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第 53 讲 传统方法求角度与距离
知识点1：线与线的夹角
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（1）位置关系的分类：
（2）异面直线所成的角
①定义：设 是两条异面直线，经过空间任一点 作直线 ，把 与
所成的锐角（或直角）叫做异面直线 与 所成的角（或夹角）．
②范围：
③求法：平移法：将异面直线 平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．
知识点2：线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
②范围：
③求法：
常规法：过平面外一点 做 平面 ，交平面 于点 ；连接 ，则 即
为直线 与平面 的夹角．接下来在 中解三角形．即
（其中 即点 到面 的距离，可以采用等体积法求 ，斜线长即为线段 的长度）；
知识点3：二面角
（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线
称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面．（二面角 或者是二面角
）
（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面
内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围
．
（3）二面角的求法法一：定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二
面角的平面角，如图在二面角 的棱上任取一点 ，以 为垂足，分别在半平面
和 内作垂直于棱的射线 和 ，则射线 和 所成的角称为二面角的平面角（当
然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．
法二：三垂线法
在面 或面 内找一合适的点 ，作 于 ，过 作 于 ，则 为斜
线 在面 内的射影， 为二面角 的平面角．如图1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点 ，作 于 ；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过 作 于 ，连接 ；
③计算： 为二面角 的平面角，在 中解三角形．
A
C
A
B
a
A'
C'
B
O B' b
b
图1 图2 图3
法三：射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的
都可利用射影面积公式（ ，如图2）求出二面角的大小；
法四：补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明
确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交
线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．
法五：垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线
所成的角，就是二面角的平面角．
例如：过二面角内一点 作 于 ，作 于 ，面 交棱 于点 ，
则 就是二面角的平面角．如图3．此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分
析了．
知识点4：空间中的距离
求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解．
必考题型全归纳
题型一：异面直线所成角
例1．（2024·四川绵阳·绵阳中学校考二模）如图，圆柱的轴截面为矩形 ，点 ，
分别在上、下底面圆上， ， ， ， ，则异面直线
与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·全国·高三校联考开学考试）如图，在直三棱柱 中，
，则异面直线 与 所成角的余弦值等于（ ）A． B． C． D．
例3．（2024·江西·高三统考阶段练习）如图，二面角 的大小为 ，
且 与交线 所成的角为 ，则直线 所成的角的正切值的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）在正三棱柱 中，
，D为 的中点，E为 的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024·全国·高三对口高考）两条异面直线a、b所成角为 一条直线l与a、b成
角都等于 ，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．变式3．（2024·四川·校联考模拟预测）在正四棱台 中， ，
其体积为 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）正三棱柱 的棱
长均相等，E是 的中点，则异面直线 与BE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
题型二：线面角
例4．（2024·贵州贵阳·校联考三模）如图，在直三棱柱 中， ，
，则 与平面 所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．例5．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中， ， ，
是等边三角形， ， ， .
(1)求 的长度；
(2)求直线 与平面 所成的角的正弦值.
例6．（2024·广东阳江·高三统考开学考试）在正三棱台 中， ，
， 为 中点， 在 上， .
(1)请作出 与平面 的交点 ，并写出 与 的比值（在图中保留作图痕迹，
不必写出画法和理由）；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.变式5．（2024·海南海口·海南华侨中学校考二模）如图，在多面体 中，平面
平面 ，底面 是等腰直角三角形， ，侧面 是正方形，
平面 ，且 ， .
(1)证明： ．
(2)若 是 的中点， 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
变式6．（2024·全国·高三专题练习）在三棱锥 中，
，平面 平面 ，且 .
(1)证明： ；
(2)若 是直线 上的一个动点，求直线 与平面 所成的角的正切值最大值.变式7．（2024·湖南邵阳·高三统考学业考试）如图，在四棱锥 中，四边形
是边长为2的正方形， 与 交于点 ， 面 ，且 .
(1)求证 平面 .；
(2)求 与平面 所成角的大小．
变式8．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱 中， 底面ABC，
， 到平面 的距离为1．
(1)证明： ；
(2)已知 与 的距离为2，求 与平面 所成角的正弦值．变式9．（2024·全国·模拟预测）如图，在多面体ABCDE中，平面 平面 ，
平面 ， 是边长为2的正三角形， ， ．
(1)点 为线段 上一点，求证： ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值．
变式10．（2024·海南海口·统考模拟预测）如图，四棱锥 中， ，
，平面 平面 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ， ， ， 与平面 所成的角为 ，求 的最大值.
变式11．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面为直角梯形，， ， 底面 ，且 ， ， 分别为 ，
的中点．
(1)证明： ．
(2)求 与平面 所成角的正弦值．
变式12．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥 中，底面 为直
角梯形， ， ， ， ， ， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)设 为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值．
题型三：二面角
例7．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱 中，已知 平面
，且 .(1)求 的长；
(2)若 为线段 的中点，求二面角 的余弦值.
例8．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱 中，侧面 为菱形，
.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
例9．（2024·广东深圳·高三校联考开学考试）在四棱锥 中，底面ABCD为正方
形， .(1)证明：平面 平面ABCD；
(2)若 ， ，求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值.
变式13．（2024·四川成都·高三川大附中校考阶段练习）如图， 是圆 的直径，点 在
圆 所在平面上的射影恰是圆 上的点 ，且 ，点 是 的中点， 与
交于点 ，点 是 上的一个动点.
(1)求证： ；
(2)求二面角 平面角的余弦值.
