文档内容
第65讲 双曲线及其性质
知识梳理
知识点一：双曲线的定义
平面内与两个定点F 1 ,F 2 的距离的差的绝对值等于常数(大于零且小于F 1 F 2 )的点的轨迹叫
做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)．用集合表示为
M MF 1 -MF 2 =2a 0<2a<F 1 F 2 ．
注意：(1)若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．
(2)当2a=F 1 F 2 时，点的轨迹是以F 和F 为端点的两条射线；当2a=0时，点的轨迹是线段 1 2
FF 的垂直平分线．
1 2
(3)2a>F 1 F 2 时，点的轨迹不存在．
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
①条件“F 1 F 2 >2a”是否成立；②要先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定a2，b2的值)，注
意a2+b2=c2的应用．
知识点二：双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质
标准方 x2 y2 y2 x2
- =1(a>0,b>0) - =1(a>0,b>0)
程 a2 b2 a2 b2
图形
焦点坐
F(-c,0)，F(c,0) F(0,-c)，F(0,c)
1 2 1 2
标
对称性 关于x，y轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐
A(-a,0)，A (a,0) A(0,a)，A (0,-a)
1 2 1 2
标
范围 x ≥a y ≥a
实轴、虚
实轴长为2a，虚轴长为2b
轴
c b2
离心率 e= = 1+ (e>1)
a a2
x2 y2 b y2 x2 a
渐近线 令 - =0⇒y=± x， 令 - =0⇒y=± x，
a2 b2 a a2 b2 b
方程
焦点到渐近线的距离为b 焦点到渐近线的距离为b
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659 1043点和双
>1,点(x 0 ,y 0 )在双曲线内 >1,点(x 0 ,y 0 )在双曲线内
曲线 x2 y2 (含焦点部分) y2 x2 (含焦点部分)
- -
的位置 a2 b2 =1,点(x 0 ,y 0 )在双曲线上 a2 b2 =1,点(x 0 ,y 0 )在双曲线上
<1,点(x ,y )在双曲线外 <1,点(x ,y )在双曲线外
关系 0 0 0 0
共焦点
x2 y2 y2 x2
的双曲 - =1(-a22c)
1
S ΔPF1F2 = 2 PF 1 ⋅PF 2 sin∠FPF 1 2
F 1 F 2 2=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 PF 2
cos∠FPF 1 2
等轴双 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线⇔a=b⇔离心率e= 2⇔两渐
曲线 近线互相垂直⇔渐近线方程为y=±x⇔方程可设为x2-y2=λ(λ≠0)．
【解题方法总结】
(1)双曲线的通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．
2b2
通径长为 ．
a
(2)点与双曲线的位置关系
x2 y2 x2 y2
对于双曲线 - =1(a>b>0)，点P(x ，y )在双曲线内部，等价于 0 - 0 >1．
a2 b2 0 0 a2 b2
x2 y2
点P(x ，y )在双曲线外部，等价于 0 - 0 <1 结合线性规划的知识点来分析．
0 0 a2 b2
(3)双曲线常考性质
ab
性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数b；顶点到两条渐近线的距离为常数 ；
c
a2b2
性质2：双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数 ；
c2
b2
(4)双曲线焦点三角形面积为 (可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面
θ
tan
2
积越大)
(5)双曲线的切线
x2 y2 x x
点M(x ，y )在双曲线 - =1(a>0，b>0)上，过点M作双曲线的切线方程为 0 -
0 0 a2 b2 a2
y y x2 y2
0 =1．若点M(x ，y )在双曲线 - =1(a>0，b>0)外，则点M对应切点弦方程为
b2 0 0 a2 b2
x x y y
0 - 0 =1
a2 b2
必考题型全归纳
1 题型一：双曲线的定义与标准方程
x2 y2
3531 (2024·全国·模拟预测)已知F，F 分别是离心率为2的双曲线E: + =
1 2 a2 b2
1a>0,b>0 的左，右焦点，过点F 的直线与双曲线的左、右两支分别交于点C，D，且 2
CF 1 =CD ，DF 1 =4，则E的标准方程为 .
x2 y2
3532 (2024·山东临沂·高二校考期末)已知双曲线E： - =1(a>0，b>0)，矩形ABCD
a2 b2
的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2AB =3BC =6，则双曲线E
的标准方程是 ．
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661 10435
3533 (2024·高二课时练习)设椭圆C 的离心率为 ，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线
1 13
C 上的点到椭圆C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 的标准方程为
2 1 2
．
1
3534 (2024·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习)渐近线方程为y=± x且经过点4,1
2
的双曲线标准方程为 ．
x2 y2
3535 (2024·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习)若双曲线C与双曲线 - =1有相同的渐
16 12
近线，且经过点2 2, 15 ，则双曲线C的标准方程是 ．
3536 (2024·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中)双曲线Γ经过两点A- 2,- 3 ，
15
B , 2
3
，则双曲线Γ的标准方程是 ．
x2 y2
3537 (2024·全国·模拟预测)已知F 1 ，F 2 分别是双曲线C: a2 - b2 =1a>0,b>0 的左、右焦
点，M是双曲线C的右支上一点，双曲线C的焦点到渐近线的距离为3，FM与MF 的夹
1 2
π
角为 ，MF-3MF
3 1 2
⊥MF+3MF
1 2
，则双曲线C的标准方程为 .
