文档内容
专题 24.10 圆（全章中考真题分类专题——选择填空篇）
目 录
【考点1】垂径定理——基础题..................................................................................................................1
【考点2】垂径定理——综合题..................................................................................................................4
【考点3】弧、弦、圆心角与垂径定理——综合题...................................................................................7
【考点4】圆周角定理——基础题............................................................................................................12
【考点5】圆周角定理——综合题............................................................................................................14
【考点6】圆周角定理推论——基础题....................................................................................................18
【考点7】圆周角定理推论——综合题....................................................................................................21
【考点8】圆内接四边形——基础题........................................................................................................23
【考点9】圆内接四边形——综合题........................................................................................................26
【考点10】点和圆的位置关系——基础+综合题.....................................................................................29
【考点11】切线的性质与判定——基础题...............................................................................................34
【考点12】切线的性质与判定——综合题...............................................................................................37
【考点13】正多边形与圆——基础题......................................................................................................40
【考点14】正多边形与圆——综合题......................................................................................................42
【考点15】弧长与扇形面积——基础题..................................................................................................45
【考点16】弧长与扇形面积——综合题..................................................................................................47
【考点1】垂径定理——基础题
1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在 中，弦 的长为8，圆心O到 的距离 ，则
的半径长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到 ，再根据勾股定理求解即可．
解：∵在 中，弦 的长为8，圆心O到 的距离 ，
∴ ， ，
在 中， ，
故选：B．2．（2024·新疆·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的弦， ，垂足为E．若
， ，则 的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据垂径定理求得 ，再对 运用勾股定理即可求 ，最后 即
可求解．
解：∵ ， 是 的直径，
∴ ， ，
∴在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
故选：B．
3．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，
小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接 ，作 的垂直平分线 交 于点 ，
交 于点 ，测出 ，则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出 的长；设圆心为O，连接，在 中，可用半径 表示出 的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，
即可得出轮子的直径长．
解：∵ 是线段 的垂直平分线，
∴直线 经过圆心，设圆心为 ，连接 ．
f 中， ，
根据勾股定理得：
，即：
，
解得： ；
故轮子的半径为 ，
故选：C．
4．（2025·四川内江·中考真题）如图， 是 的弦．半径 于点D，且 ．
则 的长是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
先根据垂径定理得到 ，在 中，由勾股定理求解 ，再由
即可求解．
解：∵ ， ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
故答案为：2．
【考点2】垂径定理——综合题
1．（2025·四川宜宾·中考真题）如图， 是 的弦，半径 于点 ．若 ， ．
则 的长是（ ）
A．3 B．2 C．6 D．
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键．
由垂径定理得到 的长，再由勾股定理解答即可．
解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴在 中， ，
故选：A．
2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端 在地面上， 为 的中点， 为拱
门最高点，线段 经过拱门所在圆的圆心，若 ， ，则拱门所在圆的半径为
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接 ，先证明 ，
，再进一步的利用勾股定理计算即可；
解：如图，连接 ，
∵ 为 的中点， 为拱门最高点，线段 经过拱门所在圆的圆心， ，
∴ ， ，
设拱门所在圆的半径为 ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴拱门所在圆的半径为 ；
故选B
3．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点 为圆心， 为半径作 ．直
