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专题 04 二次根式（12 个高频考点）（举一反三）
【考点1 二次根式的定义】...................................................................................................................................1
【考点2 二次根式有意义的条件】.......................................................................................................................3
【考点3 二次根式的性质与化简】.......................................................................................................................5
【考点4 最简二次根式】.......................................................................................................................................6
【考点5 二次根式的乘除】...................................................................................................................................8
【考点6 分母有理化】.........................................................................................................................................10
【考点7 同类二次根式】.....................................................................................................................................13
【考点8 二次根式的加减法】.............................................................................................................................15
【考点9 二次根式的混合运算】.........................................................................................................................16
【考点10 二次根式的化简求值】.........................................................................................................................19
【考点11 比较二次根式的大小】.........................................................................................................................21
【考点12 二次根式的应用】.................................................................................................................................23
【要点1 二次根式的定义】
一般地，形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。
【考点1 二次根式的定义】
√1
【例1】（2022·河南·灵宝市实验中学三模）下列式子：① ；②√1−2；③√x2+1；④√327；⑤√(−4) 2，
3
是二次根式的有（ ）
A．①③⑤ B．①③ C．①②③ D．①②③⑤
【答案】A
【分析】由二次根式的性质和定义进行判断，即可得到答案
√1
【详解】解： 、√x2+1、√(−4) 2是二次根式；故①③⑤符合题意；
3
√1−2=√−1无意义，√327是三次方根式；故②④不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，解题的关键是掌握二次根式的定义进行判断【变式1-1】（2022·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式3a−√b 4a+3b和√2a−b+6能
合并，则a、b的值分别是（ ）
A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1
【答案】D
【分析】由二次根式的定义可知3a−b=2，由最简二次根式3a−√b 4a+3b和√2a−b+6能合并，可得
4a+3b=2a−b+6，由此即可求解．
【详解】解：∵最简二次根式3a−√b 4a+3b和√2a−b+6能合并，
∴¿，
∴¿，
解得¿，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．
【变式1-2】（2022·广东·东莞市万江第三中学三模）下列各式中是二次根式的为（ ）
s
A．a+b B． C．−x3 D．√a(a≥0)
t
【答案】D
【分析】根据二次根式的定义判定即可．
【详解】解：A、a+b是整式不是二次根式，故此选项不符合题意；
s
B、 是分式不是二次根式，故此选项不符合题意；
t
C、−x3是单项式不是二次根式，故此选项不符合题意；
D、√a(a≥0)是二次根式，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式，熟练掌握二次根式的定义“形如√a(a≥0)的式了叫二次根式”是解题的关键．
【变式1-3】（2022·河南省淮滨县第一中学三模）已知x=√6−2√5为一元二次方程x2+ax+b=0的一个
根，且a，b为有理数，则a=______，b=______．
【答案】 2； −4；
【分析】将x=√6−2√5因式分解求得x=√5−1，则x2+ax+b=0可化简得√5(a−2)+(b−a+6)=0，根
据a，b为有理数，可得a−2，b−a+6也为有理数，故当√5(a−2)+(b−a+6)=0时候，只有a−2=0，
b−a+6=0，据此求解即可．
【详解】解：∵x=√6−2√5
=√5−2√5+1=√(√5) 2 −2√5+12
=√(√5−1) 2
=√5−1
∴x2+ax+b=0
∴(√5−1)
2+a(√5−1)+b=0
∴6−2√5+√5a−a+b=0
∴√5a−2√5−a+b+6=0
∴√5(a−2)+(b−a+6)=0
∵a，b为有理数，
∴a−2，b−a+6也为有理数，
故当√5(a−2)+(b−a+6)=0时候，只有a−2=0，b−a+6=0，
∴a=2，b=−4，
故答案是：2，−4；
【点睛】本题考查了二次根式的化简，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理数，无理数
的概念的理解，熟悉相关性质是解题的关键．
【考点2 二次根式有意义的条件】
【例2】（2022·四川·绵阳市桑枣中学一模）若等式√(x−1)(x+2)=√x−1⋅√x+2成立，则字母x应满足
条件（ ）
A．x≥0 B．x≥−2 C．−2≤x≤1 D．x≥1
【答案】D
【分析】根据二次根式的意义可以得知x−1≥0，x+2≥0构成不等式组就可以求出其x的取值范围．
【详解】解：∵√(x−1)(+2)=√x−1⋅√x+2，
∴¿，
解得x≥1．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式有意义的条件及不等式组的解法，根据二次根式有意义
的条件列出不等式组是解答关键.
