专题 15 期末真题百练通关（146 题 13 大压轴题型）
范围：九年级上册+下册26和27章
选填小压轴 题型9 隐圆中最值问题
题型1 一元二次方程中多个结论问题 题型10 圆综合的多个结论问题
题型2 一元二次方程中参数问题 题型11 反比例函数系数K的几何意义综合
题型3 二次函数中多个结论问题 大题压轴
题型4 二次函数中的交点问题 题型1 几何综合
题型5 二次函数中根据最值求参数 题型2二次函数综合压轴
题型6 二次函数中动点问题
题型7 旋转中多个结论问题
题型8 规律问题
选填题压轴
题型1 一元二次方程中多个结论问题
1．（24-25八年级下·山东济南·期末）对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有以下结论：
①若a+b+c=0，则b2−4ac≥0；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若方程ax2+bx+c=0的两个实数根分别为4、−3，则方程ax2−(2a−b)x+a−b+c=0的两根为
3，−4．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（24-25八年级下·重庆·期中）对于多项式x2−xy−6 y2记为f (x，y)，即f (x，y)=x2−xy−6 y2．
若x=2，y=1，即f (2，1)=22−2×1−6×12=−4．下列结论正确的有（ ）
对于任意实数x，y，都有f (−x，−y)=f (x，y)；
①对于任意实数x，总有f (x，2)≥k，则k≤−25；
②若x，y≠0，且f (x，y)=0，则：x=3 y或x=−2y；
③
存在实数x，y，使得f (x，y)=−6 y2−xy+4x−5成立．
④
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（24-25九年级上·重庆·期末）从a, b, c三个实数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的
选择得到三个结果a , b , c ，称为一次操作．则下列结论正确的个数是（ ）
1 1 1
①若a=1, b=2, c=3，则a , b , c 三个数中最大的数是4；
1 1 1
②若a=x2, b=2x, c=1，且a , b , c 中最小值为−7，则x=4；
1 1 1
③给定a, b, c三个数，将第一次操作的三个结果a , b , c 按上述方法再进行一次操作，得到三个结
1 1 1
果a , b ,c ,⋯，以此类推，第2024次操作的结果是a , b , c ，则a +b +c 的值为
2 2 2 2024 2024 2024 2024 2024 2024
2024(a+b+c)．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4．（24-25九年级上·重庆渝北·期末）已知四个整式：A=x2−2x，B= y2+2y−1，C=x−y，
D=x+ y，有以下结论：
①若x，y为整数，则A+B+C⋅D的值一定是偶数，
②若关于x，y的整式M=A+m⋅B+n⋅C+D不含一次项，则M存在最小值，
③对任意实数x，y，多项式A+B−C−D的值不可能为-6．
以上结论中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
题型2 一元二次方程中参数问题
5．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）若关于x的方程kx2−2x+3=0有实数根，则实数k的取值范围为
（ ）
1 1 1
A．k≤ B．0<k≤ C．k≤ 且k≠0 D．k≥3
3 3 3
6．（24-25九年级上·山东日照·期末）对于任意实数a,b,c，规定【a,b】⊗c=ac−b，例如，
【2,3】⊗1=2×1−3=−1，若关于x的方程【x,x+1】⊗(mx)=0有两个不相等的实数根，
则m的取值范围为（ ）
1 1
A．m< B．m>−
4 4
1 1
C．m>− 且m≠0 D．m< 且m≠0
4 47．（23-24八年级下·福建福州·期末）设m，n是方程x2+x−2024=0的两个实数根，则m2+2m+n的值
为 ．
8．（23-24九年级上·浙江台州·期中）若α、β是方程x2+3x−2023=0的两个实数根，则α2+4α+β的
值为
9．（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2=0．
(1)已知方程总有两个实数根，求m的取值范围；
(2)若方程的两个实数根分别为x ，x ，且满足x +x −3x x =−3，求m的值．
1 2 1 2 1 2
10．（24-25九年级上·河北张家口·期末）已知关于x的一元二次方程x2−3x+k=0的两根分别为x ，x
1 2
(1)求k的取值范围；
(2)若x2+x2=5，求k的值．
1 2
11．（24-25八年级下·山东威海·期末）已知关于x的一元二次方程(m−2)x2−3x+1=0．
(1)若方程有实数根，求m的取值范围；
2
(2)是否存在实数m，使方程的两根x ，x 满足x +x +3x ⋅x = m？若存在，求出实数m的值；
1 2 1 2 1 2 5
若不存在，请说明理由．
12．（23-24九年级上·北京东城·期中）关于x的一元二次方程x2−(k+3)x+2k+2=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
13．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）若关于x的一元二次方程x2−2x+m−2=0有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若a，b是关于x的一元二次方程x2−2x+m−2=0的两个根，且m2+a2+b2=16，求m的值．14．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程x2−2(a+2)x+a2−5=0有实数根．
(1)求a的取值范围；
(2)若方程的两根为x ，x ，且x2+x2=44，求a的值．
1 2 1 2
15．（24-25九年级上·浙江台州·期末）已知关于x的一元二次方程x2−2(m−1)x+m2−5=0有两个不相
等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若该方程有一个根为2，求方程的另一个根．
16．（24-25九年级上·四川达州·期末）已知关于x的一元二次方程(m−1)x2+2(m+1)x+m+1=0．
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为x ，x ，且满足(x −1)(x −1)=−m，求实数m的值．
1 2 1 2题型3 二次函数中多个结论问题
17．（25-26九年级上·全国·期末）如图所示是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标
为(1,n)，且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，则下列结论：①a−b+c>0；②3a+b=0；③
b2=4a(c−n)；④一元二次方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实根．其中正确结论的个数是
（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．（2024·甘肃甘南·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc<0；②b<a+c；③4a+2b+c>0；④2c<3b；⑤a+b<m(am+b)，（m≠1的实数）．其
中正确结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图所示为抛物线y=ax2+bx+c的图像，其对称轴为直线
x=1，且经过点(3,0)．则下列结论：①abc>0；②b2−4ac>0；③a−b+c<0；④9a+3b+c=0其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
20．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x −4 −3 −1 1 5
y 0 5 9 5 −27
下列结论：
①abc>0；
②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实数根；
③当−4<x<1时，y的取值范围为0<y<5；
④若点(m, y )，(−m−2, y )均在二次函数图象上，则y = y ；
1 2 1 2
⑤满足ax2+(b+1)x+c<2的x的取值范围是x<−2或x>3．
其中正确结论的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
21．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象
与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，下列四个结论：①abc>0；②2a+c>0；
3 3
③am2+bm≥a+b（m为任意实数）；④若− <c<− ，则−2<a+b+c<−1，其中正确结论为
2 4
（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①③④
22．（24-25九年级上·山东临沂·期末）已知抛物线y=ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：以下结论正确的是（ ）
x … −1 0 1 2 3 …
y … 3 0 m 3 …
A．当x<2时，y随x增大而增大 B．抛物线y=ax2+bx+c的开口向下
C．m=2 D．当y<0时，x的取值范围是0<x<2
23．（24-25九年级上·天津静海·期中）如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若
墙长为18m，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长35m，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．有下列
结论：
①要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的宽为7.5m；
②围成养鸡场的面积能达到200m2；
1225
③围成养鸡场的最大面积为
