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专题04 整式运算
一、单项式及多项式
【高频考点精讲】
1．单项式
（1）定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。用字母表示的数，
同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义。
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
在判别单项式的系数时，要注意数字前面的符号，形如 a或﹣a的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单
项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式。
2．多项式
（1）定义：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。多项式中
次数最高项的次数叫做多项式的次数。
（2）多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有 a个单项式，次数
是b，那么这个多项式就叫b次a项式。
【热点题型精练】
1．（2022•攀枝花中考）下列各式不是单项式的为（ ）
A．3 B．a C． D． x2y
解：A、3是单项式，故本选项不符合题意；
B、a是单项式，故本选项不符合题意；
C、 不是单项式，故本选项符合题意；
D、 x2y是单项式，故本选项不符合题意；
答案：C．
2．（2022•贺州模拟）单项式﹣2x2yz3的系数、次数分别是（ ）
A．2，5 B．﹣2，5 C．2，6 D．﹣2，6
解：单项式﹣2x2yz3的系数是﹣2，次数是2+1+3＝6，
答案：D．
3．（2022•成都模拟）有规律地排列着这样一些单项式：﹣xy2，x2y4，﹣x3y6，x4y8，﹣x5y10，x6y12…，则第n个单
项式（n≥1整数）可表示为 （﹣ x ） n y 2 n ．
解：由题意可知，第n个单项式为：（﹣x）ny2n．答案：（﹣x）ny2n．
4．（2022•株洲模拟）多项式3x2y2﹣2xy2﹣ xy的二次项系数为 ﹣ ．
解：∵多项式3x2y2﹣2xy2﹣ xy的二次项是﹣ xy，
∴二次项系数为：﹣ ．
答案：﹣ ．
5．（2022•黔东南州模拟）把多项式﹣3x2+2xy2﹣x3y﹣1按x降幂排列是 ﹣ x 3 y ﹣ 3 x 2 + 2 x y 2 ﹣ 1 ．
解：多项式﹣3x2+2xy2﹣x3y﹣1按x降幂排列为﹣x3y﹣3x2+2xy2﹣1，
答案：﹣x3y﹣3x2+2xy2﹣1．
6．（2022•衡水模拟）如果两个多项式有公因式，则称这两个多项式为关联多项式，若x2﹣25与（x+b）2为关联
多形式，则b＝ ± 5 ；若（x+1）（x+2）与A为关联多项式，且A为一次多项式，当A+x2﹣6x+2不含常数项
时，则A为 ﹣ 2 x ﹣ 2 或﹣ x ﹣ 2 ．
解：①∵x2﹣25＝（x+5）（x﹣5），
∴x2﹣25的因式为x+5、x﹣5．
∴若x2﹣25与（x+b）2为关联多形式，则x+b＝x+5或x+b＝x﹣5．
当x+b＝x+5时，b＝5．
当x+b＝x﹣5时，b＝﹣5．
综上：b＝±5．
②∵（x+1）（x+2）与A为关联多项式，且A为一次多项式，
∴A＝k（x+1）＝kx+k或A＝k（x+2）＝kx+2k，k为整数．
当A＝k（x+1）＝kx+k（k为整数）时，若A+x2﹣6x+2不含常数项，则k＝﹣2．
∴A＝﹣2（x+1）＝﹣2x﹣2．
当A＝k（x+2）＝kx+2k（k为整数）时，若A+x2﹣6x+2不含常数项，则2k＝﹣2．
∴k＝﹣1．
∴A＝﹣x﹣2．
综上，A＝﹣2x﹣2或A＝﹣x﹣2．
答案：±5，﹣2x﹣2或﹣x﹣2．
二、幂的运算
【高频考点精讲】
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
am•an＝am+n（m，n是正整数），拓展：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）（2）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘。
（am）n＝amn（m，n是正整数）
（3）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
（ab）n＝anbn（n是正整数）
（4）同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减。
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
【热点题型精练】
7．（2022•淮安中考）计算a2•a3的结果是（ ）
A．a2 B．a3 C．a5 D．a6
解：a2•a3＝a5．
答案：C．
8．（2022•武汉中考）计算（2a4）3的结果是（ ）
A．2a12 B．8a12 C．6a7 D．8a7
解：（2a4）3＝8a12，
答案：B．
9．（2022•河北中考）计算a3÷a得a？，则“？”是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：根据同底数幂的除法可得：a3÷a＝a2，
∴？＝2，
答案：C．
10．（2022•淄博中考）计算（﹣2a3b）2﹣3a6b2的结果是（ ）
A．﹣7a6b2 B．﹣5a6b2 C．a6b2 D．7a6b2
解：原式＝4a6b2﹣3a6b2＝a6b2，
答案：C．
11．（2022•郑州模拟）电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，
1KB＝210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（ ）
A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B
解：由题意得：1GB＝210×210×210B＝210+10+10B＝230B，
答案：A．
12．（2022•株洲中考）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．（a3）2＝a5C．（ab）2＝ab2 D． ＝a3（a≠0）
解：A．因为a2•a3＝a2+3＝a5，所以A选项运算正确，故A选项符合题意；
B．因为（a3）2＝a2×3＝a6，所以B选项运算不正确，故B选项不符合题意；
C．因为（ab）2＝a2b2，所以C选项运算不正确，故C选项不符合题意；
D．因为 ＝a6﹣2＝a4，所以D选项运算不正确，故D选项不符合题意．
答案：A．
三、完全平方公式及其几何背景
