文档内容
第65讲 双曲线及其性质
知识梳理
知识点一：双曲线的定义
平面内与两个定点F 1 ,F 2 的距离的差的绝对值等于常数(大于零且小于F 1 F 2 )的点的轨迹叫
做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)．用集合表示为
M MF 1 -MF 2 =2a 0<2a<F 1 F 2 ．
注意：(1)若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．
(2)当2a=F 1 F 2 时，点的轨迹是以F 和F 为端点的两条射线；当2a=0时，点的轨迹是线段 1 2
FF 的垂直平分线．
1 2
(3)2a>F 1 F 2 时，点的轨迹不存在．
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
①条件“F 1 F 2 >2a”是否成立；②要先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定a2，b2的值)，注
意a2+b2=c2的应用．
知识点二：双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质
标准方 x2 y2 y2 x2
- =1(a>0,b>0) - =1(a>0,b>0)
程 a2 b2 a2 b2
图形
焦点坐
F(-c,0)，F(c,0) F(0,-c)，F(0,c)
1 2 1 2
标
对称性 关于x，y轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐
A(-a,0)，A (a,0) A(0,a)，A (0,-a)
1 2 1 2
标
范围 x ≥a y ≥a
实轴、虚
实轴长为2a，虚轴长为2b
轴
c b2
离心率 e= = 1+ (e>1)
a a2
x2 y2 b y2 x2 a
渐近线 令 - =0⇒y=± x， 令 - =0⇒y=± x，
a2 b2 a a2 b2 b
方程
焦点到渐近线的距离为b 焦点到渐近线的距离为b
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2200 3427点和双
>1,点(x 0 ,y 0 )在双曲线内 >1,点(x 0 ,y 0 )在双曲线内
曲线 x2 y2 (含焦点部分) y2 x2 (含焦点部分)
- -
的位置 a2 b2 =1,点(x 0 ,y 0 )在双曲线上 a2 b2 =1,点(x 0 ,y 0 )在双曲线上
<1,点(x ,y )在双曲线外 <1,点(x ,y )在双曲线外
关系 0 0 0 0
共焦点
x2 y2 y2 x2
的双曲 - =1(-a22c)
1
S ΔPF1F2 = 2 PF 1 ⋅PF 2 sin∠FPF 1 2
F 1 F 2 2=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 PF 2
cos∠FPF 1 2
等轴双 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线⇔a=b⇔离心率e= 2⇔两渐
曲线 近线互相垂直⇔渐近线方程为y=±x⇔方程可设为x2-y2=λ(λ≠0)．
【解题方法总结】
(1)双曲线的通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．
2b2
通径长为 ．
a
(2)点与双曲线的位置关系
x2 y2 x2 y2
对于双曲线 - =1(a>b>0)，点P(x ，y )在双曲线内部，等价于 0 - 0 >1．
a2 b2 0 0 a2 b2
x2 y2
点P(x ，y )在双曲线外部，等价于 0 - 0 <1 结合线性规划的知识点来分析．
0 0 a2 b2
(3)双曲线常考性质
ab
性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数b；顶点到两条渐近线的距离为常数 ；
c
a2b2
性质2：双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数 ；
c2
b2
(4)双曲线焦点三角形面积为 (可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面
θ
tan
2
积越大)
(5)双曲线的切线
x2 y2 x x
点M(x ，y )在双曲线 - =1(a>0，b>0)上，过点M作双曲线的切线方程为 0 -
0 0 a2 b2 a2
y y x2 y2
0 =1．若点M(x ，y )在双曲线 - =1(a>0，b>0)外，则点M对应切点弦方程为
b2 0 0 a2 b2
x x y y
0 - 0 =1
a2 b2
必考题型全归纳
1 题型一：双曲线的定义与标准方程
x2 y2
3531 (2024·全国·模拟预测)已知F，F 分别是离心率为2的双曲线E: + =
1 2 a2 b2
1a>0,b>0 的左，右焦点，过点F 的直线与双曲线的左、右两支分别交于点C，D，且 2
CF 1 =CD ，DF 1 =4，则E的标准方程为 .
y2
【答案】x2- =1
3
【解析】
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2202 3427c
由题意知 a =2，∴2c=2a，由双曲线的定义知2a=CF 2 -CF 1 =CF 2 -CD =
DF 2 ，DF 1 -DF 2 =2a，
则DF 1 =2a+DF 2
y2
=4a=4，∴a=1，c=2，∴b2=3，∴E的标准方程为x2- =1. 3
y2
故答案为：x2- =1.
3
x2 y2
3532 (2024·山东临沂·高二校考期末)已知双曲线E： - =1(a>0，b>0)，矩形ABCD
a2 b2
的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2AB =3BC =6，则双曲线E
的标准方程是 ．
x2 y2
【答案】 - =1
1 3
4 4
【解析】由题意得AB =3，BC =2．如图所示，设AB，CD的中点分别为M，N，
在Rt△BMN中，MN =2c=2，故BN = BM 2+MN 3 2=
2
2 +22= 5 ．
2
由双曲线的定义可得2a=BN -BM
5 3
= - =1，
2 2
1 3
则a2= ，又2c=2，所以c=1，b2= ．
4 4
x2 y2
所以双曲线E的标准方程是 - =1．
1 3
4 4
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2203 3427x2 y2
故答案为： - =1.
1 3
4 4
5
3533 (2024·高二课时练习)设椭圆C 的离心率为 ，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线
1 13
C 上的点到椭圆C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 的标准方程为
2 1 2
．
x2 y2
【答案】 - =1
16 9
【解析】根据题意可知椭圆方程中的a=13，
c 5
∵ =
a 13
∴c=5
根据双曲线的定义可知曲线C 为双曲线，其中半焦距为5，实轴长为8
2
∴虚轴长为6
x2 y2
∴双曲线方程为 - =1
16 9
1
3534 (2024·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习)渐近线方程为y=± x且经过点4,1
2
的双曲线标准方程为 ．
x2 y2
【答案】 - =1
12 3
1
【解析】设渐近线方程为y=± x且经过点4,1
2
x2
的双曲线的方程为 -y2=λλ≠0
4
，
将点4,1
42
的坐标代入双曲线的方程可得λ= -12=3，
4
x2 x2 y2
所以，所求双曲线的方程为 -y2=3，其标准方程为 - =1.
4 12 3
x2 y2
故答案为： - =1.
12 3
x2 y2
3535 (2024·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习)若双曲线C与双曲线 - =1有相同的渐
16 12
近线，且经过点2 2, 15 ，则双曲线C的标准方程是 ．
y2 x2
【答案】 - =1
9 12
x2 y2
【解析】由双曲线C与双曲线 - =1有相同的渐近线，
16 12
x2 y2
可设双曲线C的方程为 - =λ，又C过点2 2, 15
16 12
，
3 x2 y2 3
所以λ=- ， - =- ，
4 16 12 4
y2 x2
整理得双曲线C的标准方程是 - =1．
9 12
y2 x2
故答案为： - =1
9 12
3536 (2024·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中)双曲线Γ经过两点A- 2,- 3 ，
15
B , 2
3
，则双曲线Γ的标准方程是 ．
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2204 3427y2
【答案】x2- =1
3
【解析】设双曲线的方程为mx2+ny2=1,mn<0，
2m+3n=1 m=1
由题意可得： 5 ，解得 1 ，
m+2n=1 n=-
3 3
y2
所以双曲线Γ的标准方程是x2- =1.
3
y2
故答案为：x2- =1.
3
x2 y2
3537 (2024·全国·模拟预测)已知F 1 ，F 2 分别是双曲线C: a2 - b2 =1a>0,b>0 的左、右焦
点，M是双曲线C的右支上一点，双曲线C的焦点到渐近线的距离为3，FM与MF 的夹
1 2
π
角为 ，MF-3MF
3 1 2
⊥MF+3MF
1 2
，则双曲线C的标准方程为 .
x2 y2
【答案】 - =1
4 9
x2 y2
【解析】∵双曲线C: - =1a>0,b>0
a2 b2
b
的一条渐近线为y= x，即bx-ay=0，
a
b bc
故焦点F(c,0)到渐近线y= x的距离
2 a
bc
= =b，∴b=3.
a2+b2 c
π 2π
∵向量FM与MF 的夹角为 ，∴∠FMF = .
1 2 3 1 2 3
∵MF-3MF
1 2
⊥MF+3MF
1 2
，
∴MF-3MF 1 2
⋅MF+3MF 1 2
=MF 1
2-9MF 2 2=0，∴MF 1 =3MF 2 ，
由双曲线的定义知，2a=MF 1 -MF 2 =2MF 2 ，∴MF 2 =a，MF 1 =3a.
在△MF 1 F 2 中，由余弦定理知4c2=F 1 F 2 2=MF 1 2+MF 2 2-2MF 1 MF 2 cos∠FMF 1 2
2π
=9a2+a2-2×3a×acos =13a2，
3
又b=3，∴13a2=4c2=4a2+4b2=4a2+4×32，∴a2=4，
x2 y2
∴该双曲线的标准方程为 - =1.
4 9
x2 y2
故答案为： - =1.
4 9
x2 y2
3538 (2024·广东·高三校联考阶段练习)已知双曲线Γ: - =1a>0,b>0
a2 b2
，四点
A6, 3
55
、B4,
5
、C5,2 、D-5,-2 中恰有三点在Γ上，则双曲线Γ的标准方程
为 ．
x2
【答案】 -y2=1
5
【解析】因为点C、D关于原点对称，且双曲线Γ也关于原点对称，故点C、D都在双曲线
Γ上，
62 52 3 22 6 3 52 22
对于点A， > ， < ，所以， - > - =1，即点A不在双曲线Γ上，
a2 a2 b2 b2 a2 b2 a2 b2
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2205 342725 4
- =1
a2 b2
所以，点B、C、D都在双曲线Γ上，所以， 55
16 5
-
a2
a2=5
2 ，解得 b2=1 ，
=1
b2
x2
因此，双曲线Γ的标准方程为 -y2=1.
5
x2
故答案为： -y2=1.
5
10
3539 (2024·高二课时练习)(1)若双曲线过点(3,9 2)，离心率e= ，则其标准方程为
3
．
(2)若双曲线过点P(2,-1)，渐近线方程是y=±3x，则其标准方程为 ．
y2 x2
(3)若双曲线与双曲线 - =1有共同的渐近线，且经过点M(3,-2)，则其标准方程
4 3
为 ．
y2 x2 x2 y2 x2 y2
【答案】 - =1 - =1 - =1
81 9 35 35 6 8
9
c2 10
【解析】(1)由e2= = ，设a2=9k(k>0)，则c2=10k，b2=c2-a2=k．
a2 9
x2 y2 y2 x2
设所求双曲线的方程为 - =1①或 - =1②，
9k k 9k k
把3,9 2 代入①，得k=-161，与k>0矛盾，舍去；
把3,9 2 代入②，得k=9．
y2 x2
∴所求双曲线的标准方程为 - =1．
81 9
x2
(2)由渐近线方程3x±y=0，可设所求双曲线的方程为 -y2=λ(λ≠0)①，
1
9
将点P(2,-1)的坐标代入①式，得λ=35，
x2 y2
∴所求双曲线的标准方程为 - =1．
35 35
9
y2 x2
(3)设所求双曲线的方程为 - =λλ≠0
4 3
，
∵点M(3,-2)在双曲线上，
4 9
∴ - =λ，即λ=-2，
4 3
x2 y2
∴双曲线的标准方程为 - =1．
6 8
y2 x2 x2 y2 x2 y2
故答案为： - =1； - =1； - =1.
81 9 35 35 6 8
9
【解题方法总结】
求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：
(1)在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数a，b，c，即利用待定
系数法求方程．
(2)根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即
利用定义法求方程．
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2206 34272 题型二：双曲线方程的充要条件
x2 y2
3540 (2024·全国·高三对口高考)若曲线 + =1表示双曲线，那么实数k的取值范
3+k 2-k
围是 ( )
A. -3,2 B. -∞,-3 ∪2,+∞
C. -2,3 D. -∞,-2 ∪3,+∞
【答案】B
x2 y2
【解析】曲线 + =1表示双曲线，所以3+k
3+k 2-k
2-k <0即可.
解得k<-3或k>2，
所以实数k的取值范围是：-∞,-3 ∪2,+∞ .
故选：B.
3541 (2024·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试)已知k∈R，则“-20，即-26 B.2-2 D.-63
2 5
C.若E表示双曲线，则焦距是定值 D.若E的离心率为 ，则m=
2 3
【答案】B
【解析】由题意得，当10
x2 y2
即 + =1，要表示椭圆，需满足m-1>0 ，解得13，故B正确；
由B的分析知，m<1时，c2=3-m+1-m=4-2m ，此时c不确定，
故焦距不是定值，C错误；
2
若E的离心率为 ，则此时曲线表示椭圆，由A的分析知，1m-1时，10,n>0,m≠n；
m n
x2 y2
+ =1表示双曲线方程的充要条件为：mn<0；
m n
x2 y2
+ =1表示圆方程的充要条件为：m=n>0．
m n
3 题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
y2 x2
3545 (2024·广东揭阳·高三校考开学考试)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0),O为坐标
a2 b2
原点，F 1 ,F 2 为双曲线C的两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF 1 =3PF 2 ,OP =b，则
双曲线C的方程可以为 ( )
y2 y2 x2 y2 x2 y2 x2
A. -x2=1 B. - =1 C. - =1 D. - =1
4 2 4 3 4 16 4
【答案】B
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2208 3427【解析】设F 为双曲线的下焦点，F 为双曲线的上焦点，
1 2
如图所示，过点P作PH⊥FF 于点H.
1 2
因为PF 1 =3PF 2 ,PF 1 -PF 2 =2a，所以PF 2 =a，
因为PO =b,OF 2 =c，
所以PF 2 2+|PO|2=a2+b2=c2=OF 2 2，所以∠OPF =90°， 2
1
故 OP 2 ⋅PF 2
1
= 2 OF 2 ⋅HP ，得HP
ab
= . c
因为HO|2+ HP|2=|OP|2，所以HO
b2 ab b2
= ，故点P- ,
c c c
，
ab b2
将P- ,
c c
y2 x2
代入双曲线 - =1中，
a2 b2
b2
c
即
2 ab -
c
-
a2
2
=1，化简得b4-a4=a2c2,b4-a4=a2 a2+b2
b2
，
b4 b2 b2
b4-a2b2-2a4=0, - -2=0, -2
a4 a2 a2
b2
+1
a2
=0，
b2 b2
解得 =2或 =-1(舍去)，故B项正确.
a2 a2
故选：B.
x2 y2
3546 (2024·安徽六安·六安一中校考模拟预测)已知双曲线C: - =1的左、右焦点分别
16 9
为F 1 、F 2 ，直线y=kx与双曲线C交于A，B两点，若AB =F 1 F 2 ，则△ABF 的面积等于 1
( )
A.18 B.10 C.9 D.6
【答案】C
【解析】直线y=kx与双曲线C交于A，B两点，若AB =F 1 F 2 ，
则四边形AF 1 BF 2 为矩形，所以AF 1 ⊥BF 1 ，BF 1 =AF 2 ，
x2 y2
由双曲线C: - =1可得a=4，b=3，则c= a2+b2= 16+9=5，
16 9
所以AB =F 1 F 2 =2c=10，所以AF 1 2+BF 1 2=AB 2=100，
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2209 3427又 AF 1 -BF 1 = AF 1 -AF 2 =2a=8，
所以AF 1 2+BF 1 2-2AF 1 BF 1 =64，解得AF 1 BF 1 =18，
1
所以S △ABF1 = 2 AF 1 BF 1 =9．
故选：C．
x2 y2
3547 (2024·福建漳州·高三漳州三中校考阶段练习)已知双曲线Γ: - =1的左右焦点分
4 2
别为F,F，过F 的直线分别交双曲线Γ的左右两支于A,B两点，且∠FAB=∠FBA，则
1 2 1 2 2
BF 2 = ( )
A. 5+4 B.2 5+4 C.2 5 D. 5
【答案】C
x2 y2
【解析】由双曲线Γ: - =1得出a=2,b= 2,c= 6.
4 2
因为∠F 2 AB=∠F 2 BA，所以F 2 A =F 2 B .
作FC⊥AB于C，则C是AB的中点.
2
设F 2 A =F 2 B =x，则由双曲线的定义F 2 A -F 1 A =2a,F 1 B -F 2 B =2a，
可得F 1 A =x-4,F 1 B =x+4,AB =8.
CB
故cos∠FBF =
1 2
BF 2
4
= ，
x
x+4
又由余弦定理得cos∠FBF =
1 2
2+x2-2 6 2
2x+4
x2+4x-4
=
⋅x x+4
，
⋅x
4 x2+4x-4
所以 =
x x+4
，解得x=2 5.