m2
8
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
24．（2024·天津武清·三模）如图，某公司准备在一个△ABC的绿地上建造一个矩形的休闲书吧CEDF，
其中∠C=90°，∠A=30°，BC=6m，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上．有下列结论：
①DF的长可以为8m；②点D在两个不同位置可使得休闲书吧CEDF的面积为8❑√3m2；③休闲书吧
CEDF面积的最大值为9❑√3m2．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
25．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a<0）的顶点为(1,2)．
小烨同学得出以下结论：①abc<0；②当x>1时，y随x的增大而减小；③若ax2+bx+c=0的一个1
根为3，则a=− ；④抛物线y=ax2+2是由抛物线y=ax2+bx+c向左平移1个单位，再向下平移2
2
个单位得到的．其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
26．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t
（单位：s）之间的关系式是h=30t−5t2(0≤t≤6)．有下列结论：
小球从抛出到落地需要6s；
①小球运动中的高度可以是30m；
②小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度．
③其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
27．（24-25九年级上·山东烟台·期末）物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，
小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m ②小球抛出3s后，速度越来越快
③小球抛出3s时速度为0 ④小球的高度h=30m时，t=1.5s
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③④ D．②③
28．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=x2−2x+c交于A，B两
点，且点A的横坐标是－1，点B的横坐标是4，有以下结论：①若点A在x轴上，则抛物线
y=x2−2x+c与x轴的另一个交点坐标为（3，0）；②当x>1时，一次函数y=kx+b(k≠0)与二次
函数y=x2−2x+c的函数值y都随x的增大而增大；③AB的长度可以等于5，其中正确的结论有
（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
题型4 二次函数中的交点问题
29．（2015·山东济南·中考真题）如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其
上方的部分记作C ，将C 向右平移得C ，C 与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C 、C 共有3个
1 1 2 2 1 2
不同的交点，则m的取值范围是（ ）
1 7
A．−2< m< B．−3< m<−
8 4
15
C．−3< n<−2 D．−3< m<−
8
30．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，二次函数y=−x2+x+2及一次函数y=x+m，将该二次函
数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线
y=x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
13 25
A．− <m<−3 B．− <m≤1 C．−2<m<1D．−3<m<−2
4 431．（25-26九年级上·浙江台州·月考）已知函数y=
{−x2+4x−2(x≥1))
的图象与直线y=x+b有4个
−x2+2(x<1)
交点，则b的取值范围为（ ）
1 1 9 9
A．0<b< B．0<b≤ C．0<b< D．0<b≤
4 4 4 4
32．（24-25九年级下·安徽宿州·月考）已知二次函数y=−x2+2x+3的图象与一次函数y=−x+n交x轴
于点A(a,0)，交y轴于点B(0,b)．
（1）a+b= ；
（2）点C在一次函数图象上，将点C向下平移4个单位长度后得到点D，若线段CD与抛物线有交
点，则点C的横坐标m的取值范围是 ．
33．（24-25九年级上·北京·月考）【问题背景】解方程：|x2−2x−3)=k；
【解决方法】建立函数y=x2−2x−3，
(1)求：该函数与x轴的交点及其顶点坐标
(2)设y=|x2−2x−3)，则可以通过将抛物线y=x2−2x−3的x轴下部分沿x轴翻折得到该函数，由
图象可知，当k的取值范围是_________时问题方程有4个不同根的时候，所有根的和为_________．
题型5 二次函数中根据最值求参数
34．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）当关于x的二次函数y=(a−1)x2+a2+4a的最大值为5时，a的值
为( )
A．−1 B．−5 C．−1或−5 D．−1或−2
35．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）若二次函数y=−x2+4x+9在t≤x≤t+3的范围内的最大值为4，
则实数t的值为（ ）
A．−4或5 B．−1或5 C．−1或7 D．−4或7
36．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx−3经过点A(−1,0)、B(3,0)，若当
n≤x≤4时y的最大值与最小值的差为6，则n的值为（ ）A．1+❑√3 B．2 C．1−❑√3 D．1±❑√3
37．（2025·陕西西安·三模）已知抛物线y=x2+4x，当−3≤x≤a时，y的最大值与最小值之和为1，则a
的值为（ ）
A．−5 B．−2或−1 C．−1 D．1
38．（2025·浙江宁波·模拟预测）点A(s,t)在二次函数y=2(x−m) 2（m为常数）的图象上，
s−m=t≠0．当s−1≤x≤s+2时，二次函数的最大值与最小值的差为（ ）
9 9 25
A． B． C．12 D．
4 2 2
39．（25-26九年级上·北京·期中）当−3≤x≤2时，二次函数y=a(x−2) 2+1−4a(a≠0)的最大值为8，
则a= ．
40．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）已知二次函数y=ax2−2ax+c，当−1≤x≤2时，y有最小值7，
最大值11，则a+c的值为 ．
41．（24-25九年级上·山东威海·期中）已知抛物线y=x2−4mx+2m+1，m为实数，当
2m−3≤x≤2m+1时，y的最大值为4，此时m的值为 ．
题型6 二次函数中动点问题
42．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图（1），在Rt△ABC中，∠B=90°，D是边AB上的定点，
点E从点B出发，以每秒1个单位长度依次沿BC、CA两边匀速运动，运动到点A时停止．设点E运
动的时间为t秒，以DE为边的正方形面积为S，S关于t的函数图象如图（2）所示，点P是其中一段
曲线的最低点，图（2）中m的值是（ ）A．10 B．14 C．16 D．18
43．（2025·甘肃庆阳·三模）如图1，动点P从正方形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，同
时点Q从点D出发，沿着边DA匀速运动，点P的速度是点Q速度的2倍，当P，Q有一点停止运动
时，另一点也随之停止运动，连接PQ,PD，设点Q的运动路程为x，△DPQ的面积为y，y与x的
函数图象如图2所示，则点M的坐标为（ ）
A．(2,2) B．(2,3) C．(3,3) D．(4,4)
44．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，
CD=❑√2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿C→B→A的方向匀速运动，到达点A
时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的面积为S，当点P由
点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线
段AC的长为（ ）A．7 B．6❑√2 C．5❑√3 D．4❑√2
45．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，菱形ABCD的边长为3cm，∠B=60°，动点P从点B出
发以3cm/s的速度沿着边BC−CD−DA运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以
1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x（s）， BPQ的
面积为y（cm2），则y关于x的函数图象为（ ） △
A． B．
C． D．
题型7 旋转中多个结论问题
46．（24-25八年级下·北京房山·期末）如图，矩形ABCD绕点D逆时针旋转90°得到矩形A′B′C′D，连
接BB′交CD于点E，F为BB′的中点，连接DF交A′B′于点G，连接EG，B′D．给出下面四个结论：
1
①DF= BB′ ；②CE=A′G；③EG=❑√2EF；④EG⊥B′D．
2上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③
47．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，△DEC是由△ABC绕点C顺时针旋转得到的（点A、B
的对应点分别为点D、E），点D恰好落在边AB上，连接BE，下列四个结论：①AB=DE；②
∠CBE=∠CEB；③点C到AB的距离与点C到DE的距离一定相等；④∠ACD=∠BCE．其中
所有正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
48．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，矩形ABCD绕点D逆时针旋转90°得到矩形A'B'C'D，连
