B版必修第3册_高中三年全科资料_高中_高中电子教材_高中数学_人教版

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普
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通 普 通 高 中 教 科 书
高
中
教
科
书
数学
数
学 必 修
PUTONG GAOZHONG JIAOKESHU
SHUXUE 第三册
修
第
三
册
绿色印刷产品 B
版
定价： 元
未命名-2 1 19-8-9 下午3:46数学
普 通 高 中 教 科 书
必 修
第三册
人民教育出版社 课程教材研究所
编著
中 学 数 学 教 材 实 验 研 究 组
B
版
·北京·主 编：高存明
副 主 编：王殿军 朱志勇 龙正武
本册主编：闻 岩 黄 铎
其他编者：王光明 王旭刚 李 梁 杨凤文 高雪松 曹春雷
普通高中教科书 数学（B版） 必修 第三册
人民教育出版社 课程教材研究所
编著
中 学 数 学 教 材 实 验 研 究 组
出 版
（北京市海淀区中关村南大街 17 号院 1 号楼 邮编：100081）
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02 高中物理必修第一册!"#
人们喜欢音乐，是因为它拥有优美和谐的旋律；人们喜欢美术，是因为它描绘了人和自然的美；
人们喜欢数学，是因为它用空间形式和数量关系刻画了自然界和人类社会的内在规律，用简洁、优
美的公式与定理揭示了世界的本质，用严谨的语言和逻辑梳理了人们的思维……
我国著名数学家华罗庚先生曾经指出：数学是一切科学的得力助手和工具；任何一门科学缺少
了数学这一工具便不能确切地刻画出客观事物变化的状态，更不能从已知数据推出未知的数据来，
因而就减少了科学预见的可能性，或者减弱了科学预见的准确度．
事实上，任何一项现代科学技术的出现与发展，背后都一定有数学知识的支撑．互联网的普及、
共享经济的繁荣、网络支付的便利、物联网的兴起、人工智能的发展、大数据的应用，离开了数学
知识都是不可能的！并且，现代生活中，类似 “逻辑”“函数”“命题”“线性增长”“指数增长”“概
率”“相关性”等数学术语，在政府文件、新闻报道中比比皆是．
正如 《普通高中数学课程标准 （２０１７年版）》（以下简称 “课程标准”）所指出的：数学在形成人
的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用．数学素养是现代社会
每一个人应该具备的基本素养．高中生学习必需的数学知识，能为自身的可持续发展和终身学习奠
定基础．
为了帮助广大高中生更好地学习相关数学知识，我们按照课程标准的要求编写了这套高中数学
教材．在编写过程中，我们着重做了以下几项工作．
１
$%&’()*+,-./0
教材在选取内容的背景素材时，力图从学生熟悉的情境出发，着力体现时代特征，并为学生的
成长提供支撑．例如，以下内容在本套教材中都有所体现：利用数学知识破解魔术的 “秘密”，用生
活中的例子说明学习逻辑知识以及理性思考的重要性，从数学角度理解报刊上有关人工智能、新兴
媒体等报道中出现的 “线性增长”“爆炸式增长”等名词．
教材中还提到了 “网络搜索”“人工智能”“自主招生”“环境保护”“大数据”“按揭贷款”“电
子商务”“创业创新”等．我们相信，这些能引起大家的共鸣．
此外，教材中多处出现了借助现代信息技术学习数学知识的内容，包括怎样借助数学软件解方
程、不等式，怎样借助信息技术呈现统计结果、展示模拟过程，等等．
在体现时代特征的同时，我们也特别注重对中华优秀传统文化的展示．例如，教材中精选了多
道我国古代数学名题，启发大家从数学角度去理解 “失败乃成功之母”“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”
等语句的含义，呈现了与二十四节气、古典诗词等有关的调查数据，介绍了 《九章算术》在代数上
的成就以及我国古代的统计工作，等等．
２
123456*789,:;
在教材编写过程中，编者认真学习和讨论了当前教育学、心理学等学科的先进理念，并通过改
变教材呈现方式来加以体现，力图真正做到 “以学习者为中心”．
前言 ｉ
书书书例如，教材每一章都引用了一段名人名言，旨在为大家的数学学习提供参考和指引；通过 “情境
与问题”栏目，展示相关数学知识在现实生活等情境中的应用；利用 “尝试与发现”栏目，鼓励大家
大胆尝试，并在此基础上进行猜想、归纳与总结；通过填空的方式，培养大家学习数学的信心；选择
与内容紧密联系的专题，设置拓展阅读，以拓宽大家的知识面，了解数学应用的广泛性；等等．
３
<=>?@A*BCDE?F
数学学习必须循序渐进是一种共识．基础不扎实是很多人学不好数学的重要原因，本套教材在编
写时特别考虑了这一点．
事实上，教材一方面按照课程标准的要求，讲解和复习了高中数学必备的集合、等式、不等式等
内容；另一方面，在呈现新知识时，教材注重从已有知识出发，在回顾的基础上通过实际例子逐步引
入，尽力展现新旧知识的联系，以达到温故知新的效果．
例如，教材在复习了变量以及初中函数概念的基础上介绍了函数中的对应关系，在回顾了整数指
数幂、二次根式等后引入了分数指数幂，等等．
正因为如此，即使是初中数学基础比较薄弱的同学，使用本套教材也能顺利地进行学习，并最终
达到理想的效果．这在本套教材试教过程中已得到印证．
４
GHIJKL*MNOP5Q
数学知识具有客观性，但数学知识的理解有多种方式与途径．揭示内容本质，培养大家对数学内
容的直观理解，是我们编写本套教材时特别注意的方面之一．
首先，教材内容的安排突出主线，强调 “通性通法”．例如，多次强调了配方法的使用，自始至
终贯彻函数的研究应从特殊到一般、从性质到图象，等等．
其次，尽量自然地引入新内容或新方法．例如，通过实例说明学习中位数、百分位数的必要性，
通过对比说明用样本估计总体的合理性，等等．
最后，注重培养大家的数学学科核心素养．课程标准提出的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直
观想象、数学运算和数据分析，在教材中都得到了落实．仅以数学抽象为例，教材处处强调了自然语
言与符号语言之间的相互转化等．
总的来说，“引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”
并不容易．为此，我们在编写教材时做了很多新的尝试，力图给大家提供一套有时代特色、易教易学
的数学教材，以帮助大家学习．
本书是这套教材必修部分的第三册，呈现了三角函数、向量的数量积与三角恒等变换的内容．通
过本书的目录与每章的 “本章导语”，可以大致了解本书的全貌，这里不再重复．
由于编写时间有限等原因，书中难免会有疏漏之处，敬请大家多提宝贵意见，以使教材日臻完善．
编者
２０１９年４月
ｉｉ 前言!"
１
!"#$%&’(
７１ 任意角的概念与弧度制 ３
７．１．１ 角的推广 ３
７．１．２ 弧度制及其与角度制的换算 ８
７２ 任意角的三角函数 １４
７．２．１ 三角函数的定义 １４
７．２．２ 单位圆与三角函数线 １８
７．２．３ 同角三角函数的基本关系式 ２２
７．２．４ 诱导公式 ２７
７３ 三角函数的性质与图象 ３７
７．３．１ 正弦函数的性质与图象 ３７
７．３．２ 正弦型函数的性质与图象 ４４
７．３．３ 余弦函数的性质与图象 ５２
７．３．４ 正切函数的性质与图象 ５６
７．３．５ 已知三角函数值求角 ６０
７４ 数学建模活动：周期现象的描述 ６７
本章小结 ６９
目录 ｉ７３
!)#$*+,(+-.%&/012
８１ 向量的数量积 ７５
８．１．１ 向量数量积的概念 ７５
８．１．２ 向量数量积的运算律 ８０
８．１．３ 向量数量积的坐标运算 ８５
８２ 三角恒等变换 ９１
８．２．１ 两角和与差的余弦 ９１
８．２．２ 两角和与差的正弦、正切 ９４
８．２．３ 倍角公式 １００
８．２．４ 三角恒等变换的应用 １０３
本章小结 １１１
櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷
$$3456789:
更多三角函数及关系式／２５
向量的数量积与三角形的面积／８８
正弦型函数与信号处理／１０８
ｉｉ 目录书书书我们已经知道，利用前面学过的一次函数、二次函数、指数函
数、对数函数、幂函数等，可以描述多种类型的运动或变化规律．不
过，对于周期性运动或变化来说，虽然我们很熟悉，而且也知道怎样
进行简单描述，但是，系统刻画周期性运动或变化的知识，我们还没
有完整地学习过．
例如，被称为 “天津之眼”的天津永
乐桥摩天轮，是一座跨河建造、桥轮合一
的摩天轮，直径为１１０ｍ，如图１所示．
如果 “天津之眼”每３０ｍｉｎ转动一周，而
A B
且假设是匀速转动，摩天轮的半径犃犅在
狋ｍｉｎ内转过的角为狔度，则
３６０
狔＝ 狋＝１２狋．
３０
如果设摩天轮圆周上的点犅离地面的高度
为犺ｍ，那么犺与狋之间的函数关系怎样 图１
表示呢？这需要借助本章我们即将学习的三角函数知识才能完成．
需要说明的是，我们根据摩天轮提出来的问题并不是 “没事找
事”，类似的问题在工程中有着重要的应用．
例如，人们经常要将直线运动与圆周运动进行相互转化．图２的
发动机示意图中，活塞的直线运动就要转化为圆周运动才能方便
利用．
B
A α
E F O C
图２ 图３
类似的情况可以用图３来示意，其中犃犅是直杆，端点犅固定
在圆犗的圆周上，当端点犃沿线段犈犉运动时，犗犅绕点犗旋转．
此时犅犆的变化规律与端点犃的运动规律有关．
本章我们首先对角的概念进行推广，然后介绍任意角的正弦、余
弦和正切，最后学习三角函数的性质，并初步了解怎样用三角函数描
述周期性运动或变化．．
! "! "#$%&’()*+
7.1.1  

>+ +
在小学和初中，我们把有公共端点的两条射线
组成的图形称为角，这个公共端点称为角的顶点， B
这两条射线称为角的边．同时我们还知道，角可以
b
120
看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另
O A
一个位置所形成的图形．例如，图７１１所示的大小
图７１１
为１２０°的角，用以前的观点来看，既可以认为是犗犃
旋转到犗犅所形成的，也可以认为是犗犅旋转到犗犃所形成的．
我们以前所学过的角，大小一般不会超过一个周角 （３６０°）的大小．

如图７１２所示，当摩天轮在持续不断地转
动时，
（１）摩天轮所转过的角度大小是否会超过３６０°？
（２）如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观
察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？如
果不同，你能用合适的数学符号表示这种不同吗？
从这个实例出发，你能将以前所学的角进行推广吗？
图７１２
显然，上述情境中，只要时间足够长，摩天轮所转过的角的大小会超过
３６０°．而且，甲、乙两人所观察到的摩天轮旋转方向相反：如果其中一人观
察到的是逆时针旋转，则另一人观察到的是顺时针旋转．由于相反意义的量
可以用正负数表示，因此不难想到这种不同可以用正负号来区分．
７．１ 任意角的概念与弧度制 ３由此就可以将角的概念进行推广：一条射线绕其端点旋转到另一条射线
所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边．射线的旋转有
两个相反的方向：顺时针方向和逆时针方向．习惯上规定，按照逆时针方向
旋转而成的角称为正角；按照顺时针方向旋转而成的角称为负角；当射线没
有旋转时，我们也把它看成一个角，称为零角．这样定义的角，由于是旋转
生成的，所以也常称为转角．
值得注意的是，上述角的定义中，当射线绕其端点按逆时针方向或按顺
时针方向旋转时，旋转的绝对量可以是任意的．因此，角的概念经过以上的
推广以后，就包括正角、负角、零角．也就是说，角的大小是任意的．由
此，我们把角的概念推广到了任意角．
作图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量．如图７１３（１）
（２）表示的两个转角中，射线犗犃绕端点犗旋转到犗犅时，旋转的绝对量都超过
了一个周角的大小，按照图中箭头所指的旋转方向和弧线所表示的周数，可知
α＝４５０°， β＝－６３０°．
B B
a b
O A O A
 
图７１３
A(
角的概念推广之后，利用转角给出６０°＋９０°与９０°－３０°的几何意义．
利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义．例如，对于６０°＋
９０°来说，如图７１４（１）所示，射线犗犃逆时针方向旋转
①
到犗犅所形成的角
为６０°，犗犅逆时针方向旋转到犗犆所形成的角为９０°，则犗犃逆时针方向旋
转到犗犆所形成的角为
６０°＋９０°＝１５０°．
B B
b bC
C 150 -30
b b
90 b b60
60 90
O A O A
 
图７１４
① 均指绕端点犗旋转，下同．
４ 第七章 三角函数类似地，如图７１４（２）所示，射线犗犃逆时针方向旋转到犗犅所形成的
角为９０°，犗犅顺时针方向旋转到犗犆所形成的角为－３０°，则犗犃逆时针方
向旋转到犗犆所形成的角为
９０°－３０°＝６０°．

AK>
为了方便起见，通常将角放在平面直角坐标系中来讨论，并约定：角的
顶点与坐标原点重合，角的始边落在狓轴的正半轴上．这时，角的终边在
第几象限，就把这个角称为第几象限角．如果终边在坐标轴上，就认为这个
角不属于任何象限．
例如，图７１５（１）中的４５°，－３１５°，４０５°角都是第一象限角；图７１５（２）
中的１２６°角是第 象限角，２１０°角是第三象限角，－６０°角是第
象限角，－９０°角不是象限角，其终边在狔轴的负半轴上．
y y
b
210
−315 b b 405 b 126 b
45
b
O x O −60 x
b
−90
 
图７１５
A(
图７１５（１）中三个角的终边相同．那么，终边相同的角有没有一个共同的表示
方法呢？
一般地，角α＋犽·３６０°（犽∈犣）与角α的终边相同，这只需把犽·３６０°
看成逆时针或者顺时针方向旋转若干周即可．任意两个终边相同的角，它们
的差一定是３６０°的整数倍．因此，所有与α终边相同的角组成一个集合，这
个集合可记为
犛＝｛ β｜β＝α＋犽·３６０°，犽∈犣｝．
即集合犛的每一个元素的终边都与α的终边相同，犽＝０时对应元素为
 ．
７．１ 任意角的概念与弧度制 ５如图７１６所示，已知角α的终


边为射线犗犃，分别作出角α＋９０°，α－
y
B 180 b A
９０°，α＋１８０°的终边．
b
90
由角的定义可知，把角α的终边 α
 O −90 bx
犗犃逆时针方向旋转９０°可得角α＋９０°的
终边犗犅，把角α的终边犗犃顺时针方向 D C
旋转９０°可得角α－９０°的终边犗犆，把角α
图７１６
的终边犗犃逆时针方向旋转 可得角
α＋１８０°的终边犗犇，如图７１６所示．
分别写出与下列各角终边相同的角的集合犛，并把犛中满足不等


式－３６０°≤β＜７２０°的元素
β
写出来．
（１）６０°； （２）－２１°．

（１）犛＝｛ β｜β＝６０°＋犽·３６０°，犽∈犣｝．
１ １
解不等式－３６０°≤６０°＋犽·３６０°＜７２０°，得－１－ ≤犽＜２－ ，所以
６ ６
犽可取－１，０或１．因此犛中满足－３６０°≤β＜７２０°的元素是
６０°＋（－１）×３６０°＝－３００°，
６０°＋０×３６０°＝６０°，
６０°＋１×３６０°＝４２０°．
（２）犛＝｛ β｜β＝－２１°＋犽·３６０°，犽∈犣｝．
解不等式－３６０°≤－２１°＋犽·３６０°＜７２０°，得
２１ ２１
－１＋ ≤犽＜２＋ ，
３６０ ３６０
所以犽可取 ．因此犛中满足－３６０°≤β＜７２０°的元素是
－２１°＋０×３６０°＝－２１°，
－２１°＋１×３６０°＝３３９°，
－２１°＋２×３６０°＝６９９°．
写出终边在第一象限内的角的集合．


因为大于０°且小于９０°的角的终边一定在第一象限，而且如果一个

角的终边在第一象限，那么这个角的终边一定与大于０°且小于９０°的某个
角的终边相同，因此终边在第一象限内的角的集合为
｛α｜犽·３６０°＜α＜９０°＋犽·３６０°，犽∈犣｝．
写出终边在狓轴上的角的集合．


在０°～３６０°① 内，终边在狓轴上的角有两个，即０°和１８０°，与这两

个角终边相同的角组成的集合依次为
① 本书中，在表示角的范围时，我们约定０°～３６０°的角α指的是０°≤α＜３６０°．
６ 第七章 三角函数犛＝｛α｜α＝犽·３６０°，犽∈犣｝，
１
犛＝｛α｜α＝１８０°＋犽·３６０°，犽∈犣｝．
２
为简便起见，我们把集合犛 和犛 的表示方法改为
１ ２
犛＝｛α｜α＝２犽·１８０°，犽∈犣｝，
１
犛＝｛α｜α＝（２犽＋１）·１８０°，犽∈犣｝，
２
因为｛犿｜犿＝２犽，犽∈犣｝∪｛犿｜犿＝２犽＋１，犽∈犣｝＝犣，所以
犛＝犛∪犛＝｛α｜α＝犿·１８０°，犿∈犣｝， 如果α是第二
１ ２
即集合犛是终边在狓轴上的角的集合． α
象限角，则 是第
２
例４的结果也可从直观上来理解：零角的终边在狓轴上，零
几象限角？
角的终边旋转１８０°，－１８０°，２×１８０°，２×（－１８０°），…，终边仍
会落在狓轴上．于是，可以直接写出终边在狓轴上的角的集合为
｛α｜α＝犽·１８０°，犽∈犣｝．
"
? 求下列各式的值，并作图说明运算的几何意义．
（１）９０°＋（－６０°）； （２）６０°－１８０°； （３）－６０°＋２７０°．
? 在平面直角坐标系中作下列各角的终边．
（１）８５５°； （２）－７５０°．
? 在０°～３６０°内，找出与下列各角终边相同的角，并说明它们所在的象限．
（１）－４５°； （２）７６０°； （３）－４８０°．
? 分别写出与下列各角终边相同的角的集合犛，并把犛中满足不等式－３６０°≤α＜
７２０°的元素α写出来．
（１）１００°； （２）－１２０°； （３）－３８０°２０′．
? 判断以下说法是否正确 （均指在平面直角坐标系中，始边在狓轴正半轴上）．
（１）第一象限角一定是锐角； （２）终边相同的角一定相等；
（３）小于９０°的角一定是锐角； （４）钝角的终边在第二象限．
#
? 分别写出终边在狔轴正半轴、狔轴负半轴和狔轴上的角的集合．
? 分别写出终边在直线狔＝狓上和终边在直线狔＝－狓上的角的集合．
? 在平面直角坐标系中，集合犛＝｛ β｜β＝犽·９０°，犽∈犣｝中的元素所表示的角的
终边在哪些位置？
? 分别写出终边在第二、第三、第四象限的角的集合．
? 今天是星期一，那么从明天算起，第７犽（犽∈犖 ）天是星期几？第１００天是星期几？
＋
７．１ 任意角的概念与弧度制 ７ 二  四 α  １８０°  ０，１或２
7.1.2   
在日常生活以及各学科中，一个量可用不同的标准来度量，从而也就有
了不同的单位以及单位之间的换算．例如，长度既可以用米、厘米来度量，也
可以用尺、寸来度量；面积可以用平方米来度量，也可以用亩来度量．类似地，
角除了使用角度来度量外，还可以使用本小节我们要学习的弧度来度量．


使用角度来度量角时，是把圆周等分成３６０份，其中每一份所对应的圆
心角为１度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制．角度制还规定１
度等于６０分，１分等于６０秒，即
１°＝６０′，１′＝ ．
使用角度来度量角，其关键是 “等分”．考虑到面积、体积等都可以通
过线的长度来刻画，那么，能否用 “测量长度”来代替 “等分”，从而引进
另外一种度量角的制度呢？

如图７１７是一种折叠扇．折叠扇打开、合拢的过程
可以抽象成扇形圆心角的变大、变小．那么在这个过程
中，扇形的什么量在发生变化？什么量没发生变化？由
此你能想到度量角的其他办法吗？
图７１７
将折叠扇抽象为如图７１８（１）所示的图形，可以看出，弧犃犅与弧犃′犅′
︵ ︵
都与角α对应，但α≠０°时，它们的弧长犃犅与犃′犅′始终不相等，其原因在
于犗犃≠犗犃′．
８ 第七章 三角函数l′
B′
B′ A′ l
B
B α A α
P
O O A A′
 
图７１８
一般地，如果角α是由射线犗犘绕它的端点旋转形成的，如图７１８（２）
所示，则在旋转的过程中，射线上的任意一点 （端点除外）必然形成一条圆
弧，不同的点所形成的圆弧长度不同，但这些圆弧都对应同一个角α．可以
猜想，这些弧的长与弧所在圆的半径的比值是一个常数，即
︵ ︵
犃犅 犃′犅′
＝ ＝…＝定值．
犗犃 犗犃′
狀
事实上，设α＝狀°，弧犃犅的长为犾，半径犗犃＝狉，则犾＝ ·２π狉，
３６０
因此
犾 ２π
＝狀· ．
狉 ３６０
这个等式右端不包含半径，这表示弧长比半径的值不依赖于半径，而只与α
的大小有关．我们称弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数．因此，
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为１弧度的角，
︵
记作１ｒａｄ．如图７１９所示，因为犃犅的长等于半径 B
r
︵
狉，所以犃犅所对的圆心角∠犃犗犅就是１弧度的角．
如前所述，这样规定出来的１弧度的角大小是完 O r A
全确定的，这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧
度制． 图７１９
由弧度制的定义可知，在半径为狉的圆中，若弧
长为犾的弧所对的圆心角为αｒａｄ，则
犾
α＝ ．
狉
弧度制与角度
制的区别是什么？
由此也可得到犾＝ ，即弧长等于其所对应的圆心角的弧
请查阅资料，思考
度数与半径的积．
一下引入弧度制的
今后我们在用弧度制表示角时，“弧度”二字或ｒａｄ可以略去
意义是什么．
不写，而只写这个角对应的弧度数．例如，α＝２表示α是２ｒａｄ
π π
的角；ｓｉｎ 表示 ｒａｄ的角的正弦．
３ ３
７．１ 任意角的概念与弧度制 ９
>+0
A(
（１）按照定义，一个周角对应的弧度数应是多少？
（２）一般地，弧度制与角度制之间怎样进行换算？
２π狉
因为半径为狉的圆周长为２π狉，所以周角的弧度数是 ＝２π，于是
狉
３６０°＝２πｒａｄ，因此
１８０°＝πｒａｄ．
由此容易得到弧度制与角度制的换算公式：
设一个角的角度数为狀，弧度数为α，则
狀 α
＝ ．
１８０ π
π
由此不难知道，０ｒａｄ角就是０°角，它的终边在狓轴的正半轴上； ｒａｄ
２
角就是９０°角，它的终边在狔轴的正半轴上；πｒａｄ角就是１８０°角，它的终
３π
边在狓轴的负半轴上； ｒａｄ角就是２７０°角，它的终边在狔轴的负半轴上．
２
把３０°，４５°，６０°化成弧度 （用π表示），


并在平面直角坐标系中作出它们的终边． π
y 3 π
α ３０
设３０°角的弧度数为α，则 ＝ ，所以 C 4
 π １８０ B π
A 6
π π
α＝ ，即３０°＝ ，对应的角的终边为图７１１０中
６ ６ O x
的射线犗犃．
图７１１０
类似地，有
４５°＝ ，６０°＝ ，
它们的终边分别为７１１０中的射线犗犅，犗犆．
π
因为 ≈１．０５，所以例１说明，１ｒａｄ的角比６０°小．
３
８π
把 化成角度数．

 ５
８π
８π 狀 ５ ８ ８π
设 ＝狀°，则 ＝ ，因此狀＝１８０× ＝２８８，即 ＝２８８°．
 ５ １８０ π ５ ５
１ ０ 第七章 三角函数利用弧度制推导扇形的面积公式


１
犛＝ 犾狉．
２
其中犾是扇形的弧长，狉是扇形的半径．
设扇形的圆心角为αｒａｄ，则扇形的面积为
 把扇形的面积
α １
犛＝ ·π狉２＝ α狉２． 公式与三角形的面
２π ２
积公式进行对比，
１
又因为犾＝α狉，所以犛＝ 犾狉． 你能得到什么启发？
２

* E=>+0
科学计算器中，一般都内置有角度制与弧度制互相换算的功能，但是操
作步骤等与计算器的型号有关，这里不再详述．
很多计算机软件中，默认度量角度的单位是弧度．例如，如果在Ｅｘｃｅｌ
的某个单元格中输入 “＝ＳＩＮ（３０）”，得到的不是ｓｉｎ３０°的值０．５，如图
７１１１所示．
图７１１１ 图７１１２
在ＧｅｏＧｅｂｒａ中，从 “选项”菜单中单击 “高级…”之后，可以设定角
的单位，如图７１１２所示．
"
? 填表 （弧度数用含π的代数式表示），并在平面直角坐标系中作出角的终边．
度 ０° ９０° １３５° １８０° ２２５° ２７０° ３１５° ３６０°
π ５
弧度 π
４ ６
? 把下列各角度化为弧度 （用含π的代数式表示）．
（１）－２４０°； （２）－２２５°；
（３）１２°； （４）１０８０°；
（５）２２°３０′； （６）１５７．５°．
７．１ 任意角的概念与弧度制 １１? 把下列各弧度化为角度．
π ５π ３π
（１） ； （２） ； （３） ；
１２ ３ １０
π ３π ５π
（４） ； （５）－ ； （６）－ ．
８ ２ ６
? 时间经过４ｈ，时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？
? 已知圆的半径为０．５ｍ，分别求２ｒａｄ，３ｒａｄ的圆心角所对的弧长．
#
? 在下图中填入适当的值．
b

 π
90 = rad
2
b
 b


120 = rad 60 = rad
b
 b


150 = rad 30 = rad
b
 b
180 = π rad 0 = 0 rad
b
 b

210 = rad 330 = rad
b
 b

240 = rad 300 = rad
b
 3π
270 = rad
2
（第１题）
? 分别写出下列各角所在象限．
（１）１ｒａｄ； （２）３ｒａｄ； （３）６ｒａｄ．
? 已知半径为１２０ｍｍ的圆上的一条弧长为１４４ｍｍ，求此弧所对圆心角的弧度数
与角度数．
? 把下列各角化为０～２π的角加上２犽π（犽∈犣）的形式，并指出它们所在的象限．
２３π １８π
（１） ； （２）－１５００°； （３）－ ； （４）６７２°３′．
６ ７
? 一条弦的长度等于半径，这条弦所对的圆心角是多少弧度？
? 在半径为５ｃｍ的扇形中，圆心角为２ｒａｄ，求扇形的面积．
? 使用计算器或计算机软件，把下列各角度化为弧度，把弧度化为角度 （精确到
!
０．０００１）．
（１）８３°，１３８°，２７８°； （２）１．２，３．６，５．
? 写出由一个角的弧度数计算这个角的角度数的算法，并使用软件去实践．
!
π π
 ６０″ α狉  
４ ３
１ ２ 第七章 三角函数"
? 在平面直角坐标系中，角α，α，α，α 的终边分别经过点犘 （１，２），
１ ２ ３ ４ １
犘（－２，１），犘（－４，－５），犘（５，－６），则α，α，α，α 分别是第几
２ ３ ４ １ ２ ３ ４
象限角？
１９π ２５π
? 角 和－ 分别是第几象限角？分别写出与它们终边相同的角的集合．
６ ６
? 把下列各角度化为弧度，并写成０～２π的角加上２犽π
（犽∈犣）的形式．
（１）－６４°； （２）４００°；
（３）－７２２°３０′．
? 航海罗盘将圆周３２等分，如图所示，把其中每一份
所对圆心角的大小分别用角度和弧度表示出来．
? 要在半径犗犃＝１００ｃｍ的圆形板上，沿半径犗犃，犗犅
（第４题）
截取一块扇形板，使弧犃犅的长为１１２ｃｍ，则截取的
圆心角∠犃犗犅的度数是多少 （精确到１°）？
#
? 已知２００°的圆心角所对的弧长为５０ｍ，则这个圆的半径是多少？
? 当时钟显示３时、６时和８时的时候，把时针作为角的始边，写出分针与时针
所成角的大小．
? 某飞轮直径为１．２ｍ，每分钟按照逆时针方向旋转３００圈，求
（１）飞轮每分钟转过的弧度数；
（２）飞轮圆周上的一点每秒钟经过的弧长．
? 用弧度制分别写出第一、二、三、四象限角的集合．
｛ ｝
２犽π
? 在平面直角坐标系中，集合犛＝αα＝ ，犽∈犣 的元素所表示的角的终边
３
在哪些位置？
７．１ 任意角的概念与弧度制 １３．
! #! "#$%,$-.
7.2.1  