【变式2-1】（2022·四川师范大学附属中学模拟预测）已知x，y均为实数，y=√x−2+√4−2x+3，则
xy的值为________．【答案】8
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案．
【详解】解：∵y=√x−2+√4−2x+3，
∴¿，
∴x=2，
∴y=3，
∴xy=23=8，
故答案为：8
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键.
√x+3
【变式2-2】（2022·辽宁丹东·中考真题）在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ ）
x
A．x≥3 B．x≥﹣3 C．x≥3且x≠0 D．x≥﹣3且x≠0
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：由题意得：x+3≥0且x≠0，
解得：x≥﹣3且x≠0，
故选：D．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是
解题的关键．
x 1
【变式2-3】（2022·湖北黄石·中考真题）函数y= + 的自变量x的取值范围是（ ）
√x+3 x−1
A．x≠−3且x≠1 B．x>−3且x≠1 C．x>−3 D．x≥−3且x≠1
【答案】B
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：依题意，¿
∴x>−3且x≠1
故选B
【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式与分式有意义的条件是解题关键．
【要点2 二次根式的基本性质】
① (√a) 2=a (a≥0)； ② √a2=a (a≥0)； ③ √a2=−a(a＜0)【考点3 二次根式的性质与化简】
【例3】（2022·四川宜宾·二模）下列计算正确的是（ ）
√ 7
A． =√3 B．√3−8=−2 C．√a2=a D．√25=±5
21
【答案】B
【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐项判定即可．
√ 7 √3
【详解】解：A、 ＝ ≠√3，所以本选项计算错误，不符合题意；
21 3
B、√3−8=﹣2，所以本选项计算正确，符合题意；
C、√a2=|a|=±a，所以本选项计算错误，不符合题意；
D、√25=5，所以本选项计算错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握三者的概念的区别与联系是解题的关
键．
【变式3-1】（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则√a2+1+|a−1|的
化简结果是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
【答案】B
【分析】根据数轴得∶ 00， a-1<0，利用二次根式和绝对值的性质化简求解即可．
【详解】解∶∵根据数轴得∶ 00， a-1<0，
∴原式=|a|+1+1-a
=a+1+1- a
=2．
故选∶B．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握√a2=|a|是解题的关键．
【变式3-2】（2022·福建·莆田第十五中学八年级阶段练习）若√12a是整数，则正整数a的最小值为
（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根据12=22×3，若√12a是整数，则12a一定是一个完全平方数，据此即可求得a的值．
【详解】解：∵12=22×3，√12a=2√3a是整数，
又∵能被3整除的最小平方数是9，
∴a的最小正整数值是3，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，正确理解√12a=2√3a是完全平方数是关键．
【变式3-3】（2022·四川南充·中考真题）若√8−x为整数，x为正整数，则x的值是_______________．
【答案】4或7或8
【分析】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据
√8−x为整数即可得x的值．
【详解】解：∵8−x≥0
∴x≤8
∵x为正整数
∴x可以为1、2、3、4、5、6、7、8
∵√8−x为整数
∴x为4或7或8
故答案为：4或7或8．
【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简、解一元一次不等式等知识点，掌握二次根式的性质是解答
本题的关键．
【要点3 最简二次根式】
最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
【考点4 最简二次根式】
【例4】（2022·江苏·射阳县第四中学一模）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
√1
A．√30 B．√12 C．√8 D．
2
【答案】A
【分析】被开方数含有开不尽方的因数或因式，且不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，根据此概
念进行判断即可．
【详解】A、此二次根式再也不能化简了，故是最简二次根式，符合题意；B、√12=2√3，故不是最简二次根式，不符合题意；
C、√8=2√2，故不是最简二次根式，不符合题意；
√1 √2
D、 = ，故不是最简二次根式，不符合题意；
2 2
故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，二次根式的性质，掌握最简二次根式的概念是关键．
【变式4-1】（2022·湖北襄阳·二模）若最简二次根式√a+1与√8是可以合并的二次根式，则a＝______．
【答案】1
【分析】根据同类二次根式的定义计算求值即可；
【详解】解：∵√8＝2√2，
根据题意得：a+1＝2，
解得a＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能
开得尽方的因数或因式；同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那
