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专题 10 反比例函数与几何图形、实际应用的综合问题
已知比例系数求特殊图形的面积
1．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，点A是反比例函数 的图象上一点，过点A 向y轴作垂
线，垂足为点B，点C、D在x轴上，且 ，则四边形 的面积为 ．
【答案】2
【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积
【分析】本题主要考查反比例函数k的几何意义，如图，过点A作 轴于点E，易证四边形 是
矩形，根据反比例函数系数k的几何意义可得 ，然后证明四边形 是平行四
边形，根据平行四边形面积的求法计算即可．
【详解】解：过点A作 轴，垂足为E，∵A是反比例函数 的图象上一点，
∴ ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
故答案为：2．
2．（23-24八年级下·重庆万州·期末）如图，点A在反比例函数 的图象上， 轴于点
B，点C是点B关于原点O的对称点，连接 ，则 的面积为 ．
【答案】10
【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积
【分析】本题考查了反比例函数 值的几何意义，根据题意先求出 ，再根据点 ， 关于原
点对称得到 计算即可．熟练掌握 值几何意义是关键．
【详解】解：∵点 在反比例函数 的图象上， 轴于点B，∴ ，
∵点 ， 关于原点对称，
∴ ，
∴ ．
故答案为：10．
3．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，函数 图象上两点A，B的横坐标分别是a，b，点
O为坐标原点，则 的面积为 （用含a，b的代数式表示）．
【答案】
【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、反比例函数与几何综合
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数k值的几何意义，分别过点A、B作x轴、
y轴的平行线，交y轴于点C，交x轴于点D，两直线交于点E，根据题意可知
，利用 代入求值即可．
【详解】解：如图，分别过点A、B作x轴、y轴的平行线，交y轴于点C，交x轴于点D，两直线交于点
E，根据题意可知 ，
，
点A、B在反比例函数图象上，
，
，
故答案为： ．
4．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图， 和 都是等腰直角三角形，
，反比例函数 在第一象限的图象经过点 ，则 与 的面积
之差为 ．
【答案】
【知识点】等边对等角、已知比例系数求特殊图形的面积、反比例函数与几何综合、运用平方差公式进行
运算
【分析】本题考查了反比例函数系数 的几何意义，等腰三角形的性质，面积公式，平方差公式，根据
和 都是等腰直角三角形可得出 、 ，设 ， ，则点 的坐标为
，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出 ，再根据三角形的面积即可得出与 的面积之差，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ，
设 ， ，
则点 的坐标为 ，
∵反比例函数 在第一象限的图象经过点 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
5．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）函数 和 在第一象限内的图象如图，点 是 的图象上
一动点， 轴于点 ，交 的图象于点 ， 轴于点 ．交 的图象于点 ．下结论正确
有 ．
① 与 的面积相等；② 与 始终相等；③ ；④四边形 面积不变；
【答案】①③④
【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数 的几何意义以及利用分割图形法
求图形面积．设点 的坐标为 ，则 ， ， ， ．①根据反比
例函数系数 的几何意义即可得出 ；②由点的坐标可找出 ， ，由此可得出只有 时 ；③结合点的坐标即可找出 ， ，由此可得出该结论成立；④利用分割图
形法求图形面积结合反比例系数 的几何意义即可得知该结论成立．问题得解．
【详解】解：设点 的坐标为 ，则 ， ， ， ．
① ， ，
与 的面积相等，故①正确；
② ， ，
令 ，即 ，
解得： ．
当 时， ，故②不正确；
③ ， ，
，
，故③正确．
④ ．
四边形 的面积大小不会发生变化，故④正确；
故答案为：①③④．
根据图形面积求比例系数（解析式）
1．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，点A在反比例函数 的图象上，过点A作x轴，y轴
的垂足分别为点B，C，若 ， ，则k的值为 ．【答案】
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）
【分析】本题考查反比例函数系数 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐
标轴围成的矩形面积就等于 ．
根据反比例函数 的几何意义可得 ，再根据图象在第二象限可确定 ，进而得到解析式．
【详解】解： ，
，
图象在第二象限，
，
，
故答案为∶ ．
2．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作 轴于点B，点P
在x轴上， ，四边形 的面积为12，则这个反比例函数的表达式为 ．
【答案】
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、利用平行四边形的判定与性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，反比例函数k的几何意义，求反比例函数的解析式，先设
这个反比例函数的表达式为 ，再通过证明四边形 是平行四边形，并利用平行四边形的性质及反比例函数的性质得出k的值，即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】设这个反比例函数的表达式为 ，
∵ 轴于点B，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵反比例函数图象位于第二象限，
∴ ，
∴反比例函数的表达式为 ，
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·全国·期末）如图， 中， ，点 在 轴的正半轴，点 在第一象
限，函数 （ ）的图象与边AB， 分别交于点 ，若 ， ，则 的值
为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握几何面积计算反比例系数的方法是解题的关键．
根据题意，连接CD，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，可得 ，可证
，得到 ，设 ，则 ，点 ，根据，可得 ，则有 ，再根据 ，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接CD，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，且点 三点共线，
