第53讲传统方法求角度与距离_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第53讲 传统方法求角度与距离 知识梳理 知识点1：线与线的夹角 平行直线 共面直线 (1)位置关系的分类： 相交直线 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成 的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． π ②范围：(0， ] 2 ③求法：平移法：将异面直线a，b平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形． 知识点2：线与面的夹角 ①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角． π ②范围：[0， ] 2 ③求法： 常规法：过平面外一点B做BB⊥平面α，交平面α于点B'；连接AB，则∠BAB即为 BB 直线AB与平面α的夹角．接下来在Rt△ABB 中解三角形．即sin∠BAB = = AB h (其中h即点B到面α的距离，可以采用等体积法求h，斜线长即为线段AB的长度)； 斜线长 知识点3：二面角 (1)二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为 二面角的棱，这两个平面称为二面角的面．(二面角α-l-β或者是二面角A-CD-B) (2)二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分 别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围[0，π]． (3)二面角的求法 法一：定义法 在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面 角的平面角，如图在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内 作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角(当然两条 垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可)． 第 页 共 页 493 1043法二：三垂线法 在面α或面β内找一合适的点A，作AO⊥β于O，过A作AB⊥c于B，则BO为斜线 AB在面β内的射影，∠ABO为二面角α-c-β的平面角．如图1，具体步骤： ①找点做面的垂线；即过点A，作AO⊥β于O； ②过点(与①中是同一个点)做交线的垂线；即过A作AB⊥c于B，连接BO； ③计算：∠ABO为二面角α-c-β的平面角，在Rt△ABO中解三角形． 图1 图2 图3 法三：射影面积法 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的 S S 都可利用射影面积公式(cosθ= 射 = △A'B'C'，如图2)求出二面角的大小； S S 斜 △ABC 法四：补棱法 当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确 的交线(称为补棱)，然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时， 也可直接用法三的摄影面积法解题． 法五：垂面法 由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所 成的角，就是二面角的平面角． 例如：过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，面ABC交棱a于点O，则 ∠BOC就是二面角的平面角．如图3．此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析 了． 知识点4：空间中的距离 求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解． 必考题型全归纳 1 题型一：异面直线所成角 2661 (2024·四川绵阳·绵阳中学校考二模)如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD，点M，N分别     在上、下底面圆上，NB=2AN，CM=2DM，AB=2，BC=3，则异面直线AM与CN所 成角的余弦值为 ( ) 第 页 共 页 494 10433 30 3 30 3 3 A. B. C. D. 10 20 5 4 2662 (2024·全国·高三校联考开学考试)如图，在直三棱柱ABC-ABC 中，AB=BC= 1 1 1 AC=AA ，则异面直线AB 与BC 所成角的余弦值等于 ( ) 1 1 1 3 1 1 1 A. B. C. D. 2 2 3 4 5π 2663 (2024·江西·高三统考阶段练习)如图，二面角α-l-β的大小为 ,a⊂α,b⊂β，且a与 6 π 交线l所成的角为 ，则直线a,b所成的角的正切值的最小值为 ( ) 3 39 3 3 13 A. 3 B. C. D. 13 3 13 2664 (2024·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测)在正三棱柱ABC-ABC 中，AB 1 1 1 =AA ，D为AB 的中点，E为AC 的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为 1 1 1 1 1 ( ) 6 35 35 35 A. B. C. D. 6 10 14 7 π 2665 (2024·全国·高三对口高考)两条异面直线a、b所成角为 ,一条直线l与a、b成角都等 3 于α，那么α的取值范围是 ( ) π π A.   ,  3 2  π π B.   ,  6 2  π 5π C.   ,  6 6  π 2π D.   ,  3 3  2666 (2024·四川·校联考模拟预测)在正四棱台ABCD-ABCD 中，AB=2AB =4，其体 1 1 1 1 1 1 第 页 共 页 495 104328 2 积为 ,E为BD 的中点，则异面直线AD 与BE所成角的余弦值为 ( ) 3 1 1 1 3 3 3 3 30 A. B. C. D. 10 5 10 10 2667 (2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模)正三棱柱ABC-ABC 的棱长 1 1 1 均相等，E是BC 的中点，则异面直线AB 与BE所成角的余弦值为 ( ) 1 1 1 2 2 10 3 10 A. B. C. D. 4 3 20 20 2 题型二：线面角 2668 (2024·贵州贵阳·校联考三模)如图，在直三棱柱ABC-ABC 中，AB=AC=AA ， 1 1 1 1 ∠BAC=60°，则AB 与平面AACC所成角的正弦值等于 ( ) 1 1 1 2 3 6 10 A. B. C. D. 2 2 4 4 2669 (2024·全国·高三专题练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⎳CD，∠ABC=90°， △ADP是等边三角形，AB=AP=2，BP=3，AD⊥BP. (1)求BC的长度； (2)求直线BC与平面ADP所成的角的正弦值. 2670 (2024·广东阳江·高三统考开学考试)在正三棱台ABC-ABC 中，AB=6，AB = 1 1 1 1 1   AA =3，D为AC 中点，E在BB 上，EB=2BE. 1 1 1 1 1 第 页 共 页 496 1043(1)请作出AB 与平面CDE的交点M，并写出AM与MB 的比值(在图中保留作图痕 1 1 1 1 迹，不必写出画法和理由)； (2)求直线BM与平面ABC所成角的正弦值. 2671 (2024·海南海口·海南华侨中学校考二模)如图，在多面体ABC-DEFG中，平面ABC ∥平面DEFG，底面ABC是等腰直角三角形，AB=BC= 2，侧面ACGD是正方形， DA⊥平面ABC，且FB∥GC，GE⊥DE. (1)证明：AE⊥GE． (2)若O是DG的中点，OE∥平面BCGF，求直线OE与平面BDG所成角的正弦值． 2672 (2024·全国·高三专题练习)在三棱锥O-ABC中，AB=BC=OB=2,∠ABC=120°， 平面BCO⊥平面ABC，且OB⊥AB. (1)证明：OB⊥AC； (2)若F是直线OC上的一个动点，求直线AF与平面ABC所成的角的正切值最大值. 2673 (2024·湖南邵阳·高三统考学业考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边 长为2的正方形，AC与BD交于点O，PA⊥面ABCD，且PA=2. (1)求证BD⊥平面PAC.； 第 页 共 页 497 1043(2)求PD与平面PAC所成角的大小． 2674 (2024·全国·高三专题练习)如图，在三棱柱ABC-ABC 中，AC⊥底面ABC， 1 1 1 1 ∠ACB=90°,AA =2，A 到平面BCCB 的距离为1． 1 1 1 1 (1)证明：AC=AC； 1 (2)已知AA 与BB 的距离为2，求AB 与平面BCCB 所成角的正弦值． 1 1 1 1 1 2675 (2024·全国·模拟预测)如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，BE⊥平 2 3 面ABC，△ACD是边长为2的正三角形，AB=BC= ，BE= 3． 3 (1)点M为线段CD上一点，求证：DE⊥AM； (2)求AE与平面BCE所成角的正弦值． 2676 (2024·海南海口·统考模拟预测)如图，四棱锥P-ABCD中，AB⎳CD，AB⊥AD，平 面PAD⊥平面PCD. (1)证明：平面PAD⊥平面ABCD； (2)若AD=2AB=2，PB= 2，PD= 5，BC与平面PCD所成的角为θ，求sinθ的最 大值. 2677 (2024·全国·模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD⎳BC， ∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M，N分别为PC，PB的中 点． 第 页 共 页 498 1043(1)证明：PB⊥DM． (2)求BD与平面ADMN所成角的正弦值． 