第54讲空间向量及其应用_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第54讲 空间向量及其应用 知识梳理 知识点一：空间向量及其加减运算 (1)空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间  向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a的起点是A，终点是B，    则向量a也可以记作AB，其模记为a   或AB  ． (2)零向量与单位向量    规定长度为0的向量叫做零向量，记作0．当有向线段的起点A与终点B重合时，AB=0． 模为1的向量称为单位向量． (3)相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相 等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．    与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为-a． (4)空间向量的加法和减法运算           ①OC=OA+OB=a+b，BA=OA-OB=a-b．如图所示． ②空间向量的加法运算满足交换律及结合律       a+b=b+a，a+b      +c=a+b+c  知识点二：空间向量的数乘运算 (1)数乘运算     实数λ与空间向量a的乘积λa称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当     λ<0时，向量λa与向量a方向相反．λa的长度是a的长度的λ  倍． (2)空间向量的数乘运算满足分配律及结合律   λa+b     =λa+λb，λμa  =λμ   a． (3)共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行     向量，a平行于b，记作a⎳b． (4)共线向量定理     对空间中任意两个向量a，bb≠0      ，a⎳b的充要条件是存在实数λ，使a=λb． (5)直线的方向向量  如图8-153所示，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线．对空间任意一点O，     点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP=OA+ta①，其中向量a叫做直线l的方向 第 页 共 页 506 1043        向量，在l上取AB=a，则式①可化为OP=OA+tAB=OA+tOB-OA  =1-t   OA+  tOB②  1 ①和②都称为空间直线的向量表达式，当t= ，即点P是线段AB的中点时，OP= 2   1 OA+OB 2  ，此式叫做线段AB的中点公式． (6)共面向量    如图8-154所示，已知平面α与向量a，作OA=a，如果直线OA平行于平面α或在平面α  内，则说明向量a平行于平面α．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． (7)共面向量定理      如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数 对x,y     ，使p=xa+yb． 推论：①空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,y    ，使AP=xAB+      yAC；或对空间任意一点O，有OP-OA=xAB+yAC，该式称为空间平面ABC的向量表 达式．    ②已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式OP=xOA+yOB+  zOC(其中x+y+z=1)的点P与点A，B，C共面；反之也成立． 知识点三：空间向量的数量积运算 (1)两向量夹角         已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，则∠AOB叫做向量a，b的   夹角，记作a,b    ，通常规定0≤a,b    ≤π，如果a,b  π    = ，那么向量a，b互相垂直，记作a 2  ⊥b． (2)数量积定义    已知两个非零向量a，b，则a   b    cosa,b        叫做a，b的数量积，记作a⋅b，即a⋅b=  a   b    cosa,b     ．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，a⋅a=a  2． (3)空间向量的数量积满足的运算律：  λa     ⋅b=λa⋅b      ，a⋅b=b⋅a(交换律)；    a⋅b+c      =a⋅b+a⋅c(分配律)． 知识点四：空间向量的坐标运算及应用  (1)设a=a 1 ,a 2 ,a 3   ，b=b 1 ,b 2 ,b 3    ，则a+b=a 1 +b 1 ,a 2 +b 2 ,a 3 +b 3  ；   a-b=a 1 -b 1 ,a 2 -b 2 ,a 3 -b 3  ；  λa=λa 1 ,λa 2 ,λa 3  ；   a⋅b=ab +a b +a b ； 1 1 2 2 3 3 第 页 共 页 507 1043    a⎳bb≠0  ⇒a =λb,a =λb ,a =λb ； 1 1 2 2 3 3   a⊥b⇒ab +a b +a b =0． 1 1 2 2 3 3 (2)设Ax 1 ,y 1 ,z 1  ，Bx 2 ,y 2 ,z 2     ，则AB=OB-OA=x 2 -x 1 ,y 2 -y 1 ,z 2 -z 1  ． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点 的坐标． (3)两个向量的夹角及两点间的距离公式．  ①已知a=a 1 ,a 2 ,a 3   ，b=b 1 ,b 2 ,b 3   ，则a   = a2= a2+a2+a2； 1 2 3  b   = b2= b2+b2+b2； 1 2 3   a⋅b=ab +a b +a b ； 1 1 2 2 3 3   cosa,b  ab +a b +a b = 1 1 2 2 3 3 ； a2+a2+a2 b2+b2+b2 1 2 3 1 2 3 ②已知Ax 1 ,y 1 ,z 1  ，Bx 2 ,y 2 ,z 2   ，则AB  = x 1 -x 2  2+y 1 -y 2  2+z 1 -z 2  2， 或者dA,B   =AB  ．其中dA,B  表示A与B两点间的距离，这就是空间两点的距离公 式．    (4)向量a在向量b上的投影为a    cosa,b    a⋅b =  b  ． 知识点五：法向量的求解与简单应用 (1)平面的法向量：   如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，   如果n⊥α，那么向量n叫做平面α的法向量． 