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专题 10 反比例函数与几何图形、实际应用的综合问题
已知比例系数求特殊图形的面积
1．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，点A是反比例函数 的图象上一点，过点A 向y轴作垂
线，垂足为点B，点C、D在x轴上，且 ，则四边形 的面积为 ．
2．（23-24八年级下·重庆万州·期末）如图，点A在反比例函数 的图象上， 轴于点
B，点C是点B关于原点O的对称点，连接 ，则 的面积为 ．3．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，函数 图象上两点A，B的横坐标分别是a，b，点
O为坐标原点，则 的面积为 （用含a，b的代数式表示）．
4．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图， 和 都是等腰直角三角形，
，反比例函数 在第一象限的图象经过点 ，则 与 的面积
之差为 ．
5．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）函数 和 在第一象限内的图象如图，点 是 的图象上
一动点， 轴于点 ，交 的图象于点 ， 轴于点 ．交 的图象于点 ．下结论正确
有 ．
① 与 的面积相等；② 与 始终相等；③ ；④四边形 面积不变；根据图形面积求比例系数（解析式）
1．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，点A在反比例函数 的图象上，过点A作x轴，y轴
的垂足分别为点B，C，若 ， ，则k的值为 ．
2．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作 轴于点B，点P
在x轴上， ，四边形 的面积为12，则这个反比例函数的表达式为 ．
3．（24-25九年级上·全国·期末）如图， 中， ，点 在 轴的正半轴，点 在第一象
限，函数 （ ）的图象与边AB， 分别交于点 ，若 ， ，则 的值
为 ．
4．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，过反比例函数 图象上的一点A作y轴的平行线交反比例函数 于点B．连接 、 ．若 ，则k的值为 ．
5．（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，矩形 与反比例函数 （ 是非零常数，x>0）的
图象交于点 ，反比例函数 （ 是非零常数，x>0）的图象交于点 ，连接 ．若四边形
的面积为3，则 ．
反比例函数与平行四边形的综合问题
1．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系 中， 、 为第一象限中两点， 为
轴正半轴上一点，且四边形 为平行四边形，已知 ， ，反比例函数 的图像经过点 ．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)若反比例函数 的图像经过 中点 ，把 向上平移，对应得到 ，当 在
的图像上时，求 的坐标．
2．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫
做半对角四边形，如图1，直线 ，点A，D在直线 上，点B，C在直线 上，若 ，则
四边形 是半对角四边形．
(1)如图2，点E是平行四边形 的边 上一点， ， ， ．若四边形 为半
对角四边形，则 ______．
(2)如图3，以 的顶点C为坐标原点，边 所在直线为x轴，对角线 所在直线为y轴，建立平
面直角坐标系．点E是边 上一点，满足 ．求证：四边形 是半对角四边形；
(3)如图4，在（2）的条件下，若点E是反比例函数 图像上的动点，当点E运动时，点B恰好在反
比例函数 的图像上运动，请直接写出k的值______．
3．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图1，已知点A(a,0)， ，且a、b满足
，平行四边形 的边 与y轴交于点E，且E为 的中点，双曲线 上经过C、D两点.
(1)求k的值；
(2)点P在双曲线 上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出
满足要求的所有点Q的坐标；
(3)以线段 为对角线作正方形 （如图3），点T是边 上一动点，M是 的中点， ，
交 于N，当T在 上运动时， 的值是否发生变化，若改变，请求出其变化范围；若不改变，请求
出其值.
反比例函数与矩形的综合问题
1．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，矩形 的两边 的长分别为3，8，E是 的中点，
反比例函数 的图象经过点E，与 交于点F.
(1)若点B坐标为 ，求m的值；
(2)若 ，求反比例函数的表达式?
2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形 的顶点在反比例函数 的图象上， 轴于点A．点D为边 中点，过点D作 交该函数
图象于点E，过点E作 轴于点F，过点E的正比例函数 的图象与该函数的另一个交点为点
G．
(1) ．
(2)求点E的坐标及四边形 的面积．
(3)当正比例函数 的值大于反比例函数 的值时，直接写出x的取值范围．
3．（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，矩形 在平面直角坐标系中，反比例函数 分
别与边 、 交于E、F两点，连接 、 ，作直线EF分别交y轴、x轴于点G、H．
(1) _______ （填“ ”、“ ”、“ ”）；
(2)若 ， ， ，求k的值；
(3)当 ，时，求 的值．
4．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图1，将矩形纸片 放置在如图所示的平面直角坐标系内，点
与坐标原点重合，点 的坐标为 ，折叠纸片使点 落在 轴上的点 处，折痕为 ，过点 作
轴的平行线交 于点 ，连接 ．(1)求证：四边形 为菱形；
(2)如图2，当点 与点 重合时，求点 的坐标；
(3)如图3，在(2)的条件下，点 是线段 上一动点，点 是线段 上一动点，过点 的反比例函数
的图象与线段 相交于点 ，连接 ， ， ， ，当四边形 的周长最小时，
求点 ，点 的坐标．
反比例函数与菱形的综合问题
1．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，菱形 的顶点A的坐标为 ，顶点O与坐标原点重合，
顶点B在x轴正半轴上，点D是 的中点，反比例函数 的图像经过点D．
(1)求 的长及k的值；
(2)反比例 的图像上存在点E，使得 的面积为 ，求点E的坐标．
2．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）小明借助反比例函数图象设计“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数 图象上的点 和点 为顶点，分别作菱形 和荾形 ，点
， 在 轴上，以点 为圆心， 长为半径作 ，连接
(1)求 值；
