文档内容
专题23.4 旋转（章节复习）
（知识梳理+28个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共71题）
知识梳理 技巧点拨......................................................................2
知识点梳理01：旋转.................................................................2
知识点梳理02：特殊的旋转—中心对称.................................................3
知识点梳理03：平移、轴对称、旋转之间的对比.........................................3
优选题型 考点讲练......................................................................4
考点1：旋转中的规律性问题..........................................................4
考点2：根据旋转的性质求解..........................................................5
考点3：根据旋转的性质说明线段或角相等..............................................5
考点4：旋转的性质及辨析............................................................7
考点5：画旋转图形..................................................................8
考点6：利用旋转设计图案............................................................9
考点7：求绕原点旋转90度的点的坐标................................................10
考点8：求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标......................................10
考点9：求绕原点旋转一定角度的点的坐标.............................................11
考点10：坐标与旋转规律问题........................................................12
考点11：线段问题（旋转综合题）....................................................14
考点12：面积问题（旋转综合题）....................................................16
考点13：角度问题（旋转综合题）....................................................17
考点14：其他问题（旋转综合题）....................................................18
考点15：坐标系中的旋转............................................................19
考点16：成中心对称................................................................20
考点17：画已知图形关于某点对称的图形..............................................21
考点18：画两个图形的对称中心......................................................22
考点19：根据中心对称的性质求面积、长度、角度......................................23
考点20：中心对称图形的识别........................................................24
考点21：判断中心对称图形的对称中心................................................25
考点22：中心对称图形规律问题......................................................26
考点23：求关于原点对称的点的坐标..................................................27考点24：已知两点关于原点对称求参数................................................29
考点25：判断两个点是否关于原点对称................................................30
考点26：按图形的变换要求画出另一个图形............................................30
考点27：按图形的变换要求画出另一个图形............................................31
考点28：分析图案的形成过程........................................................32
中考真题 实战演练.....................................................................33
难度分层 拔尖冲刺.....................................................................36
基础夯实..........................................................................36
培优拔高..........................................................................38
知识点梳理01：旋转