么这几个二次根式叫做同类二次根式；掌握相关定义是解题关键．
【变式4-2】（2022·重庆文德中学校二模）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．√8 B．
√1
C．√ab2 D．√3
3
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．√8=2√2，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
√1 √3
B． = ，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
3 3
C．√ab2=|b|√a，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D．√3是最简二次根式，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中
的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．理解和掌握最简二次根式的
定义是解题的关键．
【变式4-3】（2022·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式3a−√b 4a+3b和√2a−b+6能合并，则a、b的值分别是（ ）
A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1
【答案】D
【分析】由二次根式的定义可知3a−b=2，由最简二次根式3a−√b 4a+3b和√2a−b+6能合并，可得
4a+3b=2a−b+6，由此即可求解．
【详解】解：∵最简二次根式3a−√b 4a+3b和√2a−b+6能合并，
∴¿，
∴¿，
解得¿，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．
【要点4 二次根式的乘除】
(1) 二次根式的乘法：
√a⋅√b=√ab √ab=√a⋅√b
； (a≥0， b≥0)
(2) 二次根式的除法：
； (a≥0， b＞0)
【考点5 二次根式的乘除】
【例5】（2022·湖北恩施·中考真题）从√2，−√3，−√2这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的
有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据题意分别求出这三个实数中任意两数的积，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：
−√3×√2=−√6,−√2×√2=−2,−√3×(−√2)=√6，
∴所有积中小于2的有−√6,−2两个；
故选C．
【点睛】本题主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算是解题的关键．
√a √ 1
【变式5-1】（2022·广东番禺中学三模）计算： ÷√ab⋅ 等于（ ）
b ab1 1 1
A． √ab B． √ab C． √ab D．b√ab
|a|b2 ab b
【答案】A
【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可．
√a √ 1 √a 1 1 √ 1 1
【详解】解： ÷√ab⋅ = ⋅ ⋅ = = √ab．
b ab b ab ab ab3 |a|b2
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，√a⋅√b=√ab(a≥0,b≥0)，
√a
√a÷√b= (a≥0,b>0)，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
b
【变式5-2】（2022·广东佛山·一模）下列整数中，与(4√24-√30)÷√6的值最接近的是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根据二次根式的混合运算法则化简原式，再估算出√5的值即可判断．
【详解】解：(4√24-√30)÷√6
4√24 √30
＝ −
√6 √6
＝8﹣√5，
∵2.22＜5＜2.32，
∴2.2<√5<2.3，
∴5.7<8−√5<5.8，
∴与(4√24-√30)÷√6的值最接近的是6．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．
【变式5-3】（2022·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）能与√3÷√6相乘得1的是（ ）
A．1÷√2 B．√2÷√6 C．√6÷√3 D．√3÷√6
【答案】C
【分析】根据二次根式乘除混合运算逐项计算即可求解．
1 √3 1
【详解】解：A. (1÷√2)×(√3÷√6)= × = ，不符合题意，故该选项不正确，不符合题意；
√2 √6 2
√2 √3 √6
B. (√2÷√6)×(√3÷√6)= × = ，故该选项不正确，不符合题意；
√6 √6 6√6 3
C. (√6÷√3)×(√3÷√6) = × =1，故该选项正确，符合题意；
3 6
√3 3 1
D. (√3÷√6)×(√3÷√6)= × = ，故该选项不正确，不符合题意．
6 6 2
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式乘除混合运算，正确的计算是解题的关键．
【考点6 分母有理化】
【例6】（2022·福建·漳州三中八年级阶段练习）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
1 1 1 1
=√2−1 =√3−√2 =√4−√3 =√5−√4
√2+1 √3+√2 √4+√3 √5+√4
1
(1)求 = __________；
√10+√9
(2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律：______________；
( 1 1 1 1 )
(3)利用这一规律计算： + + +⋯+ ⋅(√2020+1)
√2+1 √3+√2 √4+√3 √2020+√2019
【答案】(1)√10−√9
1
(2)
