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专题 23.2 中心对称【八大题型】
【人教版】
【题型1 中心对称图形的识别】..............................................................................................................................1
【题型2 根据中心对称的性质判断正误】..............................................................................................................4
【题型3 根据中心对称的性质求面积】..................................................................................................................8
【题型4 根据中心对称的性质求长度】................................................................................................................15
【题型5 关于原点对称的点的坐标】....................................................................................................................19
【题型6 坐标系中作中心对称图形】....................................................................................................................21
【题型7 补全图形使之成为中心对称图形】.......................................................................................................26
【题型8 中心对称中的规律问题】........................................................................................................................30
【知识点1 中心对称图形】
如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的
对称中心。
【题型1 中心对称图形的识别】
【例1】（2023春·山东潍坊·九年级统考期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△DEC，连
接AE，BD，添加下列条件后不一定使四边形ABDE既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
1
A．AB=BC B．AC=BC C．AC= BE D．AC⊥BC
2
【答案】A
【分析】根据轴对称图形以及中心对称图形的定义解决此题．
【详解】解：由题意得，△ABC≅△DEC，A、C、D三点共线，B、C、E三点共线．
∴AC=DC，BC=EC．∴四边形ABDE是平行四边形．
A、根据中心对称图形的定义，平行四边形ABDE一定是中心对称图形；添加AB=BC，四边形ABDE不
一定是轴对称图形，那么A符合题意
B、根据中心对称图形的定义，平行四边形ABDE一定是中心对称图形；添加AC=BC，得BE=AD，此
时四边形ABDE是矩形，故四边形ABDE是轴对称图形，那么B不符合题意．
1 1
C、根据中心对称图形的定义，平行四边形ABDE一定是中心对称图形，得AC= AD；添加AC= BE，
2 2
得AD=BE，故平行四边形ABDE是矩形，则四边形ABDE是轴对称图形，那么C不符合题意．
D、根据中心对称图形的定义，平行四边形ABDE一定是中心对称图形；添加AC⊥BC，故平行四边形
ABDE是菱形，则四边形ABDE是轴对称图形，那么D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形、中心对称图形，熟练掌握轴对称图形以及中心对称图形的定义是解决
本题的关键．
【变式1-1】（2023春·山西晋中·九年级统考期中）下列图形是物理器件的平面示意图，从左至右分别代表
小车、放大镜、钩码和砝码，其中可近似看作中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项不合题意，排除；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项不合题意，排除；
C、是中心对称图形，此选项合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项不合题意，排除；
故选：C．
【点睛】此题考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来
的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式1-2】（2023春·浙江金华·九年级校考期中）下列手机手势解锁图案中，既是中心对称图形又是轴对
称图形的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称
图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图
形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．根据定义作答即可.
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿
对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
【变式1-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）在等边三角形，平行四边形，正五边形和圆这4个图形
中，一定是轴对称图形但不是中心对称图形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；在平面内，把一