1. 旋转的概念：把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转，这个点叫做旋转
中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的一个点经过旋转变为另一个点，那么这两个点叫做
这个旋转的对应点.
【要点提示】旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等.
【要点提示】图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
3. 旋转的作图:在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键
沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
【要点提示】
作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点.
知识点梳理02：特殊的旋转—中心对称
1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关
于中心的对称点．
【要点提示】（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个
条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中
心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .
2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形
重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【要点提示】(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对
称图形.
知识点梳理03：平移、轴对称、旋转之间的对比
平移 轴对称 旋转
相同点 都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等．
把一个图形沿
把一个图形沿某一
定 着某一条直线 把一个图形绕着某一定点转
方向移动一定距离
义 折叠的图形变 动一个角度的图形变换．
的图形变换．
换．
图
形
不
同
要 旋转中心、旋转方向、旋转角
平移方向、平移距离 对称轴
素 度
点
连接各组对应点的 任意一对对应 对应点到旋转中心的距离相
线段平行（或共 点所连线段被 等；对应点与旋转中心所连
线）且相等． 对称轴垂直平 线段的夹角都等于旋转角．
分．
性
质 对应线段平行（或 任意一对对应 对应点到旋转中心的距离相
共线）且相等． 点所连线段被 等；对应点与旋转中心所连
对称轴垂直平 线段的夹角等于旋转角，
分． 即：对应点与旋转中心连线
所成的角彼此相等．
考点1：旋转中的规律性问题
【典例精讲】（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BE，BF⊥CE于F，若∠CED=90°，DE=2，则线段BE的长为（ ）
A．4 B．2❑√3 C．6 D．2❑√5
【变式训练】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，正方形AB′C′D′是由正方形ABCD旋转而成的，点
D在AC′上．
(1)直接写出旋转中心和旋转角；
(2)若正方形的边长是1，直接写出C′D的长．
考点2：根据旋转的性质求解
【典例精讲】（2025·广西南宁·一模）如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B
的对应点E落在CD上，且DE=AD=4，则AB长为（ ）
A．2❑√2 B．2❑√3 C．4❑√2 D．4❑√3
【变式训练】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）数学兴趣小组活动中，老师要求学生探究如下问题：
如图，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AGFE，当点E落在BD上时停止旋转，EF交AB
于点H．(1)连接BF，请判断BC和BF是否在同一条直线上，并说明理由．
(2)求证：AH=FH．
考点3：根据旋转的性质说明线段或角相等
【典例精讲】（21-22九年级上·江西上饶·期末）如图，是由6×6个边长为1的小正方形网格组成，每
个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，将△ABC绕着边的中点旋转180°，
爱观察与思考的小明发现以下结论不正确的是（ ）
A．△ABC各边的中点都可通过网格确定；
B．△ABC绕着AC的中点旋转180°扫过的面积为13π；
C．旋转前后的两个三角形可形成平行四边形；
D．△ABC绕着各边的中点旋转后的△A′B′C′都在网格的格点上．
【变式训练】（2021·甘肃白银·一模）如图1，在正方形ABCD中，EF分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝
45°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是将△ABE绕A点旋转90°
使得B与D重合，连接AG，由此得到 ，再证明 ，可得出结论，他的结论应是 ．拓展延伸：
如图2，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点G，H在边AC上，且∠GBH＝45°，写出图中线
段AG，GH，CH之间的数量关系并证明．
考点4：旋转的性质及辨析
【典例精讲】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形ABCD是正方形，∠EAF=45°
(1)在CB延长线上存在一点G，使△ABG绕着A点逆时针旋转90°后能与△ADF重合，请在图上画出
△ABG；
(2)证明：△AEF≌△AEG．
【变式训练】（24-25九年级上·广东汕头·期中）如图，在画有方格图的平面直角坐标系中，△ABC的
三个顶点均在格点上．(1)填空：△ABC是___三角形，它的面积等于____平方单位．
(2)将△ABC绕点B顺时针方向旋转90°，在方格图中用直尺画出旋转后对应的△A′B′C′，则A′点的坐
