专题17圆-备战2023年中考数学一轮复习考点帮（上海专用）（原卷版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_九年级_下学期_4：模拟卷多

上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 专题 17 圆 圆的有关基础概念及位置关系是选填题的热门，大题出现的几率依然很大，特别是压轴题 ；圆周角 定理、切线长的性质等已经不在教材范围之内，而是增加两个特色性质：相交圆连心线的性质；相切圆的 连心线的性质。 一 、圆的有关概念 垂径定理 一、与圆有关的概念 圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这 个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以0点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． 确定圆的条件： ⑴ 圆心； ⑵ 半径， 第 1 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ⑶ 其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 补充知识： 1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆． 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦． 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以 为端点的弧记作 ，读作弧AB．在同圆或等 圆中，能够重合的弧叫做等弧． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧． 弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角． 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三 角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 点与圆的位置有三种： 位置关系 图形 定义 性质及判定 r P 点在圆外 点在圆的外部 点 在 的外部. O 点在圆上 r P 点在圆周上 点 在 的圆周上. O r P 点在圆内 点在圆的内部 点 在 的内部. O 三点定圆的方法： 1）经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆 有无数个． 2）经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A、B 的圆，这样的圆也有无数个． 3）经过三点时： 情况一：过三点的圆：若这三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在； 情况二：若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的， 这样的圆有唯一一个． 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 二、垂径定理 对称性 1. 圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线 2. 圆是中心对称图形。 第 2 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 常见辅助线做法（考点）： 1） 过圆心，作垂线，连半径，造 ，用勾股，求长度； 2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 一、单选题 1．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆 中最长的弦．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知OA=4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ） A．9cm B．6cm C．3cm D． 41cm 4．下列说法正确的是（ ） A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心 5．如图，在  O中，ODAB于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（ ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 6．已知⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB于点M，若OM：OA=3：5，则弦AC的长度（ ）． A．2 5 B．4 5 C．3 D．2 5或4 5 7．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以点B为圆心，3为半径作⊙B，则点C与⊙B 的位置关系是（ ） 第 3 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A．点C在⊙B内 B．点C在⊙B上 C．点C在⊙B外 D．无法确定 8．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（ ） A． 2 B．3 C．2 2 D．3 2 二、填空题 9．平面直角坐标系内的三个点A（1，－3）、B（0，－3）、C（2，－3），___ 确定一个圆．（填“能”或“不 能”） 10．下列说法正确的是_______（填序号）． ①半径不等的圆叫做同心圆； ②优弧一定大于劣弧； ③不同的圆中不可能有相等的弦； ④直径是同一个圆中最长的弦． 11．A ，B是半径为3的  O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是________． 12．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心 坐标为________． 13．如图，PAC 30，在射线AC上顺次截取AD3cm，DB10cm，以DB为直径作  O交射线AP于 E、F 两点，则线段EF 的长是__________cm． 14．如图，在矩形ABCD中，AB2,AD1，以顶点D为圆心作半径为r的圆．若要求另外三个顶点A,B,C 第 4 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是_______． 15．如图，半圆O的半径为2，E是半圆上的一点，将E点对折到直径AB上(EE′⊥AB)，当被折的圆弧与 直径AB至少有一个交点时，则折痕CD的长度取值范围是_________________． 