=√n+1−√n
√n+1+√n
(3)2019
【分析】（1）根据题目中的例子进行分母有理化求解即可；
（2）按照所给等式的变化规律写出第n个等式即可；
（3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算即可．
1 √10−√9
【详解】（1）由题意可得： = =√10−√9，
√10+√9 (√10+√9)(√10−√9)
故答案为：√10−√9；
1
（2）由题意可得： =√n+1−√n(n为正整数），
√n+1+√n
1
故答案为： =√n+1−√n；
√n+1+√n
( 1 1 1 1 )
（3） + + +⋯+ ⋅(√2020+1)
√2+1 √3+√2 √4+√3 √2020+√2019
=(√2−1+√3−√2+√4−√3+…+√2020−√2019)×(√2020+1)=(−1+√2−√2+√3−√3+√4−…−√2019+√2020)×(√2020+1)
=(√2020−1)(√2020+1)
=2020−1
=2019．
【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化及二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然
后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次
根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
√2
【变式6-1】（2022·安徽·二模）- 的倒数是 （ ）
3
2√3 √2 √3 3√2
A．- B．- C．− D．−
2 3 2 2
【答案】D
【分析】乘积是1的两数互为倒数，依此即可得出答案．
√2 3 √2 3√2
【详解】解：∵- ⋅(− )=- ⋅(− )=1，
3 √2 3 2
√2 3√2
∴- 的倒数是- ，
3 2
故选：D．
【点睛】此题主要考查了倒数，分母有理化，正确掌握倒数的定义是解题关键．
1
【变式6-2】（2022·河北保定·一模）已知x= ，y=2+√3．则
2+√3
（1）x2+ y2=________；
（2）(x−y) 2−xy=________．
【答案】 14 11
【分析】根据分母有理化得到x=2−√3，将x和y分别代入（1）（2）中根据二次根式的混合运算法则计
算求解．
1
【详解】解：∵x= ，
2+√3
1 2−√3
∴x= = =2−√3，
2+√3 (2+√3)(2−√3)
∴（1）x2+ y2=(2−√3) 2+(2+√3) 2
=4−4√3+3+4+4√3+3
=14，
故答案为：14；
（2）(x−y) 2−xy
2
=[2−√3−(2+√3)] −(2−√3)(2+√3)
=(−2√3) 2 −(4−3)
=12−1
=11，
故答案为：11．
【点睛】本题主要考查了分母有理化、二次根式的混合运算法则，理解相关知识是解答关键．
【变式6-3】（2022·重庆·西南大学附中三模）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含
有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，(√5−2)(√5+2)=1，√a⋅√a=a，
(2√3−√2)(2√3+√2)=10．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用
有理化因式，分别得到了一个结论：
1 3+√5
甲： = ；
3−√5 4
a b
乙：设有理数a，b满足： + =−6√2+4，则a+b=6；
√2+1 √2−1
1 1
丙： > ；
√2022−√2021 √2020−√2019
丁：已知√43−x−√11−x=4，则√43−x+√11−x=6；
1 1 1 1 33−√11
戊： + + +⋯+ = .
3+√3 5√3+3√5 7√5+5√7 99√97+97√99 66
以上结论正确的有（ ）
A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁
【答案】B
【分析】根据分母有理化进行计算逐项分析判断即可求解．
1 3+√5 3+√5
【详解】解：甲： = = ，正确；
3−√5 9−5 4a b a(√2−1) b(√2+1)
乙：设有理数a，b满足： + = + =(a+b)√2+(b−a)=−6√2+4，则
√2+1 √2−1 2−1 2−1
a+b=−6，故乙错误；
1 1
丙：∵ =√2022+√2021， =√2020+√2019
√2022−√2021 √2020−√2019
1 1
∴ > ，故丙正确；
√2022−√2021 √2020−√2019
丁：∵(√43−x−√11−x)(√43−x+√11−x)=43−x−11+x=32，√43−x−√11−x=4，
则√43−x+√11−x=8，故丁错误；
1 1 1 1
戊： + + +⋯+
3+√3 5√3+3√5 7√5+5√7 99√97+97√99
3−√3 5√3−3√5 7√5−5√7 99√97−97√99
= + + +⋅⋅⋅+
6 30 70 2×99×97
1 √99
= −
2 2×99
1 √11
= −
2 2×33
33−√11
= ，故戊正确
66
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
【考点7 同类二次根式】
【例7】（2022·上海普陀·二模）下列二次根式中，与√3x是同类二次根式的是（ ）
√x
A． B．√3x C．3√x D．√3x2
3
【答案】A
【分析】根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数
相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．求解即可．
√3x
【详解】解：A.原式= ，符合题意；
3
B.不是同类二次根式，不符合题意；
C.不是同类二次根式，不符合题意；
D.原式=x√3，不符合题意，故选：A．
【点睛】本题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的
概念．
