文档内容
专题 21.4 根与系数的关系【十大题型】
【人教版】
【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】.................................................................................................1
【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】.....................................................................3
【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】.....................................................................5
【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】.........................................................................................................8
【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】.......................................................................................10
【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】...........................................................................12
【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】.......................................................................................................15
【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】...................................................................................................17
【题型9 根与系数关系中的新定义问题】...........................................................................................................20
【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】.....................................................................................24
【知识点 一元二次方程的根与系数的关系】
b
若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的两根为x ，x ，则x +x =- ，
1 2 1 2 a
c
x ⋅x = ．
1 2 a
注意它的使用条件为，a≠0，Δ ≥0
【题型1 由根与系数的关系直接求代. 数式的值】
【例1】（2023春·广东广州·九年级统考期末）若x ，x 是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则
1 2
x2+x2+x x 的值是（ ）
1 2 1 2
A．-7 B．-1 C．1 D．7
【答案】D
b c
【分析】利用两根之和为x +x =- ，两根之积为x x = ，计算即可．
1 2 a 1 2 a
【详解】解：∵ x 、x 是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，
1 2
∴x +x =2，x x =-3，
1 2 1 2∴x2+x2+x x =(x +x ) 2-x x =4-(-3)=7，
1 2 1 2 1 2 1 2
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系的公式．
【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知m，n是一元二次方程x2+3x-2=0的两根，则
2 m+3n
-
的值是（ ）
m-n m2-n2
1 1
A．-3 B．-2 C．- D．-
3 2
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出m+n=-3，然后将分式化简，代入m+n=-3即可求解．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2+3x-2=0的两根，
∴m+n=-3，
2 m+3n
-
∴
m-n m2-n2
2(m+n)-(m+3n)
=
(m+n)(m-n)
2m+2n-m-3n
=
(m+n)(m-n)
m-n
=
(m+n)(m-n)
1
=
m+n
1
=- ，
3
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
√b √a
【变式1-2】（2023·上海·九年级假期作业）已知a，b是方程x2+6x+4=0的两个根，则b +a 的值
a b
．
【答案】-14
【分析】由根与系数关系知a+b=-6，ab=4，即知a＜0，b＜0，化简原式
√b √a (a+b) 2-2ab
b +a =-√ab( )，所以原式=-14
a b ab故答案为：﹣14．
【详解】解：∵a，b是方程x2+6x+4=0的两个根，
∴a+b=-6，ab=4，
∴a＜0，b＜0，
√b √a b a
b +a =- √ab- √ab
a b a b
b a
=-√ab( + )
a b
∴
a2+b2
=-√ab( )
ab
(a+b) 2-2ab
=-√ab( )
ab
(-6) 2-2×4
∴原式=-√4× =-2×7=-14
4
故答案为：﹣14．
【点睛】本题主要考查根与系数关系、完全平方公式变形及二次根式的运算及化简；能够根据a,b的关系
式确定其取值范围，进而准确处理二次根式的运算及化简是解题的关键．
2
【变式1-3】（2023春·九年级单元测试）已知x 、x 是方程x2-7x+8=0的两根，且x >x ，则
1 2 1 2 x +3x
1 2
的值为 ．
28+2√17
【答案】
179
7-√17
【分析】由题意可得x +x =7，x = ，然后代入所求式子计算即可.
1 2 2 2
【详解】解：∵x 、x 是方程x2-7x+8=0的两根，
1 2
7±√72-4×8 7±√17
∴x +x =7，x= = ，
1 2
2 2
∵x >x ，
1 2
7-√17
∴x = ，
2 2
2 2 2 2 28+2√17
= = = =
∴x +3x x +x +2x 7-√17 14-√17 179 ；
1 2 1 2 2 7+2×
2
28+2√17
故答案为： .
179
【点睛】本题考查了一元二次方程的求解、根与系数的关系以及二次根式的混合运算，熟练掌握一元二次方程的相关知识、正确计算是解题的关键.
