文档内容
[在此处键入]
第 11 讲 函数的图像
知识梳理
一、掌握基本初等函数的图像
（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；
（6）三角函数．
二、函数图像作法
1、直接画
①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周
期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）．
2、图像的变换
（1）平移变换
①函数 的图像是把函数 的图像沿 轴向左平移 个单位得
到的；
②函数 的图像是把函数 的图像沿 轴向右平移 个单位得
到的；
③函数 的图像是把函数 的图像沿 轴向上平移 个单位得
到的；
④函数 的图像是把函数 的图像沿 轴向下平移 个单位得
到的；
（2）对称变换
①函数 与函数 的图像关于 轴对称；
函数 与函数的图像关于 轴对称；
函数 与函数 的图像关于坐标原点 对称；
②若函数 的图像关于直线 对称，则对定义域内的任意 都有
[在此处键入][在此处键入]
或 （实质上是图像上关于直线 对称的两点连
线的中点横坐标为 ，即 为常数）；
若 函 数 的 图 像 关 于 点 对 称 ， 则 对 定 义 域 内 的 任 意 都 有
③ 的图像是将函数 的图像保留 轴上方的部分不变，将 轴下方的部分
关于 轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示
④ 的图像是将函数 的图像只保留 轴右边的部分不变，并将右边的图像
关于 轴对称得到函数 左边的图像即函数 是一个偶函数（如图（c）所
示）．
注： 的图像先保留 原来在 轴上方的图像，做出 轴下方的图像关于 轴对
称图形，然后擦去 轴下方的图像得到；而 的图像是先保留 在 轴右方的图像，
擦去 轴左方的图像，然后做出 轴右方的图像关于 轴的对称图形得到．这两变换又叫
翻折变换．
⑤函数 与 的图像关于 对称．
（3）伸缩变换
[在此处键入][在此处键入]
① 的图像，可将 的图像上的每一点的纵坐标伸长 或缩
短 到原来的 倍得到．
② 的图像，可将 的图像上的每一点的横坐标伸长
或缩短 到原来的 倍得到．
【解题方法总结】
（1）若
f(m+x)=f(m−x)
恒成立，则
y=f(x)
的图像关于直线x=m对称．
y=f(x) y=f(x−m) y=f(m−x)(m>0)
（2）设函数 定义在实数集上，则函数 与 的
图象关于直线x=m对称．
（3）若 f(a+x)=f(b−x) ，对任意x∈R恒成立，则 y=f(x) 的图象关于直线
a+b
x=
2 对称．
（4）函数 与函数 的图象关于直线 对称．
（5）函数.. ..与函数 的图象关于直线 对称．
（6）函数 与函数 的图象关于点 中心对称．
（7）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”．
必考题型全归纳
题型一：由解析式选图（识图）
【例1】（2024·山东烟台·统考二模）函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
[在此处键入][在此处键入]
【解析】由 ，
得 ，
所以 为偶函数，故排除BD.
当 时， ，排除A.
故选：C.
【对点训练1】（2024·重庆·统考模拟预测）函数 的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，令 ，则 ，
即 ，解得 ，或 ，解得 ，
所以当 时，函数有1个零点，当 时，函数有2个零点，
所以排除AD；
当 时， ，
[在此处键入][在此处键入]
则 ，当 时， ，
所以当 时， ，函数单调递增，所以B正确；
故选：B.
【对点训练2】（2024·安徽安庆·安庆市第二中学校考二模）函数 的
部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由解析式可得 ， ，排除A；
观察C、D选项，其图象关于纵轴对称，而 ，
说明 不是偶函数，即其函数图象不关于纵轴对称，排除C、D；显然选项B符合题意.
故选：B
【对点训练3】（2024·全国·模拟预测）函数 的大致图像为（ ）
A． B． C．
[在此处键入][在此处键入]
D．
【答案】B
【解析】因为 ，其定义域为 ，所以 ，
所以 为偶函数，排除选项A，D，
又因为 ，因为 ，所以 ，所以 ，排除选项
C.
故选：B.
