专题 22.3 二次函数的图象与性质（二）【八大题型】
【人教版】
【题型1 利用二次函数的图象与性质比较函数值的大小】.................................................................................1
【题型2 利用二次函数的图象特征求参数的值或取值范围】.............................................................................4
【题型3 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数的值】.............................................................................6
【题型4 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数取值范围】.....................................................................9
【题型5 根据二次函数的性质求最值】................................................................................................................11
【题型6 二次函数的对称性的运用】....................................................................................................................13
【题型7 二次函数的图象与一次函数图象共存问题】.......................................................................................16
【题型8 利用二次函数的图象与系数的关系判断结论】...................................................................................19
【题型1 利用二次函数的图象与性质比较函数值的大小】
【例1】（2023春·天津滨海新·九年级校考期中）已知点A(-2,y )，B(1,y )，C(5,y )在二次函数
1 2 3
y=-3x2+k的图象上，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
1 2 3 3 2 1 3 1 2 1 3 2
【答案】C
【分析】根据题意可得二次函数y=-3x2+k的图象的对称轴为y轴，从而得到点A(-2,y )关于对称轴的
1
对称点为(2,y )，再由当x>0时，y随x的增大而减小，即可求解．
1
【详解】解：∵二次函数y=-3x2+k的图象的对称轴为y轴，
∴点A(-2,y )关于对称轴的对称点为(2,y )，
1 1
∵-3<0，
∴当x>0时，y随x的增大而减小，
∵1<2<5，
∴y <y <y ．
3 1 2故选：C
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·九年级单元测试）若点C(x ,m)、D(x ,n)在抛物线y=-2(x-3) 2的图象上，且
1 2
x >x >3，则m与n的大小关系为______．
1 2
【答案】m<n
【分析】根据二次函数解析式，求得二次函数的对称轴，开口方向，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：由抛物线y=-2(x-3) 2可得，a<0，开口向下，对称轴为x=3，
∴当x>3时，y随x的增大而减小，
又∵x >x >3，
1 2
∴m<n
故答案为：m<n
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质．
【变式1-2】（2023春·福建漳州·九年级统考期末）已知点(x ,y ),(x ,y ),(x ,y )都在二次函数
1 1 2 2 3 3
y=ax2-2ax-3a(a≠0)的图像上，若-1<x <0,1<x <2,x >3，则下列关于y ，y ，y 三者的大小关
1 2 3 1 2 3
系判断一定正确的是（ ）
A．y 可能最大，不可能最小 B．y 可能最大，也可能最小
1 3
C．y 可能最大，不可能最小 D．y 不可能最大，可能最小
3 2
【答案】B
【分析】求出函数图像的对称轴，与x轴的交点，分a>0和a<0两种情况，根据已知三点与对称轴的距离，
结合开口方向分析即可．
【详解】解：在y=ax2-2ax-3a(a≠0)中，
-2a
对称轴为直线x=- =1，
2a
令ax2-2ax-3a=0，解得：x =-1，x =3，
1 2
∴函数图像与x轴交于(-1,0)，(3,0)，
