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2017 年湖北省武汉市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）计算 的结果为（ ）
A．6B．﹣6 C．18 D．﹣18
2．（3分）若代数式 在实数范围内有意义，则实数a的取值范围为（ ）
A．a=4 B．a＞4C．a＜4D．a≠4
3．（3分）下列计算的结果是x5的为（ ）
A．x10÷x2 B．x6﹣xC．x2•x3D．（x2）3
4．（3分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下
表所示：
成 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
绩/m
人数 2 3 2 3 4 1
则这些运动员成绩的中位数、众数分别为（ ）
A．1.65、1.70 B．1.65、1.75 C．1.70、1.75D．1.70、1.70
5．（3分）计算（x+1）（x+2）的结果为（ ）
A．x2+2B．x2+3x+2 C．x2+3x+3 D．x2+2x+2
6．（3分）点A（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（3，﹣2）B．（3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（2，﹣3）
7．（3分）某物体的主视图如图所示，则该物体可能为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）按照一定规律排列的n个数：﹣2、4、﹣8、16、﹣32、64、…，若最后三个
数的和为768，则n为（ ）
A．9B．10 C．11 D．12
第1页（共28页）9．（3分）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使
得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数
最多为（ ）
A．4B．5C．6D．7
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算2×3+（﹣4）的结果为 ．
12．（3分）计算 ﹣ 的结果为 ．
13．（3分）如图，在 ▱ABCD中，∠D=100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接
BE．若AE=AB，则∠EBC的度数为 ．
14．（3分）一个不透明的袋中共有5个小球，分别为2个红球和3个黄球，它们除
颜色外完全相同．随机摸出两个小球，摸出两个颜色相同的小球的概率为
．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC=2 ，∠BAC=120°，点D、E都在边BC上，
∠DAE=60°．若BD=2CE，则DE的长为 ．
第2页（共28页）16．（3分）已知关于x的二次函数y=ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的
坐标为（m，0）．若2＜m＜3，则a的取值范围是 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）解方程：4x﹣3=2（x﹣1）
18．（8分）如图，点C、F、E、B在一条直线上，∠CFD=∠BEA，CE=BF，DF=AE，写出
CD与AB之间的关系，并证明你的结论．
19．（8分）某公司共有A、B、C三个部门，根据每个部门的员工人数和相应每人所
创的年利润绘制成如下的统计表和扇形图
各部门人数及每人所创年利润统计表
部 员工人 每人所创的年利润/万
门 数 元
A 5 10
B b 8
C c 5
（1）①在扇形图中，C部门所对应的圆心角的度数为
②在统计表中，b= ，c=
（2）求这个公司平均每人所创年利润．
20．（8分）某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两
种奖品共20件．其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元
第3页（共28页）（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？
（2）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过680元
求该公司有哪几种不同的购买方案？
21．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，CO的延长线交AB于点D
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若BC=6，sin∠BAC= ，求AC和CD的长．
22．（10分）如图，直线y=2x+4与反比例函数y= 的图象相交于A（﹣3，a）和B两
点
（1）求k的值；
（2）直线y=m（m＞0）与直线AB相交于点M，与反比例函数的图象相交于点N．
若MN=4，求m的值；
（3）直接写出不等式 ＞x的解集．
23．（10分）已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E．
（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED•EA=EC•EB；
（2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC= ，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边