三、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量分别相等 一、单选题 1．下列说法中，正确的是（ ） A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等 2．如图，在一个圆内有AB、CD、EF，若AB+CD=EF，则AB+CD与EF的大小关系是（ ） A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD≤EF D．AB+CD＞EF 3．在  O中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若ABCD，则ABCD；②若ABCD，则AB2CD； ③若AB2CD，则弧AB=2弧CD；④若AOB2COD，则AB2CD.其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第 5 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 4．如图，扇形OAB的圆心角为90°，点C、D是AB的三等分点，半径OC、OD分别与弦AB交于点E、 F，下列说法错误的是( ) A．AE＝EF＝FB B．AC＝CD＝DB C．EC＝FD D．∠DFB＝75° 5．如图，C、D为半圆上三等分点，则下列说法：①AD=CD=BC；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD＝ CD＝OC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合．正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且点C为弧BAD的中点，连接CD、CB、OD，CD 与AB交于点F．若∠AOD＝100°，则∠ABC的度数为（ ） A．15° B．20° C．25° D．30° 二、填空题 7．120°的圆心角是360°的_______分之一，它所对的弧是相应圆周长的________分之一． 8．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若AD 的度数为35°，则BE 的度数是_____． 9．已知，如图以AB为直径的⊙O，BC⊥AB，AC交⊙O于点D，点E在⊙O上，若∠DEB=25°，则 第 6 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∠C=_______． 10．如图，在平行四边形ABCO中，∠C＝60°，点A，B在⊙O上，点D在优弧ADB上，DA＝DB，则∠AOD 的度数为_______． 三、解答题 11．已知：如图，在⊙O中，弦AB与半径OE、OF交于点C、D，AC＝BD，求证： （1）OC＝OD： （2） AE  BF ． 12．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在弧MB，弧MD上，且AB＝CD，点M是弧AC的中 点． （1）求证：MB＝MD； （2）过O作OE⊥MB于E，OE＝1，⊙O的半径是2，求MD的长． 13．如图，过  O的直径AB上两点M,N，分别作弦CD,EF，CD//EF,AC BF ． 第 7 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 求证：（1）BC  AF； （2）AM BN． 14．已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为弧BC的中点． （1）如图①，连接AC，AD，OD，求证：OD∥AC； （2）如图②，过点D作DE⊥AB交⊙O于点E，直径EF交AC于点G，若G为AC的中点，⊙O的半径为 2，求AC的长． 15．已知  O的直径AB4，弦AC与弦BD交于点E．且OD AC，垂足为点F． （1）如图1，如果AC BD，求弦AC的长； （2）如图2，如果E为弦BD的中点，求EF:DF ． 四、直线与圆、圆与圆的位置关系 1、直线和圆的位置关系 位置关系：设 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，则直线和圆的位置关系如下表： 第 8 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 位置 图形 定义 性质及判定 关系 相离 r O 直线与圆没有公共点 直线 与 相离 d l r 直线与圆有唯一公共点，直线叫 相切 O 直线 与 相切 d l 做圆的切线，公共点叫做切点 r 直线与圆有两个公共点，直线叫 相交 O 直线 与 相交 d 做圆的割线 l 切线的性质及判定 切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 切线的判定 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2、圆和圆的位置关系 圆和圆的位置关系的定义、性质及判定：设 的半径分别为 （其中 ），两圆圆心距为 ，则两圆位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 两个圆没有公共点，并且每个 r R 两 圆 外 外离 圆上的点都在另一个圆的外 O1 O2 部． 离 两个圆有唯一公共点，并且除 r R 两 圆 外 外切 了这个公共点之外，每个圆上 O1 O2 切 的点都在另一个圆的外部． 相交 两个圆有两个公共点． O1 R O2 两圆相交 两个圆有唯一公共点，并且除 r 内切 O 1O 2 了这个公共点之外，一个圆上 两圆内切 R 的点都在另一个圆的内部． 两个圆没有公共点，并且一个 R 圆上的点都在另一个圆的内 两圆 内含 r O1 O2 部，两圆同心是两圆内含的一 内含 种特例． 【说明】圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外 离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况． 第 9 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 定理1：相交圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 定理2：相切圆的连心线经过切点。 一、单选题 1．（2023春·上海·九年级专题练习）已知圆O 、圆O 的半径不相等，圆O 的半径长为5，若圆O 上的点A 1 2 1 2 满足AO 5，则圆O 与圆O 的位置关系是（ ） 1 1 2 A．相交或相切 B．相切或相离 C．相交或内含 D．相切或内含 2．（2022春·上海青浦·九年级校考期中）如果两圆的半径长分别为6与2，圆心距为4，那么这两个圆的位 置关系是（ ） A．内含 B．内切 C．外切 D．相交 3．