⋅x
故选：C
x2 y2
3548 (2024·湖北恩施·校考模拟预测)已知F 1 ，F 2 分别为双曲线C： 4 - b2 =1b>0 的左右
焦点，且F 到渐近线的距离为1，过F 的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A,B两点，
1 2
且l⊥AF，则下列说法正确的为 ( )
1
A.△AFF 的面积为2 B.双曲线C的离心率为 2
12
1
C.AF ⋅BF =10+4 6 D.
1 1 AF 2
1
+
BF 2
= 6+2
【答案】D
【解析】设双曲线C的半焦距为c>0，
因为双曲线C的焦点在x轴上，且a=2，
b
则其中一条渐近线方程为y=
2
x，即bx-2y=0，且F 1-c,0 ，
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2210 3427-bc
则F 到渐近线的距离
1
bc
= =b=1，可得c= a2+b2= 5.
4+b2 c
对于选项A：因为AF 2 -AF 1 =4，且AF 1 2+AF 2 2=F 1 F 2 =2c 2=20，
可得 AF 2 -AF 1 2+2AF 1 ⋅AF 2 =16+2AF 1 ⋅AF 2 =20，解得AF 1 ⋅AF 2 =2，
1
所以△AF 1 F 2 的面积为 2 AF 1 ⋅AF 2 =1，故A错误；
c 5
对于选项B：双曲线C的离心率为e= = ，故B错误；
a 2
对于选项C：因为 AF 2 -AF 1 =4
AF 1 ⋅AF 2
，可得 AF 1
=2
= 6-2
AF 2
，
= 6+2
所以AF ⋅BF =FA⋅FB=FA⋅FA+AB 1 1 1 1 1 1
=F 1 A2+F 1 A⋅AB=F 1 A2= 6-2 2=10
-4 6，故C错误；
对于选项D：设BF 2 =m，则BF 1 =m+4,AB = 6+2-m，
因为BF 1 2=AB 2+AF 1 2，即m+4 2= 6+2-m 2+ 6-2
6- 6
2，解得m= ， 15
1
所以
AF 2
1
+
BF 2
1 1
= + = 6+2，故D正确；
6+2 6- 6
15
故选：D.
3549 焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结
合起来．
x2 y2
3550 (2024·全国·高三专题练习)双曲线 - =1的左、右焦点分别是F、F，过F 的弦
a2 b2 1 2 2
AB与其右支交于A、B两点，AB =m，则△ABF 的周长为 ( ) 1
A.4a B.4a-m C.4a+2m D.4a+m
【答案】C
【解析】由题可得AF 1 -AF 2 =2a,BF 1 -BF 2 =2a，
则△ABF 1 的周长为AF 1 +BF 1 +AB = AF 2 +2a + BF 2 +2a +AB =2AB +
4a=2m+4a.
故选：C．
13 x2 y2
3551 (2024·云南保山·统考模拟预测)已知F,F 是离心率等于 的双曲线C: - =1
1 2 3 m 4
的左右焦点，过焦点F 的直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，若△ABF 的周长
2 1
20，则|AB|等于 ( )
A.10 B.8 C.6 D.4
【答案】D
x2 y2
【解析】设双曲线C: - =1的实半轴长、虚半轴长、半焦距分别为a,b,c，则a2=m，
m 4
b2=4．
13 m+4 13
因为离心率e= ，则e2= = ，所以a2=m=9，a=3，
3 m 9
由双曲线的定义知，AF 1 -AF 2 =2a，BF 1 -BF 2 =2a，则AF 1 +BF 1 =4a+AB ，
所以△ABF 1 的周长L=4a+2AB =20，AB =10-2a=4，
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2211 3427故选：D．
x2 y2
3552 (2024·全国·高三专题练习)设F，F 分别是双曲线 - =1的左、右焦点，P是该双
1 2 4 45
曲线上的一点，且3PF 1 =5PF 2 ，则△PFF 的面积等于 ( ) 1 2
A.14 3 B.7 15 C.15 3 D.5 15
【答案】C
【解析】设PF 1 =5x，PF 2 =3x，则由双曲线的定义可得：PF 1 -PF 2 =5x-3x=2x
=2a=4，所以x=2，故PF 1 =10，PF 2 =6，又F 1 F 2 =14，故cos∠FPF = 1 2
100+36-196 1 3 1 3
=- ，故sin∠FPF = ，所以△PFF 的面积为 ×10×6× =
2×10×6 2 1 2 2 1 2 2 2
15 3.
故选：C.
y2
3553 (2024·全国·高三专题练习)设双曲线x2- =1的左、右焦点分别为F，F，点P在双曲
3 1 2
线上，下列说法正确的是 ( )
A.若△FPF 为直角三角形，则△FPF 的周长是2 7+4
1 2 1 2
B.若△FPF 为直角三角形，则△FPF 的面积是6
1 2 1 2
C.若△F 1 PF 2 为锐角三角形，则PF 1 +PF 2 的取值范围是2 7,8
D.若△F 1 PF 2 为钝角三角形，则PF 1 +PF 2 的取值范围是(8,+∞)
【答案】C
y2
【解析】因为双曲线x2- =1，所以a=1,b= 3,c=2，
3
不妨设点P在第一象限，则PF 1 -PF 2 =2a=2，
若△FPF 为直角三角形，
1 2
当∠F 1 PF 2 =90°时，则PF 1 2+PF 2 2=F 1 F 2 2=2c 2=16，
又PF 1 -PF 2 =2a=2，即 PF 1 -PF 2 2=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2 =4，
所以PF 1 ⋅PF 2 =6，
PF 1 +PF 2 2=PF 1 2+PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2 =28，
所以PF 1 +PF 2 =2 7，
1
所以△F 1 PF 2 的周长是2 7+4，△F 1 PF 2 的面积是 2 PF 1 ⋅PF 2 =3；
当∠PF 2 F 1 =90°时，设P1,y 0 ，
代入方程解得y 0 =3(负值舍去)，所以P1,3 ，
故PF =3，所以PF =5，
2 1
所以△FPF 的周长是12，△FPF 的面积是6，
1 2 1 2
综上所述，若△FPF 为直角三角形，
1 2
则△FPF 的周长是2 7+4或8，
1 2
△FPF 的面积是3或6，
1 2
故A、B错误；
若△F 1 PF 2 为锐角三角形，根据上述，则PF 1 +PF 2 的取值范围是2 7,8 ，故C正确；
若△F 1 PF 2 为钝角三角形，根据上述，则PF 1 +PF 2 的取值范围是4,2 7 ∪8,+∞ ，
故D错误.
故选：C.
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2212 3427x2 y2
3554 (2024·吉林四平·高三双辽市第一中学校联考期末)设双曲线 - =1a>0,b>0
a2 b2
的左、右焦点分别F 1 、F 2 ，点Px,y 为双曲线右支上一点，△PFF 的内切圆圆心为 1 2
M2,2 ，则△PMF 的面积与△PMF 的面积之差为 ( ) 1 2
A.1 B.2 C.4 D.6
【答案】C
r
【解析】设△PF 1 F 2 内切圆的半径为r，则S △PMF1 = 2 PF 1
r
，S △PMF2 = 2 PF 2 ，
r
∴S △PMF1 -S △PMF2 = 2 PF 1 -PF 2 =ar.
过点M作MA⊥PF 于点A，MB⊥FF 于点B，MC⊥PF 于点C，
1 1 2 2
则由△PF 1 F 2 的内切圆圆心为M2,2 知：r=MB =2，AF 1 =BF 1 =2+c，BF 2 =
CF 2 =c-2，AP =PC ，
∴PF 1 -PF 2 =AF 1 -CF 2 =2+c-c-2 =2a，解得：a=2，
∴S -S =4.
△PMF1 △PMF2
故选：C.
x2 y2
3555 (2024·全国·高三专题练习)已知双曲线 - =1的左右焦点分别为F,F，若双曲线
9 7 1 2
上一点P使得∠FPF =60°，求△FPF 的面积 ( )
1 2 1 2
7 3 14 3
A. B. C.7 3 D.14 3
3 3
【答案】C
【解析】先根据双曲线方程得到a=3，b= 7，c=4，设PF 1 =m，PF 2 =n，可得，
m-n =2a=2. 由∠F 1 PF 2 =60°，在△F 1 PF 2 根据余弦定理可得:F 1 F 2 2=PF 1 2+PF 2 2-
第 页 共 页
2213 34272PF 1 PF 2
x2 y2
cos60°，即可求得答案.∵ - =1，所以a=3，b= 7，c=4， 9 7
∵P在双曲线上，设PF 1 =m，PF 2 =n，
∴m-n =2a=6①
由∠FPF =60°，在△FPF 根据余弦定理可得:
1 2 1 2
F 1 F 2 2=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 PF 2 cos60°
故64=m2+n2-mn②
由①②可得mn=28，
1
∴直角△F 1 PF 2 的面积S △F1PF2 = 2 PF 1 ⋅PF 2
1
sin∠FPF = mn⋅sin60°=7 3 1 2 2
故选：C.
x2
3556 (2024·上海浦东新·统考三模)设P为双曲线 -y2=1(a>0)的上一点，∠FPF =
a2 1 2
2π
，(F、F 为左、右焦点)，则ΔFPF 的面积等于 ( )
3 1 2 1 2
3 3 2 3
A. 3a2 B. a2 C. D.
3 3 3
【答案】C
x2
【解析】双曲线 -y2=1(a>0)，则b=1
a2
不妨设P是双曲线的右支上一点，
则由双曲线的定义，得|PF|-|PF|=2a
1 2
2π
则∠FPF = ,
1 2 3
2π
所以4c2=|PF|2+|PF|2-2|PF|⋅|PF|cos
1 2 1 2 3
=|PF|2+|PF|2+|PF|⋅|PF|
1 2 1 2
=(|PF|-|PF|)2+3|PF|⋅|PF|
1 2 1 2
所以4c2=4a2+3|PF|⋅|PF|，即3|PF|⋅|PF|=4c2-4a2=4b2=4
1 2 1 2
4
所以|PF|⋅|PF|=
1 2 3
1 2π 1 4 3 3
所以S = |PF|⋅|PF|sin = × × =
△F1PF2 2 1 2 3 2 3 2 3
故选：C
【解题方法总结】
对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即 PF 1 -PF 2 =2a，在
1
焦点三角形面积问题中若已知角，则用S ΔPF1F2 = 2 PF 1 ⋅PF 2 sinθ，PF 1 -PF 2 =2a及
1
余弦定理等知识；若未知角，则用S ΔPF1F2 = 2 ⋅2c⋅y 0 ．
4 题型四：双曲线上两点距离的最值问题
x2
3557 (2024·全国·高三专题练习)已知双曲线C: -y2=1的左右焦点为F，F，点M为双曲
2 1 2
线C上任意一点，则MF 1 ⋅MF 2 的最小值为 ( )
A.1 B. 2 C.2 D.3
【答案】A
第 页 共 页
2214 3427【解析】根据双曲线的定义，设点M在双曲线C右支上，则|MF 1 |-MF 2 =2a=2 2，设
|MF|=x(x≥ 3- 2)，再根据二次函数的性质计算可得；由题意知，F(- 3,0)，F
2 1 2
( 3,0)，不妨设点M在双曲线C右支上，则|MF 1 |-MF 2 =2a=2 2，设|MF|=x(x≥ 2
3- 2)，所以MF 1 ⋅MF 2 =(x+2 2)x=x+ 2 2-2，所以当x= 3- 2时，
MF 1 ⋅MF 2 的值最小，最小为1，故选：A.
3558 (2024·全国·高三专题练习)已知A3, 2
x2
是双曲线 -y2=1上一点，F 是左焦点，B 3 1
是右支上一点，AF 1 与△ABF 1 的内切圆切于点P，则F 1 P 的最小值为
A. 3 B.2 3 C.3 3- 2 D.6 3-2 2
【答案】B
AF+BF-AB
【解析】AF 与△ABF 的内切圆切于点P，∴FP= 1 1 ,由双曲线定义BF
1 1 1 2 1
AF+BF-AB 5 3+BF-AB
=BF +2a=BF +2 3,AF =3 3 ∴FP= 1 1 = 2 ≥
2 2 1 1 2 2
5 3-AF
2 = 2 3,当且仅当A,B, F 共线时取等
2 2
故选B
3559 (2024·全国·高三专题练习)已知点M-5,0
x2 y2
，点P在曲线 - =1x>0
9 16
上运动，
点Q在曲线x-5
PM
2+y2=1上运动，则
2
PQ
的最小值是 ．
【答案】20
【解析】如下图所示：
x2 y2
在双曲线 - =1中，a=3，b=4，c= a2+b2=5，
9 16
圆x-5 2+y2=1的圆心为C5,0 ，半径长为r=1，
x2 y2
所以，双曲线 - =1的左、右焦点分别为M、C，
9 16
由双曲线的定义可得PM =PC +2a=PC +6，PQ ≤PC +1，
PM
所以，
2
PQ
PC
≥
+6 2
PC
= PC
+1
+1
25
+
PC
+10≥2 PC
+1
+1
25
⋅
PC
+10
+1
=20，
当且仅当Q为射线PC与圆C的交点，且PC =4时，等号成立，
PM
故
2
PQ
的最小值是20.
第 页 共 页
2215 3427故答案为：20.
x2 y2
3560 (2024·河北衡水·统考模拟预测)已知双曲线 - =1，其右焦点为F，P为其上一
9 16
点，点M满足|MF|=1，MF⋅MP=0，则|MP|的最小值为 ( )
A.3 B. 3 C.2 D. 2
【答案】B
x2 y2
【解析】双曲线 - =1的右焦点F(5，0)
9 16
∵M满足| MF |=1，∴点M在以F为圆心，1为半径的圆上
∵ MF⋅MP=0，即圆的半径MF⊥MP，即| MP |为圆F的切线长
由圆的几何性质，要使| MP |最小，只需圆心F到P的距离|FP|最小
x2 y2
∵P是双曲线 - =1上一点
9 16
∴|FP|最小为c-a=5-3=2，此时| MP |= |FP|2-1= 4-1= 3
故选：B．
y2
3561 (2024·高二课时练习)已知直线l与双曲线x2- =1交于A，B两点，且AB=λOB
2
(O为坐标原点)，若M是直线x- 2y-3=0上的一个动点，则MA|2+
MB|2的最小值
为 ( )
A.12 B.6 C.16 D.8
【答案】D
【解析】由AB=λOB，可知A，B，O三点共线，即直线l过原点O，
根据双曲线对称性知O为AB中点，即MA+MB=2MO，
1
可得MA2+MB2= MA+MB
2
2+MA-MB 2
1
=2MO2+ BA2，
2
当MO 和BA 同时取最小值时，MA|2+ MB|2取最小值，
又由MO
3
的最小值为原点O到直线x- 2y-3=0距离d= = 3，
3
且|BA| =2a=2，即MA2+MB2的最小值是8．
min
故选：D.
y2
3562 (2024·广东韶关·高二统考期末)已知点F，F 是双曲线C:x2- =1的左、右焦点，点
1 2 3
第 页 共 页
2216 3427P是双曲线C右支上一点，过点F 向∠FPF 的角平分线作垂线，垂足为点Q，则点A(
2 1 2
- 3,1)和点Q距离的最大值为 ( )
A.2 B. 7 C.3 D.4
【答案】C
【解析】如图所示，延长FQ，交PF 于点T，则因为PQ平分∠FPF，PQ⊥FQ，所以
2 1 1 2 2
|PT|=|PF 2 |，TQ =F 2 Q ，
y2
因为P在双曲线x2- =1上，所以|PF|-|PF|=2，所以|FT|=2，
3 1 2 1
1
连接OQ，则|OQ|= |FT|=1，
2 1
因为AO = 3+1=2，
所以QA ≤OQ +AO =2+1=3，当A,O,Q三点共线时取等号，
即点A(- 3,1)和点Q距离的最大值为3，
故选：C
【解题方法总结】
利用几何意义进行转化．
5 题型五：双曲线上两线段的和差最值问题
3563 (2024·江苏徐州·高二统考期中)已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点F,F 在x轴上，
1 2
中心在坐标原点，点A的坐标为(5, 3)，P为双曲线右支上一动点，则PF 1 -PA 的最
大值为 ( )
A.2 2+2 B.4 2+2 C.2 2+4 D.4 2+4
【答案】B
【解析】因为等轴双曲线的左、右焦点F,F 在x轴上，中心在坐标原点，
1 2
所以可设双曲线的方程为x2-y2=a2，
又因为双曲线的焦距为8，所以c=4，
x2 y2
而2a2=c2，所以a2=8，故双曲线的标准方程为 - =1.
8 8
由双曲线的定义可知，PF 1 -PA =PF 2 -PA +2a≤AF 2 +2a，
由题意可知，F(4,0)，A(5, 3)，a=2 2，
2
所以AF 2 =2,故PF 1 -PA 的最大值为AF 2 +2a=2+4 2，
当且仅当P、A、F 三点共线且点P位于第一象限时取得最大值.
