绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题时
，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中
，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=（ ）
A. Æ B. {–3，–2，2，3）
C. {–2，0，2} D. {–2，2}
【答案】D
【解析】
【分析】
解绝对值不等式化简集合A,B的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.
【详解】因为A= x x <3,xÎZ =-2,-1,0,1,2 ，
B= x x >1,xÎZ = x x>1或x<-1,xÎZ ，
所以A I B=2,-2 .
故选：D.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.
2.（1–i）4=（ ）
A. –4 B. 4
C. –4i D. 4i
【答案】A
第1页 | 共23页【解析】
【分析】
根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.
【详解】(1-i)4 =[(1-i)2]2 =(1-2i+i2)2 =(-2i)2 =-4.
故选：A.
【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.
3.如图，将钢琴上的12个键依次记为a ，a ，…，a .设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–
1 2 12
i=4，则称a，a，a 为原位大三和弦；若k–j=4且j–
i j k
i=3，则称a，a，a 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦
i j k
的个数之和为（ ）
A. 5 B. 8 C. 10 D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】
根据原位大三和弦满足k- j =3, j-i =4，原位小三和弦满足k- j =4, j-i =3
从i =1开始，利用列举法即可解出．
【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：k- j =3, j-i =4．
∴i =1, j =5,k =8；i =2, j =6,k =9；i =3, j =7,k =10；i =4, j =8,k =11；
i =5, j =9,k =12．
原位小三和弦满足：k- j =4, j-i =3．
∴i =1, j =4,k =8；i =2, j =5,k =9；i =3, j =6,k =10；i =4, j =7,k =11；
i =5, j =8,k =12．
故个数之和为10．
第2页 | 共23页故选：C．
【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．
4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由
于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该
超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人
每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95
，则至少需要志愿者（ ）
A. 10名 B. 18名 C. 24名 D. 32名
【答案】B
【解析】
【分析】
算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】由题意，第二天新增订单数为500+1600-1200=900，
900
故需要志愿者 =18名.
50
故选：B
【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
5.已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（ ）
A. a+2b B. 2a+b C. a–2b D. 2a–b
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断
即可.
r r r r 1 1
【详解】由已知可得：a×b = a × b ×cos60° =1´1´ = .
2 2
r r r r r r2 1 5
A：因为(a+2b)×b = a×b+2b = +2´1= ¹ 0，所以本选项不符合题意；
2 2
r r r r r r2 1
B：因为(2a+b)×b = 2a×b+b = 2´ +1= 2 ¹ 0，所以本选项不符合题意；
2
r r r r r r2 1 3
C：因为(a-2b)×b = a×b-2b = -2´1= - ¹ 0，所以本选项不符合题意；
2 2
第3页 | 共23页r r r r r r2 1
D：因为(2a-b)×b = 2a×b-b = 2´ -1= 0，所以本选项符合题意.
2
故选：D.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这
两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.
S
6.记S 为等比数列{a }的前n项和．若a –a =12，a –a =24，则 n =（ ）
n n 5 3 6 4 a
n
A. 2n–1 B. 2–21–n C. 2–2n–1 D. 21–n–1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列
的通项公式和前n项和公式进行求解即可.
q
【详解】设等比数列的公比为 ，
ìïaq4-aq2 =12 ìq=2
由a -a =12,a -a =24可得：í 1 1 Þí ，
5 3 6 4 ïî a
1
q5-a
1
q3 =24 î a
1
=1
a (1-qn) 1-2n
所以a =aqn-1 =2n-1,S = 1 = =2n -1，
n 1 n 1-q 1-2
S 2n -1
因此 n = =2-21-n .
a 2n-1
n
故选：B.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前n项和公式的应
用，考查了数学运算能力.
7.执行右面的程序框图，若输入的k=0，a=0，则输出的k为（ ）
第4页 | 共23页A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k值，模拟程序的运
行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.
【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k值
模拟程序的运行过程
k =0, a=0
第1次循环，a=2´0+1=1,k =0+1=1，2>10为否
第2次循环，a=2´1+1=3 ,k =1+1=2，3>10为否
第3次循环，a=2´3+1=7 ,k =2+1=3，7>10为否
第4次循环，a =2´7+1=15,k =3+1=4，15>10为是
退出循环
输出k =4.
故选：C.