接BB′交CD于点E，F为BB′的中点，连接DF交A′B′于点G，连接EG，B'D．给出下面四个结论：
1
①DF= BB' ；②CE=A'G；③EG=❑√2EF；④EG⊥B'D．
2
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③49．（24-25九年级上·湖北武汉·月考）如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线
段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′ A可以由△BOC绕点
B逆时针旋转60°得到；②∠AOB=150°；③四边形AOBO'的面积是
9❑√3
6+4❑√3；④S +S =6+ ，其中正确结论有（）个．
△AOC △AOB 4
A．1 B．2 C．3 D．4
50．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，在△ABC中，将AB绕点A顺时针旋转α至AB′，将AC绕
点A逆时针旋转β至AC′ (0°<α<180°,0°<β<180°)得到△AB′C′，使
∠BAC+∠B′ AC′=180°，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′的中线AD
叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有（ ）
①△ABC与△AB′C′面积相同；
②BC=2AD；
③若AB=AC，连接BB′和CC′，则∠B′BC+∠CC′B′=180°；
④若AB=AC，AB=4，BC=6，则B′C′=10．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
51．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，O是等边△ABC内一点，OA=6,OB=8,OC=10，以B为旋转中心，将线段BO逆时针旋转60°得到线段BO′，连接AO′．则下列结论：①△BO′ A可以由
△BOC绕点B逆时针方向旋转60°得到；②连接OO′，则OO′=8；③∠AOB=150°；④
S =24+12❑√3．其中正确的有（ ）
AOBO′
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
52．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在△ABC中,∠A=30°，将△ABC绕点B顺时针旋转
60°得到△DBE，延长AC分别交BD,DE于点F,G，连接BG．下列结论：①∠FGE=120°；②
AG⊥BD；③DG=BG；④AG=DE+BE，其中正确的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型8 规律问题
53．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）如图在平面直角坐标系中，抛物线y=x2上已知点A的坐标为(1,1)，
过点A作A A ∥x轴交抛物线于点A ，过点A 作A A ∥OA交抛物线于点A ，过点A 作
1 1 1 1 2 2 2
A A ∥x轴交抛物线于点A ，过点A 作A A ∥OA交抛物线于点A ，…，依此规律进行下去，
2 3 3 3 3 4 4
则点A 的坐标为 ，点A 的坐标为 ．
3 20241 1 1 1 1 1 1 1
54．（2022·广东东莞·一模）观察规律 =1− , = − , = − ,⋅⋅⋅，运用你观察到
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
的规律解决以下问题：如图，分别过点P (n,0)(n=1、2、⋯)作x轴的垂线，交y=ax2(a>0)的图
n
1 1 1
象于点A ，交直线y=−ax于点B ．则 + +⋅⋅⋅+ 的值为（ ）
n n A B A B A B
1 1 2 2 n n
n 2 2a n
A． B． C． D．
a(n−1) a(n−1) n(n+1) a(n+1)
55．（24-25九年级·辽宁盘锦·月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，A(−3,0)，B(0,1)，形状相同的
抛物线C (n=1,2,3,4,...)的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，
n
13，…，根据上述规律，抛物线C 的顶点坐标为 ．
856．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，抛物线的解析式为y=x2，点A 的坐标为(1,1)，连接OA ：
1 1
过A 作A B ⊥OA ，分别交y轴、抛物线于点P 、B ：过B 作B A ⊥A B ，分别交y轴、抛物
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
线于点P 、A ；过A 作A B ⊥B A ，分别交y轴、抛物线于点P 、B …：按照如此规律进行下
2 2 2 2 2 1 2 3 2
去，则点P （n为正整数）的坐标是 ．
n
57．（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形OABC
绕点O逆时针旋转45°后，得到正方形OA B C ；第2次将正方形OA B C 绕点O逆时针旋转
1 1 1 1 1 1
45°后，得到正方形OA B C ……按此规律，绕点O旋转得到正方形OA B C ，则点B
2 2 2 2025 2025 2025 2025
的坐标为 ．
58．（2025·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB．
∠OAB=90°．直角边AO在x轴上，且AO=1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直
角三角形A OB ，且A O=2AO，再将Rt△A OB ，绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角
1 1 1 1 1
形A OB ，且A O=2A O依此规律，得到等腰直角三角形A OB ，则点B 的坐标为
2 2 2 1 2025 2025 202559．（2025·河南郑州·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形AOB的边OA与x轴正
半轴重合，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A OB ，再作△A OB ，关于原点O的中
1 1 1 1
心对称图形，得到△A OB ，再将△A OB 绕点O逆时针旋转90°，得到△A OB ，再作
2 2 2 2 3 3
△A OB 关于原点O的中心对称图形，得到△A OB ……按照此规律，先将三角形绕点O逆时
3 3 4 4
针旋转90°，再作关于原点O的中心对称图形，则点B 的坐标是（ ）
2025
(3 3❑√3) ( 3❑√3 3) ( 3 3❑√3) (3❑√3 3)
A． , B． − , C． − ,− D． ,−
2 2 2 2 2 2 2 2
60．（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O，O ，A，A ，B，B ，C……都是
1 1 1
平行四边形的顶点，点A，B，C……在x轴正半轴上，∠AOO =45∘，OA=1，AB=2，BC=3，
1
OO =❑√2，A A =2❑√2，BB =3❑√2……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形
1 1 1
的对称中心的坐标是( )( 5) ( 5)
A． 6, B．(10,3) C． 15, D．(21,3)
2 2
61．（24-25九年级·广东·专题练习）如图，在直角坐标系中，有一等腰直角三角形OBA，∠OAB=90°，
直角边OA在x轴正半轴上，且OA=1，将RtΔOBA绕原点O顺时针旋转90°，同时扩大边长的1倍，
得到等腰直角三角形OB A （即A O=2AO)．同理，将Rt△OB A 顺时针旋转90°，同时扩大边
1 1 1 1 1
长1倍，得到等腰直角三角形OB A ……依此规律，得到等腰直角三角形OB A ，则点B
2 2 2019 2019 2019
的坐标为（ ）
A．(−22019，22019 )B．(22019，−22019 )C．(−22018，22018
)
D．(22018，−22018
)
1
62．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，四边形ABCD是边长为 的正方形，曲线DA B C D A ⋅⋅⋅
2 1 1 1 1 2
是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，D´A 的圆心为A，半径为AD；A´B 的圆心为B，半
1 1 1
径为BA ；B´C 的圆心为C，半径为CB ；C ´D 的圆心为D，半径为DC ，…，按规律循环延伸
1 1 1 1 1 1 1
曲线，A ´B 则的长是（ ）
2024 2024
4047π 2025π
A． B．2024π C． D．2023π
2 263．（23-24九年级上·湖南湘潭·期中）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP B的顶点A、
1
k
B分别在x轴、y轴上，点P 在反比例函数y= (x>0)的图象上，过P A的中点B 作矩形B A A P ，
1 x 1 1 1 1 2
使顶点P 落在反比例函数的图象上，再过P A 的中点B 作矩形B A A P ，使顶点P 落在反比例
2 2 1 2 2 1 2 3 3
函数的图象上，…，依此规律，作出矩形B A A P 时，落在反比例函数图象上的顶点P 的横坐
9 8 9 10 10
标为 ．
2
64．24-25·安徽合肥·一模）如图，点B 在反比例函数y= (x>0)的图像上，过点B分别作x轴和y轴的垂
x
(3 )
线，垂足分别为C 和A，点C 的坐标为(1,0)，取x轴上一点C ,0 ，过点C 作x轴的垂线交反比
0 0 1 2 1
例函数图像于点B ，过点B 作线段B A ⊥BC 交于点A ，得到矩形A B C C ，依次在x轴上取
1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
(5 )
点C (2,0),C ,0 ⋯，按此规律作矩形，则矩形A B C C （n 为正整数） 的面积为 .