∵-1<x <0,1<x <2,x >3，
1 2 3
∴(x ,y )离对称轴最远，(x ,y )离对称轴最近，
3 3 2 2
当a>0时，开口向上，
∴y >y >y ；
3 1 2
当a<0时，开口向下，∴y <y <y ；
3 1 2
∴y 和y 可能最大，也可能最小，
2 3
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是根据表达式求出对称轴和与x轴交点，利用性
质进行分析．
【变式1-3】（2023·浙江温州·校考三模）已知二次函数y=x2-2x的图象过A(a,y ),B(2a,y )两点，下
1 2
列选项正确的是（ ）
2
A．若a<0，则y >y B．若0<a< ，则y <y
1 2 3 1 2
2
C．若 <a<1，则y <y D．若a>1，则y >y
3 1 2 1 2
【答案】C
【分析】根据根据二次函数的解析式得到对称轴为直线x=1，再利用二次函数的性质对各项判断即可解答．
【详解】解：∵二次函数y=x2-2x的图象过A(a,y ),B(2a,y )两点，
1 2
∴二次函数的顶点式为：y=x2-2x=(x-1) 2-1，
∴当x<1时，y随x的增大而减小，当x>1时，y随x的增大而增大；
∵a<0，
∴2a<0，
∴a>2a，
∴y <y ，
1 2
故A错误；
∵二次函数的顶点式为：y=x2-2x=(x-1) 2-1，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
a+2a
若 =1，
2
2
∴解得：a= ，
3
2
∴当a= 时，a和2a关于x=1对称，
32 2
∴当0<a< 时，y >y ；当 <a<1时，y <y ，
3 1 2 3 1 2
故B错误，C正确；
当a>1时，y随x的增大而增大，
∵a<2a，
∴y <y ，
1 2
故D错误；
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【题型2 利用二次函数的图象特征求参数的值或取值范围】
【例2】（2023·江苏苏州·模拟预测）若二次函数y=x2-2x-3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于
m，则m的值为 ___________．
【答案】4
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=1，顶点为(1,-4)，由图象上恰好只有三个点到x轴
的距离为m可得m=4．
【详解】解：∵y=x2-2x-3=(x-1) 2-4，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为(1,-4)，
∴顶点到x轴的距离为4，
∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，
∴m=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意，掌握求二次函数对称轴和顶点坐标的
方法是解题的关键．
【变式2-1】（2023·江苏南通·统考二模）若抛物线y=-x2+4x-n的顶点在x轴的下方，则实数n的取值范
围是______．
【答案】n>4
【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，再利用顶点在x轴下方，即可求出n的范围．
【详解】解：y=-x2+4x-n，
化为顶点式为：y=-(x-2) 2+4-n，
∵ 4-n<0，∴n>4，
故答案为：n>4．
【点睛】本题考查了抛物线的顶点式解析式，解题关键是理解当顶点纵坐标小于0时，顶点位于x轴下方．
【变式2-2】（2023·黑龙江大庆·大庆一中校考模拟预测）二次函数y=kx2-x-4k（k为常数且k≠0）的
图象始终经过第二象限内的定点A．设点A的纵坐标为m，若该函数图象与y=m在1<x<3内没有交点，
则k的取值范围是______．
【答案】0<k<1或-1<k<0
【分析】先计算二次函数过两个定点，确定m=2，根据函数图象与y=m在1<x<3内没有交点，分k>0和
k<0两种情况列不等式即可解答．
【详解】解：∵ y=kx2-x-4k=k(x2-4)-x，
∴x2-4=0，
∴x=±2，
当x=2时，y=-2，
当x=-2时，y=2，
∴二次函数y=kx2-x-4k（k为常数且k≠0）的图象始终经过定点(-2，2)，(2，-2)，
∴m=2，
∵函数y=kx2-x-4k的图象与y=2在1<x<3内没有交点，
∴分两种情况：
①当k>0时，x=3时，y<2，
即9k-3-4k<2，
∴k<1，
∴0<k<1，
②当k<0时，当x=1时，y<2，
即k-1-4k<2，
∴k>-1，
∴-1<k<0，
综上所述，k的取值范围是0<k<1或-1<k<0，
故答案为：0<k<1或-1<k<0．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，计算定点A的坐标．