【点睛】本题考查求循环框图的输出值，解题关键是掌握模拟循环语句运行的计算方法，考
第5页 | 共23页查了分析能力和计算能力，属于基础题.
8.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x- y-3=0的距离为（ ）
5 2 5 3 5 4 5
A. B. C. D.
5 5 5 5
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 a,a,a >0，可得圆的半径为a，写出圆的
标准方程，利用点 2,1 在圆上，求得实数a的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到
直线2x- y-3=0的距离.
【详解】由于圆上的点
2,1
在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为 a,a ，则圆的半径为a，
圆的标准方程为x-a2 +y-a2 =a2.
由题意可得2-a2 +1-a2 =a2，
可得a2 -6a+5=0，解得a=1或a =5，
所以圆心的坐标为
1,1
或
5,5
，
-2 2 5
圆心到直线2x- y-3=0的距离均为d = = ；
5 5
2 5
所以，圆心到直线2x- y-3=0的距离为 .
5
故选：B.
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属
于中等题.
x2 y2
9.设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C: - =1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于
a2 b2
D,E两点，若 ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）
V
第6页 | 共23页A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】
x2 y2 b
因为C: - =1(a>0,b>0)，可得双曲线的渐近线方程是y =± x，与直线x=a联立方
a2 b2 a
程求得D，E两点坐标，即可求得|ED|，根据 ODE的面积为8，可得ab值，根据
V
2c=2 a2 +b2 ，结合均值不等式，即可求得答案.
x2 y2
【详解】 QC: - =1(a>0,b>0)
a2 b2
b
\双曲线的渐近线方程是y =± x
a
x2 y2
Q 直线x=a与双曲线C: - =1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点
a2 b2
不妨设D为在第一象限，E在第四象限
ìx=a
ï ìx=a
联立í b ，解得í
ï
y = x îy =b
î a
故D(a,b)
ìx=a
ï ìx=a
联立í b ，解得í
ï
y =- x îy =-b
î a
故E(a,-b)
\|ED|=2b
1
\ ODE面积为：S = a´2b=ab=8
V △ODE 2
x2 y2
Q 双曲线C: - =1(a>0,b>0)
a2 b2
\其焦距为2c=2 a2 +b2 ³2 2ab =2 16 =8
当且仅当a =b=2 2 取等号
\C的焦距的最小值：8
第7页 | 共23页故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和
均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能
力和计算能力，属于中档题.
1
10.设函数 f(x)= x3 - ,则 f(x)（ ）
x3
A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的解析式可知函数的定义域为 x x¹0 ，利用定义可得出函数 f x 为奇函数，
再根据函数的单调性法则，即可解出．
1
【详解】因为函数 f x= x3 - 定义域为 x x¹0 ，其关于原点对称，而
x3
f -x=-f x ，
所以函数 f x 为奇函数．
又因为函数y = x3在(0,+¥ ) 上单调递增，在(-¥ ,0) 上单调递增，
1
而y = = x-3在(0,+¥ ) 上单调递减，在(-¥ ,0) 上单调递减，
x3
1
所以函数 f x= x3 - 在(0,+¥ ) 上单调递增，在(-¥ ,0) 上单调递增．
x3
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．
9 3
11.已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16
4
π，则O到平面ABC的距离为（ ）
3 3
A. 3 B. C. 1 D.
2 2
【答案】C
第8页 | 共23页【解析】
【分析】
根据球O的表面积和 ABC 的面积可求得球O的半径R和 ABC 外接圆半径r，由球的
V V
性质可知所求距离d = R2 -r2 .
【详解】设球O的半径为R，则4pR2 =16p，解得：R=2.
设 ABC 外接圆半径为r，边长为a，
V
9 3
ABC是面积为 的等边三角形，
QV
4
1 3 9 3 2 a2 2 9
\ a2´ = ，解得：a =3，\r = ´ a2 - = ´ 9- = 3，
2 2 4 3 4 3 4
\球心O到平面ABC的距离d = R2 -r2 = 4-3 =1.
故选：C.
【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；
解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.
12.若2x -2y <3-x -3-y，则（ ）
A. ln(y-x+1)>0 B. ln(y-x+1)<0 C. ln|x- y|>0 D.
ln|x- y|<0
【答案】A
【解析】
【分析】
将不等式变为2x -3-x <2y -3-y，根据 f t=2t -3-t的单调性知x< y，以此去判断各个
选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.