∴点 三点的横坐标都相同，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵点 在反比函数图象上，
∴ ，即 ，
∵点 三点的横坐标都相同，
∴点 的横坐标为 ，
∴点 的纵坐标为 ，
∴点 ，
∴，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
故答案为： ．
4．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，过反比例函数 图象上的一点A作y轴的平行线
交反比例函数 于点B．连接 、 ．若 ，则k的值为 ．
【答案】
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）
【分析】本题考查了反比例函数的 的几何意义，令 交 轴于 ，由题意可得 ，求出
，即可得解．
【详解】解：如图：令 交 轴于 ，，
∵点 在反比例函数 上，且 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
5．（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，矩形 与反比例函数 （ 是非零常数，x>0）的
图象交于点 ，反比例函数 （ 是非零常数，x>0）的图象交于点 ，连接 ．若四边形
的面积为3，则 ．
【答案】6
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）【分析】本题考查反比例函数中 的几何意义的应用，读懂题意，数形结合，将所求代数式准确用 的几
何意义对应的图形面积表示出来是解决问题的关键．
根据反比例函数中 的几何意义：反比例函数图象上点向坐标轴作垂线，与原点构成的直角三角形面积等
于 ，数形结合可以得到 ，根据图象均在第一象限可知 ，
再由四边形 的面积为3，得到 ，即可得到答案．
【详解】解： 矩形 与反比例函数 （ 是非零常数， ）的图象交于点 ，
由反比例函数中 的几何意义知， ，
矩形 与反比例函数 （ 是非零常数， ）的图象交于点 ，
由反比例函数中 的几何意义知， ，
四边形 的面积为3，
由图可知， ，
即 ，解得 ，
，
故答案为：6．
反比例函数与平行四边形的综合问题
1．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系 中， 、 为第一象限中两点， 为轴正半轴上一点，且四边形 为平行四边形，已知 ， ，反比例函数 的图像经
过点 ．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)若反比例函数 的图像经过 中点 ，把 向上平移，对应得到 ，当 在
的图像上时，求 的坐标．
【答案】(1)
(2)
【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、利用平行四边形的性质求解
【分析】 过 作 于 ，根据勾股定理得到 ，求得 ，得到
，于是得到结论；
根据平行四边形的性质得到 ， ，得到点 的纵坐标为 ，把 代入 得
得到 ，过 作 轴于 ，根据勾股定理得到 ，把 代入 即可得到结论．
【详解】（1）解：过 作 于 ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴反比例函数的表达式为 ；
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，，
∴ 点的纵坐标为 ，
∵点 是 的中点，
∴点 的纵坐标为 ，
∴把 代入 得， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
过 作 轴于 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得， ，
∵把 向上平移，对应得到▱ ，当 在 的图象上时，∴ ．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，平行四边形的性质，勾
股定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
2．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫
做半对角四边形，如图1，直线 ，点A，D在直线 上，点B，C在直线 上，若 ，则
四边形 是半对角四边形．
(1)如图2，点E是平行四边形 的边 上一点， ， ， ．若四边形 为半
对角四边形，则 ______．
(2)如图3，以 的顶点C为坐标原点，边 所在直线为x轴，对角线 所在直线为y轴，建立平
面直角坐标系．点E是边 上一点，满足 ．求证：四边形 是半对角四边形；
(3)如图4，在（2）的条件下，若点E是反比例函数 图像上的动点，当点E运动时，点B恰好在反
比例函数 的图像上运动，请直接写出k的值______．
【答案】(1)6
(2)见解析
(3)8
【知识点】利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的性质和判定、反比例函数与几何综合、坐标与图形
【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形、反比
例函数图像上点的坐标特征等知识，理解题中定义，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定与性
质是解答的关键．
（1）先根据平行四边形的性质得到 ， ， ，再根据题中定义得到 ，然后得到 ，根据等角对等边得到 ，
进而可求解；
（2）先根据平行四边形的性质得到 ， ，进而证得 ，根据等边对等角得到
，然后利用三角形的外角性质推导出 ，进而根据题中定义可得结论；
（3）根据等腰三角形的判定推导出E为 的中点，设 ，利用中点坐标公式可得 ，
，进而可得点B的坐标为 ，利用反比例函数图像上点的坐标特征可求解．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵四边形 为半对角四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：6；
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴四边形 是半对角四边形；
（3）解：由（2）知， ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，则 ，
∴E为 的中点，
设 ，则 ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
由题意，点B的坐标为 ，
∵点E是反比例函数 图像上，点B恰好在反比例函数 的图像上，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：8．
3．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图1，已知点A(a,0)， ，且a、b满足
，平行四边形 的边 与y轴交于点E，且E为 的中点，双曲线 上
经过C、D两点.
