文档内容
2022年浙江省丽水市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数2的相反数是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
2．（3分）如图是运动会领奖台，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）老师从甲、乙、丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，选中甲同学的概率
是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）计算﹣a2•a的正确结果是（ ）
A．﹣a2 B．a C．﹣a3 D．a3
5．（3分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点
A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
6．（3分）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程 ＝
﹣30，则方程中x表示（ ）
A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量
7．（3分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC＝8，则四边形
BDEF的周长是（ ）
A．28 B．14 C．10 D．7
8．（3分）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度（I A）的最大限度不得超
过0.11A．设选用灯泡的电阻为R（ ），下列说法正确的是（ ）
A．R至少2000 B．R至多20Ω00 C．R至少24.2 D．R至多24.2
9．（3分）某仿古墙Ω上原有一个矩形的门洞Ω，现要将它改为一个圆Ω弧形的门洞，圆弧所在Ω的圆
外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2 m，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
A． m B． m C． m D．（ +2）m
10．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，
FG∥AD交AE于点G．若cosB＝ ，则FG的长是（ ）A．3 B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：a2﹣2a＝ ．
12．（4分）在植树节当天，某班的四个绿化小组植树的棵数如下：10，8，9，9．则这组数据的平
均数是 ．
13．（4分）不等式3x＞2x+4的解集是 ．
14．（4分）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是（﹣ ，3），则A点的坐
标是 ．
15．（4分）一副三角板按图1放置，O是边BC（DF）的中点，BC＝12cm．如图2，将△ABC绕
点O顺时针旋转60°，AC与EF相交于点G，则FG的长是 cm．
16．（4分）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN．已知①和②能够
重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5．AE＝a，DE＝b，且a＞b．
（1）若a，b是整数，则PQ的长是 ；（2）若代数式a2﹣2ab﹣b2的值为零，则 的值是 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10
分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）计算： ﹣（﹣2022）0+2﹣1．
18．（6分）先化简，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2），其中x＝ ．
19．（6分）某校为了解学生在“五•一”小长假期间参与家务劳动的时间（t 小时），随机抽取
了本校部分学生进行问卷调查．要求抽取的学生在A，B，C，D，E五个选项中选且只选一
项，并将抽查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答问题：
（1）求所抽取的学生总人数；
（2）若该校共有学生1200人，请估算该校学生参与家务劳动的时间满足3≤t＜4的人数；
（3）请你根据调查结果，对该校学生参与家务劳动时间的现状作简短评述．
20．（8分）如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．
（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；
（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；
（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．21．（8分）因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从
甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是 330km，货车行驶时的速度是
60km/h．两车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图．
（1）求出a的值；