线 与 交于 两点，则 的最小值为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了一次函数的图象，垂径定理，对于 ，当 时， 得直线 过定点 ，再求出 ，得点P在 内部，根据过圆内定点P的所有
弦中，与 垂直的弦最短，得当直线 与 垂直时， 为最小，此时 ，
在 中，由勾股定理求出 ，进而可得 的最小值．
解：∵
∴直线 过定点 ，
∵点 ，
∴ ，
又∵ 的半径为 ，
∴ ，
∴点P在 内部，
由于过圆内定点P的所有弦中，与 垂直的弦最短，即当直线 与 垂直时， 为
最小，如图所示：
由垂径定理得： ，
∴ ，
在 中， ， ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
即 的最小值为6．故答案为：6．
4．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在 中，直径 于点E， ，则弦
的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题
的关键．
由垂径定理得 ，设 的半径为 ，则 ，在 中，由
勾股定理得出方程，求出 ，即可得出 ，在 中，由勾股定理即可求解．
解：∵ ，
，
设 的半径为 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，即 ，
解得： ，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
故答案为： ．
【考点3】弧、弦、圆心角与垂径定理——综合题
1．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形 内接于 ， ．若 ，
则 的半径是（ ）A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理，掌握垂径定理，圆心角、弦、
弧之间的关系，勾股定理是正确解答的关键．根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定
理进行计算即可．
解：如图，过点O作 ，垂足为F，交 于点E，连接 ，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
设半径为R，
在 中， ，
由勾股定理得， ，即 ，解得 ．
故选：A．
2．（2025·四川南充·中考真题）如图， 是 的直径， 于点 ， 交 于点 ，
于点 ，交 于点 ， 为弧 的中点， 为线段 上一动点，若 ，则
的最小值是（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】C
【分析】如图，延长 交 于点 ，连接 ， ， ， ，由垂径定理得
，进而得 ，点 关于
的对称点为点 ，根据两点之间线段最短得当 ， ， 三点共线时， 最小，最小值
为 的长，在利用直角三角形的性质即可求解．
解：如图，延长 交 于点 ，连接 ， ， ，
∵ 于点 ，交 于点 ， 为弧 的中点，
∴
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 关于 的对称点为点 ，
∴ ，
∴
当 ， ， 三点共线时， 最小，最小值为 的长，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值 ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，
熟练掌握弧、圆心角的关系，垂径定理是解题的关键．
3．（2023·河北·中考真题）如图，点 是 的八等分点．若 ，四边形 的周长
分别为a，b，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．a，b大小无法比较
【答案】A【分析】连接 ，依题意得 ， ， 的周长为
，四边形 的周长为 ，故 ，
根据 的三边关系即可得解．
解：连接 ，
∵点 是 的八等分点，即
∴ ，
∴
又∵ 的周长为 ，
四边形 的周长为 ，
∴
在 中有
∴
故选A．
【点拨】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是
解题的关键．4．（2023·山东烟台·中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量
角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】方法一∶如图：连接 ，由题意可得： ，
，然后再根据等腰三角形的性质求得 、 ，最后根据
角的和差即可解答．
方法二∶ 连接 ，由题意可得： ，然后根据圆周角定理即可求解．
解：方法一∶ 解：如图：连接 ，
由题意可得： ， ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为 ．
方法二∶解∶ 连接 ，
由题意可得： ，
根据圆周角定理，知 ．
故答案为 ．【点拨】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆
心角度数的一半是解答本题的关键．
【考点4】圆周角定理——基础题
1．（2025·四川·中考真题）如图，点A，B，C在 上，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半是解题
的关键．
直接运用圆周角定理求解即可．
解：∵ ，
∴ ．
故选：B．
2．（2025·重庆·中考真题）如图，点A，B，C在 上， ， 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
．
故选：B．
3．（2025·湖南长沙·中考真题）如图， ， 为 的弦，连接 ， ， ．若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】该题考查了圆周角定理，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出
，即可求解．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
4．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，点 ， ， 在 上， ，则 ．
【答案】40
【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先根据圆
周角定理可得 ，再根据等腰三角形的性质即可得．
解：∵点 在 上， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
故答案为：40．
【考点5】圆周角定理——综合题
1．（2025·广东广州·中考真题）如图， 的直径 ，C为 中点，点D在弧 上，
，点P是 上的一个动点，则 周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，轴对称性质，正确掌握相
关性质内容是解题的关键．先作点 关于 的对称点 ，连接 ，交 于点 ，
因为 的直径 ，C为 中点，得 ，再结合 ，得 ，再
证明 是等边三角形，运用勾股定理列式计算得 ，则 周长
，即可作答．
解：作点 关于 的对称点 ，连接 ，记 交 于点 ，如图所示：
∴
∵ 的直径 ，C为 中点，∴点 在 上， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
则 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是直径，
∴
∴ ，
则 周长 ，
∴ 周长的最小值是 ．
故选：B．
2．（2025·湖北·中考真题）如图， 内接于 ．分别以点 和点 为圆心，大
于 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线 交 于点 ，连接 并延长交
于点 ，连接 ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，由 是 的垂
直平分线，可得 ，可得 ，再进一步求解即可.