几点注意：  ①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量n是平面的法向量，    向量m是与平面平行或在平面内，则有m⋅n=0．  第一步：写出平面内两个不平行的向a=x 1 ，y 1 ，z 1   ，b=x 2 ，y 2 ，z 2  ；  第二步：那么平面法向量n=x，y，z    ，满足   n  ⋅a  =0 ⇒   xx 1 +yy 1 +zz 1 =0 ． n⋅b=0 xx 2 +yy 2 +zz 2 =0 (2)判定直线、平面间的位置关系   ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a，b的方向向量分别为a，b．     若a∥b，即a=λb，则a∥b；     若a⊥b，即a⋅b=0，则a⊥b．   ②直线与平面的位置关系：直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，且l⊥α．     若a∥n，即a=λn，则l⊥α；      若a⊥n，即a⋅n=0，则a∥α． 第 页 共 页 508 1043(3)平面与平面的位置关系   平面α的法向量为n ，平面β的法向量为n ． 1 2         若n ∥n ，即n =λn ，则α∥β；若n ⊥n ，即n ⋅n =0，则α⊥β． 1 2 1 2 1 2 1 2 知识点六：空间角公式．   (1)异面直线所成角公式：设a，b分别为异面直线l ，l 上的方向向量，θ为异面直线所成角的 1 2   大小，则cosθ= cosa,b      a⋅b =   a   b  ．   (2)线面角公式：设l为平面α的斜线，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，θ为   l与α所成角的大小，则sinθ= cosa,n      a⋅n =   a   n  ． (3)二面角公式：   设n ，n 分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则θ=n,n 1 2 1 2    或π-n,n 1 2  (需要根 据具体情况判断相等或互补)，其中cosθ    = n 1 ⋅n 2   n 1   n 2  ． 知识点七：空间中的距离 求解空间中的距离 (1)异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影 性质直接计算．  如图，设两条异面直线a，b的公垂线的方向向量为n，这时分别在a，b上任取A，B两点，则    向量在n  上的正射影长就是两条异面直线a，b的距离．则d=  A  B  ⋅ n  = |AB⋅n| 即两异   |n| |n| 面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对 值与公垂线的方向向量模的比值． (2)点到平面的距离 第 页 共 页 509 1043 A为平面α外一点(如图)，n为平面α的法向量，过A作平面α的斜线AB及垂线AH．        |AB⋅n| |AH|=|AB|⋅sinθ=|AB|⋅|cos|=|AB|  AB   ⋅n    |AB⋅n| =  n    |AB⋅n| d=  |n| 【解题方法总结】 用向量法可以证点共线、线共点、线(或点)共面、两直线(或线与面、面与面)垂直的问 题，也可以求空间角和距离．因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且 其解法一般都比较简单． 用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点 的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量(除要求 不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如 常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底)，然后将有关向量用基底向量表 示，并进行向量运算． 必考题型全归纳 1 题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算 2704 (2024·全国·高三专题练习)下列命题中是假命题的是 ( ) A.任意向量与它的相反向量不相等 B.和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小  C.如果a    =0，则a=0 D.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 2705 (2024·全国·高三对口高考)如图所示，在平行六面体ABCD-ABCD 中，M为AC 1 1 1 1 1 1        与BD 的交点，若AB=a，AD=b，AA =c，则BM= ( ) 1 1 1 1  1   1  1   A. a- b+c B. a+ b+c 2 2 2 2 1  1   1  1   C.- a- b+c D.- a+ b+c 2 2 2 2 2706 (2024·福建福州·福建省福州第一中学校考三模)在三棱锥P-ABC中，点O为△ABC 第 页 共 页 510 1043      的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若a=AF，b=CE，c=BD，则  OP= ( ) 1  1  1  1  1  1  A. a+ b+ c B.- a- b- c 3 3 3 3 3 3 2  1  2  2  2  2  C.- a- b- c D. a+ b+ c 3 3 3 3 3 3       2707 (2024·高三课时练习)如图.空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在    OA上，且满足OM=2MA，点N为BC的中点，则MN= ( ) 1  2  1  2  2  1  A. a- b+ c B. a+ b- c 2 3 2 3 3 2 1  1  1  2  1  1  C. a+ b- c D.- a+ b+ c 2 2 2 3 2 2 2708 (2024·湖南长沙·高三校联考期中)如图，M在四面体OABC的棱BC的中点，点N在线 1        段OM上，且MN= OM，设OA=a，OB=b，OC=c，则下列向量与AN相等的向量 3 是 ( )  1  1   1  1  A.-a+ b+ c B.a+ b+ c 3 3 3 3  1  1   1  1  C.