第12讲函数与方程_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第12讲 函数与方程
知识梳理
一、函数的零点
对于函数y=fx  ，我们把使fx  =0的实数x叫做函数y=fx  的零点.
二、方程的根与函数零点的关系
方程fx  =0有实数根⇔函数y=fx  的图像与x轴有公共点⇔函数y=fx  有零点.
三、零点存在性定理
如果函数y=fx  在区间a,b  上的图像是连续不断的一条曲线，并且有fa  ⋅fb  <0，那
么函数y=fx  在区间a,b  内有零点，即存在c∈a,b  ，使得fc  =0,c也就是方程fx 
=0的根.
四、二分法
对于区间a,b  上连续不断且fa  ⋅fb  <0的函数fx  ，通过不断地把函数fx  的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做
二分法.求方程fx  =0的近似解就是求函数fx  零点的近似值.
五、用二分法求函数fx  零点近似值的步骤
(1)确定区间a,b  ，验证fa  ⋅fb  <0，给定精度ε.
(2)求区间a,b  的中点x. 1
(3)计算fx 1  .若fx 1  =0,则x 1 就是函数fx  的零点；若fa  ⋅fx 1  <0，则令b=x(此时 1
零点x 0 ∈a,x 1  ).若fb  ⋅fx 1  <0，则令a=x 1 (此时零点x 0 ∈x 1 ,b  )
(4)判断是否达到精确度ε，即若a-b  <ε，则函数零点的近似值为a(或b)；否则重复第(2)
-(4)步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
【解题方法总结】
函数的零点相关技巧:
①若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.
②连续不断的函数f(x)，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
③连续不断的函数f(x)通过零点时，函数值不一定变号.
④连续不断的函数f(x)在闭区间[a，b]上有零点，不一定能推出f(a)f(b)<0.
必考题型全归纳
1 题型一：求函数的零点或零点所在区间
337 (2024·广西玉林·博白县中学校考模拟预测)已知函数h(x)是奇函数，且f(x)=h(x)+2，
若x=2是函数y=f(x)的一个零点，则f(-2)= ( )
A.-4 B.0 C.2 D.4
338 (2024·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测)已知x 是函数f(x)=tanx-2的一个
0
零点，则sin2x 的值为 ( )
0
第 页 共 页
93 10434 3 3 4
A.- B.- C. D.
5 5 5 5
339 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =2x+x,gx  =log 2 x+x,hx  =log x-2的 2
零点依次为a,b,c，则 ( )
A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c
340 (2024·全国·高三专题练习)已知fx  =ex+lnx+2，若x 0 是方程fx  -fx  =e的一
个解，则x 可能存在的区间是 ( )
0
A. 0,1  B. 1,2  C. 2,3  D. 3,4 
2 题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围
341 (2024·山西阳泉·统考三模)函数fx  =log 2 x+x2+m在区间1,2  存在零点．则实数
m的取值范围是 ( )
A. -∞,-5  B. -5,-1  C. 1,5  D. 5,+∞ 
3
342 (2024·全国·高三专题练习)函数f(x)=2x- -a的一个零点在区间1,3
x
 内，则实数a
的取值范围是 ( )
A. 7,+∞  B. -∞,-1 
C. -∞,-1  ∪7,+∞  D. -1,7 
2
343 (2024·河北·高三学业考试)已知函数f(x)=a- 是R上的奇函数，若函数y=f(x
2x+1
-2m)的零点在区间-1，1  内，则m的取值范围是 ( )
1 1
A. - ,
2 2
 B.(-1，1) C.(-2,2) D. 0，1 
344 (2024·浙江绍兴·统考二模)已知函数fx  =lnx+ax2+b，若fx  在区间2,3  上有零
点，则ab的最大值为 .
345 (2024·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习)已知函数f(x)=sinax-asinx
在(0,2π)上有零点，则实数a的取值范围 .
3 题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题
346 (2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测)已知实数x，y满足ln 2y+1+y=2，
ex+x=5，则x+2y= .
347 (2024·新疆·校联考二模)已知函数fx  =ax3+3x2-4，若fx  存在唯一的零点x ，且x 0 0
<0，则a的取值范围是 ．
x2+4x+a, x≤0