个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义分析判断即可．
【详解】解：等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图形；
平行四边形一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形；
正五边形是轴对称图形但不是中心对称图形；
圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．所以，一定是轴对称图形但不是中心对称图形的是2个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的知识，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义
是解题关键．
【知识点2 中心对称的基本性质】
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对
称或中心对称。这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。
中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②
中心对称的两个图形是全等图形。
【题型2 根据中心对称的性质判断正误】
【例2】（2023春·福建泉州·九年级统考期末）如图，△AOD与△BOC关于点O成中心对称，连接AB、
CD，以下结论错误的是（ ）
A．OA=OB B．△AOD≌△COB
C．AD=BC D．S =S
△ACD △BCD
【答案】A
【分析】依据△AOD与△BOC关于点O成中心对称，即可得到△AOD≌△COB，进而得到正确结
论．
【详解】解：∵△AOD与△BOC关于点O成中心对称，
∴△AOD≌△COB，故选项B不符合题意；
∴S =S ，AD=BC，故选项C不符合题意；
△AOD △COB
∴S +S =S +S ，
△AOD △OCD △COB △OCD
∴S =S ，故选项D不符合题意；
△ACD △BCD
而OA和OB不是对应边，不一定相等，故选项A符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查中心对称，关于中心对称的两个图形能够完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点
的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．掌握中心对称的概念和性质是解题的关键．也考查了全等
三角形的性质．【变式2-1】（2023春·全国·九年级统考期中）下列说法中，正确的有（ ）
①平行四边形是中心对称图形②两个全等三角形一定成中心对称
③对称中心是连接两对称点的线段的中点④若是轴对称图形，一定不是中心对称图形⑤若是中心对称图形，
则一定不是轴对称图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据中心对称图形以及轴称图形的性质分别分析得出即可．
【详解】解：①平行四边形是中心对称图形，此选项正确；
②两个全等三角形不一定成中心对称，故此选项错误；
③对称中心是连接两对称点的线段的中点，此选项正确；
④若是轴对称图形，不一定不是中心对称图形，故此选项错误；
⑤若是中心对称图形，则不一定不是轴对称图形，故此选项错误，则正确的有2个．
故选B．
【点睛】此题主要考查了中心对称和轴对称图形的性质，正确区分他们的定义是解题关键．
【变式2-2】（2023春·河南南阳·九年级统考期末）如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，有
以下结论：①点A与点A'是对称点；②BO=B'O；③AB∥A'B'；④∠ACB=∠C' A'B'．其中正确结
论的序号为 ．
【答案】①②③
【分析】根据中心对称的性质分别判断即可．
【详解】解：由中心对称的性质知，①点A与点A'是对称点；正确；
②BO=B'O；正确；
由中心对称知， △OAB≌△OA'B'，
∴∠OAB=∠OA'B'
∴AB∥A'B'；故③正确；
④∠ACB=∠A'C'B'，故④∠ACB=∠C' A'B'错误；
故答案为：①②③
【点睛】本题考查中心对称的性质，理解中心对称的定义及性质是解题的关键．【变式2-3】（2023春·北京海淀·九年级中关村中学校考期中）如图，分别在四边形ABCD的各边上取中
点E，F，G，H，连接EG，在EG上取一点M，连接HM，过F作FN∥HM，交EG于N，将四边形
ABCD中的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形AH M'G'和AF'N'E，延长M'G'，N'F'
相交于点K，得到四边形M M'K N'．下列说法中正确的是（ ）
①FN=HM
②∠K=∠C
③S =S
四边形MM'KN' 四边形ABCD
④四边形M M'K N'是平行四边形
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】B
【分析】顺次连接EFGH，连接HF交EG于点O，得▱EFGH，于是OH=OF，证明
△NOF≌△MOH，即可判断①；由对称性可得：∠M'=∠HMG，则M N' ∥K M'，由
N'F' ∥NF∥HM，即可判定四边形M M'K N'是平行四边形，即可判断④；四边形MM'KN'是平行
四边形，则∠K=∠HMN，无法证明∠K=∠HMN=∠C，即可判断②；四边形CGNF≌四边形
AG'K F'，四边形AEN'F' ≌四边形BFNE，四边形GDHM≌四边形G'AH M'，得到
S =S ，则S =S ，即可判断③．
四边形CGNF 四边形AG'KF' 四边形MM'KN' 四边形ABCD
【详解】解：如图，顺次连接EFGH，连接BD，连接HF交EG于点O，
∵分别在四边形ABCD的各边上取中点E，F，G，H，
1 1
∴EH∥BD,EH= BD,FG∥BD,FG= BD，
2 2
∴EH∥FG,EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴OH=OF，
∠NOF=∠MOH，
∵FN∥HM，
∴∠ONF=∠OMH，
∴ΔNOF≌ΔMOH，
∴FN=HM，
故①正确；
由对称性可得：∠M'=∠HMG，
∴M N' ∥K M'，
∵N'F' ∥NF∥HM，
∴四边形M M'K N'是平行四边形，
故④正确；
∵四边形MM'KN'是平行四边形，
∴∠K=∠HMN，
无法证明∠K=∠HMN=∠C，
故②不正确；