形ABCD的面积；
（3）如图3，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F．若cos∠ABC=cos∠ADC= ，
第4页（共28页）CD=5，CF=ED=n，直接写出AD的长（用含n的式子表示）
24．（12分）已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G
作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：
FH∥AE；
（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方
向匀速运动，速度为每秒
个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个
单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直
接写出t的值．
第5页（共28页）2017 年湖北省武汉市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2017•武汉）计算 的结果为（ ）
A．6B．﹣6 C．18 D．﹣18
【分析】根据算术平方根的定义计算即可求解．
【解答】解： =6．
故选：A．
【点评】考查了算术平方根，关键是熟练掌握算术平方根的计算法则．
2．（3分）（2017•武汉）若代数式 在实数范围内有意义，则实数a的取值范围为（
）
A．a=4 B．a＞4C．a＜4D．a≠4
【分析】分式有意义时，分母a﹣4≠0．
【解答】解：依题意得：a﹣4≠0，
解得a≠4．
故选：D．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零．
3．（3分）（2017•武汉）下列计算的结果是x5的为（ ）
A．x10÷x2 B．x6﹣xC．x2•x3D．（x2）3
【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂除法法则，幂的乘方以及合并同类项，
进行运算即可．
【解答】解：A、x10÷x2=x8．
B、x6﹣x=x6﹣x．
C、x2•x3=x5．
D、（x2）3=x6
第6页（共28页）故选C．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法、除法法则，幂的乘方以及合并同类项，解答
此题关键是熟练运算法则．
4．（3分）（2017•武汉）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动
员的成绩如下表所示：
成 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
绩/m
人数 2 3 2 3 4 1
则这些运动员成绩的中位数、众数分别为（ ）
A．1.65、1.70 B．1.65、1.75 C．1.70、1.75D．1.70、1.70
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个
数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不
止一个．
【解答】解：共15名学生，中位数落在第8名学生处，第8名学生的跳高成绩为
1.70m，故中位数为1.70；
跳高成绩为1.75m的人数最多，故跳高成绩的众数为1.75；
故选C．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．众数是一组数据中出现次数最
多的数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个
数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
5．（3分）（2017•武汉）计算（x+1）（x+2）的结果为（ ）
A．x2+2B．x2+3x+2 C．x2+3x+3 D．x2+2x+2
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=x2+2x+x+2=x2+3x+2，
故选B
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（3分）（2017•武汉）点A（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（3，﹣2）B．（3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（2，﹣3）
第7页（共28页）【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：A（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（3，2），
故选：B．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点
的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称
的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互
为相反数．
7．（3分）（2017•武汉）某物体的主视图如图所示，则该物体可能为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图利用排除法确定正确的选项即可．
【解答】解：A、球的主视图为圆，符合题意；
B、圆锥的主视图为矩形，不符合题意；