2678 (2024·全国·高三专题练习)如图所示，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为直角梯 1 形，AB⎳CD，AB= CD，CD⊥CE，∠ADC=∠EDC=45°，AD= 2，BE= 3． 2 (1)求证：平面ABE⊥平面ABCD； (2)设M为AE的中点，求直线DM与平面ABCD所成角的正弦值． 3 题型三：二面角 2679 (2024·全国·高三专题练习)如图，在三棱柱ABC-ABC中，已知CB⊥平面ABBA, AB=2，且AB⊥BB,AC⊥AB. (1)求AA的长； (2)若D为线段AC的中点，求二面角A-BC-D的余弦值. 2680 (2024·全国·高三专题练习)如图，在三棱柱ABC-ABC 中，侧面BBCC为菱形， 1 1 1 1 1 ∠CBB =60°,AB=BC=2,AC=AB = 2. 1 1 第 页 共 页 499 1043(1)证明：平面ACB ⊥平面BBCC； 1 1 1 (2)求二面角A-AC -B 的余弦值. 1 1 1 2681 (2024·广东深圳·高三校联考开学考试)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形， AB⊥PD. (1)证明：平面PAD⊥平面ABCD； (2)若PA=PD，∠PDA=60°，求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值. 2682 (2024·四川成都·高三川大附中校考阶段练习)如图，AB是圆O的直径，点P在圆O所 在平面上的射影恰是圆O上的点C，且AC=2BC，点D是PA的中点，PO与BD交于 点E，点F是PC上的一个动点. (1)求证：BC⊥PA； (2)求二面角B-PC-O平面角的余弦值. 2683 (2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知在四棱锥P-ABCD中，AB=4， BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=∠CBP=90°，PA⊥CD，E为CD的中点. (1)证明：平面PCD⊥平面PAE； (2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求二面角P- 第 页 共 页 500 1043CD-A的正弦值. 2684 (2024·广东广州·高三广州市第六十五中学校考阶段练习)如图，在五面体ABCDE中， AD⊥平面ABC，AD∥BE，AD=2BE，AB=BC. (1)问：在线段CD上是否存在点P，使得PE⊥平面ACD?若存在，请指出点P的位置， 并证明；若不存在，请说明理由. (2)若AB= 3，AC=2，AD=2，求平面ECD与平面ABC夹角的余弦值. 2685 (2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC =CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1. (1)求证：BC⊥平面ACFE； (2)求二面角A-BF-C的平面角的余弦值； (3)若点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤ 90°)，试求cosθ的范围. 2686 (2024·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)如图，AB是圆O的直径，点C是圆 O上异于A,B的点，直线PC⊥平面ABC,E,F分别是PA,PC的中点． (1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，证明：l⊥平面PCB；   1 (2)设(1)中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足DQ= CP．记直线PQ与 2 平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E-l-C的大小为 β，求证：sinθ=sinαsinβ． 2687 (2024·全国·高三专题练习)如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC= 第 页 共 页 501 10432 2，PB=PC= 6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD= 5DO，点F在AC 上，BF⊥AO. (1)证明：EF⎳平面ADO； (2)证明：平面ADO⊥平面BEF； (3)求二面角D-AO-C的正弦值. 2688 (2024·广东广州·统考三模)如图，在几何体ABCDEF中，矩形BDEF所在平面与平面 ABCD互相垂直，且AB=BC=BF=1，AD=CD= 3，EF=2． (1)求证：BC⊥平面CDE； (2)求二面角E-AC-D的平面角的余弦值． 2689 (2024·浙江·校联考模拟预测)已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形， AB⊥AP，平面PCD⊥平面ABCD,PD=AD. (1)若H为AP的中点，证明：AP⊥平面HCD； (2)若AB=1,AD= 5,PA=2 2，求平面PAB与平面PCD所夹角的余弦值. 