>+  +
A(
初中的时候我们学过，在一个直角三角形中，如果锐角α的对边为犪，邻边为
犫，斜边为犮，则有
犪 犫
ｓｉｎα＝ ，ｃｏｓα＝ ，ｔａｎα＝ ．
犮 犮
当α是一个锐角时，上述正弦、余弦与正切，能否通过α终边上的点的坐标来
定义呢？这种定义的方式能否推广到任意角？
当α是锐角时，它的终边在第一象限内．如图７２１所示，在α终边上
任取一个不同于坐标原点的点犘（狓，狔），作犘犕垂直犗狓于点犕，记狉＝
槡狓２＋狔２，则△犗犕犘是一个直角三角形，且犗犕＝狓，犘犕＝狔，犗犘＝狉，
由此可知
犘犕 狔 犗犕 狓 犘犕 狔
ｓｉｎα＝ ＝ ，ｃｏｓα＝ ＝ ，ｔａｎα＝ ＝ ．
犗犘 狉 犗犘 狉 犗犕 狓
y α,4E y
P(x
y) P(x
y)
α
O M x O x
图７２１ 图７２２
可以看出，任意角的正弦、余弦与正切可以用类似的方式定义．如图
７２２所示，对于任意角α来说，设犘（狓，狔）是α终边上异于原点的任意一
１ ４ 第七章 三角函数狔 狓
点，狉＝槡狓２＋狔２，则由三角形相似的知识可知 与 跟犘在α终边上的位
狉 狉
狔
置无关，只与角α终边的位置有关．一般地，称 为角α的正弦，记作
狉
狓
ｓｉｎα；称 为角α的余弦，记作ｃｏｓα．因此
狉
狔 狓
ｓｉｎα＝ ，ｃｏｓα＝ ．
狉 狉
狔
当角α的终边不在狔轴上时，同样可知 与点犘在α终边上的位置无
狓
狔
关，此时称 为角α的正切，记作ｔａｎα，即
狓
狔
ｔａｎα＝ ．
狓
由上可知，对于每一个角α，都有唯一确定的正弦、余弦与之对应；当
α≠ （犽∈犣）时，有唯一的正切与之对应．角α的正弦、余
弦与正切，都称为α的三角函数．
已知角α的终边经过点犘（２，－３），求ｓｉｎα，ｃｏｓα和ｔａｎα．


设狓＝２，狔＝－３，则狉＝槡狓２＋狔２＝槡２２＋（－３）２＝槡１３．于是

狔 －３ ３槡１３
ｓｉｎα＝ ＝ ＝－ ，
狉 １３
槡１３
狓 ２ ２槡１３
ｃｏｓα＝ ＝ ＝ ，
狉 １３
槡１３
ｔａｎα＝ ．
求下列各角的正弦、余弦和正切．


３π
（１）０； （２）π； （３） ．
２
（１）角０的终边在狓轴正半轴上，在狓轴的正半轴上取点（１，０），

所以狉＝槡１２＋０２＝１，因此
０ １ ０
ｓｉｎ０＝ ＝０，ｃｏｓ０＝ ＝１，ｔａｎ０＝ ＝０．
１ １ １
（２）角π的终边在狓轴负半轴上，在狓轴的负半轴上取点（－１，０），
所以狉＝槡（－１）２＋０２＝１，因此
０ －１ ０
ｓｉｎπ＝ ＝０，ｃｏｓπ＝ ＝－１，ｔａｎπ＝ ＝０．
１ １ －１
３π
（３）角 的终边在狔轴负半轴上，在狔轴的负半轴上取点（０，－１），
２
所以狉＝槡０２＋（－１）２＝１，因此
７．２ 任意角的三角函数 １５３π ３π ３π
ｓｉｎ ＝ ，ｃｏｓ ＝ ，ｔａｎ 不存在．
２ ２ ２
５π
求 的正弦、余弦和正切．

 ６
y
P
５π
如图７２３所示，在 的终边上取点犘，使 5π
 ６
6
得犗犘＝２．作犘犕⊥犗狓，则在Ｒｔ△犗犕犘中， M O x
图７２３
５π π
∠犘犗犕＝π－ ＝ ．
６ ６
因此犕犘＝１，犗犕＝槡３，从而可知犘的坐标为（－槡３，１），因此
５π １ ５π ５π
ｓｉｎ ＝ ，ｃｏｓ ＝ ，ｔａｎ ＝ ．
６ ２ ６ ６

   AK+0
A(
从定义与实例都可以看出，任意角的正弦、余弦与正切，都既有可能是正数，
也有可能是负数，还可能为０．它们的符号与什么有关？试总结出任意角的正弦、
余弦与正切符号的规律．
如果犘（狓，狔）是α终边上异于原点的任意一点，狉＝槡狓２＋狔２，则
狔
ｓｉｎα＝ ，由狉＞０可知，ｓｉｎα的正负与α终边上点的纵坐标的符号相同，
狉
所以，当且仅当α的终边在第一、二象限，或狔轴正半轴上时，ｓｉｎα＞０；
当且仅当α的终边在第三、四象限，或狔轴负半轴上时，ｓｉｎα＜０．
用类似方法可以得到：
当且仅当α的终边在第一、四象限，或狓轴正半轴上时，ｃｏｓα＞０；当
且仅当α的终边在第二、三象限，或狓轴负半轴上时，ｃｏｓα＜０．
当且仅当α的终边在第一、三象限时，ｔａｎα＞０；当且仅当α的终边在
第二、四象限时，ｔａｎα＜０．
以上结果可用图７２４直观表示．
y y y
+ + - + - +
O x O x O x
- - - + + -
sin a cos a tan a
图７２４
１ ６ 第七章 三角函数确定下列各值的符号．

 （ ）
π
（１）ｃｏｓ２６０°； （２）ｓｉｎ－ ；
３
１０π
（３）ｔａｎ（－６７２°２０′）； （４）ｔａｎ ．
３
（１）因为２６０°是第三象限角，所以ｃｏｓ２６０°＜０．
 （ ）
π π
（２）因为－ 是第四象限角，所以ｓｉｎ－ ＜０．
３ ３
（３）由－６７２°２０′＝４７°４０′＋（－２）×３６０°，可知－６７２°２０′是第一象限
角，所以ｔａｎ（－６７２°２０′）＞０．
１０π ４π １０π １０π
（４）由 ＝ ＋２π，可知 是第三象限角，所以ｔａｎ ＞０．
３ ３ ３ ３
设ｓｉｎθ＜０且ｔａｎθ＞０，确定θ是第几象限角．


因为ｓｉｎθ＜０，所以θ的终边在第三、四象限，或狔轴负半轴上；

又因为ｔａｎθ＞０，所以θ的终边在第一、三象限．
因此满足ｓｉｎθ＜０且ｔａｎθ＞０的θ是第三象限角．
"
? 分别根据下列条件，求各角的正弦、余弦和正切．
（ ）
１ 槡３
（１）已知角α的终边经过点犘 ， ；
２ ２
（ ）
槡２ 槡２
（２）已知角 β 的终边经过点犙－ ， ；
２ ２
（３）已知角γ的终边经过点犕（－３，－１）．
π
? 求角 的正弦和余弦．
２
? 填写下表．
角α ０° ９０° １８０° ２７０° ３６０°
α的弧度数
ｓｉｎα
ｃｏｓα
ｔａｎα
? 确定下列各值的符号．
１６π
（１）ｓｉｎ１５６°； （２）ｃｏｓ ； （３）ｃｏｓ（－８０°）；
５
７．２ 任意角的三角函数 １７（ ） （ ）
１７π ４π
（４）ｔａｎ－ ； （５）ｓｉｎ－ ； （６）ｔａｎ５５６°１２′．
８ ３
? 填空．
（１）如果ｓｉｎα＞０，且ｃｏｓα＜０，则α是第 象限角；
（２）如果ｔａｎα＞０，且ｃｏｓα＜０，则α是第 象限角；
（３）如果ｓｉｎα＜０，且ｔａｎα＜０，则α是第 象限角；
（４）如果ｃｏｓα＞０，且ｓｉｎα＜０，则α是第 象限角．
#
１ 槡３
? 已知ｓｉｎα＝－ ，ｃｏｓα＝－ ，求α的终边与以原点为圆心、２为半径的圆的
２ ２
交点坐标．
? 设α是三角形的一个内角，在ｓｉｎα，ｃｏｓα，ｔａｎα中，哪些有可能是负值？
? 根据下列条件，确定θ是第几象限角．
（１）ｃｏｓθ与ｔａｎθ异号； （２）ｃｏｓθ与ｔａｎθ同号；
（３）ｓｉｎθ与ｃｏｓθ异号； （４）ｓｉｎθ与ｔａｎθ同号．
狓
? 已知犘（狓，－１）在角α的终边上，而且ｃｏｓα＝ ，求狓和ｓｉｎα的值．
２
? 已知角α的终边在直线狔＝２狓上，求ｓｉｎα，ｃｏｓα，ｔａｎα的值．
犪 π 狔 ３ 槡３ 槡３
 犽π＋  ＝－  －１  ０  －  －
犫 ２ 狓 ２ ２ ３
7.2.2  

 33
A(
我们已经知道，如果犘（狓，狔）是α终边上异于原点的任意一点，狉＝
狔 狓
槡狓２＋狔２，则ｓｉｎα＝ ，ｃｏｓα＝ ．
狉 狉
如果选取的犘点坐标满足狓２＋狔２＝１，则上述正弦与余弦的表达式有什么变
化？由此你能给出任意角正弦和余弦的一个直观表示吗？
１ ８ 第七章 三角函数不难看出，如果狓２＋狔２＝１，则
ｓｉｎα＝狔，ｃｏｓα＝ ．
因为狓２＋狔２＝１可以化为
槡（狓－０）２＋（狔－０）２＝１，
因此犘（狓，狔）到原点（０，０）的距离为１．一般地，在平面直角坐标系中，坐
标满足狓２＋狔２＝１的点组成的集合称为单位圆．因此，如果角α的终边与
单位圆的交点为犘，则犘的坐标为
（ｃｏｓα，ｓｉｎα）．
这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵
坐标．
如图７２５所示，如果过角α终边与单位圆
→
的交点犘作狓轴的垂线，垂足为犕，则犗犕可 y
α,4E
→
以直观地表示ｃｏｓα：犗犕的方向与狓轴的正方向 P
→
相同时，表示ｃｏｓα是正数，且ｃｏｓα＝｜犗犕｜； N
→ O M x
犗犕的方向与狓轴的正方向相反时，表示ｃｏｓα
S
→ →
是负数，且ｃｏｓα＝－｜犗犕｜．习惯上，称犗犕 β,4E
→
为角α的余弦线．类似地，图７２５中的犕犘可
图７２５
→
以直观地表示ｓｉｎα，因此称犕犘为角α的正
弦线．
利用角的正弦线和余弦线，可以直观地看出角的正弦和余弦的信息．例
→ →
如图７２５中，角
β
的余弦线是犗犖，正弦线是犖犛，由此可看出ｃｏｓβ＜０，
ｓｉｎβ＜０，而且还可以看出
｜ｃｏｓβ｜＞｜ｃｏｓα｜．
类似地，可知｜ｓｉｎα｜ ｜ｓｉｎβ｜．

 3
A(
我们已经知道，如果α的终边不在狔轴上，且犘（狓，狔）是α终边上异于原点
狔
的任意一点，则ｔａｎα＝ ．你能仿照前面的方法给出正切的一个直观表示吗？
狓
可以看出，如果取坐标满足狓＝１的点犘，则ｔａｎα＝狔．因为狓＝１在
平面直角坐标系中表示的是垂直于狓轴且过犃（１，０）的直线犾，所以如果角
７．２ 任意角的三角函数 １９α的终边与直线犾的交点为犘（１，狔），则ｔａｎα＝
 ． y α,
β,
T 4E
如图７２６所示，设角α的终边与直线狓＝１ 4E
→
交于点犜，则犃犜可以直观地表示ｔａｎα，因此
A
→
犃犜称为角α的正切线．
O
1x
不难看出，当角的终边在第二、三象限或狓 S
轴的负半轴上时，终边与直线狓＝１没有交点，
图７２６
但终边的反向延长线与狓＝１有交点，而且交点
→
的纵坐标也正好是角的正切值．因此图７２６中角
β
的正切线为犃犛，而且
从图中可以看出
ｔａｎβ＜０，｜ｔａｎβ｜ ｜ｔａｎα｜．
这就是说，角α的正切等于角α终边或其反向延长线与直线狓＝１的交
点的纵坐标．
正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．
５π π
作出 和 的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出

 ６ ４
它们的正弦、余弦和正切．
如图７２７所示，在平面直角坐标系中

作出单位圆以及直线狓＝１，单位圆与狓轴交 π
y
于点犃（１，０）． 5π R 4
S
6 P
５π
作 的终边与单位圆的交点犘，过犘作 A
６ M O N x
T
狓轴的垂线，垂足为犕；延长线段犘犗，交直
５π →
线狓＝１于犜，则 的正弦线为犕犘，余弦线
６ 图７２７
→ →
为犗犕，正切线为犃犜．
π → → →
类似可得到 的正弦线为犖犚，余弦线为犗犖，正切线为犃犛．
４
在图７２７中，根据直角三角形的知识可知，
１ 槡３ 槡３ 槡２
犕犘＝ ，犗犕＝ ，犃犜＝ ，犗犖＝犖犚＝ ，犃犛＝１，
２ ２ ３ ２
所以
５π １ ５π ５π
ｓｉｎ ＝ ，ｃｏｓ ＝ ，ｔａｎ ＝ ；
６ ２ ６ ６
π π 槡２ π
ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ＝ ，ｔａｎ ＝１．
４ ４ ２ ４
２ ０ 第七章 三角函数将图７２８（１）所示的摩天轮抽象成图７２８（２）所示的平面图形，


然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为狓轴，建立平面直角坐标系．
设犗到地面的高犗犜为犾ｍ，点犘为转轮边缘上任意一点，转轮半径犗犘
为狉ｍ．记以犗犘为终边的角为αｒａｄ，点犘离地面的高度为犺ｍ，试用
犾，狉与α表示犺．
y
P
α
M O x
T
 
图７２８
过点犘作狓轴的垂线，垂足为犕，则：

当α的终边在第一、二象限或狔轴正半轴上时，犕犘＝狉ｓｉｎα，此时
犺＝犗犜＋犕犘＝犾＋狉ｓｉｎα；
当α的终边在第三、四象限或狔轴负半轴上时，因为ｓｉｎα＜０，所以
犕犘＝－狉ｓｉｎα，此时
犺＝犗犜－犕犘＝犾＋狉ｓｉｎα；
当α的终边在狓轴上时，ｓｉｎα＝０，此时
犺＝犗犜＝犾＋狉ｓｉｎα．
所以，不管α的终边在何处，都有
犺＝ ．
π
如果一个角大小为狓ｒａｄ且０＜狓＜ ，那么狓，ｓｉｎ狓，ｔａｎ狓都是实数．请你
２
给出狓的一个具体值，比较这３个实数的大小．
（ ）
π
然后想一想，你得到的大小关系是否对区间０， 上的任意狓都成立．
２
"
? 分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线．
π ５π
（１） ； （２） ．
３ ４
７．２ 任意角的三角函数 ２１? 利用三角函数线写出ｓｉｎπ，ｃｏｓπ和ｔａｎπ的值．
π
? 已知０＜α＜β＜ ，利用正弦线比较ｓｉｎα和ｓｉｎβ 的大小．
２
π
? 已知０＜α＜ ，利用正弦线和余弦线比较ｓｉｎα和ｃｏｓα的大小．
４
? 以５ｃｍ为单位长度作单位圆，分别作出１０°，２０°，５０°，２２０°，３２０°角的正弦
!
线、余弦线和正切线，量出它们的长度，写出这些角的正弦、余弦和正切的近似值，
再使用科学计算器求这些角的正弦、余弦和正切，并进行比较．
#
? 分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线，并利用它们求出各角的正弦、
余弦和正切．
２π １３π
（１）－ ； （２）－ ．
３ ６
? 利用正弦线指出ｓｉｎα的最大值，并指出α为何值时ｓｉｎα取得最大值．
? 设α是第一象限角，作α的正弦线、余弦线和正切线，由图证明下列各等式．
ｓｉｎα
（１）ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１； （２）ｔａｎα＝ ．
ｃｏｓα
如果α是第二、三、四象限角，以上等式仍然成立吗？
槡３ 槡３
狓  ＞ 狔  ＜  －  － 犾＋狉ｓｉｎα
２ ３
7.2.3   
A(
同一个角的正弦、余弦、正切之间有什么关系？
我们已经知道，如果犘（狓，狔）是α终边上不同于坐标原点的点，记狉＝
槡狓２＋狔２，则
狔 狓 狔
ｓｉｎα＝ ，ｃｏｓα＝ ，ｔａｎα＝ ．
狉 狉 狓
２ ２ 第七章 三角函数由此可看出
ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１，
ｓｉｎα
ｔａｎα＝ ．
ｃｏｓα
这两个关系式也可以从三角函数线得到，一般被称为同角三角函数的基
本关系式．
４
已知ｓｉｎα＝ ，且α是第二象限角，求角α的余弦和正切．

 ５
１６
由ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１，得 ＋ｃｏｓ２α＝１，所以ｃｏｓ２α＝ ．因为
 ２５
α是第二象限角，ｃｏｓα＜０，所以
９ ３
槡
ｃｏｓα＝－ ＝－ ，
２５ ５
ｓｉｎα ４
ｔａｎα＝ ＝－ ．
ｃｏｓα ３
已知ｔａｎα＝－槡５，且α是第二象限角，求角α的正弦和余弦．


我们把ｓｉｎα和ｃｏｓα看成两个未知数，这样只要列出关于ｓｉｎα

和ｃｏｓα的两个独立的关系式，通过解关于这两个未知数的联立方程组，
就可以求出ｓｉｎα和ｃｏｓα．
由题意和同角三角函数的基本关系式，有

烄ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１， ①
烅ｓｉｎα
＝－槡５． ②
烆ｃｏｓα
１
由②得ｓｉｎα＝－槡５ｃｏｓα，代入①整理得６ｃｏｓ２α＝１，所以ｃｏｓ２α＝ ．
６
因为α是第二象限角，所以ｃｏｓα＝ ，代入②式得
（ ）
槡６ 槡３０
ｓｉｎα＝－槡５ｃｏｓα＝（－槡５）× － ＝ ．
６ ６
槡５
已知ｓｉｎα－ｃｏｓα＝－ ，求ｔａｎα的值．

 ５
由题意和同角三角函数的基本关系式，有

烄 槡５
ｓｉｎα－ｃｏｓα＝－ ，
５
烅
烆ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１．
消去ｓｉｎα，得５ｃｏｓ２α－槡５ｃｏｓα－２＝０，解得
７．２ 任意角的三角函数 ２３２槡５ 槡５
ｃｏｓα＝ 或ｃｏｓα＝－ ．
５ ５
２槡５ ｓｉｎα １
当ｃｏｓα＝ 时，可得ｓｉｎα＝ ，此时ｔａｎα＝ ＝ ；
５ ｃｏｓα ２
槡５
当ｃｏｓα＝－ 时，可得ｓｉｎα＝ ，此时ｔａｎα＝ ．
５
ｓｉｎθ－ｃｏｓθ
化简 ．

 ｔａｎθ－１
ｓｉｎθ－ｃｏｓθ （ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）ｃｏｓθ
原式＝ ＝ ＝ｃｏｓθ．
 ｓｉｎθ ｓｉｎθ－ｃｏｓθ
－１
ｃｏｓθ
求证：


（１）ｓｉｎ４α－ｃｏｓ４α＝２ｓｉｎ２α－１； （２）ｔａｎ２α－ｓｉｎ２α＝ｔａｎ２αｓｉｎ２α；
ｃｏｓα １＋ｓｉｎα
（３） ＝ ．
１－ｓｉｎα ｃｏｓα
A(
怎样证明一个恒等式？你能给出上面这些恒等式的证明过程吗？
（１）原式左边＝（ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α）（ｓｉｎ２α－ｃｏｓ２α）

＝ｓｉｎ２α－ｃｏｓ２α
＝ｓｉｎ２α－（１－ｓｉｎ２α）
＝２ｓｉｎ２α－１＝右边，
因此
ｓｉｎ４α－ｃｏｓ４α＝２ｓｉｎ２α－１．
（２）原式右边＝ｔａｎ２α（１－ｃｏｓ２α）
ｓｉｎ２α
＝ｔａｎ２α－ ｃｏｓ２α
ｃｏｓ２α
＝ｔａｎ２α－ｓｉｎ２α＝左边，
因此
ｔａｎ２α－ｓｉｎ２α＝ｔａｎ２αｓｉｎ２α．
（３）（方法一）因为
ｃｏｓα １＋ｓｉｎα ｃｏｓ２α－（１－ｓｉｎ２α） ｃｏｓ２α－ｃｏｓ２α
－ ＝ ＝ ＝０，
１－ｓｉｎα ｃｏｓα （１－ｓｉｎα）ｃｏｓα （１－ｓｉｎα）ｃｏｓα
所以
ｃｏｓα １＋ｓｉｎα
＝ ．
１－ｓｉｎα ｃｏｓα
（方法二）由题知ｃｏｓα≠０，因而ｓｉｎα≠－１，即１＋ｓｉｎα≠０．从而
２ ４ 第七章 三角函数ｃｏｓα（１＋ｓｉｎα） ｃｏｓα（１＋ｓｉｎα）
原式左边＝ ＝
（１－ｓｉｎα）（１＋ｓｉｎα） １－ｓｉｎ２α
ｃｏｓα（１＋ｓｉｎα） １＋ｓｉｎα
＝ ＝ ＝右边，
ｃｏｓ２α ｃｏｓα
因此
ｃｏｓα １＋ｓｉｎα
＝ ．
１－ｓｉｎα ｃｏｓα
从例５可以看出：证明一个三角恒等式，可以从它的任意一边开始，
推出它等于另一边；也可以用作差法，证明等式两边之差等于零；还可以
先证得另一个等式成立，并由此推出需要证明的等式成立．
KA
更多三角函数及关系式
除了正弦、余弦与正切之外，在工程、机 正弦和正切的倒数，即
械等学科中，还经常要用到角的更多三角函数． １
ｓｅｃα＝ ，
事实上，如果犘（狓，狔）是α终边上不同 ｃｏｓα
１
于坐标原点的任意一点，记狉＝槡狓２＋狔２， ｃｓｃα＝ ，
ｓｉｎα
则狉＞０，此时
１
狉 ｃｏｔα＝ ．
（１）称 为α的正割，记作ｓｅｃα，即 ｔａｎα
狓
另外，由于
狉
ｓｅｃα＝ ；
狓 ｓｉｎ２α
（２）称
狉
为α的余割，记作ｃｓｃα，即
ｔａｎ２α＋１＝
ｃｏｓ２α
＋１
狔
狉 ＝
ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α
ｃｓｃα＝
狔
； ｃｏｓ２α
狓 １
（３）称 为α的余切，记作ｃｏｔα，即 ＝ ＝ｓｅｃ２α，
狔 ｃｏｓ２α
狓
ｃｏｔα＝ ． 因此
狔
由上述定义可知，当α的终边在狔轴上
ｔａｎ２α＋１＝ｓｅｃ２α．
类似地，还能得到
时，ｓｅｃα没有意义；当α的终边在狓轴上
时，ｃｏｔα，ｃｓｃα没有意义．
ｃｏｔ２α＋１＝ｃｓｃ２α．
习惯上，人们经常借助如下页图所示的
同样地，我们可以借助向量得到正割
六边形图形来记忆三角函数的基本关系式以
线、余割线、余切线等三角函数线，请感兴
及上述三角函数关系式：图中六边形的每一
趣的读者自己探讨．
条红色对角线上的两个元素之积为１，即
正割、余割、余切也称为角α的三角函
数，从上述定义可以看出，在各三角函数都
ｃｏｓαｓｅｃα＝１，
有意义的前提下，它们实际上分别是余弦、
ｓｉｎαｃｓｃα＝１，
７．２ 任意角的三角函数 ２５ｔａｎαｃｏｔα＝１． 每一个倒立的绿色正三角形中，上方两
个顶点元素的平方和等于下方顶点元素的平
sinα cosα
方，即ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１等．
你能从图中发现更多的关系吗？尝试一
tanα 1 cotα 下吧！
secα cscα
"
? 求解下列各题．
１
（１）已知ｓｉｎα＝ ，且α为第一象限角，求ｃｏｓα，ｔａｎα；
２
４
（２）已知ｃｏｓα＝－ ，且α为第三象限角，求ｓｉｎα，ｔａｎα；
５
３
（３）已知ｔａｎα＝－ ，且α为第四象限角，求ｓｉｎα，ｃｏｓα；
４
１
（４）已知ｓｉｎα＝ ，且α为第二象限角，求ｃｏｓα，ｔａｎα．
３
? 化简．
（１）ｃｏｓθｔａｎθ； （２）（１－ｓｉｎθ）（１＋ｓｉｎθ）．
? 求证：
（１）ｓｉｎ４α－ｃｏｓ４α＝ｓｉｎ２α－ｃｏｓ２α； （２）ｓｉｎ４α＋ｓｉｎ２αｃｏｓ２α＋ｃｏｓ２α＝１．
? 化简．
（１）（１＋ｔａｎ２α）ｃｏｓ２α； （２）ｓｉｎ２α＋ｔａｎ２αｃｏｓ２α．
１ ３π
? 已知ｔａｎα＝ ，π＜α＜ ，求ｓｉｎα的值．
３ ２
#
３
? 已知ｃｏｓθ＝ ，求ｓｉｎθ和ｔａｎθ．
５
? 已知ｔａｎα＝－４，求下列各式的值．
（１）ｓｉｎ２α； （２）ｃｏｓ２α－ｓｉｎ２α；
４ｓｉｎα－２ｃｏｓα
（３）３ｓｉｎαｃｏｓα； （４） ．
５ｃｏｓα＋３ｓｉｎα
２ ６ 第七章 三角函数５
? 已知ｓｉｎθ＝ ，求ｃｏｓθ和ｔａｎθ．
１３
? 化简．
（ ）
２ｃｏｓ２θ－１ １
（１） ； （２）ｓｉｎαｃｏｓαｔａｎα＋ ．
１－２ｓｉｎ２θ ｔａｎα
２ｓｉｎ２α
? 求证：（ｓｉｎα＋ｃｏｓα）２＝１＋ ．
ｔａｎα
９ 槡６ 槡５ ２槡５ ｓｉｎα
  －   －  ＝２
２５ ６ ５ ５ ｃｏｓα
7.2.4 
在初中，我们已经知道一些锐角的三角函数值及它们之间的一些关系，
例如，
１ 槡２ 槡３
ｓｉｎ３０°＝ｃｏｓ６０°＝ ，ｓｉｎ４５°＝ｃｏｓ４５°＝ ，ｓｉｎ６０°＝ｃｏｓ３０°＝ ．
２ ２ ２
这里我们将研究任意角的三角函数值之间的一些特殊关系．

如果已知ｓｉｎ２６°＝犿，你能用犿表示出ｓｉｎ３８６°，ｓｉｎ（－２６°），ｓｉｎ１５４°，
ｓｉｎ２０６°，ｃｏｓ６４°吗？你还能用犿表示出更多角的三角函数值吗？
情境中的问题，与本小节所要学习的诱导公式有关．

>αα+ke2π (k
Z) +>K+2
A(
对于任意一个角α来说，α与α＋犽·２π （犽∈犣）的终边有什么关系？由此你能
得到它们的正弦、余弦、正切之间的关系吗？
７．２ 任意角的三角函数 ２７我们知道，一个角的三角函数值由它终边上的点决定，由此可知，终边相
同的角，同名三角函数值相等 （“同名”指同是正弦、余弦或正切，下同）．不难
看出，α与α＋犽·２π（犽∈犣）的终边相同，所以当犽为整数时，有
ｓｉｎ（α＋犽·２π）＝ｓｉｎα，
ｃｏｓ（α＋犽·２π）＝ｃｏｓα， ①
ｔａｎ（α＋犽·２π）＝ｔａｎα．
利用上述公式①，我们可以把绝对值大于２π的任意角的三角函数值问
题转化为０～２π角的同名三角函数值问题．
例如，ｓｉｎ３８６°＝ｓｉｎ（２６°＋３６０°）＝ ．
求下列各值．


１３π １９π
（１）ｓｉｎ ； （２）ｃｏｓ ； （３）ｔａｎ４０５°．
２ ３
（ ）
１３π π π
（１）ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ＋６π ＝ｓｉｎ ＝１．
 ２ ２ ２
（ ）
１９π π π １
（２）ｃｏｓ ＝ｃｏｓ ＋６π ＝ｃｏｓ ＝ ．
３ ３ ３ ２
（３）ｔａｎ４０５°＝ｔａｎ（４５°＋３６０°）＝ ．

>+D/
如图７２９所示，假设角α的终边是犗犃，射
线犗犅和犗犆关于犗犃对称，∠犃犗犅＝θ，那么射 y
α
α + θ
A
线犗犅是角α＋θ的终边，射线犗犆是角α－θ的 B α − θ
终边．由此我们可知，角α＋θ的终边和角α－θ θ θ C
的终边关于角α的终边所在的直线对称． O x
一般地，角α的终边和角
β
的终边关于角
图７２９
α＋β
的终边所在的直线对称．
２
α＋（－α）
例如，α和－α的终边关于角 ＝０的终边所在的直线 （即狓轴）
２
α＋（π－α） π
对称；α和π－α的终边关于角 ＝ 的终边所在的直线 （即狔轴）
２ ２
（ ）
π
α＋ －α
π ２ π
对称；α和 －α的终边关于角 ＝ 的终边所在的直线 （即直线
２ ２ ４
狔＝狓）对称．
２ ８ 第七章 三角函数
>α−α+>K+2
A(
对于任意一个角α来说，α与－α的终边有什么关系？由此你能得到它们的正
弦、余弦、正切之间的关系吗？
如图７２１０所示，设α和－α的终边与单
位圆分别交于犘和犘′，则 y
α,4E
犘（ｃｏｓα，ｓｉｎα）， T
P
犘′（ｃｏｓ（－α），ｓｉｎ（－α））． A
M O x
又由α和－α的终边关于角０的终边 （即狓轴的
P′
S
正半轴）所在的直线对称可知，犘和犘′关于狓 −α,4E
轴对称，因此
图７２１０
ｓｉｎ（－α）＝－ｓｉｎα，
ｃｏｓ（－α）＝ｃｏｓα， ②
ｔａｎ（－α）＝－ｔａｎα．
这一结论也可从α和－α的三角函数线之间的关系看出，请读者参考图
７２１０自己完成．
利用公式②，我们可以用正角的三角函数值表示负角的三角函数值．
例如，ｓｉｎ（－２６°）＝ ．
求下列各值．

