第79讲圆锥曲线中的圆问题_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第79讲 圆锥曲线中的圆问题 知识梳理 x2 y2 1、曲线Γ: + =1的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆：x2+y2=a2+b2． a2 b2 x2 y2 2、双曲线 - =1(a>b>0)的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆x2+y2=a2 a2 b2 -b2． 3、抛物线y2=2px的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上． 4、证明四点共圆的方法： 方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明 这一点，则可肯定这四点共圆． 方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧， 若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆(根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证)． 方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等 于其内对角时，则可肯定这四点共圆(根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为180°，并且 任何一个外角都等于它的内对角)． 方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形 其中三边中垂线有交点)，则可肯定这四点共圆(根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定 长的点的轨迹为圆)． 必考题型全归纳 1 题型一：蒙日圆问题 4407 (2024·全国·高三专题练习)在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问 题． (1)已知动点P为圆O:x2+y2=r2外一点，过P引圆O的两条切线PA、PB，A、B为切   点，若PA⋅PB=0，求动点P的轨迹方程； x2 y2 (2)若动点Q为椭圆M: + =1外一点，过Q引椭圆M的两条切线QC、QD，C、D 9 4   为切点，若QC⋅QD=0，求出动点Q的轨迹方程； x2 y2 (3)在(2)问中若椭圆方程为 + =1(a>b>0)，其余条件都不变，那么动点Q的轨 a2 b2 迹方程是什么(直接写出答案即可，无需过程)． 4408 (2022·全国·高三专题练习)在学习过程中，我们通常遇到相似的问题. (1)已知动点P为圆O：x2+y2=r2外一点，过P引圆O的两条切线PA、PB，A、B为切   点，若PA⋅PB=0，求动点P的轨迹方程； x2 y2 (2)若动点Q为椭圆M： + =1外一点，过Q引椭圆M的两条切线QC、QD，C、D 4 3   为切点，若QC⋅QD=0，猜想动点Q的轨迹是什么，请给出证明并求出动点Q的轨迹方 程. x2 y2 4409 (2024·河南·校联考模拟预测)在椭圆C： + =1(a>b>0)中，其所有外切矩形的 a2 b2 第 页 共 页 820 10432 顶点在一个定圆Γ：x2+y2=a2+b2上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆C过P1, 2  ， 6 1 Q- , 2 2  . (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的蒙日圆上一点M，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点N，若k ， OM k 存在，证明：k ⋅k 为定值. ON OM ON 4410 (2024秋·浙江宁波·高三期末)法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研 究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的 轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴 x2 y2 1 与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆C: + =1(a>b>0)中，离心率e= ， a2 b2 2 左、右焦点分别是F 1 、F 2 ，上顶点为Q，且QF 2  =2，O为坐标原点. (1)求椭圆C的方程，并请直接写出椭圆C的蒙日圆的方程； (2)设P是椭圆C外一动点(不在坐标轴上)，过P作椭圆C的两条切线，过P作x轴的垂 1 线，垂足H，若两切线斜率都存在且斜率之积为- ，求△POH面积的最大值. 2 4411 (2024·吉林白山·统考二模)法国数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国 x2 y2 科学技术的发展影响深远．在双曲线 - =1(a>b>0)中，任意两条互相垂直的切 a2 b2 线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平 x2 y2 方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆．已知双曲线C： - =1(a>b>0)的实 a2 b2 轴长为6，其蒙日圆方程为x2+y2=1． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设D为双曲线C的左顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为 直径的圆经过点D，且DG⊥EF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值． x2 y2 4412 (2022秋·江苏盐城·高三校联考阶段练习)定义椭圆C： + =1(a>b>0)的“蒙日 a2 b2 1 圆”的方程为x2+y2=a2+b2，已知椭圆C的长轴长为4，离心率为e= . 2 (1)求椭圆C的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程； (2)过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆C的一条切线MA，A为切点，延长MA与“蒙 日圆”E交于点D，O为坐标原点，若直线OM，OD的斜率存在，且分别设为k,k ，证明： 1 2 k ⋅k 为定值. 1 2 x2 y2 4413 (2022·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  的左、右焦点分别为 第 页 共 页 821 1043F 1- 3,0  、F 2 3,0  3 ，离心率为 ． 