依题意，四边形AEN'F' ≌四边形BENF，四边形GDHM≌四边形G' AH M'，
由题意得，四边形G' AH M'是由GDHM移动得到的，∵AH=HD，
∴四边形G' AH M'可以看成是四边形G' AH M'以点H为旋转中心，逆（顺）时针旋转180°得到的，
∴∠AH M'=∠MHD，
即M' 、H、M在同一条直线上，∠G' AH=∠D，∠G'M'H=∠HMG,AG'=DG，
∴AG' ∥DG,GM∥G'M'，
又∵四边形AEN'F'是由四边形BENF移动后得到的，
∴N'F' ∥NF,BF∥AF'，N'F'=NF,BF=AF'，
∵NF∥N'F',GM∥G'M'，
∴∠G'K F'=∠GNF，
同理可得，∠CGN=∠AG'K，∠CFN=∠AF'K，CF=BF=AF',CG=DG=AG'，
∵∠CGN=∠AG'K，∠CFN=∠AF'K，∠G'K F'=∠GNF，
∴四边形CGNF≌四边形AG'K F'，
∴S =S ，
四边形CGNF 四边形AG'KF'
∴S =S ，
四边形MM'KN' 四边形ABCD
故③正确；
故答案为：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，中心对称及其性质，全等形的判定和性质等知识，解决问
题的关键是掌握平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．
【题型3 根据中心对称的性质求面积】
【例3】（2023春·广东深圳·九年级校考期中）对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向
上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，
5）．已知点A的坐标为（2，0），点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线
l的对称点为点C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（8，6），则△ABC的面积是（
）A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】A
【分析】连接CQ，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定得到∠ACB＝90，延长BC交x轴于点
E，过C点作CF⊥AE于点F，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可．
【详解】解：连接CQ，如图：
由中心对称可知，AQ＝BQ，
由轴对称可知：BQ＝CQ，
∴AQ＝CQ＝BQ，
∴∠QAC＝∠ACQ，∠QBC＝∠QCB，
∵∠QAC+∠ACQ+∠QBC+∠QCB＝180°，
∴∠ACQ+∠QCB＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，如图，
∵A（2，0），C（8，6），
∴AF＝CF＝6，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∵∠ACE=180°-∠ACB=90°，
∴∠AEC＝45°，
∴E点坐标为（14，0），
设直线BE的解析式为y＝kx+b，
∵C，E点在直线上，
14k+b=0
可得：{ ，
8k+b=6
k=-1
解得：{ ，
b=14∴y＝﹣x+14，
∵点B由点A经n次斜平移得到，
∴点B（n+2，2n），由2n＝﹣n﹣2+14，
解得：n＝4，
∴B（6，8），
1 1
∴△ABC的面积＝S ABE﹣S ACE＝ ×12×8﹣ ×12×6＝12，
△ △ 2 2
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称的性质，中心对称的性质，等腰三角形的判定与性质，求解一次函数的解析式，
得到B的坐标是解本题的关键．
【变式3-1】（2023春·陕西宝鸡·九年级统考期中）如图，△ABC与△≝¿关于点O成中心对称．
(1)画出对称中心O；（保留作图痕迹）
(2)若 BC=3，AC=4，AB=5，则△≝¿的面积= ．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）连接AD，CF，AD与CF的交点就是对称中心O．
（2）根据成中心对称的两个图形全等，求出△ABC的面积，即为△≝¿的面积，利用勾股定理逆定理，
得到△ABC为直角三角形，进而利用直角三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：连接AD，CF，AD与CF的交点就是对称中心O，如图所示：
（2）解：∵BC=3，AC=4，AB=5，
∴BC2+AC2=25=AB2，∴△ABC为直角三角形，
∵△ABC与△≝¿关于点O成中心对称，
S =S
∴ △ABC 1 ．
△≝¿= BC⋅AC=6¿
2
【点睛】本题考查两个图形成中心对称．熟练掌握对称中心的确定方法，以及成中心对称的两个图形全等，
是解题的关键．
【变式3-2】（2023春·江西宜春·九年级统考期末）如图，已知正方形ABCD，请仅用无刻度直尺，完成
以下作图（保留作图痕迹）
(1)在图1中，点E、F、G、H、I、J、K、L是正方形各边的三等分点，请利用上述三等分点的其中两
个点，画一条直线，使其与直线HL将正方形ABCD面积四等分；
(2)在图2中，AC与BD相交于点O，点P、点Q分别在边BC、AD上，且PC=QD，画出四边形MOPC
1
（M点在线段CD上）．使得四边形MOPC的面积等于正方形ABCD面积的 ．
4
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作直线FJ，直线FJ与HL把正方形ABCD的面积四等分，理由是：设直线FJ与HL交点为
O，过点O作OM⊥BC于点M，作ON⊥AB于点N，连接BD，得到∠ONB=∠OMB=90°，根据旋转对称和中
心对称，得到点O是正方形的对称中心，FJ⊥HL，∠LOJ=90°，根据∠ABC=90°，得到∠NOM=360°-
（∠ONB+∠NBM+∠OMB）=90°，推出四边形NBMO是矩形，根据∠ABD=∠CBD=45°，得到ON=OM，得
1 1
到矩形NBMO是正方形，根据ON∥AD，OB= BD，得到BN= AB，得到
2 2
1 2 1 1
S =BN2=( AB) = AB2= S ，根据∠LOJ=∠NOM=90°，得到∠LON=∠JOM，根
正方形NBMO 2 4 4 正方形ABCD
据∠ONL=∠OMJ=90°，ON=OM，得到 OLN≌△OJM，得到S =S ，推出
△OLN △OJM
△1