C、六棱柱与六棱锥的组合体的主视图为矩形和三角形的结合图，不符合题意；
D、五棱柱的主视图为矩形，不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够了解各个几
何体的主食图，难度不大．
8．（3分）（2017•武汉）按照一定规律排列的n个数：﹣2、4、﹣8、16、﹣32、
64、…，若最后三个数的和为768，则n为（ ）
A．9B．10 C．11 D．12
【分析】观察得出第n个数为（﹣2）n，根据最后三个数的和为768，列出方程，求解
即可．
【解答】解：由题意，得第n个数为（﹣2）n，
第8页（共28页）那么（﹣2）n﹣2+（﹣2）n﹣1+（﹣2）n=768，
当n为偶数：整理得出：3×2n﹣2=768，解得：n=10；
当n为奇数：整理得出：﹣3×2n﹣2=768，则求不出整数，
故选B．
【点评】此题考查规律型：数字的变化类，找出数字的变化规律，得出第n个数为
（﹣2）n是解决问题的关键．
9．（3分）（2017•武汉）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半
径为（ ）
A．B．C．D．
【分析】如图，AB=7，BC=5，AC=8，内切圆的半径为r，切点为D、E、F，作AD⊥BC于
D，设BD=x，则CD=5﹣x．由AD2=AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，可得72﹣x2=82﹣（5﹣x）2，解
得x=1，推出AD=4 ，由 •BC•AD= （AB+BC+AC）•r，列出方程即可解决问题．
【解答】解：如图，AB=7，BC=5，AC=8，内切圆的半径为r，切点为D、E、F，作AD⊥BC
于D，设BD=x，则CD=5﹣x．
由勾股定理可知：AD2=AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，
即72﹣x2=82﹣（5﹣x）2，解得x=1，
∴AD=4 ，
∵ •BC•AD= （AB+BC+AC）•r，
×5×4 = ×20×r，
∴r= ，
故选C
【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、勾股定理、三角形的面积等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用面积法求内
切圆的半径，属于中考常考题型．
第9页（共28页）10．（3分）（2017•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等
腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰
三角形的个数最多为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；
④作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形；
⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；
⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI是等腰三角形．
⑦以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形；
【解答】解：如图：
第10页（共28页）故选D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手
操作能力．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2017•武汉）计算2×3+（﹣4）的结果为 2 ．
【分析】原式先计算乘法运算，再计算加减运算即可得到结果．
【解答】解：原式=6﹣4=2，
故答案为：2
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（3分）（2017•武汉）计算 ﹣ 的结果为 ．
【分析】根据同分母分式加减运算法则化简即可．
【解答】解：
原式= ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了分式的加减运算，熟记运算法则是解题的关键．
13．（3分）（2017•武汉）如图，在 ▱ABCD中，∠D=100°，∠DAB的平分线AE交DC
于点E，连接BE．若AE=AB，则∠EBC的度数为 30 ° ．
【分析】由平行四边形的性质得出∠ABC=∠D=100°，AB∥CD，得出∠BAD=180°﹣
第11页（共28页）∠D=80°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABE=70°，即可得出
∠EBC的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D=100°，AB∥CD，
∴∠BAD=180°﹣∠D=80°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE=80°÷2=40°，
∵AE=AB，
∴∠ABE=（180°﹣40°）÷2=70°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=30°；
故答案为：30°．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形和内角和
定理等知识；关键是掌握平行四边形对边平行，对角相等．
14．（3分）（2017•武汉）一个不透明的袋中共有5个小球，分别为2个红球和3个
