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专题 11 解答题第 24 题（二次函数综合题）（16 区）
1．（2023·上海黄浦·统考二模）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x轴、y轴分别交于点
A、B，抛物线 经过点A、B．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是 的外接圆的圆心，求点P坐标；
(3)点D坐标是 ，点M、N在抛物线上，且四边形 是平行四边形，求线段 的长．2．（2023·上海宝山·统考二模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过点 、
，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
(1)求二次函数的解析式和顶点D的坐标；
(2)连接 ，试判断 与 是否相似，并说明理由；
(3)将抛物线平移，使新抛物线的顶点E落在线段 上，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点F，连接 ，
如果四边形 的面积为3，求新抛物线的解析式．3．（2023·上海崇明·统考二模）如图，在直角坐标平面 中，直线 分别与x轴、y轴交于A、B
两点，抛物线 经过A、B两点，点D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)抛物线与x轴的另一个交点为C，点 在抛物线对称轴左侧的图象上，将抛物线向上平移m个
单位（ ），使点M落在 内，求m的取值范围；
(3)对称轴与直线 交于点E，P是线段AB上的一个动点（P不与E重合），过P作y轴的平行线交原抛
物线于点Q，当 时，求点Q的坐标．4．（2023·上海静安·统考二模）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴分别
交于点 、点 ，与 轴交于点 ，连接 ，点 在线段 上，设点 的横坐标为 ．
(1)求直线 的表达式；
(2)如果以 为顶点的新抛物线经过原点，且与 轴的另一个交点为 ：
①求新抛物线的表达式（用含 的式子表示），并写出 的取值范围；
②过点 向 轴作垂线，交原抛物线于点 ，当四边形 是一个轴对称图形时，求新抛物线的表达式．5．（2023·上海闵行·统考二模）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 、 ，
与x轴的负半轴交于点C．
(1)求该抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)设点D在该抛物线上（位于对称轴右侧部分），连接 ．
①如果 与线段 交于点E，且 ，求 的正切值；
②如果 与y轴交于点F，以 为半径的 ，与以 为半径的 外切，求点D的坐标．
6．（2023·上海杨浦·二模）已知抛物线 ： 与x轴相交于点 和点B，与y轴交于点．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)把抛物线 沿射线 方向平移得到抛物线 ，此时点A、C分别平移到点D、E处，且都在直线 上，
设点F在抛物线 上，如果 是以 为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；
(3)在第（2）小题的条件下，设点M为线段 上的一点， ，交直线 于点N，求 的
值．
7．（2023·上海浦东新·统考二模）如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，且与x轴的另一个交点为B，抛物线的顶点为P．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如果抛物线的对称轴与直线 交于点D，求 的值；
(3)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于点E，顶点Q在原抛物线上．当四边形 是平行四边形
时，求平移后抛物线的表达式．
8．（2023·上海松江·统考二模）在平面直角坐标系 中（如图），已知直线 与 轴交于点 ，抛物线 的顶点为 ．
(1)若抛物线经过点 ，求抛物线解析式；
(2)将线段 绕点 顺时针旋转 ，点 落在点 处，如果点 在抛物线上，求点 的坐标；
(3)设抛物线的对称轴与直线 交于点 ，且点 位于 轴上方，如果 ，求 的值．
9．（2023·上海金山·统考二模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过点 和点，直线 与 轴交于点 ，与抛物线的对称轴直线 交于点 ．
(1)求抛物线的表达式及对称轴；
(2)如果该抛物线平移后经过点 ，其顶点 在原抛物线上，且点 在直线 的右侧，求点 的坐标；
(3)点 在直线 上，若 ，求点 的坐标．
10．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，在直角坐标平面 中，点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上， ，抛物线 经过A、B、C三点．
(1)求点A、B的坐标；
(2)联结 、 、 ，当 时，
①求抛物线表达式：
②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得 ?如果存在，求出所有符合条件的点P坐标；如果
不存在，请说明理由．
11．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，已知抛物线 经过点 ，与x轴交于点B、．
(1)求抛物线的顶点M的坐标；
(2)点E在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将 沿直线BE翻折，如果点C的对应点F恰好落
在抛物线的对称轴上，求点E的坐标；
(3)点P在抛物线的对称轴上，点Q是抛物线上位于第四象限内的点，当 为等边三角形时，求直线
的表达式．
12.（2023上海青浦二模）（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图8，已知抛物线 经过点B(6，0)和C(0，3)，与x轴的另一个交点为点A．
（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）将该抛物线向右平移m个单位（m>0），点C移到点D，点A移到点E，若∠DEC
=90∘
，求m
的值；
（3）在（2）的条件下，设新抛物线的顶点为G，新抛物线在对称轴右侧的部分与x轴交于点F, 求点
C到直线GF的距离．
y
C
A O B x
图8
13.（2023上海奉贤二模）（本题满分12分，每小题满分4分）
xOy y=−x2 +bx+3
如图9，在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交
于点C．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；
（2）联结AC、BC，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果△ABD的面积与△ABC的面积
相等，求点D的坐标；
（3）设点P（m，4）（m >0），点E在抛物线的
对称轴上（点E在顶点上方），当∠APE=90°，
EP 5
=
AP 4
且 时，求点E的坐标．
14.（2023上海虹口二模）（本题满分12分，第（1）小题8分，第（2）小题4分）
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 的顶点为A，与y轴相交于点B，
异于顶点A的点C（2，n）在该抛物线上．（1）如图10，点B的坐标为（0，1）．
①求点A的坐标和n的值；
②将抛物线向上平移后的新抛物线与x轴的一个交点为D，顶点A移至点A ，如果四边形DCAA 为平
1 1
行四边形，求平移后新抛物线的表达式；
（2）直线AC与y轴相交于点E，如果BC∥AO且点B在线段OE上，求m的值．
y y
B
O x O x
C
A
图10 备用图
15.（2023上海普陀二模）. (本题满分12分，第(1)小题满分4分，第(2) ①小题满分4分，第(2)②小题满
分4分)
在平面直角坐标系xOy中(如图10)，已知抛物线y=ax2 - 2x+c(a≠0)与x轴交于
点A(-1,0)和B(3,0)，与y轴交于点C。抛物线的顶点为点D.
(1)求抛物线的表达式，并写出点D的坐标;(2)将直线BC绕点B顺时针旋转，交y轴于点E。此时旋转角∠EBC等于LABD .
①求点E的坐标;
②二次函数y=x2 + 2bx+b2-1的图像始终有一. 部分落在△ECB的内部，求实数b的取
值范围.
16.（2023上海长宁二模）24．（本题满分12分，第（1）小题4分；第（2）小题6分；第（3）小题2
分）
已知抛物线 y=ax2 +2x+6 与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点 O 右侧），
与y轴交于点 C ，且 OB=OC .
（1）求抛物线的表达式.（2）如图1，点D是抛物线上一点，直线 BD 恰好平分 ΔABC 的面积，求点D的坐标；
（3）如图2，点E坐标为 (0,−2) ，在抛物线上存在点P，满足∠OBP=2∠OBE ，请直接写出直线
BP
的表达式.
（ 图 1 ） （图2