x2 y2
3538 (2024·广东·高三校联考阶段练习)已知双曲线Γ: - =1a>0,b>0
a2 b2
，四点
A6, 3
55
、B4,
5
、C5,2 、D-5,-2 中恰有三点在Γ上，则双曲线Γ的标准方程
为 ．
10
3539 (2024·高二课时练习)(1)若双曲线过点(3,9 2)，离心率e= ，则其标准方程为
3
．
(2)若双曲线过点P(2,-1)，渐近线方程是y=±3x，则其标准方程为 ．
y2 x2
(3)若双曲线与双曲线 - =1有共同的渐近线，且经过点M(3,-2)，则其标准方程
4 3
为 ．
2 题型二：双曲线方程的充要条件
x2 y2
3540 (2024·全国·高三对口高考)若曲线 + =1表示双曲线，那么实数k的取值范
3+k 2-k
围是 ( )
A. -3,2 B. -∞,-3 ∪2,+∞
C. -2,3 D. -∞,-2 ∪3,+∞
3541 (2024·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试)已知k∈R，则“-26 B.2-2 D.-63
2 5
C.若E表示双曲线，则焦距是定值 D.若E的离心率为 ，则m=
2 3
3544 (2024·四川南充·统考三模)设θ∈0,2π
x2 y2
，则“方程 + =1表示双曲线”的必要
3 4sinθ
不充分条件为 ( )
A.θ∈0,π
2π
B.θ∈ ,2π
3
3π
C.θ∈π,
2
π 3π
D.θ∈ ,
2 2
3 题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
y2 x2
3545 (2024·广东揭阳·高三校考开学考试)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0),O为坐标
a2 b2
原点，F 1 ,F 2 为双曲线C的两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF 1 =3PF 2 ,OP =b，则
双曲线C的方程可以为 ( )
y2 y2 x2 y2 x2 y2 x2
A. -x2=1 B. - =1 C. - =1 D. - =1
4 2 4 3 4 16 4
x2 y2
3546 (2024·安徽六安·六安一中校考模拟预测)已知双曲线C: - =1的左、右焦点分别
16 9
为F 1 、F 2 ，直线y=kx与双曲线C交于A，B两点，若AB =F 1 F 2 ，则△ABF 的面积等于 1
( )
A.18 B.10 C.9 D.6
x2 y2
3547 (2024·福建漳州·高三漳州三中校考阶段练习)已知双曲线Γ: - =1的左右焦点分
4 2
别为F,F，过F 的直线分别交双曲线Γ的左右两支于A,B两点，且∠FAB=∠FBA，则
1 2 1 2 2
BF 2 = ( )
A. 5+4 B.2 5+4 C.2 5 D. 5
x2 y2
3548 (2024·湖北恩施·校考模拟预测)已知F 1 ，F 2 分别为双曲线C： 4 - b2 =1b>0 的左右
焦点，且F 到渐近线的距离为1，过F 的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A,B两点，
1 2
且l⊥AF，则下列说法正确的为 ( )
1
A.△AFF 的面积为2 B.双曲线C的离心率为 2
12
1
C.AF ⋅BF =10+4 6 D.
1 1 AF 2
1
+
BF 2
= 6+2
3549 焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结
合起来．
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663 1043x2 y2
3550 (2024·全国·高三专题练习)双曲线 - =1的左、右焦点分别是F、F，过F 的弦
a2 b2 1 2 2
AB与其右支交于A、B两点，AB =m，则△ABF 的周长为 ( ) 1
A.4a B.4a-m C.4a+2m D.4a+m
13 x2 y2
3551 (2024·云南保山·统考模拟预测)已知F,F 是离心率等于 的双曲线C: - =1
1 2 3 m 4
的左右焦点，过焦点F 的直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，若△ABF 的周长
2 1
20，则|AB|等于 ( )
A.10 B.8 C.6 D.4
x2 y2
3552 (2024·全国·高三专题练习)设F，F 分别是双曲线 - =1的左、右焦点，P是该双
1 2 4 45
曲线上的一点，且3PF 1 =5PF 2 ，则△PFF 的面积等于 ( ) 1 2
A.14 3 B.7 15 C.15 3 D.5 15
y2
3553 (2024·全国·高三专题练习)设双曲线x2- =1的左、右焦点分别为F，F，点P在双曲
3 1 2
线上，下列说法正确的是 ( )
A.若△FPF 为直角三角形，则△FPF 的周长是2 7+4
1 2 1 2
B.若△FPF 为直角三角形，则△FPF 的面积是6
1 2 1 2
C.若△F 1 PF 2 为锐角三角形，则PF 1 +PF 2 的取值范围是2 7,8
D.若△F 1 PF 2 为钝角三角形，则PF 1 +PF 2 的取值范围是(8,+∞)
x2 y2
3554 (2024·吉林四平·高三双辽市第一中学校联考期末)设双曲线 - =1a>0,b>0
a2 b2
的左、右焦点分别F 1 、F 2 ，点Px,y 为双曲线右支上一点，△PFF 的内切圆圆心为 1 2
M2,2 ，则△PMF 的面积与△PMF 的面积之差为 ( ) 1 2
A.1 B.2 C.4 D.6
x2 y2
3555 (2024·全国·高三专题练习)已知双曲线 - =1的左右焦点分别为F,F，若双曲线
9 7 1 2
上一点P使得∠FPF =60°，求△FPF 的面积 ( )
1 2 1 2
7 3 14 3
A. B. C.7 3 D.14 3
3 3
x2
3556 (2024·上海浦东新·统考三模)设P为双曲线 -y2=1(a>0)的上一点，∠FPF =
a2 1 2
2π
，(F、F 为左、右焦点)，则ΔFPF 的面积等于 ( )