-a+ b+ c D.a+ b+ c 6 6 6 6 2709 (2024·全国·高三专题练习)如图，在四面体O-ABC中，G 是△ABC的重心，G是 1     OG 上的一点，且OG=2GG ，若OG=xOA+yOB+zOC，则(x,y,z)为 ( ) 1 1 1 1 1 A.  , , 2 2 2  2 2 2 B.  , , 3 3 3  1 1 1 C.  , , 3 3 3  2 2 2 D.  , , 9 9 9  第 页 共 页 511 1043   2710 (2024·全国·高三专题练习)已知在空间单位正交基底下，a,b,c   是空间的一组单位正      交基底，a+b,a-b,c       是空间的另一组基底.若向量p在基底a,b,c   下的坐标为 4,2,3        ，则向量p在基底a+b,a-b,c   下的坐标为 ( ) A. 4,0,3  B. 1,2,3  C. 3,1,3  D. 2,1,3  2 题型二：空间共线向量定理的应用    2711 (2024·全国·高三专题练习)若空间中任意四点O，A，B，P满足OP=mOA+nOB，其 中m+n=1，则 ( ) A.P∈AB B.P∉AB C.点P可能在直线AB上 D.以上都不对  2712 (2024·全国·高三专题练习)已知a=2,-3,1   ，则下列向量中与a平行的是 ( ) A. 1,1,1  B. -4,6,-2  C. 2,-3,-1  D. -2,-3,1     2713 (2024·全国·高三专题练习)向量a，b分别是直线l 1 ，l 2 的方向向量，且a=1,3,5   ，b= x,y,2  ，若l ∥l ，则 ( ) 1 2 1 3 2 6 3 15 A.x= ，y= B.x=3，y=15 C.x= ，y= D.x= ，y= 5 5 5 5 2 2 2714 (2024·全国·高三专题练习)若点A(2,-5,-1)，B(-1,-4,-2)，C(m+3,-3,n)在同一 条直线上，则m-n= ( ) A.21 B.4 C.-4 D.10     2715 (2024·全国·高三专题练习)已知a=(2x,1,3)，b=(1,3,9)，如果a与b为共线向量，则x = ( ) 1 1 1 A.1 B. C. D. 2 3 6 2716 (2024·浙江·高三专题练习)若A(m+1，n-1，3)、B(2m，n，m-2n)、C(m+3，n- 3，9)三点共线，则m+n=( )． A.0 B.1 C.2 D.3 3 题型三：空间向量的数量积运算  2717 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知向量a=1,1,1   ，b=-1,0,2  ，则下列正确 的是 ( )   A.a+b=0,1,3   B. a  = 3     π C.a⋅b=2 D.‹a,b›= 4 2718 (多选题)(2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中)如图，在平行六面体 ABCD-ABCD 中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是60°，下 1 1 1 1 列说法中不正确的是 ( ) 第 页 共 页 512 1043A.AC =6 6 B.AC ⊥BD 1 1     6 C.向量BC与AA 夹角是60° D.向量BD 与AC所成角的余弦值为 1 1 1 3 2719 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)四面体ABCD中，AB⊥BD，CD⊥BD，AB= π 3，BD=2，CD=4，平面ABD与平面BCD的夹角为 ，则AC的值可能为 ( ) 3 A. 17 B. 23 C. 35 D. 41 2720 (多选题)(2024·校考模拟预测)在平行六面体ABCD-ABCD 中，已知AB=AD= 1 1 1 1 AA =1，∠AAB=∠AAD=∠BAD=60°，则 ( ) 1 1 1 A.直线AC与BD所成的角为90° 1 B.线段AC的长度为 3 1 C.直线AC与BB 所成的角为90° 1 1 6 D.直线AC与平面ABCD所成角的正弦值为 1 3 2721 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)空间直角坐标系中，已知O0,0,0   ，OA= -1,2,1   ，OB=-1,2,-1   ，OC=2,3,-1  ，则 ( )  A. AB  =2 B.△ABC是等腰直角三角形  6 6 6 C.与OA平行的单位向量的坐标为 ,- ,- 6 3 6  6 6 6 或- , , 6 3 6    2 4 2 D.OA在OB方向上的投影向量的坐标为- , , 3 3 3   2722 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知空间向量a=2,-1,3   ，b=-4,2,x  ，下列 说法正确的是 ( )   10 A.若a⊥b，则x= 3   B.若3a+b=2,-1,10  ，则x=1   1  C.若a在b上的投影向量为 b，则x=4 3   10 D.若a与b夹角为锐角，则x∈ ,+∞ 3  第 页 共 页 513 10432723 (2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测)如图，平行六面体ABCD-ABCD 1 1 1 1 中，AD=BD=AA =1，AD⊥BD，∠AAB=45°，∠AAD=60°，则线段BD 的长为 1 1 1 1 .  2724 (2024·全国·高三专题练习)已知空间向量a=1,1,0   ，b=-1,0,2    ，则a在b方向上的 投影向量为 . 2725 (2024·全国·高三专题练习)已知MN是棱长为2的正方体ABCD-ABCD 内切球的 1 1 1 1   一条直径，则AM⋅AN= ．  2726 (2024·全国·高三对口高考)已知向量a=1,2,3   ,b=-2,-4,-6   ,c    = 14，若a+b     ⋅c=7，则‹a,c›= ．     2727 (2024·上海·高三专题练习)已知空间向量a=(1,2,3)，b=(2,-2,0)，c=(1,1,λ)，若c  ⊥(2a+b)，则λ= ．  2728 (2024·上海·高三专题练习)已知向量a=0,1,0   ，向量b=1,1,0    ，则a与b的夹角的大 小为 . 4 题型四：证明三点共线 2729 (2024·全国·高三专题练习)在四面体OABC中，点M，N分别为OA、BC的中点，若     1 OG= OA+xOB+yOC，且G、M、N三点共线，则x+y= ． 3 2730 (2024·全国·高三专题练习)已知点A(1，2，3)，B(0，1，2)，C(-1，0，λ)，若A，B，C三点 共线，则λ= ．   2731 (2024·全国·高三专题练习)如图，在平行六面体ABCD-ABCD 中，CC=2EC， 1 1 1 1 1   AC=3FC． 