2
故选：B
第 页 共 页
2217 3427x2 y2
3564 (2024·全国·高二专题练习)已知双曲线C: - =1a>0,b>0
a2 b2
，其一条渐近线方程
为x+ 3y=0，右顶点为A，左，右焦点分别为F 1 ，F 2 ，点P在其右支上，点B3,1 ，三角
3
形F 1 AB的面积为1+ 2 ，则当PF 1 -PB 取得最大值时点P的坐标为 ( )
6 6
A. 3- ,1-
2 2
6 6
B. 3+ ,1+
2 2
3 3
C. 3+ ,1+
2 10
6+5 78 10+ 78
D. ,
22 22
【答案】B
【解析】设F 1-c,0 ,F 2c,0
3 1
，则由三角形F 1 AB的面积为1+ 2 可得 2 a+c ×1=1
3 b 3
+ ，即a+c=2+ 3，又双曲线一条渐近线方程为x+ 3y=0，故 = ，即a=
2 a 3
3b，故c2=a2+b2=4b2,c=2b，故 3b+2b=2+ 3，解得b=1，故a= 3,c=2，双曲
x2
线C: -y2=1.
3
又由双曲线的定义可得PF 1 -PB =2 3+PF 2 -PB ≤2 3+BF 2 ，当且仅当P,B,
F 共线且B在P,F 中间时取得等号.
2 2
1
此时直线BF 2 的方程为y= 3-2 x-2
x2
-y2=1
，即y=x-2，联立 3 可得2x2-12x
y=x-2
6 6
+15=0，解得x=3± ，由题意可得B在P,F 中间可得x=3+ ，代入y=x-2
2 2 2
6 6 6
可得y=1+ ，故P3+ ,1+
2 2 2
.
故选：B
y2
3565 (2024·全国·高二专题练习)已知F是双曲线C：x2- =1的右焦点，P是C的左支上
8
一点，A0, 7 ，则PA +PF 的最小值为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】B
第 页 共 页
2218 3427y2
【解析】由双曲线方程x2- =1可知，a=1，c=3，故右焦点F3,0
8
，左焦点F 1-3,0 ，
当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知PF -PF 1 =2，所以PF =PF 1 +2，
从而PA +PF =PA +PF 1 +2≥AF 1 +2，又AF 1 = 32+(- 7)2=4为定值，
所以PA +PF ≥6，此时点P在线段AF 与双曲线的交点处(三点共线距离最短)， 1
故选：B.
3566 (2024·宁夏银川·校联考二模)已知拋物线y2=16x上一点Am,n 到准线的距离为5,F
x2 y2
是双曲线 - =1的左焦点，P是双曲线右支上的一动点，则PF
4 12
+PA 的最小值为
( )
A.12 B.11 C.10 D.9
【答案】D
【解析】拋物线y2=16x的准线为x=-4，
则点Am,n 到准线的距离为m+4=5，所以m=1，
则n=±4，故A1,±4 ，
x2 y2
设F 1 是双曲线 4 - 12 =1的右焦点，F 14,0
则PF -PF 1 =2a=4，则PF =PF 1 +4，
故PF +PA =PA +PF 1 +4≥AF 1 +4= 9+16+4=9，
当且仅当A,P,F 三点共线时取等号，
1
所以PF +PA 的最小值为9.
故选：D.
3567 (2024·全国·高二专题练习)已知点A0,3 7
x2 y2
，双曲线E: - =1的左焦点为F，点
2 7
P在双曲线E的右支上运动.当△APF的周长最小时，AP +PF = ( )
A.6 2 B.7 2 C.8 2 D.9 2
【答案】C
x2 y2
【解析】由双曲线E: - =1得到a= 2,b= 7,c=3，左焦点F-3,0
2 7
，
设右焦点F 13,0 .当△APF的周长最小时，AP +PF 取到最小值，所以只需求出AP
+PF 的最小值即可.
AP +PF =AP +PF 1 +2a≥AF 1 +2a= 0-3 2+3 7-0 2+2 2=8 2.
故选：C.
第 页 共 页
2219 3427x2 y2
3568 (2024·福建宁德·高三统考阶段练习)已知双曲线C: - =1，点F是C的右焦点，若
12 4
点P为C左支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则d+|PF|的最小值为
( )
A.2+4 3 B.6 3 C.8 D.10
【答案】A
x2 y2
【解析】由双曲线C: - =1,可得a=2 3,b=2，F(4，0),
12 4
b 3
设双曲线左焦点为F(-4，0)，不妨设一条渐近线为l:y=- x=- x，即x+ 3y=
a 3
0，
作PE⊥l，垂足为E，即|PE|=d，
|-4|
作FH⊥l,垂足为H，则|FH|= =2，
12+( 3)2
因为点P为C左支上的动点，
所以PF -PF =2a，可得PF =2a+PF ，
故d+FP =PE +2a+PF =2a+PE +|PF|，
由图可知，当P,F,E三点共线时，即E和H点重合时，2a+PE +|PF|取得最小值，
最小值为2×2 3+|FH|=4 3+2，
即d+|PF|的最小值为4 3+2，
故选：A．
x2
3569 (2024·全国·高二专题练习)设F，F 为双曲线C： -y2=1的左、右焦点，Q为双曲线
1 2 3
右支上一点，点P(0，2)．当QF 1 +PQ 取最小值时，QF 2 的值为 ( )
A. 3- 2 B. 3+ 2 C. 6-2 D. 6+2
【答案】A
【解析】由双曲线定义得QF 1 -QF 2 =2a=2 3,
故QF 1 +PQ =PQ +QF 2 +2 3
如图示，当P,Q,F 2 三点共线，即Q在M位置时，QF 1 +PQ 取最小值，
第 页 共 页
2220 3427∵F 22,0 ,P(0,2)，故PF 方程为y=-x+2， 2
x2 6 6
联立 -y2=1，解得点Q的坐标为3- , -1
3 2 2
(Q为第一象限上的一点)，
6
故|QF|= 3- -2 2 2
2 6
+ -1 2
2
= 3- 2 2= 3- 2
故选：A
x2 y2
3570 (2024·全国·高二专题练习)设P是双曲线 - =1上一点，M、N分别是两圆(x-
9 16
5)2+y2=4和(x+5)2+y2=1上的点，则PM -PN 的最大值为 ( )
A.6 B.9 C.12 D.14
【答案】B
x2 y2
【解析】因为双曲线方程为
9
-
16
=1，故c2=9+16=25，则其焦点为F 1-5,0 ,
F 25,0 ，
根据题意，作图如下：
则PM ≤PF 2 +2，当且仅当P,M,F 三点共线，且F 在P,M之间时取得等号； 2 2
PN ≥PF 1 -1，当且仅当P,N,F 三点共线，且N在P,F 之间时取得等号； 1 1
则-PN ≤1-PF 1 ，
故可得PM -PN ≤3+PF 2 -PF 1 =3+6=9，
故PM -PN 的最大值为：9.
故选：B.
x2 y2
3571 (2024·全国·高三校联考阶段练习)已知点P是右焦点为F的双曲线 - =
10 10
1x> 10 上一点，点Q是圆x-8 2+y2=1上一点，则PF +PQ 的最小值是
第 页 共 页
2221 3427.
【答案】7+2 5-2 10
x2 y2
【解析】设双曲线 - =1x> 10 10 10 的左焦点为F，则F(-2 5,0)， 1 1
设圆x-8 2+y2=1的圆心为D，则D(8,0)，半径r=1.
x2 y2
因为双曲线 - =1x> 10
10 10
x2 y2
表示双曲线 - =1的右支(除去顶点)，
10 10
由定义可知：PF =PF 1 -2a=PF 1 -2 10，
所以PF +PQ =PF 1 +PQ -2 10≥F 1 Q -2 10
(当且仅当P,F,Q三点共线时等号成立)，
1
因为F 1 Q min =F 1 D -r=8+2 5-1=7+2 5，
所以PF +PQ 的最小值为7+2 5-2 10，
故答案为：7+2 5-2 10.
x2 y2
3572 (2024·全国·高二专题练习)已知双曲线C: - =1的左焦点为F，点P是双曲线C
4 4
右支上的一点，点M是圆E:x2+(y-2 2)2=1上的一点，则PF +PM 的最小值为
( )
A.5 B.5+2 2 C.7 D.8
【答案】C
【解析】记双曲线C的右焦点为F 12 2,0 ，所以PF +PM =PF 1 +PM +4≥PF 1
+PE +4-1≥EF 1 +3=4+3=7，
当且仅当点P为线段EF 与双曲线C的交点时，取到最小值．
1
故选：C．
x2 y2
3573 (2024·全国·高一专题练习)已知双曲线C: - =1,F,F 是其左右焦点.圆E:x2+y2
9 7 1 2
-4y+3=0，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则|PQ|+PF 1 的最
小值是 ( )
A.5+2 5 B.5+2 2 C.7 D.8
【答案】A
【解析】
由题设知，F 1-4,0 ，F 24,0 ，E0,2 ，圆E的半径r=1
由点P为双曲线C右支上的动点知
PF 1 =PF 2 +6，∴PF 1 +PQ =PF 2 +PQ +6
∴ PF 1 +PQ min = PF 2 +PQ min +6=F 2 E -r+6=2 5-1+6=5+2 5.
故选：A
x2 y2
3574 (2024·四川眉山·高二四川省眉山第一中学校考期中)已知F 是双曲线C: - =1
2 9 3
第 页 共 页
2222 3427的右焦点，动点A在双曲线左支上，点B为圆E:x2+(y+2)2=1上一点，则AB +AF 2
的最小值为 ( )
A.9 B.8 C.5 3 D.6 3
【答案】A
【解析】
x2 y2
双曲线 - =1中a=3，b= 3，c= 9+3=2 3，F(-2 3,0)，圆E半径为r=
9 3 1
1，E(0,-2)，
∴AF 2 =AF 1 +2a=AF 1 +6，AB ≥AE -BE =AE -1(当且仅当A,E,B共线
且B在A,E间时取等号．
∴AB +AF 2 ≥AF 1 +6+AE -1=AF 1 +AE +5≥EF 1 +5= (2 3)2+22+5
=9，当且仅当A是线段EF 与双曲线的交点时取等号．
1
∴AB +AF 2 的最小值是9．
故选：A．
y2
3575 (2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考模拟预测)过双曲线x2- =1的右支上一
15
点P，分别向圆C ：(x+4)2+y2=4和圆C ：(x-4)2+y2=1作切线，切点分别为M，N，
1 2
则PM 2-PN 2的最小值为
A.16 B.15 C.14 D.13
【答案】D
【解析】圆C ：(x+4)2+y2=4的圆心为(-4，0)，半径为r =2；
1 1
圆C ：(x-4)2+y2=1的圆心为(4，0)，半径为r =1，
2 2
y2
设双曲线x2- =1的左右焦点为F(-4，0)，F(4，0)，
15 1 2
连接PF，PF，FM，FN，可得
1 2 1 2
|PM|2-|PN|2=(|PF|2-r2)-(|PF|2-r2)
1 1 2 2
=(|PF|2-4)-(|PF|2-1)
1 2
=|PF|2-|PF|2-3=(|PF|-|PF|)(|PF|+|PF|)-3
1 2 1 2 1 2
=2a(|PF|+|PF|-3=2(|PF|+|PF|)-3≥2•2c-3=2•8-3=13．
1 2 1 2
当且仅当P为右顶点时，取得等号，
即最小值13．
故选D．
第 页 共 页
2223 3427【解题方法总结】
在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的
过程中，如果发现动点P在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃
而解．
6 题型六：离心率的值及取值范围
方向1：利用双曲线定义去转换
x2 y2
3576 (2024·内蒙古赤峰·高三统考开学考试)已知F，F 分别为双曲线Ε： - =
1 2 a2 b2
1a>0,b>0 的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点(点A在第一象限)，延
长AF 2 交E于点C，若BF 2 =AC
π
，∠FBF = ，则双曲线E的离心率为 ( ) 1 2 3
A. 3 B.2 C. 5 D. 7
【答案】A
π
【解析】结合双曲线的对称性可知，∠F 1 AF 2 = 3 ，AF 1 =AC ，
所以△ACF 1 为等边三角形，则AF 1 =CF 1 ，则AC⊥FF. 1 2
由双曲线的定义，得AF 1 -AF 2 =2a，所以AF 1 =4a，AF 2 =2a，
则 F 1 F 2
AF 2
2c π = =tan = 3.
2a 3
故选：A
x2 y2
3577 (2024·陕西西安·高三校联考开学考试)已知F，F 分别为双曲线E: - =1(a>0,b
1 2 a2 b2
>0)的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点(点A在第一象限)，延长AF
2
交E于点C，若BF 2 =AC
π
，∠FBF = ，则双曲线E的离心率为 ( ) 1 2 3
A. 3 B.2 C. 5 D.1
第 页 共 页
2224 3427【答案】A
π
【解析】结合双曲线的对称性可知，∠F 1 AF 2 = 3 ，AF 1 =AC ，
所以△ACF 1 为等边三角形，则AF 1 =CF 1 ，则AC⊥FF. 1 2
由双曲线的定义，得AF 1 -AF 2 =2a，所以AF 1 =4a，AF 2 =2a，
则 F 1 F 2
AF 2
2c π = =tan = 3.
2a 3
故选：A
x2 y2
3578 (2024·江西南昌·南昌市八一中学校考三模)已知双曲线C: - =1(a>0，b>0)的
a2 b2
左、右焦点分别为F，F，若在C上存在点P(不是顶点)，使得∠PFF =3∠PFF，则C的
1 2 2 1 1
离心率的取值范围为 ( )
A. 2,2 B. 3,+∞ C.(1, 3] D. 1, 2
【答案】A
【解析】设PF 与y轴交于Q点，连接QF，则QF =QF,∴∠QFF =∠QFF，
1 2 1 2 1 2 2 1
第 页 共 页
2225 3427因为∠PFF =3∠PFF，故P点在双曲线右支上，且∠PFQ=∠PQF =2∠PFF，
2 1 1 2 2 1 2
故|PQ|=|PF|，而|PF|-|PF|=2a，
2 1 2
故|PF|-|PF|=|PF|-|PQ|=|QF|=2a，
1 2 1 1
在Rt△QOF 中，|QF|>|OF|，即2a>c，
1 1 1
c
故e= <2，
a
由∠PFF =3∠PFF，且三角形内角和为180°，
2 1 1 2
180° |OF|
故∠PFF < =45°，则cos∠PFF = 1 >cos45°，
1 2 4 1 2 |QF|
1
c 2 c
即 > ，即e= > 2，
2a 2 a
所以C的离心率的取值范围为 2,2 ，
故选：A
x2 y2
3579 (2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测)已知双曲线C: - =1(a>0,b
a2 b2
>0)的左、右焦点分别为F,F,O为坐标原点，过原点的直线l与C相交于A,B两点，
1 2
F 1 F 2 =2|AO|，四边形AFBF 的面积等于c2，则C的离心率等于 ( ) 1 2
A. 2 B. 3 C.2 D. 5
【答案】A
【解析】如图，不妨设点A在第一象限，
由题意可得：AO =BO ,F 1 O =F 2 O ，则四边形AFBF 为平行四边形， 1 2
因为F 1 F 2 =2|AO|，即AO
1
= 2 F 1 F 2 ，则AF ⊥AF，所以四边形AFBF 为矩形， 1 2 1 2
设AF 1 =m,AF 2
mn=c2
=n，则m-n=2a ，
m2+n2=4c2
因为m-n
c2
2=m2+n2-2mn，即4a2=4c2-2c2，整理得e= = 2.
a2
故选：A.
x2 y2
3580 (2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)如图，已知双曲线C: - =
a2 b2
1a>0,b>0 的左、右焦点分别是F，F，点P在C上且位于第一象限，圆O 与线段FP 1 2 1 1
的延长线，线段PF 以及x轴均相切，△PFF 的内切圆为圆O .若圆O 与圆O 外切，且
2 1 2 2 1 2
圆O 与圆O 的面积之比为4，则C的离心率为 ( )
1 2
第 页 共 页
2226 34275
A. 3 B. C.2 D.3
3
【答案】D
【解析】由已知及平面几何知识可得圆心O ，O 在∠PFF 的角平分线上，如图，
1 2 1 2
设圆O ，O 与x轴的切点分别为A，B，显然，直线PF 为两圆的公切线，切点D也在
1 2 2
∠PFF 的角平分线上，
1 2
所以|PF|=|FF|=2c，由双曲线的定义知|PF|-|PF|=2a，则|PF|=2c-2a，
1 1 2 1 2 2
1
所以|FD|= |PF|=c-a，所以|FA|=|FB|=|FD|=c-a，
2 2 2 2 2 2
所以|FA|=|FF|+|FA|=2c+c-a=3c-a，|FB|=|FF|-|FB|=2c-(c-a)=c
1 1 2 2 1 1 2 2
+a.
又圆O 与圆O 的面积之比为4，这样圆O 与圆O 的半径之比为2，
1 2 1 2
|FB| |O B| c+a 1
因为O B⎳OA，所以 1 = 2 ，即 = ，整理得3a=c，
2 1 |FA| |OA| 3c-a 2
1 1
c
故双曲线C的离心率e= =3.
a
故选：D.
