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专题 11 二次函数中平移﹑翻折﹑对称﹑旋转﹑折叠问题
题型1 二次函数平移问题
题型2 二次函数翻折问题
题型3 二次函数对称问题
题型4 二次函数旋转问题
题型5 二次函数折叠问题
题型一 二次函数平移问题（共 8 小题）
1．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交
5
于A(-1,0)，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线x= ．
2
(1)求抛物线的表达式；
(2)将此抛物线在x轴下方的图像沿x轴向上翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像L，若
将直线BC向上平移t个单位长度，使得平移后的直线与图像L有两个公共点，请直接写出t的取值范围．
(3)如图②点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D，作
❑√5
PE⊥BC于点E，直接写出PD+ PE的最大值及此时点P的坐标；
22．（19-20九年级上·重庆·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点
A(-2,0)，B(8,0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；
1
(2)连接AC，BC，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，若有S = S ，求出点P的横坐
△PBC 2 △ABC
标；
(3)若将抛物线沿直线AC方向平移一定距离得到新抛物线L，且抛物线L满足当1≤x≤3时，有最大值
为0，直接写出抛物线L的对称轴．
3．（2023九年级下·江苏·专题练习）如图，将抛物线y=x2向右平移a(a>0)个单位得到新抛物线，新抛
物线的顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形．
(1)求a的值；
(2)在新抛物线上是否存在一点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，请求出点C的坐标；若不
存在，请说明理由．1
4．（2025·重庆开州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+bx+c(a≠0)交x轴于A(-4,0)，
8
B(8,0)两点，交y轴于C，连接AC，BC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是线段BC下方抛物线上一动点，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，点E和点F是
直线BC上的两个动点（点F在点E的下方），且EF=❑√5，连接AF，EP，当PH有最大值时，求
AF+EF+EP的最小值；
(3)将抛物线沿射线CB方向平移2❑√5个单位得新抛物线y'，点Q是新抛物线y'上的一点，连接QB，当
∠QBC=∠ABC+∠ACO时，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标．
5．（21-22九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线 与 轴交于点 ，点
y=mx2+2mx-3m(m≠0) x A B
（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．
(1)直接写出点C的坐标（用含m的代数式表示）；
(2)若△ABC的面积为6，求m的值；
(3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移h(h>0)个单位，记平移后抛物线中y随x的增大而减小的部
分为H，当直线AC与H总有两个公共点时，求h的取值范围．6．（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，直线y=x+3与坐标轴交于B，C两点，抛物线
经过B，C两点，与x轴交于点A，连接AC．
y =-x2+bx+c
1
(1)求抛物线y 的解析式；
1
(2)如图1，点D是直线BC上方抛物线上的一点，过点D作DE∥AC交BC于点E，连接
AE，AD，BD，求S +S 的最大值；
△DEB △DEA
(3)如图2，只将图1中的抛物线y 向右平移两个单位长度得到新抛物线y ，y 与x轴正半轴的交点为
1 2 2
F，连接CF，点G是抛物线y 第二象限上的一点，连接GF．若∠GFC=∠ACF，请求出点G的坐
2
标．
7．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图1，若二次函数 的图象与 轴交于点 和
y=ax2-2x+c(a≠0) x A
点B(3,0)，与y轴交于点C(0,-3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的动点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；(3)如图3，将抛物线 先向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到新