 （ ） （ ） （ ） （ ）
π π π ７π
（１）ｓｉｎ－ ；（２）ｃｏｓ－ ；（３）ｔａｎ－ ；（４）ｓｉｎ－ ．
６ ４ ３ ３
（ ）
π π １
（１）ｓｉｎ－ ＝－ｓｉｎ ＝－ ．
 ６ ６ ２
（ ）
π π 槡２
（２）ｃｏｓ－ ＝ｃｏｓ ＝ ．
４ ４ ２
（ ）
π π
（３）ｔａｎ－ ＝－ｔａｎ ＝－槡３．
３ ３
（ ） （ ）
７π ７π π π 槡３
（４）ｓｉｎ－ ＝－ｓｉｎ ＝－ｓｉｎ ＋２π ＝－ｓｉｎ ＝－ ．
３ ３ ３ ３ ２
７．２ 任意角的三角函数 ２９
>απ±α+>K+2
A(
对于任意一个角α来说，α与π－α的终边有什么关系？由此你能得到它们的
正弦、余弦、正切之间的关系吗？
如图７２１１所示，设α和π－α的终边与
单位圆分别交于犘和犘′，则
y
π−α α,
犘（ｃｏｓα，ｓｉｎα）， ,4E 4E
P′ P S
犘′（ｃｏｓ（π－α），ｓｉｎ（π－α））．
A
又由α和π－α的终边关于角 π 的终边所在的 N O M x
２
T
直线对称可知，犘和犘′关于狔轴对称，因此
图７２１１
ｓｉｎ（π－α）＝ｓｉｎα，
ｃｏｓ（π－α）＝－ｃｏｓα， ③
ｔａｎ（π－α）＝－ｔａｎα．
这一结论也可从α和π－α的三角函数线之间的关系看出，请读者参考
图７２１１自己完成．
例如，ｓｉｎ１５４°＝ｓｉｎ（１８０°－２６°）＝ ．
另外，由公式②③，我们可证明
ｓｉｎ（π＋α）＝－ｓｉｎα，
ｃｏｓ（π＋α）＝－ｃｏｓα， ④
ｔａｎ（π＋α）＝ｔａｎα．
这是因为
ｓｉｎ（π＋α）＝ｓｉｎ［π－（－α）］＝ｓｉｎ（－α）＝－ｓｉｎα．
其余两式的证明请读者自己完成．
求下列各值．


５π ３π ８π
（１）ｓｉｎ ； （２）ｃｏｓ ； （３）ｔａｎ ．
６ ４ ３
（ ）
５π π π １
（１）ｓｉｎ ＝ｓｉｎπ－ ＝ｓｉｎ ＝ ．
 ６ ６ ６ ２
（ ）
３π π π 槡２
（２）ｃｏｓ ＝ｃｏｓπ－ ＝－ｃｏｓ ＝－ ．
４ ４ ４ ２
３ ０ 第七章 三角函数（ ） （ ）
８π ２π ２π π π
（３）ｔａｎ ＝ｔａｎ ＋２π ＝ｔａｎ ＝ｔａｎπ－ ＝－ｔａｎ ＝－槡３．
３ ３ ３ ３ ３
求下列各值．

 （ ）
４π ７π ７π
（１）ｓｉｎ ； （２）ｃｏｓ－ ； （３）ｔａｎ ．
３ ６ ６
（ ）
４π π π 槡３
（１）ｓｉｎ ＝ｓｉｎπ＋ ＝－ｓｉｎ ＝－ ．
 ３ ３ ３ ２
（ ） （ ）
７π ７π π π 槡３
（２）ｃｏｓ－ ＝ｃｏｓ ＝ｃｏｓπ＋ ＝－ｃｏｓ ＝－ ．
６ ６ ６ ６ ２
（ ）
７π π π 槡３
（３）ｔａｎ ＝ｔａｎπ＋ ＝ｔａｎ ＝ ．
６ ６ ６ ３
ｓｉｎ（２π－α）ｔａｎ（π＋α）ｔａｎ（－π－α）
化简 ．

 ｃｏｓ（π－α）ｔａｎ（３π－α）
ｓｉｎ（－α）ｔａｎα［－ｔａｎ（π＋α）］
原式＝
 （－ｃｏｓα）ｔａｎ（π－α）
（－ｓｉｎα）ｔａｎα（－ｔａｎα）
＝
（－ｃｏｓα）（－ｔａｎα）
＝ｔａｎαｔａｎα＝ｔａｎ２α．
π

>α


−α
+>K+2
2
A(
在初中，我们已经知道两个锐角之和为９０°时正弦和余弦之间的关
系．如图７２１２所示，因为α与 β 中，与一个角相邻的直角边是另一个 β
角相对的直角边，所以
α
图７２１２
ｓｉｎα＝ｃｏｓβ ，ｃｏｓα＝ｓｉｎβ．
π
那么，这一关系式对任意角是否也成立呢？你能通过考察α与 －α的终边之
２
间的关系来得出一般结论吗？
π α, y
如图７２１３所示，设α和 －α的终边与
２ 4E
P
单位圆分别交于犘和犘′，则
N
犘（ｃｏｓα，ｓｉｎα）， M O x
（ （ ） （ ）） π
π π P′ −α
犘′ｃｏｓ －α，ｓｉｎ －α ． 2
２ ２ ,4E
图７２１３
７．２ 任意角的三角函数 ３１π π
又由α和 －α的终边关于角 的终边所在的直线对称可知，犘和犘′关于
２ ４
狔＝狓对称，因此
（ ）
π
ｓｉｎ －α＝ｃｏｓα，
２
（ ） ⑤
π
ｃｏｓ －α＝ｓｉｎα．
２
π
这一结论也可从α和 －α的三角函数线之间的关系看出，请读者参考
２
图７２１３自己完成．

>K+2
由公式②⑤，我们可证明
（ ）
π
ｓｉｎ ＋α＝ｃｏｓα，
２
（ ） ⑥
π
ｃｏｓ ＋α＝－ｓｉｎα．
２
这是因为
（ ） ［ ］
π π
ｃｏｓ ＋α＝ｃｏｓ －（－α）＝ｓｉｎ（－α）＝－ｓｉｎα．
２ ２
另外一个式子可以用类似方法证明．
类似地，我们还可得到
（ ）
３π
ｃｏｓ ＋α＝ｓｉｎα，
２
（ ） ⑦
３π
ｓｉｎ ＋α＝－ｃｏｓα．
２
（ ）
３π
ｃｏｓ －α＝－ｓｉｎα，
２
（ ） ⑧
３π
ｓｉｎ －α＝－ｃｏｓα．
２
⑦⑧的证明请读者自己完成．
公式①～⑧都称为诱导公式．
利用诱导公式可以求三角函数式的值或化简三角函数式，诱导公式本身
还反映了我们后面要学习的三角函数的性质．
３ ２ 第七章 三角函数希望同学们能够从角终边的对称性的角度理解并运用诱导公式．
求下列各值．

 （ ）
１９π
（１）ｓｉｎ１２０°； （２）ｃｏｓ１３５°； （３）ｃｏｓ－ ．
４
槡３
（１）ｓｉｎ１２０°＝ｓｉｎ（９０°＋３０°）＝ｃｏｓ３０°＝ ．
 ２
（２）ｃｏｓ１３５°＝ｃｏｓ（９０°＋４５°）＝ ．
（ ） （ ）
１９π １９π ３π ３π
（３）ｃｏｓ－ ＝ｃｏｓ ＝ｃｏｓ ＋４π ＝ｃｏｓ
４ ４ ４ ４
（ ）
π π π 槡２
＝ｃｏｓ ＋ ＝－ｓｉｎ ＝－ ．
２ ４ ４ ２
计算ｓｉｎ（－３６°）＋ｃｏｓ５４°＋ｓｉｎ１０８°＋ｃｏｓ１６２°的值．


原式＝－ｓｉｎ３６°＋ｃｏｓ（９０°－３６°）＋ｓｉｎ（９０°＋１８°）＋ｃｏｓ（１８０°－１８°）

＝－ｓｉｎ３６°＋ｓｉｎ３６°＋ｃｏｓ１８°－ｃｏｓ１８°
＝０．
（ ） （ ）
３π π
ｓｉｎ －αｃｏｓ ＋α
２ ２
化简 ．

 ｓｉｎ（π＋α）ｃｏｓ（π－α）
（－ｃｏｓα）（－ｓｉｎα）
原式＝
 （－ｓｉｎα）（－ｃｏｓα）
＝１．
"
? 求下列各值．
（１）ｓｉｎ３π； （２）ｓｉｎ１８π； （３）ｃｏｓ５π；
９π １３π ４７π
（４）ｓｉｎ ； （５）ｓｉｎ ； （６）ｃｏｓ ；
２ ３ ２
１０１π ３７π １７π
（７）ｃｏｓ ； （８）ｔａｎ ； （９）ｔａｎ ．
４ ６ ４
? 求下列各值．
（ ） （ ） （ ）
π π π
（１）ｓｉｎ－ ； （２）ｃｏｓ－ ； （３）ｔａｎ－ ；
４ ３ ６
３π ５π ２π
（４）ｓｉｎ ； （５）ｃｏｓ ； （６）ｔａｎ ；
４ ６ ３
７π ４π ４π
（７）ｓｉｎ ； （８）ｃｏｓ ； （９）ｔａｎ ．
６ ３ ３
? 将下列三角函数化为０°～４５°角的三角函数．
（１）ｓｉｎ１１５°； （２）ｃｏｓ１０５°； （３）ｔａｎ１６０°； （４）ｓｉｎ８５°．
７．２ 任意角的三角函数 ３３π
? 将下列三角函数化为０～ 角的三角函数．
４
π ３π
（１）ｃｏｓ ； （２）ｓｉｎ ．
３ ５
ｃｏｓ（α＋２π）ｔａｎ（π＋α）ｓｉｎ（－α）
? 化简 ．
ｃｏｓ（－α）ｔａｎ（π－α）
#
? 求下列各值．
２７１π １１０１π ６１３３π
（１）ｓｉｎ ； （２）ｃｏｓ ； （３）ｔａｎ ；
６ ４ ６
（ ） （ ） （ ）
１３π ９π ７π
（４）ｓｉｎ－ ； （５）ｃｏｓ－ ； （６）ｔａｎ－ ．
６ ４ ３
? 证明：
（ ） （ ）
π π
（１）ｃｏｓα－ ＝ｓｉｎα； （２）ｓｉｎα－ ＝－ｃｏｓα．
２ ２
? 化简．
ｃｏｓ（α－π）ｔａｎ（α－２π）ｔａｎ（２π－α）
（１） ；
ｓｉｎ（π＋α）
（２）ｓｉｎ２（－α）－ｔａｎ（３６０°－α）－ｓｉｎ（１８０°－α）ｃｏｓ（３６０°－α）ｔａｎ（１８０°＋α）；
（ ） （ ）
π ３π
（３）ｃｏｓα＋ ｓｉｎα－ ｔａｎ（π－α）．
２ ２
? 计算下列各式的值．
（１）ｓｉｎ５５５°＋ｃｏｓ（－４３５°）；
（２）ｓｉｎ６７°＋ｃｏｓ１５７°＋ｓｉｎ１１５°－ｃｏｓ（－２５°）．
? 化简ｔａｎ１°ｔａｎ２°…ｔａｎ４５°ｔａｎ４６°…ｔａｎ８８°ｔａｎ８９°．
ｓｉｎ８９° ｓｉｎ（９０°－１°） ｃｏｓ１° １
（提示：ｔａｎ８９°＝ ＝ ＝ ＝ ．）
ｃｏｓ８９° ｃｏｓ（９０°－１°） ｓｉｎ１° ｔａｎ１°
槡２
 ｓｉｎ２６° ｔａｎ４５°＝１  －ｓｉｎ２６°  ｓｉｎ２６°  －ｓｉｎ４５°＝－
２
３ ４ 第七章 三角函数"
? 已知角α的终边上一点的坐标为（－１，２），求α的正弦、余弦和正切．
? 计算．
π π
（１）５ｓｉｎ ＋２ｃｏｓ０－３ｓｉｎ ＋１０ｃｏｓπ；
２ ２
（２）７ｃｏｓ２７０°＋１２ｓｉｎ０°＋２ｔａｎ０°－８ｃｏｓ１８０°；
（３）ｓｉｎ３６０°－２ｃｏｓ９０°＋３ｓｉｎ１８０°－４ｔａｎ１８０°＋５ｃｏｓ３６０°；
π π ３ π π π
（４）ｃｏｓ －ｔａｎ ＋ ｔａｎ２ －ｓｉｎ ＋ｃｏｓ２ ；
３ ４ ４ ６ ６ ６
（２ｔａｎ２３０°－１）ｃｏｓ２３０°
（５） ．
２ｓｉｎ２４５°＋１
? 用单位圆中的三角函数线说明：对于任意角α，不等式
｜ｓｉｎα｜＋｜ｃｏｓα｜≥１
都成立．
? 试分别确定满足下列条件的角α所在的象限．
（１）ｓｉｎαｔａｎα＜０； （２）ｓｉｎαｃｏｓα＜０．
? 根据下列条件，求角α的正弦、余弦、正切中的未知量．
槡３
（１）ｓｉｎα＝－ ，且α是第四象限角；
２
（２）ｔａｎα＝－３，且α是第二象限角；
１２
（３）ｃｏｓα＝ ，且α是第四象限角；
１３
１
（４）ｓｉｎα＝－ ．
２
π 槡 １＋ｓｉｎα 槡 １－ｓｉｎα
? （１）若 ＜α＜π，化简 － ；
２ １－ｓｉｎα １＋ｓｉｎα
３π
槡
１－ｃｏｓα
槡
１＋ｃｏｓα
（２）若 ＜α＜２π，化简 ＋ ；
２ １＋ｃｏｓα １－ｃｏｓα
（ ）
１
槡
（３）化简 ｓｉｎ２α１＋ ＋ｃｏｓ２α（１＋ｔａｎα）；
ｔａｎα
槡１－ｃｏｓ２α
（４）化简 ．
ｔａｎα
? 证明下列恒等式．
ｔａｎ２α－ｓｉｎ２α
（１）（ｃｏｓα－１）２＋ｓｉｎ２α＝２－２ｃｏｓα； （２） ＝ｓｉｎ２α；
ｔａｎ２α
１＋ｔａｎ２α １
（３） ＝ ．
ｔａｎ２α－１ ２ｓｉｎ２α－１
７．２ 任意角的三角函数 ３５? 化简．
ｓｉｎ（１８０°－α）ｓｉｎ（２７０°－α）ｔａｎ（１８０°－α）
（１） ；
ｓｉｎ（９０°＋α）ｔａｎ（１８０°＋α）ｔａｎ（３６０°－α）
（２）１＋ｓｉｎ（α－２π）ｓｉｎ（π＋α）－２ｃｏｓ２（－α）；
槡１－２ｓｉｎ１００°ｃｏｓ２８０°
（３） ；
ｃｏｓ３７０°－槡１－ｃｏｓ２１７０°
ｓｉｎ（α－π）ｔａｎ（５π－α）
（４） ．
ｔａｎ（２π－α）ｃｏｓ（－２π－α）
#
? 已知ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝槡２，求下列各式的值．
（１）ｓｉｎαｃｏｓα； （２）ｓｉｎ３α＋ｃｏｓ３α；
（３）ｓｉｎ４α＋ｃｏｓ４α； （４）ｓｉｎ４α－ｃｏｓ４α．
１－槡３
? 已知ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ ，α∈（０，π），求ｔａｎα的值．
２
１ π π
? 已知ｓｉｎαｃｏｓα＝ ，且 ＜α＜ ，求ｃｏｓα－ｓｉｎα的值．
８ ４ ２
ｃｏｓθ ｓｉｎθ
? 已知 ＋ ＝－２，试判断角θ所在的象限．
槡１－ｓｉｎ２θ 槡１－ｃｏｓ２θ
? 利用单位圆中的正弦线、余弦线说明：对于任意角α，不等式
－１≤ｓｉｎα≤１，－１≤ｃｏｓα≤１
都成立．
（ ）
１ π
? 已知ｓｉｎ（π－α）＝ｌｏｇ ，且α∈ － ，０ ，求ｔａｎ（２π－α）的值．
８４ ２
ｔａｎ（－１５０°）ｃｏｓ（－２１０°）ｃｏｓ（－４２０°）
? 求 的值．
ｔａｎ（－６９０°）ｓｉｎ（－１０５０°）
? 设ｃｏｓ４６０°＝狋，将ｔａｎ２６０°用含狋的式子表示．
３ ６ 第七章 三角函数．
! $! ,$-.%/0(12
7.3.1   

将图７３１（１）所示的摩天轮抽象成图７３１（２）所示的平面图形，然后以摩天轮转
轮中心为原点犗，以水平线为横轴，建立平面直角坐标系．设犗到地面的高犗犜为
犾ｍ，犘点为转轮边缘上任意一点，转轮半径犗犘为狉ｍ．记以犗犘为终边的角为
狓ｒａｄ，点犘离地面的高度为狔ｍ，那么狔是狓的函数吗？如果是，这个函数有什么
性质？
P
x
M O
T
 
图７３１
情境中的问题，可以利用本小节要学习的正
弦函数知识解答．
P
我们已经知道，对于任意一个角狓，都有唯
x
一确定的正弦ｓｉｎ狓与之对应，因此狔＝ｓｉｎ狓是
M O 1
一个函数，一般称为正弦函数．
利用正弦线可以直观地表示正弦函数的函数
→
值，如图７３２中，犕犘就是角狓的正弦线．
图７３２
７．３ 三角函数的性质与图象 ３７
 +B
A(
你能由正弦线得出正弦函数狔＝ｓｉｎ狓具有哪些性质吗？
（１）定义域与值域
因为任意角都有正弦，所以狔＝ｓｉｎ狓的定义域为 ．
→
由图７３２的正弦线可以看出，犕犘的长度最大是１，最小是０．因此可
知狔＝ｓｉｎ狓的值域为 ［－１，１］，而且
π
当且仅当狓＝ ＋２犽π，犽∈犣时，函数狔＝ｓｉｎ狓的最大值狔 ＝１；
２ ｍａｘ
３π
当且仅当狓＝ ＋２犽π，犽∈犣时，函数狔＝ｓｉｎ狓的最小值狔 ＝ ．
２ ｍｉｎ
已知ｓｉｎ狓＝狋－３，狓∈犚，求狋的取值范围．


因为－１≤ｓｉｎ狓≤１，所以

－１≤狋－３≤１，
由此解得２≤狋≤ ．
（２）奇偶性
由诱导公式
ｓｉｎ（－狓）＝－ｓｉｎ狓
可知，正弦函数狔＝ｓｉｎ狓是 函数，其图象关于原点中心对称．
（３）周期性
由诱导公式
ｓｉｎ（狓＋犽·２π）＝ｓｉｎ狓（犽∈犣）
可知，当自变量狓的值每增加或减少２π的整数倍时，正弦值重复出现，这
种性质称为正弦函数的周期性．
一般地，对于函数犳（狓），如果存在一个非零常数犜，使得对定义域内
的每一个狓，都满足
犳（狓＋犜）＝犳（狓），
那么就称函数犳（狓）为周期函数，非零常数犜称为这个函数的周期．
由上可知，正弦函数狔＝ｓｉｎ狓是一个周期函数，２犽π （犽∈犣，犽≠０）都
是它的周期．
对于一个周期函数犳（狓），如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，
那么这个最小的正数就称为犳（狓）的最小正周期．
在２犽π （犽∈犣，犽≠０）中，最小的正数为 ，因此正弦函数狔＝
３ ８ 第七章 三角函数ｓｉｎ狓的最小正周期为２π．
今后本书中的周期，如果不加特殊说明，均指最小正周期．
（４）单调性
由狔＝ｓｉｎ狓是以２π为周期的周期函数可知，我们只要知道正弦函数在
一个长度为２π的区间内的单调性，就能得到正弦函数在犚上的单调性．
由图 ７３２ 中的正弦线可以看出，正弦函数狔＝ｓｉｎ狓在区间
［ ］ ［ ］
π π π ３π
－ ， 上，从－１增大到１，是递增的；在区间 ， 上，从１减少
２ ２ ２ ２
到－１，是递减的．
［ ］
π π
一般地，正弦函数狔＝ｓｉｎ狓在区间 － ＋２犽π， ＋２犽π （犽∈犣）上递
２ ２
［ ］
π ３π
增，在 ＋２犽π， ＋２犽π （犽∈犣）上递减．
２ ２
（ ） （ ）
１７π ２３π
不求值，比较ｓｉｎ－ 和ｓｉｎ－ 的大小．

 ４ ５
因为
 （ ） （ ）
１７π １７π π π
ｓｉｎ－ ＝－ｓｉｎ ＝－ｓｉｎ４π＋ ＝－ｓｉｎ ，
４ ４ ４ ４
（ ） （ ）
２３π ２３π ３π ３π
ｓｉｎ－ ＝－ｓｉｎ ＝－ｓｉｎ４π＋ ＝－ｓｉｎ
５ ５ ５ ５
（ ）
２π ２π
＝－ｓｉｎπ－ ＝－ｓｉｎ ，
５ ５
［ ］
π π π π ２π π
又因为狔＝ｓｉｎ狓在区间 － ， 内递增，且－ ＜ ＜ ＜ ，所以
２ ２ ２ ４ ５ ２
π ２π
ｓｉｎ ＜ｓｉｎ ，
４ ５
（ ） （ ）
１７π ２３π
因此ｓｉｎ－ ＞ｓｉｎ－ ．
４ ５
（５）正弦函数的零点
可以看出，正弦函数狔＝ｓｉｎ狓的零点为犽π （犽∈犣）．
求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时狓


的值．
（１）狔＝ｓｉｎ狓－２； （２）狔＝（ｓｉｎ狓－１）２＋２；
（ ）
１ ２
（３）狔＝ｓｉｎ狓－ ＋１．
２
（１）函数狔＝ｓｉｎ狓－２与狔＝ｓｉｎ狓同时取得最大值和最小值，

所以，
７．３ 三角函数的性质与图象 ３９π
当狓＝ ＋２犽π （犽∈犣）时，狔＝ｓｉｎ狓－２取得最大值－１；
２
当狓＝ （犽∈犣）时，狔＝ｓｉｎ狓－２取得最小值－３．
（２）令狋＝ｓｉｎ狓，则
狔＝（狋－１）２＋２，狋∈［－１，１］，
于是就转化为求闭区间上二次函数的最大值和最小值问题了．
因为－１≤狋≤１时，－２≤狋－１≤０，所以０≤（狋－１）２≤４，因此
２≤（狋－１）２＋２≤６．
π
从而狔 ＝６，此时狋－１＝－２，狋＝－１，即ｓｉｎ狓＝－１，狓＝－ ＋
ｍａｘ ２
π
２犽π （犽∈犣）；狔 ＝２，此时ｓｉｎ狓＝ ，狓＝ ＋２犽π （犽∈犣）．
ｍｉｎ ２
（３）令狋＝ｓｉｎ狓，则
（ ）
１ ２
狔＝狋－ ＋１，狋∈［－１，１］．
２
（ ）
３ １ １ １ ２ ９
因为－１≤狋≤１时，－ ≤狋－ ≤ ，所以０≤狋－ ≤ ，因此
２ ２ ２ ２ ４
（ ）
１ ２ １３
１≤狋－ ＋１≤ ．
２ ４
１３ π
从而狔 ＝ ，此时ｓｉｎ狓＝－１，狓＝－ ＋２犽π （犽∈犣）；狔 ＝１，
ｍａｘ ４ ２ ｍｉｎ
１ １ １ π ５π
此时狋－ ＝０，狋＝ ，即ｓｉｎ狓＝ ，狓＝ ＋２犽π （犽∈犣）或狓＝ ＋
２ ２ ２ ６ ６
２犽π （犽∈犣）．

 + A
A(
函数图象直观表示了变量间的变化过程和变化趋势，得到函数图象的主要方法
有哪些？前面我们已经系统研究了正弦函数的性质，这对作出正弦函数的图象有什
么帮助呢？
我们可以借助科学计算器，通过描点法得到正弦函数的图象．
由狔＝ｓｉｎ狓是以２π为周期的周期函数可知，只要知道正弦函数在一个
长度为２π的闭区间内的图象，就可得到正弦函数在犚上的图象．
下面我们探讨正弦函数狔＝ｓｉｎ狓在区间［－π，π］上的图象．
又因为狔＝ｓｉｎ狓是奇函数，所以狔＝ｓｉｎ狓在［－π，０］和［０，π］上的图
４ ０ 第七章 三角函数象关于原点对称，因此只要探讨狔＝ｓｉｎ狓在［０，π］上的图象即可．
取［０，π］中的几个值，列表如下．
π π π π ２π ３π ５π
狓 ０ π
６ ４ ３ ２ ３ ４ ６
１ 槡２ 槡３ 槡３ 槡２ １
狔＝ｓｉｎ狓 ０ １ ０
２ ２ ２ ２ ２ ２
在平面直角坐标系中描点，如图７３３所示．又根据狔＝ｓｉｎ狓在
［ ］ ［ ］
π π
０， 上递增，在 ，π 上递减等信息，可知将这些点连接起来，形成光
２ ２
滑的曲线，就可以得到狔＝ｓｉｎ狓在［０，π］上的函数图象．然后作这一段图
象关于原点对称的图象，最后得到狔＝ｓｉｎ狓在［－π，π］上的图象，如图
７３３所示．
y
π 1
−
2
−π O π π x
2
−1
图７３３
由于狔＝ｓｉｎ狓的周期是２π，所以正弦函数在［－π＋２犽π，π＋２犽π］
（犽∈犣）上的函数图象与其在［－π，π］上的函数图象形状完全相同，因此不
难得到正弦函数狔＝ｓｉｎ狓的图象，如图７３４所示．
y
1
− 5π −2π − 3π −π − π O π π 3π 2π 5π x
2 2 2 2 2 2
−1
图７３４
一般地，狔＝ｓｉｎ狓的函数图象称为正弦曲线．
正弦函数狔＝
由图７３４也可以看出，正弦曲线是轴对称图形，对称轴为
ｓｉｎ狓在对称轴和
π
狓＝ ＋犽π （犽∈犣）；正弦曲线也是中心对称图形，且对称中心为 对称中心处的函数
２
值有什么特征？
（犽π，０）（犽∈犣）．另外，这两个结论也可以从关系式ｓｉｎ（π＋２犽π－
狓）＝ｓｉｎ狓和ｓｉｎ（２犽π－狓）＝－ｓｉｎ狓得到，其中犽∈犣，请读者自己完成．
正弦函数狔＝ｓｉｎ狓的图象也可由其在［０，２π］上的图象得到．从图７３４
可以看出，以下五个点在确定狔＝ｓｉｎ狓，狓∈［０，２π］的图象形状时起着关
７．３ 三角函数的性质与图象 ４１键作用：
（ ） （ ）
π ３π
（０，０）， ，１ ，（π，０）， ，－１ ，（２π，０）．
２ ２
这五个点描出后，狔＝ｓｉｎ狓，狓∈［０，２π］的图象形状就基本上确定了．
今后，我们作正弦曲线的简图时，在精确度要求不高的情况下，一般都
是先找出确定图象形状的关键的五个点，然后再描点作图，这种作图方法称
为五点法．
用五点法作函数狔＝ｓｉｎ狓＋１，狓∈［０，２π］的图象．


找关键的五个点，列表如下．

π ３π
狓 ０ π ２π
２ ２
狔＝ｓｉｎ狓 ０ １ ０ －１ ０
狔＝ｓｉｎ狓＋１ １ ２ １ ０ １
描点作图，如图７３５所示．
y
2 y = sin x + 1, x∈[0, 2π]
1
O π π 3π 2π x
2 2
−1
y=sin x, x∈[0,2π]
图７３５
由图７３５可以看出，对于任意一个狓∈［０，２π］，函数狔＝ｓｉｎ狓＋１的
函数值比狔＝ｓｉｎ狓的函数值大１，因此狔＝ｓｉｎ狓＋１，狓∈［０，２π］的图象可
由狔＝ｓｉｎ狓，狓∈［０，２π］的图象向上平移一个单位得到．
事实上，前述情境与问题中，狔是狓的函数，而且
狔＝狉ｓｉｎ狓＋犾，
它具有与狔＝ｓｉｎ狓＋１类似的性质．