【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】
【例2】（2023春·浙江·九年级专题练习）设α、β是方程 x2+x+2012=0的两个实数根，则 α2+2α+β
的值为（ ）
A．－2014 B．2014 C．2013 D．－2013
【答案】D
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到x2+x+2012=0，即α2+α=-2012，则α2+2α+β可化为
α2+α+α+β=-2012+α+β，然后利用根与系数的关系得到α+β=-1，再利用整体代入的方法计算即可．
【详解】∵α是方程x2+x+2012=0的根，
∴α2+α+2012=0，即α2+α=-2012，
∴α2+2α+β=α2+α+α+β=-2012+α+β，
∵α，β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，
∴α+β=-1，
∴α2+2α+β=-2012-1=-2013．
故选D．
【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0
1 2
b c
（a≠0）的两根时，x+x=- ，xx= ．
1 2 a 1 2 a
【变式2-1】（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）已知a，b是关于x的一元二次方程x2+3x-1=0的两
个实数根，则(a+2) 2+b的值为( )
3
A． B．5 C．2 D．-2
2
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的根的定义可得a2+3a=1，根据一元二次方程根与系数的关系可得ab=-1，
代入代数式即可求解．
【详解】解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2+3x-1=0的两个实数根，
∴a2+3a=1，a+b=-3
∴(a+2) 2+b =a2+4a+4+b=a2+3a+a+b+4=1-3+4=2，
故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，得出a2+3a=1，
a+b=-3是解题的关键．
【变式2-2】（2023·江西萍乡·校考模拟预测）若α、β是一元二次方程x2-3x-9=0的两个根，则
α2-4α-β的值是 ．
【答案】6
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得α+β=3，由根的定义可得α2-3α=9，代入即可得答案．
【详解】∵α2-3α=9，α+β=3，
∴α2-4α-β=α2-3α-α-β=(α2-3α)-(α+β)=6．
故答案为：6
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及方程根的概念．
【变式2-3】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）已知α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，则
(α2+2024α+2)(β2+2024β+2)的值为（ ）
A．-2021 B．2021 C．-2023 D．2023
【答案】A
【分析】由α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，根据根于系数关系可得，α⋅β=1，α+β=-2023，
由一元二次方程根的定义可得α2+2023α+1=0，β2+2023β+1=0，即可求解；
【详解】∵ α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，
∴α2+2023α+1=0，
β2+2023β+1=0，
α⋅β=1，α+β=-2023，
∴(α2+2024α+2)(β2+2024β+2)
=(α2+2023α+1+α+1)(β2+2023β+1+β+1)
=(α+1)(β+1)
=α⋅β+α+β+1
=1-2023+1
=-2021
故选A．
【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键．
【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】
【例3】（2023春·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）若p、q是方程x2-3x-1=0的两个不
相等的实数根，则代数式p3-4 p2-2q+5的值为 ．
【答案】-2
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到p2-3p-1=0，再根据根与系数的关系得到p+q=3，然后利
用整体思想计算即可．
【详解】∵若p、q是方程x2-3x-1=0的两个不相等的实数根，
∴p2-3p-1=0，p+q=3，
∴p2=3p+1，
∴p3-4 p2-2q+5
=p(p2-3p-1)-p2+p-2q+5
=-p2+p-2q+5
=-3p-1+p-2q+5
=-2p-2q+4
=-2(p+q)+4
=-2×3+4
=-2，
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数的关系，一元二次方程的解，利用整体思想
降次消元是解题的关键．
【变式3-1】（2023春·山东日照·九年级统考期末）已知a，b是方程x2-x-3=0的两个根，则代数
a2+2b2+a+ab的值为 ．
【答案】8