标是（_____，____），C′点的坐标是（_____，____）．
考点5：画旋转图形
【典例精讲】阅读下列材料，完成相应学习任务
旋转对称
3600 3600
把正n边形绕着它的中心旋转 的整数倍后所得的正n边形重合．我们说，正n边形关于其中心有
n n
的旋转对称．一般地，如果一个图形绕着某点O旋转角α（0＜α＜360°）后所得到的图形与原图形重合，
则称此图形关于点O有角α的旋转对称．图1就是具有旋转对称性质的一些图形．任务：
（1）如图2，正六边形关于其中心O有 的旋转对称，中心对称图形关于其对称中心有 的旋转对
称；
（2）图3是利用旋转变换设计的具有旋转对称性的一个图形，将该图形绕其中心至少旋转 与原图形
重合；
（3）请以图4为基本图案，在图5中利用平移、轴对称或旋转进行图案设计，使得设计出的图案是中心对
称图形．
【变式训练】如图，将甲图经图形变换变到乙图，下列说法错误的是（ ）
A．可以通过旋转和平移实现 B．可以通过旋转和轴对称实现
C．必须通过旋转才能实现 D．不必通过旋转就能实现
考点6：利用旋转设计图案
【典例精讲】（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其
中每个小正方形的边长为1个单位长度．(1)平移△ABC，点A的对应点A 的坐标为(1,−5)，画出平移后对应的△A B C ，则点B 的坐标为
1 1 1 1 1
__________；
(2)将△ABC绕点C逆时针方向旋转90°得到△A B C，按要求作出图形；
2 2
(3)若上述△A B C通过旋转可以得到△A B C ，则旋转中心P的坐标为_______________．
2 2 1 1 1
【变式训练】（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,4)，点B
在第一象限内，AO=AB，∠OAB=120°将△AOB绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋
转后，点B的坐标为 ．
考点7：求绕原点旋转90度的点的坐标
【典例精讲】（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，点A，B的坐标分别为(1,1)、(3,2)，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AB C ，
1 1
(1)画出旋转后的△AB C ；
1 1
(2)直接写出点B 的坐标为 ；
1
(3)连接BB ，直接写出∠BB A的度数__________．
1 1
【变式训练】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由
△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为 ．
考点8：求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标
【典例精讲】（24-25九年级上·天津河北·阶段练习）在平面直角坐标系中，点A(3,0)，点B(0,4)，把
△AOB绕原点O逆时针旋转，得△COD，其中，点C，D分别为点A，B旋转后的对应点，记旋转角为
α(0°<α<360°)．(1)如图，当α=45°时，求点C的坐标；
(2)当CD∥x轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．
【变式训练】（24-25九年级上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，点P(2,−1)先向右平移2个单位，
再向上平移3个单位，得到A点，再把A点绕原点旋转180°得到B点，那么B点的坐标是 ．
考点9：求绕原点旋转一定角度的点的坐标
【典例精讲】（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，正方形ABCD中，其中A(−5,0)，
B(0,−2)，将正方形ABCD绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，问503次旋转后点C的坐标为（ ）
A．(2,3) B．(3,−2) C．(2,−3) D．(−3,−2)
【变式训练】（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB=90°，直角边AO在x轴上，且AO=1．将Rt△AOB绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直
角三角形A OB ，且A O=2AO，再将Rt△A OB 绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形
1 1 1 1 1
A OB ，且A O=2A O⋯依此规律，得到等腰直角三角形A OB ，则点B 的坐标是 ．
2 2 2 1 2025 2025 2025
考点10：坐标与旋转规律问题
【典例精讲】（24-25九年级上·河南郑州·期末）课本再现（北师大版九年级上册第29页~30页）
问题解决你能通过剪切和拼接下列图形得到一个矩形吗？在这些剪拼的过程中，剪下的
图形是经过怎样的运动最后拼接在一起的？
（1）平行四边形；（2）三角形；（3）菱形．
小涵所在的学习小组对课本上的这道题进行了分工合作，小涵的任务是把三角形纸片剪拼得到一个矩形．
(1)动手操作
小涵任意剪了一个三角形纸片ABC，他分别找到AB、AC边的中点D、E，连接DE．分别过点D、E作
BC边的垂线DF、EG，垂足为F、G．再将△DBF和△EGC分别绕点D、E旋转180°，即可得到矩形
FGIJ（如图1）．则DE与BC的关系为：______．
(2)探究发现
小涵在动手操作的基础上发现，也可以过点A作AH⊥DE于点H，再将△ADH和△AEH分别绕点D、
E旋转180°，即可得到矩形BCMN（如图2）．小涵通过测量发现BC=15cm，∠BAC=90°，
AC=2AB．
①求△ADE的面积；
②在△AEH绕点E顺时针旋转180°的过程中，点A的对应点为A′，若A′E与△BDN一边平行时，请直接写出此时A′N的长度．
【变式训练】（23-24八年级下·安徽滁州·期末）[问题情境]如图1，E为正方形ABCD内一点，AE=5，
BE=12，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点A按逆时针方向旋转a度（0≤a≤180°），点B，E的对应点