1 (1)求证：A、F、E三点共线； (2)若点G是平行四边形BBCC 的中心，求证：D、F、G三点共线． 1 1 第 页 共 页 514 10432732 (2024·全国·高三专题练习)在长方体ABCD-ABCD 中，M为DD 的中点，N在 1 1 1 1 1 AC上，且AN:NC=2:1，E为BM的中点.求证：A ，E，N三点共线. 1 5 题型五：证明多点共面的方法 2733 (2024·全国·高三专题练习)下面关于空间向量的说法正确的是 ( )     A.若向量a,b平行，则a,b所在直线平行     B.若向量a,b所在直线是异面直线，则a,b不共面   C.若A，B，C，D四点不共面，则向量AB，CD不共面    D.若A，B，C，D四点不共面，则向量AB，AC，AD不共面 2734 (2024·江苏常州·高三校考阶段练习)以下四组向量在同一平面的是 ( ) A. 1,1,0  、0,1,1  、1,0,1  B. 3,0,0  、1,1,2  、2,2,4  C. 1,2,3  、1,3,2  、2,3,1  D. 1,0,0  、0,0,2  、0,3,0   2735 (2024·全国·高三对口高考)已知a=2,-1,3   ,b=-1,4,-2   ,c=7,5,λ     ，若a,b,c三向 量共面，则λ等于 ( ) 62 64 65 A. B.9 C. D. 7 7 7 2736 (2024·江西·校联考二模)在四棱锥P-ABCD中，棱长为2的侧棱PD垂直底面边长为 2的正方形ABCD，M为棱PD的中点，过直线BM的平面α分别与侧棱PA、PC相交于 点E、F，当PE=PF时，截面MEBF的面积为 ( ) A.2 2 B.2 C.3 3 D.3     3 1 2737 (2024·全国·高三专题练习)O为空间任意一点，若OP= OA+ OB+tOC，若A, 4 8 B,C,P四点共面，则t= ( ) 1 1 1 A.1 B. C. D. 2 8 4 2738 (2024·全国·高三专题练习)已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，     设P为空间中任意一点，若BD=5PA-4PB+λPC，则λ= ( ) A.2 B.-2 C.1 D.-1 2739 (2024·广东广州·高三执信中学校考阶段练习)如图所示的木质正四棱锥模型P- PE 3 PF 1 ABCD，过点A作一个平面分别交PB,PC,PD于点E，F，G，若 = , = ，则 PB 5 PC 2 PG 的值为 ( ) PD 第 页 共 页 515 10431 2 3 3 A. B. C. D. 4 3 4 5 2740 (2024·甘肃平凉·高三统考期中)对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C，有如下     1 1 1 关系：OP= OA+ OB+ OC，则 ( ) 6 3 2 A.O,A,B,C四点必共面 B.P,A,B,C四点必共面 C.O,P,B,C四点必共面 D.O,P,A,B,C五点必共面 2741 (2024·全国·高三专题练习)已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列 条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是 ( )         1 1 1 A.OM=OA+OB+OC B.OM= OA+ OB+ OC 3 3 3         1 1 C.OM=OA+ OB+ OC D.OM=2OA-OB-OC 2 3 2742 (2024·全国·高三专题练习)如图，正四棱锥P-ABCD的底面边长和高均为2，E，F分 别为PD，PB的中点． 1 (1)若点M是线段PC上的点，且PM= PC，判断点M是否在平面AEF内，并证明你 3 的结论； (2)求直线PB与平面AEF所成角的正弦值． 2743 (2024·全国·高三专题练习)如图，在几何体ABCDE中，△ABC，△BCD，△CDE均为 边长为2的等边三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．求证：A，B， D，E四点共面； 第 页 共 页 516 10432744 (2024·全国·高三专题练习)如图，四边形ABEF为正方形，若平面ABCD⊥平面 ABEF，AD∥BC，AD⊥DC，AD=2DC=2BC. (1)求二面角A-CF-D的余弦值； (2)判断点D与平面CEF的位置关系，并说明理由. 2745 (2024·全国·高三专题练习)如图，在边长为3的正方体ABCD-ABCD 中，点P，Q， 1 1 1 1 R分别在棱AB，BC ，DD上，且AP=BQ=DR=1. 1 1 1 1 1 (1)求点D到平面PQR的距离； AN (2)若平面PQR与线段AC 的交点为N，求 的值. 1 AC 1 2746 (2024·四川成都·石室中学校考模拟预测)如图四棱锥P-ABCD,∠ABC=90°,AD∥ 1 BC，且AD=AB= BC=2，平面PCD⊥平面ABCD，且△PDC是以∠DPC为直角 2 的等腰直角三角形，其中E为棱PC的中点，点F在棱PD上，且PF=2FD. 第 页 共 页 517 1043(1)求证：A,B,E,F四点共面； 6 题型六：证明直线和直线平行 2747 (2024·高二课时练习)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥ 1 平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM= DB,DA=DP=1,CD=2，求 4 证：MN⎳AP． 2748 (2024·高二课时练习)已知棱长为1的正方体OABC­-OABC 在空间直角坐标系中 1 1 1 1 的位置如图所示，D,E,F,G分别为棱OA,AB,BC,OC的中点，求证：DE⎳GF. 1 1 1 1 2749 (2024·高二课时练习)如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N 分别是AC，BF的中点，求证：CE⎳MN. 第 页 共 页 518 10432750 (2024·全国·高三专题练习)在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面 ABCD为梯形．AB⎳CD，AD⊥DC，且AB=1，AD=DC=DP=2，∠PDC=120°． 若M是棱PA的中点，则对于棱BC上是否存在一点F，使得MF与PC平行． 7 题型七：证明直线和平面平行 2751 (2024·全国·高三专题练习)在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利于采光， 其中一角如图所示，为多面体ABCDE-ABCDE ，AB⊥AE，AE∥BC，AB∥ED， 1 1 1 1 1 AA ⊥底面ABCDE，四边形ABCD 是边长为2的正方形且平行于底面，AB∥AB ， 1 1 1 1 1 1 1 DE，BB的中点分别为F，G，AB=AE=2DE=2BC=4，AA =1． 