2 3 2 n n n n−1
题型9 隐圆中最值问题
65．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线y=x+5❑√2上，动点
Q在半径为3的⊙O上（O为坐标原点），过点P作⊙O的一条切线PR，R为切点，则PQ+PR的
最小值为（ ）A．5 B．6 C．8 D．10
66．（24-25九年级下·全国·期末）如图，AC是⊙O的直径，AC=4，∠ACB=60°，点D是弦AB上
1
的一个动点，那么OD+ BD的最小值为（ ）
2
A．2 B．❑√3 C．2❑√3 D．4
67．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=8，BC=12，P是
△ABC内部的一个动点，且满足∠PCA=∠PBC，则线段AP长的最小值为（ ）．
16❑√13 12❑√13
A．4 B． C．3 D．
13 13
68．（25-26九年级上·湖北黄石·月考）如图，在一个边长为3的等边三角形ABC中，D，E分别为边BC，
AC上的两个动点，BD=CE，连接AD，BE交于点F，则
（1）∠AFB= °；（2）连接CF，CF的最小值为 ．
69．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，矩形ABCD的边AB=4，AD=3，M为BC的中点，P是
矩形内部一动点，且满足∠APD=90°，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN+MN
的最小值为 ．
70．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在正方形ABCD中，AB=4，点M在BC边上，以CM为
直径的⊙O与DM交于点E．当点M与点B重合时，DE= ；若点F是AB边上的动点，则
DF+EF的最小值为 ．
71．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，AB=5❑√2，点C是平面内一动点，且BC=5，连接AC，
将AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，则BD的最小值为 ．72．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=16，点E、F分别是
边AB、BC上的动点，且EF=10，点G是EF的中点，连接AG、CG，则四边形AGCD面积的最
小值为
73．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，等边△ABC的边长为2，点D是边AB上一动点（不与
A、B重合），以AD为直径的⊙O与边AC交于点E，连接BE与⊙O交于点F，连接CF，当点D
在边AB上移动时，CF的最小值为 ．
题型10 圆综合的多个结论问题
74．（25-26九年级上·辽宁盘锦·月考）如图， AB、CD是⊙O的两条弦，且AB=CD．OM⊥AB，
ON⊥CD， 垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，连接OP，下列结论①弧AB=弧
CD； ②OM=ON； ③PA=PC； ④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
75．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，
CE、DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE=DF，②CE⊥DF，③∠AGE=∠CDF，④
∠EAG=30°，正确的有几项（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
76．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，点A、B分别在x轴、y轴上(OA>OB)，以AB为直径的圆
经过原点O，C是AO´ B的中点，连结AC，BC．下列结论：①∠ACB=90°；②AC=BC；③若
OA=4，OB=2，则△ABC的面积等于5；④若OA−OB=4，则点C的坐标是(1,−1)．其中正确
的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
77．（23-24九年级上·江苏无锡·月考）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点（不
与A，C重合），下列结论：①∠ADB=∠BDC；②当DB最长时，DB=2DC；③
DA+DC=DB；④当AD=2，CD=3时，AC=2❑√5；⑤当AB=2❑√3时，四边形ABCD最大面积
是4❑√3．其中一定正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
78．（23-24九年级上·浙江·月考）如图，AB是⊙O的直径，AB=10，点C是圆上不与A，B重合的点，
CD平分∠ACB，交⊙O于D，AE平分∠CAB，交CD于E．有以下说法：①点D是定点；②
AC⋅BC的最大值为50；③D为△ABE的外心；④CA+CB的最大值为10❑√2．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
79．（24-25九年级上·四川眉山·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E从点A出发沿着线段AD向
点D运动（点E不与点A，点D重合），同时，点F从点D出发沿着线段DC向点C运动（点F不
与点D，点C重合），点E与点F的运动速度相同，BE与AF相交于点G，则有下列结论：
①BE⊥AF；②DF2=EG·EB；③当点F运动到CD的中点时，CG=CD；④当AG+BG=❑√26时，
5
四边形GEDF的面积为 ；其中正确结论的个数有（ ）
2
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
80．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）已知如图，二次函数y=ax2−6ax+4的顶点为M，最大值
25
为 ，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．以AB为直径作圆，记作⊙D，下列结论：
4
①抛物线的对称轴是直线x=3；
②点C在⊙D上；
③在抛物线上存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形；
④直线CM与⊙D相切．
正确的结论是（ ）A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
81．（23-24九年级上·四川自贡·月考）如图，直角梯形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB= ❑√6，
CD=2 ❑√6，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，且CE=2，下列结论：①
DM=CM；②A´B=E´M；③☉O的直径为2❑√10；④AE= ❑√30．其中正确的结论是 ( )
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
题型11 反比例函数系数K的几何意义综合
82．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(0,3)，(3,0)，
k
连接AB，过点B作BC⊥AB交反比例函数y= 的图像于点C，连接AC交反比例函数的图像于点D，
x
若D为AC中点，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
k
83．（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图，反比例函数y= 在第一象限内的图象与矩形OABC的两边
x
相交于D，E两点，CE=2AD=4．若矩形OABC的面积为18，则k的值是（ ）A．8 B．10 C．12 D．14
4
84．（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，A，B两点在反比例函数y= (x>0)的图象上，分别过A，
x
B两点向坐标轴作垂线段．若S +S =6，则S =（ ）
1 2 阴影
A．1 B．2 C．4 D．6
85．（25-26九年级上·山东泰安·月考）如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲
k
线y= (x>0)上，若图中S =2❑√3，则k的值为（ ）
x △OBP
A．2❑√3 B．4 C．3❑√3 D．6
3 6
86．（2025·福建泉州·模拟预测）如图，已知正比例函数y= x与反比例函数y= 交于A，B两点，C是
2 x
第三象限反比例函数图象上一点，且点C在点A的左侧，线段BC交y轴的正半轴于点P，若△PAC
的面积是12，则点C的坐标是（ ）( 3) ( 3)
A． −8,− B．(−3,−2) C． −4,− D．（−6，−1）
4 2
87．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点B在y轴正半轴
6 k
上，点A在反比例函数y=− 的图象上，若顶点C和边BC的中点M都在反比例函数y= 的图象上，
x x
则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
k k
88．（2025·四川宜宾·一模）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y= 1(k >0)和y= 2(k >0)
x 1 x 2
的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为4，则k +k =（ ）
1 2
A．32 B．14 C．12 D．8
89．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴
k
上，反比例函数y= (x>0)的图象经过对角线OB的中点D和顶点C．若菱形OABC的面积为30，
x
则k的值为（ ）A．12 B．10 C．8 D．6
90．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−2x+4与x轴、y轴分别交
k
于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线y= (k≠0)上．将正方形沿x