3 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若动点Px 0 ,y 0  为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨 迹方程； (3)若过椭圆C上任意一点Q的切线与(2)中所求点P的轨迹方程交于A、B两点，求 证：QA  ⋅QB  =QF 1  ⋅QF 2  ． x2 y2 4414 (2019·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习)已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2  的一个焦点为F 1- 7,0  7 ,离心率为 . 4 (1)求C的标准方程； (2)若动点M为C外一点,且M到C的两条切线相互垂直,求M的轨迹D的方程； (3)设C的另一个焦点为F,过C上一点P的切线与(2)所求轨迹D交于点A,B,求证： 2 PA  ⋅PB  =PF 1  ⋅PF 2  . 4415 (2022·全国·高三专题练习)设椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，垂直x轴的直线 2 3 与椭圆相交于A、B两点，当△FAB的周长取最大值4 3时，|AB|= ． 3 (1)求椭圆C的方程； (2)过圆D:x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线m、n，直线m、n与圆D的另一 交点分别为M、N, ①证明：m⊥n； ②求△MNP面积的最大值． 2 题型二：内圆与外圆问题 x2 y2 4416 (2022·全国·高三专题练习)已知椭圆 + =1(a>b>0)及圆O:x2+y2=a2，过点B a2 b2 (0,a)与椭圆相切的直线l交圆O于点A，若∠AOB=60°，求椭圆的离心率． x2 y2 4417 (2022·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1(a>b>0)和圆O:x2+y2=a2，F( a2 b2 1 π -1,0)，F(1,0)分别是椭圆的左、右两焦点，过F 且倾斜角为α α∈0, 2 1 2    的动直线l交 π 椭圆C于A，B两点，交圆O于P，Q两点(如图所示，点A在x轴上方)．当α= 时， 4 弦PQ的长为 14． (1)求圆O与椭圆C的方程； 第 页 共 页 822 1043(2)若2|BF|=|AF|+|AB|，求直线PQ的方程． 2 2 x2 y2 4418 (2022·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1(a>b>0)和圆O:x2+y2=a2,F( a2 b2 1 π -1,0),F(1,0)分别是椭圆的左、右两焦点，过F 且倾斜角为α∈0, 2 1 2  的动直线l交椭圆 π C于A,B两点，交圆O于P,Q两点(如图所示)，当α= 时，弦PQ的长为 14． 4 (1)求圆O和椭圆C的方程 (2)若点M是圆O上一点，求当AF,BF,AB成等差数列时，△MPQ面积的最大值． 2 2 x2 y2 3 4419 (2017·上海嘉定·统考二模)如图，已知椭圆C: + =1(a>b>0)过点1, a2 b2 2  两个 焦点为F(-1,0)和F(1,0).圆O的方程为x2+y2=a2. 1 2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)过F 且斜率为k(k>0)的动直线l与椭圆C交于A、B两点，与圆O交于P、Q两点 1 (点A、P在x轴上方)，当AF 2  ,BF 2  ,|AB|成等差数列时，求弦PQ的长. x2 y2 4420 (2022·全国·高三专题练习)如图，已知椭圆C: + =1(a>b>0)和圆O:x2+y2= a2 b2 b2(其中圆心O为原点)，过椭圆C上异于上、下顶点的一点Px 0 ,y 0  引圆O的两条切线， 切点分别为A,B． 第 页 共 页 823 1043(1)求直线AB的方程； (2)求三角形OAB面积的最大值． x2 y2 4421 (2022·全国·高三专题练习)如图，椭圆C: + =1(a>b>0)和圆O:x2+y2=b2，已 a2 b2 2 2 知椭圆C的离心率为 ，直线 2x-2y- 6=0与圆O相切． 3 (1)求椭圆C的标准方程； (2)椭圆C的上顶点为B，EF是圆O的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE、BF与 椭圆C的另一个交点分别为P、Q，求△BPQ的面积的最大值及此时PQ所在的直线方 程． x2 y2 4422 (2022·全国·高三专题练习)已知椭圆 + =1(a>b>0)和圆O:x2+y2=b2，过椭 a2 b2 圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A,B． (Ⅰ)若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e的值； a2 b2 (Ⅱ)设直线AB与x、y轴分别交于点M,N，问当点P在椭圆上运动时， + 是 ON2 OM2 否为定值？请证明你的结论． 3 题型三：直径为圆问题 第 页 共 页 824 1043x2 y2 4423 (2024秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习)已知椭圆C: + =1(a>b>0)经过点 a2 b2 2 2 2 P ， 3 3  ，左，右焦点分别为F 1 ，F 2 ，O为坐标原点，且 PF 1+   PF 2  =4． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆C相交于M，N两点，以MN为直径的圆过点 A，求AM  ⋅AN  的最大值． x2 y2 4424 (2024秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  过 3 1, 2  6 和 2, 2  两点. (1)求椭圆C的方程； (2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线x=4上运动时，直线 AM，BM分别交椭圆于两点P和Q. (i)证明：点B在以PQ为直径的圆内； (ii)求四边形APBQ面积的最大值. x2 y2 4425 (2024·山西大同·统考模拟预测)已知椭圆C 1 : a2 + b2 =1a>b>0  2 的离心率为 ， 2 且直线y=x+b是抛物线C :y2=4x的一条切线． 2 (1)求椭圆C 的方程； 1 1 (2)过点S0,- 3  的动直线L交椭圆C 于A,B两点，试问：在直角坐标平面上是否存在 1 一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说 明理由． x2 y2 4426 (2024秋·福建福州·高三闽侯县第一中学校考阶段练习)已知椭圆E: + = a2 b2 1a>b>0  2 的离心率是 ，上、下顶点分别为A，B.