y=ax2-2x+c(a≠0) 1 1
的抛物线y'，在y'的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边
形是矩形，求点E的坐标．
8．（2024·贵州·模拟预测）如图①，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地面竖直高度
OH为1.5m．如图②，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分
图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度EF=0.5m．内边缘抛物
线y 是由外边缘抛物线y 向左平移得到，外边缘抛物线y 的最高点A离喷水口的水平距离为2m，高
2 1 1
出喷水口0.5m．
(1)求外边缘抛物线y 的函数表达式；
1
(2)求内边缘抛物线y 与x轴的正半轴交点B的坐标；
2
(3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求OD的取值范围．
题型二 二次函数翻折问题（共 6 小题）
1．（24-25九年级上·吉林·期末）如图1，抛物线y=ax2+4x经过点A(4,0)．
(1)求a的值．
(2)将图1中抛物线在y轴右侧部分沿x轴翻折，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象
记为图象G，如图2，直接写出图象G对应的函数解析式．(3)点P在图象G上，其横坐标为m．
①点O为坐标原点，当图象G在O、P两点之间的部分（含O、P两点）所对应函数最大值与最小值
的差等于4时，直接写出m的取值范围．
②点Q在图象G上，其横坐标为3-m．当图象G在P、Q两点之间的部分（含P、Q两点）所对应函
数最大值与最小值均不随m的变化而变化时，直接写出m的取值范围．
2．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x
轴交于A，B点，与y轴交于点C(0,3)，点B的坐标为(3,0)，点P是抛物线上一个动点．
(1)求二次函数解析式；
(2)若点P在第一象限运动，过点P作PH⊥x轴于点H，与线段BC交于点M，当点P运动到什么位
置时，线段PM的值最大？请求出点P的坐标和PM的最大值；
(3)连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，
请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）如图，抛物线y=-x2+4x+5与x轴交于点A和点B，与y轴交于
点C．
(1)求出A、B、C三点的坐标；
(2)将抛物线y=-x2+4x+5图像x轴上方部分沿x轴向下翻折，保留抛物线与x轴的交点和x轴下方
图像，得到的新图像记作M，图像M与直线y=t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，
F，G．若以EF为直径作圆，该圆记作图像N．
①在图像M上找一点P，使得△PAB的面积为3，求出点P的坐标；
②当图像N与x轴相离时，直接写出t的取值范围．
4．（22-23九年级上·河南新乡·期末）抛物线y=ax2+bx-6a与x轴交于A，B两点，且A(-2,0)，抛物
线的顶点为P．
(1)求点P的坐标；（用只含a的代数式表示）
(2)若-8≤a≤-5，求△ABP面积的最大值；
(3)当a=1时，把抛物线y=ax2+bx-6a位于x轴下方的部分沿x轴向上翻折，其余部分保持不动，
得到新的函数图象．若直线y=-x+t与新的函数图象至少有3个不同的交点，求t的取值范围．5．（2022·青海西宁·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，点
C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D(1,0)，将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落
在抛物线上的点E处．
(1)求抛物线解析式；
(2)连接BE，求△BCE的面积；
(3)拋物线上是否存在一点P，使∠PEA=∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理
由．
6．（24-25九年级上·山西运城·期末）综合与实践
问题情境：某市计划在一处正方形的场地上建一座供市民休闲娱乐的绿地公园，要求是把场地划分
成四大区域，场地内有曲线形的观光道路，有一个休息室，一个洗手间，休息室与洗手间要关于场
地的中轴线对称．
设计人员小红的设计方案是：如图1所示，把一张边长为4的正方形纸ABCD先对折，得到AB的垂
直平分线MO，摊开，铺平后再次将正方形折叠，使点D，C落到MO上且折叠后点D与点C重合，
记为点P，折痕为AE，BF，再次摊开，铺平，连接AP，BP，EP，FP，得到△ABP，△EFP，
四边形ADEP，四边形BCFP四个区域．一条抛物线形的路把这四个区串起来，抛物线经过A，P，
B三点，点P是抛物线的顶点．1．在四边形ADEP区域内的抛物线上找一点N，使得△APN的面积最大，在此处建一个休息室；
2．……