解：由作图可得： 是 的垂直平分线，∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ，
故选：C
3．（2025·新疆·中考真题）如图， 是 的直径， 是弦， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理．
先根据垂径定理得到 ，再根据圆周角定理即可得到 ．
解：连接 ．
∵ 是 的直径， 是弦， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
二、填空题
4．（2025·四川南充·中考真题）如图， 为正方形 的对角线， 平分 ，交 于
点 ，把 绕点 逆时针方向旋转90°得到 ，延长 交 于点 ，连接 ，交
于点 ．给出下列结论：① ；② ；③ ；④ ．以上结论
正确的是 ．（填写序号）【答案】①③④
【分析】本题考查正方形性质，旋转性质，全等三角形性质与判定，角平分线定义，圆周角定理，
勾股定理解三角形，等腰三角形性质与判定，三角形的三边关系等知识，熟练掌握相关知识的联系
与运用是解答的关键．
由旋转性质得 ，可得 ， ， ，进而由
即可判断①；由 即可判断②；
由 、 、 、 、 在以 为直径的圆上，可以证明 ，即可判定③，设
，由勾股定理解三角形可得 ， ，
即可判断④．
解：由旋转可知： ，
∴ ， ， ，
∵在正方形 中，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，故①结论正确，
∵ ， ，
∴ ，故②结论错误；
如图：
∵在正方形 中，
∴ ，∴ ，
∴ 、 、 、 、 在以 为直径的圆上，
∵ ，
∴ ，故结论③正确；
如图：过 点作 ，交 于 ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，（负根已舍去）
∵ ，
∴ ，
∴ ．故结论④正确；
综上所述：①③④结论正确，
故答案为：①③④．
【考点6】圆周角定理推论——基础题
1．（2025·青海·中考真题）如图， 是 的直径， ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角，熟练掌握同弧或
等弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据 是 的直径得出 ，即可求解．
解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
2．（2025·山西·中考真题）如图， 为 的直径，点 是 上位于 异侧的两点，连接
．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，连接 ，由 为 的直径可得 ，进而由
得 ，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键．
解：连接 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
3．（2025·四川泸州·中考真题）如图，四边形 内接于 ， 为 的直径．若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等边对等角，直径所对的圆周角是直角，根据等边对等角以及三角形内角和定
理可得 ，根据同弧所对的圆周角相等可得 ，进而根据 为 的
直径，得出 ，进而得出 即可求解．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴
故选：B．
4．（2025·四川巴中·中考真题）如图，A、B、C是 上的点， 是圆的直径，在 延长线上
取一点D，使 ，连接 ，则 为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，根据题意可得
，再利用等腰三角形的性质即可解答．
解： 是圆的直径，
，
，
，
，
故选：C．
【考点7】圆周角定理推论——综合题
1．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形ABCD内接于 ， ，连接BD，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆内接四边形，圆的性质，解题的关键是熟练掌握圆的性质．
根据圆的内接四边形对角互补可得 的度数，由弦相等可得弧相等，从而可得圆周角相等，计
算即可．
解：∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
2．（2024·湖北·中考真题）如图， 是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当
长为半径画弧，交 于点M，交 于点N，分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，
两弧在 的内部相交于点D，画射线 ，连接 ．若 ，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查尺规作图，圆周角定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及圆周角定理是解
答本题的关键．由圆周角定理得到 ，由直角三角形的性质得到 ，根据角平
分线的定义即可求得答案．
解： 是半圆 的直径，
，
，
，
由题意得， 为 的平分线，
．
故选： ．
3．（2024·山东泰安·中考真题）如图， 是 的直径， ， 是 上两点， 平分 ，
若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得
到根据圆周角定理得到 ，再根据圆周角定理得到 ，
