文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块六 圆
专题3 圆周角定理及其推论
知识梳理
【考点一】圆周角的概念
1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
【特征】 ① 角的顶点在圆上. ②角的两边都与圆相交.
2、圆心角与圆周角的区别与联系
圆心角 圆周角
顶点在圆心 顶点在圆上
区 别
在同圆中，一条弧所对的圆心角是 在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个.
唯一的.
联 系
两边都与圆相交
【考点二】 圆周角定理及其推论
1. 圆周角定理：
1
（1）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半．如图，∠BAC= ∠BOC．
2
（2）同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，A´C=B´D⇒∠ABC=∠BAD．
2.圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
如上图，AB是直径⇒∠ACB=∠ADB =90°；∠ACB=90°⇒AB是直径．【考点三】圆内接四边形及其性质
1、圆内接四边形：一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫
做四边形的外接圆.
如右图：四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 是四边形的外接圆.
2、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
如右图：∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，
∴ ∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180°.
例题讲解
【题型一】圆周角的概念
◇典例1：
如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
◆变式训练
1.下列各图中，∠BAC为圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，点A,B,C在⊙O上，点D在⊙O外，CD与⊙O交于点E，AC，BE于点F．下列角中，弧AE
所对的圆周角是（ ）A．∠ADE B．∠ABE C．∠AFE D．∠AOE
【题型二】圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半
◇典例2：
如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知OD⊥AB于点D，∠BOD=70°，则∠C的度数为 ．
◆变式训练
1.如图，点△ABC内接于⊙O，连结OA、OC．若∠ABC=35°，则∠OAC的大小为（ ）
A．45° B．55° C．65° D．70°
2.如图，BC为⊙O的弦，点A，D在⊙O上，OA⊥BC，∠ADB=30°，BC=2√3，则OC的长为
．
【题型三】同弧或等弧所对的圆周角相等
◇典例3：
如图，在⊙O中，弦AB,CD相交于点P，∠A=40∘，∠B=35∘，则∠APD的度数为（ ）A．75∘ B．65∘ C．70∘ D．80∘
◆变式训练
1.如图，△ABC内接于⊙O，点D为劣弧A´B上一点，连接OB、OD、BD，若BC=BD，∠D=50°，
则∠A的度数为 °．
2.如图，△ABC内接于⊙O，DE为⊙O的直径，且DE⊥AB于点F，连接CE．若∠A=35°，
∠CED=15°，则∠B的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【题型四】直径所对的圆周角是直角
◇典例4：
如图，在以点O为圆心的半圆中，AB是直径，A´D+B´C=C´D，连接AC，BD交于点E，连接OC交BD于
1
点F，若CE= AB，则CE:CA的值是（ ）
22 √2 3 √3
A． B． C． D．
3 2 4 3
◆变式训练
1.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，DC，且A´D=B´D，则
∠ACD= 度．
2.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D为⊙O上一点，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，交
⊙O于点F，DF=AC，连接OD，BC．若DF=4AE=8，则BC的长为 ．
【题型五】90°的圆周角所对的弦是直径
◇典例5：
如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，∠BAC=30°，若点D在⊙O上，且∠BAD=60°
，则CD长为 ．
◆变式训练1.如图，Rt△ACB的斜边与半圆的直径AB重合放置，∠ACB=90°，点M为AB上任意一点，连接CM交
半圆于N点，连接BN，若∠ABC=35°，则∠BNC的度数为（ ）
A．60° B．55° C．50° D．30°
2.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P过原点，且与x轴、y轴交于点
A，B，点A的坐标为(6,0)，⊙P的直径为10．则点B的坐标为 ．
【题型六】圆内接四边形对角互补
◇典例6：
如图，四边形ABCD内接于⊙O，A´B=A´C，AB∥CD，∠B=70°，连接AC，则∠CAD的度数为
（ ）
A．25° B．28° C．30° D．35°
◆变式训练
1.如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E为B´C上任意一点，连接BE，CE，则∠BEC= ．2.如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，连接DC、DA、OA，OA⊥BC，若∠ADC=25°，则
∠CAB的度数是（ ）
A．140° B．130° C．120° D．110°
【题型七】圆周角定理的实际应用
◇典例7：
筒车作为我国古代伟大的水利灌溉发明，在水利发展史上意义非凡．图②是从正面看到的一个筒车（图
①）的形状示意图，筒车⊙O与水面分别交于点A，B，连接PA，PB，点M在AB的延长线上．若
∠PBM=110°，则∠APC的度数为（ ）
A．20° B．30° C．55° D．70°
◆变式训练
1.如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是56°，
为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．2.司南（如图1）是我国古代辨别方向用的一种仪器，是指南针的始祖．司南的中间为一圆形，如图2，圆
心为O，根据八个方位将⊙O八等分（图2中的点A∼H为八个等分点），连接AD、AH、DG，AH与
DG的延长线交于点P，则∠P的度数为（ ）
A．60° B．50° C．45° D．30°
【题型八】圆周角定理与三角板的综合运用
◇典例8：
如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AC重合，其中量角器0刻度线的端点P与点C重合，射线
BD从BC处出发绕点B沿逆时针方向以每秒2度的速度旋转，BD与量角器的半圆弧交于点E，第13秒
时，点E在量角器上对应的读数是 度．
◆变式训练
1.如图所示，活动课中顺顺将直角三角板45°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于点A，B．他发现