方向2：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式
x2 y2
3581 (2024·四川成都·四川省成都列五中学校考三模)已知双曲线C: - =1(a>0,b>
a2 b2
0)的左、右焦点分别为F,F，过点F 的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若
1 2 1
FF+FA
1 2 1
⋅FA=0,FF+FA
2 1 2 1
=FF
1 2
，则双曲线C的离心率是 ( )
3+1 2+1
A. B. 3+1 C. 2+1 D.
2 2
【答案】A
【解析】因为(FF +FA)⋅FA=0，
1 2 1 2
所以FF+FA
1 2 1
⋅FA-FF
1 1 2
=FA2-FF2=0，即FA
1 1 2 1
=FF
1 2
，
所以AF 1 =F 1 F 2 =2c，
由双曲线的定义知AF 2 -AF 1 =2a，所以AF 2 =2a+2c.
第 页 共 页
2227 3427如图，过F 作FM⊥AF，M为垂足，
1 1 2
因为FA 1
=FF 1 2
，所以M为AF 的中点，FM 2 2
1
= 2 AF 2 =a+c，
由FF+FA
1 2 1
=FF
1 2
得2FM
1
=2c，即FM
1
=c，
所以，在直角△FMF 中，FM
1 2 1
2+FM
2
2=FF
1 2
2,
即c2+a+c
2=2c
2，即a2-2c2+2ac=0，
± 3+1
所以1-2e2+2e=0，解得e= ，
2
3+1
因为e>0，所以双曲线C的离心率是 .
2
故选：A
x2 y2
3582 (2024·湖南·校联考模拟预测)如图，F、F 是双曲线E: - =1(a>0,b>0)的左、
1 2 a2 b2
右焦点，过F 1 的直线交双曲线的左、右两支于A、B两点，且BF 1 =4AF 1 ,OB =
a2+b2，则双曲线C的离心率为 ( )
29 29 58 58
A. B. C. D.
2 3 3 4
【答案】B
【解析】注意到OB =c=OF 1 =OF 2
π
，则∠FBF = ，连接AF． 1 2 2 2
设AF 1 =m，则AF 2 =2a+m,BA =3m,BF 2 =4m-2a，
5a
在△ABF 中，由勾股定理有(2a+m)2=(3m)2+(4m-2a)2，解得m= ，
2 6
∴BF 2
4a
=4m-2a= 3 ,BF 1
10a
=4m= ， 3
在△BF 1 F 2 中，由BF 1 2+BF 2 2=F 1 F 2 10a 2，得 3 2 4a + 3 2 =(2c)2，
c2 29 29
解得 = ,e= ．
a2 9 3
故选B．
第 页 共 页
2228 3427x2 y2
3583 (2024·贵州毕节·校考模拟预测)已知F是双曲线C: - =1(a>0,b>0)的一个焦
a2 b2
点，A为C的虚轴的一个端点，2OB=OA(O为坐标原点)，直线FB垂直于C的一条渐
近线，则C的离心率为 ( )
5+1 17+1 3 3
A. 2+1 B. C. D.
2 4 2
【答案】A
【解析】不妨设F为右焦点，A为C的虚轴的端点且在y轴的正半径轴上，则F(c,0),A(0,
b)，则OA=(0,b)，
1 1
因为2OB=OA，所以OB= OA=0, b
2 2
1
，即B0, b
2
，
1
b
2 b
所以直线FB的斜率为 =- <0，
-c 2c
x2 y2 b
因为双曲线C: - =1(a>0,b>0)渐近线方程为y=± x，
a2 b2 a
b b
因为直线FB垂直于C的一条渐近线，所以- ⋅ =-1，
2c a
所以b2=2ac，所以c2-a2-2ac=0，
2± 4+4
所以e2-2e-1=0，解得e= =1± 2，
2
因为e>1，所以e=1+ 2，
故选：A
x2 y2
3584 (2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测)已知双曲线C: - =1b>a>0
a2 b2
的左焦
点为F，右顶点为A，一条渐近线与圆A:x-a 2+y2=b2在第一象限交于点M，MF交y
轴于点N，且∠FNA=90°，则C的离心率为 ( )
第 页 共 页
2229 3427A. 3 B.2 C.1+ 2 D.2+ 2
【答案】C
x2 y2
【解析】如图所示，连接AM，由双曲线C: - =1b>a>0
a2 b2
的渐近线方程为y=
b
x，
a
b
根据题意，点M在第一象限，将y= x代入x-a
a
2+y2=b2，
可得(a2+b2)x2-2a3x+a4-a2b2=0，
可得△=(-2a3)2-4(a2+b2)(a4-a2b2)=4a2b4
2a3± 4a2b4 a3±2ab2 a(a2±b2)
由求根公式，可得x= = = ，
2(a2+b2) a2+b2 a2+b2
因为x>0，且b>a>0，所以x=a，所以点M(a,b)
由∠FNA=90°，可得ON 2=OF ⋅OA ，即ON = ac，
ON
因为ON⎳AM，所以
AM
OF
=
AF
ac c
，即 = ，化简得c2-2ac-a2=0，
b c+a
两边同除以a2，得e2-2e-1=0，解得e=1+ 2或e=1- 2(舍去)．
故选：C.
x2 y2
3585 (2024·福建福州·福州四中校考模拟预测)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0),F为
a2 b2
左焦点，A 1 ,A 2 分别为左、左顶点，P为C右支上的点，且OP =OF (O为坐标原点).若
直线PF与以线段AA 为直径的圆相交，则C的离心率的取值范围为 ( )
1 2
A. 1, 3 B. 3,+∞ C. 5,+∞ D. 1, 5
【答案】D
【解析】设双曲线的右焦点为F 1 ，则OP =OF =|OF|， 1
则∠FPF =90°，
1
P为C右支上的点，取PF的中点为B，连接OB，则OB⊥PF，
第 页 共 页
2230 3427设|OB|=t，则|PF|=2t，则|PF|=2a+2t，
1
在Rt△FPF 1 中，2a+2t 2+2t 2=2c 2，
即2t2+2at+a2-c2=0，
又直线PF与以线段AA 为直径的圆相交，故00，解得 < 5，
a
即双曲线离心率的范围为10,b>0)的上
a2 b2
下焦点分别为F,F，点M在C的下支上，过点M作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，
1 2
若MD >F 1 F 2 -MF 1 恒成立，则C的离心率的取值范围为 ( )
5
A. 1,
3
5
B. ,2
3
C. 1,2
5
D. ,+∞
3
【答案】A
【解析】如图，过点F 作渐近线的垂线，垂足为E，
2
a
设|F 1 F 2 |=2c，则点F 2 到渐近线y=± b x的距离EF 2
bc
= =b. a2+b2
由双曲线的定义可得MF 1 -MF 2 =2a，故MF 1 =MF 2 +2a，
所以MD +MF 1 =|MD|+MF 2 +2a≥EF 2 +2a=b+2a，即MD +MF 1 的最小值
为2a+b，
因为MD >F 1 F 2 -MF 1 恒成立，
所以|MD|+MF 1 >F 1 F 2 恒成立，即2a+b>2c恒成立，
所以，b>2c-2a，即b2>4c2+4a2-8ac，即c2-a2>4c2+4a2-8ac，
5
所以，3c2+5a2-8ac<0，即3e2-8e+5<0，解得10,b>0
1
的左、右焦点，斜率为 的直线l过F，交C的右支于点B，交y轴于点A， 2 1
且∠BAF =∠ABF，则C的离心率为 ( )
2 2
第 页 共 页
2231 34272 5 2 3
A. B. C. 3 D. 5
3 3
【答案】A
【解析】如图，由题可知AF 1 =AF 2 =BF 2 ，
又因为BF 1 -BF 2 =2a，所以AB =2a，
1
因为直线l的斜率为 ，所以AO 2
c
= 2 ,AF 1
5c
= ， 2
设M为AB的中点，连接MF，易知△AOF ∽△FMF，
2 1 2 1
所以 F 1 F 2
AF 1
= F 1 M
F 1 O
5
a+ c
2c 2 3 5 ，则 = ，解得a= c，
5c c 10
2
2 5
所以双曲线C的离心率为 ．
3
故选：A.
x2 y2
3588 (2024·四川巴中·高三统考开学考试)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦
a2 b2
3
点分别为F,F，过F 斜率为 的直线与C的右支交于点P，若线段PF 恰被y轴平分，则
1 2 1 4 1
C的离心率为 ( )
1 2 3
A. B. C.2 D.3
2 3
【答案】C
【解析】如图，设PF 交y轴与A，A为PF 的中点，
1 1
因为O为FF 的中点，故AO为△PFF 的中位线，
1 2 1 2
则AO∥PF，而AO⊥FF，则PF ⊥FF,
2 1 2 2 1 2
3 3
因为直线PF 的斜率为 ，故Rt△PFF 中，tan∠PFF = ，
1 4 2 1 1 2 4
故设|PF|=3t，则|FF|=4t,|PF|=5t，
2 1 2 1
结合双曲线定义以及P在双曲线右支上，即有4t=2c,|PF|-|PF|=2a=2t，
1 2
第 页 共 页
2232 3427c
则2a=c,∴e= =2，
a
故选：C
x2 y2
3589 (2024·浙江·校联考模拟预测)已知点P是双曲线C: - =1(a>0,b>0)右支上一
a2 b2
点，F 1-c,0 ,F 2c,0 分别是C的左、右焦点，若∠FPF 的角平分线与直线x=a交于点 1 2
2
I，且S = S +S ，则C的离心率为 ( )
△IPF1 2 △IF1F2 △IPF2
A.2 B. 2 C.3 D. 3
【答案】B
【解析】作∠PFF 的平分线交∠FPF 的平分线于I，过I作IM⊥PF,IN⊥PF,IT⊥
1 2 1 2 2 1
x轴，垂足分别为M,N,T，如图，
则点I为△PFF 的内心，有|PM|=|PN|,|FN|=|FT|,|FM|=|FT|，设T(x ,0)，
1 2 1 1 2 2 0
2a=|PF|-|PF|=|FN|-|FM|=|FT|-|FT|=(x +c)-(c-x )=2x ，则x =a，
1 2 1 2 1 2 0 0 0 0
于是直线IT与直线x=a重合，而∠FPF 的角平分线与直线x=a交于点I，即I与I重
1 2
合，则点I为△PFF 的内心，
1 2
2 1 2 1
因此令|IM|=|IN|=|IT|=r，由S = S +S ，得 |PF|⋅r= ⋅ |FF|
△IPF1 2 △IF1F2 △IPF2 2 1 2 2 1 2
1
⋅r+ |PF|⋅r，
2 2
因此|PF|= 2c+|PF|，即有2a=|PF|-|PF|= 2c，即c= 2a，
1 2 1 2
c
所以双曲线C的离心率为e= = 2.
a
故选：B
3590 (2024·北京·首都师范大学附属中学校考模拟预测)已知F 1-c,0 ，F 2c,0 分别是双曲
x2 y2
线C： - =1(a>0，b>0)的两个焦点，P为双曲线C上一点，PF ⊥PF 且
a2 b2 1 2
π
∠PFF = ，那么双曲线C的离心率为 ( )
2 1 3
5
A. B. 3 C.2 D. 3+1
2
【答案】D
【解析】设双曲线的半焦距为c>0，则F 1 F 2 =2c，
由题意可得：PF 1 = 3c,PF 2 =c，
因为PF 1 -PF 2
c 2
= 3c-c=2a，整理得e= = = 3+1. a 3-1
故选：D.
方向4：坐标法
第 页 共 页
2233 3427x2 y2
3591 (2024·上海嘉定·校考三模)已知双曲线Γ: - =1(a>0,b>0)的离心率为e，点B
a2 b2
的坐标为0,b ，若Γ上的任意一点P都满足PB ≥b，则 ( )
1+ 3 1+ 3
A.11，所以10,b>0)的左
a2 b2
焦点，P0, 6a ，直线PF与双曲线C有且只有一个公共点，则双曲线C的离心率为
( )
A. 2 B. 3 C.2 D. 6
【答案】B
x2 y2 b
【解析】双曲线 - =1(a>0,b>0)的渐近线为y=± x，
a2 b2 a
又F-c,0 ，P0, 6a
6a-0 6a
，所以直线PF的斜率为 = ，
0-(-c) c
因为直线PF与双曲线C有且只有一个公共点，所以根据双曲线的几何性质，
b 6a b
直线PF与双曲线的一条渐进线y= x平行，所以 = ，即 6a2=bc，
a c a
所以6a4=b2c2，又c2=a2+b2，所以6a4=(c2-a2)c2=c4-a2c2，
所以e4-e2-6=0，解得e2=3或e2=-2(舍去)，所以e= 3，
故选：B
3593 (2024·福建福州·福建省福州第一中学校考二模)圆O(O为原点)是半径为a的圆分别
x2 y2
与x轴负半轴、双曲线C: - =1(a>0,b>0)的一条渐近线交于P,Q两点(P在第
a2 b2
一象限)，若C的另一条渐近线与直线PQ垂直，则C的离心率为 ( )
A.3 B.2 C. 3 D. 2
【答案】B
第 页 共 页
2234 3427x2 y2 b
【解析】如图所示，由双曲线C: - =1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=± x，
a2 b2 a
b
y= x a2 ab
联立方程组 a ，解得P ,
c c
x2+y2=a2
，
ab
b c
因为Q(-a,0)且另一条渐近线与直线PQ垂直，可得- × =-1，
a a2
-(-a)
c
整理得b2=ac+a2，又由b2=c2-a2，所以c2-ac-2a2=0，
c
解得c=2a，所以离心率为e= =2.
a
故选:B.
x2 y2
3594 (2024·宁夏吴忠·高三吴忠中学校考开学考试)已知A，B分别是双曲线C: - =
a2 b2
1a>0,b>0 的左、右顶点，F是C的焦点，点P为C的右支上位于第一象限的点，且PF
⊥x轴.若直线PB与直线PA的斜率之比为3，则C的离心率为 ( )
A. 2 B. 3 C.2 D.3
【答案】C
【解析】由题意可得，A(-a,0)，B(a,0)，
c2 y2 b2
P点的横坐标为c，代入 - =1，又y >0，所以Pc,
a2 b2 P a
，
b2 b2
a a
k = ，k = ，
PA c+a PB c-a
k c+a c
则 PB = =3，可得 =2．
k c-a a
PA
即双曲线的离心率为2．
故选：C．
x2 y2
3595 (2024·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习)如图，已知双曲线C: - =
a2 b2
第 页 共 页
2235 34271a>0,b>0 的右焦点为F，点P,Q分别在C的两条渐近线上，且P在第一象限，O为坐
标原点，若OF=QP，QF⊥OP，则双曲线C的离心率为 ( )
A.3 B. 3 C. 2 D.2
【答案】D
b
【解析】由双曲线方程知：渐近线方程为y=± x，
a
∵OF=QP，∴OF⎳QP，OF
=QP ，
b
设Pt, t
a
t>0
b
，则Q-t, t
a
c
，∴2t=c，即t= ，
2
c bc
∴P ,
2 2a
c bc
，Q- ,
2 2a
，又Fc,0
3c bc
，∴QF= ,-
2 2a
c bc
，OP= ,
2 2a
，
3c2 b2c2 b2
∵QF⊥OP，∴QF⋅OP= - =0，∴ =3，
4 4a2 a2
b2
∴双曲线的离心率e= 1+ =2.
a2
故选：D.