2690 (2024·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测)在图1中，△ABC为等腰直角三角 形，∠B=90°，AB=2 2，△ACD为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且 EC=2BE，沿AC将△ACD进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO， FB，FE，使得FB=4． 第 页 共 页 502 1043(1)证明：FO⊥平面ABC． (2)求二面角E-FA-C的余弦值． 2691 (2024·江苏苏州·校联考三模)如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为6 2的等 边三角形，且PA=PB=PC=6，PD⊥平面ABC，垂足为D,DE⊥平面PAB，垂足为 E，连接PE并延长交AB于点G. (1)求二面角P-AB-C的余弦值； (2)在平面PAC内找一点F，使得EF⊥平面PAC，说明作法及理由，并求四面体PDEF 的体积. 2692 (2024·全国·高三专题练习)已知四棱锥P-ABCD的底面为梯形ABCD，且 AB⎳CD，又PA⊥AD，AB=AD=1，CD=2，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩ 平面PBC=l． (1)判断直线l和BC的位置关系，并说明理由； 2 (2)若点D到平面PBC的距离为 ，请从下列①②中选出一个作为已知条件，求二面角 3 B-l-D余弦值大小． ①CD⊥AD； ②∠PAB为二面角P-AD-B的平面角． 4 题型四：距离问题 2693 (2024·山东滨州·高三山东省北镇中学校考阶段练习)如图所示的斜三棱柱ABC- ABC 中，AABB是正方形，且点C 在平面AABB上的射影恰是AB的中点H，M 1 1 1 1 1 1 1 1 是CB 的中点． 1 1 第 页 共 页 503 1043(1)判断HM与面CAAC 的关系，并证明你的结论； 1 1 (2)若CH= 3，AB=2，求斜三棱柱两底面间的距离． 1 2694 (2024·北京海淀·高三海淀实验中学校考期末)如图，在三棱柱ABC-ABC 中，平面 1 1 1 ACCA⊥平面BCCB ，侧面ACCA是边长为2的正方形，CB=CC=2,E,F分别 1 1 1 1 1 1 1 1 为BC,AB 的中点. 1 1 (1)证明：EF∥面ACCA 1 1 (2)请再从下列三个条件中选择一个补充在题干中，完成题目所给的问题. π 1 ①直线AB与平面BCCB 所成角的大小为 ；②三棱锥F-BCE的体积为 ；③BC 1 1 4 1 3 1 ⊥AC.若选择条件 . 1 求(i)求二面角F-BC -E的余弦值； 1 (ii)求直线EF与平面ACCA的距离. 1 1 2695 (2024·全国·高三专题练习)如图，三棱锥P-ABC中，△PAB，△ABC均为等边三角 形，PA=4，O为AB中点，点D在AC上，满足AD=1，且面PAB⊥面ABC． (1)证明：DC⊥面POD； (2)若点E为PB中点，问：直线AC上是否存在点F，使得EF∥面POD，若存在，求出 FC的长及EF到面POD的距离；若不存在，说明理由． 2696 (2024·广东河源·高三校联考开学考试)在长方体ABCD-ABCD 中，AB=BC= 1 1 1 1 第 页 共 页 504 10433，AA =2，P，Q为AD ，DC 的中点，S在BC上，且BS=1.过P，Q，S三点的平面 1 1 1 1 1 与长方体的六个面相交得到六边形PQRSMN，则点M到直线QR的距离为 . 2697 (2024·黑龙江·黑龙江实验中学校考二模)在圆台OO 中，ABCD是其轴截面，AD= 1 2 1 DC=BC= AB，过OC与轴截面ABCD垂直的平面交下底面于EF，若点A到平面 2 1 CEF的距离是 3，则圆台的体积等于 . 2698 (2024·全国·高三专题练习)如图，已知AB，CM分别为圆柱上、下底面的直径，且AB= 2，圆柱的高为 3，AB⊥CM，则点M到平面ABC的距离为 . 2699 (2024·湖北武汉·高三武汉市黄陂区第一中学校考阶段练习)在四面体ABCD中，AB= 1,CD=2，AB与CD所在的直线间的距离为3，且AB与CD所成的角为60°，则四面体 ABCD的体积为 . 2700 (2024·浙江绍兴·高三统考开学考试)在正三棱锥P-ABC中，PA= 3，设M,N分别 是棱PA,AB的中点，O是三棱锥P-ABC的外接球的球心，若MN⊥MC，则O到平面 ABC的距离为 . 2701 (2024·全国·高三对口高考)已知线段AD∥α，且AD与平面α的距离为4，点B是平面α 上的动点，且满足AB=5，若AD=10，则线段BD长度的取值范围是 ． 2702 (2024·全国·高三专题练习)已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=4，点P到 ∠ACB两边AC，BC的距离均为2 3，那么点P到平面ABC的距离为 . 2703 (2024·安徽滁州·校联考二模)已知两平行平面α、β间的距离为2 3，点A、B∈α，点 C、D∈β，且AB=4,CD=3，若异面直线AB与CD所成角为60°，则四面体ABCD的体 积为 ． 第 页 共 页 505 1043