*   3
用计算机软件可以方便地作出类似正弦函数的图象，而且也只需要输入函
数解析式即可，图７３６所示是用ＧｅｏＧｅｂｒａ作出的犳（狓）＝ｓｉｎ狓和犵（狓）＝
ｓｉｎ狓＋１的图象．
４ ２ 第七章 三角函数图７３６
"
? 已知ｓｉｎ狓＋２犪＋５＝０，狓∈犚，求犪的取值范围．
３１π １３π
? 不求值，比较ｓｉｎ 和ｓｉｎ 的大小．
５ ３
? 求狔＝２ｓｉｎ狓＋１的单调递增区间．
? 求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时狓的值．
（１）狔＝ｓｉｎ狓＋３；
（２）狔＝（ｓｉｎ狓－３）２；
（ ）
１ ２
（３）狔＝ｓｉｎ狓＋ －３．
２
? 用五点法作出下列函数在［０，２π］上的图象，并说明它们与狔＝ｓｉｎ狓，狓∈［０，
２π］的图象的关系．
（１）狔＝－ｓｉｎ狓； （２）狔＝ｓｉｎ狓－１．
３
? 求函数狔＝ｓｉｎ狓－ 的所有零点组成的集合．
２
π
? 利用ｓｉｎ（π－狓）＝ｓｉｎ狓证明：正弦曲线关于直线狓＝ 对称．
２
#
（ ）
π ２π π ２π
? 等式ｓｉｎ ＋ ＝ｓｉｎ 是否成立？如果这个等式成立，那么能否说 是正弦
６ ３ ６ ３
函数狔＝ｓｉｎ狓的周期？
? 求狔＝－３ｓｉｎ狓－４的单调递增区间．
? 求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时狓的值．
（１）狔＝－４ｓｉｎ狓＋５；
（２）狔＝ｃｏｓ２狓－ｓｉｎ狓＋１．
７．３ 三角函数的性质与图象 ４３１
槡
? 求函数狔＝ －ｓｉｎ狓的定义域、值域和零点．
２
? 用五点法作出下列函数在［－２π，０］上的图象．
（１）狔＝１－ｓｉｎ狓；
（２）狔＝ｓｉｎ（π＋狓）－１．
? 写出函数狔＝ｓｉｎ狓－２的图象的对称中心和对称轴．
? 写出函数狔＝－３ｓｉｎ狓＋１的值域和单调区间．
? 利用ｓｉｎ（２犽π－狓）＝－ｓｉｎ狓，犽∈犣证明：正弦曲线关于点（犽π，０）（犽∈犣）对称．
π
 犚  －１  ４  奇  ２π  － ＋２犽π  １
２
7.3.2   

如图７３７所示，将一个有孔的小球装在弹簧的一
端，弹簧的另一端固定，小球穿在水平放置的光滑杆上，
图７３７
不计小球与杆之间的摩擦，称小球静止时的位置为平衡
位置．将小球拉离平衡位置之后释放，则小球将左右运
动．从某一时刻开始，如果记狋ｓ后小球的位移为狓ｃｍ，则由物理学知识可知狓与狋
的关系可以写成
狓＝犃ｓｉｎ（ω狋＋φ ）
的形式，其中犃，ω，
φ
都是常数．
日常生活中，一般家用电器使用的电流都是交流电流，交流电流犻与时间狋的关
系一般可以写成
犻＝犐ｓｉｎ（ω狋＋φ ）
犿
的形式，其中犐，ω，
φ
都是常数．
犿
显然，上述狓与犻都是狋的函数．那么，这种类型的函数具有什么性质呢？怎样
研究这种类型的函数的性质？
４ ４ 第七章 三角函数一般地，形如
狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ ）
的函数，在物理、工程等学科的研究中经常遇到，这种类型的函数称为正弦
型函数，其中犃，ω，
φ
都是常数，且犃≠０，ω≠０．下面我们通过实例来
研究这类函数的性质和图象．
探究函数狔＝２ｓｉｎ狓的定义域、值域和周期性，并作出它在一个


周期内的图象．
可以看出，函数狔＝２ｓｉｎ狓的定义域为 ．

因为－１≤ｓｉｎ狓≤１，所以
－２≤２ｓｉｎ狓≤２，
又因为ｓｉｎ狓＝１时，狔＝２ｓｉｎ狓＝２；ｓｉｎ狓＝－１时，狔＝２ｓｉｎ狓＝－２，所
以狔＝２ｓｉｎ狓的值域为 ．
函数狔＝２ｓｉｎ狓是周期函数，周期是２π．
下面我们用五点法作出狔＝２ｓｉｎ狓在［０，２π］上的图象．取点列表
如下．
π ３π
狓 ０ π ２π
２ ２
狔＝ｓｉｎ狓 ０ １ ０ －１ ０
狔＝２ｓｉｎ狓 ０ ２ ０ －２ ０
描点作图，如图７３８所示．
y
y=2sin x, x∈[0,2π]
2
1
O π π 3π 2π x
2 2
−1
y=sin x, x∈[0,2π]
−2
图７３８
由图７３８可以看出，狔＝２ｓｉｎ狓的图象可由狔＝ｓｉｎ狓的图象上的点，
横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 倍得到．
一般地，函数狔＝犃ｓｉｎ狓（犃≠０）的定义域为 犚，值域为［－｜犃｜，
｜犃｜］，周期是２π．
７．３ 三角函数的性质与图象 ４５（ ）
π
探究函数狔＝ｓｉｎ狓＋ 的定义域、值域和周期性，并作出它在

 ３
一个周期内的图象．
（ ）
π π
令狌＝狓＋ ，则狔＝ｓｉｎ狓＋ 可以化成狔＝ｓｉｎ狌．
 ３ ３
（ ）
π
由狔＝ｓｉｎ狌的定义域为犚，值域为 ，可以看出狔＝ｓｉｎ狓＋ 的
３
定义域为犚，值域为［－１，１］．
（ ）
π
由狔＝ｓｉｎ狌的周期为２π可知狔＝ｓｉｎ狓＋ 的周期也为２π．
３
当狌∈［０，２π］时，即０≤狌≤２π时，我们有
π π ５π
０≤狓＋ ≤２π，即－ ≤狓≤ ，
３ ３ ３
（ ） ［ ］
π π ５π
所以下面我们用五点法作出狔＝ｓｉｎ狓＋ 在 － ， 上的图象．取点
３ ３ ３
列表如下．
π π ２π ７π ５π
狓 －
３ ６ ３ ６ ３
π π ３π
狌＝狓＋ ０ π ２π
３ ２ ２
（ ）
π
狔＝ｓｉｎ狌＝ｓｉｎ狓＋ ０ １ ０ －１ ０
３
描点作图，如图７３９所示．
y π) [ π 5π]
y=sin x + , x∈ − ,
3 3 3
1
3π
2
− π O π π 5π 2π x
3 2 3
−1
y=sin x, x∈[0,2π]
图７３９
（ ）
π
由图７３９可以看出，狔＝ｓｉｎ狓＋ 的图象可由狔＝ｓｉｎ狓的图象向左
３
π
平移 个单位得到．
３
一般地，函数狔＝ｓｉｎ（狓＋φ ）的定义域为犚，值域为［－１，１］，周期
是２π．
４ ６ 第七章 三角函数探究函数狔＝ｓｉｎ２狓的定义域、值域和周期性，并作出它在一个


周期内的图象．
A(
怎样探究狔＝ｓｉｎ２狓的上述性质？
令狌＝２狓，则狔＝ｓｉｎ２狓可以化成狔＝ｓｉｎ狌．

由狔＝ｓｉｎ狌的定义域为犚，值域为［－１，１］，可以看出狔＝ｓｉｎ２狓的
定义域为犚，值域为［－１，１］．
由狔＝ｓｉｎ狌的周期为２π可知，对任意狌，当它增加到且至少要增加
到狌＋２π时，对应的函数值才重复出现．因为
狌＋２π＝２狓＋２π＝２（狓＋π），
这说明对任意狓，当它增加到且至少要增加到狓＋π时，狔＝ｓｉｎ２狓的函
数值才重复出现，这就说明狔＝ｓｉｎ２狓的周期为π．
当狌∈［０，２π］时，即０≤狌≤２π时，我们有
０≤２狓≤２π，即０≤狓≤π，
所以下面我们用五点法作出狔＝ｓｉｎ２狓在［０，π］上的图象．取点列表
如下．
π π ３π
狓 ０ π
４ ２ ４
π ３π
狌＝２狓 ０ π ２π
２ ２
狔＝ｓｉｎ狌＝ｓｉｎ２狓 ０ １ ０ －１ ０
描点作图，如图７３１０所示．
y
y=sin 2x, x∈[0,π]
1
O π π 3π 2π x
2 2
−1
y=sin x, x∈[0,2π]
图７３１０
由图７３１０可以看出，狔＝ｓｉｎ２狓的图象可由狔＝ｓｉｎ狓的图象上的点，
１
纵坐标不变，横坐标变为原来的 得到．
２
７．３ 三角函数的性质与图象 ４７一般地，函数狔＝ｓｉｎω狓（ω≠０）的定义域为犚，值域为［－１，１］，周
２π
期是 ．
ω
（ ）
π
探究函数狔＝３ｓｉｎ２狓＋ 的定义域、值域和周期性，并作出它

 ３
在一个周期内的图象．
（ ）
π π
令狌＝２狓＋ ，则狔＝３ｓｉｎ２狓＋ 可以化成狔＝３ｓｉｎ狌．
 ３ ３
由狔＝３ｓｉｎ狌的定义域为 犚，值域为［－３，３］，可以看出狔＝
（ ）
π
３ｓｉｎ２狓＋ 的定义域为犚，值域为［－３，３］．
３
由狔＝３ｓｉｎ狌的周期为２π可知，对任意狌，当它增加到且至少要增加
到狌＋２π时，对应的函数值才重复出现，因为
π π
狌＋２π＝２狓＋ ＋２π＝２（狓＋π）＋ ，
３ ３
（ ）
π
这说明对任意狓，当它增加到且至少要增加到狓＋π时，狔＝３ｓｉｎ２狓＋ 的
３
（ ）
π
函数值才重复出现，狔＝３ｓｉｎ２狓＋ 的周期为 ．
３
当狌∈［０，２π］时，即０≤狌≤２π时，我们有
π π ５π
０≤２狓＋ ≤２π，即－ ≤狓≤ ，
３ ６ ６
（ ） ［ ］
π π ５π
所以下面我们用五点法作出狔＝３ｓｉｎ２狓＋ 在 － ， 上的图象．取
３ ６ ６
点列表如下．
π π π ７π ５π
狓 －
６ １２ ３ １２ ６
π π ３π
狌＝２狓＋ ０ π ２π
３ ２ ２
狔＝ｓｉｎ狌 ０ １ ０ －１ ０
（ ）
π
狔＝３ｓｉｎ狌＝３ｓｉｎ２狓＋ ０ ３ ０ －３ ０
３
描点作图，如图７３１１所示．
４ ８ 第七章 三角函数y π) [ π 5π]
y=3sin x + , x∈ − ,
3 3 6 6
2
y=3sin 2x, x∈[0,π]
1
π
− π O π 5π 3π 2π x
6 2 6 2
−1
y=sin x, x∈[0,2π]
−2
y=sin 2x, x∈[0,π]
−3
图７３１１
在图７３１１中，我们还作出了狔＝ｓｉｎ狓，狔＝ｓｉｎ２狓，狔＝３ｓｉｎ２狓的部
（ ）
π
分图象，把它们与函数狔＝３ｓｉｎ２狓＋ 的图象进行比较，就可以看出这些
３
图象之间的关系：把函数狔＝ｓｉｎ狓图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标
１
变为原来的 ，就可得到狔＝ｓｉｎ２狓的图象；把狔＝ｓｉｎ２狓图象上的所有点，
２
横坐标不变，纵坐标变为原来的３倍，就可得到狔＝３ｓｉｎ２狓的图象；把狔＝
（ ）
π π
３ｓｉｎ２狓图象上的所有点，向左平移 个单位，就可得到狔＝３ｓｉｎ２狓＋ 的
６ ３
图象．
A(
结合图７３１１思考：是否可以按下列指定的顺序，将一个函数的图象变为下
一个函数的图象？
（ ） （ ） （ ）
π π π
狔＝ｓｉｎ狓→狔＝ｓｉｎ狓＋ →狔＝ｓｉｎ２狓＋ →狔＝３ｓｉｎ２狓＋ ．
３ ３ ３
请说明每个步骤中，函数图象是如何变换的．
π
事实上，把函数狔＝ｓｉｎ狓图象上的所有点，向左平移 个单位，就
３
（ ） （ ）
π π
可得到狔＝ｓｉｎ狓＋ 的图象；把狔＝ｓｉｎ狓＋ 图象上的所有点，纵坐标
３ ３
（ ）
１ π
不变，横坐标变为原来的 ，就可得到狔＝ｓｉｎ２狓＋ 的图象；把狔＝
２ ３
７．３ 三角函数的性质与图象 ４９（ ）
π
ｓｉｎ２狓＋ 图象上的所有点，横坐标不变，纵坐标变为原来的３倍，就可
３
（ ）
π
得到狔＝３ｓｉｎ２狓＋ 的图象．
３
一般地，正弦型函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ ）（犃≠０，ω≠０）的定义域为犚，
２π
值域为［－｜犃｜，｜犃｜］，周期是 ，而且函数的图象可通过对正弦曲线进
ω
行平移、伸缩得到．
正弦型函数中的常数犃，ω，
φ
都具有一定的实际意义．
事实上，在前述情境与问题的小球运动
过程中，如果从狋＝０时刻开始，每隔一小
段时间 （比如０．０１ｓ）给弹簧和小球拍一张
照片，并将这些照片按时间顺序排成一列
（顶端对齐），就可得到如图７３１２所示的图
形．可以认为，图中小球的中心在正弦型函
数狓＝犃ｓｉｎ（ω狋＋φ ）的图象上，而且
（１） 犃 表示小球能偏离平衡位置的最
大距离，称为振幅；
（２）
φ
在决定狋＝０时小球的位置 （即
犃ｓｉｎφ ）中起关键作用，称为初相；
２π
（３）周期犜＝ 表示小球完成一次运动 图７３１２
ω
所需要的时间．（小球的位置和速度首次都得到重复时称完成了一次运动．）
１ ω
此时，犳＝ ＝ 表示单位时间内能够完成的运动次数，称为频率．
犜 ２π
一般正弦型函数的振幅、初相、周期、频率等是用完全一样的方式定义
的，这里不再重复．
"
? 求下列函数的周期．
（ ）
π y
（１）狔＝ｓｉｎ狓－ ； （２）狔＝ｓｉｎ３狓； 3
６ （ ） 2
狓 π 1
（３）狔＝３ｓｉｎ ； （４）狔＝２ｓｉｎ－２狓－ ．
４ ６
? 如图是函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ ）的部分图象，其中犃＞０， - p O p 5p x
6 3 6
π -1
ω＞０，｜φ｜＜ ，试确定这个函数的解析式．
２ （第２题）
５ ０ 第七章 三角函数（ ）
π
? 求狔＝－５ｓｉｎ狓＋ 的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时狓的值．
６
? 说明由函数狔＝ｓｉｎ狓的图象怎样才能得到函数狔＝２ｓｉｎ３狓的图象．
（ ）
π
? 求狔＝３ｓｉｎ４π狓＋ 的振幅、初相、周期和频率．
４
# （ ） （ ）
π π
? 由函数狔＝３ｓｉｎ狓＋ 的图象怎样才能得到函数狔＝３ｓｉｎ狓－ 和狔＝
５ ５
（ ）
π
３ｓｉｎ２狓＋ 的图象？
５
（ ）
π
? 函数狔＝ｓｉｎ狓的图象经过怎样的变换能得到函数狔＝２ｓｉｎ３狓＋ 的图象？
４
? 求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时狓的值．
（ ）
π
（１）狔＝３ｓｉｎ２狓＋ ； （２）狔＝１－ｓｉｎ３狓．
３
（ ）
π
? 求函数狔＝２ｓｉｎ－２狓－ 的单调递增区间．
６
? 如果被弹簧牵引的小球相对于平衡位置的位移犺ｃｍ与时间狋ｓ之间的函数关系
（ ）
π
为犺＝２ｓｉｎ８π狋＋ ，狋∈［０，＋∞），根据表达式回答下列问题．
４
（１）狋＝０时，小球相对平衡位置的位移为多少？
（２）小球相对平衡位置的最大距离是多少？
（３）经过多长时间小球完成一次运动？
（４）小球１ｓ内能运动多少次？
 
利用计算机软件，按照下列各组数据，在同一坐标系中作函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋
φ
）的图象．
（１）犃＝１，ω＝１， φ＝１； （２）犃＝２，ω＝１， φ＝１；
（３）犃＝１，ω＝１， φ＝２； （４）犃＝１，ω＝２， φ＝１．
观察图象，理解犃，ω，
φ
对函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ ）的图象变化的影响．
 犚  ［－２，２］  ２  ［－１，１］  π
７．３ 三角函数的性质与图象 ５１7.3.3    
因为对于任意一个角狓，都有唯一确定的余弦ｃｏｓ狓与之对应，所以
狔＝ｃｏｓ狓是一个函数，一般称为余弦函数．
A(
研究余弦函数狔＝ｃｏｓ狓的性质，你能给出几种不同的方案呢？请你选择其中
一个方案，研究余弦函数的性质．
显然，像通过正弦线研究正弦函数的性质一样，我们可以通过余弦线来
研究余弦函数的性质．不过，由
（ ）
π
ｃｏｓ狓＝ｓｉｎ狓＋
２
（ ）
π
可知，狔＝ｃｏｓ狓的性质与图象和正弦型函数狔＝ｓｉｎ狓＋ 的相同，因此余
２
弦函数的定义域为 ；值域为 ；余弦函数也是周期函数，且
其周期为 ；在区间［－π＋２犽π，２犽π］ （犽∈犣）上递增，在［２犽π，
π＋２犽π］（犽∈犣）上递减；函数的零点为 （犽∈犣）．
另外，由诱导公式ｃｏｓ（－狓）＝ｃｏｓ狓可知，狔＝ｃｏｓ狓是一个
函数．
（ ）
π
函数狔＝ｃｏｓ狓的图象称为余弦曲线．由于狔＝ｃｏｓ狓＝ｓｉｎ狓＋ ，因
２
此余弦曲线可由正弦曲线向左平移 个单位得到，如图７３１３所示．
y
1 y = sin x y = cos x
− 5π −2π − 3π −π − π O π π 3π 2π 5π x
2 2 2 2 2 2
−1
图７３１３
由图７３１３可以看出，余弦曲线的对称轴为狓＝犽π，对称中心为
（ ）
π
＋犽π，０ ，其中犽∈犣．
２
５ ２ 第七章 三角函数求下列函数的值域．

 （ ）
１ ２
（１）狔＝－３ｃｏｓ狓＋１； （２）狔＝ｃｏｓ狓＋ －３．
２
（１）因为－１≤ｃｏｓ狓≤１，所以３≥－３ｃｏｓ狓≥－３，且

－２≤－３ｃｏｓ狓＋１≤４，
即－２≤狔≤４．
当ｃｏｓ狓＝１时，狔 ＝－２；当ｃｏｓ狓＝－１时，狔 ＝４．因此狔＝
ｍｉｎ ｍａｘ
－３ｃｏｓ狓＋１的值域为［－２，４］．
（２）令狋＝ｃｏｓ狓，则
（ ）
１ ２
狔＝狋＋ －３，狋∈［－１，１］．
２
（ ）
１ １ ３ １ ２ ９
因为－１≤狋≤１时，－ ≤狋＋ ≤ ，所以０≤狋＋ ≤ ，因此
２ ２ ２ ２ ４
（ ）
１ ２ ３
－３≤狋＋ －３≤－ ．
２ ４
３ １
当狋＝１时，狔 ＝－ ；当狋＝－ 时，狔 ＝－３．因此狔＝
ｍａｘ ４ ２ ｍｉｎ
（ ） ［ ］
１ ２ ３
ｃｏｓ狓＋ －３的值域为 －３，－ ．
２ ４
判断下列函数的奇偶性．


（１）狔＝ｃｏｓ狓＋２； （２）狔＝ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓．
（１）把函数狔＝ｃｏｓ狓＋２记作犳（狓）＝ｃｏｓ狓＋２，因为定义域为犚，且

犳（－狓）＝ｃｏｓ（－狓）＋２＝ｃｏｓ狓＋２＝犳（狓），
所以狔＝ｃｏｓ狓＋２是偶函数．
（２）把函数狔＝ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓记作犳（狓）＝ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓，因为定义域为犚，且
犳（－狓）＝ｓｉｎ（－狓）ｃｏｓ（－狓）＝（－ｓｉｎ狓）ｃｏｓ狓＝－犳（狓），
所以狔＝ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓是 函数．
（ ）
狓 π
求函数狔＝２ｃｏｓ － 的周期和其图象的对称轴方程．

 ３ ４
因为
 （ ）
狓 π
狔＝２ｃｏｓ －
３ ４
［（ ） ］
狓 π π 狔＝犃ｃｏｓ（ω狓＋
＝２ｓｉｎ － ＋
３ ４ ２ φ）（其中犃，ω，
（ ）
狓 π
φ
都是 常 数，且
＝２ｓｉｎ ＋ ，
３ ４
犃≠０，ω≠０）具有
哪些性质？
７．３ 三角函数的性质与图象 ５３２π
所以犜＝ ＝６π．
１
３
狓 π π ３π
令 ＋ ＝ ＋犽π （犽∈犣），解得狓＝ ＋３犽π （犽∈犣）．
３ ４ ２ ４
（ ）
狓 π
所以函数狔＝２ｃｏｓ － 的周期为６π，其图象的对称轴方程为狓＝
３ ４
３π
＋３犽π （犽∈犣）．
４
［ ］
π ３π
求函数犳（狓）＝ｃｏｓ狓，狓∈ － ， 的最大值和最小值．

 ４ ４
［ ］
π
（方法一）由余弦函数的性质可知，犳（狓）＝ｃｏｓ狓在 － ，０ 递
 ４
［ ］
３π
增，在 ０， 递减，又因为
４
（ ） （ ） （ ）
π π 槡２ ３π ３π 槡２
犳－ ＝ｃｏｓ－ ＝ ，犳（０）＝ｃｏｓ０＝１，犳 ＝ｃｏｓ ＝－ ，
４ ４ ２ ４ ４ ２
槡２
所以函数的最大值为１，最小值为－ ．
２
（方法二）如图７３１４所示，作出示意图，
π ３π
其中犗犘为角－ 的终边，犗犘′为角 的终边． P′ 1
４ ４
［ ］
π ３π M
区间 － ， 内的角的终边只能在直线犘犘′ N O
４ ４
→
的右上方，因此当角的余弦线为犗犕时，犳（狓） P
取得最大值 图７３１４
犳（０）＝ｃｏｓ０＝１；
→
当角的余弦线为犗犖时，犳（狓）取得最小值
（ ）
３π ３π 槡２
犳 ＝ｃｏｓ ＝－ ．
４ ４ ２
"
? 下列等式能否成立？为什么？
１
（１）２ｃｏｓ狓＝３； （２）ｃｏｓ２狓＝ ．
２
? 不求值，分别比较下列各组余弦值的大小．
１ ２
（１）ｃｏｓ１６０°和ｃｏｓ１７０°； （２）ｃｏｓ 和ｃｏｓ ．
３ ３
５ ４ 第七章 三角函数? 求下列函数的周期．
（ ）
狓 π
（１）狔＝ｃｏｓ ； （２）狔＝２ｃｏｓ－３狓＋ ．
３ ３
狓
? 求函数狔＝２－ｃｏｓ 的最大值和最小值，并分别求出函数取最大值和最小值时狓的值．
３
? 利用余弦线，研究余弦函数狔＝ｃｏｓ狓的单调性、最大值和最小值，并分别求出
函数取得最大值和最小值时狓的值．
#
? 不求值，分别比较下列各组余弦值的大小．
１５π １４π
（１）ｃｏｓ 和ｃｏｓ ； （２）ｃｏｓ５１５°和ｃｏｓ５３０°．
８ ９
? 下列各题中，每两个函数的图象有什么关系？
１ ３狓
（１）狔＝ｃｏｓ狓和狔＝ ｃｏｓ狓； （２）狔＝ｃｏｓ狓和狔＝２ｃｏｓ ；
３ ５
（ ） （ ）
π π
（３）狔＝ｃｏｓ２狓和狔＝ｃｏｓ２狓－ ； （４）狔＝ｓｉｎ２狓和狔＝ｃｏｓ－２狓＋ ．
３ ６
（ ）
π
? 函数狔＝ｃｏｓ狓的图象经过怎样的变换能得到函数狔＝３ｓｉｎ２狓＋ 的图象？
３
（ ）
π
? 求函数狔＝２ｃｏｓ３狓－ 的单调区间．
３
? 写出决定余弦曲线在［０，２π］上形状的关键的五个点，并利用类似第７．３．２小节
（ ）
π
中的五点法作出狔＝２ｃｏｓ２狓＋ 的图象．
３
π π
 犚  ［－１，１］  ２π  ＋犽π  偶   奇
２ ２
７．３ 三角函数的性质与图象 ５５7.3.4   
π
我们已经知道，对于任意一个角狓，只要狓≠ ＋
２
T
犽π，犽∈犣，就有唯一确定的正切值ｔａｎ狓与之对应，
因此狔＝ｔａｎ狓是一个函数，称为正切函数．
x A
利用正切线可以直观地表示正切值，如图７３１５ O 1
→
中，犃犜就是角狓的正切线．
图７３１５

 +B
A(
你能由正切线得出正切函数狔＝ｔａｎ狓具有哪些性质吗？
（１）定义域与值域
π
因为角 ＋犽π （犽∈犣）的终边与横轴垂直，其正切值不存在，因此可知
２
｛ ｝
π
狔＝ｔａｎ狓的定义域为狓狓≠ ＋犽π，犽∈犣 ．
２
π
由图７３１５中的正切线可以看出，当狓从０开始增大并越来越接近
２
时，ｔａｎ狓的值从０开始增大，且它的值可以大于指定的任意正数，也就是说
ｔａｎ狓能取到［０，＋∞）内的所有数．类似地，可以看出ｔａｎ狓能取到（－∞，
０］内的所有数．因此，狔＝ｔａｎ狓的值域为 ．
（２）奇偶性
由诱导公式ｔａｎ（－狓）＝－ｔａｎ狓可知，正切函数狔＝ｔａｎ狓是一个
 函数．
（３）周期性
由诱导公式ｔａｎ（狓＋π）＝ｔａｎ狓或图７３１５中正切线的变化规律可知，
狔＝ｔａｎ狓是周期为π的周期函数．
（４）单调性
由狔＝ｔａｎ狓是以π为周期的周期函数可知，我们只要知道正切函数在
（ ）
π π
－ ， 内的单调性，就能得到正切函数在所有有定义的区间上的单调性．
２ ２
５ ６ 第七章 三角函数（ ）
π π
由图７３１５中的正切线可以看出，正切函数狔＝ｔａｎ狓在区间 － ，
２ ２
上 单 调 递 增．由 此 可 知，狔＝ｔａｎ狓 在 每 一 个 开 区 间
（ ）
π π
－ ＋犽π， ＋犽π （犽∈犣）上都是单调递增的．
２ ２ 正切函数在定
义域上是递增函数
（５）零点
吗？
不难看出，正切函数狔＝ｔａｎ狓的零点为 （犽∈犣）．

 + A
（ ）
π π
因为狔＝ｔａｎ狓的周期为π，所以只要作出狔＝ｔａｎ狓在 － ， 上的
２ ２
图象，就可得到其在整个定义域内的图象．又因为狔＝ｔａｎ狓是奇函数，所
［ ）
π
以只要知道狔＝ｔａｎ狓在 ０， 上的图象即可．
２
［ ）
π
取 ０， 内的几个点，列表如下．
２
π π π
狓 ０
６ ４ ３
槡３
狔＝ｔａｎ狓 ０ １ 槡３
３
在平面直角坐标系中描点，如图７３１６所
［ ）
y
π
示．又根据狔＝ｔａｎ狓在 ０， 上递增等信息，
3
２
可知将这些点连接起来，形成光滑的曲线，就 2
［ ）
π 1
可以得到狔＝ｔａｎ狓在 ０， 上的函数图象． π π
−
２
2 2
然后作这一段图象关于原点对称的图象，最后 O x
（ ） −1
π π
得到狔＝ｔａｎ狓在 － ， 上的图象，如图
２ ２ −2
７３１６所示．
−3
由于狔＝ｔａｎ狓的周期是π，所以正切函数
（ ） 图７３１６
π π
在 － ＋犽π， ＋犽π （犽∈犣）上的函数图象与
２ ２
（ ）
π π
其在 － ， 上的函数图象完全相同，因此
２ ２
不难得到正切函数狔＝ｔａｎ狓的图象，如图７３１７所示．
７．３ 三角函数的性质与图象 ５７一般地，狔＝ｔａｎ狓的函数图象称为正切曲线．从图７３１７不难看出，
（ ）
犽π
正切曲线是中心对称图形，其对称中心为 ，０ （犽∈犣）．
２
y
3
y = tan x
2
1
5π 3π π π 3π 5π
− − −
2 2 2 2 2 2
−2π −π O π 2π x
−1
−2
−3
图７３１７
（ ）
π
求函数狔＝ｔａｎ狓－ 的定义域．

 ３
（ ）
π π
令狌＝狓－ ，则狔＝ｔａｎ狓－ 可以化成狔＝ｔａｎ狌．
 ３ ３
π
因为狔＝ｔａｎ狌中，狌≠ ＋犽π，犽∈犣，所以
２
π π ５π
狓－ ≠ ＋犽π，犽∈犣，即狓≠ ＋犽π，犽∈犣，
３ ２ ６
（ ）
π
所以函数狔＝ｔａｎ狓－ 的定义域为
３
 ．
求函数狔＝ｔａｎ３狓的周期．