3 1 2 1 2
3 3 2 3
A. 3a2 B. a2 C. D.
3 3 3
4 题型四：双曲线上两点距离的最值问题
x2
3557 (2024·全国·高三专题练习)已知双曲线C: -y2=1的左右焦点为F，F，点M为双曲
2 1 2
线C上任意一点，则MF 1 ⋅MF 2 的最小值为 ( )
A.1 B. 2 C.2 D.3
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664 10433558 (2024·全国·高三专题练习)已知A3, 2
x2
是双曲线 -y2=1上一点，F 是左焦点，B 3 1
是右支上一点，AF 1 与△ABF 1 的内切圆切于点P，则F 1 P 的最小值为
A. 3 B.2 3 C.3 3- 2 D.6 3-2 2
3559 (2024·全国·高三专题练习)已知点M-5,0
x2 y2
，点P在曲线 - =1x>0
9 16
上运动，
点Q在曲线x-5
PM
2+y2=1上运动，则
2
PQ
的最小值是 ．
x2 y2
3560 (2024·河北衡水·统考模拟预测)已知双曲线 - =1，其右焦点为F，P为其上一
9 16
点，点M满足|MF|=1，MF⋅MP=0，则|MP|的最小值为 ( )
A.3 B. 3 C.2 D. 2
y2
3561 (2024·高二课时练习)已知直线l与双曲线x2- =1交于A，B两点，且AB=λOB
2
(O为坐标原点)，若M是直线x- 2y-3=0上的一个动点，则MA|2+
MB|2的最小值
为 ( )
A.12 B.6 C.16 D.8
y2
3562 (2024·广东韶关·高二统考期末)已知点F，F 是双曲线C:x2- =1的左、右焦点，点
1 2 3
P是双曲线C右支上一点，过点F 向∠FPF 的角平分线作垂线，垂足为点Q，则点A(
2 1 2
- 3,1)和点Q距离的最大值为 ( )
A.2 B. 7 C.3 D.4
5 题型五：双曲线上两线段的和差最值问题
3563 (2024·江苏徐州·高二统考期中)已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点F,F 在x轴上，
1 2
中心在坐标原点，点A的坐标为(5, 3)，P为双曲线右支上一动点，则PF 1 -PA 的最
大值为 ( )
A.2 2+2 B.4 2+2 C.2 2+4 D.4 2+4
x2 y2
3564 (2024·全国·高二专题练习)已知双曲线C: - =1a>0,b>0
a2 b2
，其一条渐近线方程
为x+ 3y=0，右顶点为A，左，右焦点分别为F 1 ，F 2 ，点P在其右支上，点B3,1 ，三角
3
形F 1 AB的面积为1+ 2 ，则当PF 1 -PB 取得最大值时点P的坐标为 ( )
6 6
A. 3- ,1-
2 2
6 6
B. 3+ ,1+
2 2
3 3
C. 3+ ,1+
2 10
6+5 78 10+ 78
D. ,
22 22
y2
3565 (2024·全国·高二专题练习)已知F是双曲线C：x2- =1的右焦点，P是C的左支上
8
一点，A0, 7 ，则PA +PF 的最小值为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
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665 10433566 (2024·宁夏银川·校联考二模)已知拋物线y2=16x上一点Am,n 到准线的距离为5,F
x2 y2
是双曲线 - =1的左焦点，P是双曲线右支上的一动点，则PF
4 12
+PA 的最小值为
( )
A.12 B.11 C.10 D.9
3567 (2024·全国·高二专题练习)已知点A0,3 7
x2 y2
，双曲线E: - =1的左焦点为F，点
2 7
P在双曲线E的右支上运动.当△APF的周长最小时，AP +PF = ( )
A.6 2 B.7 2 C.8 2 D.9 2
x2 y2
3568 (2024·福建宁德·高三统考阶段练习)已知双曲线C: - =1，点F是C的右焦点，若
12 4
点P为C左支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则d+|PF|的最小值为
( )
A.2+4 3 B.6 3 C.8 D.10
x2
3569 (2024·全国·高二专题练习)设F，F 为双曲线C： -y2=1的左、右焦点，Q为双曲线
1 2 3
右支上一点，点P(0，2)．当QF 1 +PQ 取最小值时，QF 2 的值为 ( )
A. 3- 2 B. 3+ 2 C. 6-2 D. 6+2
x2 y2
3570 (2024·全国·高二专题练习)设P是双曲线 - =1上一点，M、N分别是两圆(x-
9 16
5)2+y2=4和(x+5)2+y2=1上的点，则PM -PN 的最大值为 ( )
A.6 B.9 C.12 D.14
x2 y2
3571 (2024·全国·高三校联考阶段练习)已知点P是右焦点为F的双曲线 - =
10 10
1x> 10 上一点，点Q是圆x-8 2+y2=1上一点，则PF +PQ 的最小值是
.
