文档内容
第45讲 数列的综合应用
知识梳理
1、解决数列与数学文化相交汇问题的关键
2、新定义问题的解题思路
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，
“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．
3、数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公
式、求和方法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要
注意这一特殊性．
4、数列与不等式综合问题的求解策略
解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较
法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究
最值问题来解决．
利用等价转化思想将其转化为最值问题.
a>F(n)恒成立⇔a>F(n) ；
max
aB,B>C⇒A>C；A2n+2成立的n的最小值是 ( )
n
A.3 B.4 C.5 D.6
2160 (2024·四川成都·石室中学校考模拟预测)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有
如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第
三层有6个球，第四层10个⋯，则第三十六层球的个数为 ( )
A.561 B.595 C.630 D.666
2161 (2024·全国·高三专题练习)科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：
如图1将线段AB等分为线段AC,CD,DB，如图2.以CD为底向外作等边三角形CMD，
并去掉线段CD，将以上的操作称为第一次操作；继续在图2的各条线段上重复上述操作，
当进行三次操作后形成如图3的曲线.设线段AB的长度为1，则图3中曲线的长度为
( )
第 页 共 页
377 104316 64
A.2 B. C. D.3
9 27
2162 (2024·全国·高三专题练习)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里
出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在“杨辉三角”中，第n
行的所有数字之和为2n-1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，
10，5，...，则此数列的前34项和为 ( )
A.959 B.964 C.1003 D.1004
2163 (2024·全国·高三专题练习)南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列
的问题，即一个数列a
n
本身不是等差数列，但从a
n
数列中的第二项开始，每一项与前
一项的差构成等差数列b
n
(则称数列a
n
为一阶等差数列)，或者b
n
仍旧不是等差数
列，但从b
n
数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列c
n
(则称数列
a
n
为二阶等差数列)，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我
们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64⋯是一阶等比数列，则该数列的第8项
是( )．
A.28 B.215 C.221 D.228
2 题型二：数列中的新定义问题
2164 (2024·江西·江西师大附中校考三模)已知数列a
n
的通项a =2n-1n∈N*
n
，如果把
数列a
n
的奇数项都去掉，余下的项依次排列构成新数列为b
n
，再把数列b
n
的奇数
项又去掉，余下的项依次排列构成新数列为c
n
，如此继续下去，⋯⋯，那么得到的数列
(含原已知数列)的第一项按先后顺序排列，构成的数列记为P
n
，则数列P
n
前10项的
和为 ( )
A.1013 B.1023 C.2036 D.2050
2165 (2024·人大附中校考三模)已知数列a
n
满足：对任意的n∈N∗，总存在m∈N∗，使得
S =a ，则称a
n m n
为“回旋数列”．以下结论中正确的个数是 ( )
①若a =2023n，则a
n n
为“回旋数列”；
②设a
n
为等比数列，且公比q为有理数，则a
n
为“回旋数列”；
第 页 共 页
378 1043③设a
n
为等差数列，当a =1，d<0时，若a
1 n
为“回旋数列”，则d=-1；
④若a
n
为“回旋数列”，则对任意n∈N∗，总存在m∈N∗，使得a =S ．
n m
A.1 B.2 C.3 D.4
2166 (2024·湖北武汉·统考三模)将1,2,⋅⋅⋅,n按照某种顺序排成一列得到数列a
n
，对任意1
≤ia ，那么称数对a,a
i j i j
构成数列a
n
的一个逆序对.若n=4，则恰
有2个逆序对的数列a
n
的个数为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
2167 (2024·全国·高三专题练习)记数列a
n
的前n项和为S ，若存在实数M>0，使得对任
n
意的n∈N*，都有S n 对任意的正整数成立，则整
n a -1 a
n i=1 i
数k的最小值为 ．
4 题型四：数列在实际问题中的应用
2174 (2024·全国·高三专题练习)根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月
n
内累积的需求量S n (万件)近似地满足关系式S n = 90 21n-n2-5 n=1,2,⋅⋅⋅,12 ，按此
预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 .