1 1 1 (1)证明：FG∥平面CCD； 1 2752 (2024·广东潮州·高三校考阶段练习)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形， PA⊥平面ABCD，E为PD的中点． (1)证明：PB⎳平面AEC 2753 (2024·天津滨海新·高三校考期中)如图，AD⎳BC且AD=2BC，AD⊥CD， EG⎳AD且EG=AD，CD⎳FG且CD=2FG，DG⊥平面ABCD，DA=DC=DG =2. 第 页 共 页 519 1043(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN⎳平面CDE； 2754 (2024·全国·高三专题练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面 PAD⊥平面ABCD，AD⊥MN，AB=2，AD=AP=4，M，N分别是BC，PD的中 点． (1)求证：MN⎳平面PAB； 2755 (2024·陕西汉中·校联考模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方 形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=AB=2. (1)求证：PB⎳平面AEC； 2756 (2024·全国·高三对口高考)如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥ CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF. (1)求二面角D-BF-C的余弦值； AP (2)在线段AB(含端点)上，是否存在一点P，使得FP∥平面AED.若存在，求出 的 AB 第 页 共 页 520 1043值；若不存在，请说明理由. 8 题型八：证明平面与平面平行 2757 (2024·全国·高一专题练习)如图所示，正四棱ABCD-ABCD 的底面边长1，侧棱长 1 1 1 1 4，AA 中点为E，CC 中点为F．求证：平面BDE⎳平面BDF. 1 1 1 1 2758 (2024·高二课时练习)如图，在直四棱柱ABCD-ABCD 中，底面ABCD为等腰梯 1 1 1 1 形，AB⎳CD，AB=4，BC=CD=2，AA =2，F是棱AB的中点．求证：平面 1 AADD⎳平面FCC. 1 1 1 2759 (2024·高二课时练习)如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形， △PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证： 平面EFG∥平面PBC． 2760 (2024·高二课时练习)在正方体ABCD-ABCD 中，M,N,P分别是CC,BC,CD 1 1 1 1 1 1 1 1 1 的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面MNP⎳平面ABD. 1 第 页 共 页 521 10439 题型九：证明直线与直线垂直 2761 (2024·山西太原·高二统考期中)如图，在平行六面体ABCD-ABCD 中，AB=AD 1 1 1 1 =4,AA =5,∠DAB=∠DAA =∠BAA =60°. 1 1 1 (1)求AC 的长； 1 (2)求证：AC ⊥BD. 1 2762 (2024·北京海淀·高二校考期中)已知三棱锥P-ABC(如图1)的平面展开图(如图2) 中，四边形ABCD为边长为 2的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形.在三棱锥P -ABC中： (1)求点A到平面BCP的距离； CM 1 2 (2)若点M在棱PC上，满足 =λ,λ∈  , CP  3 3  ，点N在棱BP上，且BM⊥AN，求 BN 的取值范围. BP 2763 (2024·全国·高三专题练习)如图，平行六面体ABCD-ABCD 的所有棱长均为 2， 1 1 1 1 π 底面ABCD为正方形，∠AAB=∠AAD= ，点E为BB 的中点，点F为CC 的中点， 1 1 3 1 1 动点P在平面ABCD内． 第 页 共 页 522 1043(1)若O为AC中点，求证：AO⊥AO； 1 (2)若FP⎳平面DAE，求线段CP长度的最小值． 1 2764 (2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)斜三棱柱ABC-ABC 的各棱长都为2，∠AAB 1 1 1 1 =60°，点A 在下底面ABC的投影为AB的中点O． 1 (1)在棱BB(含端点)上是否存在一点D使AD⊥AC？若存在，求出BD的长；若不存 1 1 1 在，请说明理由； 2765 (2024·贵州遵义·统考三模)如图，棱台ABCD-ABCD中，AA=BB=CC=DD = 5，底面ABCD是边长为4的正方形，底面ABCD是边长为2的正方形，连接AC， BD，DC. (1)证明：AC⊥BD； 2766 (2024·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习)如图，在三棱柱ABC-ABC中， 1 1 CC ⊥平面ABC，AC⊥BC，BC=AC=CC =4，D为AB 的中点，CB 交BC 于点 1 1 1 1 1 E． (1)证明：CB ⊥CD； 1 1 第 页 共 页 523 10432767 (2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模)已知直三棱柱ABC-ABC 中， 1 1 1 侧面AABB为正方形，AB=BC，E，F分别为AC和CC 的中点，D为棱AB 上的动 1 1 1 1 1 点.BF⊥AB. 1 1 (1)证明：BF⊥DE； 10 题型十：证明直线与平面垂直 2768 (2024·内蒙古乌兰察布·校考三模)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD， 底面ABCD是边长为2的正方形，PD=DC，F，G分别是PB，AD的中点． (1)求证：GF⊥平面PCB； 2769 (2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测)如图，已知直三棱柱ABC-FGE, 1 AC=BC=4,AC⊥BC,O为BC的中点，D为侧棱BG上一点，且BD= BG，三棱柱 4 ABC-FGE的体积为32． (1)过点O作OQ⊥DE，垂足为点Q，求证：BQ⊥平面ACQ； 2770 (2024·上海黄浦·上海市大同中学校考三模)如图，直三棱柱ABC-ABC 中，∠BAC 1 1 1 =90°，AB  =AC  =2，AA 1  =4，D为BC的中点，E为CC 1 上的点，且CE  = 1 4 CC 1  ． 