【解题方法总结】
利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误
选项，从而筛选出正确答案
题型二：由图象选表达式
【例2】（2024·四川遂宁·统考二模）数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一
般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐
音对应的函数解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
[在此处键入][在此处键入]
【解析】对于A，函数 ，
因为 ，所以函数为奇函数，
又 ，故A正确；
对于B，函数 ，
因为 ，所以函数为奇函数，
又 ，故B错误；
对于C，函数 ，
因为 ，故C错误；
对于D，函数 ，
，故D错误，
故选：A．
【对点训练4】（2024·全国·校联考模拟预测）已知函数 在 上的图像如图所示，
则 的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
[在此处键入][在此处键入]
【答案】C
【解析】由题图，知函数 的图像关于y轴对称，所以函数 是偶函数，故排除A；
对于B， ，虽然函数 为偶函数且在 上单调递减，在
上单调递增，但 ，与图像不吻合，排除B；
对于D，因为 ，所以函数 是偶函数，但
，与图像不吻合，排除D；
对于C，函数 为偶函数，图像关于y轴对称，下面只分析y轴右侧部分．当 时，
， ，
令 ，求导，得 ．当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，所以 在 处取得最大值．
又因为 ， ， ，所以 ，使得 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
与图像吻合.
故选：C．
【对点训练5】（2024·河北·统考模拟预测）已知函数 的部分图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
[在此处键入][在此处键入]
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A选项， ，A选项错误；
对于C选项， ，C选项错误；
对于D选项， ， 有两个不等的实根，故 有两个极值点，
D选项错误．
对于B选项， ， ；
当 时， ， ，此时 ，
当 时， ， ，此时 ，
当 时， ， ，此时 ，
依次类推可知 函数值有正有负；
显然 不单调；
因为当 时 ，所以 有多个零点；
因为 ，所以 ，所以 既不是奇函数也
[在此处键入][在此处键入]
不是偶函数，以上均符合，故B正确.
故选：B．
【对点训练6】（2024·贵州遵义·校考模拟预测）已知函数 在 上的大致图象如
下所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数图象关于 轴对称，函数为偶函数，选项D中函数满足
，为奇函数，排除D；
又选项C中函数满足 ，与图象不符，排除C；
选项A中函数满足 ，与图象不符，排除A，
只有B可选．
故选：B．
【解题方法总结】
1、从定义域值域判断图像位置；
2、从奇偶性判断对称性；
3、从周期性判断循环往复；
4、从单调性判断变化趋势；
5、从特征点排除错误选项．
题型三：表达式含参数的图象问题
[在此处键入][在此处键入]
【例3】（2024·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中，函数 ，
，且 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，
所以函数 的图象恒过定点 ，故选项A、B错误；
当 时，函数 在 上单调递增，所以函数 在 上单调
递减，
又 在 和 上单调递减，故选项D错误，选项C正确.
故选：C.
【对点训练7】（2024·山东滨州·统考二模）函数 的图象如图所示，则
（ ）
[在此处键入][在此处键入]
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】A
【解析】由图象观察可得函数图象关于 轴对称，即函数为偶函数，
所以 得： ，故C错误；
由图象可知 ，故D错误；
因为定义域不连续，所以 有两个根可得 ，即 异号，
，即B错误，A正确.
故选：A
【对点训练8】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 （a，b为常数，其中
且 ）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】由图象可得函数在定义域上单调递增，
所以 ，排除A，C；
[在此处键入][在此处键入]
又因为函数过点 ,
所以 ，解得 ．
故选：D
【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）若函数 的部分图象如图所
示，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由图象知， 的两根为2，4，且过点 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A
【对点训练10】（2024·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中，函数
且 的图象可能是
[在此处键入][在此处键入]
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】本题通过讨论 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，
结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
当 时，函数 过定点 且单调递减，则函数 过定点 且单调递增，
函数 过定点 且单调递减，D选项符合；当 时，函数 过定点
且单调递增，则函数 过定点 且单调递减，函数 过定点
且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.