【高频考点精讲】
1．完全平方公式
（1）（a±b）2＝a2±2ab+b2；
（2）特征
①左边是两个数的和的平方；
②右边是三项式，其中首末两项分别是两项的平方，为正；中间一项是两项积的2倍，符号与左边的运算符号相
同。
2．验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2＝a2+2ab+b2
大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个小正方形与两个长、宽分别是a、b的长方形的面积之和。
【热点题型精练】
13．（2022•兰州中考）计算：（x+2y）2＝（ ）
A．x2+4xy+4y2 B．x2+2xy+4y2 C．x2+4xy+2y2 D．x2+4y2
解：（x+2y）2＝x2+4xy+4y2．
答案：A．
14．（2022•大庆中考）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为 或﹣ ． ．解：根据题意可得，
（2t﹣1）ab＝±（2×2）ab，
即2t﹣1＝±4，
解得：t＝ 或t＝ ．
答案： 或﹣ ．
15．（2022•滨州中考）若m+n＝10，mn＝5，则m2+n2的值为 9 0 ．
解：∵m+n＝10，mn＝5，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝102﹣2×5＝100﹣10＝90．
答案：90．
16．（2022•乐山中考）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝ 4 ．
解：∵m2+n2+10＝6m﹣2n，
∴m2﹣6m+9+n2+2n+1＝0，
即（m﹣3）2+（n+1）2＝0，
∴m＝3，n＝﹣1，
∴m﹣n＝4，
答案：4．
17．（2022•荆门中考）已知x+ ＝3，求下列各式的值：
（1）（x﹣ ）2；
（2）x4+ ．
解：（1）∵ ＝ ，
∴ ＝
＝
＝ ﹣4x•
＝32﹣4＝5；
（2）∵ ＝ ，
∴
＝ +2
＝5+2
＝7，
∵ ＝ ，
∴
＝ ﹣2
＝49﹣2
＝47．
18．（2022•河北中考）发现 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也
可以表示为两个正整数的平方和．
验证 如，（2+1）2+（2﹣1）2＝10为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；
探究 设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
解：验证：10的一半为5，
5＝1+4＝12+22，
探究：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整
数的平方和．理由如下：
（m+n）2+（m﹣n）2
＝m2+2mn+n2+m2﹣2mn+n2
＝2m2+2n2
＝2（m2+n2），
故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的
平方和．19．（2022•厦门模拟）如图（1），是一个长为2a宽为2b（a＞b）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把
它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（ ）
A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2
解：由题意可得，正方形的边长为（a+b），
故正方形的面积为（a+b）2，
又∵原矩形的面积为4ab，
∴中间空的部分的面积＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．
答案：C．
20．（2022•邯郸模拟）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形
得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 1和12，若三个正方形A和两个正方形B，如图丙摆放，则阴
影部分的面积为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
解：设正方形A，B的边长各为a、b（a＞b），
得图甲中阴影部分的面积为
（a﹣b）2＝a²﹣2ab+b²＝1，
解得a﹣b＝1或a﹣b＝﹣1（舍去），
图乙中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝12，
可得（a+b）²
＝a²+2ab+b²
＝a²﹣2ab+b²+4ab
＝（a﹣b）²+4ab
＝1+2×12
＝25，解得a+b＝5或a+b＝﹣5（舍去），
∴图丙中阴影部分的面积为
（2a+b）²﹣（3a²+2b²）
＝a²+4ab﹣b²
＝（a+b）（a﹣b）+2×2ab
＝5×1+2×12
＝5+24
＝29，
答案：B．
21．（2022•湖州模拟）如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽
边长分别是2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片 4 张才能用它们拼成
一个新的正方形．
解：甲类纸片1张，乙类纸片4张，总面积是4+4＝8，大于8的完全平方数依次是9，16，25…，而丙的面积
是2，因而不可能是9；
当总面积是16时，取的丙纸片的总面积是8，因而是4张．
因而应至少取丙类纸片4张才能用它们拼成一个新的正方形．
答案：4．
22．（2022•衢州模拟）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师
傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：方案三：
解：由题意可得，
方案二：a2+ab+（a+b）b＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2，
方案三：a2+ ＝ ＝a2+2ab+b2＝（a+b）2．
四、平方差公式及其几何背景
【高频考点精讲】
1．平方差公式
（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）特征
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
②右边是相同项的平方减去相反项的平方。
2．验证平方差公式的几何图形
【热点题型精练】
23．（2022•赤峰中考）已知（x+2）（x﹣2）﹣2x＝1，则2x2﹣4x+3的值为（ ）