3596 (2024·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测)设过原点且倾斜角为60°的直线与双曲
x2 y2
线C： - =1(a>0,b>0)的左，右支分别交于A、B两点，F是C的焦点，若三角形
a2 b2
ABF的面积大于 6a2(a2+b2)，则C的离心率的取值范围是 ( )
A.(1, 7) B.( 2,7) C.(2,7) D.(2, 7)
【答案】D
【解析】不妨设F是双曲线C的左焦点，由题可知，直线AB的方程为y= 3x，
y= 3x
ab
由x2 y2 ，得x=± ，且b2>3a2，
- =1 b2-3a2
a2 b2
3ab 3ab
所以y =- ，y = ，
A b2-3a2 B b2-3a2
1
因为S = ×OF △ABF 2 ×y B -y A
1 2 3ab 3abc
= ×c× = ，且S 大于 2 b2-3a2 b2-3a2 △ABF
6a2(a2+b2)= 6ac，
3abc
所以 > 6ac，
b2-3a2
b c
所以 > 2，解得0< < 7，
b2-3a2 a
c
又因为b2>3a2，解得 >2，
a
第 页 共 页
2236 3427c
所以2< < 7，
a
故选：D．
方向5：找几何关系，利用余弦定理
x2 y2
3597 (2024·河南郑州·三模)已知F 1 ，F 2 分别是双曲线Γ： a2 - b2 =1a>0,b>0 的左、右焦
点，过F 的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，CB=5FA，BF 平
1 2 2
分∠FBC，则双曲线Γ的离心率为 ( )
1
2 6 2 3 4 6 8
A. B. C. D.
3 3 3 3
【答案】A
【解析】
因为CB=5FA，则CB⎳FA，所以△FAF ∽△FBC，
2 2 1 2 1
设F 1 F 2 =2c，则F 2 C =8c，设AF 1 =t，则BF 1 =5t，AB =4t．
因为BF 平分∠FBC，由角平分线定理可知， BF 1
2 1
BC
= F 1 F 2
F 2 C
2c 1 = = ，
8c 4
所以BC =4BF 1 =20t，所以AF 2
1
= BC 5 =4t，
由双曲线定义知AF 2 -AF 1
2a
=2a，即4t-t=2a，t= ，① 3
又由BF 1 -BF 2 =2a得BF 2 =5t-2a=2t，
第 页 共 页
2237 3427AB 在△ABF 中，由余弦定理知cos∠ABF =
2 2
2+BF 2 2-AF 2 2
2⋅AB ⋅BF 2
16t2+4t2-16t2 1 = = ，
2×4t×2t 4
在△FBF 中，由余弦定理知cos∠FBF = BF 1
1 2 1 2
2+BF 2 2-F 1 F 2 2
2⋅BF 1 ⋅BF 2
，
1 25t2+4t2-4c2
即 = ，化简得c2=6t2，
4 2×5t×2t
24a2 c 2 6
把①代入上式得c2= ，解得e= = ．
9 a 3
故选：A．
x2 y2
3598 (2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测)已知双曲线C： - =1(a>0，b
a2 b2
>0)的左、右焦点分别为F，F，过F 的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若
1 2 1
FB=4FA，△ABF 的周长为8a，则C的离心率为 ( )
1 1 2
3 3 33 33
A. B. C. D.
2 2 3 2
【答案】C
【解析】设F 1 A =x，则F 1 B =4x.因F 2 A -F 1 A =2a,F 1 B -F 2 B =2a.
则F 2 A =2a+x,F 2 B =4x-2a.因△ABF 2 的周长为8a，AB =3x，
则AB +AF 2 +BF 2 =8a⇒2a+x+4x-2a+3x=8a⇒a=x.
则AB =AF 2 =3a,BF 2 AB =2a.由余弦定理：cosB= 2+BF 2 2-AF 2 2 2AB ⋅BF 2 1 = . 3
则在△F 1 BF 2 中，由余弦定理，F 1 F 2 2=BF 1 2+BF 2 2-2BF 1 BF 2 cosB⇒
F 1 F 2
2 33 33 c 33
=2c= a⇒c= a⇒e= = . 3 3 a 3
故选：C
x2 y2
3599 (2024·江西南昌·校联考模拟预测)已知F,F 分别为双曲线E： - =1(a>0，b>
1 2 a2 b2
0)的左、右焦点，过F 的直线l与E的左、右两支分别交于A,B两点．若△ABF₂是等边
1
三角形，则双曲线E的离心率为 ( )
A.2 3 B.3 C. 7 D. 5
【答案】C
【解析】由双曲线的定义，得AF 2 -AF 1 =2a，BF 1 -BF 2 =2a，
又AF 2 =AB =BF 2 ，所以AF 1 =2a,BF 1 =6a,BF 2 =4a，
在△BFF 中，FF|2= 1 2 1 2 BF 1 |2+|BF 2 2 -2BF 1⋅ BF 2 π cos ， 3
1 c2
即 4c2=36a2+16a2-2×6a×4a× =28a2，所以 =7 ，即e2=7，
2 a2
所以 e= 7．
第 页 共 页
2238 3427故选：C．
x2 y2
3600 (2024·江苏·校联考模拟预测)已知圆O：x2+y2=a2+b2与双曲线C： - =
a2 b2
1a>0,b>0
7
的右支交于点A，B，若cos∠AOB=- ，则C的离心率为 ( )
25
A.2 B. 5 C. 3 D. 7
【答案】B
x2+y2=a2+b2
c2-a2
【解析】由x2 y2 ，解得y=± ，
- =1 c
a2 b2
因为点A，B关于x轴对称，
所以AB
2c2-a2
=
，
c
在△AOB中，
OA
由余弦定理得cos∠AOB=
2+OB 2-AB 2
2OA ⋅OB
4c2-a2
c2+c2-
=
2
c2 7
=- ，
2c2 25
2c2-a2
即1-
2
7 1 4
=- ，即1- = ，
c2 25 e2 5
解得e2=5，所以e= 5或e=- 5(舍去)，
故选：B
x2 y2
3601 (2024·贵州·校联考模拟预测)已知双曲线E: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别
a2 b2
为F,F，过F 的直线l: 3x-y+m=0与双曲线E的右支交于点M,O为坐标原点，过
1 2 1
点O作ON⊥MF，垂足为N，若MN=5NF，则双曲线E的离心率是 ( )
1 1
A.3+ 5 B.2 5 C.3+ 7 D.2 7
【答案】C
【解析】如图所示，直线l: 3x-y+m=0的斜率为k= 3，可得其倾斜角为α=60°，
由题意得∠NF 1 O=60°,∠ONF 1 =90°,OF 1 =c，则NF 1
1
= c， 2
因为MN=5NF 1 ，所以MN
5
= 2 c，所以MF 1 =3c，则MF 2 =3c-2a，
在△MF 1 F 2 中，由余弦定理可得MF 2 2=MF 1 2+F 1 F 2 2-2MF 1 ⋅F 1 F 2 cos∠MFF， 1 2
1
即(3c-2a)2=(3c)2+(2c)2-2×3c×2c× ，
2
整理得c2-6ac+2a2=0，即e2-6e+2=0，
又因为e>1，解得e=3+ 7.
故选：C.
第 页 共 页
2239 3427x2 y2
3602 (2024·重庆·统考模拟预测)已知F 1 ，F 2 分别为双曲线C： a2 - b2 =1a>0,b>0 的左、
右焦点，点Ax 1 ,y 1 为双曲线C在第一象限的右支上一点，以A为切点作双曲线C的切
1
线交x轴于点B，若cos∠FAF = ，且FB=2BF，则双曲线C的离心率为 ( )
1 2 2 1 2
A.2 2 B. 5 C.2 D. 3
【答案】D
x2 y2 b2x2
【解析】因为点A在第一象限，由 - =1，可得y= -b2，
a2 b2 a2
2b2x
a2 b2x
则y= = ，
b2x2 b2x2
2 -b2 a2 -b2
a2 a2
点Ax 1 ,y 1
x2 y2 b2x2
在双曲线上，则 1 - 1 =1,x >0,y >0，即y = 1 -b2， a2 b2 1 1 1 a2
b2x b2x
可得y = 1 = 1，
x=x1
a2
b2x2
1 -b2
a2y
1
a2
可得在点Ax 1 ,y 1
b2x
处的切线方程为y-y 1 = a2y 1 x-x 1
1
，
b2x2-a2y2
令y=0，解得x= 1 1，
b2x
1
x2 y2
又因为 1 - 1 =1，则b2x2-a2y2=a2b2，
a2 b2 1 1
b2x2-a2y2 a2b2 a2
所以x= 1 1 = = >0，
b2x b2x x
1 1 1
a2
即点B ,0
x
1
，
设双曲线C的半焦距为c>0，则F 1-c,0 ，F 2c,0 ，
a2 a2
因为FB=2BF，则 +c=2c-
1 2 x x
1 1
3a2
，整理得x = ，
1 c
3a2
b2×
c
则y =
1
2
9a2
-b2=b -1，
a2 c2
可得AF 1 = x 1 +c
3a2
2+y2= +c 1 c
2 9a2
+b2 -1 c2 =4a，
且点A为双曲线C在第一象限的右支上一点，则AF 1 -AF 2 =2a，
可得AF 2 =AF 1 -2a=2a，
在△AF 1 F 2 中，由余弦定理可得：F 1 F 2 2=AF 1 2+AF 2 2-2AF 1 ⋅AF 2 cos∠FAF， 1 2
1
即4c2=16a2+4a2-2×4a×2a× ，整理得c2=3a2，
2
c2
所以双曲线C的离心率e= = 3.
a2
故选：D.
第 页 共 页
2240 3427x2 y2
3603 (2024·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测)已知F,F 分别是双曲线C: - =1(a>
1 2 a2 b2
0,b>0)的左、右焦点，过点F 作直线AB⊥FF 交C于A,B两点.现将C所在平面沿直
2 1 2
线FF 折成平面角为锐角α的二面角，如图，翻折后A,B两点的对应点分别为A,B，且
1 2
1-cosα 25
∠AFB=β⋅若 = ，则C的离心率为 ( )
1 1-cosβ 16
A. 3 B.2 2 C.3 D.3 2
【答案】C
【解析】设双曲线的半焦距为c>0，
由题意可得：AF 2 =BF 2
b2
= a ,AF 1 =BF 1
b2 a2+c2
=2a+ = ， a a
则AF 2 =BF 2
b2
= a ,AF 1 =BF 1
a2+c2
= ， a
且AF ⊥BF，则锐角二面角α=∠AFB，
1 1 1
在△AFB中，由余弦定理可得：1-cosα=1- AF 2
2
2+BF 2 2-AB 2
2AF 2 ⋅BF 2
=1-
b2
a
2 b2
+ a
2
-AB 2 a2 AB
=
b2 b2
2× ×
a a
2
，
2b4
在△AFB中，由余弦定理可得：1-cosβ=1- AF 1
1
2+BF 1 2-AB 2
2AF 1 ⋅BF 1
=1-
a2+c2
a
2 a2+c2
+ a
2
-AB 2 a2 AB
=
a2+c2 a2+c2
2× ×
a a
2
2a2+c2
，
2
a2 AB
1-cosα 25
因为 = ，即
1-cosβ 16
2
2b4
a2 AB 2
2a2+c2
a2+c2
=
2
2 25
= ，
b4 16
a2+c2 a2+c2 5 c2
可得 = = ，解得e= =3.
b2 c2-a2 4 a2
故选：C.
第 页 共 页
2241 3427x2 y2
3604 (2024·河南·校联考二模)已知双曲线C： - =1a>0,b>0
a2 b2
的左、右焦点分别是
F 1 ，F 2 ，P是双曲线C上的一点，且PF 1 =5，PF 2 =3，∠FPF =120°，则双曲线C的离心 1 2
率是 ( )
7 7 7 7
A. B. C. D.
5 4 3 2
【答案】D
【解析】设双曲线C的半焦距为cc>0 .
由题意，点P在双曲线C的右支上，PF 1 =5，PF 2 =3，
由余弦定理得cos∠FPF = 52+32-F 1 F 2
1 2
2 1 =- ，
2×5×3 2
解得F 1 F 2
7
=7，即2c=7，c= ， 2
根据双曲线定义得PF 1 -PF 2 =2a=2，
解得a=1，
c 7
故双曲线C的离心率e= = .
a 2
故选：D
方向6：找几何关系，利用正弦定理
x2 y2
3605 (多选题)(2024·湖南·高二期末)已知双曲线C: - =1b>a>0
a2 b2
的左、右焦点分
别为F,F，双曲线上存在点P(点P不与左、右顶点重合)，使得∠PFF =3∠PFF，则双曲
1 2 2 1 1 2
线C的离心率的可能取值为 ( )
6 10
A. B. 3 C. D.2
2 2
【答案】BC
b2
【解析】∵b>a>0，则离心率e= 1+ > 2，则排除A；
a2
记∠PF 1 F 2 =α0°<α<45° ，PF 1 =m，PF 2 =n，
则∠PFF =3α,m-n=2a，
2 1
m n 2c m-n 2a
由正弦定理结合分比定理可知： = = = = ，
sin3α sinα sin4α sin3α-sinα sin3α-sinα
sin4α 2sin2αcos2α
则e= =
sin3α-sinα sin2α+α -sin2α-α
=2cosα∈ 2,2 ，
所以B，C是正确的，D不正确.
故选：BC.
x2 y2
3606 (2024·全国·高三专题练习(理))已知双曲线 - =1a>0,b>0
a2 b2
的左、右焦点分别
为F 1 ,F 2 ，M为双曲线右支上的一点，若M在以F 1 F 2 为直径的圆上，且∠MFF ∈ 2 1
π 5π
,
3 12
，则该双曲线离心率的取值范围为 ( )
A. 1, 2 B. 2,+∞ C. 1, 3+1 D. 2, 3+1
【答案】D
【解析】∵M在以F 1 F 2 为直径的圆上，∴MF ⊥MF， 1 2
∴sin∠MFF = MF 1 2 1 F 1 F 2 ，cos∠MFF = MF 2 2 1 F 1 F 2 ，∴MF 1 =2csin∠MF 2 F 1 ，MF 2 =
第 页 共 页
2242 34272ccos∠MFF，
2 1
由双曲线定义知：MF 1 -MF 2 =2a，即2csin∠MFF -2ccos∠MFF =2a， 2 1 2 1
c 1 1
∴ = =
a sin∠MFF-cos∠MFF π
2 1 2 1 2sin∠MFF-
2 1 4
；
π 5π
∵∠MFF ∈ ,
2 1 3 12
π π π
，∴∠MFF - ∈ ,
2 1 4 12 6
π
，∴sin∠MFF-
2 1 4
∈
6- 2 1 ,
4 2
，
π 则 2sin∠MFF- 2 1 4 3-1 2 ∈ , 2 2 c ，∴ ∈ 2, 3+1 a ，
即双曲线离心率的取值范围为 2, 3+1 .
故选：D.
x2
3607 (2024·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试(文))已知F、F 分别为双曲线C： -
1 2 a2
y2
=1a>0,b>0
b2
的左、右焦点，O为原点，双曲线上的点P满足OP =b，且
sin∠PFF
1 2 =3，则该双曲线C的离心率为 ( )
sin∠PFF
2 1
6
A. 2 B. C.2 D. 3
2
【答案】D
【解析】因为F，F 分别为双曲线的左右焦点，
1 2
由正弦定理得到 PF 2 = PF 1
sin∠PFF
1 2
，
sin∠PFF
2 1
又因为 sin∠PF 1 F 2 =3得 PF 2
sin∠PFF 2 1
PF 1
=3，
又∵ PF 2 -PF 1 =2a，
∴PF 1 =a，PF 2 =3a，
在△OPF 1 中，OF 1 =c，PF 1 =a，OP =b，
∴∠OPF =90°，cos∠PFO= PF 1
1 1
OF 1
a = ，
c
a2+4c2-9a2 a2+4c2-9a2
在△PFF 中，cos∠PFO= = ，
1 2 1 2⋅a⋅2c 4ac
a2+4c2-9a2 a
所以 = ，
4ac c
c
化简得e= = 3.
a
故选：D.
方向7：利用基本不等式
x2 y2
3608 (2024·四川成都·高三开学考试(文))已知双曲线C: - =1a>0,b>0
a2 b2
，F为右焦
点，过点F作FA⊥x轴交双曲线于第一象限内的点A，点B与点A关于原点对称，连接
AB，BF，当∠ABF取得最大值时，双曲线的离心率为 ．
6+ 2
【答案】
2
【解析】如图，
第 页 共 页
2243 3427根据题意Fc,0
b2
，Ac,
a
b2
，B-c,-
a
，
b2 b2
∴k =k = ，k =k = =2k ，
1 BF 2ac 2 BA ac 1
设直线BA,BF的倾斜角为α，β，
∴tan∠ABF=tanα-β
tanα-tanβ 2k -k 1 2
= = 1 1 = ≤ ，
1-tanαtanβ 1+2k2 1 4
1 2k +
1 k
1
b2 2
当且仅当k = = 时等号成立，
1 2ac 2
即b2= 2ac，c2-a2= 2ac，e2- 2e-1=0，又e>1
6+ 2
∴e= ，
2
6+ 2
故答案为： ．
2
x2 y2
3609 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 - =
a2 b2
1a>0,b>0 的左、右顶点为A、B，若该双曲线上存在点P，使得直线PA、PB的斜率之
和为1，则该双曲线离心率的取值范围为 ．
5
【答案】1,
2
【解析】设点Px 0 ,y 0 ，其中x 0 ≠±a，易知点A-a,0 、Ba,0
x2 y2
，且有 0 - 0 =1，则x2= a2 b2 0
a2
a2+ y2，
b2 0
y y y2 y2 b2
k k = 0 ⋅ 0 = 0 = 0 = ，
PA PB x +a x -a x2-a2 a2 a2
0 0 0 y2
b2 0
y y
当点P在第一象限时，x >a，y >0，则k = 0 >0，k = 0 >0，且k ≠
0 0 PA x +a PB x -a PA
0 0
k ，
PB
2b
由基本不等式可得k +k >2 k k = ，
PA PB PA PB a
2b b 1
因为存在点P，使得直线PA、PB的斜率之和为1，则 <1，即0< < ，
a a 2
b
∴e= 1+
a
2 5
∈1,
2
.
5
故答案为：1,
2
.