x2 y2
3572 (2024·全国·高二专题练习)已知双曲线C: - =1的左焦点为F，点P是双曲线C
4 4
右支上的一点，点M是圆E:x2+(y-2 2)2=1上的一点，则PF +PM 的最小值为
( )
A.5 B.5+2 2 C.7 D.8
x2 y2
3573 (2024·全国·高一专题练习)已知双曲线C: - =1,F,F 是其左右焦点.圆E:x2+y2
9 7 1 2
-4y+3=0，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则|PQ|+PF 1 的最
小值是 ( )
A.5+2 5 B.5+2 2 C.7 D.8
x2 y2
3574 (2024·四川眉山·高二四川省眉山第一中学校考期中)已知F 是双曲线C: - =1
2 9 3
的右焦点，动点A在双曲线左支上，点B为圆E:x2+(y+2)2=1上一点，则AB +AF 2
的最小值为 ( )
第 页 共 页
666 1043A.9 B.8 C.5 3 D.6 3
y2
3575 (2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考模拟预测)过双曲线x2- =1的右支上一
15
点P，分别向圆C ：(x+4)2+y2=4和圆C ：(x-4)2+y2=1作切线，切点分别为M，N，
1 2
则PM 2-PN 2的最小值为
A.16 B.15 C.14 D.13
6 题型六：离心率的值及取值范围
方向1：利用双曲线定义去转换
x2 y2
3576 (2024·内蒙古赤峰·高三统考开学考试)已知F，F 分别为双曲线Ε： - =
1 2 a2 b2
1a>0,b>0 的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点(点A在第一象限)，延
长AF 2 交E于点C，若BF 2 =AC
π
，∠FBF = ，则双曲线E的离心率为 ( ) 1 2 3
A. 3 B.2 C. 5 D. 7
x2 y2
3577 (2024·陕西西安·高三校联考开学考试)已知F，F 分别为双曲线E: - =1(a>0,b
1 2 a2 b2
>0)的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点(点A在第一象限)，延长AF
2
交E于点C，若BF 2 =AC
π
，∠FBF = ，则双曲线E的离心率为 ( ) 1 2 3
A. 3 B.2 C. 5 D.1
x2 y2
3578 (2024·江西南昌·南昌市八一中学校考三模)已知双曲线C: - =1(a>0，b>0)的
a2 b2
左、右焦点分别为F，F，若在C上存在点P(不是顶点)，使得∠PFF =3∠PFF，则C的
1 2 2 1 1
离心率的取值范围为 ( )
A. 2,2 B. 3,+∞ C.(1, 3] D. 1, 2
x2 y2
3579 (2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测)已知双曲线C: - =1(a>0,b
a2 b2
>0)的左、右焦点分别为F,F,O为坐标原点，过原点的直线l与C相交于A,B两点，
1 2
F 1 F 2 =2|AO|，四边形AFBF 的面积等于c2，则C的离心率等于 ( ) 1 2
A. 2 B. 3 C.2 D. 5
x2 y2
3580 (2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)如图，已知双曲线C: - =
a2 b2
1a>0,b>0 的左、右焦点分别是F，F，点P在C上且位于第一象限，圆O 与线段FP 1 2 1 1
的延长线，线段PF 以及x轴均相切，△PFF 的内切圆为圆O .若圆O 与圆O 外切，且
2 1 2 2 1 2
圆O 与圆O 的面积之比为4，则C的离心率为 ( )
1 2
第 页 共 页
667 10435
A. 3 B. C.2 D.3
3
x2 y2
3581 (2024·四川成都·四川省成都列五中学校考三模)已知双曲线C: - =1(a>0,b>
a2 b2
0)的左、右焦点分别为F,F，过点F 的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若
1 2 1
FF+FA
1 2 1
⋅FA=0,FF+FA
2 1 2 1
=FF
1 2
，则双曲线C的离心率是 ( )
3+1 2+1
A. B. 3+1 C. 2+1 D.
2 2
x2 y2
3582 (2024·湖南·校联考模拟预测)如图，F、F 是双曲线E: - =1(a>0,b>0)的左、
1 2 a2 b2
右焦点，过F 1 的直线交双曲线的左、右两支于A、B两点，且BF 1 =4AF 1 ,OB =
a2+b2，则双曲线C的离心率为 ( )
29 29 58 58
A. B. C. D.
2 3 3 4
x2 y2
3583 (2024·贵州毕节·校考模拟预测)已知F是双曲线C: - =1(a>0,b>0)的一个焦
a2 b2
点，A为C的虚轴的一个端点，2OB=OA(O为坐标原点)，直线FB垂直于C的一条渐
近线，则C的离心率为 ( )
5+1 17+1 3 3
A. 2+1 B. C. D.
2 4 2
x2 y2
3584 (2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测)已知双曲线C: - =1b>a>0
a2 b2
的左焦
点为F，右顶点为A，一条渐近线与圆A:x-a 2+y2=b2在第一象限交于点M，MF交y
轴于点N，且∠FNA=90°，则C的离心率为 ( )
A. 3 B.2 C.1+ 2 D.2+ 2
x2 y2
3585 (2024·福建福州·福州四中校考模拟预测)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0),F为
a2 b2
左焦点，A 1 ,A 2 分别为左、左顶点，P为C右支上的点，且OP =OF (O为坐标原点).若
第 页 共 页
668 1043直线PF与以线段AA 为直径的圆相交，则C的离心率的取值范围为 ( )
1 2
A. 1, 3 B. 3,+∞ C. 5,+∞ D. 1, 5
y2 x2
3586 (2024·河南信阳·信阳高中校考模拟预测)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的上
a2 b2
下焦点分别为F,F，点M在C的下支上，过点M作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，
1 2
若MD >F 1 F 2 -MF 1 恒成立，则C的离心率的取值范围为 ( )
5
A. 1,
3
5
B. ,2
3
C. 1,2
5
D. ,+∞
3
x2 y2
3587 (2024·海南省直辖县级单位·统考模拟预测)已知F,F 分别是双曲线C: - =
1 2 a2 b2
1a>0,b>0
1
的左、右焦点，斜率为 的直线l过F，交C的右支于点B，交y轴于点A， 2 1