【变式2-3】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象过点
(-1,0)和(0,-1)，则a+b+c的取值范围是（ ）A．-2<a+b+c<0 B．-2<a+b+c<-1
3 3
C．- <a+b+c<0 D．- <a+b+c<-1
2 2
【答案】A
【分析】由函数图象的开口方向可知a>0，由抛物线与y轴的交点判断c的值，当x=1时，二次函数的值
小于零，由此可求出a的取值范围，将a+b+c用a表示即可得出答案．
【详解】由图象开口向上，可得a>0，
∵图象过点(0,-1)，
∴c=-1，
∵图象过点(-1,0)，
∴a-b-1=0，
∴b=a-1，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴当x=1时，y=a+b+c=a+a-1-1=2a-2<0，
∴a<1，
∴0<a<1，
∴-2<2a-2<0，即-2<a+b+c<0，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函表达式系数符号的确定，熟练掌握知识点是解题的关键．
【题型3 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数的值】
【例3】（2023春·九年级单元测试）二次函数y=ax2-4x+1有最小值-3，则 a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．2
【答案】A
【分析】把二次函数y=ax2-4x+1变成顶点式，根据二次函数的图象性质，得出结论．
【详解】∵ y=ax2-4x+1
∴ y=ax2-4x+1=a ( x- 2) 2 - 4 +1
a a∵二次函数y=ax2-4x+1有最小值-3,
∴ ¿
∴ a=1
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，把二次函数的一般式变成顶点式，求二次函数的最值，熟
练掌握二次函数图象的相关性质是解本题的关键．
【变式3-1】（2023春·浙江·九年级校联考期中）已知函数y=-x2+bx-3（b为常数）的图象经过点
(-6,-3)．当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，则m的值为（ ）
A．-2或-3+√10 B．-2或-4
C．-2或-3-√10 D．-3-√10
【答案】C
【分析】将点(-6,-3)代入y=-x2+bx-3即可求得b的值，进而求得抛物线的最大值，结合二次函数图
象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可．
【详解】把(-6,-3)代入y=-x2+bx-3，
得b=-6，
∴y=-x2-6x-3，
∵y=-x2-6x-3=-(x+3) 2+6
∴当x=-3时，y有最大值为6；
①当-3<x≤0时，
当x=0时，y有最小值为-3，
当x=m时，y有最大值为y=-m2-6m-3
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴-m2-6m-3+(-3)=2，
∴m=-2或m=-4(舍去)。
②当m≤-3时，
当x=-3时，y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为-4，
∴-(m+3) 2+6=-4,
∴m=-3-√10或m=-3+√10(舍去)综上所述：m=-2或m=-3-√10
故选：C
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，解题的关键是正确分
类讨论得出m的取值范围．
【变式3-2】（2023·河北保定·统考模拟预测）对于二次函数y=-(x-m) 2+1，已知m>3，当-1≤x≤3时，
有下列说法：
①若y的最大值为-8，则m=4；
②若y的最小值为-8，则m=6；
③若m=5，则y的最大值为-3．
则上达说法（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③正确 D．均不正确
【答案】C
【分析】根据二次函数y=-(x-m) 2+1可得称轴为直线x=m，由a=-1<0，可得抛物线开口向下，再由
m>3，所以当-1≤x≤3时，抛物线单调递增，从而可得x=3时，y有最大值，x=-1时，y有最小值，把
x=3、y=-8和x=-1、y=-8分别代入解析式求得m的值，再根据m的取值范围进行判断①②即可；把
x=3、m=5，代入解析式求得y的最大值即可判断③．
【详解】解：二次函数y=-(x-m) 2+1图象的对称轴为直线x=m，
∵a=-1<0，
∴抛物线开口向下，
因为m>3，所以当-1≤x≤3时，函数y=-(x-m) 2+1单调递增，
若y的最大值为-8，则-(3-m) 2+1=-8，解得m=6或m=0（舍去），故①错误；