【详解】由2x -2y <3-x -3-y得：2x -3-x <2y -3-y，
令 f t=2t -3-t，
y =2x为R上的增函数，y =3-x为R上的减函数，\ f t 为R上的增函数，
Q
\x< y，
Qy-x>0，\y-x+1>1，\lny-x+1>0，则A正确，B错误；
第9页 | 共23页Q x-y 与1的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函
数的单调性得到x,y的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
2
13.若sinx=- ，则cos2x=__________．
3
1
【答案】
9
【解析】
【分析】
直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.
2 8 1
【详解】cos2x=1-2sin2 x=1-2´(- )2 =1- = .
3 9 9
1
故答案为： .
9
【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.
14.记S 为等差数列 a 的前n项和．若a =-2, a +a =2，则S =__________．
n n 1 2 6 10
【答案】25
【解析】
【分析】
因为 a 是等差数列，根据已知条件a +a =2，求出公差，根据等差数列前n项和，即可
n 2 6
求得答案.
【详解】 a 是等差数列，且a =-2，a +a =2
Q n 1 2 6
设
a
等差数列的公差d
n
根据等差数列通项公式：a =a +n-1d
n 1
可得a +d +a +5d =2
1 1
即：-2+d +-2+5d =2
整理可得：6d =6
解得：d =1
第10页 | 共23页n(n-1)
根据等差数列前n项和公式：S = na + d,nÎ N*
Q
n 1 2
10´(10-1)
可得：S =10-2+ = -20+45 = 25
10 2
\S =25.
10
故答案为：25.
【点睛】本题主要考查了求等差数列的前n项和，解题关键是掌握等差数列的前n项和公式
，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
ìx+ y³-1，
ï
15.若x，y满足约束条件íx- y³-1，则z=x+2y的最大值是__________．
ï
2x- y£1,
î
【答案】8
【解析】
【分析】
1
在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线y =- x，在平面区域内
2
1 1
找到一点使得直线y =- x+ z在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.
2 2
【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示：
1 1 1
平移直线y =- x，当直线经过点A时，直线y =- x+ z在纵轴上的截距最大，
2 2 2
ìx- y =-1 ìx=2
此时点A的坐标是方程组í 的解，解得：í ，
î2x- y =1 îy =3
因此z=x+2y的最大值为：2+2´3=8.
故答案为：8.
【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.
第11页 | 共23页16.设有下列四个命题：
p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
1
p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
2
p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
3
p ：若直线lÌ平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
4
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
① p Ù p ② p Ù p ③Øp Ú p ④Øp ÚØp
1 4 1 2 2 3 3 4
【答案】①③④
【解析】
【分析】
利用两交线直线确定一个平面可判断命题 p 的真假；利用三点共线可判断命题 p 的真假；
1 2
利用异面直线可判断命题 p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题 p 的真假.再利用复合
3 4
命题的真假可得出结论.
【详解】对于命题 p ，可设l 与l 相交，这两条直线确定的平面为a；
1 1 2
若l 与l 相交，则交点A在平面a内，
3 1
同理，l 与l 的交点B也在平面a内，
3 2
所以，ABÌa，即l Ìa，命题 p 为真命题；
3 1
对于命题 p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
2
命题 p 为假命题；
2
对于命题 p ，空间中两条直线相交、平行或异面，
3
命题 p 为假命题；
3
对于命题 p ，若直线m^平面a，
4
第12页 | 共23页则m垂直于平面a内所有直线，
直线l Ì平面a，\直线m^直线l，
Q
命题 p 为真命题.
4
综上可知， p Ù p 为真命题， p Ù p 为假命题，
1 4 1 2
Øp Ú p 为真命题，Øp ÚØp 为真命题.
2 3 3 4
故答案为：①③④.
