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专题 24.11 圆（全章中考真题分类专题——综合解答篇）
目 录
【考点1】圆的有关性质——基础题.............................................................................................................................1
【考点2】圆的有关性质——综合题.............................................................................................................................2
【考点3】圆的有关性质——培优题.............................................................................................................................3
【考点4】切线的性质与判定——基础题....................................................................................................................5
【考点5】切线的性质与判定——综合题....................................................................................................................5
【考点6】切线的性质与判定——培优题....................................................................................................................6
【考点1】圆的有关性质——基础题
1．（2025·吉林·中考真题）图①、图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点
内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画
图．
（1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出 ，使 ．
（2）在图②中找一个格点E，画出 ，使 ．
2．（2025·广西·中考真题）如图，已知 是 的直径，点 在 上，
．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．3．（2025·河南·中考真题）如图，四边形 是平行四边形，以 为直径的圆交 于点 ．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心 （保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若点 是 的中点，连接 ．求证：四边形 是平行四边形．
【考点2】圆的有关性质——综合题
1．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形 的顶点都在半圆O上， 是半圆O的直径，连接
， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
2．（2025·青海西宁·中考真题）如图， 是 的弦， ，半径 分别与弦
垂直，垂足分别为G，H， 交 于点M， 交 于点N，连接 ．
（1）求证： ；
（2）求证：四边形 是菱形；
（3）若 ， ，则 _______．
3．（2025·四川遂宁·中考真题）我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四
边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这
个圆的“邻等内接四边形”．
（1）请同学们判断下列分别用含有 和 角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有______（填序号）．
（2）如图，四边形 是邻等内接四边形，且 ， ， ， ，求四
边形 的面积．
【考点3】圆的有关性质——培优题
1．（2025·四川达州·中考真题）综合与实践
问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获
得线段之间的数量关系．
探究发现：如图1，在 中， ， 是 边上一点，过点 作 于 ，
于 ，过点 作 于 ．连结 ，由图形面积分割法得： ______；
则 ______ ______．
实践应用：如图2， 是等边三角形， ，点 是 边上一点，连结 ．将线段 绕
点 逆时针旋转 得 ，连结 交 于 ，过点 作 于 ， 于 ，当
时，求 的值．
拓展延伸：如图3，已知 是半圆 的直径， ， 是弦， ， 是 上一点，
，垂足为 ， ，求 的值．
2．（2025·江苏镇江·中考真题）为什么变速自行车会“变速”？变速自行车是常用的交通工具，图（1）所示的是某型号变速自行车的基本结构，图中A、B处分
别有几个大小不同的齿轮，链条连接的两个齿轮称为主动链轮、从动链轮．
［探究]为了便于研究主动链轮与从动链轮的关系，我们先探究一组相互啮合的两个齿轮（如图
（2）），通过操作发现：两个齿轮如果可以实现传动，那么两个齿轮的齿距（相邻两齿在圆上的
弧长）相等，相同时间内啮合的齿数相等．
（1）已知主动轮、从动轮的齿数分别为 、 ，主动轮每分钟转 圈，则每分钟啮合的齿数有
_____个，从动轮每分钟转 圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，由于相同时间内啮合的齿数相
等，从而可推出 与 的关系是 _____．
（2）如图（3），在主动轮与从动轮之间加入一个“惰轮”形成新的齿轮组合，已知主动轮、从动
轮的齿数分别为32齿和14齿．
若主动轮的转速为每分钟70圈，求从动轮的转速，并说一说图（3）的齿轮组合在实现传动时，
“惰轮”的作用是什么？
［发现]不难发现，变速自行车中的链条作用如同“惰轮”．若骑行者每分钟蹬的圈数不变，实现
自行车“变速”的方法可以是_____（写出一种即可）．
3．（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线 经过点 、 ，交y轴于点
，点P是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当点P的坐标为 时，求四边形 的面积；
（3）当 时，求点P的坐标；
（4）过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接 ，判断 的形状，并说明理由．
