第44讲数列求和_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第44讲 数列求和 知识梳理 一．公式法 (1)等差数列a n  n(a +a ) n(n+1) 的前n项和S = 1 n =na + d，推导方法：倒序相加 n 2 1 2 法． (2)等比数列a n  na ，q=1  1 的前n项和S =a(1-qn) ，推导方法：乘公比，错位相减法． n 1 ，q≠1 1-q (3)一些常见的数列的前n项和： n 1 n ①k=1+2+3+⋯+n= n(n+1)；2k=2+4+6+⋯+2n=n(n+1) 2 k=1 k=1 n ②(2k-1)=1+3+5+⋯+(2n-1)=n2； k=1 n 1 ③k2=12+22+32+⋯+n2= n(n+1)(2n+1)； 6 k=1 ④ n k3=13+23+33+⋯+n3=   n(n+1)  2 k=1  2 二．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成 的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从 而求得前n项和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积 构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解． (4)倒序相加法：如果一个数列a n  与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个 常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解． 【解题方法总结】 常见的裂项技巧 积累裂项模型1：等差型 1 1 1 (1) = - n(n+1) n n+1 1 1 1 1 (2) =  - n(n+k) k n n+k  1 1 1 1 (3) =  - 4n2-1 2 2n-1 2n+1  1 1  1 1 (4) =  - n(n+1)(n+2) 2 n(n+1) (n+1)(n+2)  1 1 1 1 1 (5) = =  - n(n2-1) n(n-1)(n+1) 2 (n-1)n n(n+1)  n2 1  1 (6) = 1+ 4n2-1 4  (2n+1)(2n-1)  第 页 共 页 365 10433n+1 4(n+1)-(n+3) 1 1 (7) = =4 - (n+1)(n+2)(n+3) (n+1)(n+2)(n+3) n+2 n+3  1 1 - - n+1 n+2  1 (8)n(n+1)= n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1) 3  . 1 (9)n(n+1)(n+2)= n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2) 4  1 1  1 1 (10) =  - n(n+1)(n+2)(n+3) 3 n(n+1)(n+2) (n+1)(n+2)(n+3)  2n+1 1 1 (11) = - n2(n+1)2 n2 (n+1)2 n+1 1  1 1 (12) n2(n+2)2 = 4   n2 - (n+2)2  积累裂项模型2：根式型 1 (1) = n+1- n n+1+ n 1 1 (2) = ( n+k- n) n+k+ n k 1 1 (3) = ( 2n+1- 2n-1) 2n-1+ 2n+1 2 1 1 n(n+1)+1 1 1 (4) 1+ + = =1+ - n2 (n+1)2 n(n+1) n n+1 1 (5) 3n2+2n+1+ 3n2-1+ 3n2-2n+1 3n+1- 3n = 3n+1- 3n-1(3n2+2n+1+ 3n2-1+ 3n2-2n+1)= 2 1 (n+1) n-n n+1 (6) = (n+1) n+n n+1 (n+1) n  (n+1) n-n n+1 1 = = - 2-(n n+1)2 n(n+1) n 1 n+1 积累裂项模型3：指数型 2n (2n+1-1)-(2n-1) 1 1 (1) = = - (2n+1-1)(2n-1) (2n+1-1)(2n-1) 2n-1 2n+1-1 3n 1 1 1 (2) =  - (3n-1)(3n+1-1) 2 3n-1 3n+1-1  n+2 2(n+1)-n 2 1 (3) = = - n(n+1)⋅2n n(n+1)⋅2n n n+1  1 1 1 ⋅ = - 2n n⋅2n-1 (n+1)⋅2n (4n-1)⋅3n-1 1  9 1 (4) =  - n(n+2) 2 (n+2) n  1 3n+1 3n-1 ⋅3n-1=  - 2 n+2 n  (2n+1)⋅(-1)n (-1)n (-1)n+1 (5) = - n(n+1) n n+1 1 1 (6)a =n⋅3n-1，设a =(an+b)3n-[a(n-1)+b]⋅3n-1，易得a= ,b=- ， n n 2 4 1 1 于是a = (2n-1)3n- (2n-3)⋅3n-1 n 4 4 (-1)n(n2+4n+2)2n (-1)n(n2+4n+2) (-1)n n2+n+2(n+1)+n (7) = = n⋅2n⋅(n+1)2n+1 n⋅(n+1)2n+1  