第 页 共 页 524 1043(1)求证：BE⊥平面ADB ； 1 2771 (2024·全国·高三专题练习)如图，直三棱柱ABC-ABC 的侧面BCCB 为正方形， 1 1 1 1 1 2AB=BC=2，E，F分别为AC，CC 的中点，BF⊥AB． 1 1 1 (1)证明：BF⊥平面ABE； 1 1 11 题型十一：证明平面和平面垂直 2772 (2024·广东深圳·统考模拟预测)在正方体ABCD-ABCD 中，如图E、F分别是 1 1 1 1 BB ，CD的中点． 1 (1)求证：平面ADF⊥平面ADE； 1 2773 (2024·全国·高三专题练习)已知在直三棱柱ABC-ABC 中，其中AA =2AC=4, 1 1 1 1 AB=BC,F为BB 的中点，点E是CC 上靠近C 的四等分点，AF与底面ABC所成角 1 1 1 1 2 的余弦值为 ． 2 第 页 共 页 525 1043(1)求证：平面AFC⊥平面AEF； 1 2774 (2024·北京丰台·北京丰台二中校考三模)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面 ABCD，AD⊥CD，AD⎳BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E为PD的中点，点F在 PF 1 PC上，且 = . FC 2 (1)求证：平面AEF⊥平面PCD； 2775 (2024·北京·北京四中校考模拟预测)如图，正三棱柱ABC-ABC 中，E,F分别是棱 1 1 1 1 AA,BB 上的点，AE=BF= AA. 1 1 1 3 1 (1)证明：平面CEF⊥平面ACCA ； 1 1 2776 (2024·江西新余·高三江西省分宜中学校考阶段练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，底 面ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=2，AC∩BD=O，PO⊥底面ABCD，PO=2， 点E在棱PD上，且CE⊥PD. (1)证明：平面PBD⊥平面ACE； 第 页 共 页 526 10432777 (2024·全国·高三专题练习)如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面 ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中点. (1)求证：平面PCD⊥平面PAD； 2778 (2024·全国·高三专题练习)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，侧面 PAB是等边三角形，BC=2AB,AC= 3AB,PB⊥AC. (1)求证：平面PAB⊥平面ABCD； (2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B,Q两点的截面，且AC∥平面BEQF， PQ 是否存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD？若存在，求 的值；若不存在，说明理 QD 由. 2779 (2024·江苏·统考三模)如图，三棱锥P-ABC的底面为等腰直角三角形，∠ABC= 90°，AB=2．D，E分别为AC，BC的中点，PD⊥平面ABC，点M在线段PE上． (1)再从条件①、②、③、④四个条件中选择两个作为已知，使得平面MBD⊥平面PBC， 并给予证明； (2)在(1)的条件下，求直线BP与平面MBD所成的角的正弦值． 条件①：PD= 2； 条件②：∠PED=60°； 条件③：PM=3ME： 条件④：PE=3ME． 12 题型十二：求两异面直线所成角 2780 (2024·宁夏银川·银川一中校考模拟预测)在正四棱柱ABCD-ABCD 中，底面边长 1 1 1 1 第 页 共 页 527 1043为1，高为3，则异面直线BD 与AD所成角的余弦值是 . 1 2781 (2024·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测)已知正方体ABCD-ABCD 的棱长 1 1 1 1 为1，E是棱AD 的中点，G为棱BC上的动点(不含端点)，记㫒面直线AB与EG所成 1 1 的角为α，则sinα的取值范围是 . 2782 (2024·全国·高三专题练习)在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，底面ABC为正三 角形，PA=AB，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为 2783 (2024·四川成都·石室中学校考模拟预测)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面 ABC，∠BAC=90°.点D、E、N分别为棱PA、PC、BC的中点，M是线段AD的中点， PA=AC=4，AB=2. (1)求证：MN⎳平面BDE； 7 (2)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，求线段AH的 21 长． 2784 (2024·湖北·高三校联考阶段练习)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平 面PAD⊥平面PAB，∠PAD=45°，AB=2. (1)证明：平面PAD⊥平面ABCD； (2)若E为PC的中点，异面直线BE与PA所成角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积. 2785 (2024·全国·高三对口高考)如图，图1，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，面 ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图2所 示． 第 页 共 页 528 1043(1)证明：BC⊥平面PBD； (2)证明：AM⎳平面PBC； 3 (3)线段CD上是否存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为 ？若存在，找到所有 4 符合要求的点N，并求CN的长；若不存在，说明理由． 13 题型十三：求直线与平面所成角 2786 (2024·湖南长沙·高三长郡中学校考假期作业)如图所示，直三棱柱ABC-ABC 中， 1 1 1 1 1 AB⊥AC，AB=AC=AA =3,AD= AC，CE= CC. 1 3 3 1 (1)求证：AD⊥BE； 1 (2)求直线AD与平面BDE所成角的正弦值. 