x
轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a的值（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
m
91．（2022·辽宁沈阳·一模）如图，正方形ABCD的顶点A的坐标为（-1，0），点D在反比例函数y=
x
2
的图象上，B点在反比例函数y= 的图象上，AB的中点E在y轴上，则m的值为（ ）
x
A．−2 B．−3 C．−6 D．−8
大题压轴
题型1几何综合
92．（25-26九年级上·广东清远·期中）如图①，D是等边三角形ABC内部的一点，连接DA，DB，DC．
将△BCD绕着点C顺时针旋转一定的角度得到△ACE，连接DE．(1)求证：△CDE是等边三角形；
(2)若AD=3，CD=4，BD=5，求∠ADC的度数；
(3)【探究】如图②，E为正方形ABCD内部的一点，连接EB、EC、ED，将△BCE绕着点C顺时
针旋转一定的角度得到△DCF．若∠DEC=135°，DE=2，CE=4，求BE的长为
93．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=❑√5，PB=❑√2，
PC=1，求∠BPC的度数．
小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他
将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′ A（如图2），然后连接PP′．
请你参考小明同学的思路，解决下列问题：
(1)如图2中∠BPC的度数为________；
(2)如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=2❑√13，PB=4，PC=2，求∠BPC的度数
和正六边形ABCDEF的边长．
94．（25-26九年级上·青海西宁·期中）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC边上
的一点（不与点B，C重合），连接AD．(1)如图1，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE，则BD与CE的关系是
______；
(2)如图2，点D，F都在线段BC上，且∠DAF=45°．
①求证：DF2=BD2+CF2
．
②若BD=4，CF=3，求△ADF的周长．
95．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）综合与实践
(1)问题情境：如图①，在正方形ABCD中，点E；F分别在BC，CD上，∠EAF=45°．把
△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，使AB与AD重合，探究出EF，BE，DF之间的等量
关系，并说明理由；
(2)问题探究：如图②，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF=45°．
若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系 时，EF=BE+DF；（直接写出结论，
不用证明）
(3)拓展应用：如图③，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且
∠DAE=45°．若AB=2❑√2，BD=1，求DE的长．
96．（25-26九年级上·江西南昌·期中）在数学课上，老师要求学生探究如下问题：(1)如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2， PB=❑√3，PC=1，试求∠BPC的度数．李
华同学一时没有思路，当他认真分析题目信息后，发现以PA、PB、PC的长为边构成的三角形是直
角三角形，他突然有了正确的思路：如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′ A，连
接PP′，易得△P′PB是等边三角形，△PP′ A是直角三角形．则∠BPC=_________°．
(2)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=❑√5， BP=❑√2，PC=1，试求∠BPC的度数．
(3)在图4中，若在正方形ABCD内有另一点Q，QA=a，QB=b，QC=c（a>b，a>c），试猜想a，
b，c满足什么条件时，∠BQC的度数与第（2）问中∠BPC的度数相等，请写出证明过程．
97．（25-26九年级上·湖北十堰·期中）如图1，Rt△OCD中，∠COD=90°，OC=OD，点A，B分
别在OC，OD上，且AB∥CD．
(1)直接写出AC和BD的数量关系；
(2)将△OAB绕点O逆时针旋转，连接AC，BD，如图2，第（1）题中AC和BD的数量关系是否仍
然成立？请说明理由；
(3)如图2，连接AD，若OA=1，AD=❑√2，AC=2，求∠DAO的度数及点A到OC的距离
98．（25-26九年级上·山东日照·期中）阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数；
小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角
形，从而将问题解决．
（1）请你回答：图1中∠APB的度数等于________．（直接写答案）
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=2❑√2，PB=1，PD=❑√17．
（2）求∠APB的度数；
（3）求正方形的边长．
99．（25-26九年级上·河南焦作·期中）数学家和物理学家也会进行学术交流，有一次法国数学家费马向
意大利物理学家托里拆利提出了这样一个问题：在△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三
个顶点的距离之和最小．由此后人把满足这样条件的点称为费马点．如图1，当△ABC三个内角均
小于120°时，点P在△ABC内部，当∠APB=∠APC=∠CPB=120°时，发现PA+PB+PC有
最小值．此时点P即为费马点．
(1)爱思考的脑子可能会想为什么．学过旋转之后小哲尝试了这样的操作：如图1，将△BPC绕点B
顺时针旋转______°得到△BDE，连接PD可得△PBD为等边三角形，PD=______，由旋转可得
DE=______，因此PA+PB+PC=PA+PD+DE．(2)就图1请说明为什么当∠APB=∠BPC=∠CPA=120°时，PA+PB+PC最小．
(3)如图2，在直角三角形△ABC内部有一动点P．∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接PA、PB、
PC．若AB=2，PA+PB+PC的最小值为______．
100．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）【给出定义】
若一个平面图形的所有点都位于某圆的内部或圆周上，则称该圆为该平面图形的覆盖圆．在所有覆
盖圆中，直径最小的一个圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．
【观察发现】
如图，小莹同学发现：“任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖”．从而，得出“三角形的外接圆
就是覆盖该三角形的最小覆盖圆”的结论．
【问题解决】
（1）你同意小莹的观点吗？若不同意，请你写出一条自己的发现；
（2）在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，则该矩形的最小覆盖圆的直径为______；
（3）如图4，在平面直角坐标系中，已知点A(2,0)，B(−4,0)，点C是y轴正半轴上的一个点，且
∠BCA=45°．
①求△ABC的最小覆盖圆的半径；
②求点C的坐标．
【综合应用】
（4）如图5，在四边形ACBD中，∠C=90°，∠D>90°，∠ABD=45°，且AC=8cm，， ．若点E是四边形 最小覆盖圆圆周上一点，则DE的最小值为．
BC=6cm BD=2❑√2cm ACBD
（注：直接写出答案即可）
题型2二次函数综合
101．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是
⊙O上一点，且PA=PB，延长BO分别与⊙O、切线PA相交于C、Q两点．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)QD为PB边上的中线，若AQ=4，CQ=2，求QD的值．
102．（24-25九年级上·福建南平·期末）综合与实践：数学活动课上，兴趣小组开展“探究四点共圆的条
件”活动．
【提出问题】如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B=∠D，
那么A，B，C，D四点在同一个圆上．探究展示：
设⊙O是△ABC的外接圆
如图2，假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于点E，连接CE
∵ E ⊙O
点 在 上，
∴∠B=∠E（_____）
∵在△CDE中，∠ADC=∠DCE+∠E
∴∠ADC=∠DCE+∠B
∴这与已知条件∠ADC=∠B矛盾
∴点D不在⊙O内
如图3，假设点D在⊙O外，…；
综上所述，作△ABC的外接圆⊙O，点D在⊙O上，即A，B，C，D四点共圆．
【归纳结论】
（1）上述探究过程中的括号内填的依据是_____；
（2）如图3，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分；
【结论运用】
（3）如图4，已知四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC，若∠ABC=60°，BD平分∠ABC，记AB+BC
t= ，t的值是否会发生改变，如果不发生改变，请求出其值，如果发生改变，请求出t的取值
BD
范围．
103．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在五边形ABCDE中，点A，B，C，D是⊙O上的四个
点，∠ABC=120°，BD平分∠ABC．
(1)求证：△ACD是等边三角形；
(2)求证：BD=BA+BC；
(3)若∠AED=45°，AC=2，求△ADE面积的最大值．
104．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图所示，四边形ABCD为⊙O内接四边形，∠ADC=90°，