(1)求k的值；
(2)点P在双曲线 上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出
满足要求的所有点Q的坐标；
(3)以线段 为对角线作正方形 （如图3），点T是边 上一动点，M是 的中点， ，交 于N，当T在 上运动时， 的值是否发生变化，若改变，请求出其变化范围；若不改变，请求
出其值.
【答案】(1)
(2) 或 或
(3)不变，
【知识点】利用平行四边形的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、反比例函数与几何综合、坐标
与图形
【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，得出A、B两点的坐标，设 ，由 ，可
知 ，再根据反比例函数的性质求出t，由D的坐标即可求出反比例函数表达式；
（2）由点P在双曲线 上，点Q在y轴上，设 ， ，再分以 为边和以 为对角线
两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标．
（3）连接 ，易证 ，故 ， ， ，
由此即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ ，且 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵E为 中点，且横坐标为 ，根据中点坐标的计算方法，
∴ ，
设 ，
由平行四边形的性质知，点A向右平移1个单位向下平移4个单位得到点B，
则点D向右平移1个单位向下平移4个单位得到点C，则点 ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵D点在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）知： ，
∴反比例函数的解析式为 ，
∵点P在双曲线 上，点Q在y轴上，
∴设 ， ，
①当 为边时：
如图1所示：若 为平行四边形，
∵ ， ，则 ，
解得 ，
此时 ， ；
如图2所示，若 为平行四边形，∵ ， ，则 ，
解得 ，
此时 ， ；
②如图3所示，当 为对角线时： ，且 ；
∵ ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ；
故点Q的坐标为： 或 或(0,4)；
（3）解：如图4，连接 ，∵ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
四边形 中， ，而 ，
∴ ，
∵四边形 内角和为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、平行四
边形的性质，全等三角形的判定与性质，中点坐标公式等知识，运用分类讨论是解决第（2）小题的关键，
当然除用中点坐标公式外，也可通过构造全等三角形来解决第（1）题和第（2）题．
反比例函数与矩形的综合问题1．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，矩形 的两边 的长分别为3，8，E是 的中点，
反比例函数 的图象经过点E，与 交于点F.
(1)若点B坐标为 ，求m的值；
(2)若 ，求反比例函数的表达式?