348 (2024·天津滨海新·统考三模)已知函数f(x)= 1 ，若函数gx
+a+1, x>0
x
 =fx  -
ax-1在R上恰有三个不同的零点，则a的取值范围是 ．
349 (2024·江苏·校联考模拟预测)若曲线y=xlnx有两条过e,a  的切线，则a的范围是
.
第 页 共 页
94 1043350 (2024·天津北辰·统考三模)设a∈R，对任意实数x，记fx  =
minex-2,e2x-aex+a+24  ．若fx  有三个零点，则实数a的取值范围是 ．
e2023-2m e3-ln2
351 (2024·广东·统考模拟预测)已知实数m，n满足 -m= -lnn-ln2e2020
2 n

=0，则mn= .
4 题型四：嵌套函数的零点问题
352 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx 
1
x2+ x, x≤0
= 2
-2x-1 

 ，若关于x的方程f2 x
+1, x>0

-k+1  xfx  +kx2=0有且只有三个不同的实数解，则正实数k的取值范围为 ( )
1
A. 0,
2

1
B.   ,1
 2
 ∪1,2  C. 0,1  ∪1,2  D. 2,+∞ 
353 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  = 2x   -2  -1，则关于x的方程f2 x  +mfx 
+n=0有7个不同实数解，则实数m,n满足 ( )
A.m>0且n>0 B.m<0且n>0
C.0<m<1且n=0 D.-1<m<0且n=0
354 (2024·四川资阳·高三统考期末)定义在R上函数fx  ，若函数y=fx-1  关于点1,0 
对称，且fx  -x2,x∈0,1 =  ,
ex-1-2,x∈1,+∞ 
  则关于x的方程f2 x
,
 -2mfx  =1(m∈R)有n
个不同的实数解，则n的所有可能的值为
A.2 B.4 C.2或4 D.2或4或6
355 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=(x2-x-1)ex，设关于x的方程f2(x)-
5
mf(x)= (m∈R)有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为
e
A.3 B.1或3 C.4或6 D.3或4或6
5 题型五：函数的对称问题
356 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx 
1 1
=2x+  ≤x≤2
x2 2
 的图象上存在点P，函
数g(x)=ax-3的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则实数a的取值范围是
( )
A. -4,0 
5
B.  0,  8  C. 0,4 
5
D.   ,4  8 
357 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=ex，函数g(x)与f(x)的图象关于直线y=x
对称，若h(x)=g(x)-kx无零点，则实数k的取值范围是 ( )
1
A.  ,e2
e

1
B.  ,e
e

1
C.(e,+∞) D.  ,+∞
e

1
358 (2024·全国·高三专题练习)已知函数y=a-2lnx, ≤x≤e
e
 的图象上存在点M，函数
y=x2+1的图象上存在点N，且M，N关于x轴对称，则a的取值范围是 ( )
A. 1-e2,-2   1 B. -3- ,+∞
 e2

第 页 共 页
95 1043 1 C. -3- ,-2
 e2
 D.  1-e2,-3- 1
 e2

359 (2024·全国·高三专题练习)已知函数gx 
1
=a-x2( ≤x≤e，e为自然对数的底数)与
e
hx  =2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是 ( )
 1 A. 1, +2
 e2
 B. 1,e2-2  C.   1 +2,e2-2
e2
 D. e2-2,+∞ 
6 题型六：函数的零点问题之分段分析法模型
x3-2ex2+mx-lnx
360 (2024·浙江宁波·高三统考期末)若函数f(x)= 至少存在一个零点，
x
则m的取值范围为 ( )
1
A. -∞,e2+
e

1
B.  e2+ ,+∞
 e

1
C. -∞,e+
e

1
D.  e+ ,+∞
 e

f(x)
361 (2024·湖北·高三校联考期中)设函数f(x)=x3-2ex2+mx-lnx，记g(x)= ，若函
x
数gx  至少存在一个零点，则实数m的取值范围是
1
A. -∞,e2+
e

