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专题 10 二次函数中的特殊四边形存在性问题的四类综合题型
目录
典例详解
类型一、二次函数中的平行四边形存在性问题
类型二、二次函数中的矩形存在性问题
类型三、二次函数中的菱形存在性问题
类型四、二次函数中的正方形存在性问题
压轴专练
类型一、二次函数中的平行四边形存在性问题
1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线两类，利用平行四边形
对边平行且相等或对角线互相平分性质分析。
2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）列方程，结合抛物线表达式消元；借向量平行（坐标
差相等）简化关系，注意动点范围。
3.解题方法：代数法联立中点或向量方程求解；辅以几何法（平移定点得动点轨迹），验证四点不共线
及图形合理性。
例1．如图，二次函数 的图象与x轴交于O（O为坐标原点）、A两点，且二次函数的最小
值为 ，点 是其对称轴上一点，点B在y轴上， ．(1)求二次函数的解析式；
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连接 ， ，求 面积的最大值；
(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接
写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式】如图，抛物线 与x轴交于 、 两点 点在 点左侧 ，直线 与抛物线交于 、
两点，其中 点的横坐标为 ．
(1)求 、 两点的坐标及直线 的函数表达式；
(2) 是线段 上的一个动点，过 点作 轴的平行线交抛物线于 点，求三角形 面积的最大值；
(3)点 是抛物线上的动点，在 轴上是否存在点 ，使 、 、 、 这样的四个点为顶点的四边形是平
行四边形？如果存在，写出所有满足条件的 点坐标；如果不存在，请说明理由．
类型二、二次函数中的矩形存在性问题
1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线，利用矩形“对角线互
相平分且相等”或“平行四边形+一角为直角”的性质分析。
2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）和勾股定理（对角线等长）列方程，借抛物线表达式
消元；结合斜率（垂直时积为-1）验直角，限定动点范围。
3.解题方法：代数法联立对角线条件方程求解；先证平行四边形再验证直角（斜率法），结合图形验合
理性。
例2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴分别相交于A，B两点，与y轴交于
点C，直线 经过B、C两点．(1)求抛物线的表达式；
(2)抛物线的顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形
是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式】如图1，若二次函数 的图象与x轴交于点 、B，与y轴交于点 ，连接
．
(1)求抛物线的解析式．
(2)求三角形 的面积；
(3)若点P是抛物线在一象限内 上方一动点，连接 ，是否存在点P，使四边形 的面积为
18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
(4)如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点， 为边的
四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
类型三、二次函数中的菱形存在性问题
1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边相等）或对角线（对角线
垂直平分）两类，利用菱形“四边相等”或“平行四边形+邻边相等”性质分析。
2.解题技巧：用距离公式表边长（四边相等），中点坐标公式（对角线平分），斜率乘积-1（对角线垂直）列方程，结合抛物线消元，限定动点范围。
3.解题方法：代数法联立平行四边形与邻边相等方程；先证平行四边形，再验四边相等或对角线垂直，
结合图形验合理性。
例3．如图，已知二次函数 的图象经过点 ，与 轴分别交于点 ，点 ，点
是直线 上方的抛物线上一动点.
(1)求二次函数 的表达式；
(2)连接 ， ，并把 沿 轴翻折，得到四边形 ，若四边形 为菱形，请求出此时
点 的坐标；
(3)当点 运动到什么位置时，四边形 的面积最大？求出此时 点的坐标和四边形 的最大面积.
【变式】如图，抛物线 与x轴交于点 和点 ．与y轴交于点C，连接 ，
．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)点P是直线 下方抛物线上的一个动点，过点P作 的平行线l，交线段 于D．
①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E
的坐标；若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线 交于点N．当 时，请直接写出 的长．类型四、二次函数中的正方形存在性问题
1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边等且垂直）或对角线（对
角线等且垂直平分），利用正方形“四边等+四角直”或“菱形+矩形”性质分析。
2.解题技巧：用距离公式（边等）、斜率积-1（垂直）、中点重合（对角线平分）列方程，借抛物线消
元，结合图形限动点范围。
3.解题方法：代数法联立邻边等与垂直方程；先证矩形再验邻边等，或先菱形再验直角，结合图形验合
理性。
例4．如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于 ， 两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点 是第二象限抛物线上的动点， 轴，交直线 于点 ，点 在 轴上，点 在坐标平面内，
是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是正方形？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说
明理由．
【变式】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ， ，D为抛物线的顶
点．
(1)求a，b的值．
(2)如图2，连接 ，在线段 上有一动点P（不与点O，B重合），过点P作 轴，交直线 于
点E，
①当直线 经过点D时，求 的长；②以 为边在 的左侧作正方形 ，当点F在抛物线上时，求点P的坐标．
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （ 、 为常数）与 轴交于 、 两点，
与 轴交于点 ，点 是抛物线上一个动点．
(1)求该抛物线的解析式：
(2)若 ，请求出点 的坐标；
(3)连接 ，直线 上有一动点 ，点 为坐标平面上一个动点，若以 、 、 、 四点为顶点的
四边形为正方形时，请直接写出点 的坐标．
2．已知抛物线 的图象经过点 ， ．其对称轴为直线 ，与 轴的另一交
点为 ．(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点 在线段 上，过点 作 轴于点 ，以 为对角线作正方形 （点 在 右
侧），当点 在抛物线上时，求点 的坐标．
3．如图，抛物线 的顶点为 ，与 轴交于点 ，与 轴交于 ， 两点（点
在点 的左侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接 ， ， ，试证明 为直角三角形；
(3)若点 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点 ，使以 为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，求出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，已知抛物线 经过 两点，与y轴交于C点．
(1)求抛物线表达式；(2)点P是直线 上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使 的面积最大．
若存在，请求出 的最大面积，若不存在，试说明理由；
(3)若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点
M点坐标．
5．综合与探究
如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点C，抛物线的顶点为D，对
称轴为直线 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)图2中，对称轴直线 与 轴交于点H，连接 ，求四边形 的面积；
(3)点 是直线 上一点，点 是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若
存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
点A在点B的左侧，点Р是直线 下方的抛物线上一动点．
(1)求A、B、C三点的坐标．
(2)过点P作x轴的垂线，交 于点E，过点E作y轴的垂线，交y轴于点F，求 的最大值以及此
时P点的坐标．
(3)将抛物线沿 方向平移 个单位，点H是新拋物线的顶点，点Q是新抛物线对称轴上的一个动点，点M是平面内一点，若以A，Q、H、M为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的M点坐标．
7．如图，抛物线与 轴交于 ，顶点为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2) 为抛物线上一点，当 时，求 点坐标；
(3)点 是 轴上的一个动点，点 是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点 、 ，使得以
为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出 的坐标；若不存在说明理由．
8．如图1，抛物线 与x轴交于 和 两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)P是抛物线上位于直线 上方的一个动点，过点P作 轴交 于点D，过点P作 于点
E，过点E作 轴于点F，求出 的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线沿射线 方向平移 个单位长度得到抛物线 ， 与原抛物线相交于点M，点
N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形
为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