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综
合
【分析】本题主要考查了求反比例函数、矩形的性质、勾股定理等知识点，掌握反比例函数的定义成为解
题的关键．
（1）根据矩形的性质可得E两点坐标，再根据反比例函数的特征求解即可；
（2）根据勾股定理可得 的长，根据线段的和差可得 ，可得F点坐标，再根据根据待定系数法求得
m的值即可．
【详解】（1）解：点B坐标为 ， ，E是 的中点，
∴点 ，
函数图象经过E点，
∴ ．
（2）解：如图：连接 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，则 ，
设E点坐标为 ，则F点坐标为 ，
∵E，F两点在函数 图象上，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形 的顶点
在反比例函数 的图象上， 轴于点A．点D为边 中点，过点D作 交该函数
图象于点E，过点E作 轴于点F，过点E的正比例函数 的图象与该函数的另一个交点为点
G．
(1) ．
(2)求点E的坐标及四边形 的面积．
(3)当正比例函数 的值大于反比例函数 的值时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)8
(2) ，四边形 的面积为4
(3) 或【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、根据正方形的性质与判定求面积、一次函数与
反比例函数的交点问题
【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能利用函数图象求出不等式的取值范围是解题
的关键．
（1）直接把点 代入反比例函数 ，求出 的值即可；
（2）根据点 为边 中点求出 点坐标，进而可得出 点坐标，由 轴，
轴可知四边形 是正方形，进而可得出其面积；
（3）先求出 点坐标，再由函数图象可直接得出结论．
【详解】（1）解：∵点 在反比例函数 的图象上，
，
解得 ，
故答案为：8；
（2）解：∵点 为边 中点， ，
∴ ，
∵ ，
∴反比例函数的解析式为 ，
∵ 交该函数图象于点 ，
∴当 时， ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴， 轴， ，
∴四边形 是正方形，
∴四边形 的面积 ；
（3）解：∵ ，∴ ，
∴当 或 时，正比例函数 的值大于反比例函数 的值．
3．（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，矩形 在平面直角坐标系中，反比例函数 分
别与边 、 交于E、F两点，连接 、 ，作直线EF分别交y轴、x轴于点G、H．
(1) _______ （填“ ”、“ ”、“ ”）；
(2)若 ， ， ，求k的值；
(3)当 ，时，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】矩形性质理解、反比例函数与几何综合
【分析】本题主要考查了反比例函数k值意义，矩形的性质，待定系数求一次函数解析式等知识，解题的
关键是：
（1）利用k的几何意义求解即可；
（2）先求出 ， ，利用待定系数法求出 的解析式，再求出H的坐标，然后根据
得出关于k的方程，求解即可；
（3）设 ， ，利用矩形的性质，k的几何意义可求出 ， ， ，， ，利用待定系数法求出 的解析式，再求出H的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数 分别与矩形 的边 、 交于E、F两点，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：∵反比例函数 分别与矩形 的边 、 交于E、F两点， ， ，
∴ ，
设 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 ；
（3）解：设 ， ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
设 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
4．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图1，将矩形纸片 放置在如图所示的平面直角坐标系内，点
与坐标原点重合，点 的坐标为 ，折叠纸片使点 落在 轴上的点 处，折痕为 ，过点 作
轴的平行线交 于点 ，连接 ．(1)求证：四边形 为菱形；
(2)如图2，当点 与点 重合时，求点 的坐标；
(3)如图3，在(2)的条件下，点 是线段 上一动点，点 是线段 上一动点，过点 的反比例函数
的图象与线段 相交于点 ，连接 ， ， ， ，当四边形 的周长最小时，
求点 ，点 的坐标．
【答案】(1)详见解析
(2)
(3)点 的坐标为 ，点 的坐标为
【知识点】证明四边形是菱形、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、反比例函数与几何综合
【分析】（1）由题意得出 ，推出 ，由折叠的性质得出 ，
，从而得出 ，推出四边形 是平行四边形，结合 ，即可得证；
（2）由折叠可得 ，由勾股定理可得 ，推出 ，设 ，则 ，
，再由勾股定理计算即可得解；
（3）由(2)得 坐标为 ，设点 坐标为 ，根据反比例函数的性质得出 坐标为 ，作点
关于 轴的对称点 ，点 关于 轴的对称点 ，则 ， ，连结 ， ，得
出 ， ，四边形 的周长
，推出当 四点共线时四边形 的
周长最小，待定系数法求出直线 的解析式为： ，即可得解．
