文档内容
虹口区 2023 学年度初三年级第二次学生学习能力诊断练习
数学 练习卷
（满分150分，考试时间100分钟）
注意：
1．本练习卷含三个大题，共25题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本练习卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
［下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸
的相应位置上．］
1. 下列各数中，无理数是（ ）
A. B. 3.14159 C. D.
2. 关于 的一元二次方程 无实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知二次函数 ，如果函数值 随自变量 的增大而减小，那么 的取值范围是（ ）
.
A B. C. D.
4. 下列事件中，必然事件 是（ ）
A. 随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数
B. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上
C. 在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球
D. 在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于
5. 如图，在正方形 中，点 、 分别在边 和 上， ， ，如果 ，
那么 的面积为（ ）A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
6. 在 中， ， ．如果以顶点 为圆心， 为半径作 ，那么 与边
所在直线的公共点的个数是（ ）
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
［请将结果直接填入答题纸的相应位置］
7. 计算： =___．
8. 分解因式： _______．
9. 解不等式： ，的解集为________.
10. 函数 的定义域是
11. 将抛物线 先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式
为________．
12. 在一个不透明袋子中，装有2个红球和一些白球，这些球除颜色外其他都一样，如果从袋中随机摸出
一个球是红球的概率为 ，那么白球的个数是________．
13. 某校为了解该校1200名学生参加家务劳动的情况，随机抽取40名学生，调查了他们的周家务劳动时
间并制作成频数分布直方图，那么估计该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有________名．14. 一根蜡烛长30厘米，点燃后匀速燃烧，经过50分钟其长度恰为原长的一半．在燃烧的过程中，如果
设蜡烛的长为 （厘米），燃烧的时间为 （分钟），那么 关于 的函数解析式为________（不写定义
域）．
15. 如图，正六边形螺帽的边长是 ，那么这个扳手的开口 的值是______．
16. 如图，在梯形 中， ， ，点 、 分别是边 、 的中点，连接
，设 ， ，那么用向量 、 表示向量 ________．
17. 如图，在 中， ， ， ．点 在边 上， ，以点 为圆心，
为半径作 ．点 在边 上，以点 为圆心， 为半径作 ．如果 和 外切，那么
的长为________．18. 如图，在扇形 中， ， ，点 在半径 上，将 沿着 翻折，点
的对称点 恰好落在弧 上，再将弧 沿着 翻折至弧 （点 是点A的对称点），那么
的长为________．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 先化简，再求值： ，其中 ．
20. 解方程组：
21. 如图，一次函数图像在反比例函数图像相交于点 和点 ，与 轴交于点 ．点
在反比例函数图像上，过点 作 轴的垂线交一次函数图像于点 ．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求 的面积．
22. 根据以下素材，完成探索任务．
探究斜坡上两车之间距离
图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用 表示，地面用 表
示，斜坡用 表示．已知 ，高架路面 离地面的距离 为
25米，斜坡 长为65米．
素材1
如图②，矩形 为一辆大巴车的侧面示意图， 长为10米， 长
为 米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形
的顶点 与点 重合，点 与指示路牌底端 点之间的距离 为
米，且 ．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛
到斜坡的距离 为1米．
素材2
任务一 如图①，求斜坡 的坡比．
问题解决
如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即 、 、 在同
任务二
一条直线上）时，试求小张距大巴车尾 的距离 ．
23. 如图，在 中， ，延长 至点 ，使得 ，过点 、 分别作 ，
， 与 相交于点 ，连接 ．
（1）求证： ；（2）连接 交 于点 ，连接 交 于点 ．如果 ，求证： ．
24. 新定义：已知抛物线 （其中 ），我们把抛物线 称为
的
“轮换抛物线”．例如：抛物线 的“轮换抛物线”为
．
已知抛物线 ： 的“轮换抛物线”为 ，抛物线 、 与 轴分别交于点 、
，点 在点 的上方，抛物线 的顶点为 ．
（1）如果点 的坐标为 ，求抛物线 的表达式；
（2）设抛物线 的对称轴与直线 相交于点 ，如果四边形 为平行四边形，求点 的坐
标；
（3）已知点 在抛物线 上，点 坐标为 ，当 时，求 的值．
25. 在梯形 中， ，点 在射线 上，点 在射线 上，连接 、 相交于点 ，
．（1）如图①，如果 ，点 、 分别 在边 、 上．求证： ；
（2）如图②，如果 ， ， ， ．在射线 的下方，以 为直
径作半圆 ，半圆 与 的另一个交点为点 ．设 与弧 的交点为 ．
①当 时，求 和 的长；
②当点 为弧 的中点时，求 的长．