，然后利用三角形的内角和定理求解即可．
解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 是 的直径， ，
∴ ， ，则 ，
∴ ，
故选：A．
4．（2025·江苏常州·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的弦．若 ，
，则 ．
【答案】
【分析】根据直径所对的圆周角为 ，可知 ，求出 ，得到
，利用勾股定理求解即可．
解：∵ 是 的直径，
，
∵ 与 对应同一段弧 ，
，，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了直径所对的圆周角为 ，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，等角对等
边等性质，掌握圆周角定理的推论是解题的关键．
【考点8】圆内接四边形——基础题
1．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度
数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出
的度数，再根据圆内接四边形的性质及平角的定义即可求出答案．
解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ 且 ，
∴ ，
故选：C．
2．（2025·甘肃·中考真题）如图，四边形 内接于 ， ，连接 ，若 ，
则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得到 ，
根据 得到 ，即可得到 的度数．关键是根据圆内接四边形的性质得到
解答．
解：由圆内接四边形的性质可知： ，
，
，
∵ ，
．
故选：C．
3．（2025·陕西·中考真题）如图，点 在 上，若 ，则 的度数为 ．
【答案】 /80度
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角
互补以及等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
通过连接 ，利用等腰三角形的性质得出 ， ，从而求出 的度数，
再根据圆内接四边形的对角互补求出 的度数．
解：连接 ．∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
4．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，四边形 内接于 ， ，连接 、 ，则
．
【答案】140
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的
关键．
根据圆内接四边形的性质求出 ，再根据圆周角定理求出 ．
解： 四边形 内接于 ，
，
，
由圆周角定理得： ，
故答案为：140．
【考点9】圆内接四边形——综合题
1．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形ABCD内接于 ， ，连接BD，若
，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆内接四边形，圆的性质，解题的关键是熟练掌握圆的性质．
根据圆的内接四边形对角互补可得 的度数，由弦相等可得弧相等，从而可得圆周角相等，计
算即可．
解：∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
2．（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形 的两组对边，延长线相交于点
E，F．若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据“圆的内接四边形对角互补”可得 ， ．根据三
角形外角定理可得 ， ，由此可得 ，又由
，可得 ，即可得解．本题主要考查了“圆的内接四边形对角互补”和三角形外角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
解：∵四边形 是 的内接四边形
∴ ，
， ，
，
， ， ，
，
解得 ，
，
．
故选：C
3．（2024·青海西宁·中考真题）如图，四边形 内接于 ， 为直径 延长线上一点，
， ，则 ．
【答案】 / 度
【分析】本题考查了已知圆内接四边形求角度，半圆（直径）所对的圆周角是直角，利用弧、弦、
圆心角的关系求解，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
连接 ，根据圆内接四边形性质求得 ，结合弧、弦、圆心角的关系推出 ，进而得
到 ，再利用半圆（直径）所对的圆周角是直角，得到 ，最后根据
求解，即可解题．
解：连接 ，
四边形 内接于 ， ，
，
，，
，
为直径，
，
；
故答案为： ．
4．（2024·山东·中考真题）如图，四边形 内接于 ，若四边形 是菱形，则
．
【答案】
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的
关键；
根据圆内接四边形的性质得到 ，根据菱形的性质，圆周角定理列式计算即可求解．
解：∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
【考点10】点和圆的位置关系——基础+综合题1．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形 中， ， ，动点E，F分别从点A，
C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿 ， 向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点