变式14．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知在四棱锥 中，
， ， ， ， ，E为CD的中点.(1)证明：平面 平面PAE；
(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求二面角
的正弦值.
变式15．（2024·广东广州·高三广州市第六十五中学校考阶段练习）如图，在五面体
中， 平面ABC， ， ， .
(1)问：在线段CD上是否存在点P，使得 平面ACD?若存在，请指出点P的位置，并
证明；若不存在，请说明理由.
(2)若 ， ， ，求平面ECD与平面ABC夹角的余弦值.变式16．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）如图，在梯形 中， ，
， ，四边形 为矩形， 平面 平面 ，
.
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的平面角的余弦值；
(3)若点 在线段 上运动，设平面 与平面 所成二面角的平面角为 ，
试求 的范围.
变式17．（2024·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图， 是圆 的直径，点
是圆 上异于 的点，直线 平面 分别是 的中点．
(1)记平面 与平面 的交线为 ，证明： 平面 ；
(2)设（1）中的直线 与圆 的另一个交点为 ，且点 满足 ．记直线 与平
面 所成的角为 ，异面直线 与 所成的角为 ，二面角 的大小为 ，求
证： ．变式18．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， ， ，
， ，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， ，点F在
AC上， .
(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面BEF；
(3)求二面角 的正弦值.
变式19．（2024·广东广州·统考三模）如图，在几何体 中，矩形 所在平面
与平面 互相垂直，且 ， ， ．
(1)求证： 平面 ；(2)求二面角 的平面角的余弦值．
变式20．（2024·浙江·校联考模拟预测）已知四棱锥 中，底面 为平行四边
形， ，平面 平面 .
(1)若 为 的中点，证明： 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 所夹角的余弦值.
变式21．（2024·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）在图1中， 为等腰直
角三角形， ， ， 为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，
且 ，沿AC将 进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，
FB，FE，使得 ．(1)证明： 平面 ．
(2)求二面角 的余弦值．
变式22．（2024·江苏苏州·校联考三模）如图，在三棱锥 中， 是边长为
的等边三角形，且 ， 平面 ，垂足为 平面 ，垂足
为 ，连接 并延长交 于点 .
(1)求二面角 的余弦值；
(2)在平面 内找一点 ，使得 平面 ，说明作法及理由，并求四面体PDEF的
体积.
变式23．（2024·全国·高三专题练习）已知四棱锥 的底面为梯形 ，且
，又 ， ， ，平面 平面 ，平面 平面
．
(1)判断直线 和 的位置关系，并说明理由；(2)若点 到平面 的距离为 ，请从下列①②中选出一个作为已知条件，求二面角
余弦值大小．
① ；
② 为二面角 的平面角．
题型四：距离问题
例10．（2024·山东滨州·高三山东省北镇中学校考阶段练习）如图所示的斜三棱柱
中， 是正方形，且点 在平面 上的射影恰是AB的中点H，M
是 的中点．
(1)判断HM与面 的关系，并证明你的结论；
(2)若 ， ，求斜三棱柱两底面间的距离．
例11．（2024·北京海淀·高三海淀实验中学校考期末）如图，在三棱柱 中，
平面 平面 ，侧面 是边长为2的正方形， 分别为的中点.
(1)证明： 面
(2)请再从下列三个条件中选择一个补充在题干中，完成题目所给的问题.
①直线 与平面 所成角的大小为 ；②三棱锥 的体积为 ；③ .
若选择条件___________.
求（i）求二面角 的余弦值；
（ii）求直线 与平面 的距离.
例12．（2024·全国·高三专题练习）如图，三棱锥 中， ， 均为等边三
角形， ，O为AB中点，点D在AC上，满足 ，且面 面ABC．
(1)证明： 面POD；
(2)若点E为PB中点，问：直线AC上是否存在点F，使得 面POD，若存在，求出FC的长及EF到面POD的距离；若不存在，说明理由．
变式24．（2024·广东河源·高三校联考开学考试）在长方体 中，
， ， ， 为 ， 的中点， 在 上，且 .过 ， ，
三点的平面与长方体的六个面相交得到六边形 ，则点 到直线 的距离为
.
变式25．（2024·黑龙江·黑龙江实验中学校考二模）在圆台 中， 是其轴截面，
，过 与轴截面 垂直的平面交下底面于 ，若点 到平面
的距离是 ，则圆台的体积等于 .
变式26．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知AB，CM分别为圆柱上、下底面的直径，
且AB＝2，圆柱的高为 ， ，则点M到平面ABC的距离为 .变式27．（2024·湖北武汉·高三武汉市黄陂区第一中学校考阶段练习）在四面体 中，
， 与 所在的直线间的距离为3，且 与 所成的角为 ，则四面
体 的体积为 .
变式28．（2024·浙江绍兴·高三统考开学考试）在正三棱锥 中， ，设
分别是棱 的中点， 是三棱锥 的外接球的球心，若 ，则
到平面 的距离为 .
变式29．（2024·全国·高三对口高考）已知线段 ，且 与平面 的距离为4，点
是平面 上的动点，且满足 ，若 ，则线段 长度的取值范围是 ．
变式30．（2024·全国·高三专题练习）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=4，点
P到∠ACB两边AC，BC的距离均为 ，那么点P到平面ABC的距离为 .
变式 31．（2024·安徽滁州·校联考二模）已知两平行平面 间的距离为 ，点
，点 ，且 ，若异面直线 与 所成角为60°，则四面
体 的体积为