n⋅(n+1)2n+1 = ( 2 - n 1 + ) 1 n +(-1)n   n⋅ 1 2n + (n+1 1 )⋅2n+1  1 1 = - 2 2  n (-1)n (-1)n+1 + -   n⋅2n (n+1)⋅2n+1  积累裂项模型4：对数型 第 页 共 页 366 1043a log n+1 =logan+1-log a a a a a n n 积累裂项模型5：三角型 1 1 (1) = (tanα-tanβ) cosαcosβ sin(α-β) 1 1 (2) = tan(n+1)°-tann° cosn°cos(n+1)° sin1°  1 (3)tanαtanβ= (tanα-tanβ)-1 tan(α-β) (4)a n =tan⋅tan(n-1);tan1=tann-(n-1)  tann-tan(n-1) = ， 1+tann⋅tan(n-1) tann-tan(n-1) tann-tan(n-1) 则tann⋅tan(n-1)= -1,a = -1 tan1 n tan1 积累裂项模型6：阶乘 n 1 1 (1) = - (n+1)! n! (n+1)! n+2 n+2 1 n+1 1 1 (2) = = = = - n!+(n+1)!+(n+2)! n!(n+2)2 n!(n+2) (n+2)! (n+1)! (n+2)! 常见放缩公式： 1 1 (1) < n2 n-1  1 1 = - n≥2 n n-1 n  ； 1 1 (2) > n2 nn+1  1 1 = - ； n n+1 1 4 4 1 1 (3) = < =2 - n2 4n2 4n2-1 2n-1 2n+1  ； 1 n! (4)T =Cr⋅ = r+1 n nr r!n-r  1 1 1 ⋅ < < ! nr r! rr-1  1 1 = - r≥2 r-1 r  ； 1 (5)1+ n  n 1 1 1 <1+1+ + +⋯+ 1×2 2×3 n-1  <3； n 1 2 2 (6) = < =2- n-1+ n n n+ n n-1+ n  n≥2  ； 1 2 2 (7) = > =2- n+ n+1 n n+ n n+ n+1  ； 1 2 2 2 2 ( 8 ) = < = = n n+ n 1 1 2n-1+ 2n+1 n- + n+ 2 2 2- 2n-1+ 2n+1  ； 2n (9) 2n-1  2n = 2 2n-1  2n-1  2n < 2n-1  2n-2  2n-1 = 2n-1  2n-1-1  1 = - 2n-1-1 1 n≥2 2n-1  ； 1 1 1 (10) = < n3 n⋅n2 n-1  nn+1  n+1- n-1 = n-1  nn+1  1 ⋅ n+1- n-1 1 = n-1  1 - n nn+1       1 1 1 ⋅ = 2 - n+1- n-1 n-1 n+1  ⋅ n+1+ n-1 2 n 1 1 <2 - n-1 n+1  n≥2  ； 第 页 共 页 367 10431 2 2 (11) = < n3 n2⋅n+ n⋅n2 n n-1+n-1  2 = n n-1  n n+ n-1  -2 n-1- n =  n-1  2 2 = - n≥2 n n-1 n  ； 1 1 (12) = 2n-1 1+1  1 2 < = n-1 C0+C1+C2-1 nn+1 n n n  2 2 = - ； n n+1 1 2n-1 (13) < 2n-1 2n-1-1  2n-1  1 1 = - n≥2 2n-1-1 2n-1  ． 2 1 2 (14)2( n+1- n)= < < =2( n- n-1)． n+1+ n n n+ n-1 必考题型全归纳 1 题型一：通项分析法 2096 (2024·全国·高三专题练习)求和S n =3+2  +32+3⋅2+22  +⋅⋅⋅ +3n+3n-1⋅2+3n-2⋅22+⋅⋅⋅+2n  ． 2097 数列9，99，999，⋯的前n项和为 ( ) 10 A. (10n-1)+n B.10n-1 9 10 10 C. (10n-1) D. (10n-1)-n 9 9 2098 求数列1，(1+2)，(1+2+22)，⋯，(1+2+22+⋯+2n-1)，⋯的前n项之和． 2099 (2024·全国·高三专题练习)数列1,(1+2),1+2+22  ,1+2+22+23  ,⋯, 1+2+⋯+2n-1  ,⋯的前n项和为 . 5 2100 (2024·全国·高三对口高考)数列5,55,555,5555,⋯, 10n-1 9  ,⋯的前n项和S = n . 2101 (2024·全国·高三专题练习)1202年意大利数学家列昂那多-斐波那契以兔子繁殖为 例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，⋯该数列中 的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被 3除后的余数构成一新数列a n  ，则数列a n  的前2022项的和为 . 2 题型二：公式法 2102 (2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)已知数列a n  为等差数列，数列b n  为等比数列，且b ∈N*，若a =b =2,a +a +a =b +b +b +b =15． n 1 2 1 2 3 1 2 3 4 (1)求数列a n  ，b n  的通项公式； (2)设由a n  ，b n  的公共项构成的新数列记为c n  ，求数列c n  的前5项之和S ． 