分别为点B′，E′．
[问题解决]
(1)如图2，在旋转的过程中，当点B′落在AC上时，求此时CB′的长；
(2)若a=90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合），延长BE交DE′于点F，试判断四边形AEFE′
的形状，并说明理由；
(3)在Rt△ABE绕点A逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段CE′长度的最大值．
考点11：线段问题（旋转综合题）
【典例精讲】（24-25九年级上·广西钦州·期末）综合与实践．
【问题初探】（1）如图1，在△ABC中，BA=4，BC=6，BD为AC边上的中线，求BD的取值范围．
解答这个问题，我们可以将△ABD绕点D旋转180°，得到△CED，则BD的取值范围可解．请作出△CED并直接写出BD的取值范围；
【问题解决】（2）如图2，P为等边三角形内一点，满足PB=1，PA=❑√2，PC=❑√3，试求∠BPA的大
小（提示：将△BPA绕点B顺时针旋转60°）；
【问题拓展】（3）如图3，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD边上的点，且满足∠EAF=45°，
AB=2，BE+DF=❑√3，求△AEF的面积．
【变式训练】（23-24九年级上·河北保定·开学考试）【动手操作】某班数学课外兴趣小组将直角三角
板DOE（∠DOE=90°，∠E=30°）的直角顶点O放置在另一块直角三角板ABC（∠ACB=90°，
AC=BC）的斜边AB的中点处，并将三角板DOE绕点O任意旋转．(1)【发现结论】当三角板DOE的两边DO，EO分别与另一块三角板的边AC，BC交于点P，Q时：
①如图1，当OD⊥AC时，OP与OQ的数量关系为______；
②小组成员发现当OD与AC不垂直时（如图2所示），OP与OQ之间仍然存在①中数量关系，请你说明
理由；
③小组成员嘉淇认为在旋转过程中，四边形OPCQ的面积S 与△ABC的面积S 之间始终保持一种不变的
1 2
关系，他们之间的关系是______，并说明理由；
(2)【探究延伸】如图3，连接CD，直角三角板DOE在绕点O旋转一周的过程中，若AB=12cm，
DE=14cm，直接写出线段CD长的最小值和最大值．
考点12：面积问题（旋转综合题）
【典例精讲】（23-24九年级上·江西上饶·阶段练习）【综合实践】
△ABC中，AB=AC，P是BC边上任意一点，以点A为中心，取旋转角等于∠BAC，把△ABP逆时针旋转，画出旋转后的图形．
【操作体验】
（1）若点P的对应点为点P′，画出旋转后的图形；
【深入探究】
（2）如图2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC边上一点（不与B，C重合），猜想
BP，CP，AP三条线段之间的数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
（3）如图3，△ABC中，∠ABC=30°，AB=4，BC=5，P是△ABC内部的任意一点，连接
PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．
【变式训练】（23-24九年级上·河南商丘·期中）如图，△ABC中，∠BAC=36°，AB=AC，BE平
分∠ABC．过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转α(0°<α<144°)，得到
△AE′F′，连接CE′，BF′，当CE′∥AB时，α= ．考点13：角度问题（旋转综合题）
【典例精讲】（23-24九年级上·北京丰台·期中）两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A′B′C′
重合在一起，将三角板A′B′C′绕直角顶点C按逆时针方向旋转α（0°<α≤90°），如图所示．以下结论错
误的是（ ）
A．当α=30°时，A′C与AB的交点恰好为AB中点．
B．当α=60°时，A′B′恰好经过点B．
C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得A A′=BB′．
D．在旋转过程中，始终存在A A′ ⊥BB′．
【变式训练】（22-23八年级下·贵州铜仁·期中）已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，直
线m是过点C的任一条直线，AE⊥m于点E，BD⊥m于点D；(1)如图（1），求证：AE=DE−BD；
(2)当直线m绕点C旋转到如图（2）时，上述（1）中结论是否还成立？若不成立，请写出AE与DE和BD
的正确数量关系，并加以证明．
(3)当直线m绕点C旋转到如图（3）时，请直接写出AE与DE和BD的数量关系．
考点14：其他问题（旋转综合题）
【典例精讲】（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图， 在菱形OABC中， 点A 在x 轴上， 点 B 的
横坐标为3，∠B=60°， 将菱形OABC绕原点O 顺时针旋转90°， 若点C 的对应点是点C ，那么点C
1 1
的坐标是（ ）
A．(❑√3,−1) B．(❑√3,1) C．(−❑√3,1) D．(3,❑√3)
【答案】A
【变式训练】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A(0,4)，点B(4❑√3,0)，点C、D分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，∠CDO=30°，CD=4，将△CDO绕O点顺时针旋转一周，
当CD与AB平行时，点C的坐标为 ．
考点15：坐标系中的旋转
【典例精讲】（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，小好同学用计算机软件绘制函数
y=x3−3x2+3x−1的图象，发现它关于点(1,0)中心对称．若点A (0.1,y )，A (0.2,y )，A (0.3,y )，
1 1 2 2 3 3
……，A (1.9,y )，A (2,y )都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则
19 19 20 20
y + y + y +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ y + y 的值是 ．
