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第24章 圆章末拔尖卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，点O在AB上，
OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，则CE的长为（ ）
1 2 √2
A． B． C． D．1
2 3 2
【答案】B
OD OA BF BE
【分析】连接OD，EF，可得OD∥BC，EF∥AC，从而得 = ， = ，进而即可求解．
BC BA BA BC
【详解】解：连接OD，EF，
∵⊙O与AC相切于点D，BF是⊙O的直径，
∴OD⊥AC，FE⊥BC，
∵∠C=90°，
∴OD∥BC，EF∥AC，
OD OA BF BE
∴ = ， = ，
BC BA BA BC
∵AB=5，OB=2，
∴OD=OB=2，AO=5-2=3，BF=2×2=4，2 3 4 BE
∴ = ， = ，
BC 5 5 BC
10 8
∴BC= ，BE= ，
3 3
10 8 2
∴CE= - = ．
3 3 3
故选：B．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，平行线分线段成比例定理，掌握圆周角定理的推论，添加辅助线，
是解题的关键．
2．（3分）（2023春·九年级课时练习）如图，在 ABC中，∠ACB=90°，过B,C两点的⊙O交AC于点
D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F.连△接BF,CF.若∠EDC=135°,CF=2√2,则AE2+BE2的值
为 （ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【分析】根据圆内接四边形的性质及邻补角的定义可得∠ADE=∠ABC=45°，再证得∠ADE=∠A=45°即可
得AE=AD；根据直径所对的圆周角是直角可得∠FCE=90°，在Rt△EFC中求得EF=4；连接BD，可证得
BD为为⊙O的直径，在Rt△BDE中根据勾股定理可得BE2+DE2=BD2=42=16,由此即可得结论.
【详解】∵∠EDC=135°，
∴∠ADE=45°，∠ABC=180°-∠EDC =180°-135°=45°；
∵∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∴∠ADE=∠A=45°，
∴AE=AD，∠AED=90°；
∵EF 为⊙O的直径，
∴∠FCE=90°，
∵∠ABC=∠EFC=45°，CF=2√2，∴EF=4；
连接BD，
∵∠AED=90°，
∴∠BED=90°，
∴BD 为⊙O的直径，
∴BD=4；
在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2=42=16,
∴AE2+BE2=16.
故选C.
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质及勾股定理等知识点，会综合运用所学的
知识点解决问题是解题的关键.
3．（3分）（2023春·九年级课时练习）如图，在菱形ABCD中，以AB为直径画弧分别交BC于点F，交
对角线AC于点E，若AB=4，F为BC的中点，则图中阴影部分的面积为（ ）
2π 4π 2π
A．2√3- B．2√3 C． -3√3 D．
3 3 3
【答案】D
【分析】取AB的中点O，连接AF，OF，先证明 ABC是等边三角形，再把问题转化为S =S OBF，由
阴 扇形
此即可解决问题． △
【详解】解：如图，取AB的中点O，连接AF，OF．∵AB是直径，
∴∠AFB=90°，
∴AF⊥BF，∵CF=BF，
∴AC=AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AE=EC，
易证 CEF≌△BOF，
△ 60⋅π⋅22 2π
∴S =S OBF= = ，
阴 扇形 360 3
故选D．
【点睛】考查扇形的面积，菱形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思
想思考问题.