2175 (2024·高三课时练习)某研究所计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修
费和设备费，且每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数
列.已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改
建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1700万元，则该研究所改建这
十个实验室投入的总费用最多需要 万元.
2176 (2024·全国·高三专题练习)冰墩墩作为北京冬奥会的吉祥物特别受欢迎，官方旗舰店售
卖冰墩墩运动造型多功能徽章，若每天售出件数成递增的等差数列，其中第1天售出
10000件，第21天售出15000件；价格每天成递减的等差数列，第1天每件100元，第21天
每件60元，则该店第 天收入达到最高.
2177 (2024·全国·高三专题练习)沈阳京东MALL于2022年国庆节盛大开业，商场为了满足
广大数码狂热爱好者的需求，开展商品分期付款活动.现计划某商品一次性付款的金额为
a元，以分期付款的形式等额分成n次付清，每期期末所付款是x元，每期利率为r ，则爱
好者每期需要付款x= ．
2178 (2024·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测)一件家用电器，现价2000元，实
行分期付款，一年后还清，购买后一个月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相
同，共付12次，月利率为0.8%，并按复利计息，那么每期应付款 元．(参考数据：
1.00811≈1.092，1.00812≈1.100，1.0811≈2.332，1.0812≈2.518)
2179 (2024·全国·高三专题练习)在第七十五届联合国大会一般性辩论上，习近平主席表示，
中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030
年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．某地2020年共发放汽车牌照12万张，其
中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张，从2021年起，每年发放的电动型汽车牌照
按前一年的50%增长，燃油型汽车牌照比前一年减少0.5万张，同时规定，若某年发放的
汽车牌照超过15万张，以后每年发放的电动车牌照的数量维持在这一年的水平不变.那
么从2021年至2030年这十年累计发放的汽车牌照数为 万张．
5 题型五：数列不等式的证明
2180 (2024·河北张家口·统考三模)已知数列a
n
a a a a 2n+3
满足3+ 1 + 2 + 3 +⋯+ n = .
2 22 23 2n 2n
(1)求数列a
n
的通项公式；
1
(2)记数列
a ⋅a
n n+1
1
的前n项和为S ，证明：S < .
n n 2
第 页 共 页
380 10431 1 1 2
2181 (2024·全国·高三专题练习)证明不等式 + +⋯+ < ．
22 32 (n+1)2 3
1
2182 (2024·全国·高三专题练习)已知a =
n 3
n 1 1
，c = + ，c
n 1+a 1-a n
n n+1
的前n项和为
1
T，证明：T >2n- ．
n n 3
2183 (2024·全国·高三专题练习)已知每一项都是正数的数列a
n
满足a =1，a =
1 n+1
a +1
n n∈N*
12a
n
．
(1)证明：a n- ．
1 2 n 4
2187 (2024·全国·高三专题练习)设数列a
n
满足a =a，a a -a2=1n∈N*
1 n+1 n n
．
5
(1)若a = ，求实数a的值；
3 2
a 3
(2)设b = n ，若a=1，证明： 2≤b < (n≥2)．
n n n 2
2188 (2024·全国·高三专题练习)已知函数a
n
1 π
满足a = ，a =sin a
1 2 n+1 2 n
，n∈N*．
1
(1)证明： ≤a n- ．
n 2
6 题型六：公共项问题
2189 (2024·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模)已知n∈N，n≥1，将数列2n-1
与数列n2-1 的公共项从小到大排列得到新数列a
n
100 1
，则 = .
a
n=1 n
2190 (2024·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测)数列2n-1 和数列3n-2 的公共项
从小到大构成一个新数列a
n
，数列b
n
a
满足：b = n，则数列b
n 2n n
的最大项等于
.