令狌＝３狓，则狔＝ｔａｎ３狓可以化成狔＝ｔａｎ狌．

由狔＝ｔａｎ狌的周期为π可知，对任意狌，当它增加到且至
少要增加到狌＋π时，对应的函数值才重复出现，因为
（ ） 狔＝犃ｔａｎ（ω狓＋
π
狌＋π＝３狓＋π＝３狓＋ ， φ）（其中犃，ω，
３
φ
都是 常 数，且
π
这说明对任意狓，当它增加到且至少要增加到狓＋ 时，狔＝ｔａｎ３狓 犃≠０，ω≠０）具有
３
哪些性质？
的函数值才重复出现，这就说明狔＝ｔａｎ３狓的周期为 ．
５ ８ 第七章 三角函数"
? 求函数狔＝ｔａｎ３狓的定义域．
? 不求值，分别比较下列各组正切值的大小．
（ ） （ ）
π ３π
（１）ｔａｎ－ 和ｔａｎ－ ； （２）ｔａｎ１３８°和ｔａｎ１４３°．
５ ７
? 求下列函数的周期．
狓
（１）狔＝５ｔａｎ ； （２）狔＝ｔａｎω狓（ω＞０）．
２
? 作出下列函数的图象．
（ ） （ ）
π π
（１）狔＝ｔａｎ狓－ ； （２）狔＝ｔａｎ狓＋ ．
２ ３
# （ ）
π
? 求函数狔＝－ｔａｎ狓＋ ＋２的定义域．
３
? 不求值，分别比较下列各组正切值的大小．
（ ） （ ）
１３π １７π
（１）ｔａｎ－ 和ｔａｎ－ ； （２）ｔａｎ１５１９°和ｔａｎ１４９３°．
４ ５
［ ］
π π
? 求函数犳（狓）＝ｔａｎ狓，狓∈ － ， 的最大值和最小值．
４ ３
? 判断下列函数的奇偶性．
（１）狔＝－ｔａｎ狓； （２）狔＝－ｔａｎ狓．
（ ）
π
? 求函数狔＝ｔａｎ２狓－ 的周期和单调区间．
４
｛ ｝
５π π
 犚  奇 犽π  狓狓≠ ＋犽π，犽∈犣 
６ ３
７．３ 三角函数的性质与图象 ５９7.3.5   

*>3!>
A(
１
（１）如果已知ｓｉｎ狓＝ ，你能求出满足条件的角狓吗？
２
１
（２）如果已知ｓｉｎ狓≥ ，你能求出狓的取值范围吗？
２
在三角函数知识的应用中，经常会遇到尝试与发现中的类似问题，即已
知三角函数值或值的范围，求角的值或角的范围的问题，这也就是本小节我
们要研究的内容．
１
尝试与发现的问题（１）中，由ｓｉｎ狓＝ ＞０
２
1
可知，角狓对应的正弦线方向朝上，而且长度 P′ P
１
为 ． N O M
２
作示意图，如图７３１８所示．可知角狓的终
边可能是犗犘，也可能是犗犘′．又因为 图７３１８
π ５π １
ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ＝ ，
６ ６ ２
所以
π ５π
狓＝ ＋２犽π或狓＝ ＋２犽π，犽∈犣．
６ ６
对于尝试与发现中的问题（２）来说，同样由图７３１８可知，如果狓的终
１
边在∠犘犗犘′中，则一定有ｓｉｎ狓≥ ，因此，狓的取值范围是
２
π ５π
＋２犽π≤狓≤ ＋２犽π，犽∈犣．
６ ６
上述问题的解答也可借助正弦函数的图象———正弦曲线来完成，请读者
自行尝试．
（ ）
π １
已知ｃｏｓ２狓＋ ＝－ ，求狓．

 ３ ２
６ ０ 第七章 三角函数（ ）
π １ π
由ｃｏｓ２狓＋ ＝－ ＜０可知，角２狓＋
 ３ ２ ３
对应的余弦线方向朝左，且长度为 ． P
作示意图，如图７３１９所示．可知角２狓＋
−1 M O
π
的终边可能是犗犘，也可能是犗犘′．又因为
３ P′
２π ４π
ｃｏｓ ＝ｃｏｓ ＝ ， 图７３１９
３ ３
所以
π ２π π ４π
２狓＋ ＝ ＋２犽π或２狓＋ ＝ ＋２犽π，犽∈犣，
３ ３ ３ ３
即
π π
狓＝ ＋犽π或狓＝ ＋犽π，犽∈犣．
６ ２
例１同样可以通过余弦函数的图象———余弦曲线求解．
同前面类似，从图７３１９可以得到不等式
（ ）
π １
ｃｏｓ２狓＋ ＜－
３ ２
（ ）
π π
的解集为 ＋犽π， ＋犽π （犽∈犣），请读者自行说明理由．
６ ２
已知ｔａｎ狓＝－１，狓∈（３π，５π），求狓．


由ｔａｎ狓＝－１＜０可知，角狓对应的正

切线的方向朝下，而且长度为 ．
T′
作示意图，如图７３２０所示．可知角狓的
终边可能是犗犜，也可能是犗犜′．又因为 A
（ ） （ ） O 1
π π
ｔａｎ－ ＝ｔａｎπ－ ＝ ， T
４ ４
所以
图７３２０
π
狓＝－ ＋犽π，犽∈犣．
４
π
又由３π＜－ ＋犽π＜５π，犽∈犣可知犽＝４或犽＝５，因此
４
１５π １９π
狓＝ 或狓＝ ．
４ ４
由图７３２０还可得到不等式
ｔａｎ狓＞－１
（ ）
π π
的解集为 － ＋犽π， ＋犽π （犽∈犣）．
４ ２
７．３ 三角函数的性质与图象 ６１例２同样可以通过正切函数的图象———正切曲线求解．

* !>
由上面可以知道，即使给出的三角函数值是特殊值，求对应的角也并不
容易．不过，借助计算器或者计算机软件，给定三角函数值可以求出特定范
围内的角．
由图７３１８或正弦曲线可以看出，任意给定一个狔∈［－１，１］，满足
［ ］
π π
ｓｉｎ狓＝狔的狓在区间 － ， 内只有一个，利用计算器或计算机软件可以
２ ２
方便地求出这个狓的值．不过，在不同的计算器或计算机软件中，表示满
足条件的狓的符号不同．
例如，很多科学计算器用ＳＩＮ－１狔表示
满足条件的狓值，如图７３２１所示．此时，
［ ］
π π
要在区间 － ， 内求出满足ｓｉｎ狓＝０．５
２ ２
图７３２１
的狓值，只要输入ＳＩＮ－１０．５即可．
在Ｅｘｃｅｌ中，用ＡＳＩＮ（狔）表示满足条件的狓值．如图７３２２所示，在
π
Ｅｘｃｅｌ的任意一个单元格输入 “＝ＡＳＩＮ（０．５）”，就能得到 的小数形式．
６
在ＧｅｏＧｅｂｒａ中，用ａｒｃｓｉｎ（狔）和ａｓｉｎｄ（狔）
表示满足条件的狓值，但前者得到的是弧度
值，后者得到的是角度值．在ＧｅｏＧｅｂｒａ的运
π
算区中，输入 “ａｒｃｓｉｎ（０．５）”，就能得到 ，如
６
图７３２３（１）所示；输入 “ａｓｉｎｄ（０．５）”，就能得 图７３２２
到３０°，如图７３２３（２）所示．
 
图７３２３
事实上，在数学中，任意给定一个狔∈［－１，１］，当ｓｉｎ狓＝狔且狓∈
［ ］
π π
－ ， 时，通常记作
２ ２
６ ２ 第七章 三角函数狓＝ａｒｃｓｉｎ狔．
因此，不难知道
（ ）
１ π 槡３
ａｒｃｓｉｎ ＝ ，ａｒｃｓｉｎ－ ＝ ，ａｒｃｓｉｎ１＝ ．
２ ６ ２
类似地，我们有：
在区间［０，π］内，满足ｃｏｓ狓＝狔（狔∈［－１，１］）的狓只有一个 （参见
图７３１９或余弦曲线），这个狓记作ａｒｃｃｏｓ狔，即
狓＝ａｒｃｃｏｓ狔；
（ ）
π π
在区间 － ， 内，满足ｔａｎ狓＝狔（狔∈犚）的狓只有一个 （参见图
２ ２
７３２０或正切曲线），这个狓记作ａｒｃｔａｎ狔，即
狓＝ａｒｃｔａｎ狔．
上述狓的值也都可以用计算器或计算机软件得到，而且符号类似，这
里不再重复．
"
? 是否存在狓，使得ｓｉｎ狓＝槡３？若存在，求出狓的值；若不存在，说明理由．
? 分别求满足下列条件的狓的值．
［ ］ ［ ］
槡３ π 槡３ π
（１）ｓｉｎ狓＝ ，狓∈ ０， ； （２）ｃｏｓ狓＝ ，狓∈ ０， ；
２ ２ ２ ２
［ ） ［ ］
π π
（３）ｔａｎ狓＝槡３，狓∈ ０， ； （４）ｓｉｎ狓＝１，狓∈ ０， ．
２ ２
槡２
? 求满足条件ｓｉｎ狓＝－ 的狓的值．
２
? 求满足条件ｔａｎ狓＝槡３的狓的值．
? 分别写出满足下列条件的狓值的范围．
槡３
（１）１＋ｔａｎ狓≥０； （２）ｃｏｓ狓－ ＜０．
２
#
? 分别求满足下列条件的狓的值．
［ ］ ［ ］
槡３ π π １ π ３π
（１）ｓｉｎ狓＝－ ，狓∈ － ， ； （２）ｃｏｓ狓＝－ ，狓∈ ， ；
２ ２ ２ ２ ２ ２
（３）ｓｉｎ狓＝０，狓∈［０，２π］； （４）ｃｏｓ狓＝１，狓∈［０，２π］．
７．３ 三角函数的性质与图象 ６３（ ） ［ ］
π 槡２ π ５π
? 求满足条件ｃｏｓ３狓＋ ＝ ，狓∈ ， 的狓的值．
４ ２ ６ ６
（ ）
π 槡３
? 求满足条件ｔａｎ３狓－ ＝ 的狓的值．
６ ３
槡３
? 求不等式ｓｉｎ狓≥ 的解集．
２
? 用计算器或计算机软件求出以下各式的值 （精确到０．００１）．
!
槡３ 槡２
（１）ａｒｃｓｉｎ ； （２）ａｒｃｃｏｓ ；
２ ２
（３）ａｒｃｔａｎ１； （４）ａｒｃｓｉｎ０．
（ ）
５π ７π
? 用合适的符号表示满足条件ｔａｎ狓＝－２且狓∈ ， 的狓的值，并用计算器或
! ２ ２
计算机软件得出其近似值 （精确到０．００１）．
１ １ π π
  －  １  －１  － 
２ ２ ３ ２
"
? 求下列函数的定义域．
１ １
（１）狔＝ ； （２）狔＝ ；
１＋ｓｉｎ狓 １－ｃｏｓ狓
１
（３）狔＝槡ｔａｎ狓； （４）狔＝ ．
ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓
? 求下列函数的周期．
（ ）
３狓 １ π
（１）狔＝ｓｉｎ ； （２）狔＝ ｓｉｎ －２狓；
４ ２ ３
（ ）
狓 π ２狓
（３）狔＝３ｃｏｓ ＋ ； （４）狔＝ｔａｎ ．
２ ３ ３
? 求下列函数的最大值和最小值，并求函数取得这些值时狓的集合．
１
（１）狔＝－３ｃｏｓ狓； （２）狔＝ ｓｉｎ狓－１；
２
（ ） （ ）
π π
（３）狔＝２ｃｏｓ２狓－ ； （４）狔＝－２ｓｉｎ狓＋ ＋３．
３ ４
? 判断下列函数的奇偶性．
（１）狔＝－２ｓｉｎ２狓； （２）狔＝｜ｓｉｎ狓｜；
（３）狔＝３ｃｏｓ狓＋１； （４）狔＝ｔａｎ狓－１．
６ ４ 第七章 三角函数? 作出下列函数的简图．
（１）狔＝１－ｓｉｎ狓，狓∈［０，２π］； （２）狔＝２ｃｏｓ狓－１，狓∈［０，２π］．
（ ）
π
? （１）由余弦曲线怎样得到函数狔＝ｃｏｓ狓＋ 的图象？
３
（ ）
π
（２）由狔＝ｓｉｎ３狓的图象怎样得到函数狔＝ｓｉｎ３狓－ 的图象？
４
（３）求函数狔＝４ｓｉｎ狓，狓∈［－π，π］的单调区间．
（ ）
π
（４）判断函数狔＝ｃｏｓ狓＋ 的奇偶性．
３
? 分别求满足下列条件的狓的值．
［ ］
１ π π １
（１）ｓｉｎ狓＝－ ，狓∈ － ， ； （２）ｃｏｓ狓＝－ ，狓∈［０，２π］；
２ ２ ２ ２
［ ］
π π
（３）ｓｉｎ２狓＝０，狓∈ － ， ； （４）ｔａｎ狓＝槡３．
２ ２
#
（ ）
π
? 把函数狔＝ｓｉｎ２狓＋ 的图象进行怎样的变换，就能得到函数狔＝－ｃｏｓ２狓－２的
４
图象？（用两种方法实现）
（ ）
π
? 把函数狔＝ｓｉｎ３狓的图象进行怎样的变换，就能得到函数狔＝ｃｏｓ３狓＋ 的
２
图象？
? 求下列函数的值域．
［ ］ （ ） ［ ］
π ５π π π ３π
（１）狔＝ｓｉｎ狓，狓∈ ， ； （２）狔＝ｃｏｓ狓－ ，狓∈ ， ．
４ ４ ３ ２ ２
? 求下列函数的最大值和最小值，以及使函数取得这些值时狓的值．
１ １
（１）狔＝ ； （２）狔＝ ；
１＋ｃｏｓ２狓 ５ｓｉｎ２狓＋１
（３）狔＝２－（ｓｉｎ狓＋１）２； （４）狔＝ｃｏｓ２狓＋２ｓｉｎ狓－３．
（ ）
π
? 作出函数狔＝－２ｃｏｓ狓－ 在一个周期内的图象．
３
? 作出函数狔＝ ｓｉｎ狓的图象，观察图象写出它的周期，并用周期函数的定义
加以证明．
（ ）
π
? 下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间 ，π上单调递减的是 （ ）．
２
（Ａ）狔＝ｃｏｓ狓 （Ｂ）狔＝２ｓｉｎ狓
７．３ 三角函数的性质与图象 ６５狓
（Ｃ）狔＝ｃｏｓ （Ｄ）狔＝ｔａｎ狓
２
（
? 已知函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ ）＋犅 其中犃，ω， φ ，犅均为常 y
3
）
数，犃＞０，｜φ｜＜π 的部分图象如右图所示，写出与之对
O
应的一个函数解析式．
− π π x
? 已知电流犻随时间狋变化的关系式是 3 2
（第８题）
（ ）
π
犻＝５ｓｉｎ１００π狋＋ ，狋∈［０，＋∞）．
３
（１）求电流犻的周期、频率、振幅和初相；
１ １ ７ １
（２）分别求狋＝０， ， ， ， 时的电流．
６００ １５０ ６００ ６０
（ ）
π
﹣ 求函数狔＝－２ｓｉｎ３狓－ 的周期、振幅以及单调区间．
６
﹣ 用计算器或计算机软件分别求下列各式中狓的值 （精确到０．００１）．
! ［ ］ ［ ］
３ π １ π
（１）ｓｉｎ狓＝ ，狓∈ ，π ； （２）ｃｏｓ２狓＝ ，狓∈ － ，０ ；
５ ２ ３ ２
［ ）
１ π
（３）ｔａｎ狓＝ ，狓∈ ０， ．
２ ２
６ ６ 第七章 三角函数．
! %! .3456789:;2%<=
按照优势互补的原则，跟其他同学组成一个数学建模小组，采用分工合
作的方式，寻找日常生活或其他学科中有关的周期现象，借助合适的仪器，
采集数据，并尝试通过建立与三角函数有关的数学模型去描述该周期现象．
".
完整的数学建模活动一般要经历选题、开题、做题、结题四个过程．选
题是指根据要求选定合适的研究对象的过程，开题是指讨论与确定建模步骤
的过程，做题是指按照讨论的步骤进行实际建模的过程，结题是指总结与交
流的过程．
数学建模的过程中，一般都要借助计算机软件进行作图、计算、数据整
理等．可以借助的软件，除了我们教材中使用的ＧｅｏＧｅｂｒａ和Ｅｘｃｅｌ之外，
还可以使用 ＭＡＴＬＡＢ，Ｍａｐｌｅ，Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ，ＳＰＳＳ等．整理数学建模的
论文，可以使用 Ｗｏｒｄ，ＬａＴｅｘ等．
以下周期性现象与知识可供参考．
１海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮
叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后
落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深值 （单位：ｍ）
记录表．
时刻 ０：００ ３：００ ６：００ ９：００ １２：００ １５：００ １８：００ ２１：００ ２４：００
水深值 ５．０ ７．５ ５．０ ２．５ ５．０ ７．５ ５．０ ２．５ ５．０
（１）选用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深值与时间的函数关
系，给出整点时水深的近似数值；
（２）一条货船的吃水深度 （船底与水面的距离）为４ｍ，安全条例规定
至少要有１．５ｍ的安全间隙 （船底与海底的距离），该船何时能进入港口？
在港口能停多久？
（３）某船的吃水深度为４ｍ，安全间隙为１．５ｍ，该船在２：００开始卸
货，吃水深度以每小时０．３ｍ的速度减小，那么该船在什么时间必须停止卸
７．４ 数学建模活动：周期现象的描述 ６７货，将船驶向较深的水域？
２单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达为狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ ），其
｜ω｜
中狓表示时间，狔表示位移，犃表示振幅， 表示频率，
φ
表示初相位．
２π
图７４１是单摆的示意图．点犗为摆球的平衡位
置．如果规定摆球向右偏移的位移为正，则当摆球到
达点犆时，摆球的位移狔达到最大值犃；当摆球到达
点犗时，摆球的位移狔为０；当摆球到达点犇时，摆
球的位移狔达到反向最大值－犃；当摆球再次到达点
D C
犗时，摆球的位移狔又一次为０；当摆球再次到达点犆
O
时，摆球的位移狔又一次达到最大值犃．这样周而复
图７４１
始，形成周期变化．
３音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为狔＝犃ｓｉｎω狓，其中狓表
｜ω｜
示时间，狔表示纯音振动时音叉的位移， 表示纯音振动的频率 （对应音
２π
高），犃表示纯音振动的振幅 （对应音强）．
４交变电流可以用三角函数表达为狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ ），其中狓表示时
｜ω｜
间，狔表示电流，犃表示最大电流， 表示频率，
φ
表示初相位．
２π
６ ８ 第七章 三角函数
  
本章我们把０°～３６０°的角推广到了任意角，并学习了弧度制和任意角的三角函
数，以及三角函数的性质与图象．参考以下的知识结构图示例，请你作出自己理解
的本章知识结构图，并和同学们一起交流，看看各自的图的优点是什么．
       
   
   
    

  
 
古希腊地理学家埃拉托色尼用下面的方法估算地球周长．他从书中得知，位于
尼罗河第一瀑布的塞伊尼 （现在的阿斯旺，在北回归线上），夏至那天正午立竿无
影；同样在夏至那天，他所在的城市———埃及北部的亚历山大城，立杆可测得日影
角大约为７°．埃拉托色尼猜想造成这个差异的原因在于地球是圆的，并且因为太阳
距离地球很远 （现代科学测量得知，太阳光到达地球表面需要８．３ｍｉｎ，光速
３０００００ｋｍ／ｓ），太阳光平行照射在地球上．根据平面几何知识，平行线内错角相
等，因此日影角与两地对应的地心角相等．他又派人测得两地距离大约为５０００希腊
里，约合８００ｋｍ；因为３６０°大约为７°的５０倍，于是他估算地球周长约为８００×５０＝
４００００ （ｋｍ），这与地球实际周长４００７６ｋｍ相差无几．
（１）试作出平面示意图；
（２）试由埃拉托色尼的估算结果，给出你的推理过程；
（３）查阅网络或有关文献，了解三角函数知识在日常生活中的应用，任选一个
主题，将所收集得到的材料整理成演讲稿，并与其他同学交流．
 
犃组
１若角α的终边落在直线狔＝－３狓上，求ｓｉｎα和ｃｏｓα的值．
本章小结 ６９ｓｉｎ狓 ｜ｃｏｓ狓｜ ｔａｎ狓
２求函数狔＝ ＋ ＋ 的值域．
｜ｓｉｎ狓｜ ｃｏｓ狓 ｜ｔａｎ狓｜
３确定下列三角函数值的符号．
（１）ｓｉｎ４； （２）ｃｏｓ５；
（３）ｔａｎ８； （４）ｔａｎ（－３）．
４已知ｓｉｎ狓＝２ｃｏｓ狓，求角狓的正弦、余弦、正切．
５化简 槡１＋２ｓｉｎ（π－２）ｃｏｓ（π－２）．
６已知ｔａｎα＝３，分别求下列各式的值．
４ｓｉｎα－２ｃｏｓα
（１） ； （２）ｓｉｎαｃｏｓα；
５ｃｏｓα＋３ｓｉｎα
（３）（ｓｉｎα＋ｃｏｓα）２； （４）２ｓｉｎ２α＋ｓｉｎαｃｏｓα－３ｃｏｓ２α．
１
７已知ｓｉｎ（π＋α）＝－ ，分别求下列各式的值．
２
（１）ｃｏｓ（２π－α）； （２）ｔａｎ（α－７π）．
（ ）
２５π ２５π ２５π
８求ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ＋ｔａｎ－ 的值．
６ ３ ４
９证明下列恒等式．
１
（１）ｃｏｓ２α＋２ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２αｔａｎ２α＝ ；
ｃｏｓ２α
（２）ｃｏｓ２α（２＋ｔａｎα）（１＋２ｔａｎα）＝２＋５ｓｉｎαｃｏｓα．
１０判断下列函数的奇偶性．
（１）狔＝狓２＋ｃｏｓ狓； （２）狔＝｜２ｓｉｎ狓｜；
（３）狔＝狓２ｓｉｎ狓．
１１用五点法作出下列函数在一个周期的闭区间上的简图．
（ ） （ ）
π １ π
（１）狔＝ｓｉｎ２狓＋ ； （２）狔＝２ｃｏｓ 狓－ ．
４ ２ ３
（ ）
π
１２写出函数狔＝２ｓｉｎ５狓＋ 的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得
６
出它的图象，求出它的最大值以及取最大值时狓的值．
１３根据下列条件，求△犃犅犆的内角犃．
１ 槡３
（１）ｓｉｎ犃＝ ； （２）ｔａｎ犃＝－ ．
２ ３
（ ）
π
１４函数狔＝ｓｉｎ狓－ 的图象是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴方程是
４
什么？
７ ０ 第七章 三角函数１５如图为一个摩天轮示意图．该摩天轮圆半径为４．８ｍ，圆上最低点与地面距
离为０．８ｍ，６０ｓ转动一周．图中犗犃与地面垂直．以犗犃为始边，逆时针转动θ角
到犗犅．设犅点与地面的距离为犺ｍ．
（１）求犺与θ的函数解析式；
（２）设从犗犃开始转动，经过狋ｓ到达犗犅，求犺与狋的函数解析式．
B
O
θ h
A
（第１５题）
犅组
１一个扇形的弧长与面积的数值都是５，求这个扇形中心角的度数．
２已知α为第二象限的角，化简
槡
１－ｓｉｎα
槡
１－ｃｏｓα
ｃｏｓα ＋ｓｉｎα ．
１＋ｓｉｎα １＋ｃｏｓα
３求证：
１＋ｓｉｎα＋ｃｏｓα＋２ｓｉｎαｃｏｓα
＝ｓｉｎα＋ｃｏｓα．
１＋ｓｉｎα＋ｃｏｓα
４ 将 函 数狔＝ｓｉｎ２狓 的 图 象 经 过 怎 样 的 变 换，就 能 得 到 函 数狔＝
（ ）
π
－ｓｉｎ２狓＋ 的图象？
５
５求下列函数的单调递减区间．
（ ） （ ）
π π 狓
（１）狔＝３ｃｏｓ２狓－ ，狓∈犚； （２）狔＝３ｓｉｎ － ，狓∈犚．
３ ６ ３
６求满足下列关系式的狓的集合．
（１）１＋槡３ｔａｎ狓＝０，狓∈犚； （２）ｔａｎ狓－１＝０，狓∈犚；
槡３
（３）ｃｏｓ（π－狓）＝－ ，狓∈犚； （４）２ｓｉｎ２狓＝１，狓∈犚．
２
７利用单位圆中的正弦线、余弦线或三角函数图象解下列各题．
（１）求满足不等式２ｃｏｓ狓＋１≤０的狓的集合；
（２）求函数狔＝槡１－２ｓｉｎ狓的定义域．
本章小结 ７１８如图所示，某地一天从６时至１４时的温度变化曲线近似满足函数
狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ ）＋犫，
其中犃＞０，且函数在６时与１４时分别取得最小值 （最低温度）和最大值 （最高温度）．
（１）求这段时间的最大温差；
（２）写出这段曲线的函数解析式．
y

30
20
10
O 6 8 10 1214 x/
（第８题）
７ ２ 第七章 三角函数书书书让我们再来考察由摩天轮抽象出的问题．
右图是摩天轮的示意图．我们考察摩天
轮转轮上的两个座椅犘，犙的转动．设转轮 y
Q
静止时，犗犘平行于地面．现在的问题是，
P
β
当座椅犘逆时针转动角α后，如果知道座椅 α
O x
犘到地面的距离，如何计算座椅犙到地面的
距离？
以转轮的中心犗为坐标原点建立平面直
角坐标系狓犗狔，不妨设摩天轮的转轮半径为
单位长．由于转轮中心犗到地面的距离为定值，则上述问题就可转化为如
下的数学问题．
已知单位圆上两点犘，犙，记∠狓犗犘＝α，∠犘犗犙＝β ，则点犘的纵
坐标为ｓｉｎα，点犙的纵坐标为ｓｉｎ（α＋β ）．
由问题的已知条件，容易求出ｓｉｎα，ｃｏｓα，ｓｉｎβ ，ｃｏｓβ．现在要
问，能否由α，
β
的正弦和余弦求出ｓｉｎ（α＋β ）？
事实上，我们在研究三角函数式的变形或计算时，经常提出这样的问
题：能否用α，
β
的三角函数去表示α±β 的三角函数？为了解决这类问
题，本章首先学习向量数量积的知识，然后用向量方法推证α－β 的余弦
与α，
β
的正弦、余弦的关系式，进而研究α±β 的正弦、正切公式．在此
基础上推证倍角公式、半角公式以及积化和差、和差化积公式．这些公式
是进行三角恒等变换的基础，有着广泛的应用．．
! "!"#$%#&
8.1.1  

我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的
功．如图８１１所示，如果作用在小车上的力犉的大小为｜犉｜Ｎ，小车在水平面上位
移狊的大小为｜狊｜ｍ，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的
功为
犠＝｜犉｜｜狊｜ｃｏｓθ．
F F
θ
s
图８１１
（１）显然，功犠与力向量犉及位移向量狊有关，这三者之间有什么关系？
（２）给定任意两个向量犪，犫，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确
定的方法；如果不能，说明理由．
情境与问题中的功犠由向量犉和狊的大小以及这两个向量方向的差异
确定．一般地，给定任意两个向量犪，犫，能确定出一个类似的标量，这也
就是本小节我们要学习的向量的数量积．

 F+>
→ →
给定两个非零向量犪，犫，在平面内任选一点犗，作犗犃＝犪，犗犅＝犫，
则称［０，π］内的∠犃犗犅为向量犪与向量犫的夹角，记作〈犪，犫〉．
π
例如，图８１２中，向量犪与犫的夹角为 ，即〈犪，犫〉＝ ．
４
８．１ 向量的数量积 ７５b B d
b
c
O a A
a e
图８１２
π π
类似地，图８１２中，向量犪与犮的夹角为 ，即〈犪，犮〉＝ ；向量
２ ２
犪与犱的夹角为０，即〈犪，犱〉＝０；向量犪与犲的夹角为π，即〈犪，犲〉＝
 ．
A(
如果犪，犫是两个非零向量，那么
（１）〈犪，犫〉的取值范围是什么？
（２）〈犪，犫〉＝〈犫，犪〉是否成立？
根据向量夹角的定义可知，两个非零向量的夹角是唯一确定的，而且
０≤〈犪，犫〉≤π，
〈犪，犫〉＝〈犫，犪〉．
π
当〈犪，犫〉＝ 时，称向量犪与向量犫垂直，记作犪⊥犫．由于零向量方
２
向是不确定的，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直．

