文档内容
专题 01 平面直角坐标系与函数概念
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）平面直角坐标系中点的坐标特征
（1）各象限点的特征：
第一象限 （ + ， + ） ；
第二象限 （—， + ） ；
第三象限（一，一）；
第四象限 （ + ，一）．
（2）特殊位置点的特征：
若点P在x轴上，则 b = 0；
若点P在y轴上，则 a = 0；
若点P在一、三象限角平分线上，则 a = b；
若点P在二、四象限角平分线上，则 a + b = 0 ．
（3）坐标的对称点特征
点P（a，b）关于x轴的对称点P’ （ a ，一 b ）
点P（a，b）关于y轴的对称点P’ （一 a ， b ）
点P（a，b）关于原点的对称点P’ （一 a ，一 b ） ．
（4）点P（a，b）、点M（c，d）坐标关系变化
a b a2 b2
①点P到y轴的距离为 ，到y轴的距离为 ．到原点的距离为 ．
②将点P沿水平方向平移m（m>0）个单位后坐标变化情况为：
点P沿水平向右方向平移m（m>0）个单位后坐标为（a+m，b）；
点P沿水平向左方向平移m（m>0）个单位后坐标为（a-m，b）；
③将点P沿竖直方向平移n（n>0）个单位后坐标变化情况为：
点P沿竖直方向向上平移n（n>0）个单位后坐标为（a，b+n）；
点P沿竖直方向向下平移n（n>0）个单位后坐标为（a，b-n）．
④若直线PM平行x轴，则b=d；若直线PM平行y轴，则a=c；(ac)2 (bd)2
⑤点P到点M的距离：PM=
ac bd
,
⑥线段PM的中点坐标：（ 2 2 ）
（二）函数及自变量的取值范围
（1）常量与变量：在某一变化过程中，始终保持不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．
（2）函数的定义：一般的，在某个变化过程中如果有两个变量x、y，对于x的每一个取值，y都有
唯一确定的值与之对应，那么x是自变量，y是x的函数．
（3）函数的表示方法：①解析式法；②图象法；③列表法．
（4）函数解析式（用来表示函数关系的数学式子叫做解析式）与变自量的取值范围：
（5）描点法画图像的一般步骤：列表、描点、连线
（6）函数自变量取值范围
①函数表达式是整式，自变量的取值是__全体实数__；
②函数表达式是分式，自变量的取值要使得__ 分母不等于 0__；
③函数表达式是偶次根式，自变量的取值要使得__被开方数__为非负数；
④来源于实际问题的函数，自变量的取值要使得实际问题有意义、式子有意义.
函数的有关知识及其图象：
（三）函数图像的分析与判断
分析实际问题判断函数图象的方法：
①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；
②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；
③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.
模块三 考点一遍过
考点1：用坐标表示位置
典例1：如果演唱会门票“8排13座”记作(8,13)，那么(9,8)表示（ ）
A．9排8座 B．8排8座 C．9排9座 D．8排9座
【变式1】在电影院里，如果用(3,10)表示3排10号，那么7排8号可以表示为（ ）
A．(8,7) B．(7,8) C．(−7,8) D．(7,−8)
【变式2】如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为(3,30°)，目标B的
位置为(6,150°)，现有一个目标C的位置为(8,m°)，且与目标B的距离为10，则目标C的位置为
．【变式3】【数对、位置与方向】
（1）如图中，D点的位置为(2,1)，A点的位置用数对表示是 ．
（2）如图中，B点在O点的 偏 °方向上．
（3）计算如图阴影部分的周长和面积（图中每小格为边长1cm的正方形，π取3.14）分别为
、 ．
考点2：求点的坐标
典例2：如图，已知A(−1, 0), B(m, n)其中点B在第四象限，将线段AB绕点A逆时针旋转90°得
到AC，则点C坐标可表示为（ ）
A．(−n−1, m+1) B．(n−1, m+1) C．(m+1, −1−n) D．
(m+1, 1+n)
【变式1】褐马鸡是我国的珍稀鸟类，如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．
若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点A的坐标为(−3,2)，表示尾部点B的坐标为(2,0)，则表
示足部点C的坐标为（ ）A．(0,1) B．(−1,−1) C．(0,−2) D．(0,−1)
【变式2】在平面直角坐标系中，点P在第二象限内，且点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，
则点P的坐标是 ．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−1,0)，点B的坐标为(1,0)，过x轴上的点B
作BC垂直于x轴，若BC=1，以A为圆心，AC为半径作圆弧交x轴正半轴于点P，则点P的坐标为
．
考点3：判断点所在的象限
典例3：如图是红、黄两队某局比赛投壶结束后冰壶的分布图，以冰壶大本营内的中心点为原点建
立平面直角坐标系，按照规则更靠近原点的壶为本局胜方，则胜方最靠近原点的壶所在位置位于（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式1】若点 的坐标 满足条件 ，则点 在（ ）
A (x,y) (x−1) 2+|y+2|=0 A
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【变式2】已知一元二次方程 有两个实数根 ，点 在第
x2−3x−6=0 x 、x A(x +x ，x x )
1 2 1 2 1 2
象限．
【变式3】已知点P(a,b)，且ab>0，a+b<0，则点P在第 象限；考点4：象限点的应用——含参 ☆☆☆☆
典例4：若实数m和n是整数，m<0，n>2，将A(2m−4,n−3)向右平移10个单位，再向下平移2
个单位，得到B点．若B点位于第四象限，则点C(m,n)的可能位置有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【变式1】已知点M(1−a,12−4a)在第二象限，且它的坐标都是整数，则a的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2】已知，在平面直角坐标系中有一点P(2−m,3m+6)
（1）若点P在第一象限的角平分线上，则m= ；若点P在第四象限的角平分线上，则m=
；