1
B. 0,e2+
e

1
C. 0,e2+
e

1
D. -∞,e2+
e

362 (2024·福建厦门·厦门外国语学校校考一模)若至少存在一个x，使得方程lnx-mx=
x(x2-2ex)成立．则实数m的取值范围为
1 1 1 1
A.m≥e2+ B.m≤e2+ C.m≥e+ D.m≤e+
e e e e
363 (2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)设函数fx 
x
=x2-2x- +a(其中e为
ex
自然对数的底数)，若函数fx  至少存在一个零点，则实数a的取值范围是 ( )
1
A. 0,1+
e

1
B. 0,e+
e

1
C.  e+ ,+∞
 e

1
D. -∞,1+
e

7 题型七：唯一零点求值问题
364 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =x+2  +ex+2+e-2-x+a有唯一零点，则实数
a= ( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
365 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx 
x-π π-x
=e 4+e4 -asinx+cosx  有唯一零点，则
a= ( )
π 4π
A. B. C. 2 D.1
e e
366 (2024·全国·高三专题练习)已知函数gx  ，hx  分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
且gx  +hx  =ex+sinx-x，若函数fx  =3x-2020  -λgx-2020  -2λ2有唯一零点，则
实数λ的值为
1 1
A.-1或 B.1或- C.-1或2 D.-2或1
2 2
367 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =2ex-2 
1
- a2x-2+22-x
2
 -a2有唯一零点，则
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96 1043负实数a=
1 1
A.-2 B.- C.-1 D.- 或-1
2 2
8 题型八：分段函数的零点问题
368 (2024·天津南开·高三南开中学校考期末)已知函数fx 
2x, x≤0

= ，若函数gx
log x, x>0
2
 =
fx  +m有两个零点，则m的取值范围是 ( )
A. -1,0  B. -1,+∞  C. -∞,0  D. -∞,1 
(x-2)ln(x+1),-1<x≤m,
369 (2024·全国·高三专题练习)已知m>0，函数f(x)= π
cos3x+
4


 恰有3
,m<x≤π,
个零点，则m的取值范围是 ( )
π 5π
A.   ,
12 12

3π
∪ 2,
 4

π 5π
B.   ,
12 12

3π
∪ 2,
 4

5π
C. 0,
12

3π
∪ 2,
 4

5π
D. 0,
12

3π
∪ 2,
 4

370 (2024·陕西西安·高三统考期末)已知函数fx 
ex, x≥0

= ，若函数gx
-3x, x<0
 =f-x  -
fx  ，则函数gx  的零点个数为 ( )
A.1 B.3 C.4 D.5
371 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx 
1
2sin 2πx-a+
2 =
  

 , x<a
x2-2a+1 

 ，若函数f(x)
x+a2+2, x≥a
在[0,+∞)内恰有5个零点，则a的取值范围是 ( )
7 5
A.  ,
4 2

7
B.  ,2
4

7
C.  ,2
4

5 11
∪ ,
2 4

7
D.  ,2
4

5
∪2,
2

9 题型九：零点嵌套问题
372 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=(xex)2+(a-1)(xex)+1-a有三个不同的
零点x,x ,x .其中x <x <x ，则(1-xex1)(1-x ex2)(1-x ex3)2的值为 ( )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A.1 B.(a-1)2 C.-1 D.1-a
373 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =ax+lnx  x-lnx  -x2，有三个不同的零
lnx 点，(其中x <x <x )，则1- 1
1 2 3 x
1
 2 1- lnx 2
x
2
 lnx 1- 3
x
3
 的值为
A.a-1 B.1-a C.-1 D.1
374 (2024·辽宁·校联考二模)已知函数fx  =9lnx  2+a-3  xlnx+33-a  x2有三个不同
lnx 的零点x ，x ，x ，且x <1<x <x ，则3- 1
1 2 3 1 2 3 x
1
 2 3- lnx 2
x
2
 lnx 3- 3
x
3
 的值为 ( )
A.81 B.-81 C.-9 D.9
375 (2024·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习)设定义在R上的函数f(x)满
第 页 共 页
97 1043足f(x)=9x2+(a-3)xex+3(3-a)e2x有三个不同的零点x,x ,x ,且x <0<x <x ,
1 2 3 1 2 3
x 则3- 1
ex1
 2 3- x 2
ex2
 x 3- 3
ex3
 的值是 ( )
A.81 B.-81 C.9 D.-9
10 题型十：等高线问题
376 (2024·全国·高三专题练习)设函数fx 
-x2-2x, x≤0
=
lnx 


