专题 11 二次函数中平移﹑翻折﹑对称﹑旋转﹑折叠问题
题型1 二次函数平移问题
题型2 二次函数翻折问题
题型3 二次函数对称问题
题型4 二次函数旋转问题
题型5 二次函数折叠问题
题型一 二次函数平移问题（共 8 小题）
1．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交
5
于A(-1,0)，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线x= ．
2
(1)求抛物线的表达式；
(2)将此抛物线在x轴下方的图像沿x轴向上翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像L，若
将直线BC向上平移t个单位长度，使得平移后的直线与图像L有两个公共点，请直接写出t的取值范围．
(3)如图②点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D，作
❑√5
PE⊥BC于点E，直接写出PD+ PE的最大值及此时点P的坐标；
2
1 5
【答案】(1)y= x2- x-3
2 2
7
(2)t>8或0<t<
2
15
(3)最大值 ，P(5,-3)
2
【分析】本题考查了二次函数与几何图形的综合问题，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，抛物线与x轴的交点、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图
象与几何变换，求二次函数的最值，勾股定理，利用割补法表示出△PBC的面积时解题的关键．
1 5
（1）待定系数法求出抛物线的解析式为y= x2- x-3；
2 2
1
（2）先求得C(0,-3)，B(6,0)得出当直线BC的解析式y= x-3，平移后的解析式为：
2
1 1
y= x-3+t过点A时，直线y= x-3+t与新函数的图象恰有三个公共点，将A(-1,0)代入
2 2
1 1 5
y= x-3+t，可求出t的值；当直线y=x+a与抛物线y=- x2+ x+3(-1≤x≤6)相切时，直线
2 2 2
1
y= x-3+t与新函数的图象恰有三个公共点，结合图象，求出b的取值范围，进而可得答案．
2
（3）连接OP,BP,CP，再设点P ( t, 1 t2- 5 t-3 ) ，再根据S =S +S -S 表示
2 2 △PBC △POC △POB △BOC
❑√5PE，然后根据抛物线的对称性得 PD，即可得出二次函数，再配方讨论最值即可．
5
【详解】（1）解：∵抛物线经过点(-1,0)，且对称轴是x= ，
2
∴¿，
解得¿，
1 5
∴抛物线的解析式为y= x2- x-3．
2 2
1 5
（2）y= x2- x-3
2 2
1 5
当x=0时，y=-3，当y=0时， x2- x-3=0，
2 2
解得x =-1,x =6，
1 2
∴C(0,-3)，B(6,0)
设直线BC为y=kx+b(k≠0)
∴¿
解得：¿
1
∴y= x-3
2
∵将直线BC向上平移t个单位长度，1
∴y= x-3+t
2
1 5
将抛物线y= x2- x-3在x轴下方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的解析式为
2 2
1 5
y=- x2+ x+3(-1≤x≤6)．
2 2
1 1
当直线y= x-3+t过点B(6,0)时， ×6-3+t=0，
2 2
解得，t=0；
1 1
当直线y= x-3+t过点A(-1,0)时，直线y= x-3+t与新函数的图象恰有三个公共点，
2 2
1
将A(-1,0)代入y= x-3+t，
2
1
得- -3+t=0，
2
7
解得t= ．
2
1 1 5 1
当直线y= x-3+t与抛物线y=- x2+ x+3(-1≤x≤6)只有一个交点时，直线y= x-3+t与新
2 2 2 2
函数的图象恰有三个公共点，
1 5 1
即方程- x2+ x+3= x-3+t有两个相等的实数根，
2 2 2
1
整理得- x2+2x+6-t=0，
2
∴Δ=22-4× ( - 1) ×(6-t)=0，
2
解得t=8．7
∴平移后的直线与图像L有两个公共点时，t的取值范围为t>8或0<t< ．
2
（3）解：∵C(0,-3)，B(6,0)
∴OB=6,OC=3，
根据勾股定理，得BC=❑√CO2+BO2=3❑√5．
连接OP,BP,CP，设点P ( t, 1 t2- 5 t-3 ) ，
2 2
由S =S +S -S ，得
△PBC △POC △POB △BOC
1 ×3❑√5×PE= 1 ×3t+ 1 ×6× ( - 1 t2+ 5 t+3 ) - 1 ×3×6，
2 2 2 2 2 2
∴❑√5PE=-t2+6t．
5
∵点P与D关于直线x= 对称，
2
( 5)
∴PD=2 t- =2t-5，
2
❑√5 1 1 15
∴PD+ PE=2t-5+ (-t2+6t)=- (t-5) 2+ ，
2 2 2 2
❑√5 15
∴当t=5时，PD+ PE取得最大值 ，此时点P(5,-3)．
2 2
2．（19-20九年级上·重庆·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点
A(-2,0)，B(8,0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；
1
(2)连接AC，BC，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，若有S = S ，求出点P的横坐
△PBC 2 △ABC
标；
(3)若将抛物线沿直线AC方向平移一定距离得到新抛物线L，且抛物线L满足当1≤x≤3时，有最大值
为0，直接写出抛物线L的对称轴．
1 3
【答案】(1)抛物线的表达式为y=- x2+ x+4，点C的坐标为(0，4)
4 2
(2)点P的横坐标为4+❑√6或4-❑√6
(3)抛物线L的对称轴为直线x=7+❑√41
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图形平移的性质、面积的计算等，正确求出抛物线解析式
是解答本题的关键．
（1）用待定系数法即可求解；
1
（2）由S =S +S = S ，即可求解；
△PBC △PHC △PHB 2 △ABC
（3）设抛物线沿AC方向向右平移m个单位，则向上平移2m个单位，则平移后的抛物线为
1 25
y=- (x-3-m) 2+ +2m，原抛物线在x=3时，取得最大值，故当1≤x≤3时，平移后的抛物线
4 4
也在x=3时取得最大值，进而求解．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A(-2,0)，B(8,0)，
∴将点A、B的坐标代入抛物线表达式得¿，
解得¿，
1 3
故抛物线的表达式为y=- x2+ x+4，
4 2
令x=0，则y=4，
故点C的坐标为(0,4)；（2）解：过点P作y轴的平行线交BC于点H，
设直线BC的表达式为y=mx+n，
把B(8,0)，C(0,4)代入上式得¿，
解得¿，
1
故直线BC的表达式为y=- x+4，
2
设点P的坐标为 ( x,- 1 x2+ 3 x+4 ) ，则点H的坐标为 ( x,- 1 x+4 ) ，
4 2 2
则S =S +S = 1 PH×OB = 1( - 1 x2+ 3 x+4+ 1 x-4 ) ×8 = 1 S
△PBC △PHC △PHB 2 2 4 2 2 2 △ABC
1 1
= × ×10×4，
2 2
解得x=4±❑√6，
故点P的横坐标为4+❑√6或4-❑√6；
1 3 1 25
（3）解：y=- x2+ x+4=- (x-3) 2+ ，
4 2 4 4
设直线AC的表达式为y=kx+b ，
1
把A(-2,0)，C(0,4)代入得¿，
解得¿，
∴直线AC的表达式为y=2x+4，
OC
∵ =2，
OA
故设抛物线沿AC方向向右平移m个单位，则向上平移2m个单位，
1 25
则平移后的抛物线为y=- (x-3-m) 2+ +2m，
4 4
原抛物线在x=3时，取得最大值，∴当1≤x≤3时，平移后的抛物线必定也在x=3时取得最大值，
1 25
即y=- (3-3-m) 2+ +2m=0，
4 4
解得m=4±❑√41（舍去负值），
故抛物线L的对称轴为直线x=3+m=7+❑√41．
3．（2023九年级下·江苏·专题练习）如图，将抛物线y=x2向右平移a(a>0)个单位得到新抛物线，新抛
物线的顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形．
(1)求a的值；
(2)在新抛物线上是否存在一点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，请求出点C的坐标；若不
存在，请说明理由．
【答案】(1)1
(2)在图中的抛物线上存在点C，使△ABC为等腰直角三角形，点C的坐标为(2,1)
【分析】本题考查了二次函数的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，
解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不
大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置．
（1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，分别求出点A，B的坐标，根据△AOB为等腰
直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值；
（2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角
形的判定定理找出△ABC为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐
标．
【详解】（1）解：∵将抛物线y=x2向右平移a(a>0)个单位得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为y=(x-a) 2，
∴新抛物线的顶点为(a,0)，
∴OA=a，
当x=0时，y=a2，∴点B的坐标为(0,a2)，即OB=a2，
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴OA=OB，
∴a=a2，解得：a=1或0（舍去），
∴a的值为1；
（2）解：存在，理由如下：
如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，则
∠BDA=∠CDA=90°，∠OAD=90°，∠BAD=∠CAD，
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∴∠BAD=∠CAD=45°，
∴△ACD、△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
由（1）得点B的坐标为(0,1)，对称轴为直线x=1，
∴点C的坐标为(2,1)，
故在图中的抛物线上存在点C，使△ABC为等腰直角三角形，点C的坐标为(2,1)．
1
4．（2025·重庆开州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+bx+c(a≠0)交x轴于A(-4,0)，
8
B(8,0)两点，交y轴于C，连接AC，BC．(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是线段BC下方抛物线上一动点，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，点E和点F是
直线BC上的两个动点（点F在点E的下方），且EF=❑√5，连接AF，EP，当PH有最大值时，求
AF+EF+EP的最小值；
(3)将抛物线沿射线CB方向平移2❑√5个单位得新抛物线y'，点Q是新抛物线y'上的一点，连接QB，当
∠QBC=∠ABC+∠ACO时，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标．
1 1
【答案】(1)y= x2- x-4
8 2
(2)❑√61+❑√5
(3)点Q的横坐标为-22+2❑√229或2-2❑√13
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）待定系数法求出直线BC的解析式为y= 1 x-4，设P ( m, 1 m2- 1 m-4 ) (0<m<8)，则
2 8 2
H ( m, 1 m-4 ) ，表示出PH=- 1 (m-4) 2+2，由二次函数的性质可得当m=4时，PH最大为2，此
2 8
时P(4,-4)，将点A沿CB方向平移❑√5个单位长度（即向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长
度）得到A'，连接A'E，A'P，由平移的性质可得A A'=EF=❑√5，A A' ∥EF，A'(-2,1)，得出四
边形A A'EF为平行四边形，由平行四边形的性质可得AF=A'E，结合AF+EP=A'E+EP≥A'P得
出AF+EP的最小值为A'P=❑√61，即可得解；
1 3
（3）求出y'= x2- x+2，∠ACO=45°，再分两种情况：当点Q 在直线BC的上方时；当点Q
8 2 1 2
在直线BC的下方时，作点Q 关于直线BC的对称点为D，作直线BD交抛物线y'于Q ，分别求解即可．
1 21
【详解】（1）解：∵抛物线y= x2+bx+c(a≠0)交x轴于A(-4,0)，B(8,0)两点，
8
∴¿，
解得：¿，
1 1
∴抛物线的解析式为y= x2- x-4；
8 2
1 1
（2）解：在y= x2- x-4中，当x=0时，y=-4，即C(0,-4)，
8 2
设直线BC的解析式为y=kx+b (k≠0)，
1
将B(8,0)，C(0,-4)代入解析式可得¿，
解得¿，
1
∴直线BC的解析式为y= x-4，
2