A作直线l的垂线，垂足为G，则 的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】D
【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以
及直角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键．
连接 ， 交于点 ，取 中点 ，连接 ，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出
的轨迹，从而求出 的最大值．
解：连接 ， 交于点 ，取 中点 ，连接 ，如图所示：
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴在 中， ，
∴ ，
∵ ，
，
在 与 中，，
，
， ， 共线，
， 是 中点，
∴在 中， ，
的轨迹为以 为圆心， 为半径即 为直径的圆弧．
∴ 的最大值为 的长，即 ．
故选：D．
2．（2025·山东淄博·中考真题）如图， 是以正方形 的顶点 为圆心， 为半径的弧
上的点，连接 ， ，将线段 绕点 顺时针旋转 后得到线段 ，连接 ．若 ，
则 的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；过点Q作
于点E，过点C作 交延长线于点F，连接 交弧于点 ，则可得到
，即可得到 ，根据垂线段最短和三角形三边关系得到
，即可得到点P在 时， 的值最大为 长，利用勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可．
解：过点Q作 于点E，过点C作 交延长线于点F，连接 交弧于点 ，
则 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
由旋转得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即当点P在 时， 的值最大为 长，
∵ 是正方形，
，
∴ ，
∴ 的值最大为 ，
∴ 的最大面积是 ，
故选：C．
二、填空题
3．（2025·云南·中考真题）已知 的半径为 ，若点 在 上，则点 到圆心 的距离为
．
【答案】【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判
断点和圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心的距离为 ，圆的半径为 ，若点在圆外，则
时，当点在圆上时，则 时；当点在圆内时，则 ．
解：∵点 在 上，
∴点 到圆心 的距离为 ，
故答案为： ．
4．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在边长为4的正方形 中，对角线 、 相交于点
．点 在线段 上．连接 ，作 于点 ，交 于点 ．给出下面四个结论：
① ；
② ；
③当 时， ；
④点 与点 之间的距离的最小值为 ．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
【答案】①②④
【分析】根据正方形的性质可得 ，结合 ，可得 ，
故①符合题意；证明 ，可得 ，故②符合题意；当 时， ，
可得 ， ，可得 ，故③不符合题意；如图，取 的中点 ，连
接 ，可得 在以 为圆心， 为直径的圆上，当 共线时， 最小，再进一步可判
断④.
解：∵正方形 ，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故①符合题意；∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故②符合题意；
当 时， ，
∴ ， ，
∴ ，故③不符合题意；
如图，取 的中点 ，连接 ，
∵ ，
∴ 在以 为圆心， 为直径的圆上，
当 共线时， 最小，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 与点 之间的距离的最小值为 ．故④符合题意；
故答案为：①②④
【点拨】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形
的判定与性质，等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较大，作出合适
的辅助线是解本题的关键.
【考点11】切线的性质与判定——基础题
1．（2025·山东青岛·中考真题）如图，四边形 是 的内接四边形， ，
，直线 与 相切于点 ．若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，以及切线性质定理，等腰三角形的性质，根据
可得 ，可求出 的度数，再由 和圆内接四边形的性质可求
解 的度数，根据圆周角定理求出 ，再根据等腰三角形的性质和三角
形内角和定理求出 ，最后根据切线性质定理即可求解．
解：连接 ， ， ，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
，
∴
又∵直线 为 的切线，
∴ ，
∴ ．
故选：C ．
2．（2025·四川自贡·中考真题） 分别与 相切于 两点．点 在 上，不与点
重合．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D． 或【答案】D
【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先画图，连接
， ，求解 ，再根据C的位置结合圆周角定理与圆的内接四
边形的性质可得答案.