S =S +S =S +S =S = S ，同理可得
OLBJ △OLN ONBJ △OJM ONBJ 正方形NBMO 4 正方形ABCD
1 1
S =S =S = S ，故S =S =S =S = S ；
OJCH OHDF OFAL 4 正方形ABCD OLBJ OJCH OHDF OFAL 4 正方形ABCD
（2）作直线QO交BC于点F，作直线PO交AD于点E，找出点Q关于点O的对称点F，点P关于点O的
对称点E，连接PQ交BD于点H，连接EF交AC于点G，作直线GH交CD于点M，连接OM，四边形
MOPC就是所求作．
证明：根据点Q、F关于点O对称，得到OQ=OF，根据OD=OB，∠DOQ=∠BOF，推出△ODQ≌△OBF，
得到BF=DQ，同理可得AE=CP，根据DQ=CP，得到AE=BF，推出四边形ABFE是矩形，得到EF⊥AD，
同理可得PQ⊥AD，根据AE=DQ，∠EAG=∠QDH=45°，∠AEG=∠DQH=90°，推出△AEG≌△DQH，得到
AG=DH，推出GH∥AD，推出HM⊥CD，推出HQ=HM，推出四边形QHMD是正方形，得到DQ=DM，推
1
出DM=CP，推出S = S ．
MOPC 4 正方形ABCD
【详解】（1）画直线FJ，直线FJ与直线HL把正方形ABCD的面积四等分，理由：
设直线FJ与HL交点为O，过点O作OM⊥BC于点M，作ON⊥AB于点N，连接BD，
则∠ONB=∠OMB=90°，
由中心对称知，点O是正方形的对称中心，由旋转对称知，FJ⊥HL，∠LOJ=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠NOM=360°-（∠ONB+∠NBM+∠OMB）=90°，
∴四边形NBMO是矩形，
∵∠ABD=∠CBD=45°，
∴ON=OM，
∴矩形NBMO是正方形，
1
∵ON∥AD，OB= BD，
2
1
∴BN= AB，
2
1 2 1 1
∴S =BN2=( AB) = AB2= S ，
正方形NBMO 2 4 4 正方形ABCD
∵∠LOJ=∠NOM=90°，
∴∠LOJ-∠NOJ=∠NOM-∠NOJ，
即∠LON=∠JOM，∵∠ONL=∠OMJ=90°，ON=OM，
∴△OLN≌△OJM(ASA)，
∴S =S ，
△OLN △OJM
1
∴S =S +S =S +S =S = S ，
OLBJ △OLN ONBJ △OJM ONBJ 正方形NBMO 4 正方形ABCD
1
同理，S =S =S = S ，
OJCH OHDF OFAL 4 正方形ABCD
1
故S =S =S =S = S ，
OLBJ OJCH OHDF OFAL 4 正方形ABCD
（2）1．作直线QO交BC于点F；
2．作直线PO交AD于点E；
3．作直线PQ交BD于点H；
4．作直线EF交AC于点G；
5．作直线GH交CD于点M；
6．连接OM，四边形MOPC就是所求作．
证明：∵点Q、F关于点O对称，
∴OQ=OF，
∵OD=OB，∠DOQ=∠BOF，
∴△ODQ≌△OBF(SAS)，
∴BF=DQ，
同理，AE=CP，
∵DQ=CP，
∴AE=BF，
∴四边形ABFE是矩形，
∴EF⊥AD，
同理，PQ⊥AD，∵AE=DQ，∠EAG=∠QDH=45°，∠AEG=∠DQH=90°，
∴△AEG≌△DQH(ASA)，
∴AG=DH，
∴GH∥AD，
∴HM⊥CD，
∴HQ=HM，
∴四边形QHMD是正方形，
∴DQ=DM，
∴DM=CP，
1
∴由（1）知，S = S ．
MOPC 4 正方形ABCD
【点睛】本题主要考查了正方形，全等三角形，熟练掌握正方形的边、角、对角线性质，中心对称性和旋
转对称性，三角形全等的判定和性质，是解决问题的关键．
【变式3-3】（2023春·浙江杭州·九年级杭州市丰潭中学校考期中）点O是平行四边形ABCD的对称中心，
1 1
AD＞AB，E、F分别是AB边上的点，且EF＝ AB；G、H分别是BC边上的点，且GH＝ BC；若S,S 分
2 3 1 2
别表示∆EOF和∆GOH的面积，则S,S 之间的等量关系是
1 2
【答案】2S＝3S
1 2
【分析】过点O分别作OM⊥BC，垂足为M，作ON⊥AB，垂足为N，根据点O是平行四边形ABCD的对
1 1 1
称中心以及平行四边形的面积公式可得AB•ON=BC•OM，再根据S= EF•ON，S= GH•OM，EF＝
1 2 2 2 21
AB，GH＝ BC，则可得到答案．
3
【详解】过点O分别作OM⊥BC，垂足为M，作ON⊥AB，垂足为N，
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，
∴S =AB•2ON， S =BC•2OM，
平行四边形ABCD 平行四边形ABCD
∴AB•ON=BC•OM，
1 1 1 1
∵S = EF•ON，S= GH•OM，EF＝ AB，GH＝ BC，
1 2 2 2 2 3
1 1
∴S= AB•ON，S= BC•OM，
1 4 2 6
∴2S＝3S，
1 2
故答案为2S＝3S．
1 2
【点睛】本题考查了平行四边形的面积，中心对称的性质，正确添加辅助线、准确表示出图形面积是解题
的关键．
【题型4 根据中心对称的性质求长度】
【例4】（2023春·江苏镇江·九年级镇江市外国语学校校考期中）如图是由五个边长为1的小正方形拼成
的图形，点P是其中四个小正方形的公共顶点，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积
相等的两部分，则剪痕的长度为 ．
【答案】√10
【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM＝AB，利用勾股定理即
可求得．
【详解】如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分，
由图形可知 AMC≌△FPE≌△BPD，
∴AM＝PB，△
∴PM＝AB，
∵PM＝√32+12＝√10，
∴AB＝√10，
故答案为：√10．
【点睛】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的
关键．
【变式4-1】（2023春·河南·九年级河南省第二实验中学校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，
BC=6，O是矩形的对称中心，点E、F分别在边AD、BC上，连接OE、OF，若AE=BF=2，则
OE+OF的值为（ ）
A．2√2 B．5√2 C．√5 D．2√5
【答案】D
【分析】连接AC，BD，过点O作OM⊥AD于点M，交BC于点N，利用勾股定理求得OE的长即可解题．
【详解】解：如图，连接AC，BD，过点O作OM⊥AD于点M，交BC于点N，
∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OD=OB
∵OM⊥AD
∴AM=DM=3
1
∴OM= AB=2
2
∵AE=2
∴EM=AM-AE=1
∴OE=√EM2+OM2=√12+22=√5
同理可得OF=√5
∴OE+OF=2√5
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称、矩形的性质、勾股定理等知识，学会添加辅助线，构造直角三角形是解题关
键．
【变式4-2】（2023春·辽宁朝阳·九年级统考期末）如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，
AB=√5，AE=3，∠D=90°，则AC= ．
【答案】1
【分析】根据中心对称的性质，得出DE=AB=√5，AC=CD，再根据勾股定理求出AD=2，即可求解．
【详解】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AB=√5，
∴DE=AB=√5，AC=CD，
∵AE=3，∠D=90°，
∴根据勾股定理可得：AD=√AE2-DE2=2，
1
∴AC=CD= AD=1，
2
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，解题的关键在掌握成中心对称图形的对应边相等，
对应角相等，以及勾股定理的内容．【变式4-3】（2023春·黑龙江佳木斯·九年级统考期中）如图，△AOD和△COB关于点O中心对称，
∠AOD＝60°，△ADO＝90°，BD＝12，P是AO上一动点，Q是OC上一动点（点P，Q不与端点重合），
且AP＝OQ．连接BQ，DP，则DP+BQ的最小值是 ．
【答案】12
【分析】由中心对称的性质可得BO＝DO＝6，AO＝OC，可证四边形ABCD是平行四边形，由直角三角形
的性质可得AO＝2DO＝12，当AP＝OP时，DP+BQ的值最小，此时P为OA的中点，由直角三角形斜边
上的中线性质得出DP、BQ，即可得出结果．
【详解】解：∵△AOD和△COB关于点O中心对称，
∴BO＝DO＝6，AO＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠AOD＝60°，∠ADO＝90°，
∴∠DAO＝30°，
∴AO＝2DO＝12，
∵AP＝OQ，
∴PQ＝AO＝12，
如图，作DK∥AC，使得DK＝PQ＝12，连接BK，
∴四边形DPQK为平行四边形，
∴DP=KQ，∠BDK=∠BOC=∠AOD=60°，
此时DP+BQ＝KQ+BQ＝BK的值最小，
∵DK=PQ=BD=12，
∴△BDK是等边三角形，
∴BK=DB=12，
∴DP+BQ的最小值为12．
故答案为：12．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练
掌握平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
【题型5 关于原点对称的点的坐标】
【例5】（2023春·浙江温州·九年级校联考期中）在平面直角坐标系中有A，B，C三个点，点B的坐标是
(2,3)，点A，点C关于点B中心对称，若将点A往右平移4个单位，再往上10个单位，则与C重合，则点A
的坐标是 ．
【答案】(0,-2)
【分析】假设A，C关于原点O中心对称，则令A(x,y)，则C为(-x,- y)，由题意可得：x+4=-x，
y+10=- y，从而可求得x，y，再把中心O移到点B的位置，则可求点A的坐标．
【详解】解：设A，C关于原点O中心对称，则令A(x,y)，则C为(-x,- y)，
∵将点A往右平移4个单位，再往上10个单位，则与C重合，
∴x+4=-x，y+10=- y，
解得：x=-2，y=-5，
把中心点O平移到点B的位置，其操作为向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
∴点A的坐标也随之变动，
∴点A的坐标变为：(-2+2,-5+3)即(0,-2)．
故答案为：(0,-2)．
【点睛】本题主要考查坐标与图形变化，解答的关键是明确平移和中心对称的特点．
【变式5-1】（2023春·广东·九年级江门市第二中学校考期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣
3，4），那么下列说法正确的是（ ）
A．点A与点B（﹣3，﹣4）关于y轴对称
B．点A与点C（3，﹣4）关于x轴对称
C．点A与点E（﹣3，4）关于第二象限的平分线对称
D．点A与点F（3，﹣4）关于原点对称
【答案】D
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符
号相反；关于第二象限角平分线的对称的两点坐标的关系，纵横坐标交换位置且变为相反数可得答案．
【详解】解：A、点A的坐标为（-3，4），∴则点A与点B（-3，-4）关于x轴对称，故此选项错误；
B、点A的坐标为（-3，4），∴点A与点C（3，-4）关于原点对称，故此选项错误；
C、点A的坐标为（-3，4），∴点A与点E（-3，4）重合，故此选项错误；
D、点A的坐标为（-3，4），∴点A与点F（3，-4）关于原点对称，故此选项正确；
故选D．
【点睛】此题主要考查了关于xy轴对称点的坐标点的规律，以及关于原点对称的点的坐标特点，关键是熟
练掌握点的变化规律，不要混淆．
【变式5-2】（2023春·重庆开州·九年级统考期末）平面直角坐标系内与点A(2,-3)关于原点对称的点B的
坐标是(x,y)，则yx= ．
1
【答案】
9
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出x，y的值即可答案．
【详解】解：与点A(2,-3)关于原点对称的点的坐标是：(-2,3)．
∴x=-2,y=3,
1
∴yx=3-2=
，
9
1
故答案为： ．
9
【点睛】此题主要考查了关于点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
【变式5-3】（2023春·四川南充·九年级南充市实验中学校考期末）若点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）
关于原点成中心对称，则a＋b＝ ．
【答案】2
【分析】根据关于原点对称的性质得到a-1+5=0，5+1-b=0，求出a、b，问题得解．
【详解】解：∵点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，
∴a-1+5=0，5+1-b=0，