【对点训练11】（多选题）（2024·全国·高三专题练习）函数 在
, 上的大致图像可能为（ ）
[在此处键入][在此处键入]
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】①当 时， ， ，函数 为奇函数，由
时 ， 时 等性质可知A选项符合题意；
②当 时，令 ，作出两函数的大致图象，
由图象可知在 内必有一交点，记横坐标为 ，此时 ，故排除D选项；
[在此处键入][在此处键入]
当 时， ， 时， ，
若在 内无交点，则 在 恒成立，则 图象如C选项所示，故C
选项符合题意；
若在 内有两交点，同理得B选项符合题意.
故选：ABC.
【解题方法总结】
根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记指数幂的运算性质，二次函数的
图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答
问题的能力，以及分类讨论思想的应用．
题型四：函数图象应用题
【例4】（2024·北京·高三专题练习）高为 、满缸水量为 的鱼缸的轴截面如图所示，现
底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为 时水的体积为 ，则函数 的
大致图像是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意知，函数的自变量为水深 ，函数值为鱼缸中水的体积，所以当 时，
[在此处键入][在此处键入]
体积 ，所以函数图像过原点，故排除A、C；
再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化
速度是先慢后快再慢的，故选B.
【对点训练12】（2024·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）如图为某无
人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度 （单位：米/分钟）与时间 （单位：分
钟）的关系．若定义“速度差函数” 为无人机在时间段 内的最大速度与最小速
度的差，则 的图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，当 时，无人机做匀加速运动， ，“速度差
函数” ；
当 时，无人机做匀速运动， ，“速度差函数” ；
当 时，无人机做匀加速运动， ，“速度差函数” ；
[在此处键入][在此处键入]
当 时，无人机做匀减速运动，“速度差函数” ，结合选项C满足“速
度差函数”解析式，
故选：C.
【对点训练13】（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）青花瓷，又称白地青花瓷，
常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速
注水，则水的高度 与时间 的函数图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图可知该青花瓷上､下细，中间粗，则在匀速注水的过程中，水的高度先一直增
高，且开始时水的高度增高的速度越来越慢，到达瓷瓶最粗处之后，水的高度增高的速度
越来越快，直到注满水，结合选项所给图像，只有先慢后快的趋势的C选项符合.
故选：C
[在此处键入][在此处键入]
【对点训练14】（2024·全国·高三专题练习）列车从 地出发直达 外的 地，途中
要经过离 地 的 地，假设列车匀速前进， 后从 地到达 地，则列车与 地距
离 （单位： 与行驶时间 （单位： ）的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题可知列车的运行速度为 ，
列车到达 地的时间为 ，
故当 时， .
故选：C.
【对点训练15】（2024·全国·高三专题练习）如图，正△ABC的边长为2，点D为边AB的
中点，点P沿着边AC，CB运动到点B，记∠ADP＝x．函数f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，则y＝f
（x）的图象大致为（ ）
A． B．
[在此处键入][在此处键入]
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，∠ADP＝x．
在区间（0， ）上，P在边AC上，|PB|＞|PA|，则f（x）＞0，排除C；
在区间（ ，π）上，P在边BC上，|PB|＜|PA|，则f（x）＜0，排除B，
又由当x+x＝π时，有f（x）＝﹣f（x），f（x）的图象关于点（ ，0）对称，排除D，
1 2 1 2
故选：A
【对点训练16】（2024·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则
该容器盛水的高度h关于注水时间t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设圆锥PO底面圆半径r，高H，注水时间为t时水面与轴PO交于点 ，水面半
径 ，此时水面高度 ，如图：
[在此处键入][在此处键入]
由垂直于圆锥轴的截面性质知， ，即 ，则注入水的体积为
，
令水匀速注入的速度为 ，则注水时间为t时的水的体积为 ，
于是得 ，
而 都是常数，即 是常数，
所以盛水的高度h与注水时间t的函数关系式是 ， ，
，函数图象是曲线且是上升的，随t值的增加，函数h值增加的幅度
减小，即图象是先陡再缓，
A选项的图象与其图象大致一样，B，C，D三个选项与其图象都不同.
故选：A
【解题方法总结】
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．
题型五：函数图象的变换
【例5】（2024·广西玉林·统考模拟预测）已知图1对应的函数为 ，则图2对应的
[在此处键入][在此处键入]
函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据函数图象知，当 时，所求函数图象与已知函数相同，
当 时，所求函数图象与 时图象关于 轴对称，
即所求函数为偶函数且 时与 相同，故BD不符合要求，
当 时， ， ，故A正确，C错误.
