文档内容
专题 11 二次函数中平移﹑翻折﹑对称﹑旋转﹑折叠问题
题型1 二次函数平移问题
题型2 二次函数翻折问题
题型3 二次函数对称问题
题型4 二次函数旋转问题
题型5 二次函数折叠问题
题型一 二次函数平移问题（共 8 小题）
1．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交
5
于A(-1,0)，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线x= ．
2
(1)求抛物线的表达式；
(2)将此抛物线在x轴下方的图像沿x轴向上翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像L，若
将直线BC向上平移t个单位长度，使得平移后的直线与图像L有两个公共点，请直接写出t的取值范围．
(3)如图②点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D，作
❑√5
PE⊥BC于点E，直接写出PD+ PE的最大值及此时点P的坐标；
2
1 5
【答案】(1)y= x2- x-3
2 2
7
(2)t>8或08或00)个单位得到新抛物线，新抛
物线的顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形．
(1)求a的值；
(2)在新抛物线上是否存在一点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，请求出点C的坐标；若不
存在，请说明理由．
【答案】(1)1
(2)在图中的抛物线上存在点C，使△ABC为等腰直角三角形，点C的坐标为(2,1)
【分析】本题考查了二次函数的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，
解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不
大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置．
（1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，分别求出点A，B的坐标，根据△AOB为等腰
直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值；
（2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角
形的判定定理找出△ABC为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐
标．
【详解】（1）解：∵将抛物线y=x2向右平移a(a>0)个单位得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为y=(x-a) 2，
∴新抛物线的顶点为(a,0)，
∴OA=a，
当x=0时，y=a2，∴点B的坐标为(0,a2)，即OB=a2，
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴OA=OB，
∴a=a2，解得：a=1或0（舍去），
∴a的值为1；
（2）解：存在，理由如下：
如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，则
∠BDA=∠CDA=90°，∠OAD=90°，∠BAD=∠CAD，
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∴∠BAD=∠CAD=45°，
∴△ACD、△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
由（1）得点B的坐标为(0,1)，对称轴为直线x=1，
∴点C的坐标为(2,1)，
故在图中的抛物线上存在点C，使△ABC为等腰直角三角形，点C的坐标为(2,1)．
1
4．（2025·重庆开州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+bx+c(a≠0)交x轴于A(-4,0)，
8
B(8,0)两点，交y轴于C，连接AC，BC．(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是线段BC下方抛物线上一动点，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，点E和点F是
直线BC上的两个动点（点F在点E的下方），且EF=❑√5，连接AF，EP，当PH有最大值时，求
AF+EF+EP的最小值；
(3)将抛物线沿射线CB方向平移2❑√5个单位得新抛物线y'，点Q是新抛物线y'上的一点，连接QB，当
∠QBC=∠ABC+∠ACO时，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标．
1 1
【答案】(1)y= x2- x-4
8 2
(2)❑√61+❑√5