若y的最小值为-8，则-(-1-m) 2+1=-8，解得m=2或m=-4，此时不存在m，故②错误；
若m=5，则y=-(x-5) 2+1，所以y的最大值为-(3-5) 2+1=-3，故③正确，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【变式3-3】（2023·浙江宁波·统考一模）在平面直角坐标系中，设二次函数y =x2+2bx+a，
1
y =ax2+2bx+1（a，b；是实数，a≠0）的最小值分别为m和n，若m+n=0，则mn的值为( )
2
A．0 B．-1 C．-2 D．-4
【答案】A
a-b2
【分析】先根据题意配出顶点式，可分别写出m=a-b2和n= ，再根据m+n=0，写出
a
1
(a-b2 )(1+ )=0，推出a-b2=0，即可求出m=0和n=0，即可求出mn=0．
a
【详解】解：由题意可知，y =ax2+2bx+1有最小值，
2
∴a>0，
∵y =x2+2bx+a=(x+b) 2+a-b2 ，
1
∴m=a-b2，
b 2 a-b2
∵y =ax2+2bx+1=a(x+ ) + ，
2 a a
a-b2
∴n= ，
a
∵m+n=0，
a-b2 1
∴(a-b2 )+ =0，即(a-b2 )(1+ )=0，
a a
1
∵1+ ≠0，
a
∴a-b2=0，
∴m=0，n=0，
∴mn=0；
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的最值，解题关键是用含有a、b的式子表示出m和n．
【题型4 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数取值范围】
【例4】（2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知二次函数y=x2-4x+1．若x≤a时，该二次函数的最
小值为-3，则实数a的取值范围是（ ）A．a≥2 B．a≤2 C．a>2 D．a<2
【答案】A
【分析】将二次函数一般式改为顶点式，结合其性质即得出当a≥2其最小值都为顶点的纵坐标-3．
【详解】∵y=x 2-4x+1=(x-2) 2-3，
❑ ❑
∴当x=2时该函数有最小值-3，
∵a=1>0
∴当x<2时，y随x的增大而减小，当x>2时，y随x的增大而增大，
∴若使x≤a时，该二次函数的最小值为−3，
则a≥2．
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
【变式4-1】（2023·浙江绍兴·校联考三模）二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(1,0),(2,3)，在
a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为-5，则a的取值范围是（ ）
A．a≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a≤0
【答案】C
【分析】先利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而得到抛物线的顶点坐标为(3,4)，由于当x=6时，
y=-5，根据抛物线的对称性可得：a的取值范围是0≤a≤3.
【详解】解：∵二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(1,0),(2,3)，
∴¿，
解得¿，
∴抛物线的解析式是y=-x2+6x-5=-(x-3) 2+4，
∴抛物线的顶点坐标为(3,4)，
∴当x=3时，抛物线有最大值4，
由于当x=6时，y=-(6-3) 2+4=-5，且在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为-5，
∴根据抛物线的对称性可得：a的取值范围是0≤a≤3；
故选：C.
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，正确理解题意、熟练
掌握抛物线的相关知识是解题关键.
【变式4-2】（2023春·北京顺义·九年级校考期中）如果二次函数y=(m-1)x2+2mx+m+3的最小值是正数，则m的取值范围是______．
3
【答案】m＞
2
【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，根据函数有最小值，可知二次函数图象开口向上，最小值为正
数，可知其顶点的纵坐标为正数，据此列不等式组即可求解．
( m ) 2 2m-3
【详解】将y=(m-1)x2+2mx+m+3化为顶点式为：y=(m-1) x+ + ，
m-1 m-1
∵二次函数的最小值为正数，
∴¿
3
解得：m＞ ，
2
3
故答案为：m＞ ．
2
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，将二次函数解析式化为顶点式等知识，掌握二次函数的
图象与性质是解答本题的关键．
