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2023 届宝山区高三二模数学试卷
2023.04
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题悔题5分）
1. 已知集合 ， ，则 _________．
2. 不等式 的解集为_____．
3. 若幂函数的图象经过点 ，则该函数的解析式为_____________
4. 已知复数 （其中 为虚数单位），则实数 _________．
5. 已知数列 的递推公式为 ，则该数列的通项公式 _________．
6. 在 的展开式中常数项为________(用数字作答).
的
7. 从装有3个红球和4个蓝球 袋中，每次不放回地随机摸出一球．记“第一次摸球时摸到红球”为A，“第
二次摸球时摸到蓝球”为B，则 __________．
8. 若数列 为等差数列，且 ， ，则该数列的前 项和为 _________．
9. 已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，则 _______.
10. 如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图（图中仅列出 ， 的数据）和频率分布直方图，
则 _________．
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11. 已知函数 （ 且 ），若关于 的不等式 的解集为
，其中 ，则实数 的取值范围是_________．
12. 已知非零平面向量 不共线，且满足 ，记 ，当 的夹角取得最大值时，
的值为______．
二、选择题（本大题共有 4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分），
每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．
13. 若 ： ， ： ，则 是 的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
14. 已知定义在 上的偶函数 ，若正实数a、b满足 ，则 的
最小值为（ ）
A. B. 9 C. D. 8
15. 将正整数 分解为两个正整数 、 的积，即 ，当 、 两数差的绝对值最小时，我们称
其为最优分解．如 ，其中4×5即为20的最优分解，当 、 是 的最优分解
时，定义 ，则数列 的前2023项的和为（ ）
A. B. C. D.
16. 在空间直角坐标系 中,已知定点 , 和动点 .若 的面
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积为 ,以 为顶点的锥体的体积为 ,则 的最大值为( )
A. B. C. D.
三、解答题（本大题共有 5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应
的题号）内写出必要的步骤．
17. 已知函数 ．
（1）求函数 最的小正周期和单调区间；
（2）若关于 的方程 在 上有两个不同的实数解，求实数 的取值范围．
的
18. 四棱锥 底面是边长为2的菱形， ，对角线AC与BD相交于点O， 底
面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点．
（1）求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）证明： 平面PAD，并求点E到平面PAD的距离．
19. 下表是某工厂每月生产的一种核心产品的产量 （件）与相应的生产成本 （万
元）的四组对照数据．
4 6 8 10
2
12 28 84
0
（1）试建立 与 的线性回归方程；
（2）研究人员进一步统计历年的销售数据发现．在供销平衡的条件下，市场销售价格会波动变化．经分
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析，每件产品的销售价格 （万元）是一个与产量 相关的随机变量，分布为
假设产品月利润=月销售量×销售价格 成本．（其中月销售量=生产量）
的
根据（1）进行计算，当产量 为何值时．月利润 期望值最大？最大值为多少？
20. 已知抛物线 ： ．
（1）求抛物线 的焦点F的坐标和准线 的方程；
（2）过焦点F且斜率为 的直线与抛物线 交于两个不同的点A、B，求线段AB的长；
（3）已知点 ，是否存在定点Q，使得过点Q的直线与抛物线 交于两个不同的点M、N（均不与
点Р重合），且以线段MN为直径的圆恒过点P？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
的
21. 直线族是指具有某种共同性质 直线的全体．如：方程 中，当 取给定的实数时，表示一条
直 线 ； 当 在 实 数 范 围 内 变 化 时 ， 表 示 过 点 的 直 线 族 （ 不 含 轴 ） ． 记 直 线 族
（其中 ）为 ，直线族 （其中 ）为 ．
（1）分别判断点 ， 是否在 的某条直线上，并说明理由；
（2）对于给定的正实数 ，点 不在 的任意一条直线上，求 的取值范围（用 表示）；
（3）直线族的包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲
线上每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．求 的包络和 的包络．
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