解：如图，连接 ， ，
∵ 分别与 相切于 两点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
故选：D
3．（2025·甘肃甘南·中考真题）如图， 是 的直径， ， 分别切 于点B、C，若
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了切线长定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，
熟练掌握相关的判定和性质．连接 ，由圆周角定理的推论得 ，再由切线长定理得
，从而得 ，进而即可求解．
解：连接 ，∵ ， 分别切 于点B、C，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
4．（2025·安徽·中考真题）如图， 是 的弦， 与 相切于点B，圆心O在线段 上．
已知 ，则 的大小为 ．
【答案】20
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，连接 ，由切线的性质
可得 ，根据直角三角形两锐角互余可得 的度数，再由圆周角定理即可得到答案．
解：如图所示，连接 ，
∵ 与 相切于点B，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
【考点12】切线的性质与判定——综合题
1．（2025·福建·中考真题）如图， 与 相切于点A， 的延长线交 于点C． ，
且交 于点B．若 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接 ， ，切线得到 ，
求出 ，平行，得到 ，进而得到 为等边三角形，推
出 为等边三角形，即可得出结果．
解：连接 ， ，则： ，
∵ 与 相切于点A，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，∴ ，
故选C．
二、填空题
2．（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形 是 的外切四边形， ， ．则
四边形 的周长为 ．
【答案】48
【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关
键．
根据切线长定理得到 ，得到 ，根据
四边形的周长公式计算，得到答案．
解：如图，令 与边 的切点分别为E，F，G，H，
∵四边形 是 的外切四边形，
∴ ，
∴
∴ ，
∴四边形 的周长为
．
故答案为：48．
3．（2025·宁夏·中考真题）如图，⊙ 是 的内切圆， ，则 ．【答案】
【分析】本题考查三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理，此题难度不大．
根据 是 的内切圆，得出 ， ，进而得出
，即可得出答案．
解：∵ 是 的内切圆，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
4．（2025·黑龙江·中考真题）如图， 、 是圆O的切线，A、B为切点， 是直径，
，
【答案】 /70度
【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质．根据 是切线，得到
，从而 ，根据切线长定理得到 ，从而
，进而由三角形的内角和定理即可求解．
解：∵ 是切线，
∴ ，即 ，∵ ，
∴ ，
∵ 、 是圆O的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【考点13】正多边形与圆——基础题
1．（2024·四川·中考真题）如图，正六边形 内接于 ， ，则 的长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到
，得到 为等边三角形，进而得到 ，判断出 为等边三角形是解
题的关键．
解： ∵ 是正六边形，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
故选：C．
2．（2024·四川德阳·中考真题）已知，正六边形 的面积为 ，则正六边形的边长为
（ ）
A．1 B． C．2 D．4【答案】C
【分析】本题考查正六边形的性质，正三角形的性质，设出边长去表示正三角形面积和正六边形面
积即可．
解：如图：根据多边形的内角和定理可求出正六边形的一个内角为 ，故正六边形是由6个正三
角形构成的，过 点作 垂足是 ，
设正六边形的边长为 ，即
在正三角形 中，
∵ ，
∴ ，
在 中，
一个正三角形的面积为： ，
正六边形的面积为： ，
∴ ，
解得： ，
故选：C．
3．（2023·上海·中考真题）如果一个正多边形的中心角是 ，那么这个正多边形的边数为
．
【答案】18
【分析】根据正n边形的中心角的度数为 进行计算即可得到答案．
解：根据正n边形的中心角的度数为 ，
则 ，
故这个正多边形的边数为18，
故答案为：18．【点拨】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
4．（2023·湖南·中考真题）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正
五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 个．
【答案】10
【分析】先求出正五边形的外角为 ，则 ，进而得出 ，即可求解．
解：根据题意可得：
∵正五边形的一个外角 ，
∴ ，
∴ ，
∴共需要正五边形的个数 （个），
故答案为：10．
【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求
法．
【考点14】正多边形与圆——综合题
1．（2024·四川雅安·中考真题）如图， 的周长为 ，正六边形 内接于 ．则
的面积为（ ）A．4 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，解直角三角形是正确解答的关键．
根据正六边形的性质以及解直角三角形进行计算即可．
解：设半径为 ，由题意得， ，
解得 ，
∵六边形 是 的内接正六边形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是正三角形，
∴ ，
∴弦 所对应的弦心距为 ，
∴ ．
故选：B．
2．（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形 内接于 ，则它的内切圆半
径为（ ）
A．1 B．2 C． D．【答案】D
【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理；
连接 ， ，作 于G，证明 是等边三角形，可得 ，然后利用勾股
定理求出 即可．
解：如图，连接 ， ，作 于G，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即它的内切圆半径为 ，