1 2 3 19 20
【变式训练】（24-25九年级上·山西大同·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在
格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为1个单位长度．
(1)将△ABC浇点O逆时针旋转90°、画出旋转后得到的△A B C ；
1 1 1(2)画出△A B C 、使△A B C 与△ABC关于y轴对称；
2 2 2 2 2 2
(3)△A B C 与△A B C 是否成中心对称？（答出“是”或“否”即可）
1 1 1 2 2 2
考点16：成中心对称
【典例精讲】（24-25八年级下·重庆南岸·期末）如图，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标
分别为A(2,3)，B(3,6)，C(6,3)．
(1)在图中，画出△ABC向左平移9个单位得到的△A B C ；
1 1 1
(2)在图中，画出以点O为对称中心，与△A B C 成中心对称图形的△A B C ；
1 1 1 2 2 2
(3)在直角坐标系内，存在点P，使得以点A，C ，C ，P四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所
1 2
有满足条件的点P的坐标．【变式训练】（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，在直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，
A(−1,3)，B(0,3)，请完成下列解答：
(1)作出△AOB关于原点对称的△A OB ，则A点关于原点O的对称点A 的坐标是_______，B点关于原
1 1 1
点O的对称点B 的坐标是_______．
1
(2)将（1）中得到的△A OB ，绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后的△A OB ，则A 点的对应点A
1 1 2 2 1 2
的坐标是_______．
(3)在y轴上求作一点P，使以O、A 、P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的坐标是
2
_______．
考点17：画已知图形关于某点对称的图形
【典例精讲】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为
A(−2，3)，B(−3，2)，C(−1，1)．（画图时字母应标注清楚）(1)将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，请画出旋转后的△A B C ；
1 1 1
(2)画出△A B C 绕原点O旋转180°后得到的△A B C ；
1 1 1 2 2 2
(3)若△A′B′C′与△ABC关于某点中心对称，则对称中心的坐标为_______．
【变式训练】（21-22八年级下·江苏苏州·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长
度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
(1)将△ABC向左平移6个单位长度得到△A B C ，请画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
(2)画出△A B C 关于点O的中心对称图形△A B C ；
1 1 1 2 2 2
(3)若将△ABC绕某一点旋转可得到△A B C ，那么旋转中心的坐标为______，旋转角度为______°．
2 2 2
考点18：画两个图形的对称中心
【典例精讲】（24-25九年级上·江西新余·期末）（1）解方程：x2−4x=0；
（2）如图，△ABC与△DEC关于C点成中心对称，若AC=3，AB=6，∠BAC=90°，求AE的长．【变式训练】（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）将五个边长都为3cm的正方形按如图所示摆放，
点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和是 cm2．
考点19：根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【典例精讲】（24-25九年级上·广东东莞·期末）我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋
转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，旋转的这个角称为这个图形的一个旋
转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一
个旋转角为90°．
(1)判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”）：
①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为144°．__________
②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．__________
(2)写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为72°，其中一个是轴对称图形，但不是中
心对称图形；另一个既是轴对称图形，又是中心对称图形．【变式训练】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐
标分别为：A(2,3)，B(1,1)，C(4,1)，D(5,3)．
(1)四边形ABCD是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点；
(2)若点F(a,3)在AD上，在BC上确定一点G，使得FG平分四边形ABCD的面积，则G点的坐标为
______．
考点20：中心对称图形的识别
【典例精讲】（24-25九年级上·陕西西安·期中）△ABC和△A B C 在平面直角坐标系中的位置如
1 1 1
图所示．
(1)请画出△ABC关于原点O对称的△A B C ；
2 2 2