(3)点Q的横坐标为-22+2❑√229或2-2❑√13
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）待定系数法求出直线BC的解析式为y= 1 x-4，设P ( m, 1 m2- 1 m-4 ) (00)个单位，记平移后抛物线中y随x的增大而减小的部
分为H，当直线AC与H总有两个公共点时，求h的取值范围．
【答案】(1)(0,-3m)
(2)m=1
9
(3)2≤h<
4
【分析】（1）令x=0，则y=-3m，即可求得点C坐标；
（2）求出A、B的坐标，表示出△ABC的面积，由此即可得到答案；
（3）平移后的解析式为y=(x+1-h) 2-4，待定系数法求出直线AC的解析式为y=-x-3，当抛物线
经过点(0,-3)时，h=2，此时直线AC与H有两个公共点，联立¿，得到方程
x2+(3-2h)x+h2-2h=0，当Δ>0时，此时直线AC与H有两个公共点，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：在y=mx2+2mx-3m(m≠0)中，令x=0，则y=-3m，
∴点C的坐标为(0,-3m)，
故答案为：(0,-3m)；（2）解：在y=mx2+2mx-3m(m≠0)中，令y=0，得mx2+2mx-3m=0，
解得x =-3，x =1，
1 2
∴A(-3,0)，B(1,0)，
∴AB=1-(-3)=1+3=4，
由抛物线图象可得：m>0，
∴OC=|-3m|=3m，
1 1
∴S = AB⋅OC= ×4×3m=6，
△ABC 2 2
解得：m=1；
（3）解：由（2）得m=1
∴y=x2+2x-3=(x+1) 2-4，C(0,-3)，
∵将抛物线向右平移h(h>0)个单位，
∴新抛物线的解析式为：y=(x+1-h) 2-4，
∴对称轴为直线x=h-1，
设直线AC的解析式为：y=kx+b(k≠0)，
将A(-3,0)，C(0,-3)代入解析式得：¿，
解得：¿，
∴直线AC的解析式为y=-x-3，
当抛物线经过点(0,-3)时，-3=(1-h) 2-4，
解得：h=2或h=0（不符合题意，舍去），
当h=2时，y=(x-1) 2-4，
当x≤1时，y随x的增大而减小，
联立¿，
解得：¿，¿，
此时H与直线AC有两个交点；
联立¿，
∴x2+(3-2h)x+h2-2h=0，
∵直线AC与H总有两个公共点，∴Δ=(3-2h) 2-4(h2-2h)>0，
9
解得：h< ，
4
9
综上所述，当2≤h< 时，直线AC与H总有两个公共点．
4
【点睛】本题考查了二次函数的综合，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图象的平移，二次函
数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质；二次函数的平移规则：左加右减，上加下减；
采用数形结合的思想进行解题，是解此题的关键．
6．（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，直线y=x+3与坐标轴交于B，C两点，抛物线
y =-x2+bx+c经过B，C两点，与x轴交于点A，连接AC．
1
(1)求抛物线y 的解析式；
1
(2)如图1，点D是直线BC上方抛物线上的一点，过点D作DE∥AC交BC于点E，连接
AE，AD，BD，求S +S 的最大值；
△DEB △DEA
(3)如图2，只将图1中的抛物线y 向右平移两个单位长度得到新抛物线y ，y 与x轴正半轴的交点为
1 2 2
F，连接CF，点G是抛物线y 第二象限上的一点，连接GF．若∠GFC=∠ACF，请求出点G的坐
2
标．
【答案】(1)y =-x2-2x+3
1
27
(2)
8
( 2 11)
(3)G - ,
3 9
【分析】(1)先根据一次函数求出与坐标轴的交点，再代入二次函数解析式，求解即可；(2)要想求出S +S 的最大值，把它转化成求S 的最大值，根据三角形面积的公式和分割
△DEB △DEA △DBC
法，把三角形面积变成二次函数的性质，根据二次函数的性质求出最大值即可；
(3)根据相关条件先得到△COF是等腰直角三角形，进而得到△ACO≌△NFO，求出点N的坐标，
根据待定系数法求出FG的解析式，进而把二次函数移动后的解析式和FG的解析式联立起来求解即可；
【详解】（1）解：直线y=x+3与坐标轴交于B，C两点，
则点B，C坐标分别为：(-3,0)、(0,3)，
由题意得：¿，
解得¿，
∴y =-x2-2x+3；
1
（2）
解：连接DC，
∵DE∥AC，
∴S =S ，
△DEC △DEA
∴S +S =S +S =S ，
△DEB △DEA △DEB △DEC △DBC
过点D作DM⊥x轴于点M交BC于点H，设D(x,-x2-2x+3)，则H(x,x+3)，
则DH=-x2-2x+3-(x+3)=-x2-3x，
∴S =S +S ，
△DBC △DHB △DHC
1 1 1
= DH·BM+ DH·OM= DH·OB，
2 2 2
=
1
×3×(-x2-3x)=-
3(
x+
3) 2
+
27
，
2 2 2 8
3
∴a=- ＜0，抛物线开口向下，
23 27