1 2787 (2024·广东河源·高三校联考开学考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，E,F分别为PD, PB的中点，连接EF. (1)当G为PC上不与点P,C重合的一点时，证明：EF⎳平面BDG； (2)已知G,Q分别为PC,AD的中点，△PAD是边长为2的正三角形，四边形BCDQ是面 积为2的矩形，当CD⊥PQ时，求PC与平面BGD所成角的正弦值. 2788 (2024·山西运城·高三校考阶段练习)在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形， A,E,B,F四点共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，∠BAE=∠AFB=90°，平 面ABCD⊥平面AEBF，AB=2. 第 页 共 页 529 1043(1)求证：直线BE∥平面ADF； (2)求平面CBF与平面BFD夹角的余弦值； (3)若点P在直线DE上，求直线AP与平面BCF所成角的最大值. 2789 (2024·河南·校联考模拟预测)已知三棱柱ABC-ABC 中，AB=AC=2,AA=AB 1 1 1 1 1 =AC=2,∠BAC=90°,E是BC的中点，F是线段AC 上一点. 1 1 1 (1)求证：AB⊥EF； (2)设P是棱AA 上的动点(不包括边界)，当△PBC的面积最小时，求直线PC 与平面 1 1 AABB所成角的正弦值. 1 1 2790 (2024·全国·高三专题练习)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，AB=AP=2， PA⊥平面ABCD，E,F分别是线段PB,PD的中点，G是线段PC上的一点. (1)求证：平面EFG⊥平面PAC； 1 (2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为 ，且G点不是线段PC的中点，求三棱 3 锥E-ABG体积. 2791 (2024·福建漳州·统考模拟预测)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的 点，PC⊥平面ABC，AC= 3，PC=2BC=2，E，F分别为PA，PC的中点，平面 BEF与平面ABC的交线为BD，D在圆O上. 第 页 共 页 530 1043(1)在图中作出交线BD(说明画法，不必证明)，并求三棱锥D-ACE的体积；    1 (2)若点M满足BM= BD+λBPλ∈R 2  ，且CM与平面PBD所成角的正弦值为 10 ，求λ的值. 5 14 题型十四：求平面与平面所成角 2792 (2024·全国·高三专题练习)如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，BC=2，    ∠DAB=60°，点E，F在以AD为直径的半圆上，且AE=EF=FD，将半圆沿AD翻折 如图2． (1)求证：EF∥平面ABCD； (2)当多面体ABE-DCF的体积为4时，求平面ABE与平面CDF夹角的余弦值． 2793 (2024·黑龙江大庆·高三大庆中学校考开学考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=2，AC∩BD=O，PO⊥底面ABCD，PO=2，点 E在棱PD上，且CE⊥PD (1)证明：平面PBD⊥平面ACE； (2)求平面PAC与平面ACE所成角的余弦值． 2794 (2024·山西运城·山西省运城中学校校考二模)如图，在三棱柱ABC-ABC 中，侧面 1 1 1 BBCC为菱形，∠CBB =60°，AB=BC=2，AC=AB = 2. 1 1 1 1 第 页 共 页 531 1043(1)证明：平面ACB ⊥平面BBCC； 1 1 1 (2)求平面ACCA 与平面ABC 夹角的余弦值. 1 1 1 1 1 2795 (2024·宁夏石嘴山·统考一模)如图，在四棱锥A-BCDE中，侧面ADE⊥底面BCDE， 底面BCDE为菱形，∠BCD=120°,AE⊥AD,∠ADE=30°． (1)若四棱锥A-BCDE的体积为1，求DE的长； (2)求平面ABE与平面ACD所成二面角的正弦值． 2796 (2024·全国·高三专题练习)在三棱台ABC-DEF中，G为AC中点，AC=2DF，AB ⊥BC，BC⊥CF. (1)求证：BC⊥平面DEG； π (2)若AB=BC=2，CF⊥AB，平面EFG与平面ACFD所成二面角大小为 ，求三棱 3 锥E-DFG的体积. 2797 (2024·四川成都·高三四川省成都市第四十九中学校校考阶段练习)如图，四棱锥P- ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=4，且侧面PAB⊥底面ABCD，侧面 PAD⊥底面ABCD，点F是PB的中点，动点E在边BC上移动，且PA=2． (1)证明：PA⊥底面ABCD； (2)当点E在BC边上移动，使二面角E-AF-B为60°时，求二面角F-AE-P的余弦 第 页 共 页 532 1043值． 15 题型十五：求点面距、线面距、面面距 2798 (2024·山东青岛·高三统考期中)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形， △PAB为等边三角形，面PAB⊥底面ABCD，E为AD的中点. (1)求证：AC⊥PE； 5 (2)在线段BD上存在一点F，使直线AP与平面PEF所成角的正弦值为 . 5 ①确定点F的位置； ②求点C到平面PEF的距离. 2799 (2024·全国·高三专题练习)如图，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂 直，AB=AF=2，∠ADC=60° . (1)求直线BF与平面ABCD的夹角； (2)求点A到平面FBD的距离. 2800 (2024·广东东莞·高三校联考阶段练习)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面△PAD 1 是正三角形，且与底面ABCD垂直，BC⎳平面PAD，BC= AD=1，E是棱PD上的 2 动点. (1)当E是棱PD的中点时，求证：CE⎳平面PAB； (2)若AB=1，AB⊥AD，求点B到平面ACE距离的范围. 2801 (2024·浙江·校联考模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边 形，侧面PAD是边长为2的正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥PD． 第 页 共 页 533 1043(1)求证：平行四边形ABCD为矩形； 6 (2)若E为侧棱PD的中点，且平面ACE与平面ABP所成角的余弦值为 ，求点B到 4 平面ACE的距离． 