A．13 B．8 C．﹣3 D．5
解：（x+2）（x﹣2）﹣2x＝1，
x2﹣4﹣2x＝1，
x2﹣2x＝5，
所以2x2﹣4x+3＝2（x2﹣2x）+3＝2×5+3＝10+3＝13，
答案：A．
24．（2022•益阳中考）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 3 ．
解：∵2m+n＝3，2m﹣n＝1，
∴4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）＝3×1＝3．
答案：3．25．（2022•六盘水中考）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的
面积为M．
（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积 a 2 ﹣ M ；
（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．
解：（1）A中能使用的面积＝大正方形的面积﹣不能使用的面积，
即a2﹣M，
答案：a2﹣M；
（2）A比B多出的使用面积为：（a2﹣M）﹣（b2﹣M）
＝a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝10×5
＝50，
答：A比B多出的使用面积为50．
26．（2022•南宁模拟）如图（1），边长为m的正方形剪去边长为n的正方形得到①、②两部分，再把①、②
两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论（ ）
A．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2 B．（m+n）2＝m2+2mn+n2
C．（m﹣n）2＝m2+n2 D．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）
解：图（1）中，①、②两部分的面积和为：m2﹣n2，
图（2）中，①、②两部分拼成长为（m+n），宽为（m﹣n）的矩形面积为：（m+n）（m﹣n），
因此有m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），
答案：D．27．（2022•成都模拟）如图，在边长为（x+a）的正方形中，剪去一个边长为a的小正方形，将余下部分对称剪
开，拼成一个平行四边形，由左右两个阴影部分面积，可以得到一个恒等式是（ ）
A．（x+a）2﹣a2＝x（x+2a） B．x2+2ax＝x（x+2a）
C．（x+a）2﹣x2＝a（a+2x） D．x2﹣a2＝（x+a）（x﹣a）
解：第一幅图阴影部分面积＝（x+a）2﹣a2，
第二幅图阴影部分面积＝（x+a+a）x＝x（x+2a），
∴（x+a）2﹣a2＝x（x+2a），
答案：A．
28．（2021•宜昌中考）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a＞6）的正方形土地租给租户张老汉，第二
年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金
不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
解：矩形的面积为（a+6）（a﹣6）＝a2﹣36，
∴矩形的面积比正方形的面积a2小了36平方米，
答案：C．
29．（2022•石家庄模拟）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影
部分拼成的一个长方形．
（1）以上两个图形反映了等式： a 2 ﹣ b 2 ＝（ a + b ）（ a ﹣ b ） ；
（2）运用（1）中的等式，计算20222﹣2021×2023＝ 1 ．解：（1）根据题意可得，
图1中阴影部分的面积为：a2﹣b2，
图2中长方形的长为a+b，宽为a﹣b，
面积为：（a+b）（a﹣b），
则两个图形阴影部分面积相等，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
答案：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）20222﹣2021×2023
＝20222﹣（2022﹣1）（2022+1）
＝20222﹣（20222﹣12）
＝20222﹣20222+1
＝1．
五、整式混合运算
【高频考点精讲】
1．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算。
2．“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，此时应注意被看做整体的代数式通
常要用括号括起来。
【热点题型精练】
30．（2022•临沂中考）计算a（a+1）﹣a的结果是（ ）
A．1 B．a2 C．a2+2a D．a2﹣a+1
解：a（a+1）﹣a
＝a2+a﹣a
＝a2，
答案：B．
31．（2022•江西中考）下列计算正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6 B．﹣（m﹣n）＝﹣m+nC．m（m+n）＝m2+n D．（m+n）2＝m2+n2
解：A选项，原式＝m5，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝﹣m+n，故该选项符合题意；
C选项，原式＝m2+mn，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝m2+2mn+n2，故该选项不符合题意；
答案：B．
32．（2022•呼和浩特模拟）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线，定义： ，上
述记号叫做2阶行列式．若 ＝6，则x＝ ．
解：∵ ＝6，
∴（x+1）（x+1）﹣（x﹣1）（1﹣x）＝6，
∴x2+2x+1﹣（﹣x2+x﹣1+x）＝6，
∴x2+2x+1+x2﹣2x+1＝6，
∴x2＝2，
∴x＝± ．
答案： ．
33．（2022•盐城中考）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．
解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9
＝2x2﹣6x﹣7，
∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2﹣3x＝﹣1，
∴2x2﹣6x＝﹣2，
∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．