且∠BAF =∠ABF，则C的离心率为 ( )
2 2
2 5 2 3
A. B. C. 3 D. 5
3 3
x2 y2
3588 (2024·四川巴中·高三统考开学考试)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦
a2 b2
3
点分别为F,F，过F 斜率为 的直线与C的右支交于点P，若线段PF 恰被y轴平分，则
1 2 1 4 1
C的离心率为 ( )
1 2 3
A. B. C.2 D.3
2 3
x2 y2
3589 (2024·浙江·校联考模拟预测)已知点P是双曲线C: - =1(a>0,b>0)右支上一
a2 b2
点，F 1-c,0 ,F 2c,0 分别是C的左、右焦点，若∠FPF 的角平分线与直线x=a交于点 1 2
2
I，且S = S +S ，则C的离心率为 ( )
△IPF1 2 △IF1F2 △IPF2
A.2 B. 2 C.3 D. 3
3590 (2024·北京·首都师范大学附属中学校考模拟预测)已知F 1-c,0 ，F 2c,0 分别是双曲
x2 y2
线C： - =1(a>0，b>0)的两个焦点，P为双曲线C上一点，PF ⊥PF 且
a2 b2 1 2
π
∠PFF = ，那么双曲线C的离心率为 ( )
2 1 3
5
A. B. 3 C.2 D. 3+1
2
x2 y2
3591 (2024·上海嘉定·校考三模)已知双曲线Γ: - =1(a>0,b>0)的离心率为e，点B
a2 b2
的坐标为0,b ，若Γ上的任意一点P都满足PB ≥b，则 ( )
1+ 3 1+ 3
A.10,b>0)的左
a2 b2
焦点，P0, 6a ，直线PF与双曲线C有且只有一个公共点，则双曲线C的离心率为
第 页 共 页
669 1043( )
A. 2 B. 3 C.2 D. 6
3593 (2024·福建福州·福建省福州第一中学校考二模)圆O(O为原点)是半径为a的圆分别
x2 y2
与x轴负半轴、双曲线C: - =1(a>0,b>0)的一条渐近线交于P,Q两点(P在第
a2 b2
一象限)，若C的另一条渐近线与直线PQ垂直，则C的离心率为 ( )
A.3 B.2 C. 3 D. 2
x2 y2
3594 (2024·宁夏吴忠·高三吴忠中学校考开学考试)已知A，B分别是双曲线C: - =
a2 b2
1a>0,b>0 的左、右顶点，F是C的焦点，点P为C的右支上位于第一象限的点，且PF
⊥x轴.若直线PB与直线PA的斜率之比为3，则C的离心率为 ( )
A. 2 B. 3 C.2 D.3
x2 y2
3595 (2024·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习)如图，已知双曲线C: - =
a2 b2
1a>0,b>0 的右焦点为F，点P,Q分别在C的两条渐近线上，且P在第一象限，O为坐
标原点，若OF=QP，QF⊥OP，则双曲线C的离心率为 ( )
A.3 B. 3 C. 2 D.2
3596 (2024·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测)设过原点且倾斜角为60°的直线与双曲
x2 y2
线C： - =1(a>0,b>0)的左，右支分别交于A、B两点，F是C的焦点，若三角形
a2 b2
ABF的面积大于 6a2(a2+b2)，则C的离心率的取值范围是 ( )
A.(1, 7) B.( 2,7) C.(2,7) D.(2, 7)
x2 y2
3597 (2024·河南郑州·三模)已知F 1 ，F 2 分别是双曲线Γ： a2 - b2 =1a>0,b>0 的左、右焦
点，过F 的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，CB=5FA，BF 平
1 2 2
分∠FBC，则双曲线Γ的离心率为 ( )
1
2 6 2 3 4 6 8
A. B. C. D.
3 3 3 3
x2 y2
3598 (2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测)已知双曲线C： - =1(a>0，b
a2 b2
>0)的左、右焦点分别为F，F，过F 的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若
1 2 1
FB=4FA，△ABF 的周长为8a，则C的离心率为 ( )
1 1 2
第 页 共 页
670 10433 3 33 33
A. B. C. D.
2 2 3 2
x2 y2
3599 (2024·江西南昌·校联考模拟预测)已知F,F 分别为双曲线E： - =1(a>0，b>
1 2 a2 b2
0)的左、右焦点，过F 的直线l与E的左、右两支分别交于A,B两点．若△ABF₂是等边
1
三角形，则双曲线E的离心率为 ( )
A.2 3 B.3 C. 7 D. 5
x2 y2
3600 (2024·江苏·校联考模拟预测)已知圆O：x2+y2=a2+b2与双曲线C： - =
a2 b2
1a>0,b>0
7
的右支交于点A，B，若cos∠AOB=- ，则C的离心率为 ( )
25
A.2 B. 5 C. 3 D. 7
x2 y2
3601 (2024·贵州·校联考模拟预测)已知双曲线E: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别
a2 b2
为F,F，过F 的直线l: 3x-y+m=0与双曲线E的右支交于点M,O为坐标原点，过
1 2 1
点O作ON⊥MF，垂足为N，若MN=5NF，则双曲线E的离心率是 ( )
1 1
A.3+ 5 B.2 5 C.3+ 7 D.2 7
x2 y2
3602 (2024·重庆·统考模拟预测)已知F 1 ，F 2 分别为双曲线C： a2 - b2 =1a>0,b>0 的左、
右焦点，点Ax 1 ,y 1 为双曲线C在第一象限的右支上一点，以A为切点作双曲线C的切
1
线交x轴于点B，若cos∠FAF = ，且FB=2BF，则双曲线C的离心率为 ( )
1 2 2 1 2
A.2 2 B. 5 C.2 D. 3
x2 y2
3603 (2024·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测)已知F,F 分别是双曲线C: - =1(a>
1 2 a2 b2
0,b>0)的左、右焦点，过点F 作直线AB⊥FF 交C于A,B两点.现将C所在平面沿直
2 1 2
线FF 折成平面角为锐角α的二面角，如图，翻折后A,B两点的对应点分别为A,B，且
1 2
1-cosα 25
∠AFB=β⋅若 = ，则C的离心率为 ( )
1 1-cosβ 16
A. 3 B.2 2 C.3 D.3 2
x2 y2
3604 (2024·河南·校联考二模)已知双曲线C： - =1a>0,b>0
a2 b2
的左、右焦点分别是
F 1 ，F 2 ，P是双曲线C上的一点，且PF 1 =5，PF 2 =3，∠FPF =120°，则双曲线C的离心 1 2
率是 ( )
