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专题 22.3 二次函数的图象与性质（二）【八大题型】
【人教版】
【题型1 利用二次函数的图象与性质比较函数值的大小】.................................................................................1
【题型2 利用二次函数的图象特征求参数的值或取值范围】.............................................................................4
【题型3 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数的值】.............................................................................6
【题型4 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数取值范围】.....................................................................9
【题型5 根据二次函数的性质求最值】................................................................................................................11
【题型6 二次函数的对称性的运用】....................................................................................................................13
【题型7 二次函数的图象与一次函数图象共存问题】.......................................................................................16
【题型8 利用二次函数的图象与系数的关系判断结论】...................................................................................19
【题型1 利用二次函数的图象与性质比较函数值的大小】
【例1】（2023春·天津滨海新·九年级校考期中）已知点A(-2,y )，B(1,y )，C(5,y )在二次函数
1 2 3
y=-3x2+k的图象上，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y 0时，y随x的增大而减小，即可求解．
1
【详解】解：∵二次函数y=-3x2+k的图象的对称轴为y轴，
∴点A(-2,y )关于对称轴的对称点为(2,y )，
1 1
∵-3<0，
∴当x>0时，y随x的增大而减小，
∵1<2<5，
∴y x >3，则m与n的大小关系为______．
1 2
【答案】m3时，y随x的增大而减小，
又∵x >x >3，
1 2
∴m3，则下列关于y ，y ，y 三者的大小关
1 2 3 1 2 3
系判断一定正确的是（ ）
A．y 可能最大，不可能最小 B．y 可能最大，也可能最小
1 3
C．y 可能最大，不可能最小 D．y 不可能最大，可能最小
3 2
【答案】B
【分析】求出函数图像的对称轴，与x轴的交点，分a>0和a<0两种情况，根据已知三点与对称轴的距离，
结合开口方向分析即可．
【详解】解：在y=ax2-2ax-3a(a≠0)中，
-2a
对称轴为直线x=- =1，
2a
令ax2-2ax-3a=0，解得：x =-1，x =3，
1 2
∴函数图像与x轴交于(-1,0)，(3,0)，
∵-13，
1 2 3
∴(x ,y )离对称轴最远，(x ,y )离对称轴最近，
3 3 2 2
当a>0时，开口向上，
∴y >y >y ；
3 1 2
当a<0时，开口向下，∴y y B．若01，则y >y
3 1 2 1 2
【答案】C
【分析】根据根据二次函数的解析式得到对称轴为直线x=1，再利用二次函数的性质对各项判断即可解答．
【详解】解：∵二次函数y=x2-2x的图象过A(a,y ),B(2a,y )两点，
1 2
∴二次函数的顶点式为：y=x2-2x=(x-1) 2-1，
∴当x<1时，y随x的增大而减小，当x>1时，y随x的增大而增大；
∵a<0，
∴2a<0，
∴a>2a，
∴y y ；当 1时，y随x的增大而增大，
∵a<2a，
∴y 4
【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，再利用顶点在x轴下方，即可求出n的范围．
【详解】解：y=-x2+4x-n，
化为顶点式为：y=-(x-2) 2+4-n，
∵ 4-n<0，∴n>4，
故答案为：n>4．
【点睛】本题考查了抛物线的顶点式解析式，解题关键是理解当顶点纵坐标小于0时，顶点位于x轴下方．
【变式2-2】（2023·黑龙江大庆·大庆一中校考模拟预测）二次函数y=kx2-x-4k（k为常数且k≠0）的
图象始终经过第二象限内的定点A．设点A的纵坐标为m，若该函数图象与y=m在10和