∴a=-4，b=6，
∴a+b=2．
故答案为：2
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟知“两个点关于原点对称，则这两个点的横纵坐标
都互为相反数”是解题关键．【题型6 坐标系中作中心对称图形】
【例6】（2023春·贵州·九年级统考期末）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角
坐标系，△ABC的位置如图所示，先作与△ABC关于原点O中心对称的△A B C ，再把△A B C 向
1 1 1 1 1 1
上平移4个单位长度得到△A B C ．
2 2 2
(1)作出△A B C 和△A B C ；
1 1 1 2 2 2
(2)△A B C 与△ABC关于某点成中心对称，则对称中心的坐标是______．
2 2 2
【答案】(1)见解析
(2)(0,2)
【分析】（1）根据中心对称与平移的性质，画出△A B C 和△A B C ；
1 1 1 2 2 2
（2）连接C,C 则C,C 的中点即为所求．
2 2
【详解】（1）△A B C 如图所示．△A B C 如图所示．
1 1 1 2 2 2
（2）连接C,C 则C,C 的中点即为所求，
2 2
∵C(-1,1),C (1,3)，
2
-1+1 1+3
∴ =0, =2，
2 2
∴对称中心为(0,2)；【点睛】本题考查了平移的性质，中心对称的性质，坐标与图形，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质
是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·上海浦东新·九年级校考期末）按要求画图
(1)将三角形ABC向上平移3格，得到三角形A B C ；
1 1 1
(2)将三角形ABC绕点A旋转180度，得到三角形A B C ；
2 2 2
(3)如果三角形ABC沿直线m翻折，点B落到点B 处，画出直线m，及翻折后的三角形A B C ．
3 3 3 3
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据网格结构找出平移后的点A 、B 、C 的位置，然后顺次连接即可；
1 1 1
（2）三角形ABC绕点A旋转180度，找出B 、C 的位置，然后顺次连接即可；
2 2
（3）根据图形确定出变换即可．
【详解】（1）如图所示
（2）如图所示
（3）如图所示【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，解题的关键是掌握作平移、轴对称和中心对称的图形的方法．
【变式6-2】（2023春·山东济南·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个
小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）若△ABC和△AB C 关于原点O成中心对称图形，画出△AB C ；
1 1 1 1 1 1
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB C ；
2 2
（3）在x轴上存在一点P，满足点P到点B 与点C 距离之和最小，请直接写出P B +P C 的最小值为 ．
1 1 1 1
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）√26
【分析】（1）根据关于原点中心对称的点的坐标特征，分别描出点A、B、C的对应点A、B、C ，即可
1 1 1
得到△ABC ；
1 1 1
（2）利用网格特点，根据旋转的性质画出点A、B旋转后的对应点A、B，即可得到△ABC；
2 2 2 2
（3）作C （或B）点关于x轴的对称点，根据勾股定理即可求解．
1 1
【详解】解：（1）（2）如图所示（3）如图，
作C 点关于x轴的对称点C
1 4
在RtΔC DB 中，C B=√12+52=√26
4 1 4 1
故答案为：√26．
【变式6-3】（2023春·江苏·九年级期中）如图，在正方形网格中， ABC的顶点均在格点上，请在所给的
直角坐标系中解答下列问题： △
（1）作出 ABC关于原点O成中心对称的 ABC ；
1 1 1
（2）直接△写出：以A、B、C为顶点的平形△四边形的第四个顶点D的坐标 ．【答案】（1）作图见解析；（2）D(1，1)，(-5，3)，(-3，-1)
【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征分别写出点A、B、C的对应点A、B、C 的坐标，然后
1 1 1
描点即可得到△ABC ；
1 1 1
（2）分类讨论：分别以AB、AC、BC为对角线画平行四边形，根据网格的特点，确定对角线后找对边平
行，即可写出D点的坐标．
【详解】解：（1）如图，点A、B、C的坐标分别为(-1,0),(-4,1),(-2,2)，根据关于原点对称的点的坐
标特征，则点A、B、C关于原点对称的点分别为(1,0),(4,-1),(2,-2)，描点连线，△ABC 即为所作：
1 1 1
（2）分别以AB、AC、BC为对角线画平行四边形，如下图所示：
则由图可知D点的坐标分别为：(-3,-1),(1,1),(-5,3)，
故答案为：(1,1),(-5,3),(-3,-1)．【点睛】本题考查了中心对称作图即平行四边形存在问题，在直角坐标系中，已知平行四边形的三个点的
坐标，确定第四个点的坐标，以对角线作为分类讨论，不容易漏掉平行四边形的各种情况．
【题型7 补全图形使之成为中心对称图形】
【例7】（2023春·福建宁德·九年级统考期中）如图，都是由全等的边长为1的小等边三角形构成的网格，
图中阴影部分是由若干个小等边三角形构成的，请分别按下列要求设计图案：
(1)在图1中画出将阴影部分图形沿某一方向平移3个单位长度后的图形，要求各顶点仍在格点上．
(2)在图2中再任意给两个小等边三角形涂上阴影，使得6个阴影小等边三角形组成的图形是中心对称图形．
（只需画出符合条件的一种情形）
(3)在图3中画出将阴影部分图形绕点O按顺时针方向旋转60°后的图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）画出将阴影部分图形沿右平移3个单位长度后的图形即可；
（2）把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，则该图形是中心对称图形；
（3）将阴影部分的图形每个顶点均绕点O按顺时针方向旋转60°即可．
【详解】（1）解：如图所示：（2）解：如图所示：
以下情形之一即可．
或 或