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，且 轴折叠纸片使点 落在 轴上点 处，折痕为 ，
， ，
∴
四边形 是平行四边形
又
四边形 为菱形．
（2）解： 点 与点 重合，
设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
点 的坐标为 ；（3）解：由(2)得 坐标为 ，
设点 坐标为 ，
点 都在反比例函数 的图象上，
， ，
即： ，
解得 ，
坐标为 ，
作点 关于 轴的对称点 ，点 关于 轴的对称点 ，则 ， ，
连结 ，
， ，
四边形 的周长 ，
当 四点共线时四边形 的周长最小，
设直线 的解析式为 ，把 ， ，代入，得
，
解得 ，直线 的解析式为： ，
令 ，即 ，得 ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定定理、勾股定理、反比例函数的图象与性质、
一次函数的应用、坐标与图形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
反比例函数与菱形的综合问题
1．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，菱形 的顶点A的坐标为 ，顶点O与坐标原点重合，
顶点B在x轴正半轴上，点D是 的中点，反比例函数 的图像经过点D．
(1)求 的长及k的值；
(2)反比例 的图像上存在点E，使得 的面积为 ，求点E的坐标．
【答案】(1)5，22
(2) 或
【知识点】利用菱形的性质求线段长、已知两点坐标求两点距离、求反比例函数解析式、反比例函数与几
何综合
【分析】本题考查了反比例函数与几何，平行四边形的性质等知识，解题的关键是：
（1）利用两点间距离公式求 即可，利用平行四边形的性质可得出D的坐标，然后把D的坐标代入求解即可；
（2）设E的纵坐标为 ，则E到 的距离为 ，然后利用 的面积求 ，在把 代入反比例
函数解析式求出E的横坐标即可．
【详解】（1）解∶∵点A的坐标为
∴ ，
∵菱形 ，
∴ ， 轴，
∵点D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
代入 ，得 ；
（2）解：设E的纵坐标为 ，则E到 的距离为 ，
∵ 的面积为 ，
∴ ，
解得 或2，
由（1）知：反比例函数解析式为 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
∴E的坐标为 或 ．
2．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）小明借助反比例函数图象设计“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数 图象上的点 和点 为顶点，分别作菱形 和荾形 ，点
， 在 轴上，以点 为圆心， 长为半径作 ，连接
(1)求 值；
(2)计算图形阴影部分面积之和．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求其他不规则图形的面积、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合
【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．涉及菱形的性质，扇形的面积．
（1）直接将点 代入解析式求 值即可；
（2）利用分割法得到 ，求解即可．
正确的求出函数解析式，掌握相关图形的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
【详解】（1）∵点 在反比例函数图象上，
；
（2）连接 交 于点 ．∵四边形 是菱形
∴ 与 相互垂直平分, ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形
，
又
．
3．（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图1，菱形 的边 在平面直角坐标系中的x轴上 ，
菱形对角线交于点 ，过点C的反比例函数 与菱形的边 交于点E．(1)求点C的坐标和反比例函数 的表达式；
(2)如图2，连接 ， 求出 的面积．
【答案】(1) ，
(2)
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数与几何综合
【分析】（1）由中点坐标公式求出点C的坐标，再用待定系数法即可求解 的表达式；
（2）先求出点B的坐标，再求出点E的坐标，然后用割补法求得 的面积，即可求解．
【详解】（1）解：由菱形的性质知，点M是A，C的中点，
∵ ， ，
由中点坐标公式 ， ，
则 ，
，
即点 ，
将点 代入反比例函数表达式得： ，
则反比例函数的表达式为： ；
（2）解：过E作 于点H， 交y轴于点P，如图所示：
设 ，∵四边形 是菱形，
∴ ，
即 ，
∴ ，即 ，
设 的解析式为 ，
把 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
则 的解析式为 ，
联立①②式，即 ，
解得 （舍去）， ，
即
那么 ．
【点睛】本题为反比例函数综合题，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、菱形的性质
等，有一定的综合性，难度适中．
4．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，点A是反比例函数 （x＞0）图象上的一个动点，过点A
作 轴于点B，点C是反比例函数图象上不与点A重合的点，以 为边作菱形 ，过点D