黄球，它们除颜色外完全相同．随机摸出两个小球，摸出两个颜色相同的小球的
概率为 ．
【分析】根据题意画出树状图，再根据树状图即可求得所有等可能的结果与两次
取出的小球颜色相同的情况，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有20种等可能结果，其中取出的小球颜色相同的有8种结果，
∴两次取出的小球颜色相同的概率为 = ，
故答案为：
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．解题的关键是根据题意列表或画
树状图，注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到
的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
第12页（共28页）15．（3分）（2017•武汉）如图，在△ABC中，AB=AC=2 ，∠BAC=120°，点D、E都在边
BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，则DE的长为 3 ﹣3 ．
【分析】（方法一）将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，连接EF，过点E作
EM⊥CF于点M，过点A作AN⊥BC于点N，由AB=AC=2 、∠BAC=120°，可得出
BC=6、∠B=∠ACB=30°，通过角的计算可得出∠FAE=60°，结合旋转的性质可证出
△ADE≌△AFE（SAS），进而可得出DE=FE，设CE=2x，则CM=x，EM= x、FM=4x﹣
x=3x、EF=ED=6﹣6x，在Rt△EFM中利用勾股定理可得出关于x的一元二次方程，
解之可得出x的值，再将其代入DE=6﹣6x中即可求出DE的长．
（方法二）将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、
EG，由AB=AC=2 、∠BAC=120°，可得出∠ACB=∠B=30°，根据旋转的性质可得出
∠ECG=60°，结合CF=BD=2CE可得出△CEG为等边三角形，进而得出△CEF为直角
三角形，通过解直角三角形求出BC的长度以及证明全等找出DE=FE，设EC=x，则
BD=CD=2x，DE=FE=6﹣3x，在Rt△CEF中利用勾股定理可得出FE= x，利用FE=6﹣
3x= x可求出x以及FE的值，此题得解．
【解答】解：（方法一）将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，连接EF，过点E
作EM⊥CF于点M，过点A作AN⊥BC于点N，如图所示．
∵AB=AC=2 ，∠BAC=120°，
∴BN=CN，∠B=∠ACB=30°．
在Rt△BAN中，∠B=30°，AB=2 ，
∴AN= AB= ，BN= =3，
∴BC=6．
∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，
∴∠BAD+∠CAE=60°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°．
在△ADE和△AFE中， ，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
第13页（共28页）∴DE=FE．
∵BD=2CE，BD=CF，∠ACF=∠B=30°，
∴设CE=2x，则CM=x，EM= x，FM=4x﹣x=3x，EF=ED=6﹣6x．
在Rt△EFM中，FE=6﹣6x，FM=3x，EM= x，
∴EF2=FM2+EM2，即（6﹣6x）2=（3x）2+（ x）2，
解得：x = ，x = （不合题意，舍去），
1 2
∴DE=6﹣6x=3 ﹣3．
故答案为：3 ﹣3．
（方法二）：将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、
EG，如图所示．
∵AB=AC=2 ，∠BAC=120°，
∴∠ACB=∠B=∠ACF=30°，
∴∠ECG=60°．
∵CF=BD=2CE，
∴CG=CE，
∴△CEG为等边三角形，
∴EG=CG=FG，
∴∠EFG=∠FEG= ∠CGE=30°，
∴△CEF为直角三角形．
∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，
∴∠BAD+∠CAE=60°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°．
在△ADE和△AFE中， ，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴DE=FE．
设EC=x，则BD=CD=2x，DE=FE=6﹣3x，
在Rt△CEF中，∠CEF=90°，CF=2x，EC=x，
EF= = x，
∴6﹣3x= x，
x=3﹣ ，
第14页（共28页）∴DE= x=3 ﹣3．
故答案为：3 ﹣3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程以及旋
转的性质，通过勾股定理找出关于x的一元二次方程是解题的关键．
16．（3分）（2017•武汉）已知关于x的二次函数y=ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴
的一个交点的坐标为（m，0）．若2＜m＜3，则a的取值范围是 ＜ a ＜ 或﹣ 3 ＜ a
＜ ﹣ 2 ．
【分析】先用a表示出抛物线与x轴的交点，再分a＞0与a＜0两种情况进行讨论
即可．
【解答】解：∵y=ax2+（a2﹣1）x﹣a=（ax﹣1）（x+a），
∴当y=0时，x = ，x =﹣a，
1 2
∴抛物线与x轴的交点为（ ，0）和（﹣a，0）．
∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（m，0）且2＜m＜3，
∴当a＞0时，2＜ ＜3，解得 ＜a＜ ；
当a＜0时，2＜﹣a＜3，解得﹣3＜a＜﹣2．
故答案为： ＜a＜ 或﹣3＜a＜﹣2．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，在解答此题时要注意进行分类讨论，
不要漏解．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）（2017•武汉）解方程：4x﹣3=2（x﹣1）
【分析】去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到方程的解．
第15页（共28页）【解答】解：4x﹣3=2（x﹣1）
4x﹣3=2x﹣2
4x﹣2x=﹣2+3
2x=1
x=
【点评】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程时先观察方程的形式
和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号
内各项后能消去分母，就先去括号．
18．（8分）（2017•武汉）如图，点C、F、E、B在一条直线上，∠CFD=∠BEA，CE=BF，
DF=AE，写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论．
【分析】求出CF=BE，根据SAS证△AEB≌△CFD，推出CD=AB，∠C=∠B，根据平行
线的判定推出CD∥AB．
【解答】解：CD∥AB，CD=AB，
理由是：∵CE=BF，
∴CE﹣EF=BF﹣EF，
∴CF=BE，
在△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（SAS），
∴CD=AB，∠C=∠B，
∴CD∥AB．
【点评】本题考查了平行线的判定和全等三角形的性质和判定的应用．全等三角
形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形
全等时，关键是选择恰当的判定条件．
第16页（共28页）19．（8分）（2017•武汉）某公司共有A、B、C三个部门，根据每个部门的员工人数
和相应每人所创的年利润绘制成如下的统计表和扇形图
各部门人数及每人所创年利润统计表
部 员工人 每人所创的年利润/万
门 数 元
A 5 10
B b 8
C c 5
（1）①在扇形图中，C部门所对应的圆心角的度数为 108 °
②在统计表中，b= 9 ，c= 6
（2）求这个公司平均每人所创年利润．
【分析】（1）①根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°进行计算即可
②先求得A部门的员工人数所占的百分比，进而得到各部门的员工总人数，据此
可得B，C部门的人数；
（2）根据总利润除以总人数，即可得到这个公司平均每人所创年利润．
【解答】解：（1）①在扇形图中，C 部门所对应的圆心角的度数为：
360°×30%=108°；
②A部门的员工人数所占的百分比为：1﹣30%﹣45%=25%，
各部门的员工总人数为：5÷25%=20（人），
∴b=20×45%=9，c=20×30%=6，
故答案为：108°，9，6；
（2）这个公司平均每人所创年利润为： =7.6（万元）．
【点评】本题主要考查了扇形统计图以及平均数的计算，解题时注意：通过扇形统
计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系，用整个圆的面积表示总
第17页（共28页）数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
20．（8分）（2017•武汉）某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划
购买甲、乙两种奖品共20件．其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？
（2）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过680元
求该公司有哪几种不同的购买方案？
【分析】（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（20﹣x）件，利用购买甲、乙
两种奖品共花费了650元列方程40x+30（20﹣x）=650，然后解方程求出x，再计算
20﹣x即可；
（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（20﹣x）件，利用购买乙种奖品的件
数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过680元列不等式组 ，然后解
不等式组后确定x的整数值即可得到该公司的购买方案．
【解答】解：（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（20﹣x）件，
根据题意得40x+30（20﹣x）=650，
解得x=5，
则20﹣x=15，
答：甲种奖品购买了5件，乙种奖品购买了15件；
（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（20﹣x）件，
根据题意得 ，解得 ≤x≤8，
∵x为整数，
∴x=7或x=8，
当x=7时，20﹣x=13；当x=8时，20﹣x=12；
答：该公司有2种不同的购买方案：甲种奖品购买了：7件，乙种奖品购买了13件