当x=- ，S 最大值= ；
2 △DBC 8
27
即S +S 的最大值= ；
△DEB △DEA 8
（3）解：当-x2-2x+3=0时，可得A(1,0)，
∵抛物线y 向右平移两个单位长度得到新抛物线y ，y 与x轴正半轴的交点为F，
1 2 2
即F(3,0)，
∴OC=OF，
∴∠OFC=∠OCF=45°，
如图，设GF交OC于点N，当∠GFC=∠ACF时，
∴∠ACO=∠NFO，∠COA=∠FON=90°，
∴△ACO≌△NFO，
∴ON=OA=1，
则点N(0,1),
1
由点N，F的坐标得，直线FG的解析式为：y=- x+1，
3
∴¿
2
解得：x =- ，x =3（舍去），
1 3 2
( 2 11)
∴G - , ．
3 9
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，全等三角形的判定和性质，一次
函数图像的性质和二次函数的图形性质等知识点，解决此题的关键是要熟练的运用以上知识点．
7．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图1，若二次函数y=ax2-2x+c(a≠0)的图象与x轴交于点A和
点B(3,0)，与y轴交于点C(0,-3)．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的动点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图3，将抛物线y=ax2-2x+c(a≠0)先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新
的抛物线y'，在y'的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边
形是矩形，求点E的坐标．
【答案】(1)y=x2-2x-3
27 (3 15)
(2)△PBC面积的最大值为 此时P ,-
8 2 4
( -3-❑√17) ( -3+❑√17)
(3)存在点E(5,-2)或(-1,-2)或 1, 或 1,
2 2
【分析】（1）把B(3,0)和C(0,-3)代入y=ax2-2x+c(a≠0)求解即可;
（2）先解得直线BC的解析式为y=x-3，设P(a,a2-2a-3)，M(a,a-3)，得到的PM的值，当
3
a= 时，PM最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解;
2
（3）分情况讨论，当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方；当BC为矩形一边时，且点D在x轴的
上方；当BC为矩形对角线时，分别求解即可．
【详解】（1）解：把B(3,0)和C(0,-3)代入y=ax2-2x+c(a≠0)，得：
¿，解得：¿，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，把B，C点的坐标代入得：
¿，解得：¿，∴直线BC的解析式为y=x-3
点P为直线BC下方抛物线上的点，
设P(a,a2-2a-3)，
∴M(a,a-3)，
∴PM=a-3-a2+2a+3=-a2+3a=- ( a- 3) 2 + 9 ，
2 4
3 9
当a= 时，PM = ，
2 max 4
1 3 9 27 27
∴S = PM⋅3= × = 即△PBC面积的最大值为
△PBC 2 2 4 8 8
(3 15)
∴P ,- ；
2 4
（3）由题意可得：y'=(x-1) 2-2(x-1)-3-1=x2-4x-1=(x-2) 2-5，
y'的对称轴为x=2.
∵B(3,0)，C(0,-3)，
∴OC=OB=3，∠BCO=∠CBO=45°
如图3.1：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作DF⊥y轴于点F，∵D在y'的对称轴上，
∴FD=2，
∵∠BCD=90°，∠BCO=45°，
∴∠DCF=45°，
∴CF=FD=2，OF=3+2=5，即点D(2,-5)，
∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位
可得到点E(5,-2)；
如图3.2：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y'的对称轴为x=2与x轴交于点F，
∵D在y'的对称轴上，
∴FO=2，
∴BF=3-2=1，
∵∠CBO=45°，即∠DBO=45°，
∴BF=FD=1，即点D(2,1)，
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位
可得到点E(-1,-2)；
(3 3)
如图3.3：当BC为矩形对角线时，设D(2,d)，E(m,n)，BC的中点F的坐标为 ,- ，
2 2依意得：¿，解得¿，
又∵DE=BC，
∴(2-1) 2+(d-n) 2=32+32，
解得：d-n=±❑√17，
联立¿，
-3±❑√17
解得：n= ，
2
( -3-❑√17) ( -3+❑√17)
∴点E的坐标为 1, 或 1, .