7 7 7 7
A. B. C. D.
5 4 3 2
第 页 共 页
671 1043x2 y2
3605 (多选题)(2024·湖南·高二期末)已知双曲线C: - =1b>a>0
a2 b2
的左、右焦点分
别为F,F，双曲线上存在点P(点P不与左、右顶点重合)，使得∠PFF =3∠PFF，则双曲
1 2 2 1 1 2
线C的离心率的可能取值为 ( )
6 10
A. B. 3 C. D.2
2 2
x2 y2
3606 (2024·全国·高三专题练习(理))已知双曲线 - =1a>0,b>0
a2 b2
的左、右焦点分别
为F 1 ,F 2 ，M为双曲线右支上的一点，若M在以F 1 F 2 为直径的圆上，且∠MFF ∈ 2 1
π 5π
,
3 12
，则该双曲线离心率的取值范围为 ( )
A. 1, 2 B. 2,+∞ C. 1, 3+1 D. 2, 3+1
x2
3607 (2024·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试(文))已知F、F 分别为双曲线C： -
1 2 a2
y2
=1a>0,b>0
b2
的左、右焦点，O为原点，双曲线上的点P满足OP =b，且
sin∠PFF
1 2 =3，则该双曲线C的离心率为 ( )
sin∠PFF
2 1
6
A. 2 B. C.2 D. 3
2
x2 y2
3608 (2024·四川成都·高三开学考试(文))已知双曲线C: - =1a>0,b>0
a2 b2
，F为右焦
点，过点F作FA⊥x轴交双曲线于第一象限内的点A，点B与点A关于原点对称，连接
AB，BF，当∠ABF取得最大值时，双曲线的离心率为 ．
x2 y2
3609 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 - =
a2 b2
1a>0,b>0 的左、右顶点为A、B，若该双曲线上存在点P，使得直线PA、PB的斜率之
和为1，则该双曲线离心率的取值范围为 ．
3610 (2024·四川·高三开学考试(理))如图为陕西博物馆收藏的国宝--唐·金筐宝钿团化纹
金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分
x2 y2
可以近似看作是双曲线C: - =1a>0,b>0
a2 b2
的部分的旋转体．若该双曲线上存在
点P，使得直线PA，PB(点A，B为双曲线的左、右顶点)的斜率之和为4，则该双曲线离
心率的取值范围为 ．
x2 y2
3611 (2024·广西·校联考模拟预测)已知双曲线C： - =1a>0,b>0
a2 b2
，O为坐标原点，
过C的右焦点F作C的一条渐近线的平行线交C的另一条渐近线于点Q，若tan∠OQF
3
=- ，则C的离心率为 ( )
4
第 页 共 页
672 104310
A. 6 B.3 C. 10 D.
3
x2 y2
3612 (2024·贵州·校联考模拟预测)已知直线l:4x-2y-7=0与双曲线C: - =
a2 b2
1a>0,b>0 的两条渐近线分别交于点A，B(不重合)，AB的垂直平分线过点3,0 ，则
双曲线C的离心率为 ( )
2 3 5-1 6
A. B. C. 3 D.
3 2 2
x2 y2
3613 (2024·山东聊城·统考三模)已知双曲线C： - =1(a>0,b>0)的右焦点为F，过
a2 b2
F分别作C的两条渐近线的平行线与C交于A，B两点，若|AB|=2 3b，则C的离心率
为 ( )
A. 3+2 B. 2+2 C. 3+1 D. 2+1
x2 y2
3614 (2024·辽宁葫芦岛·统考二模)设F，F 是双曲线C： - =1(a>0，b>0)的左、右
1 2 a2 b2
焦点，O是坐标原点．过F 作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF|=3|OP|，则C
2 1
的离心率为 ( )
A. 6 B.2 C. 3 D. 2
y2 x2
3615 (2024·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测)已知P为双曲线C: - =1(a>0,b
a2 b2
>0)上的动点，O为坐标原点，以OP为直径的圆与双曲线C的两条渐近线交于A(x,
1
y)，B(x ,y )两点(A，B异于点O)，若yy >0恒成立，则该双曲线离心率的取值范围为
1 2 2 1 2
( )
A.(1, 2] B.(1, 3] C.[ 2,+∞) D.[ 2, 3]
y2 x2
3616 (2024·四川雅安·高三雅安中学校联考阶段练习)已知双曲线C: - =1(a>0,b>
a2 b2
0)的上焦点为F，过焦点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，并与另一条渐近线交于
点B，若|FB|=4|AF|，则C的离心率为 ( )
15 15 2 5 2 6 2 6 2 10
A. B. 或 C. D. 或
3 3 3 3 3 5
x2 y2
3617 (2024·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测)已知双曲线C： - =1(a>0,b>
a2 b2
0)的左、右焦点分别为F，F，点P为第一象限内一点，且点P在双曲线C的一条渐近线
1 2
上，PF 1 ⊥PF 2 ，且 PF 1=3 PF 2 ，则双曲线C的离心率为 ( )
5 5 5 10
A. B. C. D.
4 2 2 2
x2 y2
3618 (2024·四川成都·石室中学校考模拟预测)已知双曲线C的方程为 - =1(a>0,b
a2 b2
3
>0)，斜率为 的直线l与圆x2+y2-2mx=0(m>0)相切于M，与双曲线C的两条
3
渐近线分别相交于A，B，且M为AB中点，则双曲线C的离心率为 ( )
A.2 B. 2 C. 3 D. 6
第 页 共 页
673 1043x2 y2
3619 (2024·江苏无锡·校联考三模)已知点P在双曲线C: - =1a>0,b>0
a2 b2
上，P到两
1
渐近线的距离为d 1 ，d 2 ，若d 1 d 2 ≤ 2 OP 2恒成立，则C的离心率的最大值为 ( )
A. 2 B. 3 C.2 D. 5
x2 y2
3620 (多选题)(2024·云南·罗平县第一中学高二期中)已知双曲线C： - =
a2 b2
1a>0,b>0 的左焦点为F，过点F作C的一条渐近线的平行线交C于点A，交另一条渐
近线于点B.若FA=2AB，则下列说法正确的是 ( )
A.双曲线C的离心率为 3
B.双曲线C的渐近线方程为y=± 2x
b2
C.点A到两渐近线的距离的乘积为
4
2
D.O为坐标原点，则tan∠AOB=
4
x2 y2
3621 (2024·湖南郴州·高二期末)双曲线C: - =1a,b>0
a2 b2
的左右顶点为A,B，过原点
的直线l与双曲线C交于M,N两点，若AM,AN的斜率满足k ⋅k =2，则双曲线C的
AM AN
离心率为 ．
x2 y2
3622 (2024·贵州·高三凯里一中校联考开学考试)设直线y=kx与双曲线C: - =1(a>
a2 b2
0,b>0)相交于A,B两点，P为C上不同于A,B的一点，直线PA,PB的斜率分别为k,
1
k ，若C的离心率为 2，则k ⋅k = ( )
2 1 2
A.3 B.1 C.2 D. 3
3623 (2024·江西南昌·统考三模)不与x轴重合的直线l经过点Nx N ,0 x N ≠0 ，双曲线C:
x2 y2
- =1(a>0,b>0)上存在两点A,B关于l对称，AB中点M的横坐标为x ，若x
a2 b2 M N
=4x ，则C的离心率为 ( )
M
5
A. B. 2 C.2 D. 5
2
x2 y2
3624 (2024·全国·高三专题练习)已知双曲线M: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别
a2 b2
为F 1 ,F 2 ,F 1 F 2
a 3c
=2c.若双曲线M的右支上存在点P，使 = ，则双曲 sin∠PFF sin∠PFF
1 2 2 1
线M的离心率的取值范围为 .
