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专题 04 二次根式（12 个高频考点）（举一反三）
【考点1 二次根式的定义】...................................................................................................................................1
【考点2 二次根式有意义的条件】.......................................................................................................................2
【考点3 二次根式的性质与化简】.......................................................................................................................2
【考点4 最简二次根式】.......................................................................................................................................2
【考点5 二次根式的乘除】...................................................................................................................................3
【考点6 分母有理化】...........................................................................................................................................3
【考点7 同类二次根式】.......................................................................................................................................4
【考点8 二次根式的加减法】...............................................................................................................................5
【考点9 二次根式的混合运算】...........................................................................................................................5
【考点10 二次根式的化简求值】...........................................................................................................................6
【考点11 比较二次根式的大小】...........................................................................................................................6
【考点12 二次根式的应用】...................................................................................................................................6
【要点1 二次根式的定义】
一般地，形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。
【考点1 二次根式的定义】
√1
【例1】（2022·河南·灵宝市实验中学三模）下列式子：① ；②√1−2；③√x2+1；④√327；⑤√(−4) 2，
3
是二次根式的有（ ）
A．①③⑤ B．①③ C．①②③ D．①②③⑤
【变式1-1】（2022·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式3a−√b 4a+3b和√2a−b+6能
合并，则a、b的值分别是（ ）
A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1
【变式1-2】（2022·广东·东莞市万江第三中学三模）下列各式中是二次根式的为（ ）
s
A．a+b B． C．−x3 D．√a(a≥0)
t【变式1-3】（2022·河南省淮滨县第一中学三模）已知x=√6−2√5为一元二次方程x2+ax+b=0的一个
根，且a，b为有理数，则a=______，b=______．
【考点2 二次根式有意义的条件】
【例2】（2022·四川·绵阳市桑枣中学一模）若等式√(x−1)(x+2)=√x−1⋅√x+2成立，则字母x应满足
条件（ ）
A．x≥0 B．x≥−2 C．−2≤x≤1 D．x≥1
【变式2-1】（2022·四川师范大学附属中学模拟预测）已知x，y均为实数，y=√x−2+√4−2x+3，则
xy的值为________．
√x+3
【变式2-2】（2022·辽宁丹东·中考真题）在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ ）
x
A．x≥3 B．x≥﹣3 C．x≥3且x≠0 D．x≥﹣3且x≠0
x 1
【变式2-3】（2022·湖北黄石·中考真题）函数y= + 的自变量x的取值范围是（ ）
√x+3 x−1
A．x≠−3且x≠1 B．x>−3且x≠1 C．x>−3 D．x≥−3且x≠1
【要点2 二次根式的基本性质】
① (a≥0)； ② (a≥0)； ③ (a＜0)
(√a) 2=a √a2=a √a2=−a
【考点3 二次根式的性质与化简】
【例3】（2022·四川宜宾·二模）下列计算正确的是（ ）
√ 7
A． =√3 B．√3−8=−2 C．√a2=a D．√25=±5
21
【变式3-1】（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则 的
√a2+1+|a−1|
化简结果是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
【变式3-2】（2022·福建·莆田第十五中学八年级阶段练习）若√12a是整数，则正整数a的最小值为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式3-3】（2022·四川南充·中考真题）若√8−x为整数，x为正整数，则x的值是_______________．
