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2024年12月
绵阳南山中学高2024级高一12月月考数学试题参考答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B C D A D B C BCD AB ABC
二、填空题： 12． 13. 14. 10
三、解答题：
15．解：（1）由题意得 ，而 ，故 ，
得 ， ；
（2）由 ，得 ，即 ，即 ，
而 ，由 得 ，即 ，
而 ，故 ，且 ，得 ，
即a的取值范围为 ．
16．解：（1） ，即 ，则 ，
由题意得 ，∴ ， 的定义域为：(0,4).
（2） ，
令 ，则 ， ，
的对称轴： ，
∴ 在 上单调递增， 在 上单调递减；
答案第1页，共2页2024年12月
∵ ，∴ 在(0,+∞)单调递减，
由复合函数可知： 时， 单调递减， 时， 单调递增，
∴ .
17．解：（1）由函数 为奇函数，其定义域为R，所以 ，
即 ，解得 ，此时 ，
满足 ，即 为奇函数，故 的值为 .
（2） 在R上单调递减，证明如下：
由（1）知 ， ，且 ，
则 ，
因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，即函数 在R上单调递减.
（3）由题知：当 恒成立；则 ；
令 ，所以 ；
答案第2页，共2页2024年12月
又 ，当且仅当 时等号成立，
而 ，所以 ，则 .
18．解：（1）模型① ，由图象过点 ，
得 ，解得 ， ，在原点附近增长速度先快后慢，不符合；
模型② 为爆炸增长型函数，不符合，
故选模型③ .
由题知， ，解得 ，
所以 .
（2）由（1）知， ，
令 ，得 ，解得 ，
所以，若每天的得分不少于9分，至少每天要锻炼29.25分钟.
19．解：（1）因为函数 的图像关于点 对称，则 ，
令 ，可得 ．
（2）（ⅰ）证明：由 ，
答案第3页，共2页2024年12月
得 ，
所以函数 的图像关于 对称．
（ⅱ） ，
则 在 上单调递增，所以 的值域为 ，
设 在 上的值域为A，
对任意 ，总存在 ，使得 成立，则 ，
当 时， ，
函数 图象开口向上，对称轴为 ，且 ，
当 ，即 ，函数 在 上单调递增，
由对称性可知， 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，由 ，可得 ，解得 ．
当 ，即 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
答案第4页，共2页2024年12月
由对称性可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
结合对称性可得 或 ，
因为 ，所以 ， ，
又 ， ，
所以 ， ，所以当 时， 成立．
当 ，即 时，函数 在 上单调递减，
由对称性可知 在 上单调递减，因为 ， ，
所以 ，所以 ，由 ，
可得 ，解得 ．
综上所述，实数a的取值范围为 ．
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