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点 N． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标． (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在， 请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2024·甘肃天水·二模）如图，二次函数yx2bxc的图象交x轴于点A,B，交y轴于点C，点B的坐 标为1,0，对称轴是直线x=1，点P是x轴上一动点，PM x轴，交直线AC于点M ，交抛物线于点 N ． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M,N,C,Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直 接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc与x轴交于A3,0，B1,0两点， 与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图甲，在y轴上找一点D，使 ACD为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；  (3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？ 若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．17．（2023·四川广安·中考真题）如图，二次函数yx2bxc的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B 的坐标为1,0，对称轴是直线x=1，点P是x轴上一动点，PM x轴，交直线AC于点M ，交抛物线于 点N ． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标． (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M 、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在， 请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2bxc的图像与x轴交 于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为3,0，与y轴交于C0,3点，点P是直线BC下方的抛 物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式． (2)连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使四边形POPC为菱 形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面 积．19．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，抛物线y 3x2bxc交x轴于点A1,0和B，交y轴于点   C 0,3 3 ，顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)若点E在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形ODEB的面积为7 3，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，若点F 是对称轴上一点，点H是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在 点G，使以E，F ，G，H为顶点的四边形是菱形，且EFG60，如果存在，请直接写出点G的坐标； 如果不存在，请说明理由．20．（2024·山东淄博·一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A1,0，B3,0，与 y轴交于点C0,3，点D为抛物线的顶点． (1)求该抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)如图2，已知经过点A的直线ykxbk 0与抛物线在第一象限交于点E，与y轴交于点F，连接 4 AD，DE，BE．当S  S 时，求点E的坐标； △ADE 3 △ABE 6 (3)如图3，在（2）的条件下，将直线AE与y轴的交点F向下平移  3个单位长度得到点P． 5 ①连接PB，求BPO的度数； ②将△BOP绕点O逆时针旋转一定的角度0360得到△BOP，直线BP与x轴交于点M．设点 N为平面直角坐标系内的任意一点，问在旋转过程中是否存在某个位置，使得四边形OPMN为菱形？若存 在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．题型三：矩形存在性 1．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc与x轴的交点分别为A和 B1,0（点A在点B的左侧），与y轴交于点C0,3，点P是直线AC上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点P作x轴平行线交AC于点E，过点P作y轴平行线交x轴于点D，求PEPD的最大值及 点P的坐标； (3)如图2，设点M 为抛物线对称轴上一动点，当点P，点M 运动时，在坐标轴上确定点N ，使四边形PMCN 为矩形，求出所有符合条件的点N 的坐标．2．（22-23九年级上·重庆开州·期末）如图1，抛物线yax2bx3a0与x轴交于A1,0，B3,0， 与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P、Q为直线BC下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作PM∥ y 轴，交BC于点M，过点Q作QN∥y轴交BC于点N，求PM QN 的最大值及此时点Q的坐标； (3)如图3，将抛物线yax2bx3a0先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛 物线y，在y的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形， 且BC为矩形一边，求出此时所有满足条件的点E的坐标．3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD4m，宽AB1m的长方形水池ABCD进 行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM 仍为长方形，以下简称水池1)．同时，再建造一个周长为12m 的矩形水池EFGH （如图②，以下简称水池2)． 【建立模型】 如果设水池ABCD的边AD加长长度DM 为x(m)(x0)，加长后水池1的总面积为y(m2)，则y 关于x的函 1 1 数解析式为：y x4(x0)；设水池2的边EF 的长为x(m)(0x6)，面积为y (m2)，则y 关于x的函数解 1 2 2 析式为：y x26x(0x6)，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③． 2 【问题解决】 （1）求水池2面积的最大值； （2）当水池1的面积大于水池2的面积时，求x(m)的取值范围； 【数学抽象】 （3）在图③的图象中，点P是抛物线上一点，点M 是抛物线对称轴上一点（点M 不与顶点D重合），点N 2 在坐标平面内，当四边形CMPN是矩形且CM  MP，请求出点P的横坐标． 34．（23-24九年级下·湖北咸宁·阶段练习）已知：如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交 于点C，OAOC 3，顶点为D． (1)求此抛物线的解析式： (2)在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N ，使四边形ABCN 的面积最大？最大面积是多少？ (3)点E在y轴上的一个动点，点F 是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点E和点F ，使点 A，D，E，F构成矩形，若存在，求出点E，F的坐标，若不存在，请说明理由．5．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C :yx2上有两点A、B，其中点A的 1 横坐标为2，点B的横坐标为1，抛物线C : yx2bxc过点A、B．过A作AC∥x轴交抛物线C 另 2 1 1 一点为点C．以AC、 AC长为边向上构造矩形ACDE． 2 (1)求抛物线C 的解析式； 2 (2)将矩形ACDE向左平移m个单位，向下平移n个单位得到矩形ACDE，点C的对应点C落在抛物线C 1 上． ①求n关于m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围； ②直线AE交抛物线C 于点P，交抛物线C 于点Q．当点E为线段PQ的中点时，求m的值； 1 2 2 10 ③抛物线C 与边ED、AC分别相交于点M 、N ，点M 、N 在抛物线C 的对称轴同侧，当MN  2 2 3 时，求点C的坐标．