2191 (2024·全国·高三专题练习)已知n∈N∗，将数列2n-1 与数列n2-1 的公共项从小
第 页 共 页
381 1043到大排列得到新数列a
n
1 1 1
，则 + +⋯+ = .
a a a
1 2 10
2192 (2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)将数列2n 与3n-2 的公共项由小
到大排列得到数列a
n
，则数列a
n
的前n项的和为 ．
2193 (2024·全国·高三专题练习)数列{2n}与{3n-1}的所有公共项由小到大构成一个新的
数列{a }，则a = .
n 10
2194 (2024·安徽蚌埠·统考一模)有两个等差数列2，6，10,⋯,190及2,8,14,⋯,200,由这两
个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为
.
7 题型七：插项问题
2195 (2024·全国·高三对口高考)在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增
的等比数列，将这n+2个数的乘积记作T，再令a =lgT,n≥1.则数列a
n n n n
的通项公
式为 .
2196 (2024·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测)已知等差数列a
n
中，a =4,a =16，若在数
2 6
列a
n
每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项
为 .
2197 (2024·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测)已知数列a
n
4
的首项a = ，
1 5
4a
a = n ，n∈N*.
n+1 3a +1
n
a
(1)设b = n ，求数列b
n 1-a n
n
的通项公式；
(2)在b 与b (其中k∈N*)之间插入2k个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列
k k+1
c
n
.记S 为数列c
n n
的前n项和，求S .
36
2198 (2024·广东佛山·统考模拟预测)已知数列a
n
a a a n
满足 1 + 2 +⋯+ n = n∈N*
3 32 3n 3
.
(1)求a
n
的通项公式；
(2)在a
n
相邻两项中间插入这两项的等差中项，求所得新数列b
n
的前2n项和T .
2n
2199 (2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测)S 为数列a
n n
的前n项和，已知6S
n
=a2+3a -4，且a >0.
n n n
(1)求数列a
n
的通项公式a ；
n
(2)数列b
n
依次为：a,3,a ,32,33,a ,34,35,36,a ,37,38,39,310⋯，规律是在a 和a 中间插
1 2 3 4 k k+1
入kk∈N* 项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列b
n
的前
100项的和.
2200 (2024·全国·高三专题练习)设等比数列a
n
的首项为a =2，公比为q(q为正整数)，且
1
满足3a 是8a 与a 的等差中项；数列b 3 1 5 n 满足2n2-t+b n
3
n+ b =0(t∈R，n∈N*). 2 n
(1)求数列a
n
的通项公式；
(2)试确定t的值，使得数列b
n
为等差数列；
(3)当b
n
为等差数列时，对每个正整数k，在a 与a 之间插入b 个2，得到一个新数列
k k+1 k
c
n
.设T 是数列c
n n
的前n项和，试求T .
100
第 页 共 页
382 10432201 (2024·安徽滁州·校考模拟预测)已知等比数列a
n
的前n项和为S ，且S =a -
n n n+1
2n∈N* .
(1)求数列a
n
的通项公式；
(2)在a 与a 之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d 的等差数列，求数列
n n+1 n
1
d
n
的前n项和T．
n
8 题型八：蛛网图问题
2202 (2024·全国·高三专题练习)已知数列b
n
t 3
若b =2，b = b + (n∈N∗且n≥2，t
1 n 4 n-1 4
∈R)，若b n ≤2对任意n∈N∗恒成立，则实数t的取值范围是 .