【变式7-1】（2022·上海崇明·二模）如果最简二次根式√3x−5与√x+3是同类二次根式，那么x的值是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的定义：二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式
叫做同类二次根式．进行求解即可．
【详解】∵最简二次根式√3x−5与√x+3是同类二次根式，
∴3x−5=x+3，
∴x=4，
故选：D．
【点睛】本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
【变式7-2】（2022·上海·模拟预测）二次根式√5x+8与√7是同类二次根式，则x的最小正整数为
（ ）
1
A．4 B．5 C．6 D．−
5
【答案】A
1
【分析】把x=4、5、6、− 分别代入√5x+8进行计算并且化简，根据同类二次根式的定义和题目要求即
5
可得到答案．
【详解】解：A．x=4时，√5x+8=√28=2√7，与√7是同类二次根式，故此项正确，符合题意；
B．x=5时，√5x+8=√33，与√7是不同类二次根式，故此项错误，不符合题意；
C．x=6时，√5x+8=√38，与√7是不同类二次根式，故此项错误，不符合题意；
1 1
D．x=− 时，√5x+8=√7，与√7是不同类二次根式，但− 不是正整数，故此项错误，不符合题意．
5 5
故选：A．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫
做同类二次根式，理解同类二次根式的定义是解答关键．
【变式7-3】（2022·湖北·孝感市孝南区教学研究室模拟预测）如果二次根式√x+5与√2可以合并，那么x
的值可以是_________（只需写出一个）【答案】−3（答案不唯一）
【分析】当√x+5和√2可以合并，所以它们是同类二次根式时，那么可以令x+5=2，解得x即可．
【详解】当√x+5和√2可以合并，所以它们是同类二次根式，
当√x+5是最简二次根式，令x+5=2，
解得，x=-3,
故答案为：-3（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根
式称为同类二次根式，此题是开放题，只要满足题意即可．
【考点8 二次根式的加减法】
【例8】（2022·河北·模拟预测）如果√a+1与√12的和等于3√3，那么a的值是___________．
【答案】2
【分析】根据题意二次根式的加减运算即可求解．
【详解】解：∵√a+1与√12的和等于3√3，
∴√a+1 =3√3−√12 =3√3−2√3=√3
∴a+1=3
∴a=2
故答案为：2
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的加减运算是解题的关键．
√1
【变式8-1】（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算√3+3 的结果是___________．
3
【答案】2√3
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
√1
【详解】解：√3+3
3
=√3+√3
=2√3，
故答案为：2√3．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，把二次根式化为最简二次根式是解题的关键．
【变式8-2】（2022·河北省保定市第二中学分校一模）√18−√3+√12−√8＝__________________．
【答案】√2+√3##√3+√2
【分析】首先化简各二次根式，进而合并得出答案．
【详解】解：原式=3√2−√3+2√3−2√2=√2+√3．
故答案为：√2+√3．
【点睛】本题考查了二次根式的化简以及合并同类二次根式，正确将每个二次根式化成最简二次根式是解
题的关键．
√1
【变式8-3】（2022·河北唐山·二模）已知：−√50+ =a√2+b√2=c√2，则ab＋c＝________．
2
【答案】-7
1 9
【分析】先将原式中二次根式进行化简，合并，则可求得a=−5，b= ，c=− ，代入求值即可得出结果．
2 2
√1 √2 9
【详解】解：−√50+ =−5√2+ =− √2，
2 2 2
√1
∵−√50+ =a√2+b√2=c√2，
2
1 9
∴a=−5，b= ，c=− ，
2 2
1 ( 9)
∴ab+c=−5× + − =−7，
2 2
故答案为：-7．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减，掌握二次根式加减的运算方法是解题的关键．
【考点9 二次根式的混合运算】
2 ( √1)
【例9】（2022·江苏·南京师范大学附属中学树人学校二模）计算 ÷ √3+ 的结果是____．
√3 3
1
【答案】 ##0.5
2
【分析】根据二次根式混合运算法则进行计算即可．
2 ( √1)
【详解】解： ÷ √3+
√3 3
2√3 ( √3)
= ÷ √3+
3 3
2√3 4√3
= ÷
3 3
2√3 3
= ×
3 4√31
=
2
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则．
√4
【变式9-1】（2022·山东泰安·中考真题）计算：√8⋅√6−3 =__________．
3
【答案】2√3
【分析】先计算乘法，再合并，即可求解．
√4
【详解】解：√8⋅√6−3
3
2√3
=√48−3×
3
=4√3−2√3
=2√3，
故答案为： 2√3．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
【变式9-2】（2022·江苏泰州·中考真题）计算:
√2
(1)计算：√18−√3× ；
3
(2)按要求填空：
2x 1
小王计算 − 的过程如下：
x2−4 x+2
2x 1
解： −
x2−4 x+2
2x 1
= − −−−−−−−第一步
(x+2)(x−2) x+2
2x x−2
= − −−第二步
(x+2)(x−2) (x+2)(x−2)
2x−x−2
= −−−−−−−−−−−第三步
(x+2)(x−2)
x−2
= −−−−−−−−−−−第四步
(x+2)(x−2)
x−2
= −−−−−−−−−−−−−−−−第五步
x+2
小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第 步出现错误.直接
写出正确的计算结果是 .