2 2
( -3-❑√17) ( -3+❑√17)
综上，存在点E(5,-2)或(-1,-2)或 1, 或 1, ，使得以点B，C，D，E为顶
2 2
点的四边形是矩形．
8．（2024·贵州·模拟预测）如图①，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地面竖直高度
OH为1.5m．如图②，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分
图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度EF=0.5m．内边缘抛物
线y 是由外边缘抛物线y 向左平移得到，外边缘抛物线y 的最高点A离喷水口的水平距离为2m，高
2 1 1
出喷水口0.5m．
(1)求外边缘抛物线y 的函数表达式；
1(2)求内边缘抛物线y 与x轴的正半轴交点B的坐标；
2
(3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求OD的取值范围．
1
【答案】(1)y =- (x-2) 2+2
1 8
(2)点B的坐标为(2,0)
(3)OD的取值范围是2≤OD≤2❑√3-1
【分析】本题主要考查了二次函数是实际应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及数形结合
的思想是解题的关键．
（1）根据题意可得A(2,2)是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点(0,1.5)，用顶点式即可求解函数解析
式；
（2）根据y 对称轴为直线x=2可得点(0,1.5)的对称点为(4,1.5)，则y 是由y 向左平移4m得到的，即
1 2 1
可求出点B的坐标；
（3）如图：当EF=0.5时，可得点F的纵坐标为0.5；令则y =0.5结合x>0可得x=2+2❑√3；由当
1
x>2时，则y 随x的增大而减小，然后分2≤x≤6、0≤x≤2、0≤x≤6三种情况确定x的取值范围，进
1
而确定OD的最大值和最小值即可解答．
【详解】（1）解：由题意得A(2,2)是外边缘抛物线的顶点，
设y =a(x-2) 2+2(a≠0)．
1
又∵ 抛物线过点(0,1.5)，
∴1.5=4a+2，
1
∴a=- ，
8
1
∴ 外边缘抛物线的函数表达式为y =- (x-2) 2+2．
1 8
（2）解：∵y 的对称轴为直线x=2，
1
∴ 点(0,1.5)的对称点为(4,1.5)，
∴y 是由y 向左平移4m得到的，
2 1
∴BC=4．
1
令y =0，即- (x-2) 2+2=0，解得x=6或x=-2（舍去），
1 8
∴点C的坐标为(6,0)，
∴点B的坐标为(2,0)．
（3）解：∵EF=0.5，∴点F的纵坐标为0.5，
1
令y =0.5，即0.5=- (x-2) 2+2，解得：x=2±2❑√3．
1 8
∵x>0，
∴x=2+2❑√3．
当x>2时，y 随x的增大而减小，
1
∴ 当2≤x≤6时，要使y ≥0.5，则x≤2+2❑√3．
1
当0≤x≤2时，y 随x的增大而增大，且x=0时，y =1.5>0.5，
1 1
当0≤x≤6时，要使y ≥0.5，则0≤x≤2+2❑√3．
1
∵DE=3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴OD的最大值为2+2❑√3-3=2❑√3-1．
∵ 喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OD≥OB，
∴OD的最小值为2．
综上所述，OD的取值范围是2≤OD≤2❑√3-1．
题型二 二次函数翻折问题（共 6 小题）
1．（24-25九年级上·吉林·期末）如图1，抛物线y=ax2+4x经过点A(4,0)．
(1)求a的值．
(2)将图1中抛物线在y轴右侧部分沿x轴翻折，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象
记为图象G，如图2，直接写出图象G对应的函数解析式．
(3)点P在图象G上，其横坐标为m．
①点O为坐标原点，当图象G在O、P两点之间的部分（含O、P两点）所对应函数最大值与最小值
的差等于4时，直接写出m的取值范围．
②点Q在图象G上，其横坐标为3-m．当图象G在P、Q两点之间的部分（含P、Q两点）所对应函
数最大值与最小值均不随m的变化而变化时，直接写出m的取值范围．【答案】(1)a=-1
(2)y=¿
(3)①m=2-2❑√2或2≤m≤4.②2-2❑√2≤m≤0或3≤m≤2❑√2+1.