【变式4-3】（2023·浙江绍兴·统考一模）已知函数y=x2-8x+8，当0≤x<m时，函数的最大值是8，最
小值是-8，则m的值可能是（ ）
A．1 B．4 C．7 D．10
【答案】C
【分析】根据y=x2-8x+8=(x-4) 2-8，结合0≤x<m，当x=4时，取得最小值是-8，判定m＞4；
8=x2-8x+8=(x-4) 2-8，得到x=8，确定4≤m≤8，判定即可．
【详解】∵y=x2-8x+8=(x-4) 2-8，0≤x<m，
∴当x=4时，取得最小值是-8，
∴m≥4；
∵8=x2-8x+8=(x-4) 2-8，
解得x=8，x=0，
当x=8，x=0时，取得最大值是8，
∴4≤m≤8，
故选C．【点睛】本题考查了抛物线的最值，正确理解最值的意义是解题的关键．
【题型5 根据二次函数的性质求最值】
【例5】（2023春·浙江杭州·九年级统考期末）已知二次函数y=x2-3x+1，当m≤x≤1时，函数有最大
值4-m，则m=________．
【答案】-1
3
【分析】根据二次函数y=x2-3x+1的图象开口向上，对称轴为直线x= ，可知当m≤x≤1时，y随x的
2
增大而减小，所以当x=m时，函数有最大值4-m，可得m2-3m+1=4-m，即可求出答案．
3
【详解】∵二次函数y=x2-3x+1的图象开口向上，对称轴为直线x= ，
2
∴当m≤x≤1时，y随x的增大而减小，
∴当x=m时，函数有最大值4-m，
∴m2-3m+1=4-m，
解得m=-1或3，
∵m<1，
∴m=-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的增减性以及二次函数的最值，熟练运用二次函数
的图象和性质是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）已知点P(m,n)在二次函数y=x2+4的图象上，则
m-n的最大值等于________．
15
【答案】-
4
【分析】代入解析式得n=m2+4，用含m的式子表示出m-n，找到最大值即可．
【详解】解：把P(m,n)代入y=x2+4，则n=m2+4
1 2 15
∴m-n =m-(m2+4)=-(m- ) -
2 4
∵-1<0，
1 15
∴当m= 时，有最大值，最大值为-
2 4
15
故答案为：- ．
4
【点睛】本题考查二次函数的最值，能用含m的式子表示m-n是解题的关键．【变式5-2】（2023春·江苏南通·九年级统考期中）已知二次函数y=x2-2x，当a≤x≤b时，其最小值为
-1，最大值为3，则b-a的最大值是 ___________．
【答案】4
【分析】先根据y=-1和y=3，求出x的值，结合二次函数的性质，得当-1≤x≤3时，函数的最小值为
-1，最大值为3，即可求出b-a的最大值是3-(-1)=4．
【详解】解：∵当y=-1时，x2-2x=-1，
解得x =x =1，
1 2
当y=3时，x2-2x=3，
解得x =-1,x =3，
1 2
又图象开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当-1≤x≤3时，函数的最小值为-1，最大值为3，
∴b-a的最大值是3-(-1)=4．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了二次函数的性质和最值问题，解题的关键是利用数形结合思想根据函数图象得出函数
的最值．
【变式5-3】（2023春·江西南昌·九年级统考期中）若二次函数y=2x2-20x+53自变量满足1≤x≤4，则
函数y的最小值是 _____．
【答案】5
【分析】先把函数解析式化为顶点式，找到对称轴，再根据自变量的取值范围确定最小值即可．
【详解】解：∵二次函数y=2x2-20x+53=2（x-5） 2+3，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x=5，
∴当x＜5时，y随x的增大而减小，
∵1≤x≤4，
∴当x=4时，取得最小值，最小值为5；
故答案为：5．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，利用二次函数性质解答．
【题型6 二次函数的对称性的运用】
【例6】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）二次函数y=ax2 ＋bx＋c的自变量x与函数值y的部分对
应值如下表：
x 0 1 2 3y 1 m n 1
下列判断正确的是（ ）
A．m>n B．m＜n C．m=n D．m=2n
【答案】C
【分析】根据表格中数据，可以求出抛物线的对称轴，再根据对称性即可得到大小关系．
0+3 3
【详解】解：由表格可以得到：抛物线对称轴为x= = ，
2 2
3 1 3 1
∵ -1= ，2- =
2 2 2 2
∴m=n
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．
1