（2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式；
（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？
22．（10分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF．
（1）求证：△PDE≌△CDF；
（2）若CD＝4cm，EF＝5cm，求BC的长．23．（10分）如图，已知点M（x ，y ），N（x ，y ）在二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，
1 1 2 2
且x ﹣x ＝3．
2 1
（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．
①求这个二次函数的表达式；
②若y ＝y ，求顶点到MN的距离；
1 2
（2）当x ≤x≤x 时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a
1 2
的取值范围．
24．（12分）如图，以AB为直径的 O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB
交 O于点D，连结AC，AD．⊙点A关于CD的对称点为E，直线CE交 O于点F，交AH
于⊙点G． ⊙
（1）求证：∠CAG＝∠AGC；
（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点P，若 ＝ ，求 的值；
（3）当点E在射线AB上，AB＝2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，
求AE的长．2022年浙江省丽水市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数2的相反数是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：实数2的相反数是﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键．
2．（3分）如图是运动会领奖台，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，可得如下图形：
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3．（3分）老师从甲、乙、丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，选中甲同学的概率
是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用事件概率的意义解答即可．
【解答】解：∵老师从甲、乙、丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，事件的等可能性有4种，选中甲同学的可能性有一种，
∴选中甲同学的概率是 ，
故选：B．
【点评】本题主要考查了概率的公式，熟练应用概率的公式是解题的关键．
4．（3分）计算﹣a2•a的正确结果是（ ）
A．﹣a2 B．a C．﹣a3 D．a3
【分析】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．据此判断即可．
【解答】解：﹣a2•a＝﹣a3，
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
5．（3分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点
A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线
于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横
线于E，
则 ＝ ，即 ＝2，
解得：BC＝ ，
故选：C．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的
关键．
6．（3分）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了
5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程 ＝
﹣30，则方程中x表示（ ）
A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量
【分析】设篮球的数量为x个，足球的数量是2x个，列出分式方程解答即可．
【解答】解：设篮球的数量为x个，足球的数量是2x个．
根据题意可得： ＝ ﹣30，
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，得到相应的关系式是解决本题的关
键．
7．（3分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC＝8，则四边形
BDEF的周长是（ ）
A．28 B．14 C．10 D．7
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，∴DE＝BF＝ AB＝3，
∵E、F分别为AC、AB中点，
∴EF＝BD＝ BC＝4，
∴四边形BDEF的周长为：2×（3+4）＝14，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
8．（3分）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度（I A）的最大限度不得超