【答案】(1)2√21
(2)因式分解；三和五；
x−2
【分析】(1)先化成最简二次根式，然后根据二次根式的四则运算法则求解即可；
(2)按照分式的加减运算法则逐步验算即可.
（1）
√6 3√2
解：原式=3√2−√3× =3√2− =2√2；
3 3
（2）
解：由题意可知：
2x 1 2x 1
− = − −−−−−−−第一步
x2−4 x+2 (x+2)(x−2) x+2
2x x−2
= − −−第二步
(x+2)(x−2) (x+2)(x−2)
2x−x+2
= −−−−−−−−−−−第三步
(x+2)(x−2)
x+2
= −−−−−−−−−−−第四步
(x+2)(x−2)
1
= −−−−−−−−−−−−−−−−第五步
x−2
1
故小王的计算过程中第三步和第五步出现了错误；最终正确的计算结果为 .
x−2
1
故答案为：因式分解，第三步和第五步，
x−2
【点睛】本题考查二次根式的四则运算法则及分式的加减运算法则，属于基础题，熟练掌握运算法则是解
题的关键.
【变式9-3】（2022·江苏·九年级二模）如图，一次函数y=x+√2的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把
直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（ ）
A．√6+√2 B．3√2 C．2+√3 D．√3+√2【答案】A
【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作
CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出
BD，得到关于x的方程，解之即可．
【详解】解：∵一次函数y=x+√2的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x=0，则y=√2，令y=0，则x=−√2，
则A（−√2，0），B（0，√2），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，
∴AB=√(√2) 2+(√2) 2 =2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD=∠OAB=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，
∴AC=√AD2+CD2=√2x，
∵旋转，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴BD=√BC2−CD2=√3x，
又BD=AB+AD=2+x，
∴2+x=√3x，
解得：x=√3+1，
∴AC=√2x=√2（√3+1）=√6+√2，
故选A．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，
勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．
【考点10 二次根式的化简求值】
【例10】（2022·广东番禺中学三模）已知x2＝2x+15，则代数式(x+√2) 2 −(x−√2) 2 =__________．
【答案】20√2或−12√2
【分析】直接将原式分解因式，再把x的值代入进而计算得出答案．
【详解】解：(x+√2) 2 −(x−√2) 2
＝(x+√2+x−√2)(x+√2−x+√2)
＝2x×2√2
＝4√2x．
∵x2＝2x+15，
∴x2﹣2x﹣15＝0，
（x﹣5）（x+3）＝0，
∴x＝5或x＝﹣3．
当x＝5时，原式＝4√2×5=20√2；
当x＝﹣3时，原式＝4√2×(−3)=−12√2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．
√a √b
【变式10-1】（2022·四川·隆昌市蓝天育才学校一模）已知a+b=3，ab=2，则 + 的值为_________．
b a
3√2
【答案】
2
【分析】先把二次根式进行化简，然后把a+b=3，ab=2，代入计算，即可得到答案.
√a √b √ab √ab
【详解】解： + = +
b a b a
(a+b)√ab
= ，
ab
∵a+b=3，ab=2，
3×√2 3√2
∴原式= = ；
2 2
3√2
故答案为： .
2
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算的运算法则进行解题.