k<0两种情况列不等式即可解答．
【详解】解：∵ y=kx2-x-4k=k(x2-4)-x，
∴x2-4=0，
∴x=±2，
当x=2时，y=-2，
当x=-2时，y=2，
∴二次函数y=kx2-x-4k（k为常数且k≠0）的图象始终经过定点(-2，2)，(2，-2)，
∴m=2，
∵函数y=kx2-x-4k的图象与y=2在10时，x=3时，y<2，
即9k-3-4k<2，
∴k<1，
∴0-1，
∴-10，由抛物线与y轴的交点判断c的值，当x=1时，二次函数的值
小于零，由此可求出a的取值范围，将a+b+c用a表示即可得出答案．
【详解】由图象开口向上，可得a>0，
∵图象过点(0,-1)，
∴c=-1，
∵图象过点(-1,0)，
∴a-b-1=0，
∴b=a-1，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴当x=1时，y=a+b+c=a+a-1-1=2a-2<0，
∴a<1，
∴03，当-1≤x≤3时，
有下列说法：
①若y的最大值为-8，则m=4；
②若y的最小值为-8，则m=6；
③若m=5，则y的最大值为-3．
则上达说法（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③正确 D．均不正确
【答案】C
【分析】根据二次函数y=-(x-m) 2+1可得称轴为直线x=m，由a=-1<0，可得抛物线开口向下，再由
m>3，所以当-1≤x≤3时，抛物线单调递增，从而可得x=3时，y有最大值，x=-1时，y有最小值，把
x=3、y=-8和x=-1、y=-8分别代入解析式求得m的值，再根据m的取值范围进行判断①②即可；把
x=3、m=5，代入解析式求得y的最大值即可判断③．
【详解】解：二次函数y=-(x-m) 2+1图象的对称轴为直线x=m，
∵a=-1<0，
∴抛物线开口向下，
因为m>3，所以当-1≤x≤3时，函数y=-(x-m) 2+1单调递增，
若y的最大值为-8，则-(3-m) 2+1=-8，解得m=6或m=0（舍去），故①错误；
若y的最小值为-8，则-(-1-m) 2+1=-8，解得m=2或m=-4，此时不存在m，故②错误；
若m=5，则y=-(x-5) 2+1，所以y的最大值为-(3-5) 2+1=-3，故③正确，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【变式3-3】（2023·浙江宁波·统考一模）在平面直角坐标系中，设二次函数y =x2+2bx+a，
1
y =ax2+2bx+1（a，b；是实数，a≠0）的最小值分别为m和n，若m+n=0，则mn的值为( )
2
A．0 B．-1 C．-2 D．-4
【答案】A
a-b2
【分析】先根据题意配出顶点式，可分别写出m=a-b2和n= ，再根据m+n=0，写出
a
1
(a-b2 )(1+ )=0，推出a-b2=0，即可求出m=0和n=0，即可求出mn=0．
a
【详解】解：由题意可知，y =ax2+2bx+1有最小值，
2
∴a>0，
∵y =x2+2bx+a=(x+b) 2+a-b2 ，
1
∴m=a-b2，
b 2 a-b2
∵y =ax2+2bx+1=a(x+ ) + ，
2 a a
a-b2
∴n= ，
a
∵m+n=0，
a-b2 1
∴(a-b2 )+ =0，即(a-b2 )(1+ )=0，
a a
1
∵1+ ≠0，
a
∴a-b2=0，
∴m=0，n=0，
∴mn=0；
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的最值，解题关键是用含有a、b的式子表示出m和n．
【题型4 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数取值范围】
【例4】（2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知二次函数y=x2-4x+1．若x≤a时，该二次函数的最
小值为-3，则实数a的取值范围是（ ）A．a≥2 B．a≤2 C．a>2 D．a<2
【答案】A
【分析】将二次函数一般式改为顶点式，结合其性质即得出当a≥2其最小值都为顶点的纵坐标-3．
【详解】∵y=x 2-4x+1=(x-2) 2-3，
❑ ❑
∴当x=2时该函数有最小值-3，
∵a=1>0
∴当x<2时，y随x的增大而减小，当x>2时，y随x的增大而增大，
∴若使x≤a时，该二次函数的最小值为−3，
则a≥2．
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
【变式4-1】（2023·浙江绍兴·校联考三模）二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(1,0),(2,3)，在
a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为-5，则a的取值范围是（ ）
A．a≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a≤0
【答案】C
【分析】先利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而得到抛物线的顶点坐标为(3,4)，由于当x=6时，
y=-5，根据抛物线的对称性可得：a的取值范围是0≤a≤3.