 FF/+
一般地，当犪与犫都是非零向量时，称｜犪｜｜犫｜ｃｏｓ〈犪，犫〉为向量犪与犫
的数量积 （也称为内积），记作犪·犫，即
犪·犫＝｜犪｜｜犫｜ｃｏｓ〈犪，犫〉．
由定义可知，两个非零向量犪与犫的数量积是一个实数，这与向量的加
法、减法以及数乘向量的结果仍是一个向量不同．
A(
如果犪，犫都是非零向量，那么犪·犫可以是正数吗？可以是负数吗？可以是
零吗？你能举出实例加以说明吗？
７ ６ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换观察两个非零向量犪与犫的数量积的定
义可知，犪·犫的符号由ｃｏｓ〈犪，犫〉决定，
从而也就是由〈犪，犫〉的大小决定．
例如，图８１３中，
d c
b
犪·犫＞０，犪·犮＝０，犪·犱＜０．
a
这就是说，两个非零向量的数量积既可
以是正数，也可以是零，还可以是负数．
图８１３
如果犪，犫都是非零向量，依照定义还
可以得出向量的数量积有如下性质 （请读者自行说明理由）．
（１）｜犪·犫｜≤｜犪｜｜犫｜；
（２）犪·犪＝｜犪｜２，即｜犪｜＝槡犪·犪．
一般地，犪·犪可以简写为犪２，因此上述性质（２）也可改写为犪２＝｜犪｜２．
为了方便起见，当犪与犫至少有一个是零向量时，称它们的数量积 （即
内积）为０，即犪·犫＝０．这样一来，任意给定两个平面向量，都有确定的
数量积，而且上述数量积的性质还都成立．
另外，我们还能得到数量积的如下性质．
犪与犫垂直的充要条件是它们的数量积为０，即
犪⊥犫犪·犫＝０．
（１）已知｜犪｜＝５，｜犫｜＝４，〈犪，犫〉＝１２０°，求犪·犫；


（２）已知｜犪｜＝３，｜犫｜＝２，犪·犫＝３，求〈犪，犫〉．
（１）由已知可得

犪·犫＝｜犪｜｜犫｜ｃｏｓ〈犪，犫〉
＝５×４×ｃｏｓ１２０°＝－１０．
（２）由犪·犫＝｜犪｜｜犫｜ｃｏｓ〈犪，犫〉可知
３＝３×２×ｃｏｓ〈犪，犫〉，
１
因此ｃｏｓ〈犪，犫〉＝ ，从而可知〈犪，犫〉＝ ．
２
由例１（２）可以看出，如果犪，犫都是非零向量，则
犪·犫
ｃｏｓ〈犪，犫〉＝ ．
｜犪｜｜犫｜

 F+ FF/+
→
如图８１４所示，设非零向量犃犅＝犪，过犃，犅分别作直线犾的垂线，垂足
８．１ 向量的数量积 ７７→
分别为犃′，犅′，则称向量犃′犅′为向量犪在直线犾上的投影向量或投影．
B
a B a
A A
A′ B′ l b A′ B′ l
图８１４ 图８１５
类似地，给定平面上的一个非零向量犫，设犫所在的直线为犾，则犪在
直线犾上的投影称为犪在向量犫上的投影．如图８１５中，向量犪在向量犫
→
上的投影为犃′犅′．可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与
这个非零向量共线，但它们的方向既有可能相同，也有可能相反．
A(
→ →
如果犪，犫都是非零向量，且犪在犫上的投影为犃′犅′，那么向量犃′犅′的方向、
长度与〈犪，犫〉有什么关联？
如图８１６（１）（２）（３）所示．
π →
当〈犪，犫〉＜ 时，犃′犅′的方向与犫的方向相同，而且
２
→
｜犃′犅′｜＝｜犪｜ｃｏｓ〈犪，犫〉；
π → →
当〈犪，犫〉＝ 时，犃′犅′为零向量，即｜犃′犅′｜＝０；
２
π →
当〈犪，犫〉＞ 时，犃′犅′的方向与犫的方向相反，而且
２
→
｜犃′犅′｜＝－｜犪｜ｃｏｓ〈犪，犫〉．
a
a a
〈a,b〉 〈a,b〉 〈a,b〉
A′ B′ b A′(B ′) b B′ A′ b
  
图８１６
一般地，如果犪，犫都是非零向量，则称｜犪｜ｃｏｓ〈犪，犫〉为向量犪在向量
犫上的投影的数量．投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能
是非负数，也可能是负数．
因为
７ ８ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换犪·犫＝｜犪｜｜犫｜ｃｏｓ〈犪，犫〉＝（｜犪｜ｃｏｓ〈犪，犫〉）｜犫｜，
所以两个非零向量犪，犫的数量积犪·犫，等于犪在向量犫上的投影的数量与
犫的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．
特别地，当犲为单位向量时，因为｜犲｜＝１，所以
犪·犲＝｜犪｜ｃｏｓ〈犪，犲〉，
即任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在单位向量犲上的投影的数量．
如图８１７所示，求出以下向量的数量积．


（１）犫·犪； （２）犮·犪； （３）犱·犪．
（１）（方法一）由图可知， c

d b
π
｜犪｜＝１，｜犫｜＝槡２，〈犫，犪〉＝ ，
４
a
因此
图８１７
π
犫·犪＝槡２×１×ｃｏｓ ＝１．
４
（方法二）由图可以看出，向量犫在向量犪上的投影的数量为１，且犪
为单位向量，因此根据向量数量积的几何意义可知犫·犪＝１．
π
（２）由图可知，〈犮，犪〉＝ ，因此犮·犪＝ ．
２
（３）由图可知，向量犱在向量犪上的投影的数量为－１，且犪为单位
向量，因此根据向量数量积的几何意义可知
犱·犪＝ ．
"
? 根据以下条件，分别求犪·犫．
（１）｜犪｜＝８，｜犫｜＝４，〈犪，犫〉＝６０°； （２）｜犪｜＝７，｜犫｜＝１２，〈犪，犫〉＝１２０°；
π
（３）｜犪｜＝４，｜犫｜＝２，〈犪，犫〉＝ ； （４）｜犪｜＝４，｜犫｜＝１，〈犪，犫〉＝０．
２
? 根据以下条件，分别求〈犪，犫〉．
（１）犪·犫＝５，｜犪｜｜犫｜＝１０； （２）犪·犫＝－８，｜犪｜｜犫｜＝１６；
（３）犪·犫＝－２５，｜犪｜＝｜犫｜＝５； （４）犪·犫＝６槡３，｜犪｜＝２，｜犫｜＝６．
→ → →
? 如图，已知犗犃，犗犅，犗犆的模均为５，且∠犃犗犅＝∠犅犗犆＝
C B
→ → → →
６０°，求犗犃·犗犅，犗犃·犗犆．
? 已知｜犪｜＝５，犫在犪上的投影的数量为６，而犮在犪上的投影
O A
的数量为－８，求犫·犪，犮·犪． （第３题）
? 已知｜犪｜＝３，｜犫｜＝５，且〈犪，犫〉＝４５°，求犪在犫上的投影的数量．
８．１ 向量的数量积 ７９#
→ → → →
? 已知△犃犅犆是边长为２的等边三角形，求犃犅·犃犆，犃犅·犆犃．
? 判断下列命题的真假．
（１）若向量犪，犫共线，则犪·犫＝｜犪｜｜犫｜；
（２）若向量犪，犫满足犪·犫＝０，则犪＝０或犫＝０．
? 两个非零向量犪，犫的数量积犪·犫，是否等于犫在向量犪上的投影的数量与犪
的模的乘积？
? 如图所示，求出以下向量的数量积．
（１）犫·犪； （２）犮·犪； （３）犱·犪； （４）犲·犪．
b
d e
c
a
（第４题）
? 已知犃犃犃犃犃犃 是一个正六边形，将下列向量的数量积按从小到大的顺
１ ２ ３ ４ ５ ６
→ → → → → → → →
序排列：犃犃·犃犃，犃犃·犃犃，犃犃·犃犃，犃犃·犃犃．
１ ２ １ ３ １ ２ １ ４ １ ２ １ ５ １ ２ １ ６
π π
 π  ０  －１
４ ３
8.1.2  
A(
我们已经知道，很多运算都满足一定的运算律．例如，向量的加法满足交换
律，数乘向量对加法满足分配律，即对任意向量犪，犫以及实数λ，有
犪＋犫＝犫＋犪，λ（犪＋犫）＝λ犪＋λ犫．
根据向量数量积的定义，探讨向量数量积的运算满足哪些运算律，并说明理由．
当犪，犫是两个非零向量时，因为〈犪，犫〉＝〈犫，犪〉，所以根据
犪·犫＝｜犪｜｜犫｜ｃｏｓ〈犪，犫〉，犫·犪＝｜犫｜｜犪｜ｃｏｓ〈犫，犪〉
８ ０ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换可知
犪·犫＝犫·犪，
即向量的数量积满足交换律．
当λ是实数且犪，犫是向量时，λ犪是向量，（λ犪）·犫与λ（犪·犫）都是实
数，那么这两个实数相等吗？答案是肯定的，即
（λ犪）·犫＝λ（犪·犫）
恒成立．
事实上，当犪，犫都是非零向量且λ≠０时，
（１）如果λ＞０，则｜λ犪｜＝λ｜犪｜，且λ犪的方向与犪的方向相同，从而
〈λ犪，犫〉＝〈犪，犫〉，
因此
λ（犪）·犫＝｜λ犪｜｜犫｜ｃｏｓ〈λ犪，犫〉＝λ｜犪｜｜犫｜ｃｏｓ〈犪，犫〉＝λ（犪·犫）；
（２）如果λ＜０，则｜λ犪｜＝－λ｜犪｜，且λ犪的方向与犪的方向 ，从而
〈λ犪，犫〉＝π－〈犪，犫〉，
因此
λ（犪）·犫＝｜λ犪｜｜犫｜ｃｏｓ〈λ犪，犫〉＝－λ｜犪｜｜犫｜ｃｏｓ（π－〈犪，犫〉）
＝λ｜犪｜｜犫｜ｃｏｓ〈犪，犫〉＝λ（犪·犫）．
当犪，犫中至少有一个是零向量或λ＝０时，显然也有λ（犪）·犫＝λ（犪·犫）．
当然，用同样的方法可以得到犪·λ（犫）＝λ（犪·犫）．
A(
当犪，犫，犮都是向量时，（犪＋犫）·犮，犪·犮，犫·犮都是实数吗？如果是，这３
个实数之间有什么关系？
因为犪，犫是向量时，犪＋犫仍是向量，因此（犪＋犫）·犮，犪·犮，犫·犮
都是实数，而且，从形式上可以猜出
（犪＋犫）·犮＝犪·犮＋犫·犮，
也就是向量的数量积对加法满足分配律．
那么，怎样才能确定这个结论成立呢？如果直接从数量积的定义来考
虑，将需要讨论〈犪＋犫，犮〉，〈犪，犮〉，〈犫，犮〉等之间的关系，是比较烦琐的．
下面我们从数量积的几何意义来考虑．
当犪，犫，犮中至少有一个是零向量时，分配律显然成立．因此下面只
要说明犪，犫，犮都不是零向量的情形即可．
８．１ 向量的数量积 ８１犮
此时，｜犮｜≠０，设犮＝ ，即犮是与犮同向的单位向量．
０ ｜犮｜ ０
如图８１８所示，设点犗与犮都在直线犾上，且
０
→ →
犗犃＝犪，犃犅＝犫，
→ → →
则犗犅＝犗犃＋犃犅＝犪＋犫．
B
b
A
a a+b
O c 0 A¢ B¢ l
图８１８
过犃，犅分别作直线犾的垂线犃犃′，犅犅′，则由向量投影的定义可知，
→ →
犪在犮上的投影为犗犃′，犫在犮 上的投影为犃′犅′，犪＋犫在犮 上的投影为
０ ０ ０
→
犗犅′．又因为
→ → →
犗犅′＝犗犃′＋犃′犅′，
所以根据向量数量积的几何意义可知
（犪＋犫）·犮＝犪·犮＋犫·犮，
０ ０ ０
在这个式子两边同时乘以｜犮｜，即可知
（犪＋犫）·犮＝犪·犮＋犫·犮．
由向量数量积满足以上的运算律还可得到
犪·（犫＋犮）＝犪·犫＋犪·犮，
（犪－犫）·犮＝犪·犮－犫·犮
等，请读者自行说明理由．
求证：


（１）（犪＋犫）·（犪－犫）＝犪２－犫２； （２）（犪＋犫）２＝犪２＋２犪·犫＋犫２．
（１）（犪＋犫）·（犪－犫）＝犪·（犪－犫）＋犫·（犪－犫）

＝犪·犪－犪·犫＋犫·犪－犫·犫
＝犪２－犫２．
（２）（犪＋犫）２＝（犪＋犫）·（犪＋犫）
＝犪·（犪＋犫）＋犫·（犪＋犫）
＝犪·犪＋犪·犫＋犫·犪＋犫·犫
＝犪２＋２犪·犫＋犫２．
例１（２）实际上将犪＋犫，犪，犫这三个向量的模与犪·犫联系起来了．而
且，利用完全类似的方法，还可证明：
（犪－犫）２＝犪２－２犪·犫＋犫２，
８ ２ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换请读者自行尝试．这些结论以后均可直接使用．
（１）已知｜犪｜＝２，｜犫｜＝１，〈犪，犫〉＝６０°，求｜犪＋２犫｜；


（２）已知｜犪＋犫｜＝｜犪－犫｜，求犪·犫．
（１）由题意可知

犪２＝４，犫２＝ ，犪·犫＝２×１×ｃｏｓ６０°＝１，
所以
｜犪＋２犫｜２＝（犪＋２犫）２
＝犪２＋４犪·犫＋４犫２
＝４＋４×１＋４×１
＝１２，
因此｜犪＋２犫｜＝ ．
（２）由题意可知｜犪＋犫｜２＝｜犪－犫｜２，即 （犪＋犫）２＝（犪－犫）２，因此
犪２＋２犪·犫＋犫２＝犪２－２犪·犫＋犫２，
因此犪·犫＝ ．
利用向量证明菱形的两条对角线互


A
相垂直．
如图８１９所示，已知犃犅犆犇是菱形，
B D
犃犆与犅犇是两条对角线．求证：犃犆⊥犅犇．
C
由已知可得

犃  犆 → ＝犃  犅 → ＋犃  犇 → ，犅  犇 → ＝犃  犇 → －犃  犅 → ， 图８１９
所以
→ → → → → →
犃犆·犅犇＝（犃犅＋犃犇）·（犃犇－犃犅）
→ →
＝｜犃犇｜２－｜犃犅｜２．
→ →
又因为犃犅犆犇是菱形，所以犃犅＝犃犇，即｜犃犅｜＝｜犃犇｜，因此
→ →
犃犆·犅犇＝０，
→ →
从而犃犆⊥犅犇，故犃犆⊥犅犇．
→ → → →
例３的证明中，实际上是选择了｛犃犅，犃犇｝为基底，然后将犃犆，犅犇
用这两个向量表示出来．选择合适的向量作为基底往往是用类似的向量方法
解决几何问题的关键．
利用向量证明三角形的三条高相交


于一点．
A
如图８１１０所示，已知△犃犅犆中，犅犈， E
F
O
犆犉分别为犃犆，犃犅边上的高，而且犅犈与
犆犉相交于点犗，连接犃犗并延长，与犅犆相 B C
D
交于点犇．求证：犃犇⊥犅犆．
图８１１０
８．１ 向量的数量积 ８３→ →
因为犅犈⊥犃犆，所以犗犅·犃犆＝ ，即

→ → →
犗犅·（犗犆－犗犃）＝０，
因此
→ → → →
犗犅·犗犆＝犗犅·犗犃． ①
→ →
又因为犆犉⊥犃犅，所以犗犆·犃犅＝０，即
→ → →
犗犆·（犗犅－犗犃）＝０，
因此
→ → → →
犗犆·犗犅＝犗犆·犗犃． ②
→ → → →
由①－②可得犗犅·犗犃－犗犆·犗犃＝０，因此
→ → →
（犗犅－犗犆）·犗犃＝０，
→ →
从而犆犅·犗犃＝０，故犅犆⊥犗犃，即犃犇⊥犅犆．
例４中的结论我们在初中几何中就已经遇到过，这里实际上是给出了严
格的证明，由此可见平面向量数量积的作用之大．
"
? 已知犪·犫＝３，求下列各式的值．
（１）犫·犪； （２）（－犪）·犫； （３）（－犫）·（３犪）．
１
? 求证：犪·犫＝ （｜犪＋犫｜２－｜犪｜２－｜犫｜２）．
２
? 已知向量犪，犫满足｜犪｜＝｜犫｜＝２，〈犪，犫〉＝１２０°，求｜犪－犫｜．
? 已知｜犪｜＝２，｜犫｜＝３，｜犪－犫｜＝槡７，求｜犪＋犫｜．
π
? 已知单位向量犪，犫的夹角为 ，求犪＋２犫与犪的夹角．
３
#
? 当犪，犫，犮都是向量时，（犪·犫犮）＝犪（犫·犮）是否成立？为什么？
? 已知｜犪｜＝３，｜犫｜＝４，〈犪，犫〉＝６０°，求（犪＋２犫）·（犪－３犫）．
? 已知｜犪｜＝６，｜犫｜＝８，且犫在犪上的投影的数量为－４，求｜犪＋犫｜，｜犪－犫｜．
→ → →
? 在△犃犅犆中，已知｜犃犅｜＝３，｜犅犆｜＝５，∠犃犅犆＝６０°，求｜犃犆｜．
? 已知犪，犫不共线，从几何上说明当｜犪＋犫｜＝｜犪－犫｜时，一定有犪·犫＝０．
? 利用向量的数量积证明如下结论．
（１）长方形的两条对角线相等；
（２）平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和．
 相反 １  槡１２＝２槡３ ０ ０
８ ４ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.1.3   

 F+  F+F/
我们知道，在平面直角坐标系中，分别给定与狓轴、狔轴正方向相同的
单位向量犲，犲之后，如果对于平面内的向量犪，有
１ ２
犪＝狓犲＋狔犲，
１ ２
则（狓，狔）就是向量犪的坐标，记作犪＝（狓，狔）．而且，犲｛ ，犲｝是一组单
１ ２
位正交基底，这就是说，
犲·犲＝犲·犲＝１，犲·犲＝犲·犲＝ ．
１ １ ２ ２ １ ２ ２ １
因此
犪·犲＝（狓犲＋狔犲）·犲＝狓犲·犲＋狔犲·犲＝狓．
１ １ ２ １ １ １ ２ １
类似地，有犪·犲＝狔，即犪＝（犪·犲）犲＋（犪·犲）犲． y
２ １ １ ２ ２ a⋅e
也就是说，犪在单位正交基底｛犲，犲｝下的坐标为 2
１ ２ a
（犪·犲，犪·犲），如图８１１１所示．这也可通过向量
１ ２ e
2
数量积的几何意义看出来，请读者自行尝试．
O e 1 a⋅e 1 x
下面我们讨论怎样通过向量的坐标来计算向
图８１１１
量的数量积等．
A(
设犪＝（狓，狔），犫＝（狓，狔），能否用犪，犫的坐标表示出犪·犫？
１ １ ２ ２
由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底犲｛ ，犲｝，使得
１ ２
犪＝狓犲＋狔犲，犫＝狓犲＋狔犲，
１ １ １ ２ ２ １ ２ ２
因此
犪·犫＝（狓犲＋狔犲）·（狓犲＋狔犲）
１ １ １ ２ ２ １ ２ ２
＝狓狓犲·犲＋狓狔犲·犲＋狔狓犲·犲＋狔狔犲·犲
１ ２ １ １ １ ２ １ ２ １ ２ ２ １ １ ２ ２ ２
＝狓狓＋狔狔，
１ ２ １ ２
从而
犪·犫＝狓狓＋狔狔．
１ ２ １ ２
由此可知，利用向量的坐标可以迅速地算出向量的数量积．
而且，当犪＝（狓，狔），犫＝（狓，狔）都不是零向量时，因为
１ １ ２ ２
｜犪｜２＝犪·犪＝狓２＋狔２，｜犫｜２＝犫·犫＝狓２＋狔２，
１ １ ２ ２
８．１ 向量的数量积 ８５所以
狓狓＋狔狔
ｃｏｓ〈犪，犫〉＝ １ ２ １ ２ ．
槡狓２＋狔２ 槡狓２＋狔２
１ １ ２ ２
也就是说，根据向量的坐标，还能方便地算出它们的模以及夹角等．
在平面直角坐标系中，如果犃（狓，狔），犅（狓，狔），则
１ １ ２ ２
→
犃犅＝（狓－狓，狔－狔），
２ １ ２ １
→ →
从而犃犅·犃犅＝（狓－狓）２＋（狔－狔）２，因此
２ １ ２ １
→
｜犃犅｜＝槡（狓－狓）２＋（狔－狔）２．
２ １ ２ １
这就是说，利用向量的数量积，同样可以方便地得出平面直角坐标系中两点
之间的距离公式．
已知犪＝（３，－１），犫＝（１，－２），求犪·犫，｜犪｜，｜犫｜，〈犪，犫〉．


由题意可知

犪·犫＝（３，－１）·（１，－２）＝３×１＋（－１）×（－２）＝５，
｜犪｜＝槡犪·犪＝槡３２＋（－１）２＝槡１０，
｜犫｜＝槡犫·犫＝槡１２＋（－２）２＝槡５．
又因为
犪·犫 ５ 槡２
ｃｏｓ〈犪，犫〉＝ ＝ ＝ ，
｜犪｜｜犫｜
槡１０×槡５
２
所以〈犪，犫〉＝ ．
已知点犃（１，２），犅（３，４），犆（５，０），求∠犅犃犆的余弦值．


因为

→
犃犅＝（３－１，４－２）＝（２，２），
→
犃犆＝（５－１，０－２）＝（４，－２），
所以
→ →
犃犅·犃犆＝２×４＋２×（－２）＝４，
→
｜犃犅｜＝槡２２＋２２＝槡８，
→
｜犃犆｜＝槡４２＋（－２）２＝槡２０，
因此
→ →
犃犅·犃犆 ４ 槡１０
ｃｏｓ∠犅犃犆＝ ＝ ＝ ．
｜犃  犅 → ｜｜犃  犆 → ｜ 槡８×槡２０ １０

* F+ =. F ,+ 
A(
设犪＝（狓，狔），犫＝（狓，狔），能否用犪，犫的坐标表示出犪⊥犫的充要条件？
１ １ ２ ２
８ ６ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换因为犪⊥犫的充要条件是犪·犫＝ ，因此
犪⊥犫狓狓＋狔狔＝０．
１ ２ １ ２
这就是说，利用向量的坐标与向量的数量积，可以方便地表达出向量垂
直的条件．
→ →
已知点犃（１，２），犅（２，３），犆（－２，５），求证：犃犅⊥犃犆．


因为

→
犃犅＝（２，３）－（１，２）＝（１，１），
→
犃犆＝（－２，５）－（１，２）＝（－３，３），
所以
→ →
犃犅·犃犆＝（１，１）·（－３，３）＝１×（－３）＋１×３＝０，
→ →
因此犃犅⊥犃犆．
如图８１１２所示，已知点犃（２，１），


→ π → y
将向量犗犃绕原点犗逆时针旋转 得到犗犅，
２ B
求点犅的坐标．
A
由已知可得
 → → → → O x
｜犗犅｜＝｜犗犃｜，犗犃·犗犅＝０．
→
又因为犗犃＝（２，１），设犅（狓，狔），则
图８１１２
→
犗犅＝ ，从而有
烄狓２＋狔２＝２２＋１２，
烅
烆２狓＋狔＝０，
烄狓＝１， 烄狓＝－１，
解得
烅
或
烅
烆狔＝－２ 烆狔＝２．
又因为由图可知狓＜０，所以犅（－１，２）．
如图８１１３所示，已知正方形犃犅犆犇中，犘为对角线犃犆不在端


点上的任意一点，犘犈⊥犃犅，犘犉⊥犅犆，连接犇犘，犈犉．求证：犇犘⊥犈犉．
y
D C
P D C
F P
F
A B A
E
O E B x
图８１１３ 图８１１４
以犃为原点，犃犅所在直线为狓轴，正方形的边长为单位长，建立

如图８１１４所示的平面直角坐标系，则犃（０，０），犅（１，０），犇（０，１），从而
→ →
犃犅＝（１，０），犃犇＝ ．
８．１ 向量的数量积 ８７由已知，可设犘（犪，犪），其中０＜犪＜１，则犈（犪，０），犉（１，犪），因此
→ →
犇犘＝（犪，犪－１），犈犉＝ ．
又因为
→ →
犇犘·犈犉＝犪（１－犪）＋（犪－１）犪＝０，
→ →
所以犇犘⊥犈犉，因此犇犘⊥犈犉．
例５说明，建立合适的平面直角坐标系之后，可以方便地借助向量的坐
标来解决有关几何问题．
KA
向量的数量积与三角形的面积
在平 面 直 角 坐 标 系 狓犗狔中，给 定 过犅作犗犃的垂线犅犆．因为犪为单位
犃（狓，狔），犅（狓，狔），假设犗，犃，犅 向量，所以由向量数量积的几何意义可知
１ １ ２ ２
→
不在同一条直线上，如图１所示，你能用 犅犆＝｜犪·犗犅｜，
犃，犅的坐标表示出△犗犃犅的面积吗？ 因此，△犗犃犅的面积为
１ １ →
y 犛＝ 犃犗×犅犆＝ 犃犗×｜犪·犗犅｜
B(x ,y ) ２ ２
2 2
A(x,y ) １ １
1 1 ＝ 狋× （－狔，狓）·（狓，狔）
２ 狋 １ １ ２ ２
１
＝ ｜（－狔，狓）·（狓，狔）｜
２ １ １ ２ ２
O x
图１ １
＝ ｜狓狔－狓狔｜．
２ １ ２ ２ １
一般地，利用向量的数量积可以方便地 由此也可以看出，如图３所示，如果
求出△犗犃犅的面积为
y
１
犛＝ ｜狓狔－狓狔｜． C
２ １ ２ ２ １
B(x ,y )
2 2
事实上，如图２所示，记狋＝犗犃，犪＝
１ （－狔，狓），则容易验证，犪是与犗  犃 → 垂 A(x 1 ,y 1 )
狋 １ １
O x
直的单位向量．
图３
y 犃（狓，狔），犅（狓，狔），而且犗，犃，犅
B(x ,y ) １ １ ２ ２
2 2
三点不共线，则以犗犃，犗犅为邻边的平行
A(x,y )
1 1
四边形犗犃犆犅的面积为
C 犛＝｜狓狔－狓狔｜．
a １ ２ ２ １
由此你能体会到向量数量积的作用之
O x
图２
大吗？
８ ８ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换"
? 已知向量犪，犫的坐标，分别求犪·犫，｜犪｜，｜犫｜和ｃｏｓ〈犪，犫〉．
（１）犪＝（４，－３），犫＝（－４，３）； （２）犪＝（３，５），犫＝（－５，３）；
（３）犪＝（１２，５），犫＝（１，２）； （４）犪＝（－１１，２），犫＝（３，９）．
→ →
? 已知犃（１，２），犅（－５，８），犆（－２，－１），求证：犃犅⊥犃犆．
? 求证：对任意实数犽，向量犽（－狔，狓）与向量（狓，狔）垂直．
? 若｜犪｜＝２槡１３，犫＝（－２，３），且犪⊥犫，求向量犪的坐标．
→ π →
? 已知点犃（３，１），向量犗犃绕原点犗逆时针旋转 后等于犗犅，求点犅的坐标．
２
#
? 已知向量犪＝（１，－２），犫＝（１，λ），若犪与犫的夹角为锐角，求λ的取值范围．
? 已知犃（１，１），犅（－３，４），犆（０，８），试求△犃犅犆三个内角的大小．
? 求与下列向量垂直的单位向量．
（１）犪＝（３，４）； （２）犫＝（－１，１）；
（３）犮＝（１２，－５）； （４）犱＝（８，－１５）．
? 已知向量犪＝（３，３），犫＝（－２，５），求犪在犫上的投影的数量．
→ π →
? 已知点犃（１，１），犅（５，３），将向量犃犅绕点犃逆时针旋转 得到犃犆，求点犆
２
的坐标．
→ → → → →
? 已知点犎在△犃犅犆所在的平面内，且满足犎犃·犎犅＝犎犅·犎犆＝犎犆·
→
犎犃，求证：点犎是△犃犅犆的垂心 （即三条高的交点）．
π
０  ０  （狓，狔）  （０，１）  （１－犪，犪）
４
"
? 已知犪＝（１，２），犫＝（－２，３），求
（１）犪·犫； （２）（犪＋犫）２；
（３）（犪＋犫）·（犪－犫）； （４）（犪－犫）２．
→ → → →
? 已知△犃犅犆中，｜犃犅｜＝５，｜犃犆｜＝４，∠犅犃犆＝１２０°，求犃犅·犃犆．
? 已知｜犫｜＝５，犪在犫上的投影的数量是－３，求犪·犫．
８．１ 向量的数量积 ８９? 判断下列各对向量是否垂直．
（１）犪＝（－３，２），犫＝（４，６）； （２）犪＝（７，１），犫＝（－２，１４）；
（ ） （ ）
１ １ ２
（３）犪＝ ， ，犫＝２，－ ； （４）犪＝（３，５），犫＝（５，３）．
３ ２ ３
? 已知犪＝（狓，狔），犫＝（－狔，狓），犮＝（狔，－狓），求证：犪⊥犫，犪⊥犮．
? 已知犪＝（－２，－３），犫＝（１，２），求〈犪，犫〉的余弦值．
? 已知犃（７，５），犅（２，３），犆（６，－７），求证：△犃犅犆是直角三角形．
#
? 已知犪＝（１，５），犫＝（－３，２），求犪在犫上的投影的数量．
? 已知三点犃（－１，１），犅（２，３），犆（３，－１），求证：△犃犅犆是锐角三角形．
? 若向量犪＝（狓，２狓），犫＝（－３狓，２），且犪与犫的夹角为钝角，求狓的取值
范围．
? 已知正方形犃犅犆犇，点犃（－２，３），犆（１，１），求顶点犇的坐标．
? 已知犻⊥犼，｜犻｜＝｜犼｜＝１，犪＝４犻－犼，犫＝犻＋２犼，犮＝２犻－３犼，计算犪２＋３犪·
犫－２犫·犮＋１．
? 已知向量犪＝（３，４），犫＝（８，６），犮＝（２，犽），且〈犪，犮〉＝〈犫，犮〉，求犽
的值．
? 如果犪，犫都是非零向量，分别根据下列各式判断犪，犫之间的位置关系．
（１）｜犪＋犫｜＝｜犪－犫｜； （２）犪＋犫＝λ（犪－犫）；
犪 犫
（３） ＝ ； （４）｜犪＋犫｜＝｜犪｜＋｜犫｜；
｜犪｜ ｜犫｜
（５）｜犪＋犫｜＝｜犪｜－｜犫｜； （６）｜犪－犫｜＝｜犪｜＋｜犫｜．
? 已知｜犪－犫｜＝１，犫＝（３，４），求｜犪｜的取值范围．
犪
? 作图说明，如果向量犪在向量犫（犫≠０）上的投影为犮，则犮＝ ｃｏｓ〈犪，犫〉犫．
犫
９ ０ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换．
! #!’()*+,
8.2.1 
A(
（１）我们已经知道了３０°，４５°的正弦、余弦值，那么，能否根据这些值求出
ｃｏｓ１５°的值呢？
（２）一般地，怎样根据α与
β
的三角函数值求出ｃｏｓ（α－β ）的值？
因为１５°＝４５°－３０°，所以ｃｏｓ１５°＝ｃｏｓ（４５°－３０°），因此可能有人会
猜想
槡２－槡３
ｃｏｓ１５°＝ｃｏｓ４５°－ｃｏｓ３０°＝ ，
２
但这显然是不对的：ｃｏｓ１５°一定大于０，但上式右边小于０．
事实上，利用单位圆以及向量的数量积，可以证明，对任意α与
β
，
都有
ｃｏｓ（α－β ）＝ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ．
这就是两角差的余弦公式，通常简记为Ｃ ．
α－β
证明 如图８２１所示，在平面直角坐标系
狓犗狔中，设α， β 的终边与单位圆的交点分别为犘， β y
犙，则犘（ｃｏｓα，ｓｉｎα），犙（ｃｏｓβ ，ｓｉｎβ ），因此 Q P α
→ →
犗犘＝ ，犗犙＝ ． O x
从而有
→ →
犗犘·犗犙＝（ｃｏｓα，ｓｉｎα）·（ｃｏｓβ ，ｓｉｎβ ）
＝ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ．
图８２１
另一方面，由图８２１可知，存在犽∈犣，使得
→ → → →
〈犗犘，犗犙〉＝α－β＋２犽π 或 〈犗犘，犗犙〉＝β－α＋２犽π，
８．２ 三角恒等变换 ９１→ → → →
因此ｃｏｓ〈犗犘，犗犙〉＝ｃｏｓ（α－β ），又因为｜犗犘｜＝｜犗犙｜＝１，所以
→ → → → → →
犗犘·犗犙＝｜犗犘｜｜犗犙｜ｃｏｓ〈犗犘，犗犙〉＝ｃｏｓ（α－β ）．
故ｃｏｓ（α－β ）＝ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ．
利用Ｃ 可知
α－β
ｃｏｓ１５°＝ｃｏｓ（４５°－３０°）＝ｃｏｓ４５°ｃｏｓ３０°＋ｓｉｎ４５°ｓｉｎ３０°
槡２ 槡３ 槡２ １ 槡６＋槡２
＝ × ＋ × ＝ ．
２ ２ ２ ２ ４
当然，ｃｏｓ１５°的值也可借助６０°与４５°来求，即
ｃｏｓ１５°＝ｃｏｓ（６０°－４５°）＝ｃｏｓ６０°ｃｏｓ４５°＋ｓｉｎ６０°ｓｉｎ４５°
１ 槡２ 槡３ 槡２ 槡２＋槡６
＝ × ＋ × ＝ ．
２ ２ ２ ２ ４
利用Ｃ 证明以下诱导公式．