（2）若点P在第二象限，则m的取值范围是 ；
（3）多解法点P不可能在第 象限；
（4）将点P先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点B，若点B的横，纵坐标
互为相反数，则m= ．
【变式3】已知点P(x−a,5−2x)在第一象限，要使x取值有4个整数，则a的取值范围为 ．
考点5：坐标与图形
典例5：在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点
的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为(−1，4)，(−4，3)．
(1)在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
(2)作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，再作出△A′B′C′关于x轴对称的△A″B″C″；
(3)将△ABC内一点P(a，b)按照（2）中图形的变换规律进行变换后所得点的坐标为 ．
【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三顶点都在格点上，位置如图，请完成下列
问题：(1)写出A，B，C的坐标；
(2)画出△ABC关于y轴的对称图形△A B C （注意标出对应点字母）；
1 1 1
(3)求△ABC的面积；
(4)在x轴上找一点P，使AP+BP最小（画出点P即可，保留作图痕迹）．
【变式2】平面直角坐标系中，已知点M(m+2,m−5)．
(1)若点M在x轴上，求m的值，
(2)在同一平面直角坐标系中，点A(4,6)，且AM∥y轴，求点M的坐标
【变式3】如图所示，在平面直角坐标系中，已知A(0,−2),B(1,1),C(5,1)．
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC；
(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为________；
(3)△ABC的面积为________；
(4)已知点P为坐标系内一点，连接AP,BP，当△ABP为以AB为斜边的等腰直角三角形时，则点P
的坐标为________．
考点6：坐标规律
典例6：在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个
单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；
当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第2024步时，棋子所处位置的坐标是（ ）
A．(2023,674) B．(2024,675) C．(2025,674) D．(2026,675)
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方
向排列，如(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(1,2),···，根据这个规律，第2025个点的坐标为
（ ）
A．(1,44) B．(45,0) C．(46,0) D．(1,45)
【变式2】如图，点A(1,1)在平面直角坐标系中，对其进行轴对称和平移运动：点A关于y轴的对
称点为A ，点A 关于x轴的对称点为A ，点A 向右平移3个单位长度得到点A ，点A 向上平移3
1 1 2 2 3 3
个单位长度得到点A ，点A 关于y轴的对称点为A ，点A 关于x轴的对称点为A ，点A 向右平移
4 4 5 5 6 6
5个单位长度得到点A ，点A 向上平移5个单位长度得到点A ，…，以此规律，点A 的坐标为
7 7 8 99
．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OM M 的直角边OM 在x轴上，点M 在
0 1 0 1
第一象限，且OM =1，以点M 为直角顶点，OM 为一直角边作等腰直角三角形OM M ，再以
0 1 1 1 2
点M 为直角顶点，OM 为直角边作等腰直角三角形OM M ⋅⋅⋅依此规律则点M 的坐标是
2 2 2 3 2025
．考点7：函数的定义
典例7：下列选项中，y不是x函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
1
A．y=2x B．y=x² C．y=±√x¿ D．y= (x≠0)
x
【变式2】下列图象中，不能表示y是x的函数的是 ．（填序号）
【变式3】下列y与x的关系中，y不是x的函数关系的是 ．（填序号）2 2
①y=−2x−1； ②|y|=2x； ③y2=x； ④y=−x2； ⑤y= ； ⑥y= ．
x x+1
考点8：函数的关系式
典例8：弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（单位：cm）与所挂的物体的质量x（单位：
kg）（不超过10kg）间有下面的关系：
x/kg 0 1 2 3 4 5 …
y/cm 10 10.5 11 11.5 12 12.5 …
则下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量
B．弹簧不挂重物时的长度为10cm
C．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
D．当所挂物体质量为9kg时，弹簧的长度为14cm
【变式1】如图为有春蛋糕店的价目表，阿凯原本拿了4个蛋糕去结账，结账时发现该点正在举办优
惠活动，优惠方式为每买5个蛋糕，其中1个价格最低的蛋糕免费，因此阿凯后来多买了1个黑樱
桃蛋糕．若阿凯原本的结账金额为x元，后来的结账金额为y元，则x与y的关系式不可能为下列何
者？（ ）
A．y=x B．y=x+5 C．y=x+10 D．y=x+15
【变式2】有甲、乙两只大小不同的水箱，容量分别为m升、n升，且已各装有一些水，若将甲水箱
中的水全倒入乙水箱，乙水箱只可再装20升的水；若将乙水箱中的水倒入甲水箱，装满甲水箱后，
乙水箱还剩10升的水．则m与n之间的数量关系是 ．
【变式3】高山地区海拔高，空气稀薄，所以大气压低于一个标准大气压，水的沸点随高原气压的
减小而降低．下表是各个城市的海拔高度及水的沸点统计情况，请根据表中的数据，请写出y与x
的关系式为 ．
城市 A地 B地 C地 D地
海拔x（米） 0 300 600 1500沸点y（度） 100 99 98 95
考点9：自变量的取值范围
1
典例9：函数y=√2x−5+ 中，自变量x的取值范围是（ ）
x−3
5 5 5 5
A．x≠ B．x> 且x≠3 C．x≥ D．x≥ 且x≠3
2 2 2 2
1
【变式1】下列函数中，自变量x的取值范围是