, x>0
①若方程fx  =a有四个不同的实根x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ，则x 1 ⋅x 2 ⋅x 3 ⋅x 4 的取值范围是0,1 
②若方程fx  =a有四个不同的实根x ，x ，x ，x ，则x +x +x +x 的取值范围是 1 2 3 4 1 2 3 4
0,+∞ 
③若方程fx 
1
=ax有四个不同的实根，则a的取值范围是0,
e

④方程f2 x 
1
-a+
a
 fx  +1=0的不同实根的个数只能是1，2，3，6
四个结论中，正确的结论个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
377 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx 
x+1
=
 2, x≤0
log 2 x 

 ，若方程fx
, x>0
 =a有四个不
同的解x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,且x 1 <x 2 <x 3 <x 4 ，则x 3 ⋅x 1 +x 2 
1
+ 的取值范围是 ( ) x2⋅x
3 4
A. -1,1  B. -1,1  C. -1,1  D. -1,1 
378 (2024·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考阶段练习)已知函数fx  =
log 3 x  , 0<x≤3 
 1 10 ，若方程fx x2- x+8, x>3
3 3
 =m有四个不同的实根x ，x ，x ，x ，满足x < 1 2 3 4 1
x <x <x ，则 x 3 -3
2 3 4
 x 4 -3  的取值范围是 ( )
xx
1 2
A. 0,3  B. 0,4  C. 3,4  D. 1,3 
1 
2
379 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=
 x  -1    , x≤1
，若互不相等的实数x ，
 1 1
- x+1, x>1
 2
1
x ，x 满足f(x)=f(x )=f(x )，则
2 3 1 2 3 2

x1+ 1
2

x2+ 1
2

x3的取值范围是
( )
9 5
A.  ,
4 2
 B.(1，4) C.( 2，4) D.(4，6)
11 题型十一：二分法
380 (2024·辽宁大连·统考一模)牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可
导函数fx  在x 0 附近一点的函数值可用fx  ≈fx 0  +fx 0  x-x 0  代替，该函数零点
更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，
1
解方程x3-3x+1=0，选取初始值x = ，在下面四个选项中最佳近似解为 ( )
0 2
A.0.333 B.0.335 C.0.345 D.0.347
第 页 共 页
98 1043381 (2024·全国·高三专题练习)函数f(x)的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，
参考数据如下：
f1  =-2 f1.5  =0.625 f1.25  =-0.984
f1.375  =-0.260 f1.438  =0.165 f1.4065  =-0.052
那么方程的一个近似解(精确度为0.1)为 ( )
A.1.5 B.1.25 C.1.41 D.1.44
382 (2024·全国·高三专题练习)利用二分法求方程log x=3-x的近似解，可以取的一个区
3
间是 ( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
383 (2024·全国·高三专题练习)用二分法求函数f(x)=lgx+x-2的一个零点，根据参考数
据，可得函数f(x)的一个零点的近似解(精确到0.1)为( )(参考数据：lg1.5≈0.176，
lg1.625≈0.211，lg1.75≈0.243，lg1.875≈0.273，lg1.9375≈0.287)
A.1.6 B.1.7 C.1.8 D.1.9
384 (2024·全国·高三专题练习)用二分法求函数fx  =lnx+1  +x-1在区间0,1  上的零
点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
第 页 共 页
99 1043