工程师小李在听了小红的设计方案后，在图2中以AB所在直线为x轴，MO所在直线为y轴建立平
面直角坐标系，请按照他的方法解决下列问题：
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求出△APN面积的最大值；
(3)根据对称性，请你直接写出小红把洗手间（用点H表示）设计在四边形BCFP区域内的坐标．
题型三 二次函数对称问题（共 5 小题）
1．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与实践
问题情境：元旦晚会舞台布置中需要搭一条抛物线型灯链，最初的设计方案如图1所示，灯链两端
连接A，B两点，点C位于点B正下方的地面处，以点A正下方的地面处的点O为原点，OC所在的
直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线解析式的二次项系数为0.03，
OC=10米，OA=BC=3米，但实际实施方案后发现最低点过低．
方案修改：莉莉将方案进行修改，如图2，将图1中灯链的最低点固定在距地面2.7米的点N处，点
N两侧的灯链形成了两个对称的新抛物线．
(1)求图1中抛物线的解析式．(2)若图1中抛物线的最低点为M，求点M到的距离．
(3)若图2中两个最低点的距离为4米，修改方案后最低点提高了多少米？
2．（2025·四川南充·一模）如图1，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-3,0)，B两点，与y轴交于点
C，其对称轴直线为x=-1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M在直线AC上方的抛物线上，AC平分∠BCM，求点M坐标；
(3)如图2，点D与点C关于直线x=-1对称，过点D与抛物线有唯一公共点的直线DG与x轴交于点
G，直线PQ∥DG交抛物线于P，Q两点，连接BP交y轴正半轴于点E，连接BQ交y轴负半轴于点
F，探究OE-OF的值是否变化？若不变，求出OE-OF的值；若变化，请说明理由．
3．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）已知抛物线 （其中 ，且 为常数）与 轴
C :y=ax(x+1) a≠0 a x
1
交于 ， 两点（点 在点 左侧），抛物线 （其中 ，且 为常数）．
A B A B C :y=kx2+2kx+k-1 k≠0 k
2
(1)直接写出A，B两点的坐标；
(2)淇淇说：“无论k为何值，抛物线C 的顶点坐标都不变．”请对淇淇的说法进行说理；
2
(3)已知抛物线C 经过点P(-3,1)；
2
①求抛物线C 的解析式；
2
②点Q在抛物线C 上，且点P，Q关于抛物线C 的对称轴对称，连接PQ．若线段PQ与抛物线C 只
2 2 1
有一个公共点，请直接写出a的取值范围．4．（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A 在点B的右侧），与y
轴负半轴交于点C，且OB=OC=3
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，M为对称轴左侧的抛物线上一点，点N与M关于直线BC对称，若点N在y轴右侧，求
S 的取值范围；
△MBC
(3)如图2，点D，E分别在x轴和抛物线上，点E绕点D顺时针旋转90°得到点F，若抛物线上仅存
3
在唯一的一个点E，使得点F恰好落在直线y=- x-6上，求出点D和点E的坐标．
4
5．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，已知二次函数y=ax2-2ax-3a（a是常数，且a<0）的图象与x
轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求点A，点B的坐标；
(2)如图2，二次函数y=ax2-2ax-3a（a是常数，且a<0）的图象为L ，图象L 中位于y轴右侧的
1 1部分作关于y轴的对称图象，该对称图象记为图象L ．若直线l：y=m（m是常数）交图象L 于点D，
2 1
E（点D在点E的右侧），并与图象L 交于点F，若DF=2EF，求a与m的数量关系；
2
(3)抛物线 的图象与 轴分别交于 ， 两点，将抛物线沿 轴向下翻折，所
y=ax2-2ax-3a(a<0) x A B x
得新抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰好有13个整点（点的横坐标、纵坐标都
为整数，则称这样的点为“整点”），求a的取值范围．
题型四 二次函数旋转问题（共 5 小题）
1．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线
C：y=ax2+bx+3(a≠0)
的顶点为A(1,2)，且与y轴交于点B．
(1)求a，b的值．
(2)将抛物线C：y=ax2+bx+3绕点O旋转180°，得到抛物线C'，点E是抛物线C'上的动点，当
△EAB面积最小时，求点E的坐标．
(3)抛物线 C：y=ax2+bx+3关于直线x=m对称的图象与直线y=-x+2相交于点P，Q，若
30)
机．（已知直角坐标系的单位长度均为1km．）(1)当点(1,3)在该二次函数图象上时，求a的值；
1
(2)①若雷达可绕点P左右旋转90°形成全方位覆盖（如图2）．若已知图2中y= x2+2的图象绕点