设P ( m, 1 m2- 1 m-4 ) (0<m<8)，则H ( m, 1 m-4 ) ，
8 2 2
∴PH= 1 m-4- (1 m2- 1 m-4 ) =- 1 m2+m=- 1 (m-4) 2+2，
2 8 2 8 8
1
∵- <0，
8
1 1
∴当m=4时，PH最大为2，此时 m2- m-4=-4，即P(4,-4)；
8 2
如图：将点A沿CB方向平移❑√5个单位长度（即向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度）得到
A'，连接A'E，A'P，
由平移的性质可得A A'=EF=❑√5，A A' ∥EF，A'(-2,1)，∴四边形A A'EF为平行四边形，
∴AF=A'E，
∴AF+EP=A'E+EP≥A'P，
∴AF+EP的最小值为A'P=❑√ (-2-4) 2+[1-(-4)] 2 =❑√61，
∴AF+EF+EP的最小值为❑√61+❑√5；
1 1 1 1 9
（3）解：∵y= x2- x-4= (x2-4x)-4= (x-2) 2- ，
8 2 8 8 2
∴将抛物线沿射线CB方向平移2❑√5个单位（即向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度）得新
1 9 1 3
抛物线y'，则y'= (x-2-4) 2- +2= x2- x+2；
8 2 8 2
∵A(-4,0)，B(8,0)，C(0,-4)，
∴OA=OC=4，
∴△ACO为等腰直角三角形，
∴∠ACO=45°，
如图，当点Q 在直线BC的上方时，
1
∵∠Q BC=∠ABC+∠ACO，∠Q BC=∠ABC+∠Q BA，
1 1 1
∴∠Q BA=45°，
1
设直线BQ 的解析式为y=-x+b ，
1 2
将B(8,0)代入解析式可得：-8+b =0，
2
∴b =8，
2
∴直线BQ 的解析式为y=-x+8，
1
联立¿，
解得：x=2-2❑√13或x=2+2❑√13（不符合题意，舍去），故此时点Q 的横坐标为2-2❑√13，此时点Q 的纵坐标为-(2-2❑√13)+8=6+2❑√13；
1 1
当点Q 在直线BC的下方时，作点Q 关于直线BC的对称点为D，作直线BD交抛物线y'于Q ，
2 1 2
由轴对称的性质可得：∠Q BC=∠Q BC，Q B=DB，
1 2 1
∴Q B2=DB2 ，
1
(s+2-2❑√13 2❑√13+6+t)
设D(s,t)，则DQ 的中点坐标为 , 在直线BC上，
1 2 2
∴¿，
解得：¿，
(46+2❑√13 -14❑√13-42)
∴D , ，
5 5
设直线BD的解析式为y=k x+b (k ≠0)，
2 3 2
(46+2❑√13 -14❑√13-42)
将D , ，B(8,0)代入解析式可得：¿，
5 5
解得：¿，
∴直线BD的解析式为y=-7x+56，
联立¿，
解得：x=-22+2❑√229或x=-22-2❑√229（不符合题意，舍去），
故此时点Q 的横坐标为-22+2❑√229；
2综上所述，点Q的横坐标为-22+2❑√229或2-2❑√13．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合—线段周长问题，二次函数综合
—角度问题，平移的性质，求一次函数解析式，轴对称的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知
识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
5．（21-22九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线y=mx2+2mx-3m(m≠0)与x轴交于点A，点B
（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．
(1)直接写出点C的坐标（用含m的代数式表示）；
(2)若△ABC的面积为6，求m的值；
(3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移h(h>0)个单位，记平移后抛物线中y随x的增大而减小的部
分为H，当直线AC与H总有两个公共点时，求h的取值范围．
【答案】(1)(0,-3m)
(2)m=1
9
(3)2≤h<
4
【分析】（1）令x=0，则y=-3m，即可求得点C坐标；
（2）求出A、B的坐标，表示出△ABC的面积，由此即可得到答案；
（3）平移后的解析式为y=(x+1-h) 2-4，待定系数法求出直线AC的解析式为y=-x-3，当抛物线
经过点(0,-3)时，h=2，此时直线AC与H有两个公共点，联立¿，得到方程
x2+(3-2h)x+h2-2h=0，当Δ>0时，此时直线AC与H有两个公共点，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：在y=mx2+2mx-3m(m≠0)中，令x=0，则y=-3m，
∴点C的坐标为(0,-3m)，
故答案为：(0,-3m)；（2）解：在y=mx2+2mx-3m(m≠0)中，令y=0，得mx2+2mx-3m=0，
解得x =-3，x =1，
1 2
∴A(-3,0)，B(1,0)，
∴AB=1-(-3)=1+3=4，
由抛物线图象可得：m>0，
∴OC=|-3m|=3m，
1 1
∴S = AB⋅OC= ×4×3m=6，
△ABC 2 2
解得：m=1；
（3）解：由（2）得m=1
∴y=x2+2x-3=(x+1) 2-4，C(0,-3)，
∵将抛物线向右平移h(h>0)个单位，
∴新抛物线的解析式为：y=(x+1-h) 2-4，
∴对称轴为直线x=h-1，
设直线AC的解析式为：y=kx+b(k≠0)，
将A(-3,0)，C(0,-3)代入解析式得：¿，
解得：¿，
∴直线AC的解析式为y=-x-3，
当抛物线经过点(0,-3)时，-3=(1-h) 2-4，
解得：h=2或h=0（不符合题意，舍去），
当h=2时，y=(x-1) 2-4，
当x≤1时，y随x的增大而减小，
联立¿，
解得：¿，¿，
此时H与直线AC有两个交点；
联立¿，
∴x2+(3-2h)x+h2-2h=0，
∵直线AC与H总有两个公共点，∴Δ=(3-2h) 2-4(h2-2h)>0，
9
解得：h< ，
4
9
综上所述，当2≤h< 时，直线AC与H总有两个公共点．
4
【点睛】本题考查了二次函数的综合，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图象的平移，二次函
数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质；二次函数的平移规则：左加右减，上加下减；
采用数形结合的思想进行解题，是解此题的关键．
6．（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，直线y=x+3与坐标轴交于B，C两点，抛物线
y =-x2+bx+c经过B，C两点，与x轴交于点A，连接AC．
1
(1)求抛物线y 的解析式；
1
(2)如图1，点D是直线BC上方抛物线上的一点，过点D作DE∥AC交BC于点E，连接
AE，AD，BD，求S +S 的最大值；
△DEB △DEA
(3)如图2，只将图1中的抛物线y 向右平移两个单位长度得到新抛物线y ，y 与x轴正半轴的交点为
1 2 2
F，连接CF，点G是抛物线y 第二象限上的一点，连接GF．若∠GFC=∠ACF，请求出点G的坐
2
标．
【答案】(1)y =-x2-2x+3
1
27
(2)
8
( 2 11)
(3)G - ,
3 9
【分析】(1)先根据一次函数求出与坐标轴的交点，再代入二次函数解析式，求解即可；(2)要想求出S +S 的最大值，把它转化成求S 的最大值，根据三角形面积的公式和分割
△DEB △DEA △DBC
法，把三角形面积变成二次函数的性质，根据二次函数的性质求出最大值即可；
(3)根据相关条件先得到△COF是等腰直角三角形，进而得到△ACO≌△NFO，求出点N的坐标，
根据待定系数法求出FG的解析式，进而把二次函数移动后的解析式和FG的解析式联立起来求解即可；
【详解】（1）解：直线y=x+3与坐标轴交于B，C两点，
则点B，C坐标分别为：(-3,0)、(0,3)，
由题意得：¿，
解得¿，
∴y =-x2-2x+3；
1
（2）
解：连接DC，
∵DE∥AC，
∴S =S ，
△DEC △DEA
∴S +S =S +S =S ，
△DEB △DEA △DEB △DEC △DBC
过点D作DM⊥x轴于点M交BC于点H，设D(x,-x2-2x+3)，则H(x,x+3)，
则DH=-x2-2x+3-(x+3)=-x2-3x，
∴S =S +S ，
△DBC △DHB △DHC
1 1 1
= DH·BM+ DH·OM= DH·OB，
2 2 2
=
1
×3×(-x2-3x)=-
3(
x+
3) 2
+
27
，
2 2 2 8
3
∴a=- ＜0，抛物线开口向下，
23 27
当x=- ，S 最大值= ；
2 △DBC 8
27
即S +S 的最大值= ；
△DEB △DEA 8
（3）解：当-x2-2x+3=0时，可得A(1,0)，
∵抛物线y 向右平移两个单位长度得到新抛物线y ，y 与x轴正半轴的交点为F，
1 2 2
即F(3,0)，
∴OC=OF，
∴∠OFC=∠OCF=45°，
如图，设GF交OC于点N，当∠GFC=∠ACF时，
∴∠ACO=∠NFO，∠COA=∠FON=90°，
∴△ACO≌△NFO，
∴ON=OA=1，
则点N(0,1),
1
由点N，F的坐标得，直线FG的解析式为：y=- x+1，
3
∴¿
2
解得：x =- ，x =3（舍去），
1 3 2
( 2 11)
∴G - , ．
3 9
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，全等三角形的判定和性质，一次
函数图像的性质和二次函数的图形性质等知识点，解决此题的关键是要熟练的运用以上知识点．
7．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图1，若二次函数y=ax2-2x+c(a≠0)的图象与x轴交于点A和
点B(3,0)，与y轴交于点C(0,-3)．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的动点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图3，将抛物线y=ax2-2x+c(a≠0)先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新
的抛物线y'，在y'的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边
形是矩形，求点E的坐标．
【答案】(1)y=x2-2x-3
27 (3 15)
(2)△PBC面积的最大值为 此时P ,-
8 2 4
( -3-❑√17) ( -3+❑√17)
(3)存在点E(5,-2)或(-1,-2)或 1, 或 1,
2 2
【分析】（1）把B(3,0)和C(0,-3)代入y=ax2-2x+c(a≠0)求解即可;
（2）先解得直线BC的解析式为y=x-3，设P(a,a2-2a-3)，M(a,a-3)，得到的PM的值，当
3
a= 时，PM最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解;
2
（3）分情况讨论，当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方；当BC为矩形一边时，且点D在x轴的
上方；当BC为矩形对角线时，分别求解即可．
【详解】（1）解：把B(3,0)和C(0,-3)代入y=ax2-2x+c(a≠0)，得：
¿，解得：¿，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，把B，C点的坐标代入得：
¿，解得：¿，∴直线BC的解析式为y=x-3
点P为直线BC下方抛物线上的点，
设P(a,a2-2a-3)，
∴M(a,a-3)，
∴PM=a-3-a2+2a+3=-a2+3a=- ( a- 3) 2 + 9 ，
2 4
3 9
当a= 时，PM = ，
2 max 4
1 3 9 27 27
∴S = PM⋅3= × = 即△PBC面积的最大值为
△PBC 2 2 4 8 8
(3 15)
∴P ,- ；
2 4
（3）由题意可得：y'=(x-1) 2-2(x-1)-3-1=x2-4x-1=(x-2) 2-5，
y'的对称轴为x=2.
∵B(3,0)，C(0,-3)，
∴OC=OB=3，∠BCO=∠CBO=45°
如图3.1：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作DF⊥y轴于点F，∵D在y'的对称轴上，
∴FD=2，
∵∠BCD=90°，∠BCO=45°，
∴∠DCF=45°，
∴CF=FD=2，OF=3+2=5，即点D(2,-5)，
∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位
可得到点E(5,-2)；
如图3.2：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y'的对称轴为x=2与x轴交于点F，
∵D在y'的对称轴上，
∴FO=2，
∴BF=3-2=1，
∵∠CBO=45°，即∠DBO=45°，
∴BF=FD=1，即点D(2,1)，
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位
可得到点E(-1,-2)；
(3 3)
如图3.3：当BC为矩形对角线时，设D(2,d)，E(m,n)，BC的中点F的坐标为 ,- ，
2 2依意得：¿，解得¿，
又∵DE=BC，
∴(2-1) 2+(d-n) 2=32+32，
解得：d-n=±❑√17，
联立¿，
-3±❑√17
解得：n= ，
2
( -3-❑√17) ( -3+❑√17)
∴点E的坐标为 1, 或 1, .