(2)若△A B C 与△A B C 关于点P成中心对称，请写出点P的坐标．
2 2 2 1 1 1【变式训练】（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，△ABC中A(−2,3)，B(−3,1)，C(−1,2)．
(1)将△ABC各点的横坐标增加4个单位长度，纵坐标保持不变，得△A B C ，画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
(2)将△ABC各点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘以−1，得△A B C ，画出△A B C ；
2 2 2 2 2 2
(3)将△ABC各点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以−1，得△A B C ，画出△A B C ；
2 2 2 3 3 3 3 3 3
(4)在△A B C ，△A B C ，△A B C 中，△ 与△ 成轴对称，对称轴是 ；△ 与△ 成中心对称，
1 1 1 2 2 2 3 3 3
对称中心的坐标是 ．
考点21：判断中心对称图形的对称中心
【典例精讲】（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A,B的
坐标分别是A(3,2)，B(1,3)．
(1)△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A OB ，请画出△A OB ；
1 1 1 1
(2)选择点O为对称中心，画出与△AOB关于点O对称的△A OB ；
2 2
(3)在y轴上画出点P，使得PA+PB最小．【变式训练】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）（1）解方程：x2+x−6=0；
（2）如图，在由小正方形组成的网格图中建立平面直角坐标系，A(1,1)，△ABC的顶点均在格点上．
①点C绕O点逆时针方向旋转90°后的对应点C'的坐标为________．
②若△ABC和△A B C 关于原点O中心对称，画出△A B C ．
1 1 1 1 1 1
③求△A B C 的面积．
1 1 1
考点22：中心对称图形规律问题
【典例精讲】（22-23九年级上·河北邯郸·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA B 是边长
1 1
为2的等边三角形，作△B A B 与△OA B 关于点B 成中心对称，再作△B A B 与△B A B 关于
2 2 1 1 1 1 2 3 3 2 2 1
点B 成中心对称，点(13,❑√3)在第 个三角形上，△B A B （n是正整数）的顶点A 的坐
2 2n 2n+1 2n+1 2n+1
标是 ．【变式训练】（2022九年级上·全国·专题练习）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中
x +x
点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P(x ，y )、Q(x ，y )的对称中心的坐标为( 1 2，
1 1 2 2 2
y + y
1 2 )．
2
观察应用：
(1)如图，在平面直角坐标系中，若点P (0,−1)、P (2,3)的对称中心是点A，则点A的坐标为 ；
1 2
(2)另取两点B(−1.6,2.1)、C(−1,0)．有一电子青蛙从点P 处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，
1
即第一次跳到点P 关于点A的对称点P 处，接着跳到点P 关于点B的对称点P 处，第三次再跳到点P 关
1 2 2 3 3
于点C的对称点P 处，第四次再跳到点P 关于点A的对称点P 处，…则点P 、P 的坐标分别为 、
4 4 5 3 8
．
拓展延伸：
(3)求出点P 的坐标，并直接写出在x轴上与点P ，点C构成等腰三角形的点的坐标．
2017 2017考点23：求关于原点对称的点的坐标
【典例精讲】（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，已知△ABC中，A(−2,3)，B(−4,0)，
C(−1,0)．
(1)若△A′B′C′与△ABC关于原点成中心对称，请直接写出点A′，B′，C′的坐标并在网格图中画出
△A′B′C′；
(2)线段OA绕坐标原点O逆时针旋转90°后点A的坐标是_________．
【变式训练】（24-25八年级下·重庆南岸·阶段练习）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边
长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是(−3,−1)．
(1)将△ABC沿y轴正方向平移5个单位，再沿x轴正方向平移2个单位得到△A B C ，画出
1 1 1△A B C ，并写出点A 、B 、C 坐标；
1 1 1 1 1 1
(2)将△ABC关于原点对称得到△A B C ，请画出△A B C ，并求出△A A A 的面积．
2 2 2 2 2 2 1 2
考点24：已知两点关于原点对称求参数
【典例精讲】（22-23九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线y=x2−(m+1)x+m−1．
(1)求证：抛物线与x轴必有交点；
(2)若该抛物线与直线y=2x的两个交点关于原点对称，求m的值．
【变式训练】（21-22九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后
得到的图形，分别观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．(1)直接写出AC与y轴交点的坐标 ．
(2)若三角形ABC内任意一点M的坐标为（a+3，4﹣b），点M经过上述变换后得到点N的坐标为（2a，2b
﹣3），则a﹣b的值为 ．
(3)若三角形PQR先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形P′Q′R′，画出三角形P′Q′R′并
求三角形P′ AC的面积．
考点25：判断两个点是否关于原点对称
【典例精讲】△ABC和 ΔA'B'C' 关于点O对称，下列结论不正确的是（ ）.