【详解】解：∵二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(1,0),(2,3)，
∴¿，
解得¿，
∴抛物线的解析式是y=-x2+6x-5=-(x-3) 2+4，
∴抛物线的顶点坐标为(3,4)，
∴当x=3时，抛物线有最大值4，
由于当x=6时，y=-(6-3) 2+4=-5，且在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为-5，
∴根据抛物线的对称性可得：a的取值范围是0≤a≤3；
故选：C.
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，正确理解题意、熟练
掌握抛物线的相关知识是解题关键.
【变式4-2】（2023春·北京顺义·九年级校考期中）如果二次函数y=(m-1)x2+2mx+m+3的最小值是正数，则m的取值范围是______．
3
【答案】m＞
2
【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，根据函数有最小值，可知二次函数图象开口向上，最小值为正
数，可知其顶点的纵坐标为正数，据此列不等式组即可求解．
( m ) 2 2m-3
【详解】将y=(m-1)x2+2mx+m+3化为顶点式为：y=(m-1) x+ + ，
m-1 m-1
∵二次函数的最小值为正数，
∴¿
3
解得：m＞ ，
2
3
故答案为：m＞ ．
2
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，将二次函数解析式化为顶点式等知识，掌握二次函数的
图象与性质是解答本题的关键．
【变式4-3】（2023·浙江绍兴·统考一模）已知函数y=x2-8x+8，当0≤xn B．m＜n C．m=n D．m=2n
【答案】C
【分析】根据表格中数据，可以求出抛物线的对称轴，再根据对称性即可得到大小关系．
0+3 3
【详解】解：由表格可以得到：抛物线对称轴为x= = ，
2 2
3 1 3 1
∵ -1= ，2- =
2 2 2 2
∴m=n
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．
1
【变式6-1】（2023·山东济南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2 经过平移得到抛物
2
1
线y= x2-2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ）
2
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】A
【分析】过点C作CA⊥y轴于点A，由抛物线的对称性可得阴影OBD的面积等于阴影CAO的面积，即阴
1
影部分的面积等于矩形ACBO的面积，然后再确定抛物线y= x2-2x的顶点坐标，最后求得矩形ACBO
2
的面积即可．
【详解】解：如图：过点C作CA⊥y轴于点A，
∴阴影OBD的面积等于阴影CAO的面积，
∴阴影部分的面积等于矩形ACBO的面积，1 1
∵y= x2-2x= (x-2) 2-2，
2 2
∴顶点坐标为C(2，-2)．
∴对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数图像的性质等知识点，灵活运用二次函数图像的对
称性是解答本题的关键．
【变式6-2】（2023·上海·一模）二次函数y=ax2+bx+c图像上部分点的坐标满足如表：
x … -4 -3 -2 -1 0 …
y … m -3 -2 -3 -6 …
那么m的值为____．
【答案】-6
【分析】根据二次函数的对称性解答即可．
【详解】解：∵x=-3、x=-1时的函数值相等都是-3，
-3+(-1)
∴函数图像的对称轴为直线x= =-2
2
∵x=-4和x=0也关于直线x=-2对称，
∴当x=-4和x=0时的函数值也相等，
∴m=-6，
故答案为：-6．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键．
【变式6-3】（2023春·福建福州·九年级福州华伦中学校考期末）已知点A（x，y）、B（x，y）在二次
1 1 2 2
函数y＝x2＋bx＋c的图象上，当x ＝1，x ＝3时，y = y ．若对于任意实数x、x 都有y + y ≥2，则c的
1 2 1 2 1 2 1 2
范围是（ ）
A．c≥5 B．c≥6 C．c＜5或c＞6 D．5＜c＜6【答案】A
【分析】由当x ＝1，x ＝3时，y＝y 可得抛物线对称轴为直线x＝2，从而可得抛物线解析式，将函数解
1 2 1 2
析式化为顶点式可得y＋y 的最小值，进而求解．
1 2
【详解】∵当x ＝1，x＝3时，y = y ．
1 2 1 2
b
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝2，
2
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x＋c＝(x-2) 2＋c﹣4，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（2，c﹣4），
∴当y＝y＝c﹣4时，y＋y 取最小值为2c﹣8，
1 2 1 2
∴2c﹣8≥2，
解得c≥5．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及