过0.11A．设选用灯泡的电阻为R（ ），下列说法正确的是（ ）
A．R至少2000 B．R至多20Ω00 C．R至少24.2 D．R至多24.2
【分析】利用已Ω知条件列出不等式，解Ω不等式即可得出结论．Ω Ω
【解答】解：∵电压U一定时，电流强度I（A）与灯泡的电阻为R（ ）成反比例，
Ω
∴I＝ ．
∵已知电灯电路两端的电压U为220V，
∴I＝ ．
∵通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A，
∴ ≤0.11，
∴R≥2000．
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，利用已知条件列出不等式是解题的关键．
9．（3分）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆
外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2 m，则改建后门洞的圆弧长是（ ）A． m B． m C． m D．（ +2）m
【分析】先作出合适的辅助线，然后根据题意和图形，可以求得优弧所对的圆心角的度数
和所在圆的半径，然后根据弧长公式计算即可．
【解答】解：连接AC，BD，AC和BD相交于点O，则O为圆心，如图所示，
由题意可得，CD＝2m，AD＝2 m，∠ADC＝90°，
∴tan∠DCA＝ ＝ ＝ ，AC＝ ＝4（m），
∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m，
∴∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∴优弧ADCB所对的圆心角为300°，
∴改建后门洞的圆弧长是： ＝ （m），
故选：C．
【点评】本题考查弧长公式、勾股定理、圆周角定理、矩形的性质，解答本题的关键是求出
优弧所对的圆心角的度数和所在圆的半径．
10．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，
FG∥AD交AE于点G．若cosB＝ ，则FG的长是（ ）A．3 B． C． D．
【分析】方法一：过点A作AH⊥BE于点H，过点F作FQ⊥AD于点Q，根据cosB＝ ＝
，可得BH＝1，所以AH＝ ，然后证明AH是BE的垂直平分线，可得AE＝AB＝4，设
GA＝GF＝x，根据S梯形CEAD ＝S梯形CEGF +S梯形GFDA ，进而可以解决问题．方法二：作AH垂
直BC于H，延长AE和DC交于点M由已知可得BH＝EH＝1，所以AE＝AB＝EM＝CM
＝4设GF＝x，则AG＝x，GE＝4﹣x，由三角形MGF相似于三角形MEC即可得结论．
【解答】解：方法一，如图，过点A作AH⊥BE于点H，过点F作FQ⊥AD于点Q，
∵菱形ABCD的边长为4，
∴AB＝AD＝BC＝4，
∵cosB＝ ＝ ，
∴BH＝1，
∴AH＝ ＝ ＝ ，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝2，
∴EH＝BE﹣BH＝1，
∴AH是BE的垂直平分线，
∴AE＝AB＝4，
∵AF平分∠EAD，
∴∠DAF＝∠FAG，
∵FG∥AD，
∴∠DAF＝∠AFG，
∴∠FAG＝∠AFG，∴GA＝GF，
设GA＝GF＝x，
∵AE＝CD＝4，FG∥AD，
∴DF＝AG＝x，
cosD＝cosB＝ ＝ ，
∴DQ＝ x，
∴FQ＝ ＝ ＝ x，
∵S梯形CEAD ＝S梯形CEGF +S梯形GFDA ，
∴ ×（2+4）× ＝ （2+x）×（ ﹣ x）+ （x+4）× x，
解得x＝ ，
则FG的长是 ．
或者：∵AE＝CD＝4，FG∥AD，
∴四边形AGFD的等腰梯形，
∴GA＝FD＝GF，
则x+ x+ x＝4，
解得x＝ ，
则FG的长是 ．
方法二：如图，作AH垂直BC于H，延长AE和DC交于点M，∵菱形ABCD的边长为4，
∴AB＝AD＝BC＝4，
∵cosB＝ ＝ ，
∴BH＝1，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝2，
∴EH＝BE﹣BH＝1，
∴AH是BE的垂直平分线，
∴AE＝AB＝4，
所以AE＝AB＝EM＝CM＝4，
设GF＝x，
则AG＝x，GE＝4﹣x，
由GF∥BC，
∴△MGF∽△MEC，
∴ ＝ ，
解得x＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：a2﹣2a＝ a （ a ﹣ 2 ） ．
【分析】观察原式，找到公因式a，提出即可得出答案．【解答】解：a2﹣2a＝a（a﹣2）．
故答案为：a（a﹣2）．
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式的方法，此题属于基础性质的题．因式分解
的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再
看剩下的因式是否还能分解．
12．（4分）在植树节当天，某班的四个绿化小组植树的棵数如下：10，8，9，9．则这组数据的平
均数是 9 ．
【分析】算术平均数：对于n个数x ，x ，…，x ，则 （x +x +…+x ）就叫做这n个数的算术
1 2 n 1 2 n
平均数．
【解答】解：这组数据的平均数是 ＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了算术平均数，掌握平均数的计算方法是解答本题的关键．
13．（4分）不等式3x＞2x+4的解集是 x ＞ 4 ．
【分析】先移项，再合并同类项即可．
【解答】解：3x＞2x+4，
3x﹣2x＞4，
x＞4，
故答案为：x＞4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题