（3）解：如图所示：
【点睛】本题考查了平移、旋转作图，补图使原图形成为中心对称图形．关键是掌握图形变换的定义．
【变式7-1】（2023春·浙江丽水·九年级校联考期中）如图，将①②③④中的一块涂成阴影后能与图中原有
阴影部分组成中心对称图形的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做
中心对称图形，结合中心对称图形的概念进行求解．
【详解】解：由图可得，应该将③涂成阴影，可与图中原有阴影部分组成中心对称图形．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．【变式7-2】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在4×4的方格中，有4个小方格被涂黑成“L”
形．
(1)在图1中再涂黑2格，使新涂黑的图形与原来的“L”形组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
(2)在图2中再涂黑2格，使新涂黑的图形与原来的“L”形组成的新图形是轴对称图形但不是中心对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据轴对称图形和中心对称图形的定义画图即可；
（2）根据轴对称图形和中心对称图形的定义画图即可．
【详解】（1）解：如图1，作图不唯一，符合要求即可；
（2）解：如图2，作图不唯一，符合要求即可．
【点睛】本题考查基本作图-画轴对称图形和中心对称图形，解答的关键是理解并掌握它们的定义：如果一
个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；把一个
图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【变式7-3】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）下列三个3×4的网格图均由相同的小菱形组成，每个
网格图中有3个小菱形已涂上阴影，请在余下的空白小菱形中，分别按要求选取一个涂上阴影：(1)使得4个阴影小菱形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．
(2)使得4个阴影小菱形组成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形．
(3)使得4个阴影小菱形组成的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
（请将三个小题依次作答在图1，图2，图3中，均只需画出符合条件的一种情形即可．）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形；中心对
称图形指一个图形绕着某点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合．根据是轴对称图形，不是中
心对称图形，涂上阴影即可；
（2）根据是中心对称图形，不是轴对称图形，涂上阴影即可；
（3）根据是中心对称图形，又是轴对称图形，涂上阴影即可．
【详解】（1）解：涂上阴影使4个阴影小菱形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，如下图所
示：
（2）解：涂上阴影使4个阴影小菱形组成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，如下图所示：
（3）解：涂上阴影使4个阴影小菱形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，如下图所示：
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形及中心对称图形定义是解题关键．【题型8 中心对称中的规律问题】
【例8】（2023春·全国·九年级期中）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA B 是边长为2的等边三角
1 1
形，作△B A B 与△OA B 关于点B 成中心对称，再作△B A B 与△B A B 关于点B 成中心对称，
2 2 1 1 1 1 2 3 3 2 2 1 2
点(13,√3)在第 个三角形上，△B A B （n是正整数）的顶点A 的坐标是 ．
2n 2n+1 2n+1 2n+1
【答案】 7 (4n+1，√3)
【分析】由题意可以求出点A ，A ，A ，A 的坐标，找出其中的规律，即可得到第一个空的答案；根据
1 2 3 4
第一个空的规律，可求得第二个空的答案．
【详解】解：由题意可得，点A 的坐标为A (1，√3)，A (3，-√3)，A (5，√3)，A (7，-√3)，由
1 1 2 3 4
此可得，点(13,√3)是A 的坐标，即该点在第7个三角形上；
7
法一：由图可得点B (2，0)，B (4，0)，所以点B (2n，0)，则点B ❑ (4n，0)，
1 2 n 2 n
由图可推得点A (4n+1，√3)；
2n+1
法二：由点A ，A ，A ，A 的坐标，可得点A (2n-1，(-1) n+1×√3)，
1 2 3 4 n
2(2n+1)-1=4n+1，
所以点A (4n+1，√3)．
2n+1
故答案为7，(4n+1，√3)
【点睛】本题考查图形类的规律探索题，根据图形找到规律是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·安徽淮北·九年级校联考阶段练习）古希腊科学家把一定数目的点在等距离的排列下
可以形成一个三角形，构成这些三角形点的数量被称为三角形数．某数学兴趣小组对三角形数进行了如下探索：
(1)如图，将围棋子摆成连续三角形探索连续三角形数（a 表示第n个三角形数），由图形可得a =1，
n 1
a =3，a =6，a =10，a = ；
2 3 4 5
(2)为探索a 的值，将摆成三角形进行旋转180°，再与原图拼成一个矩形，通过矩形计算棋子数目达到计
n
算2a 的值，∴2a = ；（用含n的代数式表示）
n n
(3)根据上面的结论，判断24和28是不是三角形数？并说明理由．
【答案】(1)15
(2)n(n+1)
(3)24不是，28是，理由见解析
【分析】( 1 )根据规律求出a 即可；
5
( 2 )利用规律，解决问题即可；
( 3)利用(2)中结论求解即可．
【详解】（1）解：a =1+2+3+4+5=15，
5
故答案为：15
（2）由题意得：
2a =1+1=2=1×2，
1
2a =3+3=6=2×3，
2