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义，得
a+b=1，ab=-3，b2-b-3=0，a2-a-3=0，再代入降次求值即可．
【详解】解：由题意，得a+b=1，ab=-3，b2-b-3=0，a2-a-3=0，
b2=b+3，a2=a+3，
原式=a+3+2b+6+a-3，
=2(a+b)+6，=2×1+6，
=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，整式的化简求值，本题的关键是熟练掌握一元二次方
程根与系数的关系．
【变式3-2】（2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知α、β是方程x2+x-1=0的两根，则
α4β-β3+5的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得出α+β=-1，αβ=-1，α2=1-α，β2=1-β，
再对所求式子变形整理，求出答案即可．
【详解】解：∵α、β是方程x2+x-1=0的两根，
∴α+β=-1，αβ=-1，α2=1-α，β2=1-β，
∴α4β-β3+5
=α3×(-1)-β3+5
=-α(1-α)-β(1-β)+5
=-α+α2-β+β2+5
=-α+1-α-β+1-β+5
=-2(α+β)+7
=-2×(-1)+7
=9，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c
b c
为常数，a≠0）的两根为x ，x ，则x +x =- ，x ⋅x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
【变式3-3】（2023春·九年级课时练习）已知a，b是方程x2-x-1=0的两根，则代数式
2a3+5a+3b3+3b+1的值是（ ）
A．19 B．20 C．14 D．15
【答案】D
【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用
降次的方法即可求得结果的值．【详解】∵a与b是方程x2-x-1=0的两根
∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0
∴a2=a+1，b2=b+1
∵a3=a2·a=(a+1)a=a2+a=a+1+a=2a+1，同理：b3=2b+1
∴2a3+5a+3b3+3b+1
=2(2a+1)+5a+3(2b+1)+3b+1
=9a+9b+6
=9(a+b)+6
=9×1+6
=15
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行
整式的运算是解题的关键．
【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】
【例4】（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程x2-8x+m=0两根为x 、x ，且
1 2
x =3x ，则m的值为（ ）
1 2
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x +x =8，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求
1 2
解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2-8x+m=0两根为x 、x ，
1 2
∴x +x =8，
1 2
∵x =3x ，
1 2
∴x =2,x =6，
2 1
∴m=x x =12，
1 2
故选：C．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．
【变式4-1】（2023·上海·九年级校考期中）已知关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0的两根为x ,x 满
1 2
足：x2+x2=16+x x ，求实数k的值
1 2 1 2【答案】k=-2
【分析】利用根的判别式求出k的取值范围，利用根与系数的关系求出x +x =1-2k，x x =k2-1，代
1 2 1 2
入x2+x2=16+x x ，即可求得k的值.
1 2 1 2
【详解】解：∵关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0的两根为x ,x
1 2
∴Δ=b2-4ac=(2k-1) 2-4×1×(k2-1)≥0
5
解得：k≤
4
x +x =1-2k，x x =k2-1
1 2 1 2
∵x2+x2=16+x x
1 2 1 2
∴x2+x2-x x =16
1 2 1 2
(x +x ) 2-3x x =16
1 2 1 2
代入x +x =1-2k，x x =k2-1 得：
1 2 1 2
(1-2k) 2-3(k2-1)=16
解得：k =6,k =-2
1 2
5
∵k≤
4
∴k=-2
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程求解，熟练掌握相关知识
点是解题关键.
【变式4-2】（2023春·广东佛山·九年级校考阶段练习）方程x2-(k2-4)x+k+1=0的两个实数根互为相
反数，则k的值是 ．
【答案】-2
【分析】设方程的两根分别为x ，x ，根据根与系数的关系得到x +x =k2-4=0，解得k=±2，然后分
1 2 1 2
别计算Δ，最后确定k=-2．【详解】解：设方程的两根分别为x ，x ，
1 2
∵方程x2-(k2-4)x+k+1=0的两个实数根互为相反数，，