量出AB的长，就可求⊙O的半径，当AB=8时，⊙O的半径为（ ）
A．2√2 B．2√3 C．4 D．4√2
2.如图，含30°角的直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点C和点D在量角器的半圆上，若点
D在量角器上对应的读数是50°，则∠CAD的度数是 ；【题型九】利用圆周角定理解决格点中的求值问题
◇典例9：
如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，每个小正方形的边长为1，M、N分别是AB、BC上的格点．
若点P是这个网格图形中的格点，连接PM、PN，则满足∠MPN=45°的点P有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
◆变式训练
1.如图，网格图中的每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D为格点，设经过图中格点A、B、C三点
的圆弧与AD交于E，则AE的长为 ．
2.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上．（1）线段AB的长为 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点M，使∠MCB+∠BAC=90°，并简要说
明点M的位置是如何找到的（不要求证明） ．
真题在线
一、单选题
1．（2025·四川·中考真题）如图，点A，B，C在 上，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2025·西藏·中考真题）如图，在 中，直径 ， 是 的弦，若 ，则 的长为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·湖南长沙·中考真题）如图， ， 为 的弦，连接 ， ， ．若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．4．（2025·青海·中考真题）如图， 是 的直径， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·山东青岛·中考真题）如图，四边形 是 的内接四边形， ， ，直
线 与 相切于点 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·四川巴中·中考真题）如图，A、B、C是 上的点， 是圆的直径，在 延长线上取一点
D，使 ，连接 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·广东·中考真题）如图，在直径 为 的圆内有一个圆周角为 的扇形 ．随机地往圆
内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A． B． C． D．8．（2025·广东广州·中考真题）如图， 的直径 ，C为 中点，点D在弧 上， ，
点P是 上的一个动点，则 周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，四边形 是 的内接四边形， ， ．若
的半径为5，则弧 的长为 ．
10．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，四边形 内接于 ， ，连接 、 ，则
．
11．（2025·江苏南京·中考真题）如图，扇形 的圆心角为 ，若点 在该扇形内，则 的度数
的范围是 ．12．（2025·江苏常州·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的弦．若 ， ，则
．
三、解答题
13．（2025·西藏·中考真题）如图， 是 的直径，点C在 上， ，过点C的切线交
的延长线于点D．求证： ．
14．（2025·宁夏·中考真题）如图，四边形 内接于⊙ 平分 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)延长 至点 ，使 ，连接 ．求证： ．
15．（2025·山东德州·中考真题）如图，点D是 的内心，连接 并延长交 的外接圆于点E，与 交于点F，连接 ．
(1)设 ，则 ；（用含 的式子表示）
(2)求证： ；
(3)若 ，求 的长．
专项练习
一、单选题
1．如图，四边形 内接于 ，连接 ．若 ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，弦 ， 都是 的直径，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．如图，在圆形纸片圆O中， 为直径．把纸片折叠，使点A与点B重合，折痕为 ，把纸片再次折
叠，使点A与点C重合，折痕为 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
4．如图， ， 是半径为1的 的弦，D为 上的动点，M，N 分别为 ， 的中点，则
的值等于线段（ ）的长．
A． B． C． D．
5．如图， 交 于点B， 切 于点D，点C在 上．若 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
6．如图， 是半圆 的直径， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图， 是 的直径，D，C是 上的点， ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
8．如图， 与 相切于 ， ， 与 交于 ，延长 与 交于 ．若
，则 为（ ）
A． B． C． D．
9．如图， 内接于 是 的直径，若 ，则 的度数是（）
A． B． C． D．
10．如图， 为 的弦，点 在 上， ， ， ，则 的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．如图， 是 的直径， 、 是 的两条弦，连接 ， ， 平分 ，则
的度数为 ．12．如图， 为半圆O的直径， ， 为半圆O的弦，D为 的中点， 于点M，若
，则 的长为 ．
13．如图， 是 的直径， 为 上一点， ， 为圆上一动点， 为 的中点，连接 ，
若 的半径为4，则 的取值范围是 ．
14．如图，以 为直径的半圆上， ，点 是半圆弧上的任意点，点 是 的中点，连接
交 于点 ， 平分 交 于点 ，则 度；当 时， 的长为 ．
15．如图，四边形 内接于 ， 为 的直径．若 ， ，则
．16．如图，在 中， ， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，且
，过 ， ， 三点的圆交边 于点 ， 两点，则线段 的最大值是 ．
三、解答题
17．如图，四边形 内接于 ， ，点E在 延长线上，且 ，求证：
是 的切线．
18．如图，已知 是半圆 的直径， 是半圆上的一点，连接 ，并延长 到点 ，使 ，连
接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求阴影部分的面积．
19．如图， ， 分别是半圆 的直径和割线，弦 平分 ， 与 交于 ， 于
， ．(1)求证： 是半圆 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
20．如图， 的直径 为10，弦 为6， 的平分线交 于点D．
(1)求 的大小；
(2)求 ， 的长．
21．如图， 是 的内接三角形， ，点 是弧 上异于 ， 的一个动点，射线 交
底边 所在的直线于点 ，连接 交 于点 ．
(1)求证： ．
(2)若 ，
①求 的值；
②当 时，求 的长．
