文档内容
专题 04 二次根式（12 个高频考点）（强化训练）
【考点1 二次根式的定义】
1．（2022·河北邢台·模拟预测）在下列代数式中，不是二次根式的是（ ）
√1 2
A．√5 B． C．√x2+1 D．
3 x
√x
2．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）在式子 （x＞0），√2，√33，√x2+1，√−3x（x＞0）中，
2
二次根式有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．（2022·广东广州·二模）已知n是正整数，√5n−1是整数，则n的值可以是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
4．（2022·四川·梓潼县教育研究室二模）在式子 中一
√3 4 ，√x2+ y2+1 ,√a−1 ,√−2x ( x<0 ), √x3+1
定是二次根式的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校一模）下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是
（ ）
A． B． C． D．
√x2y2 √x2+ y2 √(x+ y) 2 √x y2
【考点2 二次根式有意义的条件】
6．（2022·黑龙江绥化·中考真题）若式子√x+1+x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x>−1 B．x⩾−1 C．x⩾−1且x≠0 D．x⩽−1且x≠0
7．（2022·四川雅安·中考真题）使√x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
1
8．（2022·内蒙古包头·中考真题）若代数式√x+1+ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是
x___________．
x
9．（2022·湖南常德·中考真题）使式子 有意义的x的取值范围是______．
√x−4
1
10．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）已知x，y是实数，且满足y=√x−2＋√2−x＋ ，则√x⋅√y的值是
8
______．
【考点3 二次根式的性质与化简】
11．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简
|a+1|−√(b−1) 2+√(a−b) 2=
______．
12．（2022·四川宜宾·中考真题）《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已
知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以
小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为
S=
√ 1[
c2a2−
(c2+a2−b2
)
2]
．现有周长为18的三角形的三边满足 a:b:c=4:3:2 ，则用以上给出的公
4 2
式求得这个三角形的面积为______．
13．（2022·全国·四川成都·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别
1
交AB，AC于D，E，连接CD．若CE= AE=1，则CD＝______．
3
14．（2022·广东广州·一模）若 ，则 的取值范围是__________．
√(x−1) 2=1−x x15．（2022·上海普陀·二模）方程√3−2x=x的根是___________．
【考点4 最简二次根式】
16．（2022·河南商丘·二模）已知n>0，若√2n是最简二次根式，请写出一个符合条件的n的正整数值
_______________．
17．（2022·四川·江油市小溪坝初级中学校一模）若二次根式√3a+5是最简二次根式，则最小的正整数
a=______
√1
18．（2022·江苏无锡·模拟预测）在根式 ，√3，√4，√8中随机抽取一个，它是最简二次根式的概率为
2
____．
19．（2022·湖南益阳·一模）把√0.4化成最简二次根式为______．
20．（2022·山东青岛·二模）若最简二次根式√2x−1与√x+3能合并，则x=__________．
【考点5 二次根式的乘除】
21．（2022·天津红桥·三模）计算 的结果等于_______．
(2√3+3)(2√3−3)
22．（2022·河北·宽城满族自治县教研室模拟预测）√2×√12=√2×a√3=a√b，则a－b＝______．
23．（2022·山东聊城·二模）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，
则2个空格的实数之积为________．
3√22 √3
1 6
3 √2
(1) −1
24．（2022·内蒙古通辽·中考真题）计算：√2⋅√6+4|1−√3|sin60°− ．
2
(1) −1
25．（2022·福建省福州屏东中学二模）计算：√2×√6−|√3−2|−
2
【考点6 分母有理化】
26．（2022·安徽·二模）阅读下列解题过程：
1 √2−1
＝ ＝√2-1；
√2+1 (√2+1)(√2−1)
1 √3−√2
＝ ＝√3-√2；
√3+√2 (√3+√2)(√3−√2)
1 √4−√3
＝ ＝√4-√3＝2-√3；
√4+√3 (√4+√3)(√4−√3)…
解答下列各题：
1
（1） ＝ ；
√10+√9
1
（2）观察下面的解题过程，请直接写出式子 ＝ ．
√n−√n−1
1 1 1 1
（3）利用这一规律计算：（ + + +…+ ）×（√2021+1）．
√2+1 √3+√2 √4+√3 √2021+√2020
√3a
27．（2022·浙江丽水·一模）把 化去分母中的根号后得( )
√12ab
1 √b
A．4b B．2√b C． √b D．
2 2b