9
1 1
P向右旋转90°形成的曲线满足：x= (y-2) 2，请直接写出y= x2+2图象绕点P向左旋转90°后x、
9 9
y满足的关系式：__________；
②如图1，若该军事游戏模型中，某型号攻击无人机飞行高度为10km，携带导弹后速度为10米/秒，
为摧毁雷达需飞行到P点正上方进行投弹．当该导弹防御系统雷达固定向上时，其覆盖范围所视为的
二次函数 的 要调整到什么范围才能抵挡这次攻击？（投弹时间忽略不计）
y=ax2+2(a>0) a
5.（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交
y=ax2+bx+4(a≠0)
于A、C两点，其中A(-1,0)，C(4,0)，与y轴交于点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连结BC，过点D作DE⊥BC于点E，延长DE与直
❑√2
线y=-2交于点F，求 DF+❑√2DE的最大值及此时点D的坐标；
2(3)若将原抛物线绕原点O旋转180°得到新的抛物线y'，P是新抛物线y'上的一个动点，H是直线
y=-2上的一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点K，使得四边形OPKH为正方形？请直
接写出满足条件的所有K的坐标．
题型五 二次函数折叠问题（共 5 小题）
1．（25-26九年级上·广西柳州·月考）一片心形叶子、刚生长出的幼苗的部分轮廓线，可以近似的看作由
抛物线的一部分沿直线折叠而成．
(1)如图1，为了确定一片心形叶子的形状，建立平面直角坐标系，发现心形叶子下部轮廓线可以看作
是二次函数y=mx2-4mx-20m+5图象的一部分，且过原点，求这个抛物线的表达式及顶点D 的
坐标．
(2)如图1，心形叶片的对称轴直线y=x+2与坐标轴交于A，B两点，直线x=6分别交抛物线和直线
AB于点E，F，点E、E'是叶片上的一对对称点，EE'交直线AB于点G．求叶片此处的宽度EE'的
长．
(3)兴趣小组同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线也可以看作是二次．函数
y=mx2-4mx-20m+5图象的一部分，如图2，幼苗叶片下方轮廓线正好对应（1）中的二次函数．
若直线PD与水平线的夹角为45°，三天后，点D 长到与点 P 同一水平位置的点D'时，叶尖Q落在
射线OP上（如图3所示）．求此时一片幼苗叶子的长度．2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 的图
y=ax2+bx+c(a≠0)
象与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C，且抛物线的顶点D的坐标为(1,4)，连接BC，
拋物线的对称轴与BC交于点H．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上B、D两点之间的部分（不包含B、D两点），是否存在点G，使得S =3S ，
△BGH △DGH
若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图②，将拋物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E，M为直线x=1上一个动点，在
平面内是否存在一个点N，使得以B、E、M、N为顶点的四边形是以BE为对角线的矩形，若存在，
求出N点坐标，若不存在，请说明理由．
3．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A(5,0)在x轴正半轴上，点C的坐标为(3,4)，抛物线y=-x2+bx+c经过O，A两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线与线段BC的交点为D，连接OD，将△OCD沿直线OD折叠，点C的对应点为E，连接
AE，求AE的长度．
1
(3)在抛物线的对称轴上存在一点P，使得S = S ，请写出点P的坐标．
△OPE 4 菱形OABC
4．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，抛物线y=ax2-4x+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，直
线BC的表达式为y=-x+3．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求△AOC的面积；
(3)M是y轴右侧抛物线上的一动点，过点M作MN∥y轴，交直线BC于点N，连接CM，将
△CMN沿CM折叠，当点N的对应点N'恰好落在y轴上时，求点N的坐标．
5．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图1，抛物线y=-x2+3x与直线y=-x相交于O、B两点，点A
在抛物线上且横坐标为2，点D为抛物线与x轴的交点，点E是线段OB上一动点．(1)求点B坐标；
(2)连接AE、DE，求AE+DE的最小值；
(3)△AOB为什么三角形？请说明理由：
(4)如图2，点C是线段AB的中点，连接AE、CE，将△AEC沿EC折叠，得到△A'EC，若
1
△A'EC与△CBE重叠部分的面积是△CBE面积的 ，求EB的长．
2