A．AO＝ A'O
B．AB∥ A'B'
C．CO＝BO
D．∠BAC＝∠ B' A'C'
【变式训练】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，4），那么下列说法正确的是（ ）
A．点A与点B（﹣3，﹣4）关于y轴对称
B．点A与点C（3，﹣4）关于x轴对称
C．点A与点E（﹣3，4）关于第二象限的平分线对称
D．点A与点F（3，﹣4）关于原点对称考点26：按图形的变换要求画出另一个图形
【典例精讲】．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，线段AB的坐标分
别为A(3,4),B(4,2)
(1)画出线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段CB，连接点A、C得到△ABC；
(2)在（1）的条件下，画出△ABC关于原点O对称的△≝¿，点A、B、C的对应点分别是D、E、F；
(3)在（2）的条件下，已知线段AB绕平面内的点P旋转一个特定的度数可与线段FE重合（其中点A对应
点F），请直接写出点P的坐标为_____________．
【变式训练】（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，对△ABC分别作下列变换：①先以x轴为对称
轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转180°，然后再向左平移2个单位；
③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使△ABC变成△≝¿的是（ ）
A．① B．② C．②或③ D．①或③
考点27：按图形的变换要求画出另一个图形
【典例精讲】将一个正方形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个心形小孔，则展开铺平后的图案是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴
对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程： ．
考点28：分析图案的形成过程
【典例精讲】（23-24八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，图形A是一个正方形，图形B是由三个图
形A构成，请用图形A与B拼接出符合要求的图形（每次拼接图形A与B只能使用一次），并分别画在指
定的正方形网格中．
(1)在图①中画出：拼得的图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
(2)在图②中画出：拼得的图形是轴对称图形但不是中心对称图形；
(3)在图③中画出：拼得的图形是中心对称图形但不是轴对称图形．【变式训练】（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小
正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上在图①、图②中，只用无
刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段AB为边画一个锐角△ABM，使其面积为6．
（2）在图②中以线段CD为边画一个钝角△CDN，使其面积为6．
1．（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形
ABCD与正方形BEFG（AB>BE），点E，G分别在AB，BC上，根据图形提出问题：如图2，正方形
BEFG绕点B顺时针旋转，旋转角为α(0°<α<180°)，直线AE与CG相交于点H，连接BH，探究线段
AH，BH，CH之间的数量关系．
【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出AH，BH，CH之间的
数量关系，并说明理由；
（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写
出AH，BH，CH之间的数量关系，并说明理由；
【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角α的范围再扩大，正方形BEFG绕点B顺时针旋转，旋
转角为α(180°<α<360°)，直线AE与CG相交于点H，连接BH，请直接写出AH，BH，CH之间的数量
关系．2．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），
与y轴交于点C，OA=2，OB=6，D是直线BC上方抛物线上一动点，作DF⊥AB交BC于点E，垂足为
点F，连接CD．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D的横坐标为t，
①用含有t的代数式表示线段DE的长度；
②是否存在点D，使△CDE是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接OE，将线段OE绕点O按顺时针方向旋转90°得到线段OG，连接AG，请直接写出线段AG长度的
最小值．
3．（2025·上海·中考真题）小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起
探究．
(1)如图（1）所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC．设E为边AB中点，将△ADE绕点E旋转
180°，点D旋转至点F的位置，得到的△DFC是等腰三角形，其中DF=DC，设AD=a，求边BC的长
（用a表示）；
(2)如图（2）所示，已知梯形MQPN中，MN∥QP，且MN