或甲种奖品购买了8件，乙种奖品购买了12件．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用：对具有多种不等关系的问题，考虑
列一元一次不等式组，并求解；一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等
式组解应用题，
21．（8分）（2017•武汉）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，CO的延长线交AB于点
第18页（共28页）D
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若BC=6，sin∠BAC= ，求AC和CD的长．
【分析】（1）延长AO交BC于H，连接BO，证明A、O在线段BC的垂直平分线上，
得出AO⊥BC，再由等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）延长CD交⊙O于E，连接BE，则CE是⊙O的直径，由圆周角定理得出
∠EBC=90°，∠E=∠BAC，得出sinE=sin∠BAC，求出CE= BC=10，由勾股定理求出
BE=8，证出BE∥OA，得出 ，求出OD= ，得出CD═ ，而BE∥OA，由三角形中位
线定理得出OH= BE=4，CH= BC=3，在Rt△ACH中，由勾股定理求出AC的长即可．
【解答】（1）证明：延长AO交BC于H，连接BO，如图1所示：
∵AB=AC，OB=OC，
∴A、O在线段BC的垂直平分线上，
∴AO⊥BC，
又∵AB=AC，
∴AO平分∠BAC；
（2）解：延长CD交⊙O于E，连接BE，如图2所示：
则CE是⊙O的直径，
∴∠EBC=90°，BC⊥BE，
∵∠E=∠BAC，
∴sinE=sin∠BAC，
∴ = ，
∴CE= BC=10，
∴BE= =8，OA=OE= CE=5，
第19页（共28页）∵AH⊥BC，
∴BE∥OA，
∴ ，即 = ，
解得：OD= ，
∴CD=5+ = ，
∵BE∥OA，即BE∥OH，OC=OE，
∴OH是△CEB的中位线，
∴OH= BE=4，CH= BC=3，
∴AH=5+4=9，
在Rt△ACH中，AC= = =3 ．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、平行线分
线段成比例定理、三角形中位线定理、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难
度．
22．（10分）（2017•武汉）如图，直线y=2x+4与反比例函数y= 的图象相交于A（﹣
3，a）和B两点
（1）求k的值；
（2）直线y=m（m＞0）与直线AB相交于点M，与反比例函数的图象相交于点N．
第20页（共28页）若MN=4，求m的值；
（3）直接写出不等式 ＞x的解集．
【分析】（1）把点A（﹣3，a）代入y=2x+4与y= 即可得到结论；
（2）根据已知条件得到M（ ，m），N（ ，m），根据MN=4列方程即可得到结论；
（3）根据 ＞x得到 ＞0解不等式组即可得到结论．
【解答】（1）∵点A（﹣3，a）在y=2x+4与y= 的图象上，
∴2×（﹣3）+4=a，
∴a=﹣2，
∴k=（﹣3）×（﹣2）=6；
（2）∵M在直线AB上，
∴M（ ，m），N在反比例函数y= 上，
∴N（ ，m），
∴MN=x ﹣x = ﹣ =4或x ﹣x = ﹣ =4，
N m M N
解得：∵m＞0，
∴m=2或m=6+4 ；
（3）x＜﹣1或x5＜x＜6，
由 ＞x得： ﹣x＞0，
∴ ＞0，
∴ ＜0，
∴ 或 ，
结合抛物线y=x2﹣5x﹣6的图象可知，由 得
，
∴ 或 ，
∴此时x＜﹣1，
第21页（共28页）由 得， ，
∴ ，
解得：5＜x＜6，
综上，原不等式的解集是：x＜﹣1或5＜x＜6．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求不等式组的解集，正确
的理解题意是解题的关键
23．（10分）（2017•武汉）已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点
E．
（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED•EA=EC•EB；
（2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC= ，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边
形ABCD的面积；
（3）如图3，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F．若cos∠ABC=cos∠ADC= ，
CD=5，CF=ED=n，直接写出AD的长（用含n的式子表示）
第22页（共28页）【分析】（1）只要证明△EDC∽△EBA，可得 = ，即可证明ED•EA=EC•EB；
（2）如图2中，过C作CF⊥AD于F，AG⊥EB于G．想办法求出EB，AG即可求出
△ABE的面积，即可解决问题；
（3）如图3中，作CH⊥AD于H，则CH=4，DH=3，作AG⊥DF于点G，设AD=5a，则
DG=3a，AG=4a，只要证明△AFG∽△CEH，可得 = ，即 = ，求出a即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，
∵∠ADC=90°，∠EDC+∠ADC=180°，
∴∠EDC=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EDC=∠ABC，
∵∠E=∠E，
∴△EDC∽△EBA，
∴ = ，
∴ED•EA=EC•EB．
（2）如图2中，过C作CF⊥AD于F，AG⊥EB于G．