【分析】（1）把A(4,0)代入y=ax2+4x，解方程即可；
（2）当x≤0时，y=-x2+4x的图象不变，可得解析式不变，当x>0时，图象与- y=-x2+4x的图
象关于x轴对称，可得- y=-x2+4x，整理可得答案；
（3）①分当m≤0和m≥0时，找出满足条件的最值，结合图象即可得出结论；
②如图，过抛物线y=x2-4x的顶点D作x轴的平行线交图象G于E，当点P在OE上、点Q在AD上时，
或当点Q在OE上、点P在AD上时，再建立不等式组解题即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+4x经过点A(4,0)，
∴0=16a+16，
∴a=-1；
（2）解：由（1）得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-x2+4x，
则当x≤0时，y=-x2+4x；
当x>0时，- y=-x2+4x，即y=x2-4x，
∴图象G对应的函数解析式为y=¿；
（3）解：①I.当m≤0时，当图象G在O、P两点之间的部分（含O、P两点）所对应函数最大值在
点O，即x=0时，y=0是最大值，
最小值在点P，即x=m时，y=-m2+4m是最小值，
依题意得：-m2+4m=-4，解得：m =2-2❑√2， m =2+2❑√2（不合题意舍去）；
1 2
II.当m≥0时，y=x2-4x=(x-2) 2-4，即当x=2，y=-4是最小值，
当图象G在O、P两点之间的部分（含O、P两点）所对应函数最大值与最小值的差等于4时，
即最大值为0，最小值为-4时，满足题意，
∴-m2+4m=0，解得m=0或m=4，
∴当m≥0时，当图象G在O、P两点之间的部分（含O、P两点）所对应函数最大值与最小值的差等
于4时，m的取值范围是2≤m≤4，
综上所述：当图象G在O、P两点之间的部分（含O、P两点）所对应函数最大值与最小值的差等
于4时，m=2-2❑√2或2≤m≤4.
②当图象G在P、Q两点之闻的部分（含P、Q两点）所对应函数最大值与最小值均不随m的变化而变化时，即函数的最值与端点值无关，
故满足题意的函数的最小值为当x=2时，y=-4，最大值为x=0时，y=0，
当点P在OE上、点Q在AD上时，¿，
解得：2-2❑√2≤m≤0；
当点Q在OE上、点P在AD上时，¿，
解得：3≤m≤2❑√2+1；
综上所述：当图象G在P、Q两点之闻的部分（含P、Q两点）所对应函数最大值与最小值均不随m
的变化而变化时，m的取值范围为2-2❑√2≤m≤0或3≤m≤2❑√2+1.
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，轴对称的性质，二次函数的图象与性
质，不等式组的解法，本题的难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键．
2．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x
轴交于A，B点，与y轴交于点C(0,3)，点B的坐标为(3,0)，点P是抛物线上一个动点．
(1)求二次函数解析式；
(2)若点P在第一象限运动，过点P作PH⊥x轴于点H，与线段BC交于点M，当点P运动到什么位
置时，线段PM的值最大？请求出点P的坐标和PM的最大值；
(3)连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，
请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-x2+2x+3
(3 15) 9
(2)点P的坐标为 , ，PM的最大值为
2 4 4
(2+❑√10 3) (2-❑√10 3)
(3)存在，P , 或P ,
6 2 2 2
【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数图象与面积问题、二次函数与特殊
四边形等知识，数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出直线BC的解析式为y=-x+3，设P(x,-x2+2x+3)，则M(x,-x+3)，表示