1
【变式10-2】（2022·浙江·舟山市定海区第七中学一模）已知√x− =2，那么
√x
√ 1 √ x
x2+ −2− 的值等于________．
x2 x2+2x+1
15√2
【答案】
4
【分析】通过平方或分式的性质，把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示，然后再进行计算．
1 1
【详解】解：由√x− =2，两边分别平方得：x+ −2=4，
√x x
1
∴x+ =6，
x
√ ( 1) 2 √ 1
x+ −4− √ 1 15√2
原式= x 1=√62−4− = ，
x+2+ 6+2 4
x
15√2
故答案为： ．
4
1
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，难度不大，关键是把已知条件和待求式的被开方数都用x+ 的
x
代数式表示．
√ x √ y
【变式10-3】（2022·湖北·荆门市海慧中学八年级阶段练习）已知xy=3，则y +x =________．
y x
【答案】±2√3
【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论
【详解】求解．
解：∵xy=3，
∴x与y同号，
①当x>0，y>0时，
√xy √xy
原式= y⋅ +x⋅
y x
=√xy+√xy
=√3+√3=2√3；
②当x<0，y<0时，
√xy √xy
原式= y⋅ +x⋅
−y −x
=−√xy−√xy
=−√3−√3
=−2√3，
故答案为：±2√3．
【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件．
【考点11 比较二次根式的大小】
【例11】（2022·四川泸州·中考真题）与2+√15最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】解：∵12.25＜15＜16，
∴3.5＜√15＜4，
∴5.5＜2+√15＜6，
∴最接近的整数是6，
故选：C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
【变式11-1】（2022·陕西延安·二模）比较大小：2√3_____3√2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】＜
【分析】先把根号外的因式移入根号内，再比较大小即可．
【详解】∵2√3=√12，3√2=√18，√12＜√18，
∴2√3＜3√2，
故答案为：＜
【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键．
√2 1
【变式11-2】（2022·湖南怀化·中考真题）比较大小： __________ （填写“＞”或“＜”或“＝”）．
2 2
【答案】＞
√2 1 √2 1
【分析】直接用 − ，结果大于0，则 大；结果小于0，则 大．
2 2 2 2√2 1 √2−1
【详解】解： − = ＞0，
2 2 2
√2 1
∴ ＞ ，
2 2
故答案为：＞．
【点睛】本题主要考查实数的大小比较，常用的比较大小的方法有作差法、作商法、平方法等，正确理解
和记忆方法背后的知识点是解题关键．
√1
【变式11-3】（2022·贵州安顺·中考真题）估计(2√5+5√2)× 的值应在（ ）
5
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】B
【分析】根据二次根式的混合运算进行化简，进而估算即可求解．
√1 √1
【详解】解：原式=2√5× +5√2×
5 5
＝2+√10，
∵3<√10<4，
∴5<2+√10<6，
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无数的估算，正确的计算是解题的关键．
【考点12 二次根式的应用】
【例12】（2022·四川眉山·中考真题）将一组数√2，2，√6，2√2，…，4√2，按下列方式进行排列：
√2，2，√6，2√2；
√10，2√3，√14，4；
…
若2的位置记为(1,2)，√14的位置记为(2,3)，则2√7的位置记为________．
【答案】(4,2)
【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得2√7的位置即可．
【详解】数字可以化成：
√2，√4，√6，√8；
√10，√12，√14，√16；
∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，
∵2√7=√28，28是第14个偶数，而14÷4=3⋯2∴2√7的位置记为(4,2)
故答案为：(4,2)
【点睛】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键．
√8 √15 √24
【变式12-1】（2022·江苏无锡·一模）按一定规律排列的一列数：√3， ， ， ，……其中第5
2 3 4
个数为______，第n个数为_______（n为正整数）．
√35 √n2+2n
【答案】 ，
5 n
√3
【分析】首先将√3转换成 ，再分析分子分母中数字和项数之间的规律即可解答．
1
√3
【详解】将√3转换成 之后，可发现各项的分母依次为1，2，3，4，⋯，
1
可以得出第n项的分母就是n，故第5项的分母为5；
同时各项的分子中根号内的值依次为3，8，15，24，⋯，
不难发现第n项的分子中根号内的值应是(n+1) 2−1，