如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，其中点的横坐标为，点的横坐标为， 抛物线过点．过作轴交抛物线另一点为点．以长为边向上构造矩形．6．（2024·吉林四平·模拟预测）如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A1,0、B5,0两点，与y轴交于 点C．点P是抛物线上的任意一点（点P不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的 部分（包含端点）记为图像G． (1)求出抛物线的解析式； (2)当m0时，图像G的最大值与最小值的差为d，求出d与m的函数关系式，并写出m的取值范围； (3)过点P作PQ y轴于点Q，点E为y轴上的一点，纵坐标为2m，以EQ、PQ为邻边构造矩形PQEF， 当抛物线在矩形PQEF内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．7．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线yax2bx4与x轴交于点A4,0，B2,0，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是m4m2，过点D作直线DEx轴，垂足 为点E，交直线AC于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段DF的长； (3)若点P是抛物线上的一个动点（点P不与顶点重合），点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平 面内，当四边形CMPN是矩形邻边之比为1:2时，请直接写出点P的横坐标．8．（20-21九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图1，抛物线yax2bx3a0 与x轴交于A3,0和B1,0两 点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，过点P作PD∥y轴交AC于点D，过点P作PE AC于点 E，过点E作EF  y轴于点F，求出PDEF的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y，y与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线 对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存 在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2024·山西吕梁·一模）综合与探究 1 如图，抛物线y x2x4与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物 2 线的对称轴与x轴于点D，过点D作DE∥BC交y轴于点E． (1)求点A,B,C的坐标； (2)点P为抛物线上第四象限的一个动点，过点P作PF x轴于点F ，当PF  AF时，求PE的长； (3)在（2）的条件下，若点Q是x轴上一点，则平面内是否存在一点G，使以P,E,Q,G为顶点的四边形是 矩形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2024·山西晋城·二模）综合与探究 1 3 如图，抛物线y x2 x2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC． 2 2 (1)求A，B，C三点的坐标并直接写出直线BC的函数表达式； (2)点D是第四象限内抛物线上一点，过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，当CE平分BCD时，求点D 坐标． (3)若点P是抛物线对称轴上的一点，点Q为平面内一点，当以点B，C，P，Q为顶点的四边形为矩形时， 请直接写出点P的坐标．题型四：正方形存在性 1 1 1．（2024·陕西·一模）如图，抛物线y x2 x3的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B． 4 2 (1)求点A、B的坐标； (2)C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面 内，请问是否存在这样的点C，使得四边形ACMD是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请 说明理由． 2．（2024·河南洛阳·一模）如图，抛物线yax2bx(a0)过点A(4,0)，点B是抛物线上一个动点，过点B 1 作矩形BCDE，使边CD在x轴上（点C在点D的左侧），点E在抛物线上，设点B的横坐标是m，当m 2 7 时，BC  ． 4 (1)求抛物线的解析式； (2)当m为何值时，四边形BCDE是正方形？3．（2024·山西太原·一模）综合与探究 1 如图1，已知抛物线y x23x与x轴负半轴交于点A，点B在y轴正半轴上，连接AB交抛物线于点C， 2 点C的横坐标为1． (1)求点A，C的坐标，并直接写出线段AB所在直线的函数表达式； (2)如图2，过点C作CDx轴于点D，点P为线段AC上方抛物线上的一个动点，连接OP交CD于点E， 过点P作PGx轴于点G，交线段AC于点F ，设点P的横坐标为m． ①求线段DE的长（用含m的代数式表示）； ②已知点M 是x轴上一点，N 是坐标平面内一点，当以点E,F,M,N为顶点的四边形是正方形时，直接写 出点N 的坐标．4．（2024·陕西榆林·二模）如图，已知抛物线yax2bx2 a0与y轴交于点C，与x轴交于A1,0， B2,0两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点D是第二象限抛物线上的动点，DE  x轴，交直线BC于点E，点G在x轴上，点F 在坐标平面内， 是否存在点D，使以D，E，F ，G为顶点的四边形是正方形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说 明理由．题型五：梯形存在性 1．（2022·上海杨浦·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bxc过点A1,0、B3,0、 C2,3三点，且与y轴交于点D． (1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴： (2)分别联结AD、DC、CB，直线y4xm与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD的面积平分时， 求m的值； (3)设点F 为该抛物线对称轴上的一点，当以点A、B、C、F 为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有 满足条件的点F 的坐标．3 3 2．（22-23九年级上·甘肃庆阳·期中）如图，已知抛物线y x2 x3与x轴的交点为点A、D(点A在点D 8 4 的右侧)，与y轴的交点为点C． (1)直接写出A、D、C三点的坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点M ，使得MDMC的值最小，并求出点M 的坐标； (3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为点B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点 的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2022·上海青浦·一模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线yx22x，其顶点为A． (1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标； (2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”． ①试求抛物线yx22x的“不动点”的坐标；②向左或向右平移抛物线yx22x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交 于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式． 4．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）如图，抛物线yx2bxc过点A(1,0)和点B(3,0)，与y轴交于 点C，抛物线的对称轴l交x轴于点E，交抛物线于点M ． (1)求抛物线的表达式及C点的坐标； (2)点D是直线l上的点，若△ACE的面积与 CDE的面积相等，求点D的坐标；  (3)点P在第四象限，且为抛物线上的点，若四边形ACMP是梯形，求点P的坐标． 5．（2024·广东肇庆·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bx6与直线y=x1交于A， B两点（点A在x轴上），与y轴交于点C，且ABC 90．(1)求抛物线的解析式； (2)若D为直线BC下方抛物线上的一个动点，过点D作DF∥AC交AB于点E，交y轴于点F ． ①求线段DE的最大值； ②是否存在点D，使得四边形ACDF为等腰梯形？若存在，请求出点D的横坐标；若不存在，请说明理 由．