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专题 02 二次根式
（时间：60分钟，满分120分）
一、填空题（每题3分，共30分）
1．（2021·湖南）将 化为最简二次根式，其结果是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的化简方法即可得．
【详解】解：原式 ，
，
故选：D．
2．（2022·贵州贵阳）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3
【答案】A
【详解】解：由题意得 ．解得x≥3，故选：A．
3．下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】分别根据算术平方根、立方根 的性质化简，利用二次根式加减法则计算即可判断．
【详解】解：A． ，故选项A不合题意；
B. ，故选项B不合题意；C. 不等于2，故选项C不合题意；
D. ，故选项D符合题意．
故选D．
5．（2022·河北）下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质判断即可．
【详解】解：A. ，故错误；
B. ，故正确；
C. ，故错误；
D. ，故错误；故选：B．
6．（2022·湖北恩施）函数 的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D．
【答案】C
【分析】根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：∵ 有意义，
∴ ，
解得 且 ，故选C．
7．（2022·重庆南开中学三模）估计 的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间
C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】D
【分析】利用二次根式的混合运算法则将原式化简，再进行无理数的估算即可．【详解】解：
=
=
∵25<30<36，
∴5< <6，
∴7< <8，
即 的值在7和8之间，
故选：D．
8．（2022·上海崇明·二模）如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么x的值是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的定义：二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式
叫做同类二次根式．进行求解即可．
【详解】∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
9．（2022·湖南常德）我们发现： ， ， ，…，
，一般地，对于正整数 ， ，如果满足 时，称 为一组完美方根数对．如上面 是一组完美方根数对．则下面4个结论：① 是完美方根
数对；② 是完美方根数对；③若 是完美方根数对，则 ；④若 是完美方根数对，则
点 在抛物线 上．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据定义逐项分析判断即可．
【详解】解： ， 是完美方根数对；故①正确；
不是完美方根数对；故②不正确；
若 是完美方根数对，则 即 解得 或
是正整数则 故③正确；
若 是完美方根数对，则 ,即 故④正确故选C
10．（2022·广东番禺中学三模）若 ，则 等于（ ）
A．1 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】直接利用二次根式中被开方数是非负数，得出x的值，进而得出y的值，再利用有理数的乘方运
算法则计算即可．
【详解】解：由题意可得： ，
解得：x＝2，
故y＝-3，
∴ ．
故选：A．
二、填空题（每题4分，共28分）11．（2022·湖北武汉）计算 的结果是_________．
【答案】2
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解： ．故答案为：2．
12．（2022·广西）化简： =_____．
【答案】
【分析】根据 ，计算出结果即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
13．（2022·湖南娄底）函数 的自变量 的取值范围是_______．
【答案】
【分析】由 有意义可得： 再解不等式可得答案．
【详解】解：由 有意义可得：
即 解得： 故答案为：
14．一个三角形的三边长a，b，c满足|a﹣8|+ +（c﹣10）2＝0，则这个三角形最长边上的高为 ___．
【答案】4.8
【分析】首先根据非负数的性质求得a、b、c，然后根据勾股定理的逆定理判断这个三角形是直角三角形，
再根据直角三角形的面积公式求最长边上的高．
【详解】解：∵|a﹣8|+ +（c﹣10）2＝0，
∴a-8=0，b-6=0，c-10=0，
∴a=8，b=6，c=10，∵62+82=102，
∴该三角形是直角三角形，
∴这个三角形最长边上的高为： =4.8，
故答案为：4.8．
15．（2022·四川广安·二模）如图所示，化简 的结果是___________．
【答案】-2
【分析】根据数轴即可判断a和b的取值范围，即可判断 的符号，最后利用二次根式的
性质去根号即可化简．
【详解】解：由数轴可知 ，
∴ ， ，
∴原式
．
故答案为：-2．
16．（2022·湖北随州）已知m为正整数，若 是整数，则根据 可知
m有最小值 ．设n为正整数，若 是大于1的整数，则n的最小值为______，最大值为______．
【答案】 3 75
【分析】根据n为正整数， 是大于1的整数，先求出n的值可以为3、12、75，300，再结合
是大于1的整数来求解．
【详解】解：∵ ， 是大于1的整数，∴ ．
∵n为正整数∴n的值可以为3、12、75，n的最小值是3，最大值是75．故答案为：3；75．17．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求
积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S＝.已知△ABC的三边长分别
为，2，2，则△ABC的面积为 ．
【解析】直接利用公式结合二次根式的性质化简得出答案．△ABC的面积为：＝.
三、简答题（共66分）
18. （8分）计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2）1
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先把括号内的二次根式化为最简二次根式，然后合并，再计算除法．
【详解】解：（1）
=
= ；
（2）
=
=
=1
19. （8分）计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再计算乘除法；（2）先算乘法，将括号展开，再合并．
【详解】解：（1）
=
=
= ；
（2）
=
=
20. （8分）计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2）7
【分析】（1）先将括号展开，再计算乘法，同时化简，最后合并同类二次根式；
（2）先计算负指数幂，零指数幂和乘法，再算加减法．
【详解】解：（1）
=
=
= ；（2）
=
=
=7
21. （12分）观察下列等式：
；
；
；
按照上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第6个等式：________________；
（2）请写出第n个等式：________________；
（3）求 的值．
【答案】（1） ；（2） ；
（3）
【分析】（1）（2）从等式中找出规律，比如第三个等式：3×2-1=5，3×2+1=7，3就是a 的3，5就是 ，
37就是 ，即可得出答案；
（3）根据上面的规律得出 通分，
观察分子中的项，互为相反数相加得0便可解出．
【详解】解：（1）观察，如 的下标3，与 中被开方数，5和7得出：3×2-1=5，3×2+1=7，即7
等于下标的2倍加1，5等于下标的2倍减1；
，
故答案是： ；
（2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为2n+1，2n-1，所以第n个等式
，
故答案是： ；
（3）
．
22．（12分）阅读下面的材料：
小明在学习完二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝(1＋)2.
善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝(m＋n)2(其中a，b，m，n均为正整数)，则有a＋b＝m2＋2n2＋
2mn.所以a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把类似a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当 a，b，m，n 均为正整数时，若 a＋b＝(m＋n)2，用含 m，n 的式子分别表示 a，b，得 a＝
________，b＝________；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：______＋______＝(______＋______)2；（3）若a＋4＝(m＋n)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
【答案】(1)m2＋3n2；2mn
(2)16；8；2；2(答案不唯一)
(3)由题意得a＝m2＋3n2，4＝2mn.
因为m，n为正整数，
所以m＝2，n＝1或m＝1，n＝2.
所以a＝22＋3×12＝7或a＝12＋3×22＝13.
综上可知，a的值为7或13.
23. （12分）先阅读，后解答： ；像上述解
题过程中， 与 相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上
述解题过程也称为分母有理化，
（1） 的有理化因式是 ； 的有理化因式是 ．
（2）将下列式子进行分母有理化：
① = ；② = ．
（3）计算：
【答案】（1） ， ；（2） ， ；（3） ．
【分析】（1）根据有理化因式的定义，仿照阅读中例子，得到 、 的有理化因式；
（2）分子和分母都乘以各自分母的有理化因式，化去分母中的根号即可；
（3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可．
【详解】解：（1） 的有理化因式是 ， 的有理化因式是 ；
故答案为： ， ；（2）① ，
② ；
故答案为： ， ；
（3）
．