【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考
查推理能力，属于中等题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为
必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
p 5
17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2( + A)+cosA= ．
2 4
（1）求A；
3
（2）若b-c= a，证明：△ABC是直角三角形．
3
p
【答案】（1）A= ；（2）证明见解析
3
【解析】
【分析】
æp ö 5
（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，cos2 ç + A ÷ +cosA= 可化为
è 2 ø 4
5
1-cos2 A+cosA= ，即可解出；
4
3
（2）根据余弦定理可得b2 +c2 -a2 =bc，将b-c= a代入可找到a,b,c关系，
3
再根据勾股定理或正弦定理即可证出．
æp ö 5 5
【详解】（1）因为cos2 ç + A ÷ +cosA= ，所以sin2 A+cosA= ，
è 2 ø 4 4
第13页 | 共23页5
即1-cos2 A+cosA= ，
4
1
解得cosA= ，又0< A<p，
2
p
所以A= ；
3
p b2 +c2 -a2 1
（2）因为A= ，所以cosA= = ，
3 2bc 2
即b2 +c2 -a2 =bc①，
3
又b-c= a②， 将②代入①得，b2 +c2 -3b-c2 =bc，
3
即2b2 +2c2 -5bc=0，而b>c，解得b=2c，
所以a = 3c，
故b2 =a2 +c2，
即 ABC 是直角三角形．
V
【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判
断三角形的形状，属于基础题．
18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某
种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法
抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x，y)(i=1，2，…，20)，其中x和y分别表示第i个样
i i i i
20
区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 åx =60，
i
i=1
20 20 20 20
åy =1200， å（x -x)2 =80， å（y - y)2 =9000， å（x -x（) y - y)=800.
i i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生
动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本(x，y)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
i i
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地
区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
第14页 | 共23页n
å（x -x（) y - y)
i i
i=1
附：相关系数r= ， 2 =1.414.
n n
å（x -x)2å（y - y)2
i i
i=1 i=1
【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析
【解析】
【分析】
（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；
20
å(x -x)(y - y)
i i
（2）利用公式r = i=1 计算即可；
20 20
å(x -x)2å(y - y)2
i i
i=1 i=1
（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.
1 20 1
【详解】（1）样区野生动物平均数为 åy = ´1200=60，
20 i 20
i=1
地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为200´60=12000
（2）样本(x ,y )的相关系数为
i i
20
å(x -x)(y - y)
i i 800 2 2
r = i=1 = = »0.94
20 20 80´9000 3
å(x -x)2å(y - y)2
i i
i=1 i=1
（3）
由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样
先将植物覆盖面积按优中差分成三层，
在各层内按比例抽取样本，
在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.
【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数
学运算能力，是一道容易题.
x2 y2
19.已知椭圆C ： + =1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦点重合，C 的中心与C 的顶
1 2 1 2
a2 b2
4
点重合．过F且与x轴重直的直线交C 于A，B两点，交C 于C，D两点，且|CD|= |AB|．
1 2
3
第15页 | 共23页（1）求C 的离心率；
1
（2）若C 的四个顶点到C 的准线距离之和为12，求C 与C 的标准方程．
1 2 1 2
1 x2 y2
【答案】（1） ；（2）C ： + =1，C ： y2 =8x.
2 1 16 12 2
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设A,C 在第一象限，运用代
2
4
入法求出A,B,C,D点的纵坐标，根据|CD|= | AB|，结合椭圆离心率的公式进行求解即
3
可；
（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方
程，最后结合已知进行求解即可；
【详解】解：（1）因为椭圆C 的右焦点坐标为：F(c,0),所以抛物线C 的方程为y2 =4cx
1 2
，其中c= a2 -b2 .
x2 y2
不妨设A,C 在第一象限，因为椭圆C 的方程为： + =1，
1 a2 b2
c2 y2 b2 b2 b2
所以当x=c时，有 + =1Þ y =± ，因此A,B的纵坐标分别为 ，- ；
a2 b2 a a a
又因为抛物线C 的方程为y2 =4cx，所以当x=c时，有y2 =4c×cÞ y =±2c，
2
2b2
所以C,D的纵坐标分别为2c，-2c，故| AB|= ，|CD|=4c.
a
4 8b2 c c c c 1
由|CD|= | AB|得4c= ，即3× =2-2( )2，解得 =-2（舍去）， = .
3 3a a a a a 2
1
所以C 的离心率为 .
1 2
x2 y2
（2）由（1）知a=2c，b= 3c，故C : + =1，所以C 的四个顶点坐标分
1 4c2 3c2 1
别为(2c,0)，(-2c,0)，(0, 3c)，(0,- 3c)，C 的准线为x=-c.
2
由已知得3c+c+c+c=12，即c=2.
第16页 | 共23页x2 y2
所以C 的标准方程为 + =1，C 的标准方程为y2 =8x.
1 2
16 12
【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆
的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.