5 2103 (2024·湖北武汉·统考模拟预测)已知S 是数列a n n  的前n项和，2S =na ，a =3． n n 2 (1)求数列a n  的通项公式； (2)若b n =16-a n  ，求数列b n  的前n项和T． n 2104 (2024·宁夏银川·高三银川一中阶段练习)已知等差数列a n  的前四项和为10，且a ,a , 2 3 a 成等比数列 7 (1)求通项公式a n 第 页 共 页 368 1043(2)设b =2an，求数列b 的前n项和S n n n 3 题型三：错位相减法 2105 (2024·广东茂名·高三茂名市第一中学校考阶段练习)已知数列a n  满足a =2a +2n n n-1 -1n≥2  且a =5 1 a +λ (1)若存在一个实数λ，使得数列 n  2n  为等差数列，请求出λ的值； (2)在(1)的条件下，求出数列a n  的前n项和S ． n 2106 (2024·四川绵阳·高三盐亭中学校考阶段练习)设数列  b n  ​的前n​项和为 S ​，且b n n =2-2S ​;数列 a n n  ​为等差数列，且a =14，a =20​. 5 7 (1)求数列  b n  ​的通项公式. (2)若c =a ⋅b n∈N* n n n  ​，求数列c n  ​的前n​项和 T ​. n 2107 (2024·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)已知数列x n  的首项为1，且x + 1 x x x nx 2 +⋯+ n-1 + n = n+1. 2 2n-2 2n-1 2n (1)求数列x n  的通项公式； 1 (2)若b n = 2 2n+1  x n+1 -x n  ,S 为b n n  前n项的和，求S . n 2108 (2024·西藏日喀则·统考一模)已知数列a n  的前n项和为S ，且a +2a +3a +⋯ n 1 2 3 +na n =n-1  S +2n. n (1)求a,a ，并求数列a 1 2 n  的通项公式； (2)若b =a ⋅log a ，求数列b n n 2 n n  的前n项和T. n 2109 (2024·广东东莞·校考三模)已知数列a n  和b n  1 1 ，a =2， - =1，a =2b . 1 b a n+1 n n n 1 (1)求证数列 -1 a n  是等比数列； n (2)求数列 b n  的前n项和T. n 2110 (2024·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测)设数列a n  的前n项和为S ， n 2S 已知a =1，且数列3- n 1  a n  1 是公比为 的等比数列. 3 (1)求数列a n  的通项公式； (2)若b n =2n+1  3n-1，求其前n项和T n 4 题型四：分组求和法 2111 (2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末)已知数列a n  和b n  满足：a =1，b =2， 1 1 2 1 2 1 a = a + b ，b = b + a ，其中n∈N∗． n+1 3 n 3 n n+1 3 n 3 n 1 (1)求证：a -a = ； n+1 n 3n (2)求数列a n  的前n项和S ． n 2112 (2024·广东深圳·高三北师大南山附属学校校考阶段练习)已知数列a n  的前n项和为 S ，且满足a =1，2S =na ，n∈N*. n 1 n n+1 (1)求数列a n  的通项公式； (2)设数列b n  满足b =1，b =2，b =2b ，n∈N*，按照如下规律构造新数列c 1 2 n+2 n n  ：a, 1 第 页 共 页 369 1043b ,a ,b ,a ,b ,a ,b ,⋯，求数列c 2 3 4 5 6 7 8 n  的前2n项和. 2113 (2024·重庆巴南·统考一模)已知数列a n  的首项a =1，且满足a +a =3×2n. 1 n+1 n (1)求证：a -2n n  是等比数列； (2)求数列a n  的前项和S . n 2114 (2024·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习)已知等差数列a n  的前n项和为 S ，数列b n n  为等比数列，满足a =b =2,S =30,b +2是b 与b 的等差中项. 1 2 5 4 3 5 (1)求数列a n  ,b n  的通项公式； (2)设c n =(-1)n a n +b n  ，求数列c n  的前20项和T . 20 2115 (2024·海南·高三校联考期末)已知数列a n  满足a =4，a =2a +2(n∈N*)． 