DA=DB，点E为A´D上一点，且AE=CD．(1)尺规作图：作线段AE（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：∠EAD+∠ADB=90°；
(3)若AD=3CD=3，求△ABD的面积．
105．（24-25九年级上·湖北武汉·月考）如图1，AB为⊙O直径，CB与⊙O相切于点B，D为⊙O上
一点，连接AD、OC，若AD∥OC．
(1)求证：CD为⊙O的切线；
(2)如图2，过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E，连接BD交OC于点F，若AB=3AE=12，求BF
的长．
106．（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）在△ABC中，∠ACB=90°，经过点C的⊙O与斜边AB
相切于点P．(1)如图①，当点O在AC上时，试说明2∠ACP=∠B；
(2)如图②，AC=24，BC=18，当点O在△ABC外部时，求CP长的取值范围．
107．（23-24九年级上·广东广州·期末）已知⊙O是△ABC的外接圆，且A´B=B´C，∠ABC=60°，D
为⊙O上一动点
(1)如图1，若点D是A´B的中点，则∠DBA=_____°；
(2)如图2，点D是A´B上一动点，过点B作直线AD的垂线，垂足为点E，求证：CD=DE+AE；
(3)如图3，∠D=30°，连接AD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由
108．（23-24九年级上·广东中山·期末）如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，AB=BC，将△ABD
绕点B旋转至△CBE
(1)证明：点D，C，E三点共线；
(2)若∠E=45°，圆的半径为5，求弦BC的长；(3)如题图2，若∠E=30°，试探究弦DA，DB，DC之间的数量关系，并证明．
109．（2023·吉林长春·中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB=90°，则锐角
∠APB的大小为__________度．
【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在A´C上（点P不
与点A、C重合），连结PA、PB、PC．求证：PB=PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使
AE=PC，连结BE，通过证明△PBC≌△EBA，可推得PBE是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长PA至点E，使AE=PC，连结BE，
∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，
∴∠BAP+∠BCP=180°．
∵∠BAP+∠BAE=180°，
∴∠BCP=∠BAE．
∵△ABC是等边三角形．
∴BA=BC，
∴△PBC≌△EBA(SAS)
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=90°，AB=BC，点P在⊙O上，且点P与
PB
点B在AC的两侧，连结PA、PB、PC．若PB=2❑√2PA，则 的值为__________．
PC
110．（2023·河北廊坊·三模）在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，点P从点A出发沿AB边以
1cm/s的速度向点B移动（点P可以与点B重合），同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动（点Q可以与点C重合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．
(1)如图1，几秒后，PQ的长度等于3cm?
1
(2)如图1，几秒后，△BPQ的面积等于四边形ABCD面积的 ?
6
(3)若以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．如图2，若⊙Q与四边形CDPQ的边有三个公共点，则t的取
值范围为_____．（直接写出结果，不需说明理由）
111．（21-22九年级上·河北邢台·期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：
“如图1，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF．”
小明同学的思路：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．
把△ABE绕点A逆时针旋转到△ADE′的位置，然后证明△AFE≌△AFE′，从而可得EF=E′F．
E′F=E′D+DF=BE+DF，从而使问题得证．(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：
1
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠EAF= ∠BAD，直接写出EF，BE，
2
DF之间的数量关系．
1
(2)【应用】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，∠EAF= ∠BAD，求证：
2
EF＝BE＋DF．
(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC是⊙O的内接四边形，BC是直径，AB＝AC，请直接写出PB
＋PC与AP的关系．
112．（24-25九年级下·江苏徐州·期末）【阅读解】如图1，在矩形ABCD中，点E、F分别是AB，BC
BE BF
边的中点，连接BD，EF，则 = ，因为∠ABC=∠DCB=90°，可得△BCD∽△BEF．
CD CB
【拓展应用】如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，点E是AB的中点，点F 是
BC边上一点，连接BD，EF交于点G，AD=2CF．
(1)试说明GB=GF；
GE
(2)若2AD=3CD，EF⊥AB，求 的值．
GB113．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）（1）如图①，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE，
过点E作EF⊥DE交BC于点F．
【探究证明】①求证：△AED∽△BFE；
【特例分析】②若AB=10，AD=6，E为AB的中点，求BF的长．
【衍生拓展】（2）如图②，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，D是BC的中点，射
DE
线DE，DF分别交AB，AC于点E，F，且∠EDF=90°，求 的值．
DF
114．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图1，在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，P
是DC延长线上一点，过点P作⊙O的切线PE，E为切点，连接BE交CD于点F．
(1)求证：PE=PF；
(2)如图2，连接BD，若PE∥BD．
①求证：BF⋅EF=CF⋅BD；②如图3，连接DE，PB，若四边形BDEP是平行四边形，BF=2❑√2，求平行四边形BDEP的面积．
115．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）数学兴趣小组学习了矩形的性质与判定后，对多边形中的相似三
角形作了如下探究：
【教材呈现】（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，直接写出一个与
△ADB相似的三角形；
【类比探究】（2）如图2，在矩形ABCD中，CD=5，点E在BC上，CE=2EB，AE⊥BD于点F，
求BF的长；
【拓展提升】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=4，点
AF
E，F分别在AB，BC上，且AF⊥DE，垂足为G，求 的值．
DE
116．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图1，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC与BD交于点
E，点F在AE上，DF=AE,∠DFC=∠BDC．
(1)求证：CF=AB．(2)如图2，若点B为AB´C的中点，求证：BE2=CE⋅CB．
(3)在（2）的条件下，AF=1,△≝¿的面积为2，求CE的长．
117．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，点D是△ABC的边AB上一点，BC的延长线交△ADC
DC
的外接圆于点E，作AF∥BE交AE´C于点F，连结DF交AC于点M，记k= ．
BC
【认识图形】求证：∠ACB=∠CDF．
【探索关系】求证：DF=kAC．
【问题解决】若点M与点E关于CF对称
AF 3
①当 = 时，求k的值．
CE 2
②求k的最大值．
题型2 二次函数综合
118．（24-25九年级下·全国·期末）如图1，抛物线y=ax2+2x+c经过点A(−1,0)、C(0,3)，并交x轴
于另一点B，点P(x,y)在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．
(1)求该抛物线的函数表达式；PD
(2)点Q在抛物线上，当 的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；
AD
(3)点F在抛物线的对称轴上，若线段FB绕点F逆时针旋转90°后，点B得对应点B′恰好也落在此抛
物线上，请直接写出点F坐标
119．（23-24九年级上·陕西榆林·期中）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究．
【问题发现】
（1）如图①，在等边△ABC中，点P是边BC上一点，且BP=❑√7，连接AP，以AP为边作等边
△APQ，连接CQ．则CQ的长为 ；
【问题提出】
（2）如图②，在等腰△ABC中，AB=BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，
使AP=PQ,∠APQ=∠ABC，连接CQ．试说明∠ABC与∠ACQ相等；
【问题解决】