28．（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校一模）阅读材料：像（√5+√2）（√5﹣√2）＝3，√a⋅√a＝a
（a≥0）、（√b+1）（√b﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，
我们称这两个代数式互为有理化因式．例如√3与√3，√2+1与√2﹣1，2√3+3√5与2√3﹣3√5等都是互为
有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
1 √3 √3 √2+1 (√2+1)2
例如： = = ； = =3+2√2．解答下列问题：
2√3 2√3×√3 6 √2-1 (√2-1)(√2+1)
2
(1)3﹣√7与______互为有理化因式，将 分母有理化得______；
3√2
1 1 1 1
(2)①直接写出式子( + + +⋯ )×(√2019+1)
√2+1 √3+√2 √4+√3 √2019+√2018
的计算结果______．
②比大小√2020-√2019______√2019-√2018（直接填＞，＜，＝，≥或≤中的一种）
a b
(3)已知有理数a、b满足 + =-1+2√2，求a、b的值．
√2+1 √2
29．（2022·福建福州·二模）定义：我们将（√a＋√b）与（√a－√b）称为一对“对偶式”．因为（√a＋
√b）（√a－√b）＝（√a）2 －（√b）2＝a－b，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将（√a＋
2+√2
√b）和（√a－√b）中的“√❑”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如 ＝
2−√2
(2+√2) 2 ＝3＋2 ．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的
√2
(2−√2)(2+√2)分母化去，叫做分母有理化．根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题：
(1)请直接写出√7＋√2的对偶式_________；
1 1 m−n
(2)已知m＝ ，n＝ ，求 的值；
2−√3 2＋√3 m2n＋mn2
(3)利用“对偶式”相关知识解方程：√20−x－√4−x＝2，其中x≤4．
30．（2022·福建福州·一模）阅读材料：像 ， 这样，两个含有二次根式
(√5+√2)(√5−√2)=3 √7⋅√7=7
的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用
有理化因式，可以化去分母中的根号，即为分母有理化．
例如： 1 √3 √3；√2+1 (√2+1) 2 ．
= = = =3+2√2
2√3 2√3×√3 6 √2−1 (√2−1)(√2+1)
解答下列问题：
(1)请写出一个√6−√5的有理化因式；
3−√7
(2)将 分母有理化；
3+√7
(3)应用：当n为正整数时，通过计算比较式子√n+1−√n和√n+2−√n+1的大小．
【考点7 同类二次根式】
31．（2022·广东韶关·模拟预测）下列各组二次根式，属于同类二次根式的是（ ）
√2
A．√3与√18 B．√63与√28 C．√0.5与 D．√12与√72
3
32．（2022·江苏南通·一模）下列二次根式中，与√3是同类二次根式的是（ ）
√1
A．√18 B． C．√24 D．√0.3
3
√1
33．（2022·重庆·模拟预测）估算√50−4 的结果最接近的整数是（ ）．
2
A．3 B．4 C．5 D．6
34．（2022·广东·二模）若二次根式√2a+6与−3√3是同类二次根式，则整数a可以等于___________．
（写出一个即可）
3
35．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知最简二次根式− √3a2+2与2√7a2−2是同类二次根式，则a的值
4
为_________．【考点8 二次根式的加减法】
3
36．（2022·黑龙江·哈尔滨市第八十四中学校一模）计算： −√27=_____．
√3
37．（2022·浙江金华·一模）如图所示，数轴上表示1，√3的点分别为A，B，且CA=2AB（C在A的左
侧），则点C所表示的数是________．
1 1
38．（2022·湖南岳阳·中考真题）已知x+ =√2，则代数式x+ −√2=______．
x x
39．（2022·河北·中考真题）已知：√18−√2=a√2−√2=b√2，则ab=_________．
1
40．（2022·湖南怀化·中考真题）计算：（3.14﹣π）0+|√2﹣1|+（ ）﹣1﹣√8．
2
【考点9 二次根式的混合运算】
41．（2022·青海西宁·中考真题）计算： ．
(√5+3)(√5−3)−(√3−1) 2
3
42．（2013·山东滨州·中考真题）计算： −(√3) 2+(π+√3) 0 −√27+|√3−2|．
√3
2 1 −1
43．（2022·上海·华东师范大学松江实验中学三模）计算：√27+ −|√3−2|+(−2) 0+( ) ．
√3−1 2
44．（2022·湖北·鄂州市教学研究室一模）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+ y+z=0，则有：
√ 1 1 1 |1 1 1|（结论不需要证明）
+ + = + +
x2 y2 z2 x y z
例如：√ 1 1 1 √ 1 1 1 |1 1 1 | 19
+ + = + + = + + =
22 32 52 22 32 (−5) 2 2 3 (−5) 30
根据以上阅读，请解决下列问题：
【基础训练】
(1)求√ 1 1 1 的值；
+ +
12 22 32
【能力提升】
(2)设 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 ，求S的整数部分．
S= 1+ + + 1+ + +⋯+ 1+ +
12 22 22 32 20192 20202【拓展升华】
