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2023 届金山区高三二模数学试卷
2023.04
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应
在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 已知集合 ，集合 ，若 ，则 _________.
2. 若实数 满足不等式 ，则 的取值范围是__________.
的
3. 双曲线 渐近线方程是___________.
4. 已知向量 ，向量 ，则 与 的夹角的大小为__________.
5. 在 的二项展开式中， 项的系数为_________（结果用数值表示）.
6. 设复数 ，其中 为虚数单位，则 _________.
7. 已知 是定义域为 的奇函数，当 时， ，则 __________.
8. 掷一颗骰子，令事件 ， ，则 _________（结果用数值表示）.
9. 已知正实数 满足 ,则 的最小值为__________.
10. 若函数 （常数 ）在区间 没有最值，则 的取值范围是__________.
11. 已知函数 和 表的达式分别为 ， ，若对任意
，若存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是__________.
12. 已知 、 、 、 都是平面向量，且 ，若 ，则
的最小值为__________.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题
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有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 若实数 、 满足 ，则下列不等式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
14. 某社区通过公益讲座宣传交通法规.为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一
份交通法规知识问卷，满分为100分.他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错
误的是（ ）
A. 讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分
B. 讲座前的答卷得分分布较讲座后分散
C. 讲座后答卷得分的第80百分位数为95
的
D. 讲座前答卷得分 极差大于讲座后得分的极差
15. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别为边AD、BC上的点，且 ， ，设P、Q分别
为线段AF、CE的中点，将四边形ABFE沿着直线EF进行翻折，使得点A不在平面CDEF上，在这一过程
中，下列关系不能恒成立的是（ ）
A. 直线 直线CD B. 直线 直线ED
C. 直线 直线PQ D. 直线 平面
16. 设 是项数为 的有穷数列，其中 ．当 时， ，且对任意正整数 ，都有
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.给出下列两个命题：①若对任意正整数 ，都有 ，则 的最大值为18；
②对于任意满足 的正整数s和t，总存在不超过 的正整数m和k，使得 ．下
列说法正确的是（ ）
A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题
C. ①和②都 是真命题 D. ①和②都是假命题
三、解答题（本大题共有 5题，满分78分）解答下列各题必须在答题相应位置写出必要的步
骤.
17. 在 中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，已知 ， .
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 的面积.
18. 如图，在正三棱柱 中，已知 ， 是 的中点.
（1）求直线 与 所成的角的大小；
（2）求证：平面 平面 ，并求点 到平面 的距离.
19. 某网站计划4月份订购草莓在网络销售，每天的进货量相同，成本价为每盒15元.假设当天进货能全部
售完，决定每晚七点前（含七点）售价为每盒20元，每晚七点后售价为每盒10元.根据销售经验，每天的
购买量与网站每天的浏览量（单位：万次）有关.为确定草莓的进货量，相关人员统计了前两年4月份（共
60天）网站每天的浏览量（单位：万次）、购买草莓的数量（单位：盒）以及达到该流量的天数，如下表
所示：
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每天的浏览量
每天的购买量 300 900
天数 36 24
以每天的浏览量位于各区间的频率代替浏览量位于该区间的概率.
的
（1）求4月份草莓一天 购买量 （单位：盒）的分布；
（2）设4月份销售草莓一天的利润为 （单位：元），一天的进货量为 （单位：盒）， 为正整数且
，当 为多少时， 的期望达到最大值，并求此最大值.
20. 已知椭圆 .
（1）已知椭圆 的离心率为 ，求椭圆 的标准方程；
（2）已知直线 过椭圆 的右焦点且垂直于 轴，记 与 的交点分别为A、B，A、 B两点关于y轴的对
称点分别为 、 ，若四边形 是正方形，求正方形 的内切圆的方程；
（3）设О为坐标原点，P、Q两点都在椭圆 上，若 是等腰直角三角形，其中 是直角，
点Р在第一象限，且O、P、Q三点按顺时针方向排列，求b的最大值.
21. 若函数 在 处取得极值，且 （常数 ），则称 是函数 的“
相关点”.
（1）若函数 存在“ 相关点”，求 的值；
（2）若函数 （常数 ）存在“1相关点”，求 的值：
（3）设函数 的表达式为 （常数 且 ），若函数
有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点 存在3条直线与曲线 相切，求实
数 的取值范围.
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