【要点3 最简二次根式】最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
【考点4 最简二次根式】
【例4】（2022·江苏·射阳县第四中学一模）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
√1
A．√30 B．√12 C．√8 D．
2
【变式4-1】（2022·湖北襄阳·二模）若最简二次根式√a+1与√8是可以合并的二次根式，则a＝______．
【变式4-2】（2022·重庆文德中学校二模）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．√8
B．√1
C．√ab2 D．√3
3
【变式4-3】（2022·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式3a−√b 4a+3b和√2a−b+6能
合并，则a、b的值分别是（ ）
A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1
【要点4 二次根式的乘除】
(1) 二次根式的乘法：
√a⋅√b=√ab √ab=√a⋅√b
； (a≥0， b≥0)
(2) 二次根式的除法：
； (a≥0， b＞0)
【考点5 二次根式的乘除】
【例5】（2022·湖北恩施·中考真题）从√2，−√3，−√2这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的
有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
√a √ 1
【变式5-1】（2022·广东番禺中学三模）计算： ÷√ab⋅ 等于（ ）
b ab
1 1 1
A． √ab B． √ab C． √ab D．b√ab
|a|b2 ab b
【变式5-2】（2022·广东佛山·一模）下列整数中，与(4√24-√30)÷√6的值最接近的是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式5-3】（2022·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）能与√3÷√6相乘得1的是（ ）
A．1÷√2 B．√2÷√6 C．√6÷√3 D．√3÷√6【考点6 分母有理化】
【例6】（2022·福建·漳州三中八年级阶段练习）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
1 1 1 1
=√2−1 =√3−√2 =√4−√3 =√5−√4
√2+1 √3+√2 √4+√3 √5+√4
1
(1)求 =__________；
√10+√9
(2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律：______________；
(3)利用这一规律计算：( 1 1 1 1 )
+ + +⋯+ ⋅(√2020+1)
√2+1 √3+√2 √4+√3 √2020+√2019
√2
【变式6-1】（2022·安徽·二模）- 的倒数是 （ ）
3
2√3 √2 √3 3√2
A．- B．- C．− D．−
2 3 2 2
1
【变式6-2】（2022·河北保定·一模）已知x= ，y=2+√3．则
2+√3
（1）x2+ y2=________；
（2） ________．
(x−y) 2−xy=
【变式6-3】（2022·重庆·西南大学附中三模）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含
有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，(√5−2)(√5+2)=1，√a⋅√a=a，
(2√3−√2)(2√3+√2)=10．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用
有理化因式，分别得到了一个结论：
1 3+√5
甲： = ；
3−√5 4
a b
乙：设有理数a，b满足： + =−6√2+4，则a+b=6；
√2+1 √2−1
1 1
丙： > ；
√2022−√2021 √2020−√2019
丁：已知√43−x−√11−x=4，则√43−x+√11−x=6；
1 1 1 1 33−√11
戊： + + +⋯+ = .
3+√3 5√3+3√5 7√5+5√7 99√97+97√99 66
以上结论正确的有（ ）
A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁【考点7 同类二次根式】
【例7】（2022·上海普陀·二模）下列二次根式中，与√3x是同类二次根式的是（ ）
√x
A． B．√3x C．3√x D．√3x2
3
【变式7-1】（2022·上海崇明·二模）如果最简二次根式√3x−5与√x+3是同类二次根式，那么x的值是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式7-2】（2022·上海·模拟预测）二次根式√5x+8与√7是同类二次根式，则x的最小正整数为
（ ）
1
A．4 B．5 C．6 D．−
5
【变式7-3】（2022·湖北·孝感市孝南区教学研究室模拟预测）如果二次根式√x+5与√2可以合并，那么x
的值可以是_________（只需写出一个）
【考点8 二次根式的加减法】
【例8】（2022·河北·模拟预测）如果√a+1与√12的和等于3√3，那么a的值是___________．
√1
【变式8-1】（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算√3+3 的结果是___________．
3
【变式8-2】（2022·河北省保定市第二中学分校一模）√18−√3+√12−√8＝__________________．
√1
【变式8-3】（2022·河北唐山·二模）已知：−√50+ =a√2+b√2=c√2，则ab＋c＝________．
2
【考点9 二次根式的混合运算】
【例9】（2022·江苏·南京师范大学附属中学树人学校二模）计算 2 ( √1)的结果是____．
÷ √3+
√3 3
√4
【变式9-1】（2022·山东泰安·中考真题）计算：√8⋅√6−3 =__________．
3
【变式9-2】（2022·江苏泰州·中考真题）计算:
√2
(1)计算：√18−√3× ；
3
(2)按要求填空：
2x 1
小王计算 − 的过程如下：
x2−4 x+2
2x 1
解： −
x2−4 x+22x 1
= − −−−−−−−第一步
(x+2)(x−2) x+2
2x x−2
= − −−第二步
(x+2)(x−2) (x+2)(x−2)
2x−x−2
= −−−−−−−−−−−第三步
(x+2)(x−2)
x−2
= −−−−−−−−−−−第四步
(x+2)(x−2)
x−2
= −−−−−−−−−−−−−−−−第五步
x+2
小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第 步出现错误.直接
写出正确的计算结果是 .