【变式6-1】（2023·山东济南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2 经过平移得到抛物
2
1
线y= x2-2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ）
2
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】A
【分析】过点C作CA⊥y轴于点A，由抛物线的对称性可得阴影OBD的面积等于阴影CAO的面积，即阴
1
影部分的面积等于矩形ACBO的面积，然后再确定抛物线y= x2-2x的顶点坐标，最后求得矩形ACBO
2
的面积即可．
【详解】解：如图：过点C作CA⊥y轴于点A，
∴阴影OBD的面积等于阴影CAO的面积，
∴阴影部分的面积等于矩形ACBO的面积，1 1
∵y= x2-2x= (x-2) 2-2，
2 2
∴顶点坐标为C(2，-2)．
∴对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数图像的性质等知识点，灵活运用二次函数图像的对
称性是解答本题的关键．
【变式6-2】（2023·上海·一模）二次函数y=ax2+bx+c图像上部分点的坐标满足如表：
x … -4 -3 -2 -1 0 …
y … m -3 -2 -3 -6 …
那么m的值为____．
【答案】-6
【分析】根据二次函数的对称性解答即可．
【详解】解：∵x=-3、x=-1时的函数值相等都是-3，
-3+(-1)
∴函数图像的对称轴为直线x= =-2
2
∵x=-4和x=0也关于直线x=-2对称，
∴当x=-4和x=0时的函数值也相等，
∴m=-6，
故答案为：-6．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键．
【变式6-3】（2023春·福建福州·九年级福州华伦中学校考期末）已知点A（x，y）、B（x，y）在二次
1 1 2 2
函数y＝x2＋bx＋c的图象上，当x ＝1，x ＝3时，y = y ．若对于任意实数x、x 都有y + y ≥2，则c的
1 2 1 2 1 2 1 2
范围是（ ）
A．c≥5 B．c≥6 C．c＜5或c＞6 D．5＜c＜6【答案】A
【分析】由当x ＝1，x ＝3时，y＝y 可得抛物线对称轴为直线x＝2，从而可得抛物线解析式，将函数解
1 2 1 2
析式化为顶点式可得y＋y 的最小值，进而求解．
1 2
【详解】∵当x ＝1，x＝3时，y = y ．
1 2 1 2
b
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝2，
2
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x＋c＝(x-2) 2＋c﹣4，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（2，c﹣4），
∴当y＝y＝c﹣4时，y＋y 取最小值为2c﹣8，
1 2 1 2
∴2c﹣8≥2，
解得c≥5．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及
不等式的关系．
【题型7 二次函数的图象与一次函数图象共存问题】
【例7】（2023·安徽六安·校考二模）已知抛物线y=ax2+bx+c和直线y=2x+c分别交于A点和B点，则
抛物线y=(2-b)x-ax2的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】求出求出交点A、B的坐标，根据已知图象确定，a与A点的横坐标的正负，进而推断新抛物线
y=(2-b)x-ax2的图象的开口方向，对称轴位置，从而确定答案．
【详解】解：由ax2+bx+c=2x+c，得x(ax+b-2)=0，
2-b
解得，x=0或x= ，
a
∵抛物线y=ax2+bx+c和直线y=2x+c分别交于A点和B点，
2-b
∴B(0,c)，A的横坐标为： ，
a
∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，交点A在第三象限内，
2-b
∴a>0， <0，
a
2-b
∵抛物线y=(2-b)x-ax2中，-a<0，对称轴x= <0，
2a
∴此抛物线的开口向下，对称轴在y轴的左边，
符合此条件的图象是C，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，一次函数的图象与性质，关键是由已知条件确定
a和A点横坐标的取值．
【变式7-1】（2023·安徽合肥·统考三模）在同一平面直角坐标系内，二次函数y=x2-m与一次函数
y=-x+m的图像可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根据a=1>0，k=-1<0可知，抛物线开口向上，直线自左向右呈下降趋势，故排除A；当x=1
时，二次函数值为1-m，一次函数值为-1+m，互为相反数，排除B和D，即可得出答案．