所以第5项的分子应是√62−1=√35，则第n个数分子为√(n+1) 2−1=√n2+2n，
√35 √n2+2n
故第5个数为 ，第n个数为 ，
5 n
√35 √n2+2n
故答案为： ， ．
5 n
√3
【点睛】本题是找规律的题型，解题的关键点在于将√3转换成 ，同时对分子中的规律也应注意把握．
1
【变式12-2】（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室三模）阅读与应用：同学们，你们已经知道(a−b)2≥0
，即a2−2ab+b2≥0．所以a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号)．
阅读1：若a、b为实数，且a>0，b>0，∵(√a−√b) 2 ≥0，∴a−2√ab+b≥0，∴a+b≥2√ab(当且仅
当a=b时取等号)．
m m √ m
阅读2：若函数y=x+ (m>0，x>0，m为常数)．由阅读1结论可知：x+ ≥2 x⋅ ，即
x x x
m m m
x+ ≥2√m∴当x= 即x2=m，∴x=√m(m>0)时，函数y=x+ 的最小值为2√m．
x x x
阅读理解上述内容，解答下列问题：4 ( 4)
问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为 ，周长为2 x+ ，当x= ______时，
x x
矩形周长的最小值为______．
9 9
问题2：若函数y=a+ (a>1)，则a=______时，函数y=a+ (a>1)的最小值为______．
a−1 a−1
问题3：建造一个容积为8立方米，深2米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米120元和
80元，设池长为x米，水池总造价为y元，求当x为多少时，水池总造价y最低？最低是多少？
【答案】问题1：2，8；问题2：4，7；问题3：当x=2时，水池总造价y最低，最低为1760元．
【分析】问题1：根据矩形的性质和阅读材料内容进行计算即可求解；
问题2：先将代数式变形，再根据阅读内容即可求解；
问题3：根据立方体的体积公式和已知条件表示出长方体的宽，运用阅读内容即可求解．
4 √ 4
【详解】解：问题1：∵x+ ≥2 x⋅ ，
x x
4
∴x+ ≥4，
x
4 ( 4)
∴当x= 即x=−2（不合题意舍去），x=2时，函数y=2 x+ 有最小值8；
x x
当x=2，矩形周长的最小值为8；
故答案为：2，8；
9
问题2：∵y=a+ (a>1)，
a−1
9
∴y=a−1+ +1(a>1)，
a−1
9 √ 9 9
∴由阅读2结论可知，a−1+ +1≥2 (a−1)⋅ +1，即a−1+ +1≥7，
a−1 a−1 a−1
9
∴当a−1= 即(a−1) 2=9，
a−1
∴a−1=3，a−1=−3（不合题意舍去），
9
∴当a=4时，函数y=a+ (a>1)的最小值为7；
a−1
故答案为：4，7；
4
问题3：∵根据题意得长方体的宽为 米，
x
4 4 ( 4)
∴y=x⋅ ⋅120+2⋅ ⋅2⋅80+2⋅x⋅2⋅80=480+320 x+ ，
x x x4
∵x+ ≥4，
x
4 ( 4)
∴当x= ，即x=−2（不合题意舍去），x=2时，函数y=480+320 x+ 的最小值为1760，
x x
∴当x=2时，水池总造价y最低，最低为1760元．
答：当x=2时，水池总造价y最低，最低为1760元．
【点睛】此题主要考查反比例函数，函数最值的确定方法，涉及到的知识点有二次根式、矩形的周长、立
方体的体积等，读懂材料是解本题的关键，难点是理解和运用材料得到的结论解决问题．
【变式12-3】（2022·贵州铜仁·三模）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式—海伦公式S
a+b+c
=√p(p−a)(p−b)(p−c)（其中a，b，c是三角形的三边长，p= ，S为三角形的面积），并给出
2
了证明
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
∵a＝3，b＝4，c＝5
a+b+c
∴p= =6
2
∴S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=√6×3×2×1=6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶
公式等方法解决．
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）求△ABC的内切圆半径r．
【答案】（1）10√2；（2）r=√2．
【分析】（1）先根据BC、AC、AB的长求出P，再代入到公式S=√p(p−a)(p−b)(p−c)即可求得S的
值；
1
（2）根据公式S= r（AC+BC+AB），代入可得关于r的方程，解方程得r的值．
2【详解】解：（1）∵BC＝5，AC＝6，AB＝9，
BC+AC+AB 5+6+9
∴p= = =10，
2 2
∴S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=√10×5×4×1=10√2；
故△ABC的面积10√2；
1
（2）∵S= r（AC+BC+AB），
2
1
∴10√2= r（5+6+9），
2
解得：r=√2，
故△ABC的内切圆半径r=√2．
【点睛】本题主要三角形的内切圆与内心、二次根式的应用，熟练掌握三角形的面积与内切圆半径间的公
式是解题的关键．