不等式的关系．
【题型7 二次函数的图象与一次函数图象共存问题】
【例7】（2023·安徽六安·校考二模）已知抛物线y=ax2+bx+c和直线y=2x+c分别交于A点和B点，则
抛物线y=(2-b)x-ax2的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】求出求出交点A、B的坐标，根据已知图象确定，a与A点的横坐标的正负，进而推断新抛物线
y=(2-b)x-ax2的图象的开口方向，对称轴位置，从而确定答案．
【详解】解：由ax2+bx+c=2x+c，得x(ax+b-2)=0，
2-b
解得，x=0或x= ，
a
∵抛物线y=ax2+bx+c和直线y=2x+c分别交于A点和B点，
2-b
∴B(0,c)，A的横坐标为： ，
a
∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，交点A在第三象限内，
2-b
∴a>0， <0，
a
2-b
∵抛物线y=(2-b)x-ax2中，-a<0，对称轴x= <0，
2a
∴此抛物线的开口向下，对称轴在y轴的左边，
符合此条件的图象是C，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，一次函数的图象与性质，关键是由已知条件确定
a和A点横坐标的取值．
【变式7-1】（2023·安徽合肥·统考三模）在同一平面直角坐标系内，二次函数y=x2-m与一次函数
y=-x+m的图像可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根据a=1>0，k=-1<0可知，抛物线开口向上，直线自左向右呈下降趋势，故排除A；当x=1
时，二次函数值为1-m，一次函数值为-1+m，互为相反数，排除B和D，即可得出答案．
【详解】由a=1>0，k=-1<0可知，抛物线开口向上，直线自左向右呈下降趋势，故排除A；
当x=1时，二次函数值为1-m，一次函数值为-1+m，互为相反数，排除B和D．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，掌握图象和性质是解题的关键．
【变式7-2】（2023·安徽安庆·安庆市第四中学校考二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一
b
次函数y=(c+3a)x- 的图象可能是（ ）
a
A． B． C． D．
【答案】B
b
【分析】先根据抛物线对称轴为直线x=1推出- =2，再根据当x=-1时，y>0，得到3a+c>0，由此即
a
可得到答案．
【详解】解：∵对称轴为直线x=1，
b
∴- =1，
2a∴b=-2a，
b
∴- =2
a
∵当x=-1时，y>0，
∴a-b+c>0，即a+2a+c>0，
∴3a+c>0，
b
∴一次函数y=(c+3a)x- 的图象经过第一、三、四象限，且与y轴交于(0，2)，
a
故选B．
b
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象的综合判断，正确推出3a+c>0，- =2是解题的
a
关键．
【变式7-3】（2023·安徽宿州·宿州市第十一中学校考模拟预测）已知一次函数y=-x+a（a为常数）的图
1
象如图所示，则函数y=ax2-2x+
的图象是（ ）
a
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象可得a>0，再根据二次函数的图象特征进行判断即可得．
【详解】解：由一次函数y=-x+a（a为常数）的图象可知：a>0，
1
则抛物线y=ax2-2x+
的开口向上，选项A不符合题意；
a
-2 1
二次函数的对称轴是直线x=- = >0，位于y轴右侧，选项B不符合题意；
2a a
1 1
关于x的一元二次方程ax2-2x+ =0根的判别式△=4-4a⋅ =0，
a a
则抛物线与x轴只有一个交点，选项D不符合题意，选项C符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象特征是解题关键．
【题型8 利用二次函数的图象与系数的关系判断结论】
【例8】（2023·湖南怀化·统考三模）函数y=|ax2+bx+c|（a>0，b2-4ac>0）的图象是由函数
y=ax2+bx+c（a>0，b2-4ac>0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，
则下列结论正确的是（ ）
①2a+b=0；②4a-2b+c>0；③c=3；④将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点．
A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
b
【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为- =1，进而可得2a+b=0，故①正确；由图
2a
象可得，当x=-2时，y=4a-2b+c>0，可判段②；由函数图象与y轴的交点坐标为(0,3)，
y=ax2+bx+c(a>0,b2-4ac>0)的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成可知c=-3，故
③错误；求出翻折前的二次函数解析式，然后根据平移的性质可得④正确．