【详解】由a=1>0，k=-1<0可知，抛物线开口向上，直线自左向右呈下降趋势，故排除A；
当x=1时，二次函数值为1-m，一次函数值为-1+m，互为相反数，排除B和D．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，掌握图象和性质是解题的关键．
【变式7-2】（2023·安徽安庆·安庆市第四中学校考二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一
b
次函数y=(c+3a)x- 的图象可能是（ ）
a
A． B． C． D．
【答案】B
b
【分析】先根据抛物线对称轴为直线x=1推出- =2，再根据当x=-1时，y>0，得到3a+c>0，由此即
a
可得到答案．
【详解】解：∵对称轴为直线x=1，
b
∴- =1，
2a∴b=-2a，
b
∴- =2
a
∵当x=-1时，y>0，
∴a-b+c>0，即a+2a+c>0，
∴3a+c>0，
b
∴一次函数y=(c+3a)x- 的图象经过第一、三、四象限，且与y轴交于(0，2)，
a
故选B．
b
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象的综合判断，正确推出3a+c>0，- =2是解题的
a
关键．
【变式7-3】（2023·安徽宿州·宿州市第十一中学校考模拟预测）已知一次函数y=-x+a（a为常数）的图
1
象如图所示，则函数y=ax2-2x+
的图象是（ ）
a
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象可得a>0，再根据二次函数的图象特征进行判断即可得．
【详解】解：由一次函数y=-x+a（a为常数）的图象可知：a>0，
1
则抛物线y=ax2-2x+
的开口向上，选项A不符合题意；
a
-2 1
二次函数的对称轴是直线x=- = >0，位于y轴右侧，选项B不符合题意；
2a a
1 1
关于x的一元二次方程ax2-2x+ =0根的判别式△=4-4a⋅ =0，
a a
则抛物线与x轴只有一个交点，选项D不符合题意，选项C符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象特征是解题关键．
【题型8 利用二次函数的图象与系数的关系判断结论】
【例8】（2023·湖南怀化·统考三模）函数y=|ax2+bx+c|（a>0，b2-4ac>0）的图象是由函数
y=ax2+bx+c（a>0，b2-4ac>0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，
则下列结论正确的是（ ）
①2a+b=0；②4a-2b+c>0；③c=3；④将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点．
A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
b
【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为- =1，进而可得2a+b=0，故①正确；由图
2a
象可得，当x=-2时，y=4a-2b+c>0，可判段②；由函数图象与y轴的交点坐标为(0,3)，
y=ax2+bx+c(a>0,b2-4ac>0)的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成可知c=-3，故
③错误；求出翻折前的二次函数解析式，然后根据平移的性质可得④正确．
【详解】解：由函数图象可得：y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标为－1和3，
-1+3 b
∴对称轴为x= =1，即- =1，
2 2a
∴整理得：2a+b=0，故①正确；
由图象可得，当x=-2时，y=4a-2b+c>0，故②正确；
∵y=|ax2+bx+c|(a>0,b2-4ac>0)与y轴的交点坐标为(0,3)，
y=ax2+bx+c(a>0)可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿x轴向上翻折而成，
∴c=-3，故③错误；
设抛物线y=ax2+bx+c的解析式为y=a(x+1)(x-3)，代入(0,-3)得：-3=-3a，
解得：a=1，
∴y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3，
∴y=|x2-2x-3|=|(x-1) 2-4|，
∴顶点坐标为(1,4)，
∵点(1,4)向上平移1个单位后的坐标为(1,5)，
∴将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．
【变式8-1】（2023·山东潍坊·统考三模）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1，则下
列结论正确的是（ ）
