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三角函数典型例题
1 ．设锐角 的内角 的对边分别为 , .
(Ⅰ)求 的大小;
(Ⅱ)求 的取值范围.
【解析】:(Ⅰ)由 ,根据正弦定理得 ,所以 ,
由 为锐角三角形得 .
(Ⅱ)
.
2 ．在 中,角A． B．C的对边分别为a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C．
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)设 且 的最大值是5,求k的值.
20
【解析】:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC,
∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcos C．
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB
=sin(B+C)
∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA．
∵01,∴t=1时, 取最大值.
依题意得,-2+4k+1=5,∴k= .3 ．在 中,角 所对的边分别为 , .
I.试判断△ 的形状;
II.若△ 的周长为16,求面积的最大值.
【解析】:I.
,所以此三角形为直角三角形.
II. , 当且仅当 时取等号,
此时面积的最大值为 .
4 ．在 中,a、b、c分别是角A． B．C的对边,C=2A, ,
(1)求 的值;
(2)若 ,求边AC的长｡
【解析】:(1)
(2) ①
又 ②
由①②解得a=4,c=6
,即AC边的长为5.
5 ．已知在 中, ,且 与 是方程 的两个根.
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若AB ,求BC的长.
【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程 的两根 .
∴
(Ⅱ)∵ ,∴ .
由(Ⅰ)知, ,
∵ 为三角形的内角,∴
∵ , 为三角形的内角,∴ ,
由正弦定理得:∴ .
6 ．在 中,已知内角 A． B．C 所对的边分别为 a、b、c,向量 ,
,且 ｡
(I)求锐角B的大小;
(II)如果 ,求 的面积 的最大值｡
【解析】:(1) 2sinB(2cos2-1)=-cos2B
2sinBcosB=-cos2B tan2B=-
∵0<2B<π,∴2B=,∴锐角B=
(2)由tan2B=- B=或
①当B=时,已知b=2,由余弦定理,得:
4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)
∵△ABC的面积S = acsinB=ac≤
△ABC
∴△ABC的面积最大值为
②当B=时,已知b=2,由余弦定理,得:
4=a2+c2+ac≥2ac+ac=(2+)ac(当且仅当a=c=-时等号成立)
∴ac≤4(2-)
∵△ABC的面积S = acsinB=ac≤ 2-
△ABC
∴△ABC的面积最大值为2-
7 ．在 中,角A． B．C所对的边分别是a,b,c,且
(1)求 的值;
(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.
【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=
+cos2B=
(2)由 ∵b=2,
+ =ac+4≥2ac,得ac≤ , S =acsinB≤ (a=c时取等号)
△ABC
故S 的最大值为
△ABC
8 ．已知 ,求 的值｡
【解析】 ;9 ．已知
(I)化简
(II)若 是第三象限角,且 ,求 的值｡
【解析】
10．已知函数f(x)=sin2x+ sinxcosx+2cos2x,x R.
3
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;
(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?
【解析】:(1) 1cos2x 3
f(x) sin2x(1cos2x)
2 2
3 1 3
sin2x cos2x
2 2 2
3
sin(2x ) .
6 2
2
f(x)的最小正周期T .
2
由题意得2k 2x 2k ,kZ, 即 k xk ,kZ.
2 6 2 3 6
的单调增区间为
f(x) k ,k ,kZ.
3 6
(2)先把y sin2x图象上所有点向左平移 个单位长度,
12
3
得到y sin(2x )的图象,再把所得图象上所有的点向上平移 个单位长度,
6 2
3
就得到y sin(2x ) 的图象｡
6 211．已知 , , ｡
(1)求 的单调递减区间｡
(2)若函数 与 关于直线 对称,求当 时, 的最大值｡
【解析】:(1)
∴当 时, 单调递减
解得: 时, 单调递减｡
(2)∵函数 与 关于直线 对称
∴
∵ ∴ ∴
∴ 时,
12．已知cos2sin,求下列各式的值;
2sincos
(1) ;
sin3cos
(2)
sin22sincos
1
【解析】:Qcos2sin,tan
2
1
2 1
(1)2sincos 2tan1 2 4
sin3cos tan3 1 5
3
2
(2) sin22sincos
sin22sincos
sin2cos2
2
1 1
2
tan22tan 2 2 3
tan21 1 2 5
1
2
13．设向量 ,函数
a(sinx,cosx),b(cosx,cosx),xR f(x)a(ab)(I)求函数 的最大值与最小正周期;
f(x)
3
(II)求使不等式 f(x) 成立的x的取值集合｡
2
【解析】
14．已知向量 , , 与 为共线向量,且
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)求 的值.｡
【解析】:(Ⅰ) 与 为共线向量, ,
即
(Ⅱ) ,
,
又 , ,
因此,
15．如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座
灯塔的塔顶｡测量船于水面 A处测得B点和D点的仰角分别为 ,
,于水面C处测得B点和D点的仰角均为 ,AC=0.1km｡试探究
图中B,D间距离与另外哪两点距离相等,然后求B,D的距离(计算结果精确到0.01km, 1.414, 2.449)
【解析】:在 中, =30°, =60°- =30°,
所以CD=AC=0.1
又 =180°-60°-60°=60°,
故CB是 底边AD的中垂线,所以BD=BA
在 中, ,
即AB=
因此,
故 B．D的距离约为0.33km｡
16．已知函数 (其中 )的图象与x轴的交点中,相邻两个
交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 .
(Ⅰ)求 的解析式;(Ⅱ)当 ,求 的值域. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】： (1)由最低点为 得A=2.