【变式9-3】（2022·江苏·九年级二模）如图，一次函数y=x+√2的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把
直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（ ）
A．√6+√2 B．3√2 C．2+√3 D．√3+√2
【考点10 二次根式的化简求值】
【例10】（2022·广东番禺中学三模）已知x2＝2x+15，则代数式 =__________．
(x+√2) 2 −(x−√2) 2
√a √b
【变式10-1】（2022·四川·隆昌市蓝天育才学校一模）已知a+b=3，ab=2，则 + 的值为_________．
b a
1
【变式10-2】（2022·浙江·舟山市定海区第七中学一模）已知√x− =2，那么
√x
√
x2+
1
−2−
√ x 的值等于________．
x2 x2+2x+1
√ x √ y
【变式10-3】（2022·湖北·荆门市海慧中学八年级阶段练习）已知xy=3，则y +x =________．
y x
【考点11 比较二次根式的大小】
【例11】（2022·四川泸州·中考真题）与2+√15最接近的整数是（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
【变式11-1】（2022·陕西延安·二模）比较大小：2√3_____3√2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
√2 1
【变式11-2】（2022·湖南怀化·中考真题）比较大小： __________ （填写“＞”或“＜”或“＝”）．
2 2
√1
【变式11-3】（2022·贵州安顺·中考真题）估计(2√5+5√2)× 的值应在（ ）
5
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【考点12 二次根式的应用】
【例12】（2022·四川眉山·中考真题）将一组数√2，2，√6，2√2，…，4√2，按下列方式进行排列：
√2，2，√6，2√2；
√10，2√3，√14，4；
…
若2的位置记为(1,2)，√14的位置记为(2,3)，则2√7的位置记为________．
√8 √15 √24
【变式12-1】（2022·江苏无锡·一模）按一定规律排列的一列数：√3， ， ， ，……其中第5
2 3 4
个数为______，第n个数为_______（n为正整数）．
【变式12-2】（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室三模）阅读与应用：同学们，你们已经知道(a−b)2≥0
，即a2−2ab+b2≥0．所以a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号)．
阅读 ：若 、 为实数，且 ， ， ， ， 当且仅
1 a b a>0 b>0 ∵(√a−√b) 2 ≥0 ∴a−2√ab+b≥0 ∴a+b≥2√ab(
当a=b时取等号)．
m m √ m
阅读2：若函数y=x+ (m>0，x>0，m为常数)．由阅读1结论可知：x+ ≥2 x⋅ ，即
x x x
m m m
x+ ≥2√m∴当x= 即x2=m，∴x=√m(m>0)时，函数y=x+ 的最小值为2√m．
x x x
阅读理解上述内容，解答下列问题：
4 ( 4)
问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为 ，周长为2 x+ ，当x=______时，
x x
矩形周长的最小值为______．
9 9
问题2：若函数y=a+ (a>1)，则a=______时，函数y=a+ (a>1)的最小值为______．
a−1 a−1
问题3：建造一个容积为8立方米，深2米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米120元和
80元，设池长为x米，水池总造价为y元，求当x为多少时，水池总造价y最低？最低是多少？【变式12-3】（2022·贵州铜仁·三模）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式—海伦公式S
a+b+c
=√p(p−a)(p−b)(p−c)（其中a，b，c是三角形的三边长，p= ，S为三角形的面积），并给出
2
了证明
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
∵a＝3，b＝4，c＝5
a+b+c
∴p= =6
2
∴S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=√6×3×2×1=6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶
公式等方法解决．
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）求△ABC的内切圆半径r．