3610 (2024·四川·高三开学考试(理))如图为陕西博物馆收藏的国宝--唐·金筐宝钿团化纹
金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分
第 页 共 页
2244 3427x2 y2
可以近似看作是双曲线C: - =1a>0,b>0
a2 b2
的部分的旋转体．若该双曲线上存在
点P，使得直线PA，PB(点A，B为双曲线的左、右顶点)的斜率之和为4，则该双曲线离
心率的取值范围为 ．
【答案】1, 5
【解析】设点Px 0 ,y 0 ，其中x ≠±a， 0
易知点A-a,0 ，Ba,0
x2 y2 a2
，且有 0 - 0 =1，则x2=a2+ y2， a2 b2 0 b2 0
y y y2 y2 b2
k k = 0 ⋅ 0 = 0 = 0 = ，
PA PB x +a x -a x2-a2 a2 a2
0 0 0 y2
b2 0
当点P在第一象限时，x >a，y >0，
0 0
y y
则k = 0 >0，k = 0 >0，且k ≠k ，
PA x +a PB x -a PA PB
0 0
2b
由基本不等式可得k +k >2 k k = ，
PA PB PA PB a
∵存在点P，使得直线PA，PB的斜率之和为4，
2b b
则 <4，即0< <2，
a a
b
∴e= 1+
a
2
∈1, 5 .
故答案为：1, 5 ．
方向8：利用渐近线的斜率求离心率
x2 y2
3611 (2024·广西·校联考模拟预测)已知双曲线C： - =1a>0,b>0
a2 b2
，O为坐标原点，
过C的右焦点F作C的一条渐近线的平行线交C的另一条渐近线于点Q，若tan∠OQF
3
=- ，则C的离心率为 ( )
4
10
A. 6 B.3 C. 10 D.
3
【答案】D
b
【解析】设渐近线y= x的倾斜角为α，则∠OQF=π-2α，
a
tan∠OQF=tanπ-2α
3 2tanα 3
=-tan2α=- ，则 = ，
4 1-tan2α 4
1
解得tanα=-3(舍去)或tanα= ，
3
b 1 b
∴ = ，∴e= 1+
a 3 a
2 10
= .
3
故选：D．
第 页 共 页
2245 3427x2 y2
3612 (2024·贵州·校联考模拟预测)已知直线l:4x-2y-7=0与双曲线C: - =
a2 b2
1a>0,b>0 的两条渐近线分别交于点A，B(不重合)，AB的垂直平分线过点3,0 ，则
双曲线C的离心率为 ( )
2 3 5-1 6
A. B. C. 3 D.
3 2 2
【答案】D
【解析】因为直线l:4x-2y-7=0，所以k =2，
l
1
由题可知AB的垂直平分线的方程为y=- x-3
2
，
1
将y=- x-3
2
x=2
1
与4x-2y-7=0联立可得 1 ，即AB的中点坐标为2,
y= 2
2
．
设Ax 1 ,y 1 ，Bx 2 ,y 2
x2 y2
1 - 1 =0
a2 b2
，则 ，且x +x =4，y +y =1， x2 y2 1 2 1 2
2 - 2 =0
a2 b2
两式作差可得 x 1 +x 2 x 1 -x 2 - y 1 +y 2
a2
y 1 -y 2 =0，
b
y +y y -y b2 b2 1 1
即 1 2 ⋅ 1 2 = ，所以 = ×2= ，
x +x x -x a2 a2 4 2
1 2 1 2
b2 6
则双曲线C的离心率为 1+ = ．
a2 2
故选：D
x2 y2
3613 (2024·山东聊城·统考三模)已知双曲线C： - =1(a>0,b>0)的右焦点为F，过
a2 b2
F分别作C的两条渐近线的平行线与C交于A，B两点，若|AB|=2 3b，则C的离心率
为 ( )
A. 3+2 B. 2+2 C. 3+1 D. 2+1
【答案】A
【解析】由题意，不妨设点A在第一象限，
由双曲线的性质可得，直线AF和直线BF关于x轴对称，
所以A和B关于x轴对称，又AB =2 3b，则设Ax 1 , 3b ，x >0， 1
b
又直线AF的方程为：y=- x-c
a
，
b
所以代入点A得： 3b=- a x 1 -c ，解得：x =c- 3a， 1
即点Ac- 3a, 3b ，
c- 3a
将点A代入双曲线的方程得：
2 3b
-
a2
2
=1，
b2
第 页 共 页
2246 3427化解得：c2-2 3ac-a2=0，解得：c= 3+2 a或c= 3-2 a，
又因为c>a>0，所以c= 3+2 a，
c
则双曲线的离心率e= = 3+2，
a
故选：A.
x2 y2
3614 (2024·辽宁葫芦岛·统考二模)设F，F 是双曲线C： - =1(a>0，b>0)的左、右
1 2 a2 b2
焦点，O是坐标原点．过F 作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF|=3|OP|，则C
2 1
的离心率为 ( )
A. 6 B.2 C. 3 D. 2
【答案】A
b
【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为y= x，
a
则PF 2
b
×c
a
= b
1+
a
=b，OF 2 2 =c，
∴PO = OF2-PF2=a，|PF|=3|OP|=3a 2 2 1
在Rt△POF 中，cos∠PFO= PF 2
2 2
OF 2
b = ，
c
∵在△PFF 中，cos∠PFO= PF 2
1 2 2
2+F 1 F 2 2-PF 1 2
2PF 2 F 1 F 2
b = ，
c
b2+4c2-(3a)2 b
∴ = ，即c2=6a2，
2b⋅2c c
c
所以e= = 6
a
故选：A ．
y2 x2
3615 (2024·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测)已知P为双曲线C: - =1(a>0,b
a2 b2
>0)上的动点，O为坐标原点，以OP为直径的圆与双曲线C的两条渐近线交于A(x,
1
y)，B(x ,y )两点(A，B异于点O)，若yy >0恒成立，则该双曲线离心率的取值范围为
1 2 2 1 2
( )
A.(1, 2] B.(1, 3] C.[ 2,+∞) D.[ 2, 3]
【答案】A
a
【解析】双曲线C的两条渐近线方程为y=± x，若yy >0恒成立，
b 1 2
第 页 共 页
2247 3427π a
则A，B两点始终位于x轴同侧，则0<∠AOB≤ ，故 ≥1，即a≥b，即a2≥c2-a2，
2 b
c
得e= ≤ 2，又e>1，
a
所以双曲线离心率的取值范围为(1, 2]．
故选：A．
y2 x2
3616 (2024·四川雅安·高三雅安中学校联考阶段练习)已知双曲线C: - =1(a>0,b>
a2 b2
0)的上焦点为F，过焦点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，并与另一条渐近线交于
点B，若|FB|=4|AF|，则C的离心率为 ( )
15 15 2 5 2 6 2 6 2 10
A. B. 或 C. D. 或
3 3 3 3 3 5
【答案】D
【解析】当a=b时，直线AF与另一条渐近线平行，所以a≠b．
当a>b时，如图1，过F作另一条渐近线的垂线，垂足为P，则|AF|=|PF|，
|PF| |AF| 1 1
由|FB|=4|AF|得：sin∠PBF= = = ，则cos∠AOP= ，
|BF| |BF| 4 4
1 5 3
所以2cos2∠AOF-1= ，则cos∠AOF= ,sin∠AOF= ，
4 8 8
3 b 3 c b
所以tan∠AOF= ，则 = ,e= = 1+
5 a 5 a a
2 3 2 10
= 1+ = ．
5 5
第 页 共 页
2248 3427当a0,b>
a2 b2
0)的左、右焦点分别为F，F，点P为第一象限内一点，且点P在双曲线C的一条渐近线
1 2
上，PF 1 ⊥PF 2 ，且 PF 1=3 PF 2 ，则双曲线C的离心率为 ( )
5 5 5 10
A. B. C. D.
4 2 2 2
【答案】A
【解析】如图，
第 页 共 页
2249 34271
设双曲线C的焦距为2c，由PF ⊥PF 可得tan∠PFF = ，
1 2 1 2 3
1
2×
3
所以tan∠POF =tan2∠PFF =
2 1 2 1
1-
3
3 b 3
= ，即 = ，
2 4 a 4
c2 b2 9 5
所以e= = 1+ = 1+ = ．
a2 a2 16 4
故选：A．
x2 y2
3618 (2024·四川成都·石室中学校考模拟预测)已知双曲线C的方程为 - =1(a>0,b
a2 b2
3
>0)，斜率为 的直线l与圆x2+y2-2mx=0(m>0)相切于M，与双曲线C的两条
3
渐近线分别相交于A，B，且M为AB中点，则双曲线C的离心率为 ( )
A.2 B. 2 C. 3 D. 6
【答案】B
3
【解析】依题意，设直线l的方程为y= x+n(n>0)，圆x2+y2-2mx=0(m>0)的
3
方程可化为(x-m)2+y2=m2，即圆心坐标为(m,0)，半径为m，
3
m+n
3
因为直线l与圆相切于M，所以
=m，由n>0可化简得m= 3n，
1
1+
3
3 b b
则直线l的方程为y= (x+m)，双曲线C的两条渐近线分别为y= x，y=- x，
3 a a
3
y=
3
(x+m)
ma mb
由 得A ,
b 3b-a 3b-a
y= x
a
-ma mb
，同理可得B ,
3b+a 3b+a
，
ma2 3mb2
因为M为AB中点，由中点坐标公式可得M ,
3b2-a2 3b2-a2
，
ma2
M在圆上，将M的坐标代入圆方程可得 -m
3b2-a2
2 3mb2
+
3b2-a2
2
=m2，
化简整理得(a2-b2)2=0，从而可得a=b，
c
则双曲线C的离心率e= = 2.
a
故选：B
x2 y2
3619 (2024·江苏无锡·校联考三模)已知点P在双曲线C: - =1a>0,b>0
a2 b2
上，P到两
1
渐近线的距离为d 1 ，d 2 ，若d 1 d 2 ≤ 2 OP 2恒成立，则C的离心率的最大值为 ( )
A. 2 B. 3 C.2 D. 5
第 页 共 页
2250 3427【答案】A
x2 y2
【解析】双曲线C: - =1a>0,b>0
a2 b2
b
的渐近线方程为y=± x，即bx±ay=0，
a
设双曲线上的点Px 0 ,y 0
x2 y2
，所以 0 - 0 =1，即b2x2-a2y2=a2b2 a2 b2 0 0
则Px 0 ,y 0 到两条渐近线bx±ay=0的距离分别为d = bx 0 +ay 0 1 ，d = bx 0 -ay 0 a2+b2 1 ， a2+b2
b2x2-a2y2
所以dd = 0 0
1 2
a2b2
= ，
a2+b2 a2+b2
又OP
a2 a2
2=x2+y2=a2+ y2+y2=a2+ +1 0 0 b2 0 0 b2 y2，y ∈R 0 0
1
因为d 1 d 2 ≤ 2 OP
a2b2 1 b2
2恒成立，所以 ≤ a2，整理得b2≤a2，即 ≤1 a2+b2 2 a2
c c2 b2
所以离心率e= = = 1+ ≤ 2，则C的离心率的最大值为 2.
a a2 a2
故选：A.
方向9：利用双曲线第三定义
x2 y2
3620 (多选题)(2024·云南·罗平县第一中学高二期中)已知双曲线C： - =
a2 b2
1a>0,b>0 的左焦点为F，过点F作C的一条渐近线的平行线交C于点A，交另一条渐
近线于点B.若FA=2AB，则下列说法正确的是 ( )
A.双曲线C的离心率为 3
B.双曲线C的渐近线方程为y=± 2x
b2
C.点A到两渐近线的距离的乘积为
4
2
D.O为坐标原点，则tan∠AOB=
4
【答案】ABD
b b
【解析】双曲线的渐近线方程为y=± x，不妨设过左焦点F的直线与直线y= x平
a a
行，交C于点A.
对于A：设双曲线半焦距为c，过点F-c,0
b b
与直线y= x平行的直线的方程为y=
a a
b c bc
(x+c)，与y=- x联立，解得B- ,
a 2 2a
，
c bc
设A(x,y)，由FA=2AB，可得(x+c,y)=2- -x, -y
2 2a
，
2c bc
所以A- ,
3 3a
，
4c2 c2 c2
所以 - =1，即 =3，
9a2 9a2 a2
第 页 共 页
2251 3427所以双曲线C的离心率为e= 3，故选项A正确；
c2 b2 b
对于B：由 =3，可得 =2，所以 = 2，
a2 a2 a
所以渐近线方程为y=± 2x，故选项B正确；
bx -ay
对于C：A到两渐近线距离的乘积dd = A A
1 2
⋅bx +ay
A A
a2+b2
a2b2 b2
= = ，故选项C
2 c2 3
错误；
b 2 b
对于D：k =- =- ,k = = 2,k ⋅k =-1，
OA 2a 2 AB a OA AB
4c2 b2c2 6 c 2
所以OA⊥AB,|OA|= + = c,|AB|= - + c
9 9a2 3 2 3
2 bc bc
+ -
2a 3a
2
=
c
，
2 3
|AB| 2
所以tan∠AOB= = ，故选项D正确．
|OA| 4
故选：ABD.
x2 y2
3621 (2024·湖南郴州·高二期末)双曲线C: - =1a,b>0
a2 b2
的左右顶点为A,B，过原点
的直线l与双曲线C交于M,N两点，若AM,AN的斜率满足k ⋅k =2，则双曲线C的
AM AN
离心率为 ．
【答案】 3
【解析】由题意知：A-a,0 ，Ba,0 ，
若O为坐标原点，则OA =OB ，OM =ON ，∴四边形AMBN为平行四边形，
∴AN⎳BM，即k =k ，∴k ⋅k =k ⋅k =2；
AN BM AM AN AM BM
设Mx 0 ,y 0
x2 y2
，则 0 - 0 =1a,b>0 a2 b2 ，
x2
b2 0 -1
y y y2 a2
∴k ⋅k = 0 ⋅ 0 = 0 =
AM BM x +a x -a x2-a2
0 0 0
b2
= =2，
x2-a2 a2
0
b2
∴双曲线C的离心率e= 1+ = 3.
a2
故答案为： 3.
x2 y2
3622 (2024·贵州·高三凯里一中校联考开学考试)设直线y=kx与双曲线C: - =1(a>
a2 b2
0,b>0)相交于A,B两点，P为C上不同于A,B的一点，直线PA,PB的斜率分别为k,
1
k ，若C的离心率为 2，则k ⋅k = ( )
2 1 2
A.3 B.1 C.2 D. 3
【答案】B
【解析】由题意可知点A,B关于原点对称，设Ax 0 ,y 0 ,B-x 0 ,-y 0 ,Px,y ，则有k = 1
y-y y+y
0，k = 0，
x-x 2 x+x
0 0
x2 y2 x2 y2 x2-x2 y2-y2
A,B,P都在双曲线上，有 - =1， 0 - 0 =1，两式相减得 0 = 0，
a2 b2 a2 b2 a2 b2
则 y2-y2 0 = b2 ，得 y-y 0
x2-x2 a2 0
x-x 0
⋅ y+y 0
x+x 0
c2 = -1，即k ⋅k =e2-1，
a2 1 2
第 页 共 页
2252 3427又由e= 2，则k ⋅k =1.
1 2
故选：B.
3623 (2024·江西南昌·统考三模)不与x轴重合的直线l经过点Nx N ,0 x N ≠0 ，双曲线C:
x2 y2
- =1(a>0,b>0)上存在两点A,B关于l对称，AB中点M的横坐标为x ，若x
a2 b2 M N
=4x ，则C的离心率为 ( )
M
5
A. B. 2 C.2 D. 5
2
【答案】C
【解析】设Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 ,Mx M ,y M ，
x2 y2
1 - 1 =1
a2 b2 x2 x2 y2 y2
则 ，两式相减得 1 - 2 = 1 - 2 ，
x2 y2 a2 a2 b2 b2
2 - 2 =1
a2 b2
即 x 1 -x 2 x 1 +x 2 = y 1 +y 2
a2
y 1 -y 2 ，
b2
即 y 1 -y 2 y 1 +y 2
x 1 -x 2 x 1 +x 2
b2 b2 = ，所以k k = =e2-1，
a2 OM AB a2
因为l是AB垂直平分线，有kk =-1，所以k =(1-e2)k，
l AB OM l
y
即 M =1-e2
x
M
y
⋅ M ，化简得x =e2x ，故e=2.
x -x N M
M N
故选：C.
方向10：利用对应焦点焦半径的取值范围[c-a，+∞)
x2 y2
3624 (2024·全国·高三专题练习)已知双曲线M: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别
a2 b2
为F 1 ,F 2 ,F 1 F 2
a 3c
=2c.若双曲线M的右支上存在点P，使 = ，则双曲 sin∠PFF sin∠PFF
1 2 2 1
线M的离心率的取值范围为 .