2 2
( -3-❑√17) ( -3+❑√17)
综上，存在点E(5,-2)或(-1,-2)或 1, 或 1, ，使得以点B，C，D，E为顶
2 2
点的四边形是矩形．
8．（2024·贵州·模拟预测）如图①，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地面竖直高度
OH为1.5m．如图②，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分
图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度EF=0.5m．内边缘抛物
线y 是由外边缘抛物线y 向左平移得到，外边缘抛物线y 的最高点A离喷水口的水平距离为2m，高
2 1 1
出喷水口0.5m．
(1)求外边缘抛物线y 的函数表达式；
1(2)求内边缘抛物线y 与x轴的正半轴交点B的坐标；
2
(3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求OD的取值范围．
1
【答案】(1)y =- (x-2) 2+2
1 8
(2)点B的坐标为(2,0)
(3)OD的取值范围是2≤OD≤2❑√3-1
【分析】本题主要考查了二次函数是实际应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及数形结合
的思想是解题的关键．
（1）根据题意可得A(2,2)是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点(0,1.5)，用顶点式即可求解函数解析
式；
（2）根据y 对称轴为直线x=2可得点(0,1.5)的对称点为(4,1.5)，则y 是由y 向左平移4m得到的，即
1 2 1
可求出点B的坐标；
（3）如图：当EF=0.5时，可得点F的纵坐标为0.5；令则y =0.5结合x>0可得x=2+2❑√3；由当
1
x>2时，则y 随x的增大而减小，然后分2≤x≤6、0≤x≤2、0≤x≤6三种情况确定x的取值范围，进
1
而确定OD的最大值和最小值即可解答．
【详解】（1）解：由题意得A(2,2)是外边缘抛物线的顶点，
设y =a(x-2) 2+2(a≠0)．
1
又∵ 抛物线过点(0,1.5)，
∴1.5=4a+2，
1
∴a=- ，
8
1
∴ 外边缘抛物线的函数表达式为y =- (x-2) 2+2．
1 8
（2）解：∵y 的对称轴为直线x=2，
1
∴ 点(0,1.5)的对称点为(4,1.5)，
∴y 是由y 向左平移4m得到的，
2 1
∴BC=4．
1
令y =0，即- (x-2) 2+2=0，解得x=6或x=-2（舍去），
1 8
∴点C的坐标为(6,0)，
∴点B的坐标为(2,0)．
（3）解：∵EF=0.5，∴点F的纵坐标为0.5，
1
令y =0.5，即0.5=- (x-2) 2+2，解得：x=2±2❑√3．
1 8
∵x>0，
∴x=2+2❑√3．
当x>2时，y 随x的增大而减小，
1
∴ 当2≤x≤6时，要使y ≥0.5，则x≤2+2❑√3．
1
当0≤x≤2时，y 随x的增大而增大，且x=0时，y =1.5>0.5，
1 1
当0≤x≤6时，要使y ≥0.5，则0≤x≤2+2❑√3．
1
∵DE=3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴OD的最大值为2+2❑√3-3=2❑√3-1．
∵ 喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OD≥OB，
∴OD的最小值为2．
综上所述，OD的取值范围是2≤OD≤2❑√3-1．
题型二 二次函数翻折问题（共 6 小题）
1．（24-25九年级上·吉林·期末）如图1，抛物线y=ax2+4x经过点A(4,0)．
(1)求a的值．
(2)将图1中抛物线在y轴右侧部分沿x轴翻折，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象
记为图象G，如图2，直接写出图象G对应的函数解析式．
(3)点P在图象G上，其横坐标为m．
①点O为坐标原点，当图象G在O、P两点之间的部分（含O、P两点）所对应函数最大值与最小值
的差等于4时，直接写出m的取值范围．
②点Q在图象G上，其横坐标为3-m．当图象G在P、Q两点之间的部分（含P、Q两点）所对应函
数最大值与最小值均不随m的变化而变化时，直接写出m的取值范围．【答案】(1)a=-1
(2)y=¿
(3)①m=2-2❑√2或2≤m≤4.②2-2❑√2≤m≤0或3≤m≤2❑√2+1.
【分析】（1）把A(4,0)代入y=ax2+4x，解方程即可；
（2）当x≤0时，y=-x2+4x的图象不变，可得解析式不变，当x>0时，图象与- y=-x2+4x的图
象关于x轴对称，可得- y=-x2+4x，整理可得答案；
（3）①分当m≤0和m≥0时，找出满足条件的最值，结合图象即可得出结论；
②如图，过抛物线y=x2-4x的顶点D作x轴的平行线交图象G于E，当点P在OE上、点Q在AD上时，
或当点Q在OE上、点P在AD上时，再建立不等式组解题即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+4x经过点A(4,0)，
∴0=16a+16，
∴a=-1；
（2）解：由（1）得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-x2+4x，
则当x≤0时，y=-x2+4x；
当x>0时，- y=-x2+4x，即y=x2-4x，
∴图象G对应的函数解析式为y=¿；
（3）解：①I.当m≤0时，当图象G在O、P两点之间的部分（含O、P两点）所对应函数最大值在
点O，即x=0时，y=0是最大值，
最小值在点P，即x=m时，y=-m2+4m是最小值，
依题意得：-m2+4m=-4，解得：m =2-2❑√2， m =2+2❑√2（不合题意舍去）；
1 2
II.当m≥0时，y=x2-4x=(x-2) 2-4，即当x=2，y=-4是最小值，
当图象G在O、P两点之间的部分（含O、P两点）所对应函数最大值与最小值的差等于4时，
即最大值为0，最小值为-4时，满足题意，
∴-m2+4m=0，解得m=0或m=4，
∴当m≥0时，当图象G在O、P两点之间的部分（含O、P两点）所对应函数最大值与最小值的差等
于4时，m的取值范围是2≤m≤4，
综上所述：当图象G在O、P两点之间的部分（含O、P两点）所对应函数最大值与最小值的差等
于4时，m=2-2❑√2或2≤m≤4.
②当图象G在P、Q两点之闻的部分（含P、Q两点）所对应函数最大值与最小值均不随m的变化而变化时，即函数的最值与端点值无关，
故满足题意的函数的最小值为当x=2时，y=-4，最大值为x=0时，y=0，
当点P在OE上、点Q在AD上时，¿，
解得：2-2❑√2≤m≤0；
当点Q在OE上、点P在AD上时，¿，
解得：3≤m≤2❑√2+1；
综上所述：当图象G在P、Q两点之闻的部分（含P、Q两点）所对应函数最大值与最小值均不随m
的变化而变化时，m的取值范围为2-2❑√2≤m≤0或3≤m≤2❑√2+1.
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，轴对称的性质，二次函数的图象与性
质，不等式组的解法，本题的难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键．
2．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x
轴交于A，B点，与y轴交于点C(0,3)，点B的坐标为(3,0)，点P是抛物线上一个动点．
(1)求二次函数解析式；
(2)若点P在第一象限运动，过点P作PH⊥x轴于点H，与线段BC交于点M，当点P运动到什么位
置时，线段PM的值最大？请求出点P的坐标和PM的最大值；
(3)连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，
请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-x2+2x+3
(3 15) 9
(2)点P的坐标为 , ，PM的最大值为
2 4 4
(2+❑√10 3) (2-❑√10 3)
(3)存在，P , 或P ,
6 2 2 2
【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数图象与面积问题、二次函数与特殊
四边形等知识，数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出直线BC的解析式为y=-x+3，设P(x,-x2+2x+3)，则M(x,-x+3)，表示
PM=-x2+3x=- ( x- 3) 2 + 9 ，可知当x= 3 时，PM取得最大值，最大值为PM= 9 ，此时，
2 4 2 4
15
-x2+2x+3=
，即可求解坐标以及面积最大值；
4
（3）根据菱形的对角线垂直且互相平分即可求解．
【详解】（1）解：将B(3,0)，C(0,3)代入y=-x2+bx+c，
得¿，
解得¿，
∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）解：设直线BC的解析式为y=mx+n，
则¿，解得¿，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
设P(x,-x2+2x+3)，则M(x,-x+3)，
∴PM=-x2+2x+3-(-x+3)=-x2+3x=- ( x- 3) 2 + 9
2 4
∵ -1<0，
3 9
∴当x= 时，PM取得最大值，最大值为PM= ，
2 415
此时，-x2+2x+3=
4
(3 15) 9
∴点P的坐标为 , ，PM的最大值为 ；
2 4 4
（3）解：存在．如图，
设点P(x,-x2+2x+3)，PP'交CO于点E，若四边形POP'C是菱形，连接PP'，则PE⊥OC，
3
OE=CE= ，
2
3
∴
-x2+2x+3=
，
2
2+❑√10 2-❑√10
解得x = ，x =
1 2 2 2
(2+❑√10 3) (2-❑√10 3)
∴ P , 或P , ．
6 2 2 2
3．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）如图，抛物线y=-x2+4x+5与x轴交于点A和点B，与y轴交于
点C．(1)求出A、B、C三点的坐标；
(2)将抛物线y=-x2+4x+5图像x轴上方部分沿x轴向下翻折，保留抛物线与x轴的交点和x轴下方
图像，得到的新图像记作M，图像M与直线y=t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，
F，G．若以EF为直径作圆，该圆记作图像N．
①在图像M上找一点P，使得△PAB的面积为3，求出点P的坐标；
②当图像N与x轴相离时，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)A(-1,0)，B(5,0)，C(0,5)；
1-❑√37
(2)①(2+2❑√2,-1)，(2-2❑√2,-1)，(2+❑√10,-1)，(2-❑√10,-1)；②-9<t<
2
【分析】（1）当y=0时，-x2+4x+5=0，解得x =5,x =-1，即可得到点A和点B的坐标，当
❑1 ❑2
y=0时，y=5，即可得到点C的坐标；
（2）①设点P到AB的距离为h，由△PAB的面积为3，解得h=1，当y=1时，-x2+4x+5=1，即
x2-4x-4=0，求得点P (2+2❑√2,1)，P (2-2❑√2,1)，又因为抛物线x轴上方部分与x轴下方
❑1 ❑2
部分有对称图像，可以得到P (2+2❑√2,-1)，P (2-2❑√2,-1)，当y=-1时，-x2+4x+5=-1，
3 ❑4
即x2-4x-6=0，可以得到P (2+❑√10,-1)，P (2-❑√10,-1)；
5 ❑6
②由图像M与直线y=t恒有四个交点，得到-9<t<0，由y=-x2+4x+5图像x轴上方部分沿x轴向
下翻折得到的部分图像的表达式为y=x2-4x-5，求得以EF为直径作圆的半径为❑√9+t，由图像N与x轴相离，求得❑√9+t<-t，进一步求得t的取值范围即可．
【详解】（1）解：当y=0时，-x2+4x+5=0，
解得x =5,x =-1，
❑1 ❑2
∴点A(-1,0)，B(5,0)，
当y=0时，y=5，
∴点C(0,5)；
（2）解：①由（1）可知，AB=6，设点P到AB的距离为h，
1 1
∴△PAB的面积为 AB·h= ×6h=3，解得h=1，
2 2
当y=1时，-x2+4x+5=1，即x2-4x-4=0，
4±❑√32
解得x= =2±2❑√2，
2
∴点P (2+2❑√2,1)，P (2-2❑√2,1)，
❑1 ❑2
∵抛物线x轴上方部分与x轴下方部分有对称图像，
∴可以得到P (2+2❑√2,-1)，P (2-2❑√2,-1)，
3 ❑4
当y=-1时，-x2+4x+5=-1，即x2-4x-6=0，
4±❑√40
解得x= =2±❑√10，
2
可以得到P (2+❑√10,-1)，P (2-❑√10,-1)，
5 ❑6
综上可知，点P的坐标为(2+2❑√2,-1)，(2-2❑√2,-1)，(2+❑√10,-1)，(2-❑√10,-1)；
②∵y=-x2+4x+5=-(x-2) 2+9，
∴翻折后得到抛物线下方图像的顶点为(2,-9)，
∵图像M与直线y=t恒有四个交点，
如图，∴-9<t<0，
y=-x2+4x+5图像x轴上方部分沿x轴向下翻折得到的部分图像的表达式为y=x2-4x-5，
当y=t时，x2-4x-5=t，即x2-4x-5-t=0，
-4 -5-t
∴x +x =- =4，x ·x = =-5-t，
❑E ❑F 1 ❑E ❑F 1
∴(x +x ) 2=x2 +x2 +2x ·x =x2 +x2 +2(-5-t)=16，
❑E ❑F ❑E ❑F ❑E ❑F ❑E ❑F
∴x2 +x2 =26+2t，
❑E ❑F
∴(x -x ) 2=x2 +x2 -2x ·x =26+2t+2(5+t)=36+4t=4(9+t)，
❑F ❑E ❑E ❑F ❑E ❑F
∴x -x =2❑√9+t，即EF=2❑√9+t，
❑F ❑E
∴以EF为直径作圆的半径为❑√9+t，