(2)计算图形阴影部分面积之和．
3．（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图1，菱形 的边 在平面直角坐标系中的x轴上 ，
菱形对角线交于点 ，过点C的反比例函数 与菱形的边 交于点E．
(1)求点C的坐标和反比例函数 的表达式；
(2)如图2，连接 ， 求出 的面积．
4．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，点A是反比例函数 （x＞0）图象上的一个动点，过点A
作 轴于点B，点C是反比例函数图象上不与点A重合的点，以 为边作菱形 ，过点D
作 轴于点F，交反比例函数 的图象于点E．(1)已知当 时，菱形面积为20，则此时点C的横坐标是 ，点D的横坐标是 ，求该反比
例函数的表达式；
(2)若点A在（1）中的反比例函数图象上运动，当菱形面积是48时，求 的值．
反比例函数与正方形的综合问题
1．（23-24九年级上·山东济宁·期末）正方形 的边长为4， 交于点 ．在点 处建立平面直
角坐标系如图所示．
(1)如图1，双曲线 过点 ，完成填空：点 的坐标是______．点 的坐标是______，双曲线的解析
式是______．
(2)如图2，将正方形 向右平移 个单位长度，使过点 的双曲线 与 交于点 ．当
是以 为腰的等腰三角形时，求 的值．
2．（23-24九年级上·吉林辽源·期末）如图，已知点A在正比例函数 图象上，过点A作 轴于
点B，四边形 是正方形，点D是反比例函数 图象上．(1)若点A的横坐标为 ，求k的值；
(2)若设正方形 的面积为m，试用含m的代数式表示k值．
3．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）如图，正方形 的边长为3，以 所在的直线为 轴，以
所在的直线为 轴建立平面直角坐标系反比例函数 的图象与 交于 点，与 交于 点．
(1)求证： ；
(2)若 的面积为 ，求反比例函数的解析式；
(3)点 是对角线 上的一个动点，在（2）的条件下，是否存在点 ，使得 的值最小？如果存在，
直接写出点 的坐标，如果不存在，请说明理由．
4．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形 的顶点A、B分别为 、
，顶点C在反比例函数 上，顶点D在反比例函数 上．(1)如图1，当D点坐标为 时．
①求 的值；
②求m，n的值；
(2)如图2，当m，n满足什么关系时， ，并说明理由；
(3)如图3，当 时，在 的延长线上取一点E，过点E作 交x轴于点F，交反比例函数图象
于点G，当G为 的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．
（用含m的代数式表示）
反比例函数与实际应用的综合
1．（23-24八年级下·全国·期末）心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随
学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理
想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分
钟）的变化规律如下图所示．
(1)开始学习后第5分钟时与第40分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？(2)某校博雅课堂学习大致可分为三个环节：即“自学自测展素养，研学随练展收获，检学综练展成效”．
其中重点环节“研学随练展收获”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意
力指标数不低于40，请问这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由．
2．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）电学知识告诉我们：用电器的功率P（单位：W）、两端的电压U
（单位：V）及用电器的电阻R（单位∶Ω）有如下关系： ．现有一个电阻可调节的用电器，其范
围为 ．已知电压为 ，这个用电器的电路图如图所示．
(1)写出功率P关于电阻R的函数关系式．
(2)这个用电器功率的范围是多少？
3．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物
高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高y（单位： ）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：
）的反比例函数，当 时， ，请你解答下列问题．
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)若火焰的像高为 ，求小孔到蜡烛的距离．
4．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）小明家饮水机中原有水的温度为 ，通电开机后，饮水机自动开
始加热，此过程中水温y（ ）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到 时自动停止加热，
随后水温开始下降，此过程中水温y（ ）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至 时，饮水
机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)当 时，求水温y（ ）与开机时间x（分）的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)有一天，小明在上午 （水温 ），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好 ，请问此
时饮水机内水的温度约为多少 ？并求：在 这段时间里，水温共有几次达到 ？
5．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）小江制作了如图一款托盘天平，在天平支点O左边托盘A（固定）
中放置一个物体，在右边托盘P（可在 上左右移动， ）中放置一个可以装水的容器（容器的
质量忽略不计）．在容器中加入一定质量的水，改变托盘P与点O的距离 ，可以使天平
左右平衡，记录天平平衡时容器中加入的水的质量，得到下表：
托盘P与点O的距离x/cm 40 24 20 16 12 10
加入的水的质量y/g 6 10 12 15 20.1 24
(1)①请在所给的平面直角坐标系中作出y关于x的函数图象．
②观察函数图象，并求y关于x的函数表达式．(2)若在容器中加入的水的质量y（g）满足 ，求天平平衡时托盘P与点O的距离x（cm）的取值
范围．
(3)根据杠杆原理，天平平衡时，左盘物体质量 右盘物体质量 （不计托盘与横梁质量），其中
．小江为了改进托盘天平使得它能在右盘倒入小于6g水时天平也能平衡，不妨设小江在天平右
盘容器中倒入5g水，他准备更换左盘中的物体，更换的物体质量分别有 ， 和 三款可供
选择，保持其他条件不变．请你通过计算帮助小江从上述三款物体中挑选合适质量的物体，并求此时天平
保持平衡时托盘P离O点的距离．