1 n+1 n (1)求数列a n  的通项公式； (2)若b =a +a ，求数列b n n n+1 n  的前n项和S ． n 2116 (2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测)S 为数列a n n  的前n项和，已知6S n =a2+3a -4，且a >0. n n n (1)求数列a n  的通项公式a ； n (2)数列b n  依次为：a,3,a ,32,33,a ,34,35,36,a ,37,38,39,310⋯，规律是在a 和a 中间插 1 2 3 4 k k+1 入kk∈N*  项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列b n  的前 100项的和. 2117 (2024·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测)已知数列a n  4 的首项a = ，a 1 5 n+1 4a = n ，n∈N*. 3a +1 n a (1)设b = n ，求数列b n 1-a n n  的通项公式； (2)在b 与b (其中k∈N*)之间插入2k个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列 k k+1 c n  .记S 为数列c n n  的前n项和，求S . 36 2118 (2024·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习)已知各项均为正数的数列{an} 中，a =1且满足a2 -a2=2a +2a ，数列{bn}的前n项和为Sn，满足2Sn+1= 1 n+1 n n n+1 3bn. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设c =a +b ，求数列c n n n n  的前n项和Sn； (3)若在bk与bk 之间依次插入数列{an}中的k项构成新数列c +1 n  ：b ，a ，b ，a ，a ， 1 1 2 2 3 b ，a ，a ，a ，b ，⋯⋯，求数列{cn}中前50项的和T . 3 4 5 6 4 50 5 题型五：裂项相消法 2119 (2024·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测)已知数列a n  的前n项和S = n an2+bna,b∈R  ，且a =3,a =11. 2 6 (1)求数列a n  的通项公式； a (2)求数列 n+1 S S n n+1  的前n项和T. n 2120 (2024·宁夏石嘴山·统考一模)已知S 是数列a n n  的前n项和，且S =2n+1-2n∈N* n  ． (1)求数列a n  的通项公式； 2n (2)若b = n a n -1  a n+1 -1  ，求数列b n  的前n项和T． n 第 页 共 页 370 10432121 (2024·江西赣州·高三校联考阶段练习)已知等差数列a n  的前n项和为S ，且S =40， n 5 S =126. 9 (1)求数列a n  的通项公式； 1 (2)求数列 a a n n+1  1 的前n项和T，并证明：T < . n n 6 2122 (2024·全国·高三专题练习)在数列a n  1 1 1 中，已知 = + ，a =4． a 2a 2 1 n+1 n (1)求a ； n (2)若b =a2-a ，S 为b 的前n项和，证明：12≤S <15． n n n n n n 2123 (2024·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测)已知数列a n  的前n项和为S ，且2S =3a n n n -1． (1)求a n  的通项公式； 3n (2)若b = n a n +1  a n+1 +1  ，求数列b n  的前n项和T． n 2124 (2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测)已知公差为正数的等差数列a n  的前n项和 为S ,a =3，且a,a ,2a +3成等比数列. n 2 1 3 6 (1)求a 和S . n n 1 (2)设b = ，求数列b n S S n n n+1  的前n项和T. n 2125 (2024·全国·高三专题练习)已知S 为数列a n n  的前n项和，a =2,S =a -3n-2． 1 n n+1 (1)求数列a n  的通项公式a ； n 2n (2)设b = ，记b n a ⋅a n n n+1  1 的前n项和为T，证明：T < ． n n 5 2126 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a n  a 满足a =1, n =1+2a ． 1 a n n+1 1 (1)证明 a n  为等差数列，并a n  的通项公式； (2)设c =4n2a a ，求数列c n n n+1 n  的前n项和T． n 2127 (2024·福建漳州·统考模拟预测)已知数列a n  2S 的前n项和为S ，且a =1， n =n+1. n 1 a n (1)求a n  的通项公式； a (2)记数列log n+1  2 a n  的前n项和为T，求集合kT≤10,k∈N* n k  中元素的个数. 2128 (2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测)设数列a n  的前n项和为S ，且S = n n n6+a n  ,a =12. 