【考点4】切线的性质与判定——基础题
1．（2025·湖南·中考真题）如图， 的顶点 ， 在 上，圆心 在边 上，
， 与 相切于点 ，连接 ．
（1）求 的度数；
（2）求证： ．
2．（2025·西藏·中考真题）如图， 是 的直径，点C在 上， ，过点C的切线
交 的延长线于点D．求证： ．
3．（2025·广东·中考真题）如图，点 是 斜边 边上的一点，以 为半径的 与边
相切于点 ．求证： 平分 ．
【考点5】切线的性质与判定——综合题
1．（2025·山东·中考真题）如图，在 中，点 在 上，边 交 于点 ， 于点 ． 是 的平分线．
（1）求证： 为 的切线；
（2）若 的半径为2， ，求 的长．
2．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图， 是 的内切圆，与 分别相切于点
， ．
（1）求 的三个内角的大小；
（2）设 的直径为 ，证明： ．
3．（2025·山东济南·中考真题）如图， 是 的直径，C为 上一点，P为 外一点，
，且 ，连接 ．
（1）求证： 与 相切；
（2）若 ， ，求 的长．
【考点6】切线的性质与判定——培优题
1．（2025·贵州·中考真题）如图，在 中， 是直角， 为 的中点， 为 的切线
交 的延长线于点 ．连接 ， ．
（1）点 与 的位置关系是 ，线段 与线段 的数量关系是 ；
（2）过 点作 ，与 的延长线交于点 ．根据题意补全图形，判断 的形状，并
说明理由；（3）在（2）的条件下，若 的半径为 ，求 的长．
2．（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践
【问题情境】
如图，小昕同学在正方形纸板 的边 、 上分别取点 、 ，且 ， 交 于
点 ．连接 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 、 ， 交 于点 ， 交 于
点 ．
【活动猜想】
（1） 与 的数量关系是_______，位置关系是_______；
【探索发现】
（2）证明（1）中的结论；
【实践应用】
（3）若 ， ，求 的长；
【综合探究】（4）若 ，则当 _______时， 的面积最小．
3．（2025·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系 中，抛物线 （ ）与 轴
交于点 和点 ，与 轴交于点 ．
（1）求 与 的关系；
（2）如图①，当 时，点 在抛物线上， ，求点 的坐标；（3）如图②，若抛物线上一点 关于直线 的对称点是 的外心 ，求 的值．
【考点7】弧长和扇形面积——基础题
1．（2025·青海·中考真题）如图，线段 经过圆心 ，交 于点 ， ， 为 的弦，连接
， ．
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）已知 ，求 的长（结果保留 ）．
2．（2025·广西·中考真题）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先
在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点 ， 为圆心、以 为半径作圆，两圆相交于
两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．
（1）写出 两点的坐标；
（2）求叶瓣①的周长；（结果保留 ）
（3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．3．（2025·四川广元·中考真题）如图，已知 ，以点O为圆心，2为半径画弧，交 于点
M，交 于点N，分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相
交于点C，画射线 交 于点E，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
【考点8】弧长和扇形面积——基础题
1．（2025·江苏淮安·中考真题）如图， 是半圆O的直径，点C是弦 延长线上一点，连接
， ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）连接 ，若 ， ，求扇形 的面积．
2．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点 在 上，点 在 外，线段 与 交于点 ，过
点 作 的切线交直线 于点 ，且 ．
（1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 ， ，求图中阴影部分的面积．3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图， 为正三角形 的外接圆，直线 经过点C，
．
（1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【考点9】弧长和扇形面积——基础题
1．（2025·辽宁·中考真题）如图，在 中， ，以 为直径作 ，与 相交于点
．连接 ，与 相交于点 ．
（1）如图1，连接 ，求 的度数；
（2）如图2，若点 为 的中点，且 ，求 的长．
2．（2025·河北·中考真题）如图1，图2，正方形 的边长为5．扇形 所在圆的圆心 在
对角线 上，且不与点 重合，半径 ，点 ， 分别在边 ， 上，
，扇形 的弧交线段 于点 ，记为 ．
（1）如图1，当 时，求 的度数；
（2）如图2，当四边形 为菱形时，求 的长；（3）当 时，求 的长．
3．（2025·江苏扬州·中考真题）材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入
莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经
过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点 或点 ）所作的气−液界线
的切线与固−液界线的夹角，图1中的 就是水滴的一个接触角．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；
（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）．
【实践探索】
实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度 和底面圆的半径 ，求出 的度
数，进而求出接触角 的度数（如图3）．
（3）请探索图3中接触角 与 之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．
【创新思考】
（4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与 相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．