2203 (2024•虹口区校级期中)已知数列{a }满足：a =0，a =ln(ean+1)-a (n∈N*)，前
n 1 n+1 n
n项和为S ，则下列选项错误的是( )(参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099)
n
A.{a }是单调递增数列，{a }是单调递减数列 B.a +a ≤ln3
2n-1 2n n n+1
C.S <670 D.a ≤a
2020 2n-1 2n
1
2204 (2024•浙江模拟)数列{a }满足a >0，a =a3-a +1，n∈N*，S 表示数列
n 1 n+1 n n n a
n
前n项和，则下列选项中错误的是 ( )
2 2
A.若04 -2
1 2 n a
n+1
2
D.若a =2，则S >
1 2000 3
2205 (2024•浙江模拟)已知数列{a }满足：a =0，a =ln(ean+1)-a (n∈N*)，前n项和
n 1 n+1 n
为S (参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099)，则下列选项中错误的是 ( )
n
A.{a }是单调递增数列，{a }是单调递减数列 B.a +a ≤ln3
2n-1 2n n n+1
C.S <666 D.a 0，且a2=3a2 -2a (n∈N*)，下
n n n n+1 n+1
列说法正确的是 ( )
1 3
A.若a = ，则a >a B.若a =2，则a ≥1+
1 2 n n+1 1 n 7
n-1
3
C.a +a ≤2a D.|a -a |≥ |a -a |
1 5 3 n+2 n+1 3 n+1 n
9 题型九：整数的存在性问题(不定方程)
2207 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
的前n项和是S ，且S =2a -n．
n n n
(1)证明：a +1
n
为等比数列；
1 1 1
(2)证明： + +⋯+ <1
a -a a -a a -a
2 1 3 2 n+1 n
(3)T 为数列b n n 的前n项和，设b n =log 2a n +1 ，是否存在正整数m，k，使b2 =2T + k+1 m
19成立，若存在，求出m，k；若不存在，说明理由．
2208 (2024·全国·高三专题练习)设a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 是各项为正数且公差为dd≠0 的等差数列
(1)证明：2a1,2a2,2a3,2a4依次成等比数列；
(2)是否存在a,d，使得a,a2,a3,a4依次成等比数列，并说明理由；
1 1 2 3 4
(3)是否存在a,d及正整数n,k，使得an,an+k,an+2k,an+3k依次成等比数列，并说明理由．
1 1 2 3 4
第 页 共 页
383 10432209 (2024·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习)数列a
n
的前n项和为S ,a =2,a
n 1 2
=4且当n≥2时，3S ,2S ,S +2n成等差数列.
n-1 n n+1
(1)求数列a
n
的通项公式；
(2)在a 和a 之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d 的等差数列，在数列
n n+1 n
d
n
中是否存在3项d ,d ,d (其中m,k,p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样
m k p
的3项；若不存在，请说明理由.
2210 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
的前n项和为S ,a =2，对任意的正整数n，
n 1
点a n+1 ,S n 均在函数fx =x图象上.
(1)证明：数列S
n
是等比数列；
(2)问a
n
中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由.
2211 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
的前n项和为S ，且a =1，a =3S +
n 1 n+1 n
1n∈N* ．
(1)求a
n
通项公式；
a
(2)设b = n ，在数列b
n n+1 n
中是否存在三项b ,b ,b (其中2k=m+p)成等比数列？若
m k p
存在，求出这三项；若不存在，说明理由．
2212 (2024·全国·高三专题练习)在①a =2，a2 -a2=3a >0,n∈N*
1 n+1 n n
，②S =n2-2n+
n
3n∈N* ，S 为a
n n
的前n项和，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下
列问题．
已知数列a
n
满足 ．
(1)求数列a
n
的通项公式；
(2)对大于1的正整数n，是否存在正整数m，使得a ，a ，a 成等比数列？若存在，求m
1 n m
的最小值；若不存在，请说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
2213 (2024·安徽六安·六安一中校考模拟预测)设正项等比数列a
n
的前n项和为S ，若S
n 3
=7，a =4．
3
(1)求数列a
n
的通项公式；
(2)在数列S