第23页（共28页）在Rt△CDF中，cos∠ADC= ，
∴ = ，∵CD=5，
∴DF=3，
∴CF= =4，
∵S =6，
△CDE
∴ •ED•CF=6，
∴ED= =3，EF=ED+DF=6，
∵∠ABC=120°，∠G=90°，∠G+∠BAG=∠ABC，
∴∠BAG=30°，
∴在Rt△ABG中，BG= AB=6，AG= =6 ，
∵CF⊥AD，AG⊥EB，
∴∠EFC=∠G=90°，∵∠E=∠E，
∴△EFC∽△EGA，
∴ = ，
∴ = ，
∴EG=9 ，
∴BE=EG﹣BG=9 ﹣6，
∴S =S ﹣S = （9 ﹣6）×6 ﹣6=75﹣18 ．
四边形ABCD △ABE △CDE
（3）如图3中，作CH⊥AD于H，则CH=4，DH=3，
第24页（共28页）∴tan∠E= ，
作AG⊥DF于点G，设AD=5a，则DG=3a，AG=4a，
∴FG=DF﹣DG=5+n﹣3a，
∵CH⊥AD，AG⊥DF，∠E=∠F，
易证△AFG∽△CEH，
∴ = ，
∴ = ，
∴a= ，
∴AD=5a= ．
【点评】本题考查相似形综合题、相似三角形的判定和性质、直角三角形的30度
角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，
属于中考压轴题．
24．（12分）（2017•武汉）已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G
作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：
FH∥AE；
（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方
向匀速运动，速度为每秒
个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个
单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直
接写出t的值．
第25页（共28页）【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；
（2）根据点A、F的坐标利用待定系数法，可求出直线AF的解析式，联立直线AF
和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点G的坐标，进而可得出点H
的坐标，利用分解因式法将抛物线解析式变形为交点式，由此可得出点E的坐标
再根据点A、E（F、H）的坐标利用待定系数法，可求出直线AE（FH）的解析式，由此
可证出FH∥AE；
（3）根据点A、B的坐标利用待定系数法，可求出直线AB的解析式，进而可找出点
P、Q的坐标，分点M在线段PQ上以及点M在线段QP的延长线上两种情况考虑，
借助相似三角形的性质可得出点M的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特
征可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，1）、B（4，6）代入y=ax2+bx中，
，解得： ，
∴抛物线的解析式为y= x2﹣ x．
（2）证明：设直线AF的解析式为y=kx+m，
将点A（﹣1，1）代入y=kx+m中，即﹣k+m=1，
∴k=m﹣1，
∴直线AF的解析式为y=（m﹣1）x+m．
联立直线AF和抛物线解析式成方程组，
，解得： ， ，
∴点G的坐标为（2m，2m2﹣m）．
∵GH⊥x轴，
∴点H的坐标为（2m，0）．
∵抛物线的解析式为y= x2﹣ x= x（x﹣1），
∴点E的坐标为（1，0）．
设直线AE的解析式为y=k x+b ，
1 1
将A（﹣1，1）、E（1，0）代入y=k x+b 中，
1 1
，解得： ，
∴直线AE的解析式为y=﹣ x+ ．
第26页（共28页）设直线FH的解析式为y=k x+b ，
2 2
将F（0，m）、H（2m，0）代入y=k x+b 中，
2 2
，解得： ，
∴直线FH的解析式为y=﹣ x+m．
∴FH∥AE．
（3）设直线AB的解析式为y=k x+b ，
0 0
将A（﹣1，1）、B（4，6）代入y=k x+b 中，
0 0
，解得： ，
∴直线AB的解析式为y=x+2．
当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t﹣2，t），点Q的坐标为（t，0）．
当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点
M′，则△PQP′∽△MQM′，如图2所示．
∵QM=2PM，
∴ = = ，
∴QM′= ，MM′= t，
∴点M的坐标为（t﹣ ， t）．
又∵点M在抛物线y= x2﹣ x上，
∴ t= ×（t﹣ ）2﹣ （t﹣ ），
解得：t= ；
当点M在线段QP的延长线上时，
同理可得出点M的坐标为（t﹣4，2t），
∵点M在抛物线y= x2﹣ x上，
∴2t= ×（t﹣4）2﹣ （t﹣4），
解得：t= ．
综上所述：当运动时间为 秒、 秒、 秒或 秒时，QM=2PM．
第27页（共28页）【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数图象上点的
坐标特征、二次函数的三种形式、相似三角形的性质以及两条直线相交或平行，
解题的关键是：（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法，求出抛物线的解析式；
（2）根据点A、E（F、H）的坐标利用待定系数法，求出直线AE（FH）的解析式：（3）
分点M在线段PQ上以及点M在线段QP的延长线上两种情况，借助相似三角形
的性质找出点M的坐标．
第28页（共28页）