的关键．
14．（4分）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是（﹣ ，3），则A点的坐
标是 （ ，﹣ 3 ） ．
【分析】根据正六边形的性质可得点A和点B关于原点对称，进而可以解决问题．
【解答】解：因为点A和点B关于原点对称，B点的坐标是（﹣ ，3），所以A点的坐标是（ ，﹣3），
故答案为：（ ，﹣3）．
【点评】本题考查了正六边形的性质，中心对称图形，解决本题的关键是掌握关于原点对
称的点的坐标特征．
15．（4分）一副三角板按图1放置，O是边BC（DF）的中点，BC＝12cm．如图2，将△ABC绕
点O顺时针旋转60°，AC与EF相交于点G，则FG的长是 （ 3 ﹣ 3 ） cm．
【分析】设EF与BC交于点H，根据旋转的性质证明∠FHO＝90°，可得OH＝ OF＝3cm，
利用含30度角的直角三角形可得CH＝OC﹣OH＝3cm，FH＝ OH＝3 cm，然后证明
△CHG的等腰直角三角形，可得CH＝GH＝3cm，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，设EF与BC交于点H，
∵O是边BC（DF）的中点，BC＝12cm．如图2，
∴OD＝OF＝OB＝OC＝6cm．
∵将△ABC绕点O顺时针旋转60°，
∴∠BOD＝∠FOH＝60°，
∵∠F＝30°，
∴∠FHO＝90°，∴OH＝ OF＝3cm，
∴CH＝OC﹣OH＝3cm，FH＝ OH＝3 cm，
∵∠C＝45°，
∴CH＝GH＝3cm，
∴FG＝FH﹣GH＝（3 ﹣3）cm．
故答案为：（3 ﹣3）．
【点评】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握旋转的
性质．
16．（4分）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN．已知①和②能够
重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5．AE＝a，DE＝b，且a＞b．
（1）若a，b是整数，则PQ的长是 a ﹣ b ；
（2）若代数式a2﹣2ab﹣b2的值为零，则 的值是 3+ 2 ．
【分析】（1）直接根据线段的差可得结论；
（2）先把b当常数解方程：a2﹣2ab﹣b2＝0，a＝b+ b（负值舍），根据四个矩形的面积都
是5表示小矩形的宽，最后计算面积的比，化简后整体代入即可解答．
【解答】解：（1）由图可知：PQ＝a﹣b，
故答案为：a﹣b；
（2）∵a2﹣2ab﹣b2＝0，
∴a2﹣b2＝2ab，（a﹣b）2＝2b2，
∴a＝b+ b（负值舍），
∵四个矩形的面积都是5．AE＝a，DE＝b，
∴EP＝ ，EN＝ ，则 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝
＝3+2 ．
故答案为：3+2 ．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，矩形的面积，并结合方程进行解答，正确通过解关于
a的方程表示a与b的关系是解本题的关键．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10
分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）计算： ﹣（﹣2022）0+2﹣1．
【分析】分别根据算术平方根的定义，任何非零数的零次幂等于1以及负整数指数幂的意
义计算即可．
【解答】解：原式＝3﹣1+
＝2+
＝ ．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握相关定义与运算法则是解答本题的关键．
18．（6分）先化简，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2），其中x＝ ．
【分析】先根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简，再把x＝ 代入计算即可．
【解答】解：（1+x）（1﹣x）+x（x+2）
＝1﹣x2+x2+2x
＝1+2x，
当x＝ 时，原式＝1+ ＝1+1＝2．
【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
19．（6分）某校为了解学生在“五•一”小长假期间参与家务劳动的时间（t 小时），随机抽取
了本校部分学生进行问卷调查．要求抽取的学生在A，B，C，D，E五个选项中选且只选一项，并将抽查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答问题：
（1）求所抽取的学生总人数；
（2）若该校共有学生1200人，请估算该校学生参与家务劳动的时间满足3≤t＜4的人数；
（3）请你根据调查结果，对该校学生参与家务劳动时间的现状作简短评述．
【分析】（1）用B类别的人数除以B类别所占百分比即可；
（2）用1200乘D所占比例即可；
（3）根据统计图的数据解答即可．
【解答】解：（1）18÷36%＝50（人），
故所抽取的学生总人数为50人；
（2）1200× ＝240（人），
答：估算该校学生参与家务劳动的时间满足3≤t＜4的人数为240人；
（3）由题意可知，该校学生在“五•一”小长假期间参与家务劳动时间在1≤t＜2占最多
数，中位数位于2≤t＜3这一组（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图的综合应用，解题的关
键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