（2023春·上海·九年级专题练习）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为6cm，线段 OA10cm，线段OB=6cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 4．（2023春·上海·九年级专题练习）在直角坐标系中，点P的坐标是(2， 3)，圆P的半径为2，下列说法 正确的是（ ） A．圆P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点 B．圆P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点 C．圆P与x轴、y轴都有两个公共点 D．圆P与x轴、y轴都没有公共点 5．（2022春·上海闵行·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，C 90，AC 4，BC 7，点D在边BC 上，CD3，  A的半径长为3，  D与  A相交，且点B在  D外，那么  D的半径长r的取值范围是 （ ） A．1r4 B．2r4 C．1r8 D．2r8 6．（2022·上海·九年级专题练习）在四边形ABCD中，AD∥BC，ABC 90，AB4，BC 4， AD1（如图）．点O是边CD上一点，如果以O为圆心，OD为半径的圆与边BC有交点，那么OD的取值 范围是（ ） 第 10 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 20 5 A．2OD5 B． OD 9 2 20 85 20 95 C． OD D． OD 9 26 9 26 二、填空题 7．（2023秋·上海·九年级校考期末）已知  O 1 与  O 2 两圆外切，O 1 O 2 5，  O 1 的半径为3，那么  O 2 的半 径r为______． 8．（2023春·上海·九年级专题练习）在Rt ABC中，ABC 90，AB6，BC8，分别以点A、C为圆心  画圆，如果点B在  A上，  C与  A相交，且点A在  C外，那么  C的半径长r的取值范围是 ________． 9．（2023春·上海·九年级专题练习）已知l ∥l ，l 、l 之间的距离是5cm，圆心O到直线l 的距离是2cm， 1 2 1 2 1 如果圆O与直线l 、l 有三个公共点，那么圆O的半径为______cm． 1 2 10．（2022春·上海·九年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，C 90，BC 9，AC 12，点O在 边AB上，且BO2OA，以点O为圆心，r为半径作圆，如果  O与Rt△ABC的边共有4个公共点，那么 半径r取值范围是______. 11．（2023春·上海·九年级专题练习）如图，直线AB，CD相交于点O，AOC 30，圆P的半径为1cm， 动点P在直线AB上从点O左侧且距离O点6cm处，以1cm/s的速度向右运动，当圆P与直线CD相切时， 圆心P的运动时间为 _____s． 第 11 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 12．（2021·上海闵行·九年级期末）如图，在Rt  ABC中，ACB90，AB5，BC 3，点P在边AC上，  P的半径为1，如果  P与边BC和边AB都没有公共点，那么线段PC长的取值范围是___________． 13．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,A90，E是AD上一定点， AB3,BC 6,AD8,AE2．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆 心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 __． 三、解答题 14．（2023春·上海·九年级专题练习）已知：如图，⊙O 与⊙O 外切于点T，经过点T的直线与⊙O 、⊙O 1 2 1 2 分别相交于点A和点B． (1)求证：O A∥O B； 1 2 (2)若O A＝2，O B＝3，AB＝7，求AT的长． 1 2 15．（2022春·上海·九年级校考期中）已知：如图，⊙O 与⊙O 相交于点A和点B，AC∥O O ，交⊙O 于点 1 2 1 2 1 C，⊙O 的半径为5，⊙O 的半径为 13，AB=6． 1 2 第 12 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 求： (1)弦AC的长度； (2)四边形ACO O 的面积． 1 2 16．（2022春·九年级单元测试）如图，半径为1的⊙O与过点O的⊙P相交，点A是⊙O与⊙P的一个公 共点，点B是直线AP与⊙O的不同于点A的另一交点，联结OA，OB，OP． (1)当点B在线段AP上时， ①求证：∠AOB＝∠APO； ②如果点B是线段AP的中点，求△AOP的面积； (2)设点C是⊙P与⊙O的不同于点A的另一公共点，联结PC，BC．如果∠PCB＝α，∠APO＝β，请用含α 的代数式表示β． 五、正多边形和圆 正多边形和圆 正多边形 正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形． 正多边形的相关概念：  正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．  正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．  正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．  正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 半径、边心距，边长之间的关系： 第 13 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 画圆内接正多边形方法： 1） 量角器 （作法操作复杂，但作图较准确） 2） 量角器+圆规 （作法操作简单，但作图受取值影响误差较大） 3） 圆规+直尺 （适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..） 一、填空题 1．（2023春·上海·九年级专题练习）半径为3的圆的内接正六边形的面积为______． 2．（2023春·上海·九年级专题练习）如图，如果AB、AC分别是圆O的内接正三角形和内接正方形的一条 边，BC一定是圆O的内接正n边形的一条边，那么n=_______． 3．（2021·上海·统考二模）如图，⊙O的半径为6，如果弦AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O内接 正十二边形的一边，那么弦BC的长为_____． 4．（2021·上海·九年级专题练习）如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN 上．