【详解】解：由函数图象可得：y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标为－1和3，
-1+3 b
∴对称轴为x= =1，即- =1，
2 2a
∴整理得：2a+b=0，故①正确；
由图象可得，当x=-2时，y=4a-2b+c>0，故②正确；
∵y=|ax2+bx+c|(a>0,b2-4ac>0)与y轴的交点坐标为(0,3)，
y=ax2+bx+c(a>0)可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿x轴向上翻折而成，
∴c=-3，故③错误；
设抛物线y=ax2+bx+c的解析式为y=a(x+1)(x-3)，代入(0,-3)得：-3=-3a，
解得：a=1，
∴y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3，
∴y=|x2-2x-3|=|(x-1) 2-4|，
∴顶点坐标为(1,4)，
∵点(1,4)向上平移1个单位后的坐标为(1,5)，
∴将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．
【变式8-1】（2023·山东潍坊·统考三模）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1，则下
列结论正确的是（ ）
A．abc>0 B．a+b+c>0 C．3b<2c D．b>a+c
【答案】A
【分析】根据抛物线开口向上，与y轴交与y轴负半轴，得到a>0，c<0，根据抛物线对称轴为直线x=1，
得到b=-2a<0，由此即可判断A；根据当x=1时，y<0，即可判断B；根据当x=-1时，y=0，即可判
断C、D．
【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交与y轴负半轴，
∴a>0，c<0，
∵抛物线对称轴为直线x=1，
b
∴- =1，
2a
∴b=-2a<0，
∴abc>0，故A结论正确，符合题意；
∵当x=1时，y<0，
∴a+b+c<0，故B结论错误，不符合题意；∵当x=-1时，y=0，
∴a-b+c=0，
b
∴- -b+c=0，b=a+c
2
∴3b=2c，故C、D结论错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，熟知相关知识是解题的
关键．
【变式8-2】（2023春·北京海淀·九年级期末）二次函数y=ax2+bx+c中，x与y的部分对应值如下表：
x … -2 0 2 3 …
y … 8 0 0 3 …
则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③图象的对称轴为直线x=1；④当x>0时，y随x的增大
而增大；⑤图象经过点(-1,3)．其中正确的是____________．
【答案】①③⑤
【分析】结合图表可以得出当x=0或2时，y=0，x=3时，y=3，根据此三点可求出二次函数解析式，从而
根据抛物线的图象性质可逐个判定即可．
【详解】解：∵由图表可以得出当x=0或2时，y=0，x=3时，y=3，
∴¿，
解得：¿，
∴y=x2-2x，
∵c=0，
∴图象经过原点，故①正确；
∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，故②错误；
∵y=x2-2x=(x-1) 2-1，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
故③正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=1，抛物线开口向上，
∴x＞1时，y随x的增大而增大，x＜1时，y随x的增大而减小，故④错误；
把x=-1代入得，y=3，∴图象经过点（-1，3），故⑤正确；
综上，正确的有①③⑤．
故答案为：①③⑤．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及由解析式求函数与坐标轴的交点以及一元二
次方程根的判别式的应用．
【变式8-3】（2023春·广东珠海·九年级校考期中）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图所示，
图像过点(-1,0)，对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c>3b；③8a+7b+2c>0；④
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若点A(-3,y )、点B(- ,y )、点C( ,y )在该函数图像上，则y 0，
∴9a+c<3b，故结论②错误；
8a+7b+2c=8a+7×(-4a)+2×(-5a)=-30a>0，故结论③正确；
1 7
∵-3<-1，-1<- ，2< <5，
2 2
1 7
∴点A(-3,y )在x轴的下方，即y <0；点B(- ,y )在x轴的上方，即y >0；点C( ,y )在x轴的上方，
1 1 2 2 2 2 3
即y >0，
3
1 9
∵点B(- ,y )关于对称轴x=2的对称点是( ,y )，且当x>2时，函数值随着x的增大而减小，即点
2 2 2 2
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B(- ,y )与点C( ,y )比较，
2 2 2 3
∴y