20.如图，已知三棱柱ABC–
A B C 的底面是正三角形，侧面BB C C是矩形，M，N分别为BC，B C 的中点，P为AM上一
1 1 1 1 1 1 1
点．过B C 和P的平面交AB于E，交AC于F．
1 1
（1）证明：AA //MN，且平面A AMN⊥平面EB C F；
1 1 1 1
π
（2）设O为△A B C 的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB C F，且∠MPN= ，求四棱锥B–
1 1 1 1 1
3
EB C F的体积．
1 1
【答案】（1）证明见解析；（2）24.
【解析】
【分析】
（1）由M,N 分别为BC，BC 的中点，MN//CC ，根据条件可得AA //BB ，可证
1 1 1 1 1
MN//AA，要证平面EBC F ^平面AAMN，只需证明EF ^平面AAMN即可；
1 1 1 1 1
（2）根据已知条件求得S 和M 到PN 的距离，根据椎体体积公式，即可求得
四边形EBCF
1 1
V .
B-EBCF
1 1
【详解】（1）
Q
M,N 分别为BC，B
1
C
1
的中点，
\MN//BB
1
又AA //BB
1 1
第17页 | 共23页\MN//AA
1
在等边 ABC 中，M 为BC中点，则BC ^ AM
V
又 侧面BBCC为矩形，
Q 1 1
\BC ^ BB
1
MN//BB
Q 1
MN ^ BC
由MN ÇAM =M ，MN,AM Ì平面AAMN
1
\BC⊥平面AAMN
1
又 BC //BC，且BC Ë平面ABC，BC Ì平面ABC，
Q 1 1 1 1
\BC //平面ABC
1 1
又 BC Ì平面EBC F ，且平面EBC FÇ平面ABC = EF
Q 1 1 1 1 1 1
\BC //EF
1 1
\EF//BC
又 BC ^平面AAMN
Q 1
\EF ^平面AAMN
1
EF Ì平面EBC F
Q 1 1
\平面EBC F ^平面AAMN
1 1 1
（2）过M 作PN 垂线，交点为H ，
画出图形，如图
第18页 | 共23页AO//平面EBC F
Q 1 1
AOÌ平面AAMN，平面AAMN Ç平面EBC F = NP
1 1 1 1
\AO//NP
又 NO//AP
Q
\ AO= NP=6
Q O为△A 1 B 1 C 1 的中心.
1 1
\ON = AC sin60°= ´6´sin60°= 3
3 1 1 3
故：ON = AP= 3，则AM =3AP=3 3，
平面EBC F ^平面AAMN，平面EBC FÇ平面AAMN = NP，
Q 1 1 1 1 1 1
MH Ì平面AAMN
1
\MH ^平面EBC F
1 1
EF AP
又 在等边 ABC 中 =
Q V
BC AM
AP×BC 3´6
即EF = = =2
AM 3 3
由（1）知，四边形EBC F 为梯形
1 1
EF +BC 2+6
\四边形EBC F 的面积为：S = 1 1 ×NP= ´6=24
1 1 四边形EB 1 C 1 F 2 2
1
\V = S ×h，
B-EB 1 C 1 F 3 四边形EB 1 C 1 F
第19页 | 共23页h为M 到PN 的距离MH =2 3×sin60°=3，
1
\V = ´24´3=24.
3
【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握
面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属
于中档题.
21.已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
f(x)- f(a)
（2）设a>0时，讨论函数g（x）= 的单调性．
x-a
【答案】（1）c³-1；（2）g(x)在区间(0,a)和(a,+¥)上单调递减，没有递增区间
【解析】
【分析】
（1）不等式 f(x)£2x+c转化为 f(x)-2x-c£0，构造新函数，利用导数求出新函数的
最大值，进而进行求解即可；
（2）对函数g(x)求导，把导函数g¢(x)的分子构成一个新函数m(x)，再求导得到m¢(x)，
根据m¢(x)的正负，判断m(x)的单调性，进而确定g¢(x)的正负性，最后求出函数g(x)的单
调性.