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为 得 = ,即 ,
由点 在图像上的
故
又
(2)
当 = ,即 时, 取得最大值2;当
即 时, 取得最小值-1,故 的值域为[-1,2]
17．如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量,已知 ,
,于A处测得水深 ,于B处测得水深 ,于C处测得水深 ,求∠DEF的余弦值｡
【解析】:作 交BE于N,交CF于M.
,
,
在 中,由余弦定理,
18．已知 ， ，
求（1） （2） （3）
【解析】：（1）
19．已知函数 （ ， ， ）的一段图象如图
所示，
（1）求函数的解析式；
（2）求这个函数的单调递增区间。
【解析】：（1）由图象可知： ；
∴ ，又∵ 为“五点画法”中的第二点
∴ ∴所求函数解析式为：
（2）∵当 时， 单调递增
∴20．已知 的内角A． B．C所对边分别为a、b、c，设向量 ，
，且 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的最大值.
【解析】（Ⅰ）由 ，得
即
也即
∴
∴ ∴
21．已知函数 ，求：
（1）函数 的定义域和值域； （2）写出函数 的单调递增区间。
【解析】:
（Ⅰ）函数的定义域
函数 的值域为
（Ⅱ）令 得
∴函数 的单调递增区间是
22．如图为一个观览车示意图．该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距
离为0.8m，60秒转动一圈．途中 与地面垂直．以 为始边，逆时针
转动 角到 ．设 点与地面距离为 ．
（1）求 与 的函数解析式；
（2）设从 开始转动，经过80秒到达 ，求 .
【解析】：（1）∵ ，
∴（2）∵ ， ，∴ ， (m)
23．设函数
f(x) ab,其中向量a (2cosx,1),b (cosx, 3sin2xm).
（1）求函数 上的单调递增区间；
f(x)的最小正周期和在[0,]
（2）当x[0, ]时,4 f(x) 4恒成立,求实数m的取值范围。
6
【解析】：（1）∵ f(x) 2cos2 x 3sin2xm 2sin(2x )m1，
6
2
函数f(x)的最小正周期T .4分
2
2
在[0,]上单调递增区间为[0, ],[ ,].6分
6 3
（2）当x[0, ]时,∵ f(x)递增,当x 时, f(x) m3，
6 6 max
当x 0时, f(x) m2,8分
min
m3 4,
由题设知 10分
m2 4,
解之,得6 m1.12分
24．已知函数 ， ．
（1）求 的最大值和最小值；
（2） 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（Ⅰ）
．
又 ， ，
即 ，
．
（Ⅱ） ， ，且 ，
，即 的取值范围是 ．
25．在锐角△ABC中,角A． B．C的对边分别为a、b、c,已知
(I)求角A;
(II)若a=2,求△ABC面积S的最大值｡
【解析】:(I)由已知得
又在锐角△ABC中,所以A=60°,[不说明是锐角△ABC中,扣1分]
(II)因为a=2,A=60°所以
而
又
所以△ABC面积S的最大值等于
26．甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行,速度为
15 浬/小时,在甲船从A岛出发的同时,乙船从A岛正南40
浬处的 B岛出发,朝北偏东 θ( 的方向作匀速直
线航行,速度为10 浬/小时.(如图所示)
(Ⅰ)求出发后3小时两船相距多少浬?
(Ⅱ)求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少浬?
【解析】:以A为原点,BA所在直线为y轴建立如图所示的平
面直角坐标系.
设在t时刻甲、乙两船分别在P(x, y ) Q (x,y).
1 1 2 2
(I)令 ,P、Q两点的坐标分别为(45,45),(30,20)
.
即两船出发后3小时时,相距 锂
(II)由(I)的解法过程易知:
∴当且仅当t=4时,|PQ|的最小值为20
即两船出发4小时时,相距20 海里为两船最近距离.
27．在锐角 中，已知内角A． B．C所对的边分别为a、b、c，且 (tanA－tanB)＝1＋tanA·tan B．
(1)若a2－ab＝c2－b2，求A． B．C的大小；
(2)已知向量 ＝(sinA，cosA)， ＝(cosB，sinB)，求｜3 －2 ｜的取值范围．
【解析】28．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AO C．小区的两个出入口设置在点A
C
及点C处，小区里有两条笔直的小路 ，且拐弯处的转角为
．已知某人从 沿 走到 用了10分钟，从 沿 走到
A
用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径 1200
D
的长（精确到1米）．
O
【解析】解法一：设该扇形的半径为r米. 由题意，得
CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=
在 中，
即
解得 （米）
C
解法二：连接AC，作OH⊥AC，交AC于H
H
由题意，得CD=500（米），AD=300（米），
A
1200
Ｄ
O∴ AC=700（米）
在直角
∴ （米）
29．已知角的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点P(3, 3).
(1)求tan的值;
a b sin tan
(2)定义行列式运算 ad bc,求行列式 的值;
c d 1 cos
cos(x) sin
(3)若函数 f(x) (xR),
sin(x) cos
求函数y 3f( 2x)2f2(x)的最大值,并指出取到最大值时x的值
2
【解析】:(1)∵ 角 终边经过点 ,
P(3, 3)
3
∴tan .
3
1 3
(2)sin ,cos .
2 2
sin tan 3 3 3 .
sincostan
1 cos 4 3 12
(3) f(x)cos(x)cossin(x)sincosx (xR),
∴函数y 3cos( 2x)2cos2 x
2
3sin2x1cos2x 2sin(2x )1(xR),
6
∴y 3, 此时xk (kZ).
max 6
30．已知函数 .
(Ⅰ)求函数 的最小正周期;(Ⅱ)当 时,求函数 的最大值,并写出x相应的取值.
【解析】:(Ⅰ)因为
( )
所以, ,即函数 的最小正周期为(Ⅱ)因为 ,得 ,所以有
,即
所以,函数 的最大值为
此时,因为 ,所以, ,即