（3）如图③，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，点Q是正方
形APEF的对称中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为12，CQ=4❑√2，求正方形ADBC的边长．3
120．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于点A和点B(5,0)，与
5
y轴交于点C(0,−3)，连接BC，点E是对称轴上的一个动点．点P在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在第一象限内，连接PB，PC，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标及最大面积．
(3)在抛物线上是否存在点P，使△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的
坐标；若不存在，请说明理由．
121．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−x+3与y轴交于点A，与x轴
交于点B，抛物线y=−x2+bx+c经过A，B两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点A作AC∥x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上一动点（点P在AC上方），作PD∥y轴交AB于点D．当点P在什么位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
(3)当t≤x≤t+3时，函数y=−x2+bx+c的最大值为2，求t的值．
122．（25-26九年级上·天津·期末）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−1，0)，B(4，0)，
与y轴交于点C，连接BC，点P为线段CB上一个动点（不与点C，B重合），过点P作PQ∥y轴
交抛物线于点Q．
(1)求抛物线的表达式和对称轴；
(2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段PQ的长，并求出线段PQ的最大值；
(3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段PQ取得最大值时，
是否存在这样的点M，N，使得四边形PBMN是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，
请说明理由．
123．（25-26九年级上·重庆·期末）如图1，已知抛物线y=ax2+bx−3的图象与x轴交于A、B两点，与
y轴交于C点，A点的坐标为(−1,0)，且抛物线对称轴为直线x=1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接BC，P为线段BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴交BC于点M，作
PN⊥y轴交y轴于点N，求PM+PN的最大值及此时点P的坐标；(3)如图3，连接AC、BC，在抛物线上是否存在一点Q，使得∠ACO+∠QBC=45°，若存在，
直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
124．（25-26九年级上·吉林·期末）有一根直尺短边长4cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角
三角形纸板，它的斜边长为16cm，如图，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点
D与点A重合．将直尺沿射线AB方向平移，设平移的长度为xcm，且直尺和三角形纸板重叠部分的
面积为Scm2．
(1)当直角顶点C落在直尺的长边上时，x=______cm．
(2)当0<x<12时，求S与x之间的函数关系式．
(3)是否存在一个位置，使重叠部分面积为28cm2？若存在直接写出x的值；若不存在说明理由．
125．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，已知抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A、B两点，与y轴
OC
交于点C，O是坐标原点，已点B的坐标是(3，0)， =3．
OA
(1)求该抛物线的对称轴；❑√2
(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PQ∥x轴交直线BC于点Q，求PQ+ BQ的最
2
大值及此时P点的坐标；
(3)点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出符合条件的点D的坐
标．
126．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=(x−m) 2+m的顶点
P在第三象限，抛物线y=−(x+2)(x+m)与x轴，y轴分别交于点A，B．
(1)直接写出点P的坐标（用含m的代数式表示）；
(2)当抛物线y=−(x+2)(x+m)的对称轴在y轴左侧时，求m的取值范围；
(3)连接AP、BP，求证：∠APB=45°．
127．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图1，若二次函数y=ax2−2x+c(a≠0)的图象与x轴交于点A
和点B(3,0)，与y轴交于点C(0,−3)．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的动点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐
标；
(3)如图3，将抛物线y=ax2−2x+c(a≠0)先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到
新的抛物线y′，在y′的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的
四边形是矩形，求点E的坐标．
128．（24-25九年级上·四川德阳·期末）已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(m,0)两点，
与y轴交于点C(0,7)．
(1)求b，c，m的值；
(2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平
行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形
DEFG的周长最大时，求点D的坐标；(3)如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称
轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．
129．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）已知，抛物线y=ax2−3ax−3a+1(a<0)与y轴交于点A，过
点A作AB∥x轴，与抛物线交于点B．
(1)若抛物线经过点(−1,0)；
①点B的坐标为______；
②如图，连接OB，作∠AOB的角平分线OC，交抛物线于点C，交AB于点D，求点C的坐标；
(2)若点E(m+1,y )，F(m−1,y )在抛物线上，且y <y ，求m的取值范围；
1 2 1 2
(3)已知，点G(1,3)，H(3,3)，若抛物线与线段GH有且只有一个交点，请直接写出a的取值范围．130．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过点
(2,−5)，交x轴于点A(−3,0)和点B．交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P是直线AC上方抛物线上一动点．连接PA，PC．求△PAC面积最大值及此时点P的坐
标；
(3)将原抛物线沿x轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线y′，新抛物线y′与x轴的负半轴交于点M．
点N为平移后的新抛物线上一动点，当∠NMB=∠CAB．请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
131．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图1，已知，二次函数y=x2+bx−3的图象交x轴于A(−1,0)，
B两点，交y轴于点C，顶点为D．
(1)填空：b=____，点D的坐标为______；
(2)若该图象上一点M(不与点C重合)的横坐标为m，满足S =S ，求m的值；
△ABM △ABC
(3)平移y=x2+bx−3的图象，使其顶点始终在直线CD上移动，在平移的过程中，当抛物线与线段
BC有公共点时，求抛物线顶点的横坐标n的取值范围．132．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图1，抛物线y=ax2+bx−3经过A(−1,0)，B(3,0)两点，与
y轴交于点C，P为第四象限内抛物线上一点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设四边形PBOC的面积为S，求S的最大值；
(3)如图2，过点P作PM⊥x轴于点M，连接AC，AP，AP与y轴交于点N，当
∠MPA=2∠PAC时，求点N的坐标．
133．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M
的内接四边形，点A，B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，
交⊙M于点E，且点D平分A´C．
(1)求过A，B，E三点抛物线的函数表达式；
(2)求证：四边形AMCD是菱形；
(3)请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于4？若存在，请求出所有的点P的坐标；
若不存在，请说明理由．134．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图（1），抛物线 y=ax2+c(a≠0)与x轴交于A,B两点，与
y轴交于点C，且 AB=2OC，S =1．
△ABC
(1)求抛物线的解析式；
(2)M为第一象限抛物线上一点，若S =S ，求点M的坐标；