(3)已知 ，其中，且 ．当√ 1 1 1 |1 1 1|取得最小值时，
x+ y+z=0(xyz≠0,x>0) y+z=3 yz + + + − −
x2 y2 z2 x y z
求x的取值范围．
45．（2022·湖北宜昌·中考模拟）计算
(√a3b+√ab3+ab)÷√ab
【考点10 二次根式的化简求值】
√3−√2 √3+√2 x y
46．（2022·福建省厦门第六中学二模）已知x= ，y= ，求 + 的值．
√3+√2 √3−√2 y2 x2
1 1
47．（2022·四川·成都市三原外国语学校一模）已知x= ，y= ．
√10−3 √10+3
（1）求x2+2xy+ y2的值．
（2）求√(x2−4x+4) √(y2+2y+1)值．
−
x(x−2) y(y+1)
1 2
48．（2022·四川·东辰国际学校三模）若x，y是实数，且y＝√4x−1+√1−4x+ ，求（ x√9x+√4xy
3 3
）﹣（ ）的值．
√x3+√25xy
√3−1 √3+1
49．（2022·新疆·伊宁市教育教学研究室一模）已知：x= ，y= ，求下列各式的值：
2 2
（1）x2-xy+y2；
y x
（2） + +2
x y
1
50．（2022·湖北省黄梅县大河镇第一中学模拟预测）已知：√x=√a+ （0＜a＜1），求代数式
√a
x2+x−6 x+3 x−2+√x2−4x的值．
÷ −
x x2−2x x−2−√x2−4x
【考点11 比较二次根式的大小】
51．（2022·福建泉州·中考模拟）设M= ，N= ，则M
√20172−2016×2018 √20172−4034×2018+20182
与N的关系为（ ）A．M＞N B．M＜N C．M=N D．M=±N
52．（2022·四川成都·一模）已知0＜a＜b，x=√a+b−√b，y=√b−√b−a，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＞y B．x=y C．x＜y D．与a、b的取值有关
53．（2022·四川成都·二模）比较大小：√7−√6___√6−√5
√5−2
54．（2022·河南·模拟预测）比较大小： √5−3_______ (填“＞”“＜”或“＝”)
2
√7−1
55．（2022·陕西·西安市第四中学中考模拟）比较大小： ________1（“>”“<”或“=”)．
2
【考点12 二次根式的应用】
56．（2022·辽宁大连·一模）对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b＝¿，例如3◆2，因为3＞2，所以3◆2
＝ ＝ ，若x，y满足方程组 ，则（x◆y）◆x＝__．
√32−22 √5 ¿
57．（2022·甘肃白银·一模）观察下列各式：
√ 1 1 1 ( 1)；
1+ + =1+ =1+ 1−
12 22 1×2 2
√ 1 1 1 (1 1)；
1+ + =1+ =1+ −
22 32 2×3 2 3
√ 1 1 1 (1 1)；
1+ + =1+ =1+ −
32 42 3×4 3 4
……
请利用你发现的规律，计算√ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 ，其结果为
1+ + + 1+ + + 1+ + +…+ 12+ +
12 22 22 32 32 42 20192 20202
_________．
58．（2022·河北廊坊·中考模拟）已知 ， 是正整数，且满足 (√15 √15)是整数，则这样的有序数对
a b 2 +
a b
(a, b)共有________对．
59．（2022·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校九年级模拟）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，
且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P ，此时AP =√2；将位置①的三角形
1 1
绕点P 顺时针旋转到位置②可得到点P ，此时AP =√2+1；将位置②的三角形绕点P 顺时针旋转到位置③
1 2 2 2可得到点P 时，AP =√2+2…按此规律继续旋转，直至得到点P 为止，则AP =____．
3 3 2026 2016
60．（2022·广西·二模）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两
个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
1 1 √1 1 2
猜想发现：由5+5=2√5×5=10； + =2 × = ；0.4+0.4=2√0.4×0.4=0.8；
3 3 3 3 3
1 √1 1 1 √1 1 1
+5>2 ×5=2；0.2+3.2>2√0.2×3.2=1.6； + >2 × =
5 5 2 8 2 8 2
猜想：如果a>0，b>0，那么存在a+b≥2√ab（当且仅当a=b时等号成立）．
猜想证明：∵ ．∴①当且仅当 ，即 时， ，∴ ；
(√a−√b) 2 ≥0 √a−√b=0 a=b a−2√ab+b=0 a+b=2√ab
②当√a−√b≠0，即a≠b时，a−2√ab+b>0，∴a+b>2√ab．
综合上述可得：若a>0，b>0，则a+b≥2√ab成立（当日仅当a=b时等号成立）．
猜想运用：
1
(1)对于函数y=x+ (x>0)，当x=______时，函数y的最小值为______．
x
变式探究：
1
(2)对于函数y= +x(x>3)，当x=______时，函数y的最小值为______．
x−3
拓展应用：
(3)疫情期间，为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙
（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的矩形隔离房，如图．设每间离房的面积为S
（m2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？
