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2023 学年第一学期九年级质量调研数学样卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 如果抛物线 的开口向下，那么 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线 的对称轴是直线 ，那么下列等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知在 中， ， ， ，那么下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30°，此时这架飞机与这一建筑物底部之
间的距离是（ ）
.
A 6000米 B. 12000米 C. 米 D. 米
5. 如图，在 中，点 是边 的中点， ， ，那么 等于（ ）
A. B.
C. D.
6. 下列命题是真命题的是（ ）
的
A. 有一个角是36° 两个等腰三角形相似
B. 有一个角是45°的两个等腰三角形相似
C. 有一个角是60°的两个等腰三角形相似
D. 有一个角是钝角的两个等腰三角形相似二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 如果函数 （ 是常数）是二次函数，那么 的取值范围是______．
8. 将抛物线 向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是______．
9. 如果抛物线 经过两点 和 ，那么 的值是______．
10. 二次函数 图像的最高点的横坐标是______.
11. 如果 （ 、 都不等于零），那么 ______．
12. 已知点 是线段 的一个黄金分割点，且 ， ，那么 ______ .
13. 如果向量 、 、 满足关系式 ，那么 ______（用向量 、 表示）.
的
14. 在 中，点 、 分别在边 、 延长线上， ， ，那么当
______时， ．
15. 如图，在 中，点 、 分别在边 、 上， ， ， ，那么
______．
16. 如图，在 中， ， ，连接 ， ， ， ，那么
______．17. 如图，在港口 的南偏西 方向有一座小岛 ，一艘船以每小时12海里的速度从港口 出发，沿正
西方向行驶，行了30分钟时这艘船在 处测得小岛 在船的正南方向，那么小岛 与 处的距离
______海里（结果保留根号）．
18. 在 中 ， ， ， ， 点 ， 分 别 在 边 、 上 ， 且
，将 沿直线 翻折，翻折后点 落在点 处，如果 ，那么
______.
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算： ．
20. 已知平面直角坐标系 ，抛物线 经过点 和 两点.（1）求抛物线的表达式；
（2）如果将这个抛物线向右平移 个单位，得到新抛物线经过点 ，求 的值.
21. 如图，在平行四边形 中，点 是边 上一点，且 ，直线 与 相交于点 .
（1）求 的值；
（2）如果 ， ， ，求四边形 的面积.
22. 如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔 ．小山斜坡 的坡度为 ，坡
长 为39米，在小山的坡底 处测得该塔的塔顶 的仰角为45°，在坡顶 处测得该塔的塔顶 的仰角
为74°．
（1）求坡顶 到地面 的距离 的长；（2）求古塔 的高度（结果精确到1米）．
（参考数据： ， ， ， ）
23. 如图，在 中， ，点 是 延长线上一点，点 是斜边 上一点，且
．
（1）求证： ；
在
（2）连接 ， 上取一点 ，使 ，过点 作 交 于点 ．求证，
．
24. 定义：对于抛物线 （ 、 、 是常数， ），若 ，则称该抛物线是黄金
抛物线，已知平面直角坐标系 ，抛物线 是黄金抛物线，与 轴交于点 ，顶点为 ．
（1）求此黄金抛物线的表达式及 点坐标；
（2）点 在这个黄金抛物线上．①点 在这个黄金抛物线的对称轴上，求 的正弦值．
②在射线 上是否存在点 ，使以点 、 、 所组成的三角形与 相似，且相似比不为1．若
存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
25. 如图1，在 和 中， ， ， ， .
（1）求证： ；
（2）已知点 在边 上一点（与点 不重合），且 ， 交 于点 ，交 的延
长线于点 .
①如图2，设 ， ，求 与 的函数关系式，并写出定义域：
②当 是等腰三角形时，求 的长.