2+ 7
【答案】1,
3
【解析】依题意，点P在双曲线的右支，P不与双曲线顶点重合，
在△PFF 中，由正弦定理得：
1 2
|PF| |PF| a 3c |PF| |PF|
2 = 1 ，因 = ，于是得 2 = 1 ，
sin∠PFF sin∠PFF sin∠PFF sin∠PFF a 3c
1 2 2 1 1 2 2 1
2a2
而点P在双曲线M的右支上，即|PF|-|PF|=2a，从而有|PF|= ，
1 2 2 3c-a
点P在双曲线M的右支上运动，并且异于顶点，于是有|PF|>c-a，
2
2a2
因此 >c-a，而c>a>0，整理得3c2-4ac-a2<0，即3e2-4e-1<0，
3c-a
2- 7 2+ 7 2+ 7
解得 1，故有10,b>0)的左、右焦点分别为
a2 b2
第 页 共 页
2253 3427F 1 ，F 2 ，点P在双曲线的右支上，且 PF 1=4 PF 2 ，则双曲线离心率的取值范围是 ( )
5
A. ,2 3
5
B. 1, 3 C. 1,2
5
D. ,+∞ 3
【答案】B
【解析】由双曲线定义可知，，|PF 1 |-|PF 2 |=2a，结合 PF 1=4 PF 2
2a
可得|PF|= ，从 2 3
2a 5a c 5
而 ≥c-a, ≥c,e= ≥ ，又因为双曲线的离心率大于1 ，所以双曲线离心率的
3 3 a 3
5
取值范围为1,
3
，故选B.
x2 y2
3626 (2024·江苏·金沙中学高二阶段练习)设双曲线C: - =1(a>0,b>0)的焦距为
a2 b2
2c(c>0)，左、右焦点分别是F 1 ，F 2 ，点P在C的右支上，且cPF 2 =aPF 1 ，则C的离心率
的取值范围是 ( )
A. 1, 2 B. 2,+∞ C. 1,1+ 2 D. 1+ 2,+∞
【答案】C
【解析】由条件得 PF 1
PF 2
= c ，所以 PF 1
a
-PF 2
PF 2
c-a 2a = ，即
a PF 2
c-a = ，
a
又因为PF 2 ≥c-a，所以PF 2
2a2
= ≥c-a， c-a
即a2+2ac-c2≥0，得e2-2e-1≤0，
又e>1，所以10,b>
a2 b2
0)的左、右焦点分别为F 1 、F 2 ，点P在双曲线的右支上，且PF 1 =3PF 2 ，则双曲线离心率
的取值范围是 ( )
5
A.(1,2] B. 1,
3
4
C.[2,+∞) D. ,+∞
3
【答案】A
【解析】因为点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得PF 1 -PF 2 =2a，
又PF 1 =3PF 2 ，所以2PF 2 =2a，即PF 2 =a，则PF 1 =3a，
因为双曲线中，PF 1 +PF 2 ≥F 1 F 2 ，
c
即4a≥2c，则 ≤2，即e≤2，
a
又双曲线的离心率大于1，所以10,b>0
a2 b2
的左、右焦点分
别为F 1 、F 2 ，点P在双曲线的右支上，且PF 1 =4PF 2 ，则此双曲线的离心率e的最大值为
( )
5 6 5 8
A. B. C. D.
4 5 3 5
【答案】C
【解析】因为点P在双曲线的右支上，所以PF 1 -PF 2 =2a
第 页 共 页
2254 3427因为PF 1 =4PF 2 ，所以可得PF 2
2a
= 3
根据点P在双曲线的右支上，可得PF 2
2a
= ≥c-a 3
5a 5
所以 ≥c，即e≤
3 3
5
所以双曲线的离心率e的最大值为
3
故选：C
x2 y2
3629 (2024·全国·高三专题练习)已知F,F 是双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点，
1 2 a2 b2
P为双曲线左支上一点，若 PF 2 2
PF 1
的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是
( )
A.(1,3) B.(1,2) C.(1,3] D.(1,2]
【答案】C
【解析】由双曲线定义可得：
|PF|-|PF|=2a，|PF|=2a+|PF|， PF 2
2 1 2 1
2
PF 1
= 2a+PF 1 2
PF 1
4a2 =
PF 1
+4a+|PF| ≥8a，
1
4a2
当且仅当 PF 1 =|PF 1 |，即|PF 1 |=2a时取得等号.此时PF 2 =4a
由双曲线的几何性质可得，PF ≥c+a，即可4a≥c+a⇒e≤3，又双曲线的离心率e>
2
1，∴e∈1，3 .
故选:C.
【解题方法总结】
求离心率的本质就是探究a,c之间的数量关系，知道a,b,c中任意两者间的等式关系或
不等关系便可求解出e的值或其范围．具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法．
7 题型七：双曲线的简单几何性质问题
x2
3630 (2024·上海·上海市七宝中学校考模拟预测)等轴双曲线 -y2=1(a>0)的焦距为
a2
.
【答案】2 2
【解析】由题意得，a2=b2=1，故c2=a2+b2=2，故c= 2，焦距为2c=2 2.
故答案为：2 2
x2
3631 (2024·四川自贡·统考三模)已知双曲线C： -y2=1的左、右焦点分别为F，F，过F
3 1 2 1
作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于B点，则△OAB的内切圆的半
径为 ．
3- 3
【答案】
2
【解析】
第 页 共 页
2255 3427x2
双曲线C： 3 -y2=1的左焦点为F 1-2,0
-x
，到渐近线y= 3 的距离F 1 A =
2
12+ 3
=1,
2
x
y=
联立方程组 3
y= 3x+2
，
x=-3
解得
y=- 3
可得B-3,- 3 ，
OF 1 =2,OA = 3,OB = -3 2+- 3 2=2 3,BA =3,
1
设△OAB的内切圆的半径为r，在△OAB中，S = OA
△OAB 2
+OB +AB r，
1
S = ×OA
△OAB 2
×AB
1
= OA
2
+OB +AB r,
3 3 1
= 3+3 3
2 2
3- 3
r,r=
2
3- 3
故答案为： .
2
x2 y2
3632 (2024·四川·校联考模拟预测)已知双曲线 - =1的右焦点为F，过双曲线上一点
4 2
2 6
P(x ,y )(y ≠0)的直线x x-2y y-4=0与直线x= 6相交于点A，与直线x=
0 0 0 0 0 3
AF
相交于点B，则
BF
= .
6
【答案】
2
x2 y2
【解析】因为P(x ,y )在双曲线 - =1，即有2y2=x2-4,|x |>2，又F( 6,0)
0 0 4 2 0 0 0
x= 6 6x -4
由 得A 6, 0
x x-2y y-4=0 2y
0 0 0
2 6
x=
，由 3 得
x x-2y y-4=0
0 0
2 6 x -4
2 6 3 0
B ,
3 2y
0
，
2 6
x -4
( 6x -4)2 2 3 0
因此，|AF|2= 0 ，|BF|2= +
4y2 3
0
2
8y2+(2 2x -4 3)2
= 0 0 =
4y2 12y2
0 0
4(x2-4)+(2 2x -4 3)2
0 0 ，
12y2
0
第 页 共 页
2256 3427AF
则
2
BF
3( 6x -4)2 3( 6x -4)2 3( 6x -4)2 3
= 0 = 0 = 0 = ，
2 4(x2-4)+(2 2x -4 3)2 12x2-16 6x +32 2( 6x -4)2 2 0 0 0 0 0
AF
所以
BF
6
= .
2
6
故答案为：
2
3633 (2024·贵州毕节·校考模拟预测)已知双曲线C的左、右焦点分别为F,F，存在过点F 的
1 2 2
直线与双曲线C的右支交于A,B两点，且△ABF 为正三角形．试写出一个满足上述条
1
件的双曲线C的方程： ．
y2
【答案】x2- =1(答案不唯一，符合题意即可)
3
【解析】如图，取a=1,b= 2,c= 3，且AB⊥x轴，
可得AF 2 =BF 2
b2
= a =2，AF 1 =BF 1 =2a+AF 2 =4，
即AF 1 =BF 1 =AB =4，△ABF 为正三角形， 1
y2
符合题意，此时双曲线C的方程为x2- =1.
3
y2
故答案为：x2- =1.
3
x2 y2
3634 (2024·陕西渭南·统考一模)已知双曲线C: - =1a>0,b>0
a2 b2
的焦距为4，焦点到
C的一条渐近线的距离为1，则C的渐近线方程为
3
【答案】y=± x
3
【解析】由双曲线对称性得，一个焦点到两条渐近线的距离相等，不妨取渐近线为y=
b
x，即bx-ay=0，焦点为c,0
a
，
bc bc
则焦点到渐近线的距离d= = =b=1，
a2+b2 c
由焦距为4得c=2，故a= c2-b2= 3，
3
故C的渐近线方程为y=± x.
3
3
故答案为：y=± x.
3
x2 y2
3635 (2024·江西南昌·校联考模拟预测)已知双曲线C: - =1(a>0，b>0)的一条渐近
a2 b2
线恰好平分第一、三象限，若C的虚轴长为4，则C的实轴长为 .
第 页 共 页
2257 3427【答案】4
【解析】由题意可知，双曲线C的一条渐近线为直线y=x，故a=b，故其实轴长为2a=
2b=4.
x2 y2
3636 (2024·河北唐山·统考二模)已知直线l： 3x-y-2 3=0过双曲线C： - =
a2 b2
1a>0,b>0 的一个焦点，且与C的一条渐近线平行，则C的实轴长为 ．
【答案】2
【解析】直线 3x-y-2 3=0与x轴交点为(2,0)，斜率为 3，
a2+b2=22
由题意 b ，解得 a=1 ，
= 3 b= 3
a
所以双曲线的实轴长为2a=2．
故答案为：2.
x2 y2
3637 (2024·北京房山·高三统考开学考试)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率为
a2 b2
5，其中一条渐近线与圆(x-2)2+(y-2)2=1交于A,B两点，则|AB|= .
2 5
【答案】
5
x2 y2
【解析】双曲线C: - =1(a>0,b>0)的离心率为 5，
a2 b2
可得c= 5a，所以b=2a，
所以双曲线的渐近线方程为：y=±2x，
一条渐近线与圆(x-2)2+(y-2)2=1交于A，B两点，圆的圆心(2,2)，半径为1，
4-2
圆的圆心到直线y=2x的距离为：
2
= ，
1+4 5
所以AB
4 2 5
=2 1- = ．
5 5
2 5
故答案为： ．
5
【解题方法总结】
处理双曲线的问题的时候，如果需要画图，注意作图规范，结合图象分析，另外因为双曲
线有两条渐近线，所以要分清楚，到底是点在双曲线上还是渐近线上，切勿搞混．
8 题型八：利用第一定义求解轨迹
3638 (2024·全国·高三对口高考)已知动圆P过点N-2,0 ，且与圆M:x-2 2+y2=8外切，
则动圆P圆心Px,y 的轨迹方程为 .
【答案】x2-y2=2，x≤- 2
【解析】定圆的圆心为M2,0 ，与N-2,0 关于原点对称，
设动圆P的半径为r，则有PN =r，因为与圆M:x-2 2+y2=8外切，
所以PM =2 2+r，即PM -PN =2 2<MN =4，
所以点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的左支，
则a= 2，c=2，b2=c2-a2=2，
x2 y2
所以轨迹方程为 - =1，x≤- 2
2 2
，即x2-y2=2，x≤- 2 .
第 页 共 页
2258 3427故答案为：x2-y2=2，x≤- 2
x2
3639 (2024·全国·高考真题)设P为双曲线 -y2=1上一动点，O为坐标原点，M为线段
4
OP的中点，则点M的轨迹方程为 ．
【答案】x2-4y2=1
【解析】设Mx,y ，Px 0 ,y 0 ，
x
则 x= y 2 0 ，即 x y 0 = = 2 2 y x ，
y= 0 0
2
x2 2x
又 0 -y2=1，则 4 0
2
-2y 4 2=1，
整理得x2-4y2=1，
即点M的轨迹方程为x2-4y2=1.
故答案为：x2-4y2=1
3640 (2024·全国·高三专题练习)已知圆C ：(x+3)2+y2=1和圆C ：(x-3)2+y2=9，动圆
1 2
M同时与圆C 及圆C 相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .
1 2
y2
【答案】x2- =1(x≤-1)
8
【解析】设动圆圆心M的坐标为(x,y)，半径为r，
则由题意可得|MC|=r+1，|MC |=r+3，相减可得|MC |-|MC|=2<|CC |，
1 2 2 1 1 2
故点M的轨迹是以C 、C 为焦点的双曲线的左支，
1 2
由题意可得2a=2，c=3，∴b= c2-a2=2 2，
y2
故点M的轨迹方程为x2- =1(x≤-1)．
8
y2
故答案为：x2- =1(x≤-1)
8
x2 y2
3641 (2024·全国·高三专题练习)已知双曲线C: - =1，F、F 是双曲线C的左、右焦
4 3 1 2
点，M是双曲线C右支上一点，l是∠FMF 的平分线，过F 作l的垂线，垂足为P，则点P
1 2 2
的轨迹方程为 ．
【答案】x2+y2=4(x>0)
【解析】延长FP，交FM于Q，因为∠PMF =∠PMQ，∠MPF =∠MPQ，
2 1 2 2
第 页 共 页
2259 3427MP =MP ，所以△MPF 2 ≌△MPQ，所以MF 2 =MQ ，
所以QF 1 =MF 1 -MQ =MF 1 -MF 2 ，
因为M是双曲线C右支上一点，所以QF 1 =2a=4，
又因为P是QF 2 的中点，O是F 1 F 2 的中点，所以PO
1
= 2 QF 1 =2，
所以P的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆的一部分，
所以点P的轨迹方程为x2+y2=4(x>0)．
故答案为：x2+y2=4(x>0).
3642 (2024·全国·高三专题练习)已知平面内两定点A-5,0 ，B5,0 ，动点M满足
MA -MB =6，则点M的轨迹方程是 .
x2 y2
【答案】 - =1
9 16
【解析】由题意知：AB =10，MA -MB =6<AB ，故M的轨迹是以A,B为焦点，
实轴长2a=6的双曲线，
x2 y2
设双曲线方程为 - =1，由a=3,c=5可得b2=c2-a2=16，故点M的轨迹方程
a2 b2
x2 y2
是 - =1.
9 16
x2 y2
故答案为： - =1.
9 16
3643 (2024·全国·高三专题练习)若动圆与两定圆(x+5)2+y2=1及(x-5)2+y2=49都外
切，则动圆圆心的轨迹方程是 .
x2 y2
【答案】 - =1x≤-3
9 16
【解析】设圆C 1 为x+5 2+y2=1可得圆心C 1-5,0 ，半径r =1， 1
设圆C 2 为(x-5)2+y2=49可得圆心C 25,0 ，半径r 2 =7，且C 1 C 2 =10，
设动圆圆心为C，半径为r，因为动圆C同时与圆C 外切和圆C 外切，
1 2
所以CC 1 =r+1，CC 2 =7+r，
所以CC 2 -CC 1 =6<C 1 C 2 =10，
所以点C的轨迹是以C 1-5,0 ，C 25,0 为焦点的双曲线的左支，
所以a=3，c=5，b= a2-c2= 16=4，
第 页 共 页
2260 3427x2 y2
所以动圆的圆心C的轨迹方程为： - =1x≤-3
9 16
.
x2 y2
故答案为： - =1x≤-3
9 16
.
3644 (2024·全国·高三专题练习)已知圆C 1 ：x2+y+3 2=9和圆C 2 ：x2+y-3 2=1，动圆
M同时与圆C 及圆C 外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为 .
1 2
x2
【答案】y2- =1y≥1
8
【解析】由题，设动圆M的半径为r，圆C 的半径为r =3，圆C 的半径为r =1,
1 1 2 2
当动圆M与圆C 1 ，圆C 2 外切时,MC 1 =3+r,MC 2 =1+r,
所以MC 1 -MC 2 =3+r -1+r =2,
因为圆心C 10,-3 ,C 20,3 ，即C 1 C 2 =6，又2<C 1 C 2
根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的上支，其中a=1，c=3，
x2
所以b2=c2-a2=8,则动圆圆心M的轨迹方程是y2- =1y≥1
8
；
x2
故答案为：y2- =1y≥1
8
3645 (2024·全国·高三专题练习)已知A(-5，0)，B(5，0)，动点P满足PB
1
， PA
2
，8成等差
数列，则点P的轨迹方程为 .
x2 y2
【答案】 - =1x≥4
16 9
【解析】由已知得PA
-PB =8，
∴点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，
x2 y2
设双曲线的方程为 - =1x≥a,a>0,b>0
a2 b2
则a=4，b=3，c=5，
x2 y2
∴点P的轨迹方程为 - =1x≥4
16 9
．
x2 y2
故答案为： - =1x≥4
16 9
﹒
3646 (2024·全国·高三专题练习)已知点M(-3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于
点B，分别过点M,N且与圆C相切的两条直线相交于点P，则点P的轨迹方程为 .
y2
【答案】x2- =1x≥1
8
【解析】如图所示：
第 页 共 页
2261 3427设PM，PN分别与圆C相切与R，Q，
由圆的切线长定理得PQ=PR，MR=MB，NQ=NB，
所以PM-PN=RM-QN=MB-NB=2
2
【解析】设动点Q的坐标为(x,y)，延长FQ交PF 于点A，
2 1
由条件②知点Q在∠FPF 的角平分线上，
1 2
第 页 共 页
2262 3427结合条件①知QF ⊥PQ，
2
所以在△PFA中，PQ⊥FA.又PQ平分∠APF，
2 2 2
所以△PF 2 A为等腰三角形，即|PA|=PF 2 ，|AQ|=QF 2 .