∴x +x =k2-4=0，解得k=±2，
1 2
当k=2，方程变为：x2+3=0，Δ =-12＜0，方程没有实数根，所以k=2舍去；
当k=-2，方程变为：x2-1=0，Δ =4＞0，方程有两个不相等的实数根；
∴k=-2．
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根与系数的关系：若方程
b c
的两根分别为x ，x ，则x +x =- ； x ⋅x = ．也考查了一元二次方程的根的判别式Δ=b2-4ac：
1 2 1 2 a 1 2 a
当Δ ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ =0，方程有两个相等的实数根；当Δ ＜0，方程没有实
数根．
【变式4-3】（2023春·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若m、n是关于x的方程
1 1
x2+(2k+3)x+k2=0的两个不相等的实数根，且 + =-1，则k的值为 ．
m n
【答案】3
1 1
【分析】根据根与系数的关系得到m+n=-2k-3，mn=k2，再根据 + =-1得到k2-2k-3=0，解方
m n
程求出k的值，最后用根的判别式验证是否符合题意即可．
【详解】解：∵m、n是关于x的方程x2+(2k+3)x+k2=0的两个不相等的实数根，
∴m+n=-2k-3，mn=k2，
1 1
∵ + =-1，
m n
m+n
∴ =-1，即m+n=-mn，
mn
∴-(-2k-3)=k2，
∴k2-2k-3=0，
解得k=3或k=-1，
又∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=(2k+3) 2-4k2>0，3
∴k>- ，
4
∴k=3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，熟知一元二次方
程的相关知识是解题的关键．
【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】
【例5】（2023春·江苏南京·九年级专题练习）关于x的方程(x-2)(x+1)=p2（p为常数）根的情况，下列
结论中正确的是（ ）
A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实
数根
【答案】C
【分析】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：由题意得：方程可化为x2-x-2-p2=0，
∴Δ=(-1) 2-4(-2-p2)=1+8+4 p2=4 p2+9>0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
设该方程的两个根为x ,x ，则根据根与系数的关系可知：x ⋅x =-2-p2<0，
1 2 1 2
∴该方程的两个根为一正一负，
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及
根与系数的关系是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）方程2x2-3x+1=0根的符号是（ ）
A．两根一正一负 B．两根都是负数 C．两根都是正数 D．无法确定
【答案】C
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分析求解．
3 1
【详解】解：2x2-3x+1=0的两根分别为x ，x ，则x +x = >0，x ⋅x = >0，
1 2 1 2 2 1 2 2
∴方程的两根同号，且两根都是正数，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x ，x 满
1 2b a
足x +x =- ，x ⋅x = 是解题关键．
1 2 a 1 2 c
【变式5-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是△ABC的三条边
c
的长，那么方程cx2+(a+b)x+ =0的根的情况是（ ）
4
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个不等的负实根 D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】首先根据根的判别式Δ=b2-4ac，结合三角形三边关系，得出方程有两个不相等的实数根，再根
据根与系数的关系，判断出两根之和和两根之积的符号，即可作出判断．
c
【详解】解：在方程cx2+(a+b)x+ =0中，
4
c
可得：Δ=(a+b) 2-4c⋅ =(a+b) 2-c2 ，
4
∵a、b、c是△ABC的三条边的长，
∴a>0，b>0，c>0．a+b>c，即(a+b) 2>c2，
∴(a+b) 2-c2>0，
∴Δ>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
c
a+b
又∵两根的和是- <0，两根的积是4 1 ，
c = >0
c 4
∴方程有两个不等的负实根．
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，解本
题的关键在熟练掌握根据一元二次方程根与系数的关系，判断出方程有两个不等的负实根．
【变式5-3】（2023·九年级统考课时练习）已知a<0，b>0，c<0，则方程ax2-bx-c=0的根的情况是
（ ）.
A．有两个负根 B．两根异号且正根绝对值较大
C．有两个正根 D．两根异号且负根绝对值较大
【答案】D【分析】先计算△=b2+4ac，由a＜0，b＞0，c＜0，得到△＞0，然后根据判别式的意义得到方程有两个实