2802 (2024·湖北·模拟预测)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AECF 1 所截得到的，其中AB=4，BC=2，CC =3，BE=1，则点C到平面AECF的距离为 1 1 ( ) 2 3 2 4 33 33 A. B. C. D. 2 2 11 11 2803 (2024·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测)如图，已知ABC-ABC 是侧棱长和 1 1 1 底面边长均等于a的直三棱柱，D是侧棱CC 的中点.则点C到平面ABD的距离为 1 1 ( ) 2 2 3 2 2 A. a B. a C. a D. a 4 8 4 2 2804 (2024·全国·高三专题练习)两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A1,2,3  ，且两平  面的一个法向量n=-1,0,1  ，则两平面间的距离是 ( ) 2 A. 2 B. C. 3 D.3 2 2 2805 (2024·全国·高三专题练习)空间直角坐标系中A0,0,0  、B1,1,1  、C1,0,0  )、 D-1,2,1  ，其中A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，已知平面α⎳平面β，则平面α与平面β间 的距离为 ( ) 第 页 共 页 534 104326 13 3 5 A. B. C. D. 26 13 3 5 2806 (2024·全国·高三专题练习)在棱长为1的正方体ABCD-ABCD 中，则平面ABC 1 1 1 1 1 与平面ACD之间的距离为 1 1 3 3 2 3 3 A. B. C. D. 6 3 3 2 2807 (2024·高二课时练习)如图所示，在长方体ABCD-ABCD 中，AA=5,AB=12，则 1 1 1 1 1 直线BC 到平面ABCD 的距离是 ( ) 1 1 1 1 60 13 A.5 B.8 C. D. 13 2 2808 (2024·全国·高三专题练习)已知ABCD-ABCD 是棱长为1的正方体，则平面 1 1 1 1 ABD 与平面CBD的距离为 ． 1 1 1 2809 (2024·高二单元测试)在直三棱柱ABC-ABC 中，AA =AB=BC=3，AC=2，D 1 1 1 1 是AC的中点，则直线BC到平面ABD的距离为 ． 1 1 2810 (2024·全国·高三专题练习)如图，在长方体ABCD-ABCD 中，AA =AB=2，BC 1 1 1 1 1 =1，E、F、H分别是AB、CD、AB 的中点，则直线EC到平面AFH的距离为 . 1 1 2811 (2024·浙江温州·统考模拟预测)在棱长为1的正方体ABCD-ABCD 中，E为线段 1 1 1 1 AB 的中点，F为线段AB的中点，则直线FC到平面AEC 的距离为 ． 1 1 1 2812 (2024·高二课时练习)如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABCD 中，E为线段DD 1 1 1 1 1 的中点，F为线段BB 的中点． 1 第 页 共 页 535 1043(1)求直线FC 到直线AE的距离； 1 (2)求直线FC 到平面ABE的距离． 1 1 16 题型十六：点到直线距离、异面直线的距离 2813 (2024·全国·高三专题练习)如图，在三棱柱ABC-ABC 中，底面△ABC是边长为 1 1 1 2 3的正三角形，AA = 7，顶点A 在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是 1 1 异面直线AC,AB上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是 ( ) 1 1 7 6 A. B.2 C. 6 D. 2 2 2814 (2024·全国·高三专题练习)在长方体ABCD-ABCD 中，AB=1，BC=2，AA = 1 1 1 1 1 3，则异面直线AC与BC 之间的距离是 ( ) 1 5 7 6 6 A. B. C. D. 5 7 6 7 2815 (2024·全国·高三专题练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面 ABCD为正方形，且PA=AB=2，F为棱PD的中点，点M在PA上，且PM=2MA，则 CD的中点E到直线MF的距离是 ． 2816 (2024·全国·高三专题练习)已知空间中三点A(1,1, 3),B(1,-1,2),C(0,0,0)，则点A到 直线BC的距离为 ． 第 页 共 页 536 10432817 (2024·福建莆田·高三莆田一中校考期中)已知空间中三点A2,0,0  ，B0,2,0  ， C2,2,2  ，则点C到直线AB的距离为 ． 2818 (2024·全国·高三专题练习)如图，在长方体ABCD-ABCD 中，AA =AB=2，AD 1 1 1 1 1 =1，点F，G分别是AB，CC 的中点，则点D 到直线GF的距离为 ． 1 1 2819 (2024·全国·高三专题练习)如图，多面体ABC-ABC 是由长方体一分为二得到的， 1 1 1 AA =2，AB=BC=1，∠ABC=90°，点D是BB 中点，则异面直线DA 与BC 的距离 1 1 1 1 1 是 ． 2820 (2024·全国·高三专题练习)如图，在正方体ABCD-ABCD 中，AB=1，M，N分别 1 1 1 1 是棱AB，CC 的中点，E是BD的中点，则异面直线DM，EN间的距离为 . 1 1 2821 (2024·全国·高三专题练习)如图，正四棱锥P-ABCD的棱长均为2，点E为侧棱PD 的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为 ． 第 页 共 页 537 10432822 (2024·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习)在棱长为a的正方体 ABCD-ABCD 中，点M是线段DC 上的动点，则M点到直线AD 距离的最小值为 1 1 1 1 1 1 2823 (2024·全国·高三专题练习)在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面 ABCD⊥平面ABEF，活动弹子M,N分别在正方形对角线AC，BF上移动，则MN长度 的最小值是 ． 2824 (2024·全国·高三专题练习)已知直三棱柱ABC-ABC 中，侧面AABB为正方形. 1 1 1 1 1 AB=BC=2，E，F分别为AC和CC 的中点，BF⊥AB. 1 1 1 (1)求四棱锥E-BBCF的体积； 1 1 (2)是否存在点D在直线AB 上，使得异面直线BF，DE的距离为1?若存在，求出此时 1 1 线段DE的长；若不存在，请说明理由. 第 页 共 页 538 1043