2 4 (1)求a ； n 1 (2)记b = ，数列b n na n n  的前n项和为T，求T. n n 2129 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a n  ,a 1 =1,na n+1 -n+1  a =1． n (1)求数列a n  的通项公式； (2)若数列b n  π 满足b =sin a n 2 n+1  +cosπa n  ，求数列b n  的前2n项和T 2n 2130 (2024·江西南昌·江西师大附中校考三模)已知S 是数列a n n  的前n项和，满足S S n n+1 =nn+1  1 a ，且a = . n+1 1 2 第 页 共 页 371 1043(1)求S ； n (2)若b n =2n+1  a2，求数列b n n  的前n项和T. n 2131 (2024·浙江·校联考模拟预测)已知数列a n  满足a =a2,n∈N*,a =5. n+1 n 1 (1)求数列a n  的通项； 2a (2)设b = n ,S 为数列b n a2-1 n n n  1 的前n项和，求证S < ． n 2 2132 (2024·安徽·合肥一中校联考模拟预测)设数列a n  的前n项和为S ，已知S +3S = n n+2 n 4S -2a ，a =1，a =3． n+1 n 1 2 (1)证明：数列a -2a n+1 n  是等差数列； n+2 (2)记(a +1)b = ，T 为数列b n n n2+n n n  的前n项和，求T． n 2133 (2024·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测)已知数列a n  满足a +a -2a = n+2 n n+1 2n,a =1,a =3． 1 2 (1)求数列a n  的通项公式； 2n+1+2n-2 (2)求 (-1)n+1⋅ a a n+1 n     的前n项和T． n 6 题型六：倒序相加法 2134 (2024·江苏盐城·盐城市伍佑中学校考模拟预测)已知数列a i  的项数为nn∈N∗  ，且 a +a =Ci(i=1,2,⋯n)，则a i n-i+1 n i  的前n项和S 为 ． n 2135 (2024·广西玉林·统考三模)已知函数fx  =e-x-ex，若函数hx  =fx-4  +x，数列 a n  为等差数列，a 1 +a 2 +a 3 +⋅⋅⋅+a 11 =44，则ha 1  +ha 2  +⋅⋅⋅+ha 11  = ． 2 2136 (2024·高三课时练习)设函数f(x)= ，利用课本中推导等差数列前n项和的方法， 2x+1 求得f(-5)+f(-4)+⋯+f(0)+⋯+f(4)+f(5)的值为 . 1 2137 (2024·全国·高三专题练习)已知fx+ 2  x+2cosx 2021 i = ，则 f cosx 2022 i=1   = . 2138 (2024·江西宜春·高三校考开学考试)德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王 子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论 与方法》．在其年幼时，对1+2+3+⋯⋯+100的求和运算中，提出了倒序相加法的原 理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高 2x 斯算法，现有函数f(x)= ，设数列a 2x+ 2 n  1 满足a =f(0)+f n n  2 +f n  +⋯ n-1 +f n  +f(1)n∈N∗  ，若b =2n+1a ，则b n n n  的前n项和S = ． n 2139 (2024·全国·高三专题练习)设函数fx  1-x 1 =2+ln ，a =1，a =f x 1 n n  2 +f n  + 3 f n  n-1 +⋅⋅⋅+f n  n∈N*,n≥2  ．则数列a n  的前n项和S = ． n 2140 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a n  1 1 1 的前n项和为S ，且 + +⋅⋅⋅+ = n S S S 1 2 n 2n ，设函数fx n+1  1 a =cosπx+ ，则f 1 2 2022  a +f 2 2022  a +f 3 2022  a +⋅⋅⋅+f 2021 2022  = ． 第 页 共 页 372 10432141 (2024·全国·高三专题练习)“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎 遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数、倒序相加法、最小二乘法、 每一个n阶代数方程必有n个复数解等.若函数fx  2x 1 =log ，设a =1,a =f 21-x 1 n n  + 2 f n  3 +f n  n-1 +⋯+f n  n∈N,n≥2  ，则a +a +⋯+a = . 1 2 10 7 题型七：并项求和 2142 (2024·北京海淀·高三专题练习)已知数列a n  的前n项和为S ,a +(-1)na =2n- n n+1 n 1，则S = ． 8 2143 (2024·全国·高三专题练习)已知a n  的前n项和为S n ，a n+2 +-1  nn+1  2 a =n，S = n 50 600，则a +a = . 