 （ α－β）
π
（１）ｃｏｓ －α＝ｓｉｎα； （２）ｃｏｓ（π－α）＝－ｃｏｓα．
２
（１）由Ｃ 可知
 α－β（ ）
π π π
ｃｏｓ －α＝ｃｏｓ ｃｏｓα＋ｓｉｎ ｓｉｎα
２ ２ ２
＝０×ｃｏｓα＋１×ｓｉｎα＝ｓｉｎα．
（２）由Ｃ 可知
α－β
ｃｏｓ（π－α）＝ｃｏｓπｃｏｓα＋ｓｉｎπｓｉｎα
＝（－１）×ｃｏｓα＋０×ｓｉｎα＝－ｃｏｓα．
借助Ｃ 以及诱导公式可以得到两角和的余弦公式Ｃ ，即
α－β α＋β
ｃｏｓ（α＋β ）＝ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ．
A(
怎样证明Ｃ ？
α＋β
证明 因为α＋β＝α－（－β ），所以
ｃｏｓ（α＋β ）＝ｃｏｓ［α－（－β ）］
＝ｃｏｓαｃｏｓ（－β ）＋ｓｉｎαｓｉｎ（－β ）
＝ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ．
（ ）
π
类似地，利用Ｃ 可以证明ｃｏｓ ＋α＝ ，留作练习．
α＋β ２
求ｃｏｓ１０５°的值．


ｃｏｓ１０５°＝ｃｏｓ（６０°＋４５°）

９ ２ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换＝ｃｏｓ６０°ｃｏｓ４５°－ｓｉｎ６０°ｓｉｎ４５°
１ 槡２ 槡３ 槡２
＝ × － ×
２ ２ ２ ２
槡２－槡６
＝ ．
４
（ ） （ ）
４ π π π
已知ｃｏｓα＝－ ，其中 ＜α＜π，求ｃｏｓ －α，ｃｏｓ ＋α．

 ５ ２ ６ ６
４ π
因为ｃｏｓα＝－ 且 ＜α＜π，所以
 ５ ２
（ ）
槡 ４ ２
ｓｉｎα＝ １－ － ＝ ．
５
因此
（ ）
π π π
ｃｏｓ －α＝ｃｏｓ ｃｏｓα＋ｓｉｎ ｓｉｎα
６ ６ ６
（ ）
槡３ ４ １ ３
＝ × － ＋ ×
２ ５ ２ ５
３－４槡３
＝ ，
１０
（ ）
π π π
ｃｏｓ ＋α＝ｃｏｓ ｃｏｓα－ｓｉｎ ｓｉｎα
６ ６ ６
（ ）
槡３ ４ １ ３
＝ × － － ×
２ ５ ２ ５
３＋４槡３
＝－ ．
１０
求ｃｏｓ２０°ｃｏｓ２５°－ｓｉｎ２０°ｓｉｎ２５°的值．


由Ｃ 可知
 α＋β
ｃｏｓ２０°ｃｏｓ２５°－ｓｉｎ２０°ｓｉｎ２５°＝ｃｏｓ（２０°＋２５°）
＝ｃｏｓ４５°＝ ．
"
? 求下列各式的值．
（ ）
７π ６１π
（１）ｃｏｓ７５°； （２）ｃｏｓ ； （３）ｃｏｓ（－１６５°）； （４）ｃｏｓ－ ．
１２ １２
（ ）
π
? 利用Ｃ 证明：ｃｏｓ ＋α＝－ｓｉｎα．
α＋β ２
? 对任意α与 β ，ｃｏｓ（α＋β ）＝ｃｏｓα＋ｃｏｓβ 一定不成立吗？说明理由．
８．２ 三角恒等变换 ９３（ ） （ ） （ ）
２ π π π
? 已知ｓｉｎα＝ ，其中α∈ ，π ，求ｃｏｓ ＋α，ｃｏｓ －α．
３ ２ ３ ３
? 求下列各式的值．
（１）ｃｏｓ８０°ｃｏｓ２０°＋ｓｉｎ８０°ｓｉｎ２０°； （２）ｃｏｓ１０°ｃｏｓ２０°－ｓｉｎ１０°ｓｉｎ２０°．
#
? 求下列各式的值．
（１）ｃｏｓ２２２．５°－ｓｉｎ２２２．５°； （２）ｃｏｓ７０°ｓｉｎ８０°＋ｓｉｎ７０°ｓｉｎ１０°．
? 化简下列各式．
（ ） （ ）
π π
（１）ｃｏｓ ＋φ －ｃｏｓ －φ ； （２）ｃｏｓ（α＋β ）ｃｏｓβ＋ｓｉｎ（α＋β ）ｓｉｎβ．
４ ４
（ ） （ ）
１５ ５ π π
? 已知ｓｉｎα＝ ，ｃｏｓβ＝－ ，且α∈ ，π ， β∈ ，π ，求ｃｏｓα（＋β），
１７ １３ ２ ２
ｃｏｓα（－β）的值．
? 证明下列各式．
（ ） （ ）
槡３ １ π π
（１） ｃｏｓα＋ ｓｉｎα＝ｃｏｓ －α； （２）ｃｏｓθ－ｓｉｎθ＝槡２ｃｏｓ ＋θ．
２ ２ ６ ４
３ 槡２
 （ｃｏｓα，ｓｉｎα）  （ｃｏｓβ ，ｓｉｎβ ）  －ｓｉｎα  
５ ２
8.2.2  
 

> + 
A(
（１）怎样借助３０°，４５°的三角函数值求出ｓｉｎ７５°，ｓｉｎ１５°的值？
（２）一般地，怎样根据α与
β
的三角函数值求出ｓｉｎ（α＋β ），ｓｉｎ（α－β ）的值？
虽然ｓｉｎ７５°＝ｓｉｎ（３０°＋４５°），ｓｉｎ１５°＝ｓｉｎ（４５°－３０°），但是
ｓｉｎ７５°≠ｓｉｎ３０°＋ｓｉｎ４５°，ｓｉｎ１５°≠ｓｉｎ４５°－ｓｉｎ３０°．
９ ４ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换请读者自行尝试．
当然，我们可以这样求ｓｉｎ７５°的值：
槡６＋槡２
ｓｉｎ７５°＝ｓｉｎ（９０°－１５°）＝ｃｏｓ１５°＝ｃｏｓ（４５°－３０°）＝ ．
４
受此启发，根据两角和与差的余弦公式 （即Ｃ 与Ｃ ）可以证明如
α＋β α－β
下的两角和与差的正弦公式．
Ｓ ：ｓｉｎ（α＋β ）＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ ，
α＋β
Ｓ ：ｓｉｎ（α－β ）＝ｓｉｎαｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβ．
α－β
证明 由诱导公式以及两角和与差的余弦公式可知
［ ］ ［（ ） ］
π π
ｓｉｎ（α＋β ）＝ｃｏｓ －（α＋β ）＝ｃｏｓ －α－β
２ ２
（ ） （ ）
π π
＝ｃｏｓ －αｃｏｓβ＋ｓｉｎ －αｓｉｎβ
２ ２
＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ ，
而且
ｓｉｎ（α－β ）＝ｓｉｎ［α＋（－β ）］
＝ｓｉｎαｃｏｓ（－β ）＋ｃｏｓαｓｉｎ（－β ）
＝ｓｉｎαｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβ．
例如，
ｓｉｎ７５°＝ｓｉｎ（３０°＋４５°）＝ｓｉｎ３０°ｃｏｓ４５°＋ｃｏｓ３０°ｓｉｎ４５°
１ 槡２ 槡３ 槡２ 槡２＋槡６
＝ × ＋ × ＝ ，
２ ２ ２ ２ ４
ｓｉｎ１５°＝ｓｉｎ（４５°－３０°）＝ｓｉｎ４５°ｃｏｓ３０°－ｃｏｓ４５°ｓｉｎ３０°
槡２ 槡３ 槡２ １ 槡６－槡２
＝ × － × ＝ ．
２ ２ ２ ２ ４
（ ）
π
利用Ｓ 与Ｓ 同样可以求出ｓｉｎ１０５°以及证明诱导公式ｓｉｎ ＋α＝
α＋β α－β ２
 ，ｓｉｎ（π－α）＝ 等，留作练习．
→
已知向量犗犘＝（３，４），如图８２２所


→
示，将向量犗犘绕原点犗沿逆时针方向旋转４５°
y
→
到犗犘′的位置．求点犘′（狓′，狔′）的坐标．
P
P′
设∠狓犗犘＝α，则因为｜犗犘｜＝槡３２＋４２＝
45°

５，所以 α
O x
ｃｏｓα＝ ，ｓｉｎα＝ ．
因此
图８２２
８．２ 三角恒等变换 ９５狓′＝５ｃｏｓ（α＋４５°）
＝５（ｃｏｓαｃｏｓ４５°－ｓｉｎαｓｉｎ４５°）
（ ）
３ 槡２ ４ 槡２ 槡２
＝５ × － × ＝－ ，
５ ２ ５ ２ ２
狔′＝５ｓｉｎ（α＋４５°）
＝５（ｓｉｎαｃｏｓ４５°＋ｃｏｓαｓｉｎ４５°）
（ ）
４ 槡２ ３ 槡２ ７槡２
＝５ × ＋ × ＝ ．
５ ２ ５ ２ ２
（ ）
槡２ ７槡２
从而犘′－ ， ．
２ ２
（ ）
槡３ １ π
求证： ｓｉｎ狓＋ ｃｏｓ狓＝ｓｉｎ狓＋ ．

 ２ ２ ６
π π
因为ｃｏｓ ＝ ，ｓｉｎ ＝ ，所以
 ６ ６
槡３ １ π π
ｓｉｎ狓＋ ｃｏｓ狓＝ｃｏｓ ｓｉｎ狓＋ｓｉｎ ｃｏｓ狓
２ ２ ６ ６
π π
＝ｓｉｎ狓ｃｏｓ ＋ｃｏｓ狓ｓｉｎ
６ ６
（ ）
π
＝ｓｉｎ狓＋ ．
６
例２也可将右边直接用Ｓ 展开来证明，请读者自行尝试．
α＋β
A(
槡３ １
如果函数犳（狓）＝ ｓｉｎ狓＋ ｃｏｓ狓，你能求出犳（狓）的最大值及最大值点吗？
２ ２
（ ）
π
由例２的结果可知，犳（狓）＝ｓｉｎ狓＋ ，因此犳（狓）的最大值为１，而
６
π π π
且犳（狓）的最大值点狓 满足狓＋ ＝ ＋２犽π，犽∈犣，因此最大值点为 ＋
０ ０ ６ ２ ３
２犽π，犽∈犣．
在求函数犳（狓）＝ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓的最小值时，下面的说法正确吗？


“因为ｓｉｎ狓的最小值为－１，ｃｏｓ狓的最小值也为－１，所以犳（狓）的
最小值为－２．”
如果不对，指出原因，并求犳（狓）的周期、最小值与最小值点．
π
因为ｓｉｎ狓＝－１时有狓＝－ ＋２犽π，犽∈犣；而ｃｏｓ狓＝－１时有狓＝
 ２
π＋２犽π，犽∈犣．因此ｓｉｎ狓＝－１与ｃｏｓ狓＝－１不能同时成立，这就是说，
９ ６ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换犳（狓）的最小值不是－２，有关说法不对．
π π 槡２
又因为ｃｏｓ ＝ｓｉｎ ＝ ，所以
４ ４ ２
（ ）
槡２ 槡２
犳（狓）＝ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓＝槡２ ｓｉｎ狓＋ ｃｏｓ狓
２ ２
（ ）
π π
＝槡２ｓｉｎ狓ｃｏｓ ＋ｃｏｓ狓ｓｉｎ
４ ４
（ ）
π
＝槡２ｓｉｎ狓＋ ．
４
由此可知函数犳（狓）的周期为２π，最小值为－槡２，而且最小值点狓 满
０
π π ３π
足狓＋ ＝－ ＋２犽π，犽∈犣，因此最小值点为－ ＋２犽π，犽∈犣．
０ ４ ２ ４
由例３可以看出，当犪，犫都是不为零的常数时，为了求出函数
犳（狓）＝犪ｓｉｎ狓＋犫ｃｏｓ狓
的周期、最值等，关键是要将函数化为犳（狓）＝犃ｓｉｎ（狓＋φ ）的形式．也就是
说，要找到合适的犃和
φ
，使得
犪ｓｉｎ狓＋犫ｃｏｓ狓＝犃ｓｉｎ（狓＋φ ） ①
恒成立．
A(
满足①式的犃和
φ
一定存在吗？它们与犪，犫有什么关系？
如果①式恒成立，则将①式的右边用Ｓ 展开可得
α＋β
犪ｓｉｎ狓＋犫ｃｏｓ狓＝犃ｓｉｎ狓ｃｏｓφ＋犃ｃｏｓ狓ｓｉｎφ ，
因此犪＝犃ｃｏｓφ ，犫＝犃ｓｉｎφ ，从而可知
犪２＋犫２＝（犃ｃｏｓφ ）２＋（犃ｓｉｎφ ）２＝犃２，
因此，如果取犃＝槡犪２＋犫２，则有
犪 犪 犫 犫
ｃｏｓφ＝ ＝ ，ｓｉｎφ＝ ＝ ． ②
犃 槡犪２＋犫２ 犃 槡犪２＋犫２
由②式以及任意角的余弦、正弦的定义可知，
若记平面直角坐标系中坐标为（犪，犫）的点为犘，而
y
φ
是以射线犗犘为终边的角，如图８２３所示，则
φ
P(ab)
一定满足②式．
ϕ
这就是说，满足①式的犃和
φ
一定存在．因此
O x
犪ｓｉｎ狓＋犫ｃｏｓ狓＝槡犪２＋犫２ｓｉｎ（狓＋φ ），
图８２３
其中
φ
满足②式．
８．２ 三角恒等变换 ９７已知函数犳（狓）＝ｓｉｎ５狓－槡３ｃｏｓ５狓，求犳（狓）的周期、最小值及


最小值点．
因为槡 １２＋（－槡３）２＝２，所以
 （ ）
１ 槡３
犳（狓）＝２ ｓｉｎ５狓－ ｃｏｓ５狓
２ ２
［ （ ） （ ）］
π π
＝２ｓｉｎ５狓ｃｏｓ－ ＋ｃｏｓ５狓ｓｉｎ－
３ ３
（ ）
π
＝２ｓｉｎ５狓－ ．
３
２π
由此可知函数犳（狓）的周期为 ，最小值为 ，而且最
５
π π π ２犽π
小值点狓 满足５狓－ ＝－ ＋２犽π，犽∈犣，因此最小值点为－ ＋ ，
０ ０ ３ ２ ３０ ５
犽∈犣．

> + 
A(
（１）怎样借助３０°，４５°的三角函数值求出ｔａｎ７５°，ｔａｎ１５°的值？
（２）一般地，由ｔａｎα与ｔａｎβ 的值能求出ｔａｎ（α＋β ），ｔａｎ（α－β ）的值吗？
因为
ｓｉｎ７５° ｓｉｎ（３０°＋４５°）
ｔａｎ７５°＝ ＝ ，
ｃｏｓ７５° ｃｏｓ（３０°＋４５°）
所以可以借助３０°，４５°的正弦值与余弦值求出ｔａｎ７５°的值，那么，能不能借
助ｔａｎ３０°与ｔａｎ４５°求出ｔａｎ７５°呢？答案是肯定的．
一般地，可以证明如下的两角和与差的正切公式．
ｔａｎα＋ｔａｎβ
Ｔ ：ｔａｎ（α＋β ）＝ ，
α＋β １－ｔａｎαｔａｎβ
ｔａｎα－ｔａｎβ
Ｔ ：ｔａｎ（α－β ）＝ ．
α－β １＋ｔａｎαｔａｎβ
其中α和
β
的取值应使各项都有意义．
事实上，因为
ｓｉｎ（α＋β ） ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ
ｔａｎ（α＋β ）＝ ＝ ，
ｃｏｓ（α＋β ） ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ
９ ８ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换所以在上式右边的分子分母同时除以ｃｏｓαｃｏｓβ ，即可得到Ｔ ．而Ｔ 的
α＋β α－β
证明，既可以用类似的方法得到，也可从Ｔ 与ｔａｎ（α－β ）＝ｔａｎ［α＋（－β ）］
α＋β
得到，请读者自行尝试．
求下列各式的值．


ｔａｎ１７°＋ｔａｎ４３° １－ｔａｎ１５°
（１）ｔａｎ７５°； （２） ； （３） ．
１－ｔａｎ１７°ｔａｎ４３° １＋ｔａｎ１５°
ｔａｎ４５°＋ｔａｎ３０°
（１）ｔａｎ７５°＝ｔａｎ（４５°＋３０°）＝
 １－ｔａｎ４５°ｔａｎ３０°
槡３
１＋
３
＝ ＝２＋槡３．
槡３
１－
３
ｔａｎ１７°＋ｔａｎ４３°
（２） ＝ｔａｎ（１７°＋４３°）＝ｔａｎ６０°＝槡３．
１－ｔａｎ１７°ｔａｎ４３°
（３）因为ｔａｎ４５°＝１，所以
１－ｔａｎ１５° ｔａｎ４５°－ｔａｎ１５° 槡３
＝ ＝ｔａｎ（４５°－１５°）＝ｔａｎ３０°＝ ．
１＋ｔａｎ１５° １＋ｔａｎ４５°ｔａｎ１５° ３
"
? 利用Ｓ 与Ｓ 证明以下诱导公式．
α＋（β α）－β
π
（１）ｓｉｎ ＋α＝ｃｏｓα； （２）ｓｉｎ（π－α）＝ｓｉｎα．
２
? 求下列各式的值．
（ ）
５π ７π
（１）ｓｉｎ１０５°； （２）ｓｉｎ－ ； （３）ｔａｎ１５°； （４）ｔａｎ ．
１２ １２
（ ） （ ） （ ）
１５ π π π
? 已知ｓｉｎα＝ ，α∈ ，π ，求ｓｉｎ ＋α，ｓｉｎ －α．
１７ ２ ３ ３
? 已知ｔａｎ狓＝２，ｔａｎ狔＝５，求ｔａｎ（狓＋狔），ｔａｎ（狓－狔）．
→ → → →
? 已知向量犗犘＝（４，３），将犗犘绕原点犗旋转６０°，１２０°，－６０°到犗犘，犗犘，
１ ２
→
犗犘 的位置．求点犘，犘，犘 的坐标．
３ １ ２ ３
#
? 求下列各式的值．
１＋ｔａｎ１５° １－ｔａｎ７５°
（１） ； （２） ；
１－ｔａｎ１５° １＋ｔａｎ７５°
（３）ｓｉｎ３５°ｃｏｓ２５°＋ｓｉｎ５５°ｃｏｓ６５°； （４）ｃｏｓ２８°ｃｏｓ７３°＋ｃｏｓ６２°ｃｏｓ１７°．
８．２ 三角恒等变换 ９９→
? 已知犘（犪，犫）为平面直角坐标系中一点，将向量犗犘绕原点犗逆时针方向旋转
→
θ角到犗犘′的位置．求点犘′（狓′，狔′）的坐标．
１ １
? 若α， β 均为锐角，且ｔａｎα＝ ，ｔａｎβ＝ ，求α＋β．
２ ３
? 求下列函数的周期、最值以及最值点．
（１）犳（狓）＝槡３ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓； （２）犳（狓）＝ｃｏｓ３狓－ｓｉｎ３狓．
? 已知狓 是函数犳（狓）＝３ｓｉｎ狓＋４ｃｏｓ狓的最大值点，求ｓｉｎ狓 的值．
０ ０
３ ４ 槡３ １
ｃｏｓα ｓｉｎα      －２
５ ５ ２ ２
8.2.3 
A(
你能根据前面学过的内容，写出由α的三角函数值求出ｓｉｎ２α，ｃｏｓ２α，ｔａｎ２α
的一般公式吗？
如果在两角和的正弦公式Ｓ 中，令 β＝α，则可得出求ｓｉｎ２α的公式，
α＋β
即
ｓｉｎ２α＝ｓｉｎ（α＋α）＝ｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｏｓαｓｉｎα＝２ｓｉｎαｃｏｓα．
类似地，可得
ｃｏｓ２α＝ｃｏｓ（α＋α）＝ｃｏｓαｃｏｓα－ｓｉｎαｓｉｎα＝ｃｏｓ２α－ｓｉｎ２α，
ｔａｎα＋ｔａｎα ２ｔａｎα
ｔａｎ２α＝ｔａｎ（α＋α）＝ ＝ ．
１－ｔａｎαｔａｎα １－ｔａｎ２α
因此
Ｓ ：ｓｉｎ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα，
２α
Ｃ ：ｃｏｓ２α＝ｃｏｓ２α－ｓｉｎ２α，
２α
２ｔａｎα
Ｔ ：ｔａｎ２α＝ ．
２α １－ｔａｎ２α
这３个公式称为倍角公式．
１ ００ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换需要注意的是，因为ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１，所以Ｃ 也可改写为
２α
ｃｏｓ２α＝２ｃｏｓ２α－１＝１－２ｓｉｎ２α．
（ ）
５ π
已知ｓｉｎα＝ ，α∈ ，π ，求ｓｉｎ２α，ｃｏｓ２α，ｔａｎ２α的值．

 １３ ２
（ ）
５ π
因为ｓｉｎα＝ ，α∈ ，π ，所以
 １３ ２
（ ）
ｃｏｓα＝－槡１－ｓｉｎ２α＝－ 槡 １－ ５ ２ ＝－ １２ ，
１３ １３
因此
（ ）
５ １２ １２０
ｓｉｎ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα＝２× × － ＝－ ，
１３ １３ １６９
（ ）
５ ２ １１９
ｃｏｓ２α＝１－２ｓｉｎ２α＝１－２× ＝ ，
１３ １６９
ｓｉｎ２α １２０ １１９ １２０
ｔａｎ２α＝ ＝－ ÷ ＝－ ．
ｃｏｓ２α １６９ １６９ １１９
证明下列恒等式．


ｓｉｎ２θ＋ｓｉｎθ １＋２ｓｉｎαｃｏｓα １＋ｔａｎα
（１） ＝ｔａｎθ； （２） ＝ ．
２ｃｏｓ２θ＋２ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓθ ｃｏｓ２α－ｓｉｎ２α １－ｔａｎα
２ｓｉｎθｃｏｓθ＋ｓｉｎθ
（１）左边＝
 ２（ｃｏｓ２θ－ｓｉｎ２θ）＋２ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓθ
ｓｉｎθ（２ｃｏｓθ＋１）
＝ ＝ｔａｎθ＝右边．
ｃｏｓθ（２ｃｏｓθ＋１）
ｓｉｎ２α＋２ｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｏｓ２α
（２）左边＝
ｃｏｓ２α－ｓｉｎ２α
（ｓｉｎα＋ｃｏｓα）２
＝
（ｃｏｓα＋ｓｉｎα）（ｃｏｓα－ｓｉｎα）
ｓｉｎα＋ｃｏｓα ｔａｎα＋１
＝ ＝ ＝右边．
ｃｏｓα－ｓｉｎα １－ｔａｎα
例２的（２）中，也可以通过左右两边同时化简证得，请读者自行尝试．
求函数狔＝２ｃｏｓ２狓＋ｓｉｎ２狓－１的周期和最大值．


因为

狔＝２ｃｏｓ２狓－１＋ｓｉｎ２狓
＝ｓｉｎ２狓＋ｃｏｓ２狓
（ ）
槡２ 槡２
＝槡２ ｓｉｎ２狓＋ ｃｏｓ２狓
２ ２
（ ）
π
＝槡２ｓｉｎ２狓＋ ，
４
因此，所求函数的周期为 ，最大值为 ．
８．２ 三角恒等变换 １０１［ ］
２π
已知函数犳（狓）＝４ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓－４槡３ｃｏｓ２狓＋２槡３，狓∈ ０， ，

 ３
求犳（狓）的值域．
因为

犳（狓）＝４ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓－４槡３ｃｏｓ２狓＋２槡３
＝２ｓｉｎ２狓－２槡３（２ｃｏｓ２狓－１）
＝２ｓｉｎ２狓－２槡３ｃｏｓ２狓
（ ）
１ 槡３
＝４ ｓｉｎ２狓－ ｃｏｓ２狓
２ ２
（ ）
π
＝４ｓｉｎ２狓－ ，
３
２π
又因为０≤狓≤ ，所以
３
π
 ≤２狓－ ≤ ，
３
从而可知
（ ） （ ）
π π π
ｓｉｎ－ ≤ｓｉｎ２狓－ ≤ｓｉｎ ，
３ ３ ２
因此－２槡３≤犳（狓）≤４，故所求值域为 ．
如图８２４所示，已知△犃犅犆中，α