作 轴于点F，交反比例函数 的图象于点E．(1)已知当 时，菱形面积为20，则此时点C的横坐标是 ，点D的横坐标是 ，求该反比
例函数的表达式；
(2)若点A在（1）中的反比例函数图象上运动，当菱形面积是48时，求 的值．
【答案】(1)3，8：y=
(2)
【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长
【分析】（1）过点C作 于点T，利用菱形面积求出 ，再利用勾股定理求出 ，从而可
设出点C的坐标为 ，则点A的坐标为 ，得到 ，求出m的值即可得到答
案；
（2）设点 ，过点C作 轴于点N，交 于点M，利用菱形面积得到 ，即可得到
点C的纵坐标为 ，则 ，进一步推出，点D的坐标为 ，点E的坐标为 ，
得到 ，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：过点C作 于点T，
∴菱形面积 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，∴点C的横坐标为3，点D的横坐标为 ，
设点C的坐标为 ，则点A的坐标为 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ，
∴反比例函数的表达式为： ， ，
故答案为：3，8；
（2）解：设点 ，过点C作 轴于点N，交 于点M，
∵菱形面积是48，
∴ ，
∴ ，
∴点C的纵坐标为 ，
∴ ，
∴点D的坐标为 ，
∴点E的坐标为 ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，正确利用菱形的面积求出对应
线段的长度是解题的关键
反比例函数与正方形的综合问题
1．（23-24九年级上·山东济宁·期末）正方形 的边长为4， 交于点 ．在点 处建立平面直
角坐标系如图所示．
(1)如图1，双曲线 过点 ，完成填空：点 的坐标是______．点 的坐标是______，双曲线的解析
式是______．
(2)如图2，将正方形 向右平移 个单位长度，使过点 的双曲线 与 交于点 ．当
是以 为腰的等腰三角形时，求 的值．【答案】(1)
(2)满足条件的 的值为2或
【知识点】根据正方形的性质求线段长、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合、写出直角坐标系
中点的坐标
【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数的性质，正方形的性质等知识，熟练掌握反比
例函数的性质和正方形的性质是解题的关键．
（1）根据正方形的边长可确定 点的坐标，再利用正方形的性质得出 点坐标，用待定系数法求出双曲
线解析式即可；
（2）根据 点的坐标求出 的长，再分两种情况讨论分别求出 的值即可．
【详解】（1）解：∵正方形 的边长为 交于点 ，
∵点 是 的中点，
将 点坐标代入双曲线 ，
得 ，
解得 ，
∴双曲线的解析式为 ；
（2）∵正方形边长为4，
由（1）知 ，
①当 时，
∵ ，点 、 在反比例函数图象上，②当 时，点 与点 重合，
∵ ，点 、 在反比例函数图象上，
综上所述，满足条件的 的值为2或 ．
2．（23-24九年级上·吉林辽源·期末）如图，已知点A在正比例函数 图象上，过点A作 轴于
点B，四边形 是正方形，点D是反比例函数 图象上．
(1)若点A的横坐标为 ，求k的值；
(2)若设正方形 的面积为m，试用含m的代数式表示k值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、一次函数与反比例函数的交点
问题
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征，利用正方形的边长相等来表示各个点坐
标是解题的关键；
（1）先求A的横坐标，就可以得到D的坐标，即可得出结论；
（2）由正方形 的面积为m，得出边长，可表示出D和A的纵坐标，进而求出D的坐标，代入反比
例函数即可．【详解】（1） 点A的横坐标为 ，在正比例函数 图象上，
当 时， ，
A的坐标为： ，
点A作 轴于点B，四边形 是正方形，
，
，
D的坐标为： ，
点D是反比例函数 图象上
，
（2） 正方形 的面积为m，
，
点D和A得纵坐标为 ，
A的坐标为： ，
，
D的坐标为： ，
代入 得：
3．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）如图，正方形 的边长为3，以 所在的直线为 轴，以
所在的直线为 轴建立平面直角坐标系反比例函数 的图象与 交于 点，与 交于 点．(1)求证： ；
(2)若 的面积为 ，求反比例函数的解析式；
(3)点 是对角线 上的一个动点，在（2）的条件下，是否存在点 ，使得 的值最小？如果存在，
直接写出点 的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)反比例函数的解析式为
(3)存在，
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、反比例函数与几何综合
【分析】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、正方形的性质，在解
答此题时要注意整体思想的运用．
（1）根据反比例函数图象上点的坐标特点可得出 ，故可得出结论；
（2）根据 列方程，解方程即可得出m的值，进而可得出反比例函数
的解析式；
（3）根据题意可得直线 与 的交点即为点P，求出直线的解析式，进而得到P点的坐标即可．
【详解】（1）证明：正方形 的边长为3，
∴ ， ，
∵点E和F在 上，
∴点E的坐标为 ，点F的坐标为 ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴反比例函数解析式为 ；