1 2 2144 (2024·江西·校联考模拟预测)记S 为等差数列a n n  的前n项和，已知a +a =8，S = 2 3 5 25. (1)求a n  的通项公式； (2)记b n =-1  nS ，求数列b n n  的前30项的和T . 30 2145 (2024·河南·襄城高中校联考三模)在等比数列a n  1 中，a =8a ，且 a ，a -4，a -12 7 4 2 2 3 4 成等差数列． (1)求a n  的通项公式； (2)设b n =-1  nlog a ，数列b 2 n n  的前n项和为T n ，求满足T k  =20的k的值． 2146 (2024·河北沧州·校考模拟预测)已知正项数列a n  的前n项和为S ，满足a =2 S - n n n 1. (1)求数列a n  的通项公式； 2nπ (2)若b =a cos ，求数列b n n 3 n  的前3n+1项和T . 3n+1 2147 (2024·河北·沧县中学模拟预测)已知数列a n  为等差数列，S 为其前n项和，若a + n 3 2 25 2a = ,S = ． 4 3 10 3 (1)求数列a n  的通项公式； (2)若b n =a n +1  2nπ 2cos ，求数列b 3 n  的前18项和T ． 18 8 题型八：先放缩后裂项求和 2148 (2024·天津·一模)已知数列a n  是等差数列，其前n项和为A ，a =15，A =63；数列 n 7 7 b n  的前n项和为B ，2B =3b -3n∈N* n n n  . (1)求数列a n  ，b n  的通项公式； 1 (2)求数列 A n  的前n项和S ； n n a (3)求证： k <2. B k=1 k 2149 (2024·天津市宝坻区第一中学二模)已知a n  为等差数列，前n项和为 是首项为2的等比数列，且公比大于0，b +b =12,b =a -2a,S =11b ． 2 3 3 4 1 11 4 (1)a n  和b n  的通项公式； 第 页 共 页 373 1043(2)求数列a ⋅b 2n n  的前8项和T； 8 n b (3)证明： i i=1 b i -1  25  < ． 2 9 2150 (2024·浙江·效实中学模拟预测)设各项均为正数的数列a n  的前n项和为S ，满足S2 n n -n2+n-3  S n -3n2+n  =0,n∈N*. (1)求a 的值： 1 (2)求数列a n  的通项公式： 1 1 1 2+ 2 (3)证明：对一切正整数n，有 + +⋯+ ≤ - a a +2 a a +2 a a +2 4 1 1 2 2 n n 2 1 1  + 4 n n+1  . 2151 (2024·广东汕头·一模)已知数列a n  的前n项和为S ，3a =2S +2nn∈N* n n n  . (1)证明：数列a +1 n  为等比数列，并求数列a n  的前n项和为S ； n (2)设b n =log 3a n+1 +1  1 1 1 ，证明： + +⋅⋅⋅+ <1. b2 b2 b2 1 2 n 9 题型九：分段数列求和 2152 (2024·全国·高三专题练习)已知a n  为等差数列，b n  为等比数列，a =b =1,a = 1 1 5 5a 4 -a 3  ,b 5 =4b 4 -b 3  ． (1)求a n  和b n  的通项公式； (2)记a n  的前n项和为S ，求证：S S 1，前n项和为S ，满足：S n 3 =13,a2=3a . 4 6 (1)求a n  的通项公式； (2)设b n =   a b n ,n + 为 n 奇 ,n 数 为偶数 ，求数列b n n-1  的前2n项和T . 2n 2155 (2024·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习)已知数列a n  ，b n  ，S 为数列a n n  的 前n项和，a n >0,a 2 =4b 1 ，若a 1 =2，a2 n -a n a n-1 -2a2 n-1 =0n≥2  ，且nb n+1 -n+1  b = n n2+n，n∈N*. (1)求数列a n  ,b n  的通项公式； (2)若数列c n  a b  - n n,n为奇数 2 的通项公式为c n = a b ，令T n 为c n  n n,n为偶数  4  的前n项的和，求T . 2n 2156 (2024·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测)已知等差数列a n  与等比数列b n  的前n 第 页 共 页 374 1043S 4n+1 项和分别为：S ,T，且满足：a =3, 2n = n n 1 S n  T -S ， n 2n =2n-n2-n-1 n+2 4 (1)求数列a n  ,b n  的通项公式； b ,n为奇数  n (2)若c n = 1 ,n为偶数 求数列c n 2S n  的前2n项的和U . 2n 2157 (2024·湖南岳阳·统考三模)已知等比数列a n  a +a 的前n项和为S ，其公比q≠-1， 4 5 n a +a 7 8 1 = ，且S =a +93． 27 4 3 (1)求数列a n  的通项公式； log a ,n为奇数  1 n (2)已知b n = 3 ，求数列b n a ,n为偶数 n  的前n项和T． n 第 页 共 页 375 1043