PM=-x2+3x=- ( x- 3) 2 + 9 ，可知当x= 3 时，PM取得最大值，最大值为PM= 9 ，此时，
2 4 2 4
15
-x2+2x+3=
，即可求解坐标以及面积最大值；
4
（3）根据菱形的对角线垂直且互相平分即可求解．
【详解】（1）解：将B(3,0)，C(0,3)代入y=-x2+bx+c，
得¿，
解得¿，
∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）解：设直线BC的解析式为y=mx+n，
则¿，解得¿，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
设P(x,-x2+2x+3)，则M(x,-x+3)，
∴PM=-x2+2x+3-(-x+3)=-x2+3x=- ( x- 3) 2 + 9
2 4
∵ -1<0，
3 9
∴当x= 时，PM取得最大值，最大值为PM= ，
2 415
此时，-x2+2x+3=
4
(3 15) 9
∴点P的坐标为 , ，PM的最大值为 ；
2 4 4
（3）解：存在．如图，
设点P(x,-x2+2x+3)，PP'交CO于点E，若四边形POP'C是菱形，连接PP'，则PE⊥OC，
3
OE=CE= ，
2
3
∴
-x2+2x+3=
，
2
2+❑√10 2-❑√10
解得x = ，x =
1 2 2 2
(2+❑√10 3) (2-❑√10 3)
∴ P , 或P , ．
6 2 2 2
3．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）如图，抛物线y=-x2+4x+5与x轴交于点A和点B，与y轴交于
点C．(1)求出A、B、C三点的坐标；
(2)将抛物线y=-x2+4x+5图像x轴上方部分沿x轴向下翻折，保留抛物线与x轴的交点和x轴下方
图像，得到的新图像记作M，图像M与直线y=t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，
F，G．若以EF为直径作圆，该圆记作图像N．
①在图像M上找一点P，使得△PAB的面积为3，求出点P的坐标；
②当图像N与x轴相离时，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)A(-1,0)，B(5,0)，C(0,5)；
1-❑√37
(2)①(2+2❑√2,-1)，(2-2❑√2,-1)，(2+❑√10,-1)，(2-❑√10,-1)；②-90，
1-❑√37 1+❑√37
一元二次方程t2-t-9=0的解为t = ，t = ，
❑1 2 ❑2 2
如图，1-❑√37 1+❑√37
∴由二次函数w=t2-t-9的图x可知，t2-t-9>0的解集为t< 或t> ，
2 2
又∵-90和a<0两种情况，进行分类讨论即可．
1
【详解】（1）解：令y=0，则ax(x+1)=0，解得x =0，x =-1，
1 2
由于抛物线C 与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），
1
∴A(-1,0)，B(0,0)；
（2）解：淇淇的说法正确，
理由：对于抛物线C :y=kx2+2kx+k-1，将其化为顶点式为
2
y=kx2+2kx+k-1=k(x2+2x+1)-1=k(x+1) 2-1，
∴抛物线C 的顶点坐标为(-1,-1)，与k无关，
2
因此淇淇的说法正确．
（3）解：①∵抛物线C 经过点P(-3,1)，
2
将点P的坐标代入抛物线C 的解析式中，得1=(-3) 2k+2×(-3)k+k-1，
2
1
解得k= ，
2
1 1
∴抛物线C 的解析式为y= x2+x- ．
2 2 2
②由（2）可知，抛物线C 的对称轴为直线x=-1，
2
∵点P(-3,1)与点Q关于抛物线C 的对称轴对称，
2
∴点Q的坐标为(1,1)，
当a>0时，抛物线C 开口向上，要使线段PQ与抛物线C 只有一个公共点，则抛物线C 经过点
1 1 1
P(-3,1)或Q(1,1)，1