３
为锐角，ｓｉｎα＝ ，犇是犃犆边上一点，且 B
５
β
犃犇＝犅犇，求γ的正弦值．
（ ）
３ π γ α
因为ｓｉｎα＝ 且α∈０， ，所以 A
 ５ ２ C D
（ ）
槡 ３ ２ ４ 图８２４
ｃｏｓα＝ １－ ＝ ．
５ ５
又因为犃犇＝犅犇，所以 β＝α，因此γ＝２α，从而
２４
ｓｉｎγ＝ｓｉｎ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα＝ ．
２５
"
? 求下列各式的值．
π π π
（１）２ｓｉｎ６７°３０′ｃｏｓ６７°３０′； （２）ｃｏｓ２ －ｓｉｎ２ ； （３）２ｃｏｓ２ －１；
８ ８ １２
２ｔａｎ２２．５°
（４）１－２ｓｉｎ２７５°； （５）ｓｉｎ１５°ｃｏｓ１５°； （６） ．
１－ｔａｎ２２２．５°
１ ０２ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换１
? 已知ｔａｎα＝ ，求ｔａｎ２α的值．
２
? 化简下列各式．
θ θ
（１）（ｓｉｎα－ｃｏｓα）２； （２）ｓｉｎ ｃｏｓ ；
２ ２
１ １
（３）ｃｏｓ４φ－ｓｉｎ４φ ； （４） － ．
１－ｔａｎθ １＋ｔａｎθ
（ ）
１２ π
? 已知ｓｉｎα＝ ，且α∈ ，π ，求ｃｏｓ２α，ｓｉｎ２α的值．
１３ ２
１
? 已知ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ ，求ｓｉｎ２α的值．
２
#
? 求函数狔＝ｃｏｓ２狓－ｓｉｎ２狓的周期与最大值．
? 已知ｓｉｎα－ｃｏｓα＝１，求ｃｏｓ２α的值．
? 求ｃｏｓ２０°ｃｏｓ４０°ｃｏｓ８０°的值．（提示：乘以并除以ｓｉｎ２０°．）
７
? 已知等腰三角形的顶角的余弦等于 ，求这个三角形一个底角的正弦和余弦．
２０
? 求函数狔＝１－２ｓｉｎ２狓－ｓｉｎ２狓的周期、最值和最值点．
π
π  槡２  － π  ［－２槡３，４］
３
8.2.4    
前面我们学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，倍角公式，以及
它们的一些应用，初步感受到了这些三角恒等变换在研究三角函数性质中的
重要性．这里我们将继续学习前面所学公式的应用．
A(
你能利用倍角公式Ｃ 推导出以下公式吗？
２α
α １－ｃｏｓα α １＋ｃｏｓα α １－ｃｏｓα
ｓｉｎ２ ＝ ，ｃｏｓ２ ＝ ，ｔａｎ２ ＝ ．
２ ２ ２ ２ ２ １＋ｃｏｓα
８．２ 三角恒等变换 １０３事实上，由Ｃ 可得
２α （ ）
α α
ｃｏｓα＝ｃｏｓ２× ＝１－２ｓｉｎ２ ，
２ ２
α
因此２ｓｉｎ２ ＝１－ｃｏｓα，即
２
α １－ｃｏｓα
ｓｉｎ２ ＝ ． ①
２ ２
类似地，因为
（ ）
α α
ｃｏｓα＝ｃｏｓ２× ＝２ｃｏｓ２ －１，
２ ２
α
所以有２ｃｏｓ２ ＝１＋ｃｏｓα，即
２
α １＋ｃｏｓα
ｃｏｓ２ ＝ ． ②
２ ２
①②两个等式左边、右边分别相除，即可得
α １－ｃｏｓα
ｔａｎ２ ＝ ． ③
２ １＋ｃｏｓα
求证：


ｓｉｎα α １－ｃｏｓα α
（１） ＝ｔａｎ ； （２） ＝ｔａｎ ．
１＋ｃｏｓα ２ ｓｉｎα ２
α α α α
２ｓｉｎ ｃｏｓ ２ｓｉｎ ｃｏｓ
ｓｉｎα ２ ２ ２ ２ α
（１） ＝ ＝ ＝ｔａｎ ．
 １＋ｃｏｓα α α ２
１＋２ｃｏｓ２ －１ ２ｃｏｓ２
２ ２
（ ）
α α
１－１－２ｓｉｎ２ ２ｓｉｎ２
１－ｃｏｓα ２ ２ α
（２） ＝ ＝ ＝ｔａｎ ．
ｓｉｎα α α α α ２
２ｓｉｎ ｃｏｓ ２ｓｉｎ ｃｏｓ
２ ２ ２ ２
另外，需要注意的是，①②③式中，左边都是平方的形式，但如果知道
α α α
ｃｏｓα的值和角 的终边所在象限，就可以通过开方求得ｓｉｎ ，ｃｏｓ ，
２ ２ ２
α
ｔａｎ 的值．
２
例如，由③可知
槡３
１－
１－ｃｏｓ３０° ２ ２－槡３
ｔａｎ２１５°＝ ＝ ＝ ＝（２－槡３）２，
１＋ｃｏｓ３０°
槡３ ２＋槡３
１＋
２
又因为ｔａｎ１５°＞０，所以
１ ０４ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换槡
ｔａｎ１５°＝ （２－槡３）２＝ ．
再例如，由①可知
槡３
１－
１－ｃｏｓ３０° ２ ２－槡３
ｓｉｎ２１５°＝ ＝ ＝ ，
２ ２ ４
又因为ｓｉｎ１５°＞０，所以
槡
２－槡３
槡
４－２槡３
ｓｉｎ１５°＝ ＝
４ ８
槡
（槡３）２－２槡３＋１２
槡
（槡３－１）２
＝ ＝
８ ８
槡３－１ 槡６－槡２
＝ ＝ ．
４
２槡２
一般地，①②③可以变形为
α 槡 １－ｃｏｓα
Ｓ ：ｓｉｎ ＝± ，
２ ２
α
２
α 槡 １＋ｃｏｓα
Ｃ ：ｃｏｓ ＝± ，
２ ２
α
２
α 槡 １－ｃｏｓα
Ｔ ：ｔａｎ ＝± ，
α
２ １＋ｃｏｓα
２
α
其中根号前的正负号，由角 所在象限确定．一般称这３个公式为半角
２
公式．
A(
１ ３
如果已知ｃｏｓ（α－β ）＝ ，ｃｏｓ（α＋β ）＝ ，你能求出ｃｏｓαｃｏｓβ 以及ｓｉｎαｓｉｎβ
２ ５
的值吗？
因为
ｃｏｓ（α＋β ）＝ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ ，
ｃｏｓ（α－β ）＝ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ ，
所以两式分别相加、相减之后整理可得
１
ｃｏｓαｃｏｓβ＝ ［ｃｏｓ（α＋β ）＋ｃｏｓ（α－β ）］， ④
２
１
ｓｉｎαｓｉｎβ＝－ ［ｃｏｓ（α＋β ）－ｃｏｓ（α－β ）］． ⑤
２
８．２ 三角恒等变换 １０５由此可知，在尝试与发现中，
（ ）
１ ３ １ １１
ｃｏｓαｃｏｓβ＝ ＋ ＝ ，
２ ５ ２ ２０
（ ）
１ ３ １ １
ｓｉｎαｓｉｎβ＝－ － ＝－ ．
２ ５ ２ ２０
类似地，由
ｓｉｎ（α＋β ）＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ ，
ｓｉｎ（α－β ）＝ｓｉｎαｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβ
可得
１
ｓｉｎαｃｏｓβ＝ ［ｓｉｎ（α＋β ）＋ｓｉｎ（α－β ）］， ⑥
２
１
ｃｏｓαｓｉｎβ＝ ［ｓｉｎ（α＋β ）－ｓｉｎ（α－β ）］． ⑦
２
④⑤⑥⑦的左边是积的形式，右边是和或差的形式，因此被称为积化和
差公式．
（ ）
π
求函数犳（狓）＝ｓｉｎ狓＋ ｃｏｓ狓的周期与最大值．

 ３
由积化和差公式可知

［ （ ） ］ （ ）
１ π π １ π 槡３
犳（狓）＝ ｓｉｎ２狓＋ ＋ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ２狓＋ ＋ ，
２ ３ ３ ２ ３ ４
所以函数的周期为 ，最大值为 ．
例２也可借助Ｓ 以及二倍角公式等求解，请读者自行尝试．
α＋β
A(
（ ） （ ）
π π
（１）你能借助④式求出函数犳（狓）＝ｃｏｓ狓＋ ＋ｃｏｓ狓－ 的最大值吗？
３ ３
（２）令狓＝α＋β ，狔＝α－β ，然后改写积化和差公式．
根据④式可知，
π
犳（狓）＝２ｃｏｓ狓ｃｏｓ ＝ｃｏｓ狓，
３
因此可知犳（狓）的最大值为 ．
狓＋狔 狓－狔
一般地，如果狓＝α＋β ，狔＝α－β ，则α＝ ， β＝ ，从而④⑤
２ ２
⑥⑦可分别改写为
狓＋狔 狓－狔
ｃｏｓ狓＋ｃｏｓ狔＝２ｃｏｓ ｃｏｓ ，
２ ２
狓＋狔 狓－狔
ｃｏｓ狓－ｃｏｓ狔＝－２ｓｉｎ ｓｉｎ ，
２ ２
狓＋狔 狓－狔
ｓｉｎ狓＋ｓｉｎ狔＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ，
２ ２
１ ０６ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换狓＋狔 狓－狔
ｓｉｎ狓－ｓｉｎ狔＝２ｃｏｓ ｓｉｎ ，
２ ２
这四个公式左边是和或差的形式，右边是积的形式，因此被称为和差化积公式．
（ ） （ ）
π π
求函数犳（狓）＝ｓｉｎ狓＋ ＋ｓｉｎ狓－ 的周期与最大值．

 ３ ６
由和差化积公式可知
 （ ） （ ） （ ） （ ）
π π π π
狓＋ ＋狓－ 狓＋ －狓－
３ ６ ３ ６
犳（狓）＝２ｓｉｎ ｃｏｓ
２ ２
（ ）
π π
＝２ｓｉｎ狓＋ ｃｏｓ
１２ ４
（ ）
π
＝槡２ｓｉｎ狓＋ ，
１２
所以函数的周期为 ，最大值为 ．
例３也可借助Ｓ ，Ｓ 等求解，请读者自行尝试．
α＋β α－β
已知犃＋犅＋犆＝１８０°①，求证：


犃 犅 犆
ｓｉｎ犃＋ｓｉｎ犅＋ｓｉｎ犆＝４ｃｏｓ ｃｏｓ ｃｏｓ ．
２ ２ ２
因为犃＋犅＋犆＝１８０°，所以

犆 犃＋犅
犆＝１８０°－（犃＋犅）， ＝９０°－ ，
２ ２
因此
犃＋犅 犃－犅
ｓｉｎ犃＋ｓｉｎ犅＋ｓｉｎ犆＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ（犃＋犅）
２ ２
犃＋犅 犃－犅 犃＋犅 犃＋犅
＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋２ｓｉｎ ｃｏｓ
２ ２ ２ ２
（ ）
犃＋犅 犃－犅 犃＋犅
＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ
２ ２ ２
犃＋犅 犃 －犅
＝２ｓｉｎ ×２ｃｏｓ ｃｏｓ
２ ２ ２
犆 犃 犅
＝２ｃｏｓ ×２ｃｏｓ ｃｏｓ
２ ２ ２
犃 犅 犆
＝４ｃｏｓ ｃｏｓ ｃｏｓ ．
２ ２ ２
α
探索ｓｉｎα，ｃｏｓα，ｔａｎα是否都可用ｔａｎ 表示．如果能，请写出相关的表达
２
式，并举例说明这些公式的作用．
① 在不引起混淆的情况下，角也可以用它的顶点字母来表示．
８．２ 三角恒等变换 １０７KA
正弦型函数与信号处理
前面我们已经看到，两个周期相同的正 图象变化更加丰富．
弦型函数相加，利用三角恒等变换，一定可 那么，这是不是意味着所有的周期函数
以把结果化为同一个周期的正弦型函数．而 都可以借助正弦型函数相加来表示或者近似
且，不难看出，这一结果可以推广到有限多 表示呢？答案是肯定的！例如，如图２所示
个同周期的正弦型函数． ∑７ ｓｉｎ［（２犻－１）狓］
是函数犳（狓）＝ 的图象，
那么，不同周期的正弦型函数相加，结 ２犻－１
犻＝１
果会怎样呢？图１是函数 如图３所示是某种信号的波形，两者相似吗？
犳（狓）＝ｓｉｎ狓＋ｓｉｎ２狓＋ｓｉｎ３狓
事实上，在现代社会中，信号处理是非
的图象，由此你能发现什么？ 常关键的技术．这只要想想我们几乎每天都
可以看出，犳（狓）的图象呈现的还是周
在使用的电话或互联网就可以感受到！而信
期性变化 （事实上，犳（狓）仍是一个周期函 号处理背后的 “功臣”就是正弦型函数！感
数）．不过，相对于正弦曲线来说，犳（狓）的 兴趣的同学可以查找有关资料了解更多信息．
y
2
−2
O 2 x
−2
图１
y
2
−2
O
2 x
−2
图２
y
2
−2
O
2 x
−2
图３
１ ０８ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换"
? 求ｃｏｓ６７°３０′的值．
１ １
? 已知ｃｏｓ（α－β ）＝－ ，ｃｏｓ（α＋β ）＝ ，求ｃｏｓαｃｏｓβ ，ｓｉｎαｓｉｎβ 的值．
２ ３
? 已知ｓｉｎ（ β－α）＝－１，ｓｉｎ（α＋β ）＝０，求ｃｏｓαｓｉｎβ ，ｓｉｎ（π－α）ｃｏｓβ 的值．
? 证明下列恒等式．
１
ｓｉｎ （狓－狔）
ｃｏｓα－ｃｏｓβ β－α ｓｉｎ狓－ｓｉｎ狔 ２
（１） ＝ｔａｎ ； （２） ＝ ；
ｓｉｎα＋ｓｉｎβ ２ ｓｉｎ（狓＋狔） １
ｓｉｎ （狓＋狔）
２
（ ）
１＋ｓｉｎ狓 π 狓 ｃｏｓ２狓＋ｃｏｓ２狔 ｃｏｓ（狓－狔）
（３） ＝ｔａｎ ＋ ； （４） ＝ ．
ｃｏｓ狓 ４ ２ １＋ｃｏｓ２（狓＋狔） ｃｏｓ（狓＋狔）
# （ ）
π
? 求函数犳（狓）＝ｃｏｓ狓＋ ｃｏｓ狓的周期与最小值．
６
（ ） （ ）
π π
? 求函数犳（狓）＝ｓｉｎ狓＋ ＋ｃｏｓ狓－ 的周期与最大值．
３ ６
? 用半角公式求出ｃｏｓ１５°的值．
? 求下列各式的值．
ｓｉｎ２０°－ｓｉｎ４０°
（１） ； （２）ｓｉｎ２０°＋ｓｉｎ４０°－ｓｉｎ８０°．
ｃｏｓ２０°－ｃｏｓ４０°
? 如果犃＋犅＋犆＝π，求证：
犃 犅 犆
ｃｏｓ犃＋ｃｏｓ犅＋ｃｏｓ犆＝１＋４ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ ．
２ ２ ２
１ 槡３
２－槡３ π  ＋ １ ２π  槡２
２ ４
"
? 利用Ｃ 证明：ｃｏｓ［α＋（２犽＋１）π］＝－ｃｏｓα（其中犽为整数）．
α＋β
? 举例说明ｓｉｎ（α＋β ）＝ｓｉｎα＋ｓｉｎβ 可能成立．
? 是否存在α与 β ，使得ｃｏｓ（α＋β ）＝ｃｏｓα＋ｓｉｎβ ？说明理由．
２ ３
? 已知ｓｉｎα＝ ，ｃｏｓβ＝－ ，且α， β 都是第二象限的角，求ｓｉｎ（α＋β ），
３ ４
ｓｉｎ（α－β ）的值．
８．２ 三角恒等变换 １０９? 求下列各式的值．
（１）ｓｉｎ１３°ｃｏｓ１７°＋ｃｏｓ１３°ｓｉｎ１７°； （２）ｓｉｎ７０°ｃｏｓ２５°－ｓｉｎ２５°ｃｏｓ７０°；
５π π
ｔａｎ －ｔａｎ
ｔａｎ１２°＋ｔａｎ３３° １２ ６
（３） ； （４） ．
１－ｔａｎ１２°ｔａｎ３３° ５π π
１＋ｔａｎ ｔａｎ
１２ ６
? 化简下列各式．
（ ） （ ）
π π
（１）ｓｉｎ（３０°＋α）－ｓｉｎ（３０°－α）； （２）ｓｉｎ ＋α＋ｓｉｎ －α；
３ ３
（ ） （ ）
π π
（３）ｃｏｓ ＋φ －ｃｏｓ －φ ．
４ ４
α－β
? 求证：ｃｏｓα（ｃｏｓα－ｃｏｓβ ）＋ｓｉｎα（ｓｉｎα－ｓｉｎβ ）＝２ｓｉｎ２ ．
２
#
? 求证下列恒等式．
（ ） （ ）
π α π α
（１）１＋ｓｉｎα＝２ｃｏｓ２ － ； （２）１－ｓｉｎα＝２ｓｉｎ２ － ．
４ ２ ４ ２
? 求下列各式的值．
（１）ｓｉｎ１０５°ｃｏｓ７５°； （２）２ｃｏｓ３７．５°ｃｏｓ２２．５°；
９π π ５π ３π
（３）ｃｏｓ２７３°＋ｃｏｓ２４７°＋ｃｏｓ７３°ｃｏｓ４７°； （４）２ｃｏｓ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ．
１３ １３ １３ １３
［ ］
π π
? 已知θ∈ ， ，分别根据以下条件求ｓｉｎθ的值．
４ ２
１ １ ２４ ３槡７
（１）ｓｉｎ２θ＝ ； （２）ｓｉｎ２θ＝ ； （３）ｓｉｎ２θ＝ ； （４）ｓｉｎ２θ＝ ．
３ ２ ２５ ８
４ １２
? 在△犃犅犆中，已知ｃｏｓ犃＝ ，ｃｏｓ犅＝ ，求ｃｏｓ犆的值．
５ １３
? 求下列函数的周期．
狓
（１）狔＝ｃｏｓ２ ； （２）狔＝２ｓｉｎ２狓．
２
（ ）
４ ４ π
? 已知ｓｉｎ（α－β ）＝ ，ｓｉｎ（α＋β ）＝－ ，且 （α－β ）∈ ，π ， （α＋β ）∈
５ ５ ２
（ ）
３π
，２π ，求ｓｉｎ２α的值．
２
（ ） （ ） ［ ］
２π π π π
? 求函数犳（狓）＝ｃｏｓ狓＋ ＋ｃｏｓ狓－ ，狓∈ － ， 的最值．
３ ６ ２ ２
１ １０ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换
  
本章我们学习了向量的数量积及其坐标运算，两角和与差的余弦、正弦、正切
公式，倍角公式，以及半角公式、积化和差与和差化积公式等．
依照知识之间的联系，我们可以作出如下的知识结构图．
S αβ S 2α
S
α+β
G,G0 C αβ T α+β T αβ
C
α+β
C T 0 
2α 2α
Cα Sα Tα  0
2 2 2
@1 
上述知识结构图还可以细化．
结合自己的学习心得，发挥你的想象力和创造力，为本章的知识重新设计出一
份独特的知识结构图，然后和同学交流制作的心得吧！
 
你知道吗？三角学的起源与天文有着密不可分的联系，人们最初是为了天文上
的计算而关注三角学的．而且，随着计算机技术的发展，三角学的地位实际上已经
发生了变化：以前人们关注的是三角中的计算，现在大家更加关注的是三角函数的
性质等．
与同学一起分工合作，查阅网络与有关书籍，了解三角学发展的历史与现状，
并整理成小论文，然后与其他同学交流．
本章小结 １１１ 
犃组
→ → →
１已知点犗在△犃犅犆所在的平面内，且｜犗犃｜＝｜犗犅｜＝｜犗犆｜，说明犗是
△犃犅犆的内心还是外心．
２已知向量犪，犫满足｜犪｜＝｜犫｜＝２，（犪＋２犫）·（犪－犫）＝－２，求犪与犫的
夹角．
３已知犪，犫均为单位向量，它们的夹角为６０°，求｜犪＋３犫｜．
→ →
４已知正方形犃犅犆犇的边长为２，犈为犆犇的中点，求犃犈·犅犇．
５证明下列恒等式．
１＋ｓｉｎ２φ
（１） ＝ｓｉｎφ＋ｃｏｓφ ； （２）ｓｉｎθ（１＋ｃｏｓ２θ）＝ｓｉｎ２θｃｏｓθ；
ｓｉｎφ＋ｃｏｓφ
θ
（３）４ｓｉｎθｃｏｓ２ ＝２ｓｉｎθ＋ｓｉｎ２θ．
２
６证明下列恒等式．
狓 狓
（１）２ｓｉｎ（π＋α）ｃｏｓ（π－α）＝ｓｉｎ２α； （２）ｃｏｓ４ －ｓｉｎ４ ＝ｃｏｓ狓；
２ ２
（３）１＋２ｃｏｓ２θ－ｃｏｓ２θ＝２．
（ ） （ ） （ ）
１５ ３π π π
７已知ｓｉｎα＝－ ，且α∈ ，２π ，求ｓｉｎα＋ ，ｃｏｓα＋ 的值．
１７ ２ ４ ４
５
８已知等腰三角形的一个底角的正弦等于 ，求这个三角形顶角的正弦、余弦
１３
和正切．
９证明下列恒等式．
１－ｔａｎ２α ２ｓｉｎα－ｓｉｎ２α α
（１） ＝ｃｏｓ２α； （２） ＝ｔａｎ２ ；
１＋ｔａｎ２α ２ｓｉｎα＋ｓｉｎ２α ２
ｔａｎ狓＋ｔａｎ狔 ｓｉｎ（狓＋狔）
（３） ＝ ．
ｔａｎ狓－ｔａｎ狔 ｓｉｎ（狓－狔）
１０证明下列恒等式．
ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ
（１）ｔａｎ（４５°＋θ）＝ ；
ｃｏｓθ－ｓｉｎθ
ｔａｎ２狓－ｔａｎ２狔
（２）ｔａｎ（狓＋狔）ｔａｎ（狓－狔）＝ ．
１－ｔａｎ２狓ｔａｎ２狔
１１已知ｔａｎα＝２，ｔａｎβ＝３，且α，
β
都是锐角，求证：α＋β＝１３５°．
１ １２ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换ｃｏｓ２α 槡２
１２已知 （ ）＝－ ，求ｃｏｓα＋ｓｉｎα．
π ２
ｓｉｎα－
４
犅组
１已知向量犪，犫满足｜犪＋犫｜＝槡１０，｜犪－犫｜＝槡６，求犪·犫．
２已知向量犪＝（２，１），犪·犫＝１０，｜犪＋犫｜＝５槡２，求｜犫｜．
３已知犃（６，３），犅（９，３），犆（３，３＋３槡３），求∠犅犃犆．
４设犪，犫，犮是单位向量，且犪·犫＝０，求（犪－犮）·（犫－犮）的最小值．
１
５设向量犪，犫，犮满足｜犪｜＝｜犫｜＝１，犪·犫＝－ ，〈犪－犮，犫－犮〉＝６０°，求｜犮｜
２
的最大值．
→
６已知犃，犅，犆为平面上的３点，而且犃犅＝３，犅犆＝４，犆犃＝５，求犃犅·
→ → → → →
犅犆＋犅犆·犆犃＋犆犃·犃犅的值．
→ → → → → → →
７在△犃犅犆中，犃犅２＝犃犅·犃犆＋犅犃·犅犆＋犆犃·犆犅，判断△犃犅犆的形状．
→ １ → → → →
８已知犃，犅，犆为圆犗上的三点，若犃犗＝ （犃犅＋犃犆），求犃犅与犃犆的夹角．
２
９化简下列各式．
（１）ｃｏｓ（２７°＋α）ｃｏｓ（３３°－α）－ｓｉｎ（２７°＋α）ｓｉｎ（３３°－α）；
（２）ｓｉｎ（α－１５°）ｃｏｓ（α＋１５°）＋ｃｏｓ（α－１５°）ｓｉｎ（α＋１５°）．
１０设犃，犅，犆是△犃犅犆的３个内角，求证：
ｓｉｎ２犃＋ｓｉｎ２犅＋ｓｉｎ２犆＝４ｓｉｎ犃ｓｉｎ犅ｓｉｎ犆．
１１证明下列恒等式．
（１）ｓｉｎ３θ＝３ｓｉｎθ－４ｓｉｎ３θ；
（２）ｃｏｓ３θ＝４ｃｏｓ３θ－３ｃｏｓθ．
１２化简ｓｉｎ５０°（１＋槡３ｔａｎ１０°）．
１３求下列函数的周期、最值和最值点．
（１）狔＝１＋ｃｏｓ狓－ｓｉｎ狓；
（２）狔＝（ｓｉｎ狓－ｃｏｓ狓）２．
１４求下列函数的周期、最值和最值点．
（１）狔＝ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓；
１
（２）狔＝槡３ｃｏｓ２狓＋ ｓｉｎ２狓．
２
本章小结 １１３１５求证：ｔａｎ２０°＋ｔａｎ２５°＋ｔａｎ２０°ｔａｎ２５°＝１．
B
１６已知圆心角为６０°的扇形犃犗犅的半径为１，犆是犃犅
D C
弧上一点，作矩形犆犇犈犉，如图所示．当犆点在什么位置时，
这个矩形的面积最大？这时∠犃犗犆等于多少度？
［ ］ A
O E F
π
１７求函数狔＝ｓｉｎ狓＋槡３ｃｏｓ狓，狓∈ ０， 的最小值． （第１６题）
２
犆组
１长江某地南北两岸平行．如图所示，江面宽度犱＝１ｋｍ，一艘游船从南岸码
头犃出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度狏 的大小为１０ｋｍ／ｈ，水流
１
的速度狏的大小为４ｋｍ／ｈ．设狏 和狏 的夹角为θ（０°＜θ＜
２ １ ２ A′
１８０°），北岸的点犃′在犃的正北方向．回答下面的问题．
（１）当θ＝１２０°时，判断游船航行到达北岸的位置在犃′的 d
v
1
v
左侧还是右侧，并说明理由． 2
A
（２）当ｃｏｓθ为多大时，游船能到达犃′处？需要航行多长 （第１题）
时间？
２已知向量犪≠犲，｜犲｜＝１，对任意狋∈犚，恒有｜犪－狋犲｜≥｜犪－犲｜，则 （ ）．
（Ａ）犪⊥犲 （Ｂ）犪⊥（犪－犲）
（Ｃ）犲⊥（犪－犲） （Ｄ）（犪＋犲）⊥（犪－犲）
３若非零向量犪，犫满足｜犪＋犫｜＝｜犫｜，则 （ ）．
（Ａ）｜２犪｜＞｜２犪＋犫｜ （Ｂ）｜２犪｜＜｜２犪＋犫｜
（Ｃ）｜２犫｜＞｜犪＋２犫｜ （Ｄ）｜２犫｜＜｜犪＋２犫｜
→ → → →
４已知△犃犅犆中，犅犆边上的高犃犇的长为３，求犃犅·犃犇，犆犃·犃犇．
５已知△犃犅犆中，犃犆＝１，犅犆＝槡３，犃犅＝２，点犕，犖是线段犃犅上的动
→ →
点，求犆犕·犆犖的最大值．
３－ｓｉｎ７０°
６求 的值．
２－ｃｏｓ２１０°
１ １４ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换后 记
本套教科书是人民教育出版社课程教材研究所中学数学教材实验研究组依据教育部
《普通高中数学课程标准（2017年版）》编写的，经国家教材委员会专家委员会2019年审核
通过.
本套教科书的编写，集中反映了我国十余年来普通高中课程改革的成果，吸取了2004
年版《普通高中课程标准实验教科书 数学（B版）》的编写经验，凝聚了参与课改实验的
教育专家、学科专家、教材编写专家、教研人员和一线教师，以及教材设计装帧专家的集
体智慧.
我们衷心感谢2004年版《普通高中课程标准实验教科书 数学（B版）》的所有编写
人员，尤其是因为种种原因未能参加此次教材修订的专家、学者：丁尔陞、江守礼、房艮
孙、张润琦、高尚华、万庆炎、魏榕彬、邱万作、陈研、段发善、李冱岸、陈亦飞、刘长
明、郭鸿、王池富……
本套教科书在编写过程中，得到了《普通高中数学课程标准（2017年版）》制定组、
国家教材委员会专家委员会等的大力支持．借此机会，向所有制定组成员、专家委员会成
员以及其他为我们教材编写提供过帮助的专家表示衷心的感谢！
我们感谢对本套教科书的编写、出版、试教等提供过帮助与支持的所有同仁和社会
各界朋友：王跃飞、胡细宝、邵丽云、王晓声、曹付生、侯立伟、王中华、王光图、王秀
梅、卞文、邓艳强、田媛、史洪波、付一博、吕希、吕晶、朱明鲜、刘超、闫旭、池洪
清、阮征、孙国华、牟柏林、李刚、李广勤、李洪岩、何艳国、张伟、张羽、张明、张文
刚、张春青、张晶强、金永涛、郑继平、常丽艳、潘戈、薛达志、郑海军、赵争鸣、吴晖
湘、戴莉、金盈、舒凤杰、李祥广、胡文亮、王玉洁、杨长智、徐会吉、尹玉柱、尹燕
花……
本套教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品（包括照片、画作）的作
者进行了联系，得到了他们的大力支持．对此，我们表示衷心的感谢！同时也向为本书提
供照片的单位表示感谢！
后记 01我们真诚地希望广大教师、学生及家长在使用本套教科书的过程中提出宝贵意见．我
们将集思广益，不断修订，以使教科书日臻完善.
本书责任编辑：王旭刚；美术编辑：史越；插图绘制：郑海军.
联系方式
电话：010-58758523，010-58758866
电子邮箱：mathb@pep.com.cn，jcfk@pep.com.cn
人民教育出版社 课程教材研究所
中 学 数 学 教 材 实 验 研 究 组
2019年4月
02 高中物理必修第一册必
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