20．（8分）如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．
（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；
（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；
（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．【分析】（1）把点B、A向右作平移1个单位得到CD；
（2）作A点关于BC的对称点D即可；
（3）延长CB到D使CD＝2CB，延长CA到E点使CE＝2CA，则△EDC满足条件．
【解答】解：（1）如图1，CD为所作；
（2）如图2，
（3）如图3，△EDC为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，
结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了相似三角形的
判定与平移变换．
21．（8分）因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从
甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是 330km，货车行驶时的速度是
60km/h．两车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图．
（1）求出a的值；
（2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式；
（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？【分析】（1）根据路程、时间、速度三者之间的关系即可解决问题；
（2）设直线的表达式为s＝kt+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可解决问
题；
（3）根据时间＝路程÷速度分别求出货车与小轿车到达终点的时间，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵货车的速度是60km/h，
∴a＝ ＝1.5（h）；
（2）由图象可得点（1.5，0），（3，150），
设直线的表达式为s＝kt+b，把（1.5，0），（3，150）代入得：
，
解得 ，
∴s＝100t﹣150；
（3）由图象可得货车走完全程需要 +0.5＝6（h），
∴货车到达乙地需6h，
∵s＝100t﹣150，s＝330，
解得t＝4.8，
∴两车相差时间为6﹣4.8＝1.2（h），
∴货车还需要1.2h才能到达，
即轿车比货车早1.2h到达乙地．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求函数解析式，路程、时间、
速度三者之间的关系，从图中准确获取信息是解题的关键．
22．（10分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF．（1）求证：△PDE≌△CDF；
（2）若CD＝4cm，EF＝5cm，求BC的长．
【分析】（1）根据ASA证明两个三角形全等即可；
（2）如图，过点E作EG⊥BC于G，由勾股定理计算FG＝3，设CF＝x，在Rt△CDF中，由
勾股定理得：DF2＝CD2+CF2，列方程可解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，
由折叠得：AB＝PD，∠A＝∠P＝90°，∠B＝∠PDF＝90°，
∴PD＝CD，
∵∠PDF＝∠ADC，
∴∠PDE＝∠CDF，
在△PDE和△CDF中，
，
∴△PDE≌△CDF（ASA）；
（2）解：如图，过点E作EG⊥BC于G，
∴∠EGF＝90°，EG＝CD＝4，在Rt△EGF中，由勾股定理得：FG＝ ＝3，
设CF＝x，
由（1）知：PE＝AE＝BG＝x，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
由折叠得：∠BFE＝∠DFE，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴DE＝DF＝x+3，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF2＝CD2+CF2，
∴x2+42＝（x+3）2，
∴x＝ ，
∴BC＝2x+3＝ +3＝ （cm）．
【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活
运用这些性质进行推理是本题关键．
23．（10分）如图，已知点M（x ，y ），N（x ，y ）在二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，
1 1 2 2
且x ﹣x ＝3．
2 1
（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．
①求这个二次函数的表达式；
②若y ＝y ，求顶点到MN的距离；
1 2
（2）当x ≤x≤x 时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a
1 2
的取值范围．
【分析】（1）①把点（3，1）代入二次函数的解析式求出a即可；②判断出M，N关于抛物线的对称轴对称，求出点M的纵坐标，可得结论；
（2）分两种情形：若M，N在对称轴的异侧，y ≥y ，若M，N在对称轴的异侧，y ≤y ，x ＜
1 2 1 2 1
2，分别求解即可．