（3）解：由题可知点E，F关于直线 对称，
则连接 交 于点P，则 长最小，
∵点F的坐标为 ，点D的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，代入得：
，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
同理可求：直线 的解析式为 ，
解方程组 得 ，
∴点 的坐标为 ．4．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形 的顶点A、B分别为 、
，顶点C在反比例函数 上，顶点D在反比例函数 上．
(1)如图1，当D点坐标为 时．
①求 的值；
②求m，n的值；
(2)如图2，当m，n满足什么关系时， ，并说明理由；
(3)如图3，当 时，在 的延长线上取一点E，过点E作 交x轴于点F，交反比例函数图象
于点G，当G为 的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．
（用含m的代数式表示）
【答案】(1)① 的值为4；②m， 的值为1，3；
(2)当 时， ；
(3)
【知识点】反比例函数与几何综合
【分析】（1）①将点 的坐标代入反比例函数解析式即可得出结论；
②过点 作 轴，可得 ，可用 ， 表达点 的坐标，建立关于 ， 的二元一次方
程组即可得出结论；
（2）过点 作 轴于点 ，可得 ，可用 ， 表达点 的坐标，由此建立关于 ，
的不等式，解之即可；（3）过点 作 轴于点 ，设 ，由等腰三角形的性质可表达点 和点 的坐标，由此建立关
于 的方程，解之即可．
【详解】（1）解：①将点 代入反比例函数解析式 ，
；
即 的值为4；
②如图，过点 作 轴于点 ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，解得 ．
， 的值为1，3；
（2）解：当 时， ，理由如下：
如图，过点 作 轴于点 ，同理（1）可得 ， ，
， ，
，
，
，
若 ，则 ，
， ，
，
即当 时， ；
（3）解：由（2）得 ， ，又 ，
∴ ，
， ，
，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
如图，过点 作 轴于点 ，是等腰直角三角形，
，
设 ， ，
， ，
点 是 的中点，
；
，
，
点 在 上，
，整理得 ，
（舍）或 ；
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与
判定，等腰直角三角形的性质等相关知识，用 ， 表达出点 ， 的坐标是解题关键．
反比例函数与实际应用的综合
1．（23-24八年级下·全国·期末）心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随
学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理
想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分
钟）的变化规律如下图所示．(1)开始学习后第5分钟时与第40分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
(2)某校博雅课堂学习大致可分为三个环节：即“自学自测展素养，研学随练展收获，检学综练展成效”．
其中重点环节“研学随练展收获”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意
力指标数不低于40，请问这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由．
【答案】(1)第40分钟时更集中
(2)合理，理由见解析
【知识点】实际问题与反比例函数、其他问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，此题属于分段函数，根据实际情况，结合图象，求出相对应
的函数解析式，计算出数值，代入相应的函数解析式解决问题．
（1）从图象上看， 表示的函数为一次函数， 是平行于 轴的线段， 为双曲线的一部分，设出解
析式，代入数值可以解答，把自变量的值代入相对应的函数解析式，求出对应的函数值比较得出；
（2）求出相对应的自变量的值，代入相对应的函数解析式，求出注意力指标数与40相比较，得出答案．
【详解】（1）解：设 ，把 ， 代入函数解析式解得， ，
由图象直接得到 ，
设 ，把 代入函数解析式解得 ；
把 代入 ，得 ，
把 代入 ，得 ，
因为 ，
所以第40分钟时学生的注意力更集中；
（2）解：由题意知，注意力指数不低于40
即当在 ，同时
即
即当开始上课 分钟直至上课37.5分钟时学生的注意力指数均不小于40．
而 ，
该学习设计合理．
2．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）电学知识告诉我们：用电器的功率P（单位：W）、两端的电压U
（单位：V）及用电器的电阻R（单位∶Ω）有如下关系： ．现有一个电阻可调节的用电器，其范
围为 ．已知电压为 ，这个用电器的电路图如图所示．
(1)写出功率P关于电阻R的函数关系式．
(2)这个用电器功率的范围是多少？
【答案】(1)
(2)
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】（1）将 代入 中，即可得P与 R的函数关系式为 ；
（2）根据R的范围 ，将R的最小值和最大值分别代入 中，即可求出P的最大值和最
小值，由此可得P的范围．
本题主要考查了反比例函数的定义和性质，利用反比例函数解决实际问题．熟练掌握反比例函数的性质是