若抛物线C 经过点P(-3,1)，将P(-3,1)代入y=ax(x+1)，得1=a×(-3)×(-3+1)，解得a= ；
1 6
1 1
若抛物线C 经过点Q(1,1)，将Q(1,1)代入y=ax(x+1)，得1=a×1×(1+1)，解得a= ，而当a=
1 2 2
时，线段PQ与抛物线C 的左侧还会有一个交点；
1
1 1
∴当a>0时， ≤a< ．
6 2
当a<0时，抛物线C 开口向下，要使线段PQ与抛物线C 只有一个公共点，则抛物线C 的顶点坐标
1 1 1
( 1 )
为 - ,1 ，
2
( 1 ) ( 1) ( 1 )
将 - ,1 代入y=ax(x+1)，得1=a× - × - +1 ，解得a=-4．
2 2 2
1 1
综上所述，当 ≤a< 或a=-4时，线段PQ与抛物线C 只有一个公共点．
6 2 1
4．（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A 在点B的右侧），与y
轴负半轴交于点C，且OB=OC=3
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，M为对称轴左侧的抛物线上一点，点N与M关于直线BC对称，若点N在y轴右侧，求
S 的取值范围；
△MBC
(3)如图2，点D，E分别在x轴和抛物线上，点E绕点D顺时针旋转90°得到点F，若抛物线上仅存
3
在唯一的一个点E，使得点F恰好落在直线y=- x-6上，求出点D和点E的坐标．
4
【答案】(1)y=x2+2x-3
27
(2)30，即t(t+2)<0，
又∵t<-1，∴-20，
5 4m-3±❑√5-8m
∴m< ,x= ，
8 2
4m-3+❑√5-8m 4m-3-❑√5-8m
∴|x -x |= - =❑√5-8m，
P Q 2 2
∵P，Q是直线y=-x+2上的点，
∴PQ=❑√2|x -x |=❑√10-16m，
P Q
∵30)（如图1），并且可确保击落进入覆盖区域内超过10分钟（含10分钟）的无人
机．（已知直角坐标系的单位长度均为1km．）
(1)当点(1,3)在该二次函数图象上时，求a的值；
1
(2)①若雷达可绕点P左右旋转90°形成全方位覆盖（如图2）．若已知图2中y= x2+2的图象绕点
9
1 1
P向右旋转90°形成的曲线满足：x= (y-2) 2 ，请直接写出y= x2+2图象绕点P向左旋转90°后x、
9 9
y满足的关系式：__________；
②如图1，若该军事游戏模型中，某型号攻击无人机飞行高度为10km，携带导弹后速度为10米/秒，
为摧毁雷达需飞行到P点正上方进行投弹．当该导弹防御系统雷达固定向上时，其覆盖范围所视为的
二次函数y=ax2+2(a>0)的a要调整到什么范围才能抵挡这次攻击？（投弹时间忽略不计）
【答案】(1)a=1
1 2
(2)①x=- (y-2) 2 ②当00)，得：3=a+2，
∴a=1；
1 1
（2）①观察可知：y= x2+2图象绕点P向左旋转90°后的图象和y= x2+2的图象绕点P向右旋转
9 9
90°的图象，顶点相同，开口大小相同，只是方向相反，
1 1
∴y= x2+2图象绕点P向左旋转90°后x、y满足的关系式：x=- (y-2) 2 ；
9 9
1
故答案为：x=- (y-2) 2 ；
9
②当无人机到达P点上方正好为10分钟时，则飞行距离为10×10×60=6000m=6km，
假设无人机从左往右飞，
∵无人机飞行高度为10km，
则，当y=ax2+2(a>0)过点(-6,10)时，10=(-6) 2a+2，
2
∴a= ，
9
2
∴当00)，则N(m,-m+3)，∴MN=-m+3-(m2-4m+3)=-m2+3m，DN=m，
∴CN=❑√2m，
∴-m2+3m=❑√2m，整理得，m2+(❑√2-3)m=0，
解得，m =0（不符合题意，舍去），m =3-❑√2，
1 2
∴y=-m+3=-(3-❑√2)+3=❑√2，
∴N(3-❑√2,❑√2)；
如图所示，点M在x轴上方，延长NM到点E，作N'F⊥ME于点F，
同理可得，
M(m,m2-4m+3),N(m,-m+3),N'F=m,MN=m2-4m+3-(-m+3)=m2-3m,∠MNC=∠O，CB=45°