【解答】解：（1）①∵二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）经过（3，1），
∴1＝a﹣1，
∴a＝2，
∴二次函数的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣1；
②∵y ＝y ，
1 2
∴M，N关于抛物线的对称轴对称，
∵对称轴是直线x＝2，且x ﹣x ＝3，
2 1
∴x ＝ ，x ＝ ，
1 2
当x＝ 时，y ＝2×（ ﹣2）2﹣1＝ ，
1
∴当y ＝y 时，顶点到MN的距离＝ +1＝ ；
1 2
（2）若M，N在对称轴的异侧，y ≥y ，
1 2
∴x +3＞2，
1
∴x ＞﹣1，
1
∵x ﹣x ＝3，
2 1
∴x ≤ ，
1
∴﹣1＜x ≤ ，
1
∵函数的最大值为y ＝a（x ﹣2）2﹣1，最小值为﹣1，
1 1
∴y ﹣（﹣1）＝1，
1
∴a＝ ，
∴ ≤（x ﹣2）2＜9，
1∴ ＜a≤ ．
若M，N在对称轴的异侧，y ≤y ，x ＜2，
1 2 1
∵x ≥ ，
1
∴ ≤x ＜2，
1
∵函数的最大值为y ＝a（x ﹣2）2﹣1，最小值为﹣1，
2 2
∴y ﹣（﹣1）＝1，
2
∴a＝ ，
∵ ≤x ＜2，
1
∴ ≤x +1＜3，
1
∴ ≤（x +1）2＜9，
1
∴ ＜a≤ ．
综上所述， ＜a≤ ．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称等知识，解题的关键是
理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
24．（12分）如图，以AB为直径的 O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB
交 O于点D，连结AC，AD．⊙点A关于CD的对称点为E，直线CE交 O于点F，交AH
于⊙点G． ⊙
（1）求证：∠CAG＝∠AGC；
（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点P，若 ＝ ，求 的值；
（3）当点E在射线AB上，AB＝2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，
求AE的长．【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；
（2）证明CF∥AD，推出 ＝ ，可得结论；
（3）分四种情形：如图1中，当OC∥AF时，如图2中，当OC∥AF时，如图3中，当
AC∥OF时，如图4中，当AC∥OF时，分别求解即可．
【解答】（1）证明：∵AH是 O的切线，
∴AH⊥AB， ⊙
∴∠GAB＝90°，
∵A，E关于CD对称，AB⊥CD，
∴点E在AB上，CE＝CA，
∴∠CEA＝∠CAE，
∵∠CAE+∠CAG＝90°，∠AEC+∠AGC＝90°，
∴∠CAG＝∠AGC；
（2）解：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴ ＝ ，
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ACD＝∠ECD，
∴∠ADC＝∠ECD，
∴CF∥AD，
∴ ＝ ，
∵CE＝AC＝AD，
∴ ＝ ，∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ；
（3）解：如图1中，当OC∥AF时，连接OC，OF．设∠AGF＝ ，则∠CAG＝∠ACD＝
∠DCF＝∠AFG＝ ， α
α
∵OC∥AF，
∴∠OCF＝∠AFC＝ ，
∵OC＝OA， α
∴∠OCA＝∠OAC＝3 ，
∵∠OAG＝90°， α
∴4 ＝90°，
∴ α＝22.5°，
∵αOC＝OF，OA＝OF，
∴∠OFC＝∠OCF＝∠AFC＝22.5°，
∴∠OFA＝∠OAF＝45°，
∴AF＝ OF＝ OC，
∵OC∥AF，
∴ ＝ ＝ ，
∵OA＝1，
∴AE＝ ×1＝2﹣ ．如图2中，当OC∥AF时，连接OC，AD，设CD交AE点M．
设∠OAC＝ ，
∵OC∥AF，α
∴∠FAC＝∠OCA＝ ，
∴∠COE＝∠FAE＝2α ，
∵∠AFG＝∠D，∠AαGF＝∠D，
∴∠AGC＝∠AFG＝∠AEC+∠FAE＝3 ，
∵∠AGC+∠AEC＝90°， α
∴4 ＝90°，
∴ α＝22.5°，2 ＝45°，
∴α△COM是等α腰直角三角形，
∴OC＝ OM，
∴OM＝ ，AM＝ +1，
∴AE＝2AM＝2+ ；
如图3中，当AC∥OF时，连接OC，OF．
设∠AGF＝ ，
∵∠ACF＝∠α ACD+∠DCF＝2 ，
∵AC∥OF， α
∴∠CFO＝∠ACF＝2 ，
∴∠CAO＝∠ACO＝4α，
∵∠AOC+∠OAC+∠AαCO＝180°，
∴10 ＝180°，
∴ ＝α18°，
∴α∠COE＝∠ECO＝∠CFO＝36°，
∴△OCE∽△FCO，
∴OC2＝CE×CF，
∴1＝CE（CE+1），
∴CE＝AC＝OE＝ ，∴AE＝OA﹣OE＝ ．
如图4中，当AC∥OF时，连接OC，OF，BF．
设∠FAO＝ ，
∵AC∥OF，α
∴∠CAF＝∠OFA＝ ，
∴∠COF＝∠BOF＝α2 ，
∵AC＝CE， α
∴∠AEC＝∠CAE＝∠EFB，
∴BF＝BE，
由△OCF≌△OBF，
∴CF＝BF＝BE，
∵∠BEF＝∠COF，
∴△COF∽△CEO，
∴OC2＝CE•CF，
∴BE＝CF＝ ，
∴AE＝AB+BE＝ ．
综上所述，满足条件的AE的长为2﹣ 或2+ 或 或 ，【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，垂径定理，轴对称的性质，相似三角形的判定
和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴
题．