∵图像N与x轴相离，即以EF为直径作的圆与x轴相离，
∴❑√9+t<-t，
∴9+t<t2，即t2-t-9>0，
1-❑√37 1+❑√37
一元二次方程t2-t-9=0的解为t = ，t = ，
❑1 2 ❑2 2
如图，1-❑√37 1+❑√37
∴由二次函数w=t2-t-9的图x可知，t2-t-9>0的解集为t< 或t> ，
2 2
又∵-9<t<0，
1-❑√37
∴-9<t< ．
2
1-❑√37
即t的取值范围为-9<t< ．
2
【点睛】此题考查了二次函数图像变换综合题，还考查了二次函数的图像和性质，图像法解不等式，
一元二次方程的解法等知识，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
4．（22-23九年级上·河南新乡·期末）抛物线y=ax2+bx-6a与x轴交于A，B两点，且A(-2,0)，抛物
线的顶点为P．
(1)求点P的坐标；（用只含a的代数式表示）
(2)若-8≤a≤-5，求△ABP面积的最大值；
(3)当a=1时，把抛物线y=ax2+bx-6a位于x轴下方的部分沿x轴向上翻折，其余部分保持不动，
得到新的函数图象．若直线y=-x+t与新的函数图象至少有3个不同的交点，求t的取值范围．
(1 25 )
【答案】(1)P ,- a
2 4
(2)125
(3)3≤t≤7
【分析】（1）直接将A(-2,0)代入解析式求解即可．
（2）先用含a的式子表示该三角形的面积，再利用a的范围求解即可．
（3）先确定函数图象，再根据题意分别求出t的两个界点值即可求解．
【详解】（1）将A(-2,0)代入解析式得：4a-2b-6a=0，
∴b=-a，
∴y=ax2-ax-6a，-a 1 4a⋅(-6a)-(-a) 2 25
∴- = ， =- a，
2a 2 4a 4
(1 25 )
∴P ,- a ．
2 4
（2）令y=0，则ax2-ax-6a=0，
解得：x =-2，x =3，
1 2
∴B(3,0)，
∴AB=5，
1 | 25 | |125 |
∴S = ×5× - a = a ，
△ABP 2 4 8
∵-8≤a≤-5，
∴当a=-8时，三角形的面积最大，为S =125．
△ABP
（3）当a=1时，该抛物线解析式为y=x2-x-6，
作图如下图所示，若直线y=-x+t与新的函数图象至少有3个不同的交点，
则t ≤t≤t ，
1 2
将B(3,0)代入y=-x+t中，解得：t =3，
1
∵y=x2-x-6的图象关于x轴对称的图象的解析式为y=-x2+x+6，
令-x2+x+6=-x+t，
得：-x2+2x+6-t=0
∴Δ=22-4×(-1)×(6-t)=-4t+28，
当-4t+28=0时，t=7，即t =7
2
∴t的取值范围是3≤t≤7．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，解题关键是能读懂题意，牢记二次函数的图象与性质，能正确画出函数图象并求出t 与t 的值．
1 2
5．（2022·青海西宁·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，点
C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D(1,0)，将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落
在抛物线上的点E处．
(1)求抛物线解析式；
(2)连接BE，求△BCE的面积；
(3)拋物线上是否存在一点P，使∠PEA=∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)y=-x2+2x+3
(2)2
(3)存在，(2,3)或(4,-5)
【分析】（1）先根据翻折得到E点坐标，然后结合A(3,0) D(1,0)运用待定系数法求解即可；
（2）先确定点B的坐标，然后确定直线AB的解析式，进而确定AE=4、OB=3、CD=2，最后根
据S =S -S 结合三角形的面积公式即可解答；
△BCE △ABE △ACE
（3）先说明Rt△AOB是等腰直角三角形，设点P的坐标为(m,-m2+2m+3)，然后分点P在x轴
上方和下方两种情况分别解答即可．
【详解】（1）解：∵△ACD沿CD所在直线翻折，点A落在点E处A(3,0) D(1,0)
∴E(-1,0)
把A，E两点坐标代入y=ax2+bx+3得¿，解得¿
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．
（2）解：∵抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点B∴令x=0时，y=3
∴B(0,3)
设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)
把A，B两点坐标代入得¿解得¿
∴直线AB的解析式为y=-x+3；
∴点C在直线AB上CD⊥x轴于点D(1,0)
当x=1时y=-1+3=2
∴C(1,2)
∴A(3,0) B(0,3) C(1,2) E(-1,0)
∴AE=4，OB=3，CD=2
1 1
∴S =S -S = ×4×3- ×4×2=2
△BCE △ABE △ACE 2 2
∴△BCE的面积是2．
（3）解：存在，理由如下：
∵A(3,0)，B(0,3)
∴OA=OB=3
在Rt△AOB中OA=OB
∴Rt△AOB是等腰直角三角形
∵点P在抛物线上
∴设点P的坐标为(m,-m2+2m+3)
①当点P在x轴上方时记为P ，过P 作P M⊥x轴于点M
1 1 1在Rt△EM P 中∵∠P EA=45°∴EM=P M
1 1 1
即m+1=-m2+2m+3解得m =2 m =-1（舍去）
1 2
当m=2时-m2+2m+3=3
∴P (2,3)
1
②当点P在x轴下方时记为P ，过P 作P N⊥x轴于点N
2 2 2
在Rt△EN P 中
2
∴∠P EN=45°
2
∴EN=P N
2
∴m+1=-(-m2+2m+3)解得m =4 m =-1（舍去）
1 2
当m=4时-m2+2m+3=-5
∴P (4,-5)
2
综上，符合条件的P点坐标是(2,3)或(4,-5)．
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及求二次函数的性质、二次函数解析式、二次函数与几何图
形综合等知识点，灵活运用二次函数的性质以及其与几何知识的联系是解答本题的关键．
6．（24-25九年级上·山西运城·期末）综合与实践
问题情境：某市计划在一处正方形的场地上建一座供市民休闲娱乐的绿地公园，要求是把场地划分
成四大区域，场地内有曲线形的观光道路，有一个休息室，一个洗手间，休息室与洗手间要关于场
地的中轴线对称．
设计人员小红的设计方案是：如图1所示，把一张边长为4的正方形纸ABCD先对折，得到AB的垂
直平分线MO，摊开，铺平后再次将正方形折叠，使点D，C落到MO上且折叠后点D与点C重合，
记为点P，折痕为AE，BF，再次摊开，铺平，连接AP，BP，EP，FP，得到△ABP，△EFP，
四边形ADEP，四边形BCFP四个区域．一条抛物线形的路把这四个区串起来，抛物线经过A，P，
B三点，点P是抛物线的顶点．
1．在四边形ADEP区域内的抛物线上找一点N，使得△APN的面积最大，在此处建一个休息室；
2．……
工程师小李在听了小红的设计方案后，在图2中以AB所在直线为x轴，MO所在直线为y轴建立平
面直角坐标系，请按照他的方法解决下列问题：(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求出△APN面积的最大值；
(3)根据对称性，请你直接写出小红把洗手间（用点H表示）设计在四边形BCFP区域内的坐标．
❑√3
【答案】(1)y=- x2+2❑√3 (-2≤x≤2)
2
❑√3
(2)
2
( 3❑√3)
(3)H 1,
2
【分析】（1）由已知可求得OA=2，OP=2❑√3 ，则可得A(-2,0)，P(0,2❑√3)．设设抛物线的函
❑√3
数表达式为y=ax2+c，利用待定系数法求得a=- ，c=2❑√3，进而可得抛物线的函数表达式为
2
❑√3
y=- x2+2❑√3 (-2≤x≤2)．
2
（2）过N点作NG⊥x于G点，交AP于K点，先求出直线AP的表达式为y=❑√3x+2❑√3．设
N ( n,- ❑√3 n2+2❑√3 ) ，则K(n,❑√3n+2❑√3)，根据S =S +S 可得
2 △APN △ANK △PNK
❑√3 ❑√3 ❑√3
S =- (n+1) 2+ ，则可得n=-1时S的值最大，为 ．
△APN 2 2 2( 3❑√3)
（3）由（2）得n=-1，则可得N -1, ，根据H与N点关于y轴对称
2
( 3❑√3)
，即可得H 1, ．
2
【详解】（1）解：由题知OA=2，AP=AD=4，
∴OP=❑√AP2-OA2=❑√42-22=2❑√3，
∴A(-2,0)，P(0,2❑√3)．
设抛物线的函数表达式为y=ax2+c，
则¿，
解得¿，
❑√3
∴抛物线的函数表达式为y=- x2+2❑√3 (-2≤x≤2)．
2
（2）解：如图，过N点作NG⊥x于G点，交AP于K点，
设直线AP的表达式为y=kx+b，
则¿，解得¿，
∴直线AP的表达式为y=❑√3x+2❑√3．
设N ( n,- ❑√3 n2+2❑√3 ) ，则K(n,❑√3n+2❑√3)，
2则NK= ( - ❑√3 n2+2❑√3 ) -(❑√3n+2❑√3)=- ❑√3 n2-❑√3n，
2 2
∴S =S +S
△APN △ANK △PNK
1 1
= NK⋅AG+ NK⋅GO
2 2
1
= NK⋅AO
2
= 1( - ❑√3 n2-❑√3n ) ×2
2 2
❑√3
=- n2-❑√3n
2
❑√3 ❑√3
=- (n+1) 2+ ，
2 2
❑√3
∵- <0，
2
❑√3
∴当n=-1时，S的值最大，为 ．
2
❑√3
∴△APN面积的最大值为 ．
2
（3）由（2）得n=-1，
❑√3 ❑√3 3❑√3
∴- n2+2❑√3=- +2❑√3= ，
2 2 2
( 3❑√3)
∴N -1, ，
2
∵H与N点关于y轴对称，
( 3❑√3)
∴H 1, ．
2
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合运用，二次函数的对称性，二次函数的最值．熟练
掌握二次函数的性质及数形结合的思想方法是解题的关键．
题型三 二次函数对称问题（共 5 小题）
1．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与实践
问题情境：元旦晚会舞台布置中需要搭一条抛物线型灯链，最初的设计方案如图1所示，灯链两端连接A，B两点，点C位于点B正下方的地面处，以点A正下方的地面处的点O为原点，OC所在的
直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线解析式的二次项系数为0.03，
OC=10米，OA=BC=3米，但实际实施方案后发现最低点过低．
方案修改：莉莉将方案进行修改，如图2，将图1中灯链的最低点固定在距地面2.7米的点N处，点
N两侧的灯链形成了两个对称的新抛物线．
(1)求图1中抛物线的解析式．
(2)若图1中抛物线的最低点为M，求点M到的距离．
(3)若图2中两个最低点的距离为4米，修改方案后最低点提高了多少米？
【答案】(1)y=0.03x2-0.3x+3
(2)点M到OC的距离为2.25米
(3)0.21米
【分析】此题考查了二次函数的应用．
10
（1）设抛物线的解析式为y=0.03x2+bx+3．由抛物线的对称轴为直线x= =5即可解得b=-0.3，
2
得到答案；
（2）将x=5代入y=0.03x2-0.3x+3即可求出答案；
（3）求出左边的新抛物线的对称轴为直线x=5-2=3．设左边的新抛物线的解析式为
y=m(x-3) 2+k，利用待定系数法求出k的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为y=0.03x2+bx+3．
10
∵抛物线的对称轴为直线x= =5，
2
b
∴- =5，解得b=-0.3，
2×0.03
∴抛物线的解析式为y=0.03x2-0.3x+3．
（2）将x=5代入y=0.03x2-0.3x+3，
得y=0.03×52-0.3×5-13=2.25（米）．
答：点M到OC的距离为2.25米．（3）∵图2中两个新抛物线对称，且最低点之间的水平距离为4米，
∴左边的新抛物线的对称轴为直线x=5-2=3．
设左边的新抛物线的解析式为y=m(x-3) 2+k．
将点A(0,3),N(5,2.7)代入y=m(x-3) 2+k，
得¿
解得¿
∴灯链最低点提高了2.46-2.25=0.21（米）．
2．（2025·四川南充·一模）如图1，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-3,0)，B两点，与y轴交于点
C，其对称轴直线为x=-1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M在直线AC上方的抛物线上，AC平分∠BCM，求点M坐标；
(3)如图2，点D与点C关于直线x=-1对称，过点D与抛物线有唯一公共点的直线DG与x轴交于点
G，直线PQ∥DG交抛物线于P，Q两点，连接BP交y轴正半轴于点E，连接BQ交y轴负半轴于点
F，探究OE-OF的值是否变化？若不变，求出OE-OF的值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2-2x+3
( 5 32)
(2)M - ,
3 9
(3)不变，OE-OF=2
【分析】（1）将对称轴，点的坐标代入关系式，即可求出答案；
（2）过点A作NA⊥x轴，与CM的延长线交于点N．则∠NAB=90°，证明
1
△ACN≌△ACB(ASA)，则AN=AB=4，可得直线CN的解析式为y=- x+3，联立方程求解
3
即可；（3）设直线DG的解析式为：y=k x+b ，将D(-2,3)代入，得-2k +b =3，可得
2 2 2 2
x2+(k +2)x+2k =0，则直线DG与抛物线有唯一的公共点Δ=k 2+4k +4-8k =0，可得
2 2 2 2 2
y=2x+7，然后可设直线PQ为解析式为y=2x+b ，再直线BP的解析式为y=k x+b ，设直线
3 4 4
BQ的解析式为y=k x+b ，联立即可求解.