-c b
数根．设方程两根为x，x．由x x = <0得到方程有异号两实数根，再由x +x = <0得到负根的绝对
1 2 1 2 a 1 2 a
值大．
【详解】△=（﹣b）2﹣4•a•（﹣c）=b2+4ac．
∵a＜0，b＞0，c＜0，∴b2＞0，ac＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．
设方程两根为x，x．
1 2
-c
∵x x = <0，∴方程有异号两实数根．
1 2 a
b
∵x +x = <0，∴负根的绝对值大．
1 2 a
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式和根与系数的关系．当△＞0，方程有
两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】
13
【例6】（2023·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+ ﹣m＝0有两个不相等的实数根x 和x，且x+x
4 1 2 1 2
21
＞﹣3，xx＜ ，则m的取值范围为多少？
1 2 4
【答案】﹣2＜m＜1或3＜m＜7
【分析】由方程有两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于m的不等式，解不等式即可得出m的取
值范围，结合根与系数的关系可得出关于m的不等式，解不等式可得出答案．
13
【详解】解：∵方程x2+（m﹣4）x+ ﹣m＝0有两个不相等的实数根，
4
(13 )
∴b2﹣4ac＝(m﹣4) 2﹣4× -m ＞0，
4
整理得：m2-4m+3>0，
即(m-3)(m-1)>0，
根据乘法法则得：¿或¿，
解前一不等式组得：m＞3；解后一不等式组得：m＞1，
∴原不等式的解集为：m＞3或m＜1；
b
由题意得x+x＝- ＝（4﹣m）＞﹣3，
1 8 a解得m＜7；
c 13 21
∵xx＝ = -m< ，
1 2 a 4 4
解得m＞﹣2．
综上所述，﹣2＜m＜1或3＜m＜7．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，根据题意得出关于m的不等式是解题的关键
【变式6-1】（2023·山东日照·日照港中学统考二模）已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0的实数
根x ,x ，满足3x x -x -x >5，则m的取值范围是 ．
1 2 1 2 1 2
【答案】40，
解得：k≠-13，-k-9
∵x x = ，x =-1，
1 2 4 1
k+9
∴x =
2 4
又∵00，
2 2
解得：- 0，
1 2
∴(x +1)(x +1)<0，
1 2
∴x x +(x +x )+1<0，
1 2 1 2
a+2
即9- +1<0，
a2
当a<0时，解得a> （舍去）；
9
2
当a>0时，解得00即b2-4ac>0，
∴此时N的判别式△=b2-4ac>0，
∴N也有两个不相等的实数根，故此选项正确，不符合题意；
c
B、∵M的两根符号相同：即x ⋅x = >0，
1 2 a
a
∴N的两根之积 也大于0，
c
∴N的两个根也是同号的，故此选项正确，不符合题意；
1
C、如果5是M的一个根，则：25a+5b+c=0①，我们只需要考虑将 代入N方程看是否成立，代入得：
5
1 1
c+ b+a=0②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到，故②式成立，故此选项正确，
25 5
不符合题意；
D、比较方程M与N可得：ax2+bx+c-cx2-bx-a=0，
∴(a-c)x2=a-c，
∵a-c≠0，
∴x2=1，
∴x=±1，
∴它们如果有根相同的根可能是1或-1，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，根与系数的关系以及一元二次方程的解的意义，解题的关键是熟练b c
掌握一元二次方程，根的判别式△=b2-4ac，根与系数的关系x +x =- ，x ⋅x = ．
1 2 a 1 2 a
【变式8-2】（2023春·安徽合肥·九年级校考期末）关于x的一元二次方程x2+px+q=0有两个同号非零整
数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p=0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ）
A．p是正数，q是负数 B．(p-2) 2+(q-2) 2＜8
C．q是正数，p是负数 D．(p-2) 2+(q-2) 2>8
【答案】D
【分析】设方程x2+px+q＝0的两根为x、x，方程y2+qy+p＝0的两根为y、y．根据方程解的情况，结合
1 2 1 2
根与系数的关系可得出x•x＝q＞0，y•y＝p＞0，即可判断A与C；②由方程有两个实数根结合根的判别
1 2 1 2
式得出p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，利用不等式的性质以及完全平方公式得出（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8，即可判
断B与D．
【详解】解：设方程x2+px+q＝0的两根为x、x，方程y2+qy+p＝0的两根为y、y．
1 2 1 2
∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个
同号非零整数根，
∴x•x＝q＞0，y•y＝p＞0，
1 2 1 2
故选项A与C说法均错误，不符合题意；
∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个
同号非零整数根，
∴p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，
∴（p﹣2）2+（q﹣2）2＝p2﹣4q+4+q2﹣4p+4＞8（p、q不能同时为2，否则两个方程均无实数根），
故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项说法的正误是解题的关键．
【变式8-3】（2023春·九年级单元测试）一元二次方程M:ax2+bx+c=0；N:cx2+bx+a=0，其中
ac≠0，a≠c，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数
1
根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则 是方程
m
N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是x=1，其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①③④【答案】B
【分析】根据根的判别式，根的定义，计算判断即可．
【详解】∵M:ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2-4ac＞0，
∵N:cx2+bx+a=0的判别式为Δ=b2-4ca=b2-4ac＞0，
∴方程N也有两个不相等的实数根，
故①正确；
∵M:ax2+bx+c=0两根符号相同，
c
∴Δ=b2-4ac≥0, ＞0，
a
a
∴Δ=b2-4ac≥0, ＞0，
c
∴方程N的两根符号也相同，
故②正确；
∵m是方程 M:ax2+bx+c=0的一个根，
∴am2+bm+c=0，
c 1 c+bm+am2
∵ +b× +a= =0
m2 m m2
1
∴ 是方程N的一个根；
m
故③正确；
设方程M和方程N相同的根为x ，
0
根据题意，得ax 2+bx +c=0,cx 2+bx +a=0，
0 0 0 0
∴(a-c)x 2=a-c，
0
∵ac≠0，a≠c，
∴x 2=1，
0
解得x =±1，
0
故这个根是x=±1，
故④错误；
故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，公共根，方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数
的值，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
【题型9 根与系数关系中的新定义问题】
【例9】（2023春·山东日照·九年级日照市田家炳实验中学校考阶段练习）定义：如果实数a、b、c满足
a²+b²=c²， 那么我们称一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)为“勾股”方程；二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)为“勾
股”函数．
(1)理解：下列方程是“勾股”方程的有 ．
1 1 1
①x²-1=0；②x2-x+√2=0；③ x2+ x+ =0；④4x²+3x=5
3 4 5
(2)探究：若m、n是“勾股”方程 ax²+bx+c=0 的两个实数根，试探究m、n之间的数量关系．
【答案】(1)①②④；
(2)m2n2-(m+n)2=1；
【分析】（1）运用“勾股”方程的定义，即可得出答案；
b c
（2）利用根与系数关系可得：m+n=- ，mn= ，再结合a2+b2=c2，即可得出答案；另解：根据题意可得：
a a
am2+bm+c=0①，an2+bn+c=0②，再结合a2+b2=c2，即可得出答案；
【详解】（1）根据“勾股”方程的定义，在方程x2-1=0中，a=1，b=0，c=-1，
∵a2+b2=1，c2=1，
∴a2+b2=c2，
∴一元二次方程x2-1=0为“勾股”方程；
在方程x2-x+√2=0中，a=1，b=-1，c=√2，
∵a2+b2=12+(-1)2=2，c2=(√2)2=2，
∴a2+b2=c2，
∴一元二次方程x2-x+√2=0为“勾股”方程；
1 1 1 1 1 1
在方程 x2+ x+ =0中，a= ，b= ，c= ，
3 4 5 3 4 5
1 2 1 2 25 1 2 1
∵a2+b2=( ) +( ) = ，c2=( ) = ，
3 4 144 5 25
∴a2+b2≠c2，
1 1 1
∴一元二次方程 x2+ x+ =0不是“勾股”方程；
3 4 5
在方程4x2+3x=5中，a=4，b=3，c=-5，∵a2+b2=42+32=25，c2=(-5)2=25，
∴a2+b2=c2，
∴一元二次方程4x2+3x=5为“勾股”方程；
故答案为：①②④；
（2）m2n2-(m+n)2=1；理由如下：
∵m、n是“勾股”方程ax2+bx+c=0的两个实数根，
b c
∴m+n=- ，mn= ，
a a
又根据“勾股”方程的定义，a2+b2=c2，
c 2 b 2 c2-b2
∴(mn)2-(m+n)2=( ) -(- ) = =1，
a a a2
即m2n2-(m+n)2=1；
另解：∵m、n是“勾股”方程ax2+bx+c=0的两个实数根，
∴am2+bm+c=0①，an2+bn+c=0②，
由①、②得：b=-(m+n)a，c=mna，
又∵a2+b2=c2，
∴a2+(m+n)2a2=(mn)2a2，
即m2n2-(m+n)2=1；
【点睛】本题主要考查新定义问题，一元二次方程根与系数关系，理解并应用新定义是解题的关键．
【变式9-1】（2023春·河南安阳·九年级校联考期中）定义运算：a*b=a(1-b)．若a，b是方程