【详解】（1）函数 f(x)的定义域为：(0,+¥)
f(x)£2x+cÞ f(x)-2x-c£0Þ2lnx+1-2x-c£0(*)，
2 2(1-x)
设h(x)=2lnx+1-2x-c(x>0)，则有h¢(x)= -2= ，
x x
当x>1时，h¢(x)<0,h(x)单调递减，
当0< x<1时，h¢(x)>0,h(x)单调递增，
所以当x=1时，函数h(x)有最大值，
即h(x) =h(1)=2ln1+1-2´1-c=-1-c，
max
要想不等式(*)在(0,+¥)上恒成立，
第20页 | 共23页只需h(x) £0Þ-1-c£0Þc³-1；
max
2lnx+1-(2lna-1) 2(lnx-lna)
（2）g(x)= = (x>0且x¹a)
x-a x-a
2(x-a-xlnx+xlna)
因此g¢(x)= ，设m(x)=2(x-a-xlnx+xlna)，
x(x-a)2
则有m¢(x)=2(lna-lnx)，
当x>a时，lnx>lna，所以m¢(x)<0，m(x)单调递减，因此有m(x)<m(a)=0，即
g¢(x)<0，所以g(x)单调递减；
当0< x<a时，lnx<lna，所以m¢(x)>0，m(x)单调递增，因此有m(x)<m(a)=0，
即g¢(x)<0，所以g(x)单调递减，
所以函数g(x)在区间(0,a)和(a,+¥)上单调递减，没有递增区间.
【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性
，考查了数学运算能力，是中档题.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答
题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按
所答第一题评分；多答按所答第一题评分．
[选修4—4：坐标系与参数方程]
ì 1
x=t+ ,
ìx=4cos2q， ï ï t
22.已知曲线C ，C 的参数方程分别为C ：í （θ为参数），C ：í （t为
1 2 1 îy =4sin2q 2
ï
1
y =t-
ïî t
参数）.
（1）将C ，C 的参数方程化为普通方程；
1 2
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C ，C 的交点为P，求圆心在极
1 2
轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
17
【答案】（1）C :x+ y =4；C :x2 - y2 =4；（2）r= cosq.
1 2 5
【解析】
【分析】
第21页 | 共23页（1）分别消去参数q和t即可得到所求普通方程；
（2）两方程联立求得点P，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化
即可得到所求极坐标方程.
【详解】（1）由cos2q+sin2q=1得C 的普通方程为：x+ y =4；
1
ì 1 ì 1
x=t+ x2 =t2 + +2
ï ï
ï t ï t2
由í 得：í ，两式作差可得C 的普通方程为：x2 - y2 =4.
1 1 2
ï y =t- ï y2 =t2 + -2
ïî t ïî t2
ì 5
x=
ìx+ y =4 ï ï 2 æ5 3ö
（2）由í 得：í ，即P ç , ÷；
îx2 - y2 =4
ï
3 è2 2ø
y =
ïî 2
设所求圆圆心的直角坐标为 a,0 ，其中a >0，
æ 5ö 2 æ 3ö 2 17 17
则 a- + 0- =a2，解得：a = ，\所求圆的半径r = ，
ç ÷ ç ÷
è 2ø è 2ø 10 10
æ 17ö 2 æ17ö 2 17
\所求圆的直角坐标方程为： x- + y2 = ，即x2 + y2 = x，
ç ÷ ç ÷
è 10ø è10ø 5
17
\所求圆的极坐标方程为r= cosq.
5
【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐
标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.
[选修4—5：不等式选讲]
23.已知函数 f(x)= x-a2 +|x-2a+1|.
（1）当a=2时，求不等式 f(x)…4的解集；
（2）若 f(x)…4，求a的取值范围.
ì 3 11ü
【答案】（1）íx x£ 或x³ ý；（2） -¥,-1 U 3,+¥ .
î 2 2 þ
【解析】
【分析】
第22页 | 共23页（1）分别在x£3、3< x<4和x³4三种情况下解不等式求得结果；
（2）利用绝对值三角不等式可得到 f
x³a-12
，由此构造不等式求得结果.
【详解】（1）当a=2时， f x= x-4 + x-3 .
3
当x£3时， f x=4-x+3-x=7-2x³4，解得：x≤ ；
2
当3< x<4时， f x=4-x+x-3=1³4，无解；
11
当x³4时， f x=x-4+x-3=2x-7³4，解得：x³ ；
2
ì 3 11ü
综上所述： f x³4的解集为íx x£ 或x³ ý.
î 2 2 þ
（2） f x= x-a2 + x-2a+1 ³ x-a2 -x-2a+1 = -a2 +2a-1 =a-12 （当且
仅当2a-1£ x£a2时取等号），
\a-12
³4，解得：a£-1或a³3，
\a的取值范围为 -¥,-1 U 3,+¥ .
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考
题型.
第23页 | 共23页