圆O:x2+y2=2与x轴正半轴的交 2   点为P，且PA⋅PB=-1. (1)求E的方程； (2)直线l与圆O相切且与E相交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆恒过定点. x2 y2 4427 (2024秋·广东广州·高三广州市第六十五中学校考阶段练习)已知椭圆C: + = a2 b2 1a>b>0  的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F1,0  ，O为坐标原点，线段OA的中 点为D，且BD  =DF  ． (1)求C方程； (2)已知点M、N均在直线x=2上，以MN为直径的圆经过O点，圆心为点T，直线AM、 AN分别交椭圆C于另一点P、Q，证明直线PQ与直线OT垂直． 第 页 共 页 825 1043x2 y2 4428 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  的左、右焦点分别为F， 1 F 2 ，A，B分别是C的右、上顶点，且AB  = 7，D是C上一点，△BFD周长的最大值为 2 8. (1)求C的方程； (2)C的弦DE过F，直线AE，AD分别交直线x=-4于M，N两点，P是线段MN的中 1 点，证明：以PD为直径的圆过定点. x2 4429 (2024秋·全国·高三校联考开学考试)在平面直角坐标系中，已知F,F 分别为椭圆C: 1 2 a2 y2 + =1a>b>0 b2  的左、右焦点.M为椭圆C上的一个动点，∠FMF 的最大值为120°， 1 2 且点M到右焦点F 距离的最小值为2- 3，直线l交椭圆C于异于椭圆右顶点A的两个 2 点Px 1 ,y 1  ,Qx 2 ,y 2  . (1)求椭圆C的标准方程； (2)若以PQ为直径的圆恒过点A，求证：直线l恒过定点，并求此定点的坐标. x2 y2 4430 (2024秋·重庆·高三统考开学考试)已知F 1 、F 2 是椭圆C :a2 + b2 =1a>b>0  的左、右 3 焦点，点P- 2, 3  在椭圆C上，且PF ⊥FF. 1 1 2 (1)求椭圆C的方程； (2)已知A，B两点的坐标分别是0,2  ，-1,0  ，若过点A的直线l与椭圆C交于M，N 两点，且以MN为直径的圆过点B，求出直线l的所有方程. x2 y2 4431 (2022秋·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习)如图，椭圆E: + = a2 b2 1a>b>0  1 的左焦点为F，右焦点为F，离心率e= ，过F 的直线交椭圆于A、B两点， 1 2 2 1 且△ABF 的周长为8. 2 (1)求椭圆E的方程； (2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q， 则在x轴上一定存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M，试求出点M的坐标. 4 题型四：四点共圆问题 4432 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，已知A1,1  ，B1,-1  ，动点P    满足OP=mOA+nOB，且mn=1.设动点P形成的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的标准方程； 第 页 共 页 826 1043(2)过点T2,2  的直线l与曲线C交于M，N两点，试判断是否存在直线l，使得A，B， M，N四点共圆.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 4433 (2024秋·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市十二中校考阶段练习)已知抛物线P:y2= 2pxp>0  3 上的点 ,a 4  到其焦点的距离为1． (1)求p和a的值； (2)若直线l:y=x+m交抛物线P于A、B两点，线段AB的垂直平分线交抛物线P于 C、D两点，求证：A、B、C、D四点共圆． x2 y2 4434 (2022·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  的左、右焦点分别为F， 1 F 2 ，左顶点为A- 2,0  2 ，且离心率为 ． 2 (1)求C的方程； (2)直线y=kxk≠0  交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证： M，F，N，F 四点共圆． 1 2 x2 4435 (2022·全国·高三专题练习)已知椭圆C: +y2=1(a>0)的右顶点为点A，直线l交C a2 15 于M，N两点，O为坐标原点．当四边形AMON为菱形时，其面积为 ． 2 (1)求C的方程； (2)若∠MAN=90°；是否存在直线l，使得A，M，O，N四点共圆？若存在，求出直线l的 方程，若不存在，请说明理由． x2 y2 4436 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F， a2 b2 1 F，左顶点为A(-2 2,0)，且过点( 2, 3)． 2 (1)求C的方程； (2)过原点O且与x轴不重合的直线交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点 M，N，求证：M，F，N，F 四点共圆． 1 2 x2 y2 4437 (2024·山东青岛·山东省青岛第五十八中学校考一模)椭圆E: + =1(a>b>0)的 a2 b2 1 离心率为 ，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点， 2 △OAB面积的最大值为 3． (1)求椭圆E的标准方程； (2)设直线l:x=t交x轴于点P，其中t>a，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和 CA分别交直线l于点M和N，若O、A、M、N四点共圆，求t的值． x2 y2 1 4438 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆E： + =1(a>b>0)的离心率为 ，且经过 a2 b2 2 3 点-1， 2  . (1)求椭圆E的标准方程； (2)设椭圆E的右顶点为A，点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，直 线l：x=t(t>a)交x轴于点P，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直 线l于点M和N，若O、A、M、N四点共圆，求t的值. 4439 (2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C：y2=2pxp>0  ，A是C上位于第一象限内 第 页 共 页 827 1043的动点，它到点B3,0  距离的最小值为2 2，直线AB与C交于另一点D，线段AD的垂 直平分线交C于E，F两点. (1)求p的值； (2)若AB  =2 2，证明A，D，E，F四点共圆，并求该圆的方程. 第 页 共 页 828 1043