x2-x+m=0(m<0)的两根，则b*b-a*a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
【答案】A
【分析】由根与系数的关系可找出a+b=1，根据新运算找出b*b-a*a=b(1-b)-a(1-a)，将其中的1
替换成a+b，即可得出结论．
【详解】解：∵a，b是方程x2-x+m=0(m<0)的两根，
∴a+b=1，
∴b*b-a*a=b(1-b)-a(1-a)=b(a+b-b)-a(a+b-a)=ab-ab=0．
故选A．
【点睛】本题考查定义新运算，一元二次方程根与系数的关系．理解并掌握新运算的法则，掌握一元二次
方程根与系数的关系，是解题的关键．【变式9-2】（2023春·广东揭阳·九年级校联考阶段练习）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知x2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相
等的实数根，求m2+n2的值．
【答案】5
【分析】①根据凤凰方程的定义可知：x=1是方程的一个根，以及方程有两个相等的实数根，Δ=0，求出
m,n的值，再进行计算即可；②利用凤凰方程的定义、根据系数法的关系求解．
【详解】解：法一：根据题意得：
¿
解得：¿，
则m2+n2=(-2) 2+12=5．
法二：∵x2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，
∴x2+mx+n=0的两个根均为1，
∴-m=1+1=2,n=1×1=1，
∴m=-2,n=1，
∴m2+n2=(-2) 2+12=5．
【点睛】本题考查一元二次方程的解和一元二次方程判别式与根的个数的关系．理解凤凰方程的定义，得
到x=1是方程的一个根，是解题的关键．本题也可以利用根与系数的关系进行解题．
【变式9-3】（2023春·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）已知：α、β(α>β)是一元二次方程x2-x-1=0的
两个实数根，设S =α+β，S =α2+β2 ，……S =αn+βn ．
1 2 n
根据根的定义，有α2-α-1=0、β2-β-1=0，将两式相加，得(α2+β2 )-(α+β)-2=0，于是
S -S -2=0
2 1
根据以上信息，解答下列问题．
(1)求α、β的值，并利用一元二次方程根与系数关系，求出S 的值．
2
(2)猜想：当n⩾3时，S 、S 、S 之间满足的数量关系，并证明你的猜想．
n n-1 n-2
【答案】(1)3
(2)当n⩾3时，S =S +S ，理由见解析
n n-1 n-2【分析】（1）利用根与系数的关系得到α+β=1，αβ=-1，接着根据完全平方公式得到
S =α2+β2=(α+β) 2-2αβ，然后利用整体代入的方法计算；
2
（2）由于α+β=1，αβ=-1，则
S =αn+βn=(αn-1+βn-1 )(α+β)-αn-1β-αβn-1=(αn-1+βn-1 )+(αn-2+βn-2 )，从而得到S =S +S ．
n n n-1 n-2
【详解】（1）解：∵α、β(α>β)是一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根，
其中a=1，b=-1，c=-1，
b c
根据根与系数的关系得α+β=- =1，αβ= =-1，
a a
∴S =α2+β2=(α+β) 2-2αβ=12-2×(-1)=3；
2
（2）解：猜想当n⩾3时，S =S +S ．
n n-1 n-2
理由如下：
∵α+β=1，αβ=-1，
∴S =αn+βn=(αn-1+βn-1 )(α+β)-αn-1β-αβn-1=(αn-1+βn-1 )(α+β)-αβ(αn-2+βn-2 )=(αn-1+βn-1 ，)+(αn-2+βn-2 )
n
∵S =αn-1+βn-1 ，S =αn-2+βn-2 ，
n-1 n-2
∴S =S +S ．
n n-1 n-2
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，掌握一元二次方程根与系数关系并进行合理的推理论证
是解题的关键．
【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】
【例10】（2023春·广东广州·九年级广州白云广雅实验学校校考阶段练习）已知关于x的方程
1
x2-(k+1)x+ k2+1=0有两实数根x ，x ，
4 1 2
(1)若x x =5，求k的值．
1 2
(2)是否存在实数k满足|x |=x ，若存在请求出k的值，若不存在请说明理由．
1 2
【答案】(1)k=4
3
(2)k=
21 1
【分析】（1）利用根与系数的关系得到x x = k2+1，再由x x =5得到 k2+1=5，解方程求出k=±4，
1 2 4 1 2 4
再根据方程有解，利用根的判别式求出k的范围即可得到答案；
（2）由题意可得x =±x ，当x =x ，方程有两个相等的实数根，利用根的判别式求解即可；当x =-x 时，
1 2 1 2 1 2
则x +x =0，利用根与系数的关系求解即可．
1 2
1
【详解】（1）解：∵关于x的方程x2-(k+1)x+ k2+1=0有两实数根x ，x ，
4 1 2
1
∴x x = k2+1，
1 2 4
又∵x x =5，
1 2
1
∴
k2+1=5，
4
解得k=±4；
∵方程要有实数根，
∴Δ=[-(k+1)] 2 -4 (1 k2+1 ) ≥0，
4
∴k2+2k+1-k2-4≥0，
3
解得k≥ ，
2
∴k=4；
（2）解：∵|x |=x ，
1 2
∴x =±x ，
1 2