△MAC △MAB
(3)如图（2），过点(0,1)的直线与抛物线交于P,Q两点，分别过点P,Q且与抛物线只有唯一公共点
的两条直线交于点T，求证：点 T 在一条定直线上．
135．（24-25九年级上·河南许昌·期中）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴，y轴分别交于A，B两点，
点B坐标为(0,5)，抛物线的顶点为C，点B关于对称轴直线x=2的对称点为点D．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)当−1<x<4时，求函数值y的取值范围；
(3)将抛物线在点D右方的图象沿着直线BD向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图
象，当直线y=2x+n与新图象有2个公共点时，请直接写出n的值．136．（24-25九年级上·重庆长寿·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线
y=ax2+bx+6与x轴交于点A、B两点，与y轴的正半轴交于点C．已知点A(−2,0)，点B(6,0)，连
接BC．
(1)求拋物线的解析式；
(2)如图1，点P为抛物线第一象限内的一点，过点P作PD⊥BC于点D，求❑√2PD+❑√2BD的最大
值及此时点P的坐标；
(3)如图2，点F是线段OC的中点，将抛物线沿着射线CB的方向平移2❑√2个单位得到新抛物线，点Q
在新抛物线上，是否存在点Q使∠FBQ+∠BCO=90°?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存
在，请说明理由．
137．（2023·辽宁锦州·三模）已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(−1,0)和点B，与y轴交于点
3
C，直线y=− x+3经过点B和点C．
4
(1)求抛物线的表达式；(2)点P是抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC．
①如图1，若动点P在直线BC上方运动时，过点P作PF⊥BC于点F，试求三角形△PFD的周长
的最大值．
②如图2，当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，若以C、
D、P、Q为顶点的四边形能成为菱形，求点P的坐标．
4
138．（24-25九年级上·四川德阳·期中）如图，已知直线y= x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛
3
物线y=ax2+bx+4经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x=−1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D
点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，点Q在平面上，以点A，C，P，Q为顶点作菱形，请直接写出符合题
意的P点的坐标．
139．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图1所示，抛物线y=ax2+2x+c的对称轴为直线x=1，与x
轴交于点A、点B，与y轴交于点C(0,5)，直线y=−x+1与该抛物线交于D，E两点．(1)求抛物线的解析式；
(2)平移线段CD，若点C的对应点C′落在抛物线上，点D的对应点D′落在直线DE上，求出此时点C′
的坐标；
(3)如图2，将DE上方的抛物线沿着直线DE翻折，点P是DE上方的抛物线上的一动点，P的对应点
为点Q，连接PQ交DE于点G．
①当四边形DPEQ是菱形时，请直接写出点P的坐标；
②在点P的运动过程中，求线段PQ的最大值．
140．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
OA=OC=6，对称轴是x=−2，点F在对称轴上运动．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在一点F，使得∠BFC为直角？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)将线段BC绕着点F逆时针方向旋转90°后得到线段B C ，当点B 与C 恰有一点落在抛物线上时，
1 1 1 1
求点F的坐标．141．（2024九年级下·全国·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线l :y=x+1与直线l :x=−2
1 2
相交于点D，点A是直线l 上的动点，过点A作AB⊥l 于点B，点C的坐标为(0，3)，连接
2 1
AC，BC．设点A的纵坐标为t，△ABC的面积为s．
(1)当t=2时，请直接写出点B的坐标；
{1
t2+bt−
5
,t<−1或t>5)
(2)s关于t的函数解析式为s=
4 4 ，其图象如图2所示，结合图1、2的信
a(t+1)(t−5),−1<t<5
息，求出a与b的值；
(3)在l 上是否存在点A，使得△ABC是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和△ABC的
2
面积；若不存在，请说明理由．
142．（2023·山东青岛·中考真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼
光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标
系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线
上，OA，OB关于y轴对称．OC=1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．
(1)求抛物线的表达式；
(2)分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S ，将抛物线向右平移m(m>0)个单位，得
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到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S ．若S = S ，求m的
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值．
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143．（22-23九年级下·重庆江北·月考）如图1，已知二次函数y=− x2+ x+4的图象与y轴交于点
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A．与x轴交于点B，C，连接AB、AC．
(1)判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如图2，过点B作BN∥AC交抛物线于点N，点M为抛物线上位于AC上方一点，求四边形
AMCN面积的最大值及此时点M的坐标；
(3)如图3，将抛物线沿着射线AB平移2❑√5个单位，若点P为新抛物线对称轴上一点，当以点A，
P，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点P的坐标．
144．（2023·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，， ．抛物线 与 轴交于点 和点 ．
C(2,3) D(−1,3) y=ax2−2ax+c(a<0) x E(−2,0) F
(1)如图1，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接CF，作直线CE，平移线段CF，使点C的对应点P落在直线CE
上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标；
(3)若抛物线y=ax2−2ax+c(a<0)与正方形ABCD恰有两个交点，求a的取值范围．
145．（2023·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+2x+c经过点A(0,1)．点P，
Q在此抛物线上，其横坐标分别为m,2m(m>0)，连接AP，AQ．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．
(3)当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．
(4)设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h ，在点
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A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h ．当h −h =m时，直接
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写出m的值．1
146．（24-25九年级上·重庆秀山·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=− x2+bx+c与x轴交
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于点A(−2，0)，B(4，0)，与y轴交于点C，连接BC．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，P是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PE∥y轴交BC于点E，在OB上取点D，
连接CD，其中2OD=BD，过点E作EF∥x轴交CD于点F，求PE+EF长度的最大值及此时点P
的坐标；
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(3)如图2，在平面内，将抛物线y=− x2+bx+c沿直线y=x斜向右上平移，当平移后的新抛物线经
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过(0,2)时停止平移，此时得到新抛物线．在平移后的新抛物线上确定一点M，使得∠BOM=45°，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