5 5
【详解】（1）解：据题意可得：¿
解得：¿
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3．
（2）解：过点A作NA⊥x轴，与CM的延长线交于点N．则∠NAB=90°．
∵A(-3,0)，点B,C关于直线x=-1对称，
∴B(1,0)．
∴AB=4．
∵抛物线y=-x2-2x+3与y轴交于点C，
∴C(0,3)．
又∵A(-3,0)，
∴OA=OC．
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴∠NAC=45°，
∴∠NAC=∠BAC．
∵AC平分∠BCM，
∴∠NCA=∠BCA．又AC=AC，
∴△ACN≌△ACB(ASA)，
∴AN=AB=4．
∴N(-3,4)．
设直线CN的解析式为：y=k x+b ，则¿，
1 1
解得：¿．1
∴y=- x+3
3
联立得¿
解得¿或¿
( 5 32)
∴M - , ．
3 9
（3）解：OE-OF的值不变化．
∵点D与点C(0,3)关于直线x=-1对称，
∴D(-2,3)．
设直线DG的解析式为：y=k x+b ，将D(-2,3)代入，得-2k +b =3，
2 2 2 2
∴b =2k +3．
2 2
∴y=k x+2k +3．
2 2
联立¿，则x2+(k +2)x+2k =0．
2 2
∵直线DG与抛物线有唯一的公共点，
∴Δ=k 2+4k +4-8k =0．
2 2 2
解得k =2，
2
∴y=2x+7．
∵直线PQ∥DG，
∴设直线PQ为解析式为：y=2x+b ．
3
联立¿，则x2+4x+b -3=0．
3
∴x +x =-4，
P Q
设直线BP的解析式为y=k x+b ，将B(1,0)代入，得b =-k ，
4 4 4 4
∴y=k x-k ．
4 4
∴E(0,-k )，点E在y轴正半轴，
4
∴OE=-k ．
4
联立¿，则x2+(k +2)x-k -3=0．
4 4
∴x +x =-k -2，
P B 4
∵x =1，
B∴x =-k -3．
P 4
设直线BQ的解析式为y=k x+b ，将B(1,0)代入，得b =-k ，
5 5 5 5
∴y=k x-k ．
5 5
∴F(0,-k )，点F在y轴负半轴，
5
∴OF=k ．
5
同理可得：x =-k -3．
Q 5
∴(-k -3)+(-k -3)=-4．
4 5
∴k +k =-2．
4 5
∴OE-OF=-k -k =-(k +k )=2．
4 5 4 5
【点睛】本题二次函数与线段的数量关系的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解
析式，坐标系中两点之间的距离公式，二次函数与二元一次方程组的计算等知识，学会图形结合，
分类讨论思想是解题的关键．
3．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）已知抛物线C :y=ax(x+1)（其中a≠0，且a为常数）与x轴
1
交于A，B两点（点A在点B左侧），抛物线C :y=kx2+2kx+k-1（其中k≠0，且k为常数）．
2
(1)直接写出A，B两点的坐标；
(2)淇淇说：“无论k为何值，抛物线C 的顶点坐标都不变．”请对淇淇的说法进行说理；
2
(3)已知抛物线C 经过点P(-3,1)；
2
①求抛物线C 的解析式；
2
②点Q在抛物线C 上，且点P，Q关于抛物线C 的对称轴对称，连接PQ．若线段PQ与抛物线C 只
2 2 1
有一个公共点，请直接写出a的取值范围．
【答案】(1)A(-1,0)，B(0,0)(2)具体见解析
1 1
(3) ≤a< 或a=-4
6 2
【分析】（1）根据抛物线C 与x轴交于A，B两点，令y=0，则ax(x+1)=0，解出方程，方程的两
1
个解分别为A，B两点的横坐标，即可获解；
（2）把抛物线C 的解析式化为顶点式，则易看出顶点坐标，发现与k无关，即可进行说理；
2
（3）①将点P的坐标代入抛物线C 的解析式中，得到关于k的方程，求出C 的解析式，则可知道抛
2 2
物线C 的解析式；
2
②根据点P(-3,1)与点Q关于抛物线C 的对称轴对称，及易知对称轴为x=-1，可求得
2
Q(1,1)，再根据线段PQ与抛物线C 只有一个公共点，分a>0和a<0两种情况，进行分类讨论即可．
1
【详解】（1）解：令y=0，则ax(x+1)=0，解得x =0，x =-1，
1 2
由于抛物线C 与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），
1
∴A(-1,0)，B(0,0)；
（2）解：淇淇的说法正确，
理由：对于抛物线C :y=kx2+2kx+k-1，将其化为顶点式为
2
y=kx2+2kx+k-1=k(x2+2x+1)-1=k(x+1) 2-1，
∴抛物线C 的顶点坐标为(-1,-1)，与k无关，
2
因此淇淇的说法正确．
（3）解：①∵抛物线C 经过点P(-3,1)，
2
将点P的坐标代入抛物线C 的解析式中，得1=(-3) 2k+2×(-3)k+k-1，
2
1
解得k= ，
2
1 1
∴抛物线C 的解析式为y= x2+x- ．
2 2 2
②由（2）可知，抛物线C 的对称轴为直线x=-1，
2
∵点P(-3,1)与点Q关于抛物线C 的对称轴对称，
2
∴点Q的坐标为(1,1)，
当a>0时，抛物线C 开口向上，要使线段PQ与抛物线C 只有一个公共点，则抛物线C 经过点
1 1 1
P(-3,1)或Q(1,1)，1
若抛物线C 经过点P(-3,1)，将P(-3,1)代入y=ax(x+1)，得1=a×(-3)×(-3+1)，解得a= ；
1 6
1 1
若抛物线C 经过点Q(1,1)，将Q(1,1)代入y=ax(x+1)，得1=a×1×(1+1)，解得a= ，而当a=
1 2 2
时，线段PQ与抛物线C 的左侧还会有一个交点；
1
1 1
∴当a>0时， ≤a< ．
6 2
当a<0时，抛物线C 开口向下，要使线段PQ与抛物线C 只有一个公共点，则抛物线C 的顶点坐标
1 1 1
( 1 )
为 - ,1 ，
2
( 1 ) ( 1) ( 1 )
将 - ,1 代入y=ax(x+1)，得1=a× - × - +1 ，解得a=-4．
2 2 2
1 1
综上所述，当 ≤a< 或a=-4时，线段PQ与抛物线C 只有一个公共点．
6 2 1
4．（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A 在点B的右侧），与y
轴负半轴交于点C，且OB=OC=3
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，M为对称轴左侧的抛物线上一点，点N与M关于直线BC对称，若点N在y轴右侧，求
S 的取值范围；
△MBC
(3)如图2，点D，E分别在x轴和抛物线上，点E绕点D顺时针旋转90°得到点F，若抛物线上仅存
3
在唯一的一个点E，使得点F恰好落在直线y=- x-6上，求出点D和点E的坐标．
4
【答案】(1)y=x2+2x-3
27
(2)3<S ≤
△MBC 8( 44 ) ( 1 32)
(3)点D的坐标为 - ,0 ，点E的坐标为 - ,-
21 3 9
【分析】（1）待定系数法求解析式即可．
（2）过点M作MP∥y轴，交BC于点P，利用对称的性质求出P的坐标，借助P的坐标表示N的
坐标，进而求出面积表达式配方即可．
3
（3）设出点E的坐标，运用一线三等角模型写出点F坐标，再结合F恰好落在直线y=- x-6上
4
列出根的判别式解方程即可．
【详解】（1）解：将点B(-3,0)，点C(0,-3)代入y=x2+bx+c得¿，
解得¿，
∴y=x2+2x-3．
（2）过点M作MP∥y轴，交BC于点P，连接PN，MN．
∵OB=OC
，
∴∠MPC=∠OCB=45∘，
又∵点N与M关于直线BC对称，
∴MN⊥BC，PM=PN，∠NPC=∠MPC=45∘，
∴PM⊥PN，
设点M的坐标为(t,t2+2t-3)，
由题意知直线BC:y=-x-3，可得点P(t,-t-3)，
∴PN=PM=-t-3-(t2+2t-3)=-t2-3t，
∴点N(-t2-2t,-t-3)，
∵点N在y轴右侧，
∴-t2-2t>0，即t(t+2)<0，
又∵t<-1，∴-2<t<-1，
∵S =S +S ，
△MBC △BPM △CPM
1
= PM(x -x )，
2 C B
1
= (-t2-3t)⋅3，
2
3( 3) 2 27
=- t+ + ，
2 2 8
3 27
∴当t=- 时，△MBC面积取得最大值 ，
2 8
当t=-2或t=-1时S =3，
△MBC
27
∴3<S ≤ ．
△MBC 8
（3）设E(x ,x 2+2x -3)，D(m,0)，过E，F两点作x轴的垂线，垂足分别为G，H，
0 0 0
则 △DEG≌△FDH，
∴DH=EG=-x 2-2x +3，FH=DG=x -m，
0 0 0
点F的坐标为(m+x 2+2x -3,m-x )
0 0 0
3
代入y=- x-6中，
4
3
得m-x =- (m+x2+2x -3)-6，
0 4 0 0
3 1 7 15
整理得 x 2+ x + m+ =0，
4 0 2 0 4 4
(1) 2 3 (7 15)
依题意，得Δ= -4× × m+ =0，
2 4 4 444 1 32
解得m=- ，此时x =- ，x 2+2x -3=- ，
21 0 3 0 0 9
( 44 ) ( 1 32)
点D的坐标为 - ,0 ，点E的坐标为 - ,- ．
21 3 9
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，轴对称的性质，配方法求二次函数最值，一线
三等角模型，一元二次方程根的判别式．
5．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，已知二次函数y=ax2-2ax-3a（a是常数，且a<0）的图象与x
轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求点A，点B的坐标；
(2)如图2，二次函数y=ax2-2ax-3a（a是常数，且a<0）的图象为L ，图象L 中位于y轴右侧的
1 1
部分作关于y轴的对称图象，该对称图象记为图象L ．若直线l：y=m（m是常数）交图象L 于点D，
2 1
E（点D在点E的右侧），并与图象L 交于点F，若DF=2EF，求a与m的数量关系；
2
(3)抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)的图象与x轴分别交于A，B两点，将抛物线沿x轴向下翻折，所
得新抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰好有13个整点（点的横坐标、纵坐标都
为整数，则称这样的点为“整点”），求a的取值范围．
【答案】(1)A(-1,0)、B(3,0)
(2)m=-3a
2 1
(3)- <a≤-
3 2
【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到一次函数、二次函数和反比例函数的图象和性质，数形
结合是解题的关键．
（1）令y=0，解方程即可得解；
（2）由二次函数y=ax2-2ax-3a知，其对称轴为直线x=1，故设设点D(t,at2-2at-3a)，则点E(2-t,at2-2at-3a)，点F(-t,at2-2at-3a)，则DF=2t，EF=(2-t)-(-t)=2，由
DE=2EF得t=2，即可求解；
（3）如图，抛物线y=ax2-2ax-3a=a(x+1)(x-3)经过A(-1,0)、B(3,0)，对称轴为直线
x=1，围成的区域关于x轴对称，x轴上有5个“整点”，则x轴的上下部分各有四个“整点”，只
用考虑x轴上方的四个整点，只能是(1,1),(2,1),(3,1),(1,2)，当抛物线恰好经过(1,2)时，刚好有13
个“整点”，进而求解．
【详解】（1）解：令y=ax2-2ax-3a=0
∴a(x+1)(x-3)=0，
则x=3或-1，
∴点A(-1,0)、B(3,0)；
（2）解：∵y=ax2-2ax-3a，
-2a
∴抛物线的对称轴为直线x=- =1，
2a
设点D(t,at2-2at-3a)，则点E(2-t,at2-2at-3a)，点F(-t,at2-2at-3a)，
∴DF=2t，EF=(2-t)-(-t)=2.，
∵DE=2EF，
∴2t=4，则t=2，
∴m=at2-2at-3a