n
中是否存在不同的三项构成等差数列？请说明理由．
10 题型十：数列与函数的交汇问题
3
2214 (2022•龙泉驿区校级一模)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f -x
2
=
f(x)，f(-2)=-3，数列{a }是等差数列，若a =3，a =13，则f(a)+f(a )+f(a )+⋯
n 2 7 1 2 3
+f(a )= ( )
2015
A.-2 B.-3 C.2 D.3
100
2215 (2022•日照模拟)已知数列{a }的通项公式a =n+ ，则|a -a |+|a -a |+⋯
n n n 1 2 2 3
+|a -a |= ( )
99 100
A.150 B.162 C.180 D.210
2216 (2022秋•仁寿县月考)设等差数列{a }的前n项和为S ，已知(a -1)3+2012(a -1)
n n 4 4
=1，(a -1)3+2012(a -1)=-1，则下列结论中正确的是 ( )
2009 2009
第 页 共 页
384 1043A.S =2012，a a
2012 2009 4 2012 2009 4
C.S =2011，a a
2012 2009 4 2012 2009 4
11 题型十一：数列与导数的交汇问题
a+x
2217 (2022•全国模拟)函数f(x)= (x>0)，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线在y
1+x
11
轴上的截距为 ．
2
(1)求a；
(2)讨论g(x)=x(f(x))2的单调性；
(3)设a =1，a =f(a )，证明：2n-2|2lna -ln7|<1．
1 n+1 n n
2218 (2022•枣庄期末)已知函数f(x)=ln(2x+a)(x>0，a>0)，曲线y=f(x)在点(1，f(1)
2
)处的切线在y轴上的截距为ln3- ．
3
(1)求a；
2x
(2)讨论函数g(x)=f(x)-2x(x>0)和h(x)=f(x)- (x>0)的单调性；
2x+1
2 5-2n+1 1
(3)设a = ，a =f(a )，求证： < -2<0(n≥2)．
1 5 n+1 n 2n a
n
12 题型十二：数列与概率的交汇问题
2219 (2024·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模)甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用
2n-1局n胜制n∈N* 的比赛规则，即先赢下n局比赛者最终获胜.已知每局比赛甲获
胜的概率为p，乙获胜的概率为1-p，比赛结束时，甲最终获胜的概率为Pn∈N*
n
.
1
(1)若p= ,n=2，结束比赛时，比赛的局数为X，求X的分布列与数学期望；
2
(2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即P >P.
3 2
(i)求p的取值范围；
(ii)证明数列P
n
单调递增，并根据你的理解说明该结论的实际含义.
2220 (2024·全国·高三专题练习)马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程
具备“无记忆”的性质，即第n+1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n-1,n
-2,n-3,⋅⋅⋅次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质
地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行nn∈N* 次
操作后，记甲盒子中黑球个数为X ，甲盒中恰有1个黑球的概率为a ，恰有2个黑球的概
n n
率为b .
n
(1)求X 的分布列；
1
(2)求数列a
n
的通项公式；
(3)求X 的期望.
n
2221 (2024·全国·高三专题练习)雅礼中学是三湘名校，学校每年一届的社团节是雅礼很有特
色的学生活动，几十个社团在一个月内先后开展丰富多彩的社团活动，充分体现了雅礼中
学为学生终身发展奠基的育人理念.2022年雅礼文学社举办了诗词大会，在选拔赛阶段，
共设两轮比赛.第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令.第一轮给每位选手提供5个诗词接
龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手正确回答出下句可得
10分，若不能正确回答出下可得0分.
(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
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385 1043(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个
回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团体有相同的
机会抢答下一问题.记第n次回答的是甲的概率是P，若P =1.
n 1
①求P 和P；
3 4
1
②证明：数列P -
n 4
为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能
性的大小.