因为点P为双曲线上的点，所以PF 1 -PF 2 =2，即|PA|+AF 1 -PF 2 =2，
所以AF 1 =2.又在△FAF 中，Q为AF 的中点，O为FF 的中点， 1 2 2 1 2
1
所以|OQ|= 2 AF 1 =1，
所以点Q的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，
由双曲线的性质及角平分线定理可得点Q应在两条渐近线之间且横坐标大于0，
1
点F 作渐近线的垂线垂足横坐标为 ，
2 2
1
所以点Q的轨迹方程为x2+y2=1x>
2
.
1
故答案为：x2+y2=1x>
2
.
3649 (2024·河北张家口·高三统考阶段练习)已知圆C：x+5 2+y2=36和点B5,0 ，P是圆
上一点，线段BP的垂直平分线交CP于M点，则M点的轨迹方程是 .
x2 y2
【答案】 - =1
9 16
【解析】∵M在BP的中垂线上，∴MP =MB ，∴ MC -MB = MC -MP =
PC =6，
又BC =10>6，∴M点轨迹是以C,B为焦点，实轴长为6的双曲线，∴c=5,a=3，b
= c2-a2= 52-32=4，又C,B关于原点对称，
x2 y2
∴M点轨迹方程为 - =1．
9 16
x2 y2
故答案为： - =1．
9 16
a
3650 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B- ,0
2
a
,C ,0
2
1
(a>0)，且满足条件sinC-sinB= sinA，则动点A的轨迹方程是 ．
2
16x2 16y2
【答案】 - =1(x>0且y≠0)
a2 3a2
1 AB
【解析】由sin C-sin B= sin A，利用正弦定理得
2
AC
-
2R
1 BC
= ×
2R 2
(R为
2R
外接圆半径)，
1 1
所以|AB|-|AC|= |BC|= a，
2 2
可得动点A的轨迹为双曲线，为双曲线右支(除去右顶点)．
第 页 共 页
2263 34271 3
且实轴长为 a,虚轴 a，焦点为B,C，
2 4
16x2 16y2
所以方程为 - =1(x>0且y≠0).
a2 3a2
16x2 16y2
故答案为 - =1(x>0且y≠0).
a2 3a2
x2 y2
3651 (2024·全国·统考一模)设F、F 是双曲线 - =1(a>0,b>0)的左右焦点，M是双
1 2 a2 b2
曲线上任意一点，过F 作∠FMF 平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹方程是
1 1 2
.
【答案】x2+y2=a2
【解析】点F 1 关于∠F 1 MF 2 的角平分线PQ的对称点P在直线MF 2 的延长线上，故PF 2
=MF 1 -MF 2 =2a，又OQ是△F 2 F 1 P的中位线，故OQ =a，点Q的轨迹是以原点为
圆心，a为半径的圆，则点Q的轨迹方程为x2+y2=a2.
【解题方法总结】
常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点
P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：(1)关于坐标轴对称的
点；(2)标记为F的点；(3)圆心；(4)题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时
候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求
解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围．
9 题型九：双曲线的渐近线
x2 y2
3652 (2024·山东潍坊·统考模拟预测)若双曲线 - =1的离心率为 3，则其渐近线方程
a2 b2
为 ．
【答案】y=± 2x
c a2+b2
【解析】∵e= 3，∴ = 3，即 =3，∴b2=2a2，
a a2
x2 y2
∴双曲线方程为 - =1，∴渐近线方程为y=± 2x．
a2 2a2
故答案为：y=± 2x
y2
3653 (2024·上海徐汇·高三上海市徐汇中学校考期中)双曲线 -x2=1两条渐近线的夹角
3
大小是
π
【答案】60°/
3
y2
【解析】双曲线 -x2=1的两条渐近线的方程为y=± 3x，
3
π
由直线y= 3x的斜率为 3，可得倾斜角为 ，
3
2π
y=- 3x的斜率为- 3，可得倾斜角为 ，
3
π
所以两条渐近线的夹角的大小为 ，
3
π
故答案为： .
3
第 页 共 页
2264 3427x2 y2
3654 (2024·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测)已知P为双曲线 - =1上一点，
4 5
以P为切点的切线为l，直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于点M,N，则△OMN(O
为坐标原点)的面积为 ．
【答案】2 5
5
【解析】双曲线C的渐近线为y=± x，直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于点
2
M,N，
2
显然直线l不垂直于y轴，设直线l:x=ty+m，t≠± ,m≠0，
5
x=ty+m x=ty+m
5m
由 y= 5 x 得点M的纵坐标y 1 = 2- 5t ，由 y=- 5 x 得点N的纵坐标y 2 =
2 2
- 5m
，
2+ 5t
x=ty+m
由
5x2-4y2=20
消去x得(5t2-4)y2+10mty+5m2-20=0，
于是Δ=(-10mt)2-20(5t2-4)(m2-4)=0，化简得4-5t2=m2，
直线l:x=ty+m与x轴交点的横坐标为m，
1 1 5m 5m 2 5m2
所以△OMN的面积S = |m|⋅|y -y |= |m|⋅ + =
△OMN 2 1 2 2 2- 5t 2+ 5t 4-5t2
=2 5.
故答案为：2 5
y2
3655 (2024·湖南·高三校联考阶段练习)已知F,F 为双曲线x2- =1(b>0)的左、右焦点，
1 2 b2
过F 作直线y=-bx的垂线分别交双曲线的左、右两支于B,C两点(如图).若△CBF 构
1 2
成以∠BCF 为顶角的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为 .
2
【答案】y=± 3+1 x
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2265 3427【解析】由题意可得CB =CF 2 ，由双曲线的定义及点C在右支上，CF 1 -CF 2 =CB
+BF 1 -CF 2 =BF 1 =2a=2，
又点B在左支上，则BF 2 -BF 1 =2a=2，则BF 2 =4a=4，
(2a)2+(2c)2-(4a)2 c2-3
在△BFF 中，由余弦定理可得cos∠BFF = = ，
1 2 1 2 8ac 2c
1 1
而FC与渐近线y=-bx垂直，于是k = ，即tan∠BFF = ，从而得cos∠BFF =
1 F1C b 1 2 b 1 2
b
，
c
b c2-3 b a2+b2-3
所以 = ，即 = ，化简得b2-2b-2=0，解得b=1+ 3，
c 2c c 2c
所以双曲线的渐近线方程为y=± 3+1 x.
故答案为：y=± 3+1 x
xex-1+1, x≥0
3656 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)= 点M、N是函数f(x)图象
1+x2, x<0
上不同的两个点，则tan∠MON(O为坐标原点)的取值范围是 ．
【答案】(0,3)
【解析】当x≥0时，f(x)=xex-1+1，求导得f(x)=(x+1)ex-1>0，即函数f(x)在[0,
+∞)上单调递增，
当x<0时，由y= 1+x2，得y2-x2=1(x<0,y>1)，于是函数y=f(x),x<0的图
象是焦点在y轴上的双曲线在第二象限的部分，y=-x是其渐近线，如图，
令过原点的直线与曲线y=f(x),x≥0相切的切点为(x ,x ex0-1+1)，则(x +1)ex0-1=
0 0 0
x ex0-1+1
0 ，
x
0
整理得x2ex0-1=1，令g(x)=x2ex-1,x>0，g(x)=(x2+2x)ex-1>0，函数g(x)在(0,+∞)
0
上单调递增，
而g(1)=1，因此当且仅当x=1时，g(x)=1，则x2ex0-1=1(x ≥0)的解为x =1，
0 0 0
即过原点的直线与曲线y=f(x),x≥0相切的切点为(1,2)，切线方程为y=2x，设其倾斜
角为α，有tanα=2，
3π π
因为点M、N是函数f(x)图象上不同的两个点，则0<∠MON< -α< ，
4 2
π
而正切函数y=tanx在0,
2
3π
上单调递增，因此00,b>0)的左右焦点分别
a2 b2
为F,F，过F 作渐近线的垂线交双曲线的左支于点P，已知 PF 1
1 2 2
PF 2
1 = ，则双曲线的渐近
2
线方程为 ．
【答案】y=±2x
【解析】依题意， PF 1 PF 2 1 = 2 ，PF 2 -PF 1 =2a，则PF 2 =4a,PF 1 =2a，令双曲线半焦距
为c，
x2 y2
双曲线
a2
-
b2
=1的渐近线方程为bx±ay=0，则点F 2c,0 到渐近线的距离d=
|bc| b
=b，有cos∠PFF = ，
a2+b2 2 1 c
在△PF 1 F 2 中，由余弦定理F 1 F 2 2+PF 2 2-2F 1 F 2 PF 2 cos∠PFF =|PF|2， 2 1 1
b
得(2c)2+(4a)2-2⋅2c⋅4a⋅ =(2a)2，整理得c2+3a2-4ab=0，即4a2-4ab+b2=0，
c
解得b=2a，
所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.
故答案为：y=±2x
x2 y2
3658 (2024·重庆万州·统考模拟预测)已知双曲线C： - =1a>0,b>0
a2 b2
的左、右焦点
分别为F，F，P是C在第一象限上的一点，且直线PF 的斜率为 3，∠FPF 的平分线
1 2 2 1 2
FB⋅FP
交x轴于点A，点B满足BP=2AB， 1 1
FP
1
FB⋅FF
= 1 1 2
FF
1 2
，则双曲线C的渐近线方程为
．
3
【答案】y=± x
4
【解析】过B作BC⊥PF,BD⊥FF，
1 1 2
FB⋅FP
由点B满足 1 1
FP
1
FB⋅FF
= 1 1 2
FF
1 2
，
则FB在FP方向上的投影与FB在FF 方向上的投影长度相等,
1 1 1 1 2
即F 1 C =F 1 D ，则△FBC≌△FDB, 1 1
即∠AFB=∠PFB，即FB为∠PFF 的平分线,
1 1 1 1 2
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2267 3427则B为△PFF 的内心，
1 2
连接BF，又点B满足BP=2AB,
2
∴ PF 2
F 2 A
= PF 1
F 1 A
|PB| = =2,
|AB|
∴PF 1 +PF 2 =2 F 1 A +F 2 A =4c,
又PF 1 -PF 2 =2a，则PF 1 =2c+a,PF 2 =2c-a,
2π
又∵直线PF 的斜率为 3，∴∠PFF = ,
2 2 1 3
在△PFF 中结合余弦定理
1 2
PF 1 2=F 1 F 2 2+PF 2 2-2F 1 F 2 ‖PF 2 cos∠PFF， 2 1
1
可得(2c+a)2=(2c)2+(2c-a)2-2×(2c)×(2c-a)×-
2
，
5 3
化简得c= a，则b= c2-a2= a，
4 4
b 3 3
即 = ，即双曲线C的渐近线方程为y=± x.
a 4 4
3
故答案为：y=± x.
4
【解题方法总结】
掌握双曲线方程与其渐近线方程的互求；由双曲线方程容易求得渐近线方程；反之，由渐
近线方程可得出a，b的关系式，为求双曲线方程提供了一个条件．另外，焦点到渐近线的
距离为虚半轴长b．
10 题型十：共焦点的椭圆与双曲线
3659 (2024·河南南阳·南阳中学校考三模)已知椭圆C 与双曲线C 共焦点，双曲线C 实轴的
1 2 2
两顶点将椭圆C 的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则椭圆的离心率为 ( )
1
3 3 5 5
A. B. C. D.
3 2 3 4
【答案】C
x2 y2
【解析】设椭圆C 1 的标准方程为 a2 + b2 =1a 1 >b 1 >0
1 1
，
x2 y2
双曲线C 2 的标准方程为 a2 - b2 =1a 2 >0,b 2 >0
2 2
，设F 1 F 2 =2cc>0 ，
2
因为双曲线C 实轴的两顶点将椭圆C 的长轴三等分，则2a = a ，
2 1 2 3 1
设椭圆C 与双曲线C 的公共焦点为F、F，且F、F 为两曲线的左、右焦点，
1 2 1 2 1 2
设椭圆C 与双曲线C 在第一象限的交点为P，在第三象限的交点为Q，
1 2
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2268 3427则 PF 1 +PF 2 =2a 1 PF 1 -PF 2 PF 1 ，解得 =2a 2
4
=a +a = a 1 2 3 1 PF 2 ， 2 =a -a = a 1 2 3 1
由对称性可知PQ、FF 的中点均为原点O，所以，四边形PFQF 为平行四边形，
1 2 1 2
因为P、F 1 、Q、F 2 四点共圆，则有 ∠ ∠ F F 1 P P F F 2 + = ∠ ∠ F F 1 Q Q F F 2 =π ，故∠F 1 PF 2 = π 2 ，
1 2 1 2
由勾股定理可得PF 1 2+PF 2 2=F 1 F 2 4a 2，即 1 3 2 + 2a 1 3 2 =2c 20a2 2，即 1 =4c2， 9
2 5 c 2 5 1 5
即 a =2c，故椭圆C 的离心率为e = = × = .
3 1 1 1 a 3 2 3
1
故选：C.
3660 (2024·全国·高三专题练习)椭圆与双曲线共焦点F，F，它们在第一象限的交点为P，设
1 2
∠FPF =2θ，椭圆与双曲线的离心率分别为e ，e ，则 ( )
1 2 1 2
cos2θ sin2θ sin2θ cos2θ
A. + =1 B. + =1
e2 e2 e2 e2
1 2 1 2
e2 e2 e2 e2
C. 1 + 2 =1 D. 1 + 2 =1
cos2θ sin2θ sin2θ cos2θ
【答案】B
【解析】设椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2a ，交点P到两焦点的距离分别为m,
1 2
n(m>n>0)，焦距为2c，利用余弦定理得到m2+n2-2mncos2θ=(2c)2，再根据椭圆和
双曲线的定义，得到m=a +a ，n=a -a 代入求解.设椭圆的长轴长为2a ，双曲线的
1 2 1 2 1
实轴长为2a ，
2
交点P到两焦点的距离分别为m,n(m>n>0)，焦距为2c，
则m2+n2-2mncos2θ=(2c)2，
又m+n=2a ，m-n=2a ，故m=a +a ，n=a -a ，
1 2 1 2 1 2
所以a2(1-cos2θ)+a2(1+cos2θ)=2c2，
1 2
a2sin2θ a2cos2θ
化简得 1 + 2 =1，
c2 c2
sin2θ cos2θ
即 + =1.
e2 e2
1 2
故选：B
x2 y2
3661 (2024·全国·高二专题练习)已知F是椭圆C ： + =1(a>b>0)的右焦点，A为椭
1 a2 b2
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2269 3427x2 y2
圆C 的下顶点，双曲线C ： - =1(m>0，n>0)与椭圆C 共焦点，若直线AF与
1 2 m2 n2 1
1 2
双曲线C 的一条渐近线平行，C ，C 的离心率分别为e ，e ，则 + 的最小值为
2 1 2 1 2 e e
1 2
．
【答案】2 2
【解析】设C 1 的半焦距为c(c>0)，则Fc,0 ，又A0,-b ，
b
所以k = ，又直线AF与C 的一条渐近线平行，
AF c 2
b n b2 n2
所以 = ，所以 = ，
c m c2 m2
a2-c2 c2-m2
所以 = ，
c2 m2
a2 c2
所以 = ，
c2 m2
所以ee =1，
1 2
1 2 e +2e
又 + = 2 1 =e +2e ≥2 2ee =2 2，
e e ee 2 1 1 2
1 2 1 2
2
当且仅当e =2e ，即e = ，e = 2时等号成立，
2 1 1 2 2
1 1
即 + 的最小值为2 2．
e e
1 2
故答案为：2 2
y2 x2
3662 (2024·陕西宝鸡·高二统考期末)已知双曲线与椭圆 + =1共焦点，它们的离心率
25 9
24
之和为 ，则双曲线方程为 .
5
x2
【答案】y2- =1
15
【解析】先由椭圆方程求出椭圆的离心率以及c，再结合双曲线的离心率得出双曲线方
y2 x2 c 4
程.椭圆 + =1的a =5,b =3,c= 25-9=4,e = =
25 9 1 1 1 a 5
1
c 4
双曲线的离心率e = =
2 a a
2 2
4 4 24
由题意可知 + = ，解得a =1,b2=16-1=15
5 a 5 2 2
2
x2
故双曲线方程为y2- =1
15
x2
故答案为：y2- =1
15
【解题方法总结】
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2270 3427∠FPF ∠FPF
sin2 1 2 cos2 1 2
2 2
椭圆离心率e 与双曲线离心率e 必定满足的关系式为： + =
1 2 e2 e2
1 2
1
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2271 3427