若AB＝4，则CN＝_____． 第 14 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 5．（2022·上海闵行·统考二模）如图，已知点G是正六边形ABCDEF对角线FB上的一点，满足 BG3FG，联结FC，如果  EFG的面积为1，那么  FBC的面积等于_______. 6．（2021·上海·九年级专题练习）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这 个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图， O是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径OA的长为1，如果用它的面积来近似估计 O的面积，   那么 O的面积约是___．  7．（2023春·上海·九年级专题练习）如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的 “联络四边形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为2 5的菱形，那么这个菱形不在圆 上的顶点与圆心的距离是________． 8．（2021·上海·九年级专题练习）如图，下列正多边形都满足BA =CB ，在正三角形中，我们可推得： 1 1 ∠AOB =60°；在正方形中，可推得：∠AOB =90°；在正五边形中，可推得：∠AOB =108°，依此类推在正八 1 1 1 边形中，AOB =____°，在正n(n≥3)边形中，∠AOB =____°． 1 1 二、解答题（圆内接四边形练） 9．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）如图，  ABC与  O交于D，E两点，AB是直径且长为12， OD∥BC． 第 15 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (1)证明：CDDE； (2)若AD4，求CE的长度． 10．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）已知，如图，AB是  O的直径，弦CD AB于点E，G是AC上 一点，AG与DC的延长线交于点F，设半径为R． (1)若CD8，BE2，求： ①OE______（用R的代数式表示）； ② O的半径长． (2)求证：FGC AGD． 一、解答题 1．（2021·上海杨浦·统考二模）已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合）， 过点A作AD//OC交半圆于点D，E是直径AB上一点，且AE＝AD，联结CE、CD． （1）求证：CE＝CD； （2）如果AD3CD，延长EC与弦AD的延长线交于点F，联结OD，求证：四边形OCFD是菱形． 2．（2020·上海松江·统考二模）如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在 弦AB、AC上，满足AM＝CN． （1）求证：AB＝AC； 第 16 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) MN OM （2）联结OM、ON、MN，求证：  ． AB OA 3．（2023春·上海·九年级专题练习）已知：如图，⊙O与⊙P相切于点A，如果过点A的直线BC交⊙O于 点B，交⊙P点C，OD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E． DE （1）求 的值： BC AB （2）如果⊙O和⊙P的半径比为3:5，求 的值． AC 4．（2023秋·上海·九年级校考期末）已知：如图，AB是  O的直径，C是  O上一点，CD AB，垂足为 点D，F 是AC的中点，OF 与AC相交于点E，AC 12，EF 3． (1)求AO的长； (2)求cosC的值． 5．（2023春·上海·九年级专题练习）已知CD为  O的直径，A、B为  O上两点，点C为劣弧AB中点，连 接DA、BA、AC，且B30． 第 17 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (1)求证：D30； (2)F、G分别为线段CD、AC上两点，满足DF  AG，连接AF、OG，取OG中点H，连接CH ，请猜测AF 与CH 之间的数量关系，并证明． 6．（2021·上海·统考中考真题）已知：在圆O内，弦AD与弦BC交于点G,ADCB,M,N分别是CB和AD 的中点，联结MN,OG． （1）求证：OGMN； （2）联结AC,AM,CN ，当CN //OG时，求证：四边形ACNM 为矩形． 7．（2022·上海嘉定·统考二模）在半圆O中，AB为直径，AC，AD为两条弦，且∠CAD＋∠DAB＝90°． (1)如图1，求证：AD 等于CD； (2)如图2，点F在直径AB上，DF交AC于点E，若AE＝DE，求证：AC＝2DF； (3)如图3，在（2）的条件下，连接BC，若AF＝2，BC＝6，求弦AD的长． 8．（2020·上海普陀·统考二模）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O 交边DC于E、F两点，AD＝1，BC＝5，设⊙O的半径长为r． 第 18 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）联结OF，当OF∥BC时，求⊙O的半径长； （2）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，设OH＝y，试用r的代数式表示y； （3）设点G为DC的中点，联结OG、OD，△ODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出r的值；如不 能，试说明理由． 9．（2022春·上海金山·九年级校考阶段练习）如图，AB为半圆O的直径，AB=8，过B作AB的垂线BQ， 点C为直线BQ上一点，连接AC交半圆O于点E，以B为圆心，BC为半径作圆弧交AE于点D（D不与A 重合）． (1)如图2，连接OE、DB交于点G，若G为 ABE重心时，求cosDBA的值；  GO (2)如图2，设tanCAB=x， =y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； GE (3)延长BD交» AE 于点F ，延长FO交射线CB于点P， ①设  B与线段AB交于点H，连接DH ，ADH 的度数是否发生变化，若不变，请求出度数；若变化，请 至少给出两种不同情况下所对应的度数； ②若 POB与 ABC相似，求AC的长．   第 19 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 第 20 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司