当x =x 是，则Δ=[-(k+1)] 2 -4 (1 k2+1 ) =0，
1 2 4
∴k2+2k+1-k2-4=0，
3
解得k= ；
2
当x =-x 时，则x +x =0，
1 2 1 2
又∵x +x =k+1，
1 2
∴k=-1（舍去）；
3
综上所述，存在实数k= 满足|x |=x ．
2 1 2
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键．
【变式10-1】（2023春·黑龙江大庆·九年级统考阶段练习）已知关于x的方程x2+2x+m=0有两个不相等
的实数根．
(1)求m的取值范围．
(2)若两个实数根分别是x ，x ，且(x x -1) 2+2(x +x )=0，求m的值．
1 2 1 2 1 2
【答案】(1)m<1
(2)m=-1
【分析】（1）根据题意可得Δ>0，继而求得实数m的取值范围；
（2）由方程的两个实数根为x 、x ，且x2+x2+(x x ) 2=7，可得方程m2+2m-3=0，解关于m的方程求
1 2 1 2 1 2
得答案．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根．
∴ Δ=b2-4ac=22-4×1×m>0，
即m<1；
（2）解：由根与系数的关系可知：x +x =-2，x ⋅x =m，
1 2 1 2
∵ (x x -1) 2+2(x +x )=0，
1 2 1 2
∴(m-1) 2-4=0
∴m-1=±2，
解得m=3或m=-1，
而m<1，
∴m的值为-1．
【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根，若二次项
系数为1，常用以下关系：x ，x 是方程x2+px+q=0的两根时，x +x =-p，x x =q．
1 2 1 2 1 2
【变式10-2】（2023·安徽·模拟预测）关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有两个实数根x ，x ，
1 2
若(x -x +2)(x -x -2)+2x x =-3，则k= ．
1 2 1 2 1 2
【答案】2
【分析】由根与系数的关系可得出x +x =k-1，x x =-k+2，结合
1 2 1 2(x -x +2)(x -x -2)+2x x =-3可求出k的可能值，根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0可得出关于
1 2 1 2 1 2
k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0的两个实数根为x ，x ，
1 2
∴x +x =k-1，x x =-k+2．
1 2 1 2
∵(x -x +2)(x -x -2)+2x x =-3，即(x +x ) 2-2x x -4=-3，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∴(k-1) 2+2k-4-4=-3，
解得：k=±2．
∵关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有实数根，
∴ Δ=[-(k-1)] 2-4×1×(-k+2)≥0，
解得：k≥2√2-1或k≤-2√2-1，
∴k=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合
(x -x +2)(x -x -2)+2x x =-3，求出k的值是解题的关键．
1 2 1 2 1 2
1
【变式10-3】（2023·浙江·九年级假期作业）已知，关于x的方程x2-(k+1)x+ k2+1=0有两个实数根．
4
(1)求k的取值范围．
(2)若方程的两实根为x ，x 且满足|x |+|x |=4x x -5，求k的值．
1 2 1 2 1 2
(3)当k为何值时，式子(x +1)(x +1)+2有最小值，并求出该最小值．
1 2
3
【答案】(1)k≥
2
(2)k=2
3 113
(3)当k= ，有最小值，最小值为
2 16
【分析】（1）根据方程有两个实数根可得Δ=b2-4ac≥0，解不等式即可求得；1
（2）由根与系数的关系可得x +x =k+1>0，x ·x = k2+1>0，代入|x |+|x |=4x x -5中求解出k
1 2 1 2 4 1 2 1 2
即可；
1
（3）由x +x =k+1，x ·x = k2+1，将(x +1)(x +1)+2进行变形，再代入根据二次函数的性质求解
1 2 1 2 4 1 2
即可．
【详解】（1）由题意可得：Δ=b2-4ac≥0，
∴[-(k+1)] 2 -4×1× (1 k2+1 ) ≥0，
4
2k-3≥0，
3
解得k≥ ；
2
3
（2）∵k≥ ，
2
∴x +x =k+1>0，
1 2
1
又∵x ·x = k2+1>0，
1 2 4
∴|x |+|x |=x +x =k+1，
1 2 1 2
∵|x |+|x |=4x x -5，
1 2 1 2
∴k+1=4 (1 k2+1 ) -5，
4
∴k2-k-2=0，
∴k =-1，k =2，
1 2
3
又∵k≥ ，
2
∴k=2；
1
（3）∵x +x =k+1，x ·x = k2+1，
1 2 1 2 4
∴(x +1)(x +1)+2，
1 2
=x ·x +x +x +3，
1 2 1 2
1
=
k2+1+k+1+3，
41
= (k+2) 2+4，
4
3
∵k≥ ，
2
3 1 (3 ) 2 113
∴当k= ，有最小值，最小值为 × +2 +4= ．
2 4 2 16
【点睛】本题考查了(a，a，b，c为常数)的根的判别式和其根与系数的关系、二次函数的性质，解决本题
的关键是掌握以上基本的性质并加以运用．