=4a-3a-3a
=-3a；
（3）解：如图，抛物线y=ax2-2ax-3a=a(x+1)(x-3)经过A(-1,0)、B(3,0)，对称轴为直
线x=1，围成的区域关于x轴对称，x轴上有5个“整点”，则x轴的上下部分各有四个“整点”，只用考虑x轴上方的四个整点，只能是(1,1),(2,1),(3,1),(1,2)，当抛物线恰好经过(1,2)时，刚好有
13个“整点”，
1
此时2=a-2a-3a，a=- ．
2
根据对称性，当抛物线经过点(0,2)时必然会经过点(2,2)，因此抛物线不能经过这两个点，
2
此时是临界位置，-3a=2，a=- ，
3
2 1
所以- ＜a≤- ．
3 2
题型四 二次函数旋转问题（共 5 小题）
1．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线C：y=ax2+bx+3(a≠0)
的顶点为A(1,2)，且与y轴交于点B．
(1)求a，b的值．
(2)将抛物线C：y=ax2+bx+3绕点O旋转180°，得到抛物线C'，点E是抛物线C'上的动点，当
△EAB面积最小时，求点E的坐标．
(3)抛物线 C：y=ax2+bx+3关于直线x=m对称的图象与直线y=-x+2相交于点P，Q，若
3<PQ<6，求m的取值范围．
【答案】(1)a=1，b=-2
( 1 9)
(2)E - ,-
2 4
13 1
(3)- <m<
8 16
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象旋转的性质，图
象对称的性质是解题的关键．
（1）根据抛物线顶点纵、横坐标列式求解即可；
（2）由（1）知抛物线的解析式y=x2-2x+3，得B(0,3)，求出点A(1,2)绕点O旋转180°，得到点
A'(-1,-2)，得抛物线C'的表达式为y=-x2-2x-3，求出直线AB的函数表达式为y=-x+3，并
可得向下平移得到直线l，当直线l与抛物线C'恰有一个公共点时，此公共点即为符合题意的点E，此时△EAB的面积最小, 设直线l的函数表达式为y=-x+k，E(t,-t2-2t-3)，求出直线l的函数
表达式为y=-x-t2-t-3，令-x2-2x-3=-x-t2-t-3，根据△=0可求得t的值，即可解决问题；
（3）求出顶点点A关于直线x=m对称的点D，此点为对称的抛物线的顶点，从而求出对称后的抛物
2 2
线解析式为y=[x-(2m-1)] +2，联立方程[x-(2m-1)] +2=-x+2，再由根与系数的关系求出
PQ=❑√10-16m，由题意可得3<❑√10-16m<6，求出m的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵A(1,2)是抛物线y=ax2+bx+3的顶点，
b
∴- =1，a+b+3=2，
2a
∴a-2a+3=2，
∴a=1，
∴b=-2a=-2；
（2）解：由（1）知抛物线的解析式y=x2-2x+3，
当x=0时，y=3，
∴B(0,3)；
将点A(1,2)绕点O旋转180°，得到点A'(-1,-2)，
则A'(-1,-2)即为抛物线C'的顶点．
又抛物线C'开口大小不变，开口向下，
∴抛物线C'的表达式为y=-(x+1) 2-2=-x2-2x-3．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A(1,2)，B(0,3)，
∴¿，
解得¿，
∴直线AB的函数表达式为y=-x+3．
将直线AB向下平移得到直线l，当直线l与抛物线C'恰有一个公共点时，此公共点即为符合题意的点
E，此时△EAB的面积最小,
设直线l的函数表达式为y=-x+k，E(t,-t2-2t-3)，
将(t,-t2-2t-3)代入y=-x+k，得-t+k=-t2-2t-3，
∴k=-t2-t-3，
直线l的函数表达式为y=-x-t2-t-3．
令-x2-2x-3=-x-t2-t-3，
整理，得x2+x-t2-t=0，
当△=0时，12-4(-t2-t)=0，
即4t2+4t+1=0，
1
解得t =t =- ，
1 2 2
( 1 9)
∴E - ,- ；
2 4
（3）解：设点A关于直线x=m对称的点为D，
x +1
则 D =m，
2
∴x =2m-1,．
D
∴抛物线C：y=x2-2x+3关于直线x=m对称的图象的函数表达式为y=[x-(2m-1)] 2 +2．
2
令[x-(2m-1)] +2=-x+2，
整理，得x2-(4m-3)x+(2m-1) 2=0，
则△=[-(4m-3)] 2 -4(2m-1) 2=5-8m>0，
5 4m-3±❑√5-8m
∴m< ,x= ，
8 2
4m-3+❑√5-8m 4m-3-❑√5-8m
∴|x -x |= - =❑√5-8m，
P Q 2 2
∵P，Q是直线y=-x+2上的点，
∴PQ=❑√2|x -x |=❑√10-16m，
P Q
∵3<PQ<6，
∴3<❑√10-16m<6，
∴9<10-16m<36，13 1
∴- <m< ．
8 16
2．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C ：y=x2-2x-3交x轴于
1
A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C．
(1)求点B，C的坐标；
(2)将抛物线C 绕某点旋转180°得到C ，且C 也经过B，C两点，求抛物线C 的解析式；
1 2 2 2
(3)在C 的对称轴上是否存在点M，使得△MBC是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不
2
存在，请说明理由．
【答案】(1)B(3,0)，C(0,-3)
(2)y=-x2+4x-3
( -3+❑√17) ( -3-❑√17)
(3)存在，M点坐标为(2,-5)或(2,1)或 2, 或 2,
2 2
【分析】本题考查二次函数的图象与性质：
（1）根据二次函数的性质即可解答；
（2）设抛物线C 的解析式为y=-x2+bx+c，将B、C代入，解出b、c即可；
2
（3）分别讨论BM、MC、BC为斜边，利用勾股定理即可求出M的坐标．
【详解】（1）解：当x=0时，y=-3，
∴C(0,-3)，
当y=0时，x2-2x-3=0，
解得x=3或x=-1，
∴A(-1,0)，B(3,0)；
∴B(3,0)，C(0,-3)．
（2）解：设抛物线C 的解析式为y=-x2+bx+c，
2
将B(3,0)，C(0,-3)代入，
∴¿，解得¿，
∴抛物线C 的解析式为y=-x2+4x-3；
2（3）解：存在点M，使得△MBC是直角三角形，理由如下：
∵y=-x2+4x-3=-(x-2) 2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
设M(2,m)，
∴BM2=1+m2，MC2=4+(m+3) 2，BC2=18，
当BM为斜边时，1+m2=4+(m+3) 2+18，解得m=-5，
∴M(2,-5)；
当MC为斜边时，4+(m+3) 2=1+m2+18，解得m=1，
∴M(2,1)；
当BC为斜边时，1+m2+4+(m+3) 2=18，
-3+❑√17 -3-❑√17
解得m= 或m= ，
2 2
( -3+❑√17) ( -3-❑√17)
∴M 2, 或 2, ；
2 2
( -3+❑√17) ( -3-❑√17)
综上所述：M点坐标为(2,-5)或(2,1)或 2, 或 2, ．
2 2
3．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）已知抛物线C :y=ax2-2ax+c与x轴交于A(-1,0)，B两点，与
1
y轴交于C点，且S =6．
△ABC(1)求抛物线C 的对称轴及解析式；
1
(2)如图1，D(t,1)为抛物线C 对称轴上的一点，将B，D两点绕点P(m,n)旋转180°后分别得E，F
1
两点，若E，F两点都在抛物线上，求m的值；
(3)如图2，将抛物线C 向左平移得C ，使C 的顶点落在y轴上，过原点的两条直线MN、ST交抛物
1 2 2
线于M、N、S、T，直线SM交NT于P，求证：P点在一条定直线上运动．
【答案】(1)对称轴为x=1，y=-x2+2x+3
13
(2)m=
8
(3)见解析
【分析】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，二元一次方程组的解法等知
识，解决问题的关键是较强的计算能力．
（1）根据抛物线的对称轴公式得出对称轴的解析式，进而得出AB的长，进而得出OC的长，从而得
出c的值，将点A坐标代入抛物线的解析式，求得a的值，进一步得出结果；
（2）可得出EF=BD，EF∥BD，设E(z，-z2+2z+3)，从而得出F(z-2,-z2+2z+4)，将F
点坐标代入抛物线的解析式，从而求得z的值，进一步得出结果；
（3）可求得C 的解析式为∶y=-x2+4，从而设M(m，-m2+4)，N(n，-n2+4)，
2
S(s，-s2+4)，T(t，-t2+4)，进而求得直线MN的解析式，根据其过原点，得出mn=-4，同理
可得st=-4及SM和NT的函数关系式，进而求得点P的坐标，可计算得出点P的纵坐标是恒定的值，
从而得出结果．
-2a
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为：x=- =1．
2a
∴AB=2×[1-(-1)]=4．
∵S =6，
△ABC
1
∴ AB⋅OC=6．
2
1
即 ×4⋅OC=6．解得OC=3．
2
∴c=3．∴a⋅(-1) 2-2⋅a⋅(-1)+3=0，解得a=-1．
∴y=-x2+2x+3．
（2）解：由题意得，EF=BD，EF∥BD，设E(z，-z2+2z+3)，
由-x2+2x+3=0，解得x=-1（舍去）或x=3，
∴B(3,0)．
∵D(1,1)，
∴F(z-2,-z2+2z+4)．
9
∴-(z-2) 2+2(z-2)+3=-z2+2z+4，解得z= ．
4
9
∴x = ．
F 4
9
1+
4 13．
∴m= =
2 8
（3）证明：点P在直线y=8上运动，理由如下：
∵C :y=-(x-1) 2+4，
1
∴C 的解析式为∶y=-x2+4．
2
设M(m，-m2+4)，N(n，-n2+4)，S(s，-s2+4)，T(t，-t2+4)，MN的解析式为∶
y=kx+b，
∴¿，解得¿．
∵MN过原点，
∴mn+4=0，解得mn=-4．
同理可得，st=-4．
直线SM的解析式为：y=(-m-s)x+ms+4，
直线NT的解析式为：y=(-n-t)x+nt+4．
nt-ms
由(-m-s)x+ms+4=(-n-t)x+nt+4，得x= ．
n+t-m-s
nt-ms
∴y=(-m-s)⋅ +ms+4
n+t-m-s(-m-s)⋅(nt-ms)+(ms+4)⋅(n+t-s-m)
=
n+t-s-m
-mnt+m2s-stn+ms2+mns+stm-ms2-m2s+4(n+t-s-m)
=
n+t-s-m
4t+4n-4s-4m
= +4
n+t-s-m
=8
∴点P在直线：y=8上运动．
4．（2025·福建泉州·模拟预测）国家的强大离不开国防的保障．近几年，科技的发展越来越多地应用到
国防军事方面，其中无人机和导弹防御系统成为各国竞争的热点．梅石数学小组借助项目式学习研
究了如下问题：某军事游戏模型截面图中，导弹防御系统雷达固定向上时的覆盖范围可视为二次函
数y=ax2+2(a>0)（如图1），并且可确保击落进入覆盖区域内超过10分钟（含10分钟）的无人
机．（已知直角坐标系的单位长度均为1km．）
(1)当点(1,3)在该二次函数图象上时，求a的值；
1
(2)①若雷达可绕点P左右旋转90°形成全方位覆盖（如图2）．若已知图2中y= x2+2的图象绕点
9
1 1
P向右旋转90°形成的曲线满足：x= (y-2) 2 ，请直接写出y= x2+2图象绕点P向左旋转90°后x、
9 9
y满足的关系式：__________；
②如图1，若该军事游戏模型中，某型号攻击无人机飞行高度为10km，携带导弹后速度为10米/秒，
为摧毁雷达需飞行到P点正上方进行投弹．当该导弹防御系统雷达固定向上时，其覆盖范围所视为的
二次函数y=ax2+2(a>0)的a要调整到什么范围才能抵挡这次攻击？（投弹时间忽略不计）
【答案】(1)a=1
1 2
(2)①x=- (y-2) 2 ②当0<a≤ 时，才能抵挡这次攻击
9 9【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