故选：D．
3．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，正五边形 内接于 ，连接 ，则 的度数为
．
【答案】
【分析】本题考查了圆与正多边形，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
等知识点，熟练掌握相关计算公式是解题的关键．
先根据正五边形的内角公式求出 ，再由等边对等角结合三角形内角和定理求出，最后由 即可求解．
解：∵正五边形 内接于 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
4．（2025·上海·中考真题）已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦
正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查正多边形与圆，如图，分两种情况，当角的顶点在圆上时，如 ，弦为
时，此时 恰好是正五边形的一个内角，进行求解即可，当角的顶点在圆外部时，即
交 的两边，截取的两条弦为 时，进行求解即可．
解：如图，当角的顶点在圆上时，如 交 的两边，截取的两条弦为 ，此时
恰好是正五边形的一个内角，
∴ ；
当角的顶点在圆外部，即 交 的两边，截取的两条弦为 时，
则： ，
∴ ，
∴ ；
综上：这个角的大小是 或 ；
故答案为： 或 ．
【考点15】弧长与扇形面积——基础题
1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）一个圆锥的底面半径为3，高为2，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】本题考查圆锥的体积．根据圆锥的体积= ×底面积×高，即可求解．
解：∵圆锥的底面半径为3，高为2，
∴它的体积 ，
故选：B．
2．（2025·江苏盐城·中考真题）如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦
片横截面如图（3）所示， 是以点 为圆心， 为半径的弧，弦 的长为 ，则 的
长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的判定，求弧长，根据已知可得 ，则
是等边三角形，进而根据弧长公式 ，即可求解．
解：依题意， ，
∴ 是等边三角形．
∴ ．
∴ 的长为 ．
故选：D．
3．（2025·四川广安·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，若圆锥的母
线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】本题考查了与圆锥相关的计算，熟知圆锥侧面展开后是扇形及与圆锥的底面半径的关系是
解题的关键；
先计算圆锥展开图的扇形的弧长，再进一步计算即可
解：圆锥侧面展开图的扇形的弧长 ，
∴该圆锥的底面圆的半径为 ；
故选：A
二、填空题
4．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）一个扇形的弧长是 ，半径是 ，则此扇形的圆心角是
．
【答案】 /70度
【分析】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键．
利用弧长公式列方程求解即可．
解：设扇形的圆心角为 ．
由题意得： ，
解得： ．
故答案为： ．
5．（2025·江苏盐城·中考真题）已知圆锥的侧面积为 ，母线长为5，则圆锥的底面半径是 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥侧面积公式，根据 ，代入数据即可得到答案．
解：∵
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【考点16】弧长与扇形面积——综合题
1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，直线 ，直线 分别交 于点A、B，以 为圆心，长为半径画弧，分别交 于直线 同侧的点 ， ， ，则 的长等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了弧长计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关的判定和性
质是解题的关键．连接 ，先根据平行线的性质求出 ， ，
，根据平行线的性质得出 ，根据弧长公式求出结果即可．
解：连接 ，如图所示：
∵ ，
∴ ，
根据作图可知： ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
故选：C．
2．（2025·山东德州·中考真题）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算
剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得 的长是 ，则剩余部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是切线的性质、圆的面积计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的
关键．
根据切线的性质得到 ，根据垂径定理求出 ，再根据勾股定理、圆的面积公式计算即可．
解：如图，平移小圆，使小圆的圆心与点 重合，小圆与 相切于 ，连接 ，
∵小圆与 相切于 ，
，
，
在 中， ，
则剩余部分的面积为： ，
故选：D．
3．（2025·山西·中考真题）如图，在 中， ，分别以点 为圆心、
的长为半径画弧，与 的延长线分别交于点 ．若 ，则图中阴影部分的面积
为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得
， ，进而由 解答即可求解，
掌握以上知识点是解题的关键．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
4．（2025·浙江·中考真题）如图，在 中， 是斜边 上的中线，以点C为圆
心， 长为半径作弧，与 的另一个交点为点E．若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查求弧长，斜边上的中线，根据斜边上的中线求出得到 ，进而得
到 ，三角形的外角得到 的度数，作图可知 ，等边对等角求出
的度数，再根据弧长公式进行计算即可．
解：∵ ， 是斜边 上的中线， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
由作图可知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为 ；
故选B．