A．abc>0 B．a+b+c>0 C．3b<2c D．b>a+c
【答案】A
【分析】根据抛物线开口向上，与y轴交与y轴负半轴，得到a>0，c<0，根据抛物线对称轴为直线x=1，
得到b=-2a<0，由此即可判断A；根据当x=1时，y<0，即可判断B；根据当x=-1时，y=0，即可判
断C、D．
【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交与y轴负半轴，
∴a>0，c<0，
∵抛物线对称轴为直线x=1，
b
∴- =1，
2a
∴b=-2a<0，
∴abc>0，故A结论正确，符合题意；
∵当x=1时，y<0，
∴a+b+c<0，故B结论错误，不符合题意；∵当x=-1时，y=0，
∴a-b+c=0，
b
∴- -b+c=0，b=a+c
2
∴3b=2c，故C、D结论错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，熟知相关知识是解题的
关键．
【变式8-2】（2023春·北京海淀·九年级期末）二次函数y=ax2+bx+c中，x与y的部分对应值如下表：
x … -2 0 2 3 …
y … 8 0 0 3 …
则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③图象的对称轴为直线x=1；④当x>0时，y随x的增大
而增大；⑤图象经过点(-1,3)．其中正确的是____________．
【答案】①③⑤
【分析】结合图表可以得出当x=0或2时，y=0，x=3时，y=3，根据此三点可求出二次函数解析式，从而
根据抛物线的图象性质可逐个判定即可．
【详解】解：∵由图表可以得出当x=0或2时，y=0，x=3时，y=3，
∴¿，
解得：¿，
∴y=x2-2x，
∵c=0，
∴图象经过原点，故①正确；
∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，故②错误；
∵y=x2-2x=(x-1) 2-1，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
故③正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=1，抛物线开口向上，
∴x＞1时，y随x的增大而增大，x＜1时，y随x的增大而减小，故④错误；
把x=-1代入得，y=3，∴图象经过点（-1，3），故⑤正确；
综上，正确的有①③⑤．
故答案为：①③⑤．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及由解析式求函数与坐标轴的交点以及一元二
次方程根的判别式的应用．
【变式8-3】（2023春·广东珠海·九年级校考期中）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图所示，
图像过点(-1,0)，对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c>3b；③8a+7b+2c>0；④
1 7
若点A(-3,y )、点B(- ,y )、点C( ,y )在该函数图像上，则y <y <y ，其中正确的结论是
1 2 2 2 3 1 3 2
_________．
【答案】 /③①
①③
【分析】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像过点(-1,0)，由此可知a-b+c=0，对称轴为直线
b
x=2，根据顶点坐标公式则有- =2，即b=-4a，由此即可用含有a的式子表示b，c，因为图像开口下，
2a
所以a<0，由此即可求解．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像过点(-1,0)，
∴a-b+c=0，
∵对称轴为直线x=2，
b
∴- =2，即b=-4a，
2a
∴c=-5a，
∴4a+b=0，故结论①正确；结论②，∵图像开口下，则a<0，
9a+c=9a+(-5a)=4a<0，3b=3×(-4a)=-12a>0，
∴9a+c<3b，故结论②错误；
8a+7b+2c=8a+7×(-4a)+2×(-5a)=-30a>0，故结论③正确；
1 7
∵-3<-1，-1<- ，2< <5，
2 2
1 7
∴点A(-3,y )在x轴的下方，即y <0；点B(- ,y )在x轴的上方，即y >0；点C( ,y )在x轴的上方，
1 1 2 2 2 2 3
即y >0，
3
1 9
∵点B(- ,y )关于对称轴x=2的对称点是( ,y )，且当x>2时，函数值随着x的增大而减小，即点
2 2 2 2
1 7
B(- ,y )与点C( ,y )比较，
2 2 2 3
∴y <y ，
2 3
∴结论④错误．
综上所述，正确的有①③．
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的对称性，根据题意用二次项系数表示一
次项系数和常数项是解题的关键．