1
（2）①根据对称性，结合开口大小不变，得到a=- ，即可得出结果；②求出无人机到达P点上方
9
正好为10分钟时的a值，即可得出结果．
【详解】（1）解：把(1,3)代入y=ax2+2(a>0)，得：3=a+2，
∴a=1；
1 1
（2）①观察可知：y= x2+2图象绕点P向左旋转90°后的图象和y= x2+2的图象绕点P向右旋转
9 9
90°的图象，顶点相同，开口大小相同，只是方向相反，
1 1
∴y= x2+2图象绕点P向左旋转90°后x、y满足的关系式：x=- (y-2) 2 ；
9 9
1
故答案为：x=- (y-2) 2 ；
9
②当无人机到达P点上方正好为10分钟时，则飞行距离为10×10×60=6000m=6km，
假设无人机从左往右飞，
∵无人机飞行高度为10km，
则，当y=ax2+2(a>0)过点(-6,10)时，10=(-6) 2a+2，
2
∴a= ，
9
2
∴当0<a≤ 时，才能抵挡这次攻击．
9
5.（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交
于A、C两点，其中A(-1,0)，C(4,0)，与y轴交于点B．(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连结BC，过点D作DE⊥BC于点E，延长DE与直
❑√2
线y=-2交于点F，求 DF+❑√2DE的最大值及此时点D的坐标；
2
(3)若将原抛物线绕原点O旋转180°得到新的抛物线y'，P是新抛物线y'上的一个动点，H是直线
y=-2上的一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点K，使得四边形OPKH为正方形？请直
接写出满足条件的所有K的坐标．
【答案】(1)y=-x2+3x+4
97 (7 99)
(2)最大值为 ，此时点D的坐标为 ,
8 4 16
(3)存在，(8,4)或(4,-8)
【分析】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，全等三
角形的判定和性质，正方形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性
质，用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段长度是解题的关键．
（1）根据题意得：y=a(x+1)(x-4)=a(x2-3x-4)=ax2+bx+4，即可求解；
❑√2 ❑√2 ( 7) 2 97
（2）证明DM= DF，得到 DF+❑√2DE=DG+DM=-2 m- + ，即可求解；
2 2 4 8
（3）证明△PON≌△HOM(AAS)，得到PN=HM=2，ON=OM．则P点的坐标为(2,6)或
(-2,-6)，H(6,-2)，再分类求解即可．
【详解】（1）根据题意得：y=a(x+1)(x-4)=a(x2-3x-4)=ax2+bx+4，
∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4；
（2）过点D作DM⊥直线y=-2于M，交直线BC于G，∴DM∥y轴，
∴∠DGE=∠OBC，
∵抛物线y=-x2+3x+4与x轴交于A、C两点，其中A(-1,0)，与y轴交于点B．
令y=0，则0=-x2+3x+4，解得x =-1，x =4，
1 2
令x=0，则y=4，
∴B(4,0)，C(0,4)，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠DGE=∠OBC=45°，
∵DE⊥BC，
∴∠EDG=∠DGE=45°，
∴DE=EG，
∴DG=❑√2DE，
∵DM⊥直线y=-2，
∴∠EDG=∠DFM=45°，
❑√2
∴DM= DF，
2
由点B、C的坐标得，直线BC的解析式为y=-x+4，
设直线DM交x轴于N，D(m,-m2+3m+4)，则G(m,-m+4)，M(m,-2)，
∴DG=-m2+3m+4-(-m+4)=-m2+4m，DM=-m2+3m+4-(-2)=-m2+3m+6，
∴ ❑√2 DF+❑√2DE=DG+DM=-m2+4m-m2+3m+6=-2m2+7m+6=-2 ( m- 7) 2 + 97 ，
2 4 8❑√2 97 (7 99)
∴ DF+❑√2DE的最大值为 ，此时点D的坐标为 , ；
2 8 4 16
（3）如图，
根据旋转得抛物线y'过点(0,-4)，(1,0)，(-4,0)，
∴y'=x2+3x-4，
设P(n,n2+3n-4)，
∵四边形OPKH为正方形，
∴OP⊥OH，OP=OH，
∴∠PON+∠NOH=90°，
过点H作HM⊥x轴于M，过点P作PN⊥y轴于N，
∴∠PNO=∠HMO=90°，
∴∠HOM+∠NOH=90°，
∴∠PON=∠HOM，
∴△PON≌△HOM(AAS)，
∴PN=HM=2，ON=OM．
∴n=±2，
∴P点的坐标为(2,6)或(-2,-6)，H(6,-2)，
①当P点的坐标为(2,6)时，
∵O(0,0)，P(2,6)，H(6,-2)，四边形OPKH为正方形，
∴点K的坐标为(8,4)；
②当P点的坐标为(-2,-6)时，∵O(0,0)，P(2,6)，H(6,-2)，四边形OPKH为正方形，
∴点K的坐标为(4,-8)；
综上，存在，点K的坐标为(8,4)或(4,-8)．
题型五 二次函数折叠问题（共 5 小题）
1．（25-26九年级上·广西柳州·月考）一片心形叶子、刚生长出的幼苗的部分轮廓线，可以近似的看作由
抛物线的一部分沿直线折叠而成．
(1)如图1，为了确定一片心形叶子的形状，建立平面直角坐标系，发现心形叶子下部轮廓线可以看作
是二次函数y=mx2-4mx-20m+5图象的一部分，且过原点，求这个抛物线的表达式及顶点D 的
坐标．
(2)如图1，心形叶片的对称轴直线y=x+2与坐标轴交于A，B两点，直线x=6分别交抛物线和直线
AB于点E，F，点E、E'是叶片上的一对对称点，EE'交直线AB于点G．求叶片此处的宽度EE'的
长．
(3)兴趣小组同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线也可以看作是二次．函数
y=mx2-4mx-20m+5图象的一部分，如图2，幼苗叶片下方轮廓线正好对应（1）中的二次函数．
若直线PD与水平线的夹角为45°，三天后，点D 长到与点 P 同一水平位置的点D'时，叶尖Q落在
射线OP上（如图3所示）．求此时一片幼苗叶子的长度．
1
【答案】(1)抛物线解析式为y= x2-x，顶点D 的坐标为(2,-1)
4
(2)5❑√2
(3)3❑√5
【分析】本题主要考查了二次函数综合、一次函数与几何综合、轴对称的性质，等腰直角三角形的
性质与判定等知识点，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再化为顶点式即可求出顶点坐标；
（2）先求出OA=OB=2得到∠ABO=45°，再求出F(6,8),E(6,3)可得EF=5，由对称性可得❑√2 5❑√2
EE'=2EG，EG⊥FG，证明△EFG是等腰直角三角形，求出EG= EF= ，则
2 2
EE'=2EG=5❑√2；
（3）先求出直线PD的解析式为y=-x+1，进而求出P(-2,3)，同理可求出直线OP的解析式为
3 1 1 10
y=- x，则D'(2,3)，求出抛物线解析式为y= x2- x+ ，进而求出Q(-4,6)，如图：作
2 12 3 3
QH⊥PD'交PD'延长线于点H，利用勾股定理求出QD'=3❑√5即可解答．
【详解】（1）解：把(0,0)代入y=mx2-4mx-20m+5得：-20m+5=0
1
∴m= ，
4
1 1
∴抛物线解析式为y= x2-x= (x-2) 2-1
4 4
∴顶点D 的坐标为(2,-1)；
（2）解：∵直线AB的解析式为y=x+2，
∴A(-2,0),B(0,2)，
∴OA=OB=2，
∴∠ABO=45°，
在y=x+2中，当x=6时，y=8，
1
在y= (x-2) 2-1中，当x=6时，y=3，
4
∴F(6,8),E(6,3)，
∴EF=5，
∵EF∥AB，
∴∠GFE=∠ABO=45°，
∵点E、E'是叶片上的一对对称点，
∴EE'=2EG，EG⊥FG，
∴△EFG是等腰直角三角形，
❑√2 5❑√2
∴EG= EF= ，
2 2
∴EE'=2EG=5❑√2．
（3）解：∵直线PD与水平线的夹角为45°，
∴可设直线PD的解析式为y=-x+b，
把点D(2,-1)代入得，b=1．∴直线PD的解析式为y=-x+1，
联立¿，解得¿或¿（舍去），
∴P(-2,3)，
3
同理可求出直线OP的解析式为：y=- x，
2
∴D'(2,3)，
把D'(2,3)代入y=mx2-4mx-20m+5，
1
∴4m-8m-20m+5=3，解得：m= ，
12
1 1 10
∴抛物线解析式为y= x2- x+ ，
12 3 3
联立¿，解得：x =-4，x =-10．
1 2
∵幼苗是越长越展开，
∴x =-10不合题意，舍去
2
∴Q(-4,6)，
如图：作QH⊥PD'交PD'延长线于点H，
∴QD'=❑√(-4-2) 2+(6-3) 2=3❑√5 3❑√5
，即叶片的长度为 ．
2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图
象与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C，且抛物线的顶点D的坐标为(1,4)，连接BC，
拋物线的对称轴与BC交于点H．(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上B、D两点之间的部分（不包含B、D两点），是否存在点G，使得S =3S ，
△BGH △DGH
若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图②，将拋物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E，M为直线x=1上一个动点，在
平面内是否存在一个点N，使得以B、E、M、N为顶点的四边形是以BE为对角线的矩形，若存在，
求出N点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2+2x+3
(2)存在，G(❑√3,2❑√3)
(3)N点坐标为(2,-1)或(2,2)．
【分析】（1）利用二次函数的顶点式运算求解即可；
（2）求出直线BC的解析式，过点G作GM∥x轴交对称轴于点M，过点G作GN∥y轴交直线BC
于点N，分别表达出G，M，N的坐标，再利用三角形面积公式列式运算即可；
（3）设点E关于直线BC的对称点为E'，利用折叠和等腰三角形的性质求得E(0,1)．设M(1,n)，求
得EM2=n2-2n+2，BM2=n2+4，BE2=10，从而得出n2-2n+2+n2+4=10，求得n的值，进
一步得出结果．
【详解】（1）解：∵拋物线的顶点D的坐标为(1,4)，
∴设抛物线的解析式为y=a(x-1) 2+4，
∵抛物线过点A(-1,0)，
∴a(-1-1) 2+4=0，
解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-(x-1) 2+4=-x2+2x+3；
（2）解：存在，理由如下：
由（1）知抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，令x=0，则y=3，
∴C(0,3)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，代入C(0,3)和B(3,0)可得：
¿，
解得：¿，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
∵抛物线的对称轴与BC交于点H，
∴把x=1代入y=-x+3可得：y=2，
∴H(1,2)，
∴DH=2，
过点G作GM∥x轴交对称轴于点M，过点G作GN∥y轴交直线BC于点N，如图所示：
设点G的坐标为(m,-m2+2m+3)(1<m<3)，则N(m,-m+3)，M(1,-m2+2m+3)，
∴GM=m-1，GN=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m，
1 1
∴S = ×(3-1)×(-m2+3m)=-m2+3m，S = ×2×(m-1)=m-1，
△BGH 2 △DGH 2