解题的关键．
【详解】（1）解∶根据电学知识，当 时，由 得 ．
（2）解：将电阻的最小值 代入 ， 得 ．将电阻的最大值 代入 ， 得 ．
所以用电器功率的范围是 ．
3．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物
高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高y（单位： ）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：
）的反比例函数，当 时， ，请你解答下列问题．
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)若火焰的像高为 ，求小孔到蜡烛的距离．
【答案】(1)
(2)小孔到蜡烛的距离为
【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．熟练掌握反比例函数的图象和性质，待定系数法求解析式，
是解决问题的关键．
（1）设 ．把 ， 代入，求得k的值，即得；
（2）把 代入 ，求得x值即可．
【详解】（1）根据题意，设 ．
把 ， 代入，
得 ，
∴y关于x的函数表达式为 ．
（2）把 代入 ，
得 ．
故小孔到蜡烛的距离为 ．4．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）小明家饮水机中原有水的温度为 ，通电开机后，饮水机自动开
始加热，此过程中水温y（ ）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到 时自动停止加热，
随后水温开始下降，此过程中水温y（ ）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至 时，饮水
机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)当 时，求水温y（ ）与开机时间x（分）的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)有一天，小明在上午 （水温 ），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好 ，请问此
时饮水机内水的温度约为多少 ？并求：在 这段时间里，水温共有几次达到 ？
【答案】(1)
(2)
(3)饮水机内水温约为 ，共有6次达到
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数
【分析】本题考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可得出答案；
（2）先求出反比例函数解析式进而得出 的值即可得出答案；
（3）先求出总时间，再利用每40分钟图象重复出现一次，即可得出答案．
【详解】（1）解：由图象可知，当 时是一次函数，
设 将 代入得：
，
解得 ，
∴水温y（ ）与开机时间x（分）的函数关系式为： ；（2）在水温下降过程中，设水温y（ ）与开机时间x（分）的函数关系式为 ，
依据题意得： ，解得 ，
∴反比例函数解析式为： ，
当 时， ，
解得： ；
（3）由（2） ，结合图象，可知每 分钟图象重复出现一次，
经历时间为 分钟，
，
∴当 时， ，
答：饮水机内水温约为 ，共有6次达到 ．
5．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）小江制作了如图一款托盘天平，在天平支点O左边托盘A（固定）
中放置一个物体，在右边托盘P（可在 上左右移动， ）中放置一个可以装水的容器（容器的
质量忽略不计）．在容器中加入一定质量的水，改变托盘P与点O的距离 ，可以使天平
左右平衡，记录天平平衡时容器中加入的水的质量，得到下表：
托盘P与点O的距离x/cm 40 24 20 16 12 10
加入的水的质量y/g 6 10 12 15 20.1 24
(1)①请在所给的平面直角坐标系中作出y关于x的函数图象．②观察函数图象，并求y关于x的函数表达式．
(2)若在容器中加入的水的质量y（g）满足 ，求天平平衡时托盘P与点O的距离x（cm）的取值
范围．
(3)根据杠杆原理，天平平衡时，左盘物体质量 右盘物体质量 （不计托盘与横梁质量），其中
．小江为了改进托盘天平使得它能在右盘倒入小于6g水时天平也能平衡，不妨设小江在天平右
盘容器中倒入5g水，他准备更换左盘中的物体，更换的物体质量分别有 ， 和 三款可供
选择，保持其他条件不变．请你通过计算帮助小江从上述三款物体中挑选合适质量的物体，并求此时天平
保持平衡时托盘P离O点的距离．
【答案】(1)①见解析 ②
(2)
(3)小江挑选质量为20（g）的物体，这时 长为
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】本题考查反比例函数的实际应用．
（1）①描出各点连线得到图象；
②根据图象可得到反比例函数，利用待定系数法求出解析式即可；
（2）根据题意列出方程组，求解即可，然后根据增减性解题即可；
（3）把三个数据分别代入，计算 长，然后作出判断即可．
【详解】（1）①解：描出各点连线得到图象为：②由图象可得 与 成反比例函数，
设反比例关系式为 ，则 ，
∴反比例关系式为 ；
（2）解：当 时， ；
当 时， ；
∵在第一象限内y随x的增大而减小，
∴当 ，则 ；
（3）解：当左盘中的物体质量为35（g）时， ，不符合题意；
当左盘中的物体质量为29（g）时， ，不符合题意；
当左盘中的物体质量为20（g）时， ，符合题意；
∴小江挑选质量为20（g）的物体，这时 长为 ．
