第12讲函数与方程_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第12讲 函数与方程 知识梳理 一、函数的零点 对于函数y=fx  ，我们把使fx  =0的实数x叫做函数y=fx  的零点. 二、方程的根与函数零点的关系 方程fx  =0有实数根⇔函数y=fx  的图像与x轴有公共点⇔函数y=fx  有零点. 三、零点存在性定理 如果函数y=fx  在区间a,b  上的图像是连续不断的一条曲线，并且有fa  ⋅fb  <0，那 么函数y=fx  在区间a,b  内有零点，即存在c∈a,b  ，使得fc  =0,c也就是方程fx  =0的根. 四、二分法 对于区间a,b  上连续不断且fa  ⋅fb  <0的函数fx  ，通过不断地把函数fx  的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做 二分法.求方程fx  =0的近似解就是求函数fx  零点的近似值. 五、用二分法求函数fx  零点近似值的步骤 (1)确定区间a,b  ，验证fa  ⋅fb  <0，给定精度ε. (2)求区间a,b  的中点x. 1 (3)计算fx 1  .若fx 1  =0,则x 1 就是函数fx  的零点；若fa  ⋅fx 1  <0，则令b=x(此时 1 零点x 0 ∈a,x 1  ).若fb  ⋅fx 1  <0，则令a=x 1 (此时零点x 0 ∈x 1 ,b  ) (4)判断是否达到精确度ε，即若a-b  <ε，则函数零点的近似值为a(或b)；否则重复第(2) -(4)步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 【解题方法总结】 函数的零点相关技巧: ①若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点. ②连续不断的函数f(x)，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. ③连续不断的函数f(x)通过零点时，函数值不一定变号. ④连续不断的函数f(x)在闭区间[a，b]上有零点，不一定能推出f(a)f(b)<0. 必考题型全归纳 1 题型一：求函数的零点或零点所在区间 337 (2024·广西玉林·博白县中学校考模拟预测)已知函数h(x)是奇函数，且f(x)=h(x)+2， 若x=2是函数y=f(x)的一个零点，则f(-2)= ( ) A.-4 B.0 C.2 D.4 338 (2024·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测)已知x 是函数f(x)=tanx-2的一个 0 零点，则sin2x 的值为 ( ) 0 第 页 共 页 93 10434 3 3 4 A.- B.- C. D. 5 5 5 5 339 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =2x+x,gx  =log 2 x+x,hx  =log x-2的 2 零点依次为a,b,c，则 ( ) A.a0 x  =fx  - ax-1在R上恰有三个不同的零点，则a的取值范围是 ． 349 (2024·江苏·校联考模拟预测)若曲线y=xlnx有两条过e,a  的切线，则a的范围是 . 第 页 共 页 94 1043350 (2024·天津北辰·统考三模)设a∈R，对任意实数x，记fx  = minex-2,e2x-aex+a+24  ．若fx  有三个零点，则实数a的取值范围是 ． e2023-2m e3-ln2 351 (2024·广东·统考模拟预测)已知实数m，n满足 -m= -lnn-ln2e2020 2 n  =0，则mn= . 4 题型四：嵌套函数的零点问题 352 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  1 x2+ x, x≤0 = 2 -2x-1    ，若关于x的方程f2 x +1, x>0  -k+1  xfx  +kx2=0有且只有三个不同的实数解，则正实数k的取值范围为 ( ) 1 A. 0, 2  1 B.   ,1  2  ∪1,2  C. 0,1  ∪1,2  D. 2,+∞  353 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  = 2x   -2  -1，则关于x的方程f2 x  +mfx  +n=0有7个不同实数解，则实数m,n满足 ( ) A.m>0且n>0 B.m<0且n>0 C.00 2  = fx  +m有两个零点，则m的取值范围是 ( ) A. -1,0  B. -1,+∞  C. -∞,0  D. -∞,1  (x-2)ln(x+1),-10，函数f(x)= π cos3x+ 4    恰有3 ,m0 ①若方程fx  =a有四个不同的实根x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ，则x 1 ⋅x 2 ⋅x 3 ⋅x 4 的取值范围是0,1  ②若方程fx  =a有四个不同的实根x ，x ，x ，x ，则x +x +x +x 的取值范围是 1 2 3 4 1 2 3 4 0,+∞  ③若方程fx  1 =ax有四个不同的实根，则a的取值范围是0, e  ④方程f2 x  1 -a+ a  fx  +1=0的不同实根的个数只能是1，2，3，6 四个结论中，正确的结论个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 377 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  x+1 =  2, x≤0 log 2 x    ，若方程fx , x>0  =a有四个不 同的解x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,且x 1 3 3 3  =m有四个不同的实根x ，x ，x ，x ，满足x < 1 2 3 4 1 x 1  2 1 x ，x 满足f(x)=f(x )=f(x )，则 2 3 1 2 3 2  x1+ 1 2  x2+ 1 2  x3的取值范围是 ( ) 9 5 A.  , 4 2  B.(1，4) C.( 2，4) D.(4，6) 11 题型十一：二分法 380 (2024·辽宁大连·统考一模)牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可 导函数fx  在x 0 附近一点的函数值可用fx  ≈fx 0  +fx 0  x-x 0  代替，该函数零点 更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法， 1 解方程x3-3x+1=0，选取初始值x = ，在下面四个选项中最佳近似解为 ( ) 0 2 A.0.333 B.0.335 C.0.345 D.0.347 第 页 共 页 98 1043381 (2024·全国·高三专题练习)函数f(x)的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算， 参考数据如下： f1  =-2 f1.5  =0.625 f1.25  =-0.984 f1.375  =-0.260 f1.438  =0.165 f1.4065  =-0.052 那么方程的一个近似解(精确度为0.1)为 ( ) A.1.5 B.1.25 C.1.41 D.1.44 382 (2024·全国·高三专题练习)利用二分法求方程log x=3-x的近似解，可以取的一个区 3 间是 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 383 (2024·全国·高三专题练习)用二分法求函数f(x)=lgx+x-2的一个零点，根据参考数 据，可得函数f(x)的一个零点的近似解(精确到0.1)为( )(参考数据：lg1.5≈0.176， lg1.625≈0.211，lg1.75≈0.243，lg1.875≈0.273，lg1.9375≈0.287) A.1.6 B.1.7 C.1.8 D.1.9 384 (2024·全国·高三专题练习)用二分法求函数fx  =lnx+1  +x-1在区间0,1  上的零 点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 第 页 共 页 99 1043