∵S =3S ，
△BGH △DGH
∴-m2+3m=3(m-1)，
解得m=❑√3或m=-❑√3（舍去），
∴G(❑√3,2❑√3)；
（3）解：由（2）知，OB=OC=3，又∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°，
设点E关于直线BC的对称点为E'，如图所示，则CE=CE'，EE' ⊥BC，
∵∠OCB=45°，
∴∠CEE'=45°，
∴∠CE'E=45°，
即△ECE'是等腰直角三角形，
∴∠ECE'=90°，
由抛物线的对称性可知，E'(2,3)，
∴CE'=2，
∴CE=2，
∴OE=1，
∴E(0,1)．
∵BE是以B、E、M、N为顶点的矩形的对角线，
∴∠BME=90°，
设M(1,n)，
∵EM2=12+(n-1) 2=n2-2n+2，BM2=(3-1) 2+n2=n2+4，BE2=12+32=10，
∴n2-2n+2+n2+4=10，
∴n=2或n=-1，
当n=2时，M(1,2)，
∴N(2,-1)，
当n=-1时，M(1,-1)，
∴N(2,2)，
综上所述：N点坐标为(2,-1)或(2,2)．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的图形性质，二次函数点的坐标特征，待定系数
法求函数解析式，三角形面积，等腰三角形的判定及性质，矩形的性质等知识点，熟悉掌握各知识点是解题的关键．
3．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A(5,0)在x轴正半
轴上，点C的坐标为(3,4)，抛物线y=-x2+bx+c经过O，A两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线与线段BC的交点为D，连接OD，将△OCD沿直线OD折叠，点C的对应点为E，连接
AE，求AE的长度．
1
(3)在抛物线的对称轴上存在一点P，使得S = S ，请写出点P的坐标．
△OPE 4 菱形OABC
【答案】(1)y=-x2+5x
(2)❑√10
(5 5) (5 35)
(3)P ,- 或P ,
2 8 2 8
【分析】（1）利用待定系数法即可解答；
（2）先求出点D的坐标，延长DC交y轴与点G，延长DE交x轴与点F，证明△ODG是等腰直角
三角形，得到∠ODG=45°，由折叠的性质得：∠CDE=45°，推出∠CDE=90°，求出EF=3，
AF=1，利用勾股定理即可求解；
3
（3）设OE与抛物线对称轴交于点H，连接OP,PE，求出直线OE的解析式为y= x，根据抛物线
4
5 (5 15) (5 ) | 15|
的对称轴为x= ，求出点H , ，设P ,p ，则PH= p- ，根据
2 2 8 2 8
1 |15 |
S = PH·x =2 -p ，S =20，列出方程求解即可．
△OPE 2 E 8 菱形OABC
【详解】（1）解：∵C(3,4)，A(5,0)，抛物线y=-x2+bx+c经过O，A两点，∴¿，
解得：¿，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+5x；
（2）解：∵四边形OABC是菱形，C(3,4)，
∴D点的纵坐标为4，
令抛物线y=4=-x2+5x，
解得：x=4或x=1，
根据题意：D(4,4)，
∴CD=4-3=1，
∴OA=OC=5，
∵A(5,0)，
∴ OC=OA=BC=AB=5，
由折叠的性质得：OE=OC=5,DE=CD=1，
延长DC交y轴与点G，延长DE交x轴与点F，
∵BC∥x
轴，
∴DG⊥y轴，
则DG=4,OG=4，
∴△ODG是等腰直角三角形，
∴∠ODG=45°，
由折叠的性质得：∠CDE=45°，
∴∠CDE=90°，
∵BC∥x轴，
∴ ∠DFA=90°，即DF⊥x轴，
∴DF=4，OF=4，
∴EF=DF-DE=3，AF=1，
∴AE=❑√EF2+AF2=❑√10；（3）解：设OE与抛物线对称轴交于点H，连接OP,PE，
E(4,3)
由（2）知 ，
设直线OE的解析式为y=mx(m≠0)，
则3=4m，
3
解得：m= ，
4
3
∴直线OE的解析式为y= x，
4
5 5
∵抛物线的对称轴为x=- =
，
2×(-1) 2
3 5 15
∴y = × = ，
H 4 2 8
(5 15)
∴H , ，
2 8
(5 ) | 15|
设P ,p ，则PH= p- ，
2 8
1 |15 |
S = PH·x =2 -p ，
△OPE 2 E 8
∵S =5×4=20，
菱形OABC
|15 | 1
∴ 2 -p = ×20=5，
8 4
5 35
解得：p=- 或p= ，
8 8
(5 5) (5 35)
∴P ,- 或P , ．
2 8 2 8
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与图形面积问题，折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，综合运用二次函数的性质是解
题的关键．
4．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，抛物线y=ax2-4x+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，直
线BC的表达式为y=-x+3．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求△AOC的面积；
(3)M是y轴右侧抛物线上的一动点，过点M作MN∥y轴，交直线BC于点N，连接CM，将
△CMN沿CM折叠，当点N的对应点N'恰好落在y轴上时，求点N的坐标．
【答案】(1)y=x2-4x+3
3
(2)
2
(3)(3-❑√2,❑√2)或(3+❑√2,-❑√2)
【分析】（1）根据直线与坐标轴的交点得到B(3,0),C(0,3)，代入二次函数，运用待定系数法得到
抛物线解析式；
（2）根据二次根式与坐标轴的交点得到A(1,0)，根据面积的计算即可求解；
（3）根据题意，分类讨论：如图所示，点M在x轴下方，将△CMN沿CM折叠，当点N的对应点
N'恰好落在y轴上，过点N作ND⊥y轴于点D，则△CDN是等腰直角三角形，CN=❑√2ND；如
图所示，点M在x轴上方，延长NM到点E，作N'F⊥ME于点F；结合二次函数与特殊四边形的关
系，数形结合分析即可求解．
【详解】（1）解：在直线BC：y=-x+3中，
当x=0时，y=3，则C(0,3)，
当y=0时，x=3，则B(3,0)，
把点B,C代入抛物线y=ax2-4x+c中，
¿，解得，¿，
∴抛物线的表达式为y=x2-4x+3；
（2）解：抛物线的表达式为y=x2-4x+3，
当y=0时，x2-4x+3=0，
解得，x =1,x =3，
1 2
∴A(1,0)，
∴OA=1,OC=3，
1 1 3
∴△AOC的面积为 OA·OC= ×1×3= ；
2 2 2
（3）解：根据题意得到，B(3,0),C(0,3)，
∴OB=OC=3，且∠BOC=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，即△BOC是等腰直角三角形，
如图所示，点M在x轴下方，将△CMN沿CM折叠，当点N的对应点N'恰好落在y轴上，过点N作
ND⊥y轴于点D，则△CDN是等腰直角三角形，CN=❑√2ND，
∵MN∥y轴，
∴MN⊥x轴，∠BNM=∠OCB=45°，
∴∠CNM=135°，
∵折叠，
∴CN=CN,NM=N'M，∠CN'M=∠CNM=135°，
∴∠ON'M=∠OCB=45°，
∴N'M∥BC，
∴四边形CNM N'是平行四边形，且CN=CN'，
∴平行四边形CNM N'是菱形，
∴CN=NM=M N'=CN'，
设M(m,m2-4m+3)(m>0)，则N(m,-m+3)，∴MN=-m+3-(m2-4m+3)=-m2+3m，DN=m，
∴CN=❑√2m，
∴-m2+3m=❑√2m，整理得，m2+(❑√2-3)m=0，
解得，m =0（不符合题意，舍去），m =3-❑√2，
1 2
∴y=-m+3=-(3-❑√2)+3=❑√2，
∴N(3-❑√2,❑√2)；
如图所示，点M在x轴上方，延长NM到点E，作N'F⊥ME于点F，
同理可得，
M(m,m2-4m+3),N(m,-m+3),N'F=m,MN=m2-4m+3-(-m+3)=m2-3m,∠MNC=∠O，CB=45°
∠NCN'=135°=∠NM N'，
∴∠N'MF=45°=∠MNC，M N'=❑√2N'F=❑√2m
∴M N' ∥NC，且MN∥y轴，
∴四边形CNM N'是平行四边形，且CN'=MN，
∴平行四边形CNM N'是菱形，
∴MN=M N'，
∴m2-3m=❑√2m，整理得，m2-(3+❑√2)m=0，
解得，m =0（不符合题意，舍去），m =3+❑√2，
1 2∴y=-m+3=-(3+❑√2)+3=-❑√2，
∴N(3+❑√2,-❑√2)；
综上所述，点N的坐标为(3-❑√2,❑√2)或(3+❑√2,-❑√2)．
【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，一次函
数与结合图形面积的计算方法，二次函数与特殊四边形的边长的计算，等腰三角形的判定和性质等
知识的综合运用是关键．
5．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图1，抛物线y=-x2+3x与直线y=-x相交于O、B两点，点A
在抛物线上且横坐标为2，点D为抛物线与x轴的交点，点E是线段OB上一动点．
(1)求点B坐标；
(2)连接AE、DE，求AE+DE的最小值；
(3)△AOB为什么三角形？请说明理由：
(4)如图2，点C是线段AB的中点，连接AE、CE，将△AEC沿EC折叠，得到△A'EC，若
1
△A'EC与△CBE重叠部分的面积是△CBE面积的 ，求EB的长．
2
【答案】(1)B(4,-4)
(2)❑√29
(3)直角三角形，见解析
(4)3❑√2或❑√10
【分析】本题综合考查二次函数的性质．难点在于分类探讨折叠后的图形，以此判断出点E所在的
位置．
（1）二次函数和一次函数联立，求得合适的解即为点B的坐标；
（2）取二次函数的y=0，求得点D的坐标，点D关于直线OB对称的点D'(0,-3)，连接AD'交线段OB于E，此时AE+DE最小，再由勾股定理求出最小值即可；
（3）根据点A、点B的坐标，进而根据两点间的距离公式分别求得OA2，OB2，AB2，得到较小的
两边的平方和等于较大边的平方，那么△AOB为直角三角形；
（4）分类探讨画出相关图形，易得折叠后连接A'B后点A'、B、C、E组成的四边形是平行四边形，
1
进而根据AC=BC= AB，以及折叠得到的边长相等可得BE的长度．
2
【详解】（1）解：∵将x=2代入抛物线y=-x2+3x得y=2，
∴A(2,2)，
∴联立¿，
解得x=0或x=4，
∴B(4,-4)；
（2）解：当y=0代入抛物线得0=-x2+3x，
解得x=0或x=3，
∴D(3,0)，
∴点D关于直线OB对称的点D'(0,-3)，
连接AD'交线段OB于E，此时AE+DE最小，
过A作AF⊥y轴，交y轴于F，则F(0,2)，
AE+DE≥AD'=❑√AF2+D'F2=❑√29，
∴AE+DE最小值为❑√29；
（3）解：△AOB是直角三角形，理由如下：
∵B(4，-4),A(2，2)，
∴BO=4❑√2,OA=2❑√2,AB=2❑√10，
∴AB2=BO2+AO2，∴△AOB是直角三角形；
（4）解：分以下两种情况：
①当A'在BO上方时，设EA'与AB交于点M，
∵C是AB的中点，
∴S =S ，
△ABC △CEB
1
∵S = S =S ，
△ECM 2 △CEB △EBM
∴M是BC的中点，
由折叠可知，△AEC≌△A'EC，
∴S =S =S ，
△A'EC △AEC △BEC
1 1
∴S = S = S =S ，
△ECM 2 △CEB 2 △A'EC △A'MC
∴M是EA'的中点，
∴四边形EC A'B是平行四边形，
1
∴BE=A'C=AC= AB=❑√10，
2
②当A'在BO下方时，设C A'与OB交于点M，
同理可得四边形ECBA'是平行四边形，1
∴AE=EA'=BC= AB=❑√10；
2
∴在直角△AOE中，OE=❑√AE2-OA2=❑√(❑√10) 2-(2❑√2) 2=❑√2，
又∵OB=4❑√2，
所以EB=OB-OE=3❑√2，
综上所述：EB的长为3❑√2或❑√10．