x2 y2
3625 (2024·吉林长春·二模(文))已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为
a2 b2
F 1 ，F 2 ，点P在双曲线的右支上，且 PF 1=4 PF 2 ，则双曲线离心率的取值范围是 ( )
5
A. ,2 3
5
B. 1, 3 C. 1,2
5
D. ,+∞ 3
x2 y2
3626 (2024·江苏·金沙中学高二阶段练习)设双曲线C: - =1(a>0,b>0)的焦距为
a2 b2
2c(c>0)，左、右焦点分别是F 1 ，F 2 ，点P在C的右支上，且cPF 2 =aPF 1 ，则C的离心率
的取值范围是 ( )
第 页 共 页
674 1043A. 1, 2 B. 2,+∞ C. 1,1+ 2 D. 1+ 2,+∞
x2 y2
3627 (2024·山西·朔州市朔城区第一中学校高二开学考试)设双曲线 - =1(a>0,b>
a2 b2
0)的左、右焦点分别为F 1 、F 2 ，点P在双曲线的右支上，且PF 1 =3PF 2 ，则双曲线离心率
的取值范围是 ( )
5
A.(1,2] B. 1,
3
4
C.[2,+∞) D. ,+∞
3
x2 y2
3628 (2024·湖南·衡阳市八中一模(文))已知双曲线 - =1a>0,b>0
a2 b2
的左、右焦点分
别为F 1 、F 2 ，点P在双曲线的右支上，且PF 1 =4PF 2 ，则此双曲线的离心率e的最大值为
( )
5 6 5 8
A. B. C. D.
4 5 3 5
x2 y2
3629 (2024·全国·高三专题练习)已知F,F 是双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点，
1 2 a2 b2
P为双曲线左支上一点，若 PF 2 2
PF 1
的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是
( )
A.(1,3) B.(1,2) C.(1,3] D.(1,2]
7 题型七：双曲线的简单几何性质问题
x2
3630 (2024·上海·上海市七宝中学校考模拟预测)等轴双曲线 -y2=1(a>0)的焦距为
a2
.
x2
3631 (2024·四川自贡·统考三模)已知双曲线C： -y2=1的左、右焦点分别为F，F，过F
3 1 2 1
作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于B点，则△OAB的内切圆的半
径为 ．
x2 y2
3632 (2024·四川·校联考模拟预测)已知双曲线 - =1的右焦点为F，过双曲线上一点
4 2
2 6
P(x ,y )(y ≠0)的直线x x-2y y-4=0与直线x= 6相交于点A，与直线x=
0 0 0 0 0 3
AF
相交于点B，则
BF
= .
3633 (2024·贵州毕节·校考模拟预测)已知双曲线C的左、右焦点分别为F,F，存在过点F 的
1 2 2
直线与双曲线C的右支交于A,B两点，且△ABF 为正三角形．试写出一个满足上述条
1
件的双曲线C的方程： ．
x2 y2
3634 (2024·陕西渭南·统考一模)已知双曲线C: - =1a>0,b>0
a2 b2
的焦距为4，焦点到
C的一条渐近线的距离为1，则C的渐近线方程为
x2 y2
3635 (2024·江西南昌·校联考模拟预测)已知双曲线C: - =1(a>0，b>0)的一条渐近
a2 b2
线恰好平分第一、三象限，若C的虚轴长为4，则C的实轴长为 .
第 页 共 页
675 1043x2 y2
3636 (2024·河北唐山·统考二模)已知直线l： 3x-y-2 3=0过双曲线C： - =
a2 b2
1a>0,b>0 的一个焦点，且与C的一条渐近线平行，则C的实轴长为 ．
x2 y2
3637 (2024·北京房山·高三统考开学考试)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率为
a2 b2
5，其中一条渐近线与圆(x-2)2+(y-2)2=1交于A,B两点，则|AB|= .
8 题型八：利用第一定义求解轨迹
3638 (2024·全国·高三对口高考)已知动圆P过点N-2,0 ，且与圆M:x-2 2+y2=8外切，
则动圆P圆心Px,y 的轨迹方程为 .
x2
3639 (2024·全国·高考真题)设P为双曲线 -y2=1上一动点，O为坐标原点，M为线段
4
OP的中点，则点M的轨迹方程为 ．
3640 (2024·全国·高三专题练习)已知圆C ：(x+3)2+y2=1和圆C ：(x-3)2+y2=9，动圆
1 2
M同时与圆C 及圆C 相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .
1 2
x2 y2
3641 (2024·全国·高三专题练习)已知双曲线C: - =1，F、F 是双曲线C的左、右焦
4 3 1 2
点，M是双曲线C右支上一点，l是∠FMF 的平分线，过F 作l的垂线，垂足为P，则点P
1 2 2
的轨迹方程为 ．
3642 (2024·全国·高三专题练习)已知平面内两定点A-5,0 ，B5,0 ，动点M满足
MA -MB =6，则点M的轨迹方程是 .
3643 (2024·全国·高三专题练习)若动圆与两定圆(x+5)2+y2=1及(x-5)2+y2=49都外
切，则动圆圆心的轨迹方程是 .
3644 (2024·全国·高三专题练习)已知圆C 1 ：x2+y+3 2=9和圆C 2 ：x2+y-3 2=1，动圆
M同时与圆C 及圆C 外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为 .
1 2
3645 (2024·全国·高三专题练习)已知A(-5，0)，B(5，0)，动点P满足PB
1
， PA
2
，8成等差
数列，则点P的轨迹方程为 .
3646 (2024·全国·高三专题练习)已知点M(-3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于
点B，分别过点M,N且与圆C相切的两条直线相交于点P，则点P的轨迹方程为 .
3647 (2024·全国·高三专题练习)若动圆过定点A-3,0 且和定圆C：x-3 2+y2=4外切，
则动圆圆心P的轨迹方程是 .
y2
3648 (2024·全国·高三专题练习)已知点P是双曲线x2- =1右支上一动点，F,F 是双曲
3 1 2
PF PF
线的左、右焦点，动点Q满足下列条件：①QF ⋅ 1 + 2
2
|PF| |PF|
1 2
=0，②QP+
PF PF
λ 1 + 2
|PF| |PF|
1 2
=0，则点Q的轨迹方程为 .
3649 (2024·河北张家口·高三统考阶段练习)已知圆C：x+5 2+y2=36和点B5,0 ，P是圆
上一点，线段BP的垂直平分线交CP于M点，则M点的轨迹方程是 .
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676 1043a
3650 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B- ,0
2
a
,C ,0
2
1
(a>0)，且满足条件sinC-sinB= sinA，则动点A的轨迹方程是 ．
2
x2 y2
3651 (2024·全国·统考一模)设F、F 是双曲线 - =1(a>0,b>0)的左右焦点，M是双
1 2 a2 b2
曲线上任意一点，过F 作∠FMF 平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹方程是
1 1 2
.
9 题型九：双曲线的渐近线
x2 y2
3652 (2024·山东潍坊·统考模拟预测)若双曲线 - =1的离心率为 3，则其渐近线方程
a2 b2
为 ．
y2
3653 (2024·上海徐汇·高三上海市徐汇中学校考期中)双曲线 -x2=1两条渐近线的夹角
3
大小是
x2 y2
3654 (2024·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测)已知P为双曲线 - =1上一点，
4 5
以P为切点的切线为l，直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于点M,N，则△OMN(O
为坐标原点)的面积为 ．
y2
3655 (2024·湖南·高三校联考阶段练习)已知F,F 为双曲线x2- =1(b>0)的左、右焦点，
1 2 b2
过F 作直线y=-bx的垂线分别交双曲线的左、右两支于B,C两点(如图).若△CBF 构
1 2
成以∠BCF 为顶角的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为 .
2
xex-1+1, x≥0
3656 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)= 点M、N是函数f(x)图象
1+x2, x<0
上不同的两个点，则tan∠MON(O为坐标原点)的取值范围是 ．
x2 y2
3657 (2024·山东泰安·统考模拟预测)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的左右焦点分别
a2 b2
为F,F，过F 作渐近线的垂线交双曲线的左支于点P，已知 PF 1
1 2 2
PF 2
1 = ，则双曲线的渐近
2
线方程为 ．
x2 y2
3658 (2024·重庆万州·统考模拟预测)已知双曲线C： - =1a>0,b>0
a2 b2
的左、右焦点
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677 1043分别为F，F，P是C在第一象限上的一点，且直线PF 的斜率为 3，∠FPF 的平分线
1 2 2 1 2
FB⋅FP
交x轴于点A，点B满足BP=2AB， 1 1
FP
1
FB⋅FF
= 1 1 2
FF
1 2
，则双曲线C的渐近线方程为
．
10 题型十：共焦点的椭圆与双曲线
3659 (2024·河南南阳·南阳中学校考三模)已知椭圆C 与双曲线C 共焦点，双曲线C 实轴的
1 2 2
两顶点将椭圆C 的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则椭圆的离心率为 ( )
1
3 3 5 5
A. B. C. D.
3 2 3 4
3660 (2024·全国·高三专题练习)椭圆与双曲线共焦点F，F，它们在第一象限的交点为P，设
1 2
∠FPF =2θ，椭圆与双曲线的离心率分别为e ，e ，则 ( )
1 2 1 2
cos2θ sin2θ sin2θ cos2θ
A. + =1 B. + =1
e2 e2 e2 e2
1 2 1 2
e2 e2 e2 e2
C. 1 + 2 =1 D. 1 + 2 =1
cos2θ sin2θ sin2θ cos2θ
x2 y2
3661 (2024·全国·高二专题练习)已知F是椭圆C ： + =1(a>b>0)的右焦点，A为椭
1 a2 b2
x2 y2
圆C 的下顶点，双曲线C ： - =1(m>0，n>0)与椭圆C 共焦点，若直线AF与
1 2 m2 n2 1
1 2
双曲线C 的一条渐近线平行，C ，C 的离心率分别为e ，e ，则 + 的最小值为
2 1 2 1 2 e e
1 2
．
y2 x2
3662 (2024·陕西宝鸡·高二统考期末)已知双曲线与椭圆 + =1共焦点，它们的离心率
25 9
24
之和为 ，则双曲线方程为 .
5
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678 1043