∠NCN'=135°=∠NM N'，
∴∠N'MF=45°=∠MNC，M N'=❑√2N'F=❑√2m
∴M N' ∥NC，且MN∥y轴，
∴四边形CNM N'是平行四边形，且CN'=MN，
∴平行四边形CNM N'是菱形，
∴MN=M N'，
∴m2-3m=❑√2m，整理得，m2-(3+❑√2)m=0，
解得，m =0（不符合题意，舍去），m =3+❑√2，
1 2∴y=-m+3=-(3+❑√2)+3=-❑√2，
∴N(3+❑√2,-❑√2)；
综上所述，点N的坐标为(3-❑√2,❑√2)或(3+❑√2,-❑√2)．
【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，一次函
数与结合图形面积的计算方法，二次函数与特殊四边形的边长的计算，等腰三角形的判定和性质等
知识的综合运用是关键．
5．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图1，抛物线y=-x2+3x与直线y=-x相交于O、B两点，点A
在抛物线上且横坐标为2，点D为抛物线与x轴的交点，点E是线段OB上一动点．
(1)求点B坐标；
(2)连接AE、DE，求AE+DE的最小值；
(3)△AOB为什么三角形？请说明理由：
(4)如图2，点C是线段AB的中点，连接AE、CE，将△AEC沿EC折叠，得到△A'EC，若
1
△A'EC与△CBE重叠部分的面积是△CBE面积的 ，求EB的长．
2
【答案】(1)B(4,-4)
(2)❑√29
(3)直角三角形，见解析
(4)3❑√2或❑√10
【分析】本题综合考查二次函数的性质．难点在于分类探讨折叠后的图形，以此判断出点E所在的
位置．
（1）二次函数和一次函数联立，求得合适的解即为点B的坐标；
（2）取二次函数的y=0，求得点D的坐标，点D关于直线OB对称的点D'(0,-3)，连接AD'交线段OB于E，此时AE+DE最小，再由勾股定理求出最小值即可；
（3）根据点A、点B的坐标，进而根据两点间的距离公式分别求得OA2，OB2，AB2，得到较小的
两边的平方和等于较大边的平方，那么△AOB为直角三角形；
（4）分类探讨画出相关图形，易得折叠后连接A'B后点A'、B、C、E组成的四边形是平行四边形，
1
进而根据AC=BC= AB，以及折叠得到的边长相等可得BE的长度．
2
【详解】（1）解：∵将x=2代入抛物线y=-x2+3x得y=2，
∴A(2,2)，
∴联立¿，
解得x=0或x=4，
∴B(4,-4)；
（2）解：当y=0代入抛物线得0=-x2+3x，
解得x=0或x=3，
∴D(3,0)，
∴点D关于直线OB对称的点D'(0,-3)，
连接AD'交线段OB于E，此时AE+DE最小，
过A作AF⊥y轴，交y轴于F，则F(0,2)，
AE+DE≥AD'=❑√AF2+D'F2=❑√29，
∴AE+DE最小值为❑√29；
（3）解：△AOB是直角三角形，理由如下：
∵B(4，-4),A(2，2)，
∴BO=4❑√2,OA=2❑√2,AB=2❑√10，
∴AB2=BO2+AO2，∴△AOB是直角三角形；
（4）解：分以下两种情况：
①当A'在BO上方时，设EA'与AB交于点M，
∵C是AB的中点，
∴S =S ，
△ABC △CEB
1
∵S = S =S ，
△ECM 2 △CEB △EBM
∴M是BC的中点，
由折叠可知，△AEC≌△A'EC，
∴S =S =S ，
△A'EC △AEC △BEC
1 1
∴S = S = S =S ，
△ECM 2 △CEB 2 △A'EC △A'MC
∴M是EA'的中点，
∴四边形EC A'B是平行四边形，
1
∴BE=A'C=AC= AB=❑√10，
2
②当A'在BO下方时，设C A'与OB交于点M，
同理可得四边形ECBA'是平行四边形，1
∴AE=EA'=BC= AB=❑√10；
2
∴在直角△AOE中，OE=❑√AE2-OA2=❑√(❑√10) 2-(2❑√2) 2=❑√2，
又∵OB=4❑√2，
所以EB=OB-OE=3❑√2，
综上所述：EB的长为3❑√2或❑√10．