2a =6+6=12=3×4，
3
2a =10+10=20=4×5，
4
2a =15+15=30=5×6，
5
……
∴2a =n(n+1)．
n故答案为：n(n+1)
（3）24不是三角形数，28是三角形数，
理由：∵2×24=48=6×8
6和8相差2，
不符合等式2a =n(n+1)中因数n与n+1相差1的规律，
n
∴24不是三角形数；
又∵2×28=56=7×8，
∴2a =7×8，
7
∴a =28，
7
∴28是三角形数．
【点睛】本题考查中心对称，列代数式，规律型∶图形的变化类等知识，解题的关键是利用数形结合找出
规律．
【变式8-2】（2023春·广西桂林·九年级校考期中）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点
O，以AB、AO为邻边作平行四边形AOC B，对角线交于点O ，以AB，AO 为邻边作平行四边形
1 1 1
AO C B……依此类推，则平行四边形AO C B的面积为 cm2．
1 2 n n+1
5
【答案】
2n-1
1
【分析】根据矩形的性质求出△AOB的面积等于矩形ABCD的面积的 ，求出△AOB的面积，再分别求
4
出△ABO 、△ABO 、△ABO 、△ABO 的面积，即可得出答案．
1 2 3 4
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO，BO=DO，DC∥AB，DC=AB，
1 1
∴S =S = S = ×20=10(cm2)，
△ADC △ABC 2 矩形ABCD 2
1 1
∴S =S = S = ×10=5(cm2 )，
△AOB △BCO 2 △ABC 21 1 5
∴ S = S = ×5= (cm2 )，
△ABO 1 2 △AOB 2 2
1 5
∴ S = S = (cm2 )，
△ABO 2 2 △ABO 1 4
1 5
S = S = (cm2 )，
△ABO 3 2 △ABO 2 8
1 5
S = S = (cm2 )，
△ABO 4 2 △ABO 3 16
……
5
∴平行四边形AO C B的面积为 cm2 ，
n n+1 2n-1
5
故答案为： ．
2n-1
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是能根据求出
的结果得出规律，注意：等底等高的三角形的面积相等．
【变式8-3】（2023春·浙江·九年级专题练习）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成
x +x
中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P(x ，y )、Q(x ，y )的对称中心的坐标为( 1 2，
1 1 2 2 2
y + y
1 2 )．
2
观察应用：
(1)如图，在平面直角坐标系中，若点P (0,-1)、P (2,3)的对称中心是点A，则点A的坐标为 ；
1 2
(2)另取两点B(-1.6,2.1)、C(-1,0)．有一电子青蛙从点P 处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，
1
即第一次跳到点P 关于点A的对称点P 处，接着跳到点P 关于点B的对称点P 处，第三次再跳到点P 关
1 2 2 3 3
于点C的对称点P 处，第四次再跳到点P 关于点A的对称点P 处，…则点P 、P 的坐标分别为 、
4 4 5 3 8．
拓展延伸：
(3)求出点P 的坐标，并直接写出在x轴上与点P ，点C构成等腰三角形的点的坐标．
2017 2017
【答案】(1)点A的坐标为(1,1)
(2)P 、P 的坐标分别为(-5.2,1.2)，(2,3)；
3 8
(3)P (0,-1)；(-1-√2,0)或(√2-1,0)或(1,0)或(0,0)．
2017
【分析】（1）直接利用题目所给公式即可求出点A的坐标；
（2）根据题目所给公式求出P ，P ，P 的坐标，依此类推即可求出P 的坐标；
2 3 4 8
（3）根据所求出的坐标可得P 的坐标和P 的坐标相同，P 的坐标和P 的坐标相同，即每6次为一个周期
7 1 8 2
进行循环，利用这个规律即可求出点P 的坐标；然后分情况讨论，根据等腰三角形的性质求出在x轴上
2017
与点P ，点C构成等腰三角形的点的坐标．
2017
x +x 0+2 y + y -1+3
【详解】（1）解：∵ 1 2= =1， 1 2= =1，
2 2 2 2
∴点A的坐标为(1,1)；
（2）解：∵P (0,-1)，A(1,1)，
1
∴P 的横坐标为1×2-0=2，纵坐标为1×2-(-1)=3，即P (2,3)，
2 2
∵B(-1.6,2.1)，
∴P 的横坐标为-1.6×2-2=-5.2，纵坐标为2.1×2-3=1.2，即P (-5.2,1.2)，
3 3
∵C(-1,0)，
∴P 的横坐标为-1×2-(-5.2)=3.2，纵坐标为0×2-1.2=-1.2，即P (3.2,-1.2)，
4 4
同理可得：P (-1.2,3.2)，P (-2,1)，P (0,-1)，P (2,3)，
5 6 7 8
即点P 、P 的坐标分别为(-5.2,1.2)，(2,3)，
3 8
故答案为：(-5.2,1.2)，(2,3)；
（3）解：∵P (0，-1)→P (2，3)→P (-5.2，1.2)→P (3.2，-1.2)→P (-1.2，3.2)→P (-2，
1 2 3 4 5 6
1)→P (0，-1)→P (2,3)；
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∴P 的坐标和P 的坐标相同，P 的坐标和P 的坐标相同，即每6次为一个周期进行循环，
7 1 8 2
∵2017÷6=336…1，
∴P 的坐标与P 的坐标相同，即P (0,-1)；
2017 1 2017
∴CP =√12+12=√2，
2017设x轴上与点P 、点C构成等腰三角形的点为点D，
2017
当CP =CD=√2时，点D坐标为(-1-√2,0)或(√2-1,0)；
2017
当CP =P D时，
2017 2017
∵P O⊥CD，
2017
∴OC=OD=1，点D坐标为(1,0)；
当P D=CD时，点D在CP 的垂直平分线上，
2017 2017
∴点D与原点重合，点D坐标为(0,0)；
综上，在x轴上与点P 、点C构成等腰三角形的点的坐标为(-1-√2,0)或(√2-1,0)或(1,0)或(0,0)．
2017
【点睛】本题考查了坐标与图形，中心对称的性质，规律型—点的坐标，等腰三角形的判定和性质，勾股
定理等知识，此题是一个阅读材料的题目，读懂题目，灵活运用题目所给公式是解题的关键．