2222 (2024·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习)一对夫妻计划进行为期60天的
自驾游．已知两人均能驾驶车辆,且约定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾
1
车,另一人休息;②若前一天由丈夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为 ,由妻子
4
3 1
驾车的概率为 ;③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为 ．
4 2
(1)在刚开始的三天中,妻子驾车天数的概率分布列和数学期望;
(2)设在第n天时,由丈夫驾车的概率为p ,求数列p
n n
的通项公式．
2223 (2024·全国·高三专题练习)某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗
词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2
个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在
10秒内正确回答出下句得0分．
(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个
回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的
机会抢答下一问题．记第n次回答的是甲的概率为P，若P =1．
n 1
①求P，P；
2 3
1
②证明：数列P -
n 4
为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能
性的大小．
2224 (2024·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测)某校为减轻暑假家长的负担，开展暑期
托管，每天下午开设一节投篮趣味比赛．比赛规则如下：在A，B两个不同的地点投篮．
先在A处投篮一次，投中得2分，没投中得0分；再在B处投篮两次，如果连续两次投中
得3分，仅投中一次得1分，两次均没有投中得0分．小明同学准备参赛，他目前的水平是
3
在A处投篮投中的概率为p，在B处投篮投中的概率为 ．假设小明同学每次投篮的结
5
果相互独立．
9
(1)若小明同学完成一次比赛，恰好投中2次的概率为 ，求p；
20
3
(2)若p= ，记小明同学一次比赛结束时的得分为X，求X的分布列及数列期望．
4
2225 (2024·全国·高三专题练习)现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲
随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，
随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无
失误．
(1)设乙接到球的次数为X，通过三次传球，求X的分布列与期望；
(2)设第n次传球后，甲接到球的概率为a ，
n
1
(i)试证明数列a -
n 3
为等比数列；
(ii)解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．
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386 104313 题型十三：数列与几何的交汇问题
2226 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知正四面体ABCD中，AB=2，P，P，⋯，P
1 2 n
在线段AB上，且AP 1 =P 1 P 2 =⋯=P n-1 P n =P n B ，过点P 作平行于直线AC，BD的 1
平面，截面面积为a ，则下列说法正确的是 ( )
n
A.a =1
1
B. a
n
为递减数列
1
C.存在常数m，使 +m
a
n
为等差数列
D.设S 为数列n+1 a
n n2 n
2023 的前n项和，则S = 时，n=2023
n 506
2227 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知三棱锥A-BCD的棱长均为3，其内有n个
小球，球O 与三棱锥A-BCD的四个面都相切，球O 与三棱锥A-BCD的三个面和
1 2
球O 都相切，如此类推，⋯，球O 与三棱锥A-BCD的三个面和球O 都相切(n≥2，
1 n n-1
且n∈N∗)，球O 的表面积为S ，体积为V，则 ( )
n n n
6 3π
A.V= π B.S =
1 8 3 16
C.数列S
n
为等差数列 D.数列V
n
为等比数列
2228 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
是等差数列，p，q，s，t是互不相同
的正整数，且p+q=s+t，若在平面直角坐标系中有点As,a s ，Bp,a p ，Cq,a q ，
Dt,a t ，则下列选项成立的有 ( )
a -a 2a -a -a
A. t p = t q s B. AB
t-p 2t-q-s
=CD
C.直线AB与直线CD的斜率相等 D.直线AC与直线BD的斜率不相等
2229 (多选题)(2024·重庆·高三统考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，A为坐标原点，
B2,0 2 ，点列P在圆x+ 3 2 +y2= 16 上，若对于∀n∈N*，存在数列a 9 n ，a =6，使得 1
PB⋅a 4n+2
n = ，则下列说法正确的是 ( )
2PA⋅a 2n-1
n-1
A. a
n
为公差为2的等差数列 B. a
n
为公比为2的等比数列
C.a =4047⋅22023 D. a 2023 n 前n项和S n =2+2n-1 ⋅2n+1
2230 (多选题)(2024·广东·高三校联考阶段练习)若直线l:3x+4y+n=0n∈N* 与圆C:(x
-2)2+y2=a2(a >0)相切，则下列说法正确的是 ( )
n n
7
A.a = B.数列a
1 5 n
为等比数列
C.数列a
n
的前10项和为23 D.圆C不可能经过坐标原点
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387 10432231 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，M ,N 是圆
n n
O:x2+y2=n2上两个不同的动点，P 是M N 的中点，且满足OM ⋅ON +2OP2=
n n n n n n
0n∈N∗ ．设M ,N 到直线l: 3x+y+n2+n=0的距离之和的最大值为a ，则下列说 n n n
法中正确的是 ( )
A.向量OM 与向量ON 所成角为120°
n n
B. OP
n
=n
C.a =n2+2n
n
D.若b n = n a + n 2 ，则数列 (2bn-1) 2 ( b 2 n bn+1-1) 1 的前n项和为1- 2n+1-1
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