故选：A.
【对点训练17】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 的图象的一部分如下左图，则
如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
[在此处键入][在此处键入]
①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半
故选：C.
【对点训练18】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下列
图象错误的是（ ）
A． B．
[在此处键入][在此处键入]
C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ，表示一条线段，且线段经过 和 两点．
当 时， ，表示一段曲线．函数 的图象如图所示．
的图象可由 的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确； 的图象可
由 的图象关于 轴对称后得到，故B正确；由于 的值域为 ，故
，故 的图象与 的图象完全相同，故C正确；很明显D中 的
图象不正确．
故选：D．
【对点训练19】（2024·全国·高三专题练习）函数 向右平移1个单位，再向
上平移2个单位的大致图像为( )
[在此处键入][在此处键入]
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】先作出函数 的图像，再向右平移1个单位，再向上平移2个单位
得解.
如图所示：
故答案为C
【解题方法总结】
熟悉函数三种变换：（1）平移变换；（2）对称变换；（3）伸缩变换.
题型六：函数图像的综合应用
[在此处键入][在此处键入]
【例6】（2024·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）若关于 的方程 恰有两
个不同的实数解，则实数 __________.
【答案】
【解析】
如图，显然 .
当 时，由单调性得，方程 有且仅有一解.
因此当 时，方程 也恰有一解.
即 为函数 的切线，
，
令 得 ，
故当 时， ，
得 ，即
从而 .
故答案为：
【对点训练20】（2024·天津和平·统考三模）已知函数 ，若关于 的方
程 恰有三个不相等的实数解，则实数 的取值集合为___________.
[在此处键入][在此处键入]
【答案】
【解析】 ，
当 时， ，
此时 无解，不满足题意；
当 时，设 ，
则 与 的图象大致如下，
则 对应的2个根为 ，
此时方程 均无解，
即方程 无解，不满足题意；
当 时，设 ，则 与 的图象大致如下，
则则 对应的2个根为 ，
若方程 恰有三个不相等的实数解，
[在此处键入][在此处键入]
则 与函数 的图象共有3个不同的交点，
①当 时， 与函数 的图象共有2个交点，如图所示，
所以 与函数 的图象只有1个交点，
则 ，所以 ，解得 ；
②当 时， 与函数 的图象共有2个交点，
所以 与函数 的图象只有1个交点，
则 ，与 矛盾，不合题意；
③当 时， 与函数 的图象共有2个交点，如图所示，
所以 与函数 的图象只有1个交点，
则 ，所以 ，解得 ；
综上， 的取值集合为 ，
[在此处键入][在此处键入]
故答案为: .
【对点训练21】（2024·河南·校联考模拟预测）定义在R上的函数 满足
，且当 时， ．若对任意 ，都有
，则t的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为当 时， ，所以 ，
因为 ，当 时，即 时，
由 ，所以 ，
同理可得
依此类推，作出函数 的图象，如图所示：
由图象知：当 时，令 ，则 ，
[在此处键入][在此处键入]
对任意 ，都有 ，则
故 的取值范围为 ，
故答案为：
【对点训练22】（2024·四川绵阳·统考二模）若函数 ，
，则函数 的零点个数为______．
【答案】5
【解析】令 ，则有 ，
所以 ，
当 时，则有 ，
即 ,
在同一坐标系中作出 与 的图象，如图所示：
由图可得此时两函数的图象有两个交点，
即当 时， 有2个零点；
当 时，则有 ，
即 ，
[在此处键入][在此处键入]
在同一坐标系中作出 与 的图象，如图所示：
由图可得此时两函数的图象有两个交点，
即当 时， 有2个零点；
当 时， ，
此时 ，有1个零点为 ，
综上所述， 共有5个零点.
故答案为：5
【解题方法总结】
1、利用函数图像判断方程解的个数．由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的
直观性得到方程解的个数．
2、利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围．先作出所研究对象的图像，求
出它们的交点，根据题意结合图像写出答案
3、利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从
图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想
[在此处键入]