4．（3分）（2023春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A、C分别在y
轴、x轴上，以AB为弦的⊙M与x轴相切．若点A的坐标为（0，8），则圆心M的坐标为（ ）
A．（﹣4，5） B．（﹣5，4）
C．（5，﹣4） D．（4，﹣5）
【答案】A
【详解】解：过点M作MD⊥AB于D，交OC于点E．连接AM，设⊙M的半径为R．∵以边AB为弦的⊙M与x轴相切，AB∥OC，
∴DE⊥CO，∴DE是⊙M直径的一部分；
∵四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，点A的坐标为（0，8），
∴OA=AB=CB=OC=8，DM=8-R；∴AD=BD=4（垂径定理）；
在Rt△ADM中，
根据勾股定理可得AM2=DM2+AD2，
∴R2=（8-R）2+42，∴R=5．∴M（-4，5）．
故选A．
3
5．（3分）（2023秋·浙江宁波·九年级宁波市海曙外国语学校校考期中）如图，已知直线y= x-3与x
4
轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则 PAB
面积的最大值是（ ） △
21 17
A．8 B．12 C． D．
2 2
【答案】C
【分析】求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB，求出点C到AB的距离，即可求出圆C上点到AB的
最大距离，根据面积公式求出即可．
3
【详解】解：∵直线y= x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
4
∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，﹣3），
3x-4 y-12=0，即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，
过C作CM⊥AB于M，连接AC，
1 1 1
则由三角形面积公式得： ×AB×CM= ×OA×OC+ ×OA×OB，
2 2 2
∴5×CM=4×1+3×4，
16
∴CM= ，
5
3 16 21
∴圆C上点到直线y= x-3的最大距离是1+ = ，
4 5 5
1 21 21
∴△PAB面积的最大值是 ×5× = ，
2 5 2
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线
AB的最大距离，属于中档题目．
6．（3分）（2023·九年级课时练习）已知点P(3，4)，以点P为圆心，r为半径的圆P与坐标轴有四个交点，
则r的取值范围是( )
A．r＞4 B．r＞4且r≠5 C．r＞3 D．r＞3且r≠5
【答案】B
【分析】作PA⊥x轴，垂足为A，连结OP，根据勾股定理计算出OP=5，然后根据直线与圆的位置关系进
行判断即可得出答案．
【详解】如图所示，作PA⊥x轴，垂足为A，连结OP，∵点P的坐标为（3，4），
∴OA=3，PA=4，
∴OP=√OA2+PA2=5
∴当以点P为圆心，r为半径的圆P与坐标轴有四个交点时，
r的取值范围为r>4且r≠5．
故透B.
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系.计算出点PO的长且判断出r≠PO是解题的关键.
7．（3分）（2023秋·四川泸州·九年级校考期末）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，
∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD长为（ ）
A．7 B．7√2 C．8√2 D．9
【答案】B
【分析】作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由CD平分∠ACB，根
据角平分线的性质得出DF=DG，由HL证明 AFD≌△BGD， CDF≌△CDG，得出CF=7，又 CDF是等腰
直角三角形，从而求出CD=7√2. △ △ △
【详解】作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD
∴DF=DG，A´D=B´D，
∴DA=DB，
∵∠AFD=∠BGD=90°，
∴△AFD≌△BGD，
∴AF=BG．
易证 CDF≌△CDG，
∴CF=△CG，
∵AC=6，BC=8，
∴AF=1，∴CF=7，
∵△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=7√2，
故选B．
【点睛】本题综合考查了圆周角的性质，圆心角、弧、弦的对等关系，全等三角形的判定，角平分线的性
质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.
8．（3分）（2023秋·福建福州·九年级校考期中）“割圆术”是我国魏晋时期的数学家刘徽首创的计算圆
周率的方法：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即随着
边数增加，圆内接正多边形逐步逼近圆，进而可以用圆内接正多边形的面积近似表示圆的面积．设圆的半
径为R，则由圆内接正十二边形算得的圆周率约为（ ）
A．3.14 B．3 C．3.1 D．3.141
【答案】B
【分析】过点A作AD⊥BC，求出△ABC的面积，再表示出正十二边形的面积，最后根据可以用圆内接
正多边形的面积近似表示圆的面积即可求解．
【详解】解：如图，AB是正十二边形的一条边，点C是正十二边形的中心，
过点A作AD⊥BC，
360°
则∠ACB= =30°，AC=BC=R，
12
1 1
∴AD= AC= R，
2 21 1 1 R2
∴S = AD⋅BC= × R×R= ，
△ABC 2 2 2 4
R2
∴正十二边形的面积为12S =12× =3R2，
△ABC 4
∵圆的面积为πR2，
∴3R2=πR2，
∴π=3，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
9．（3分）（2023春·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°，在AC边上取
点O为圆心画圆，使⊙O经过A,B两点，下列结论：①AO=2CO；②AO=BC；③以O圆心，OC为半
径的圆与AB相切；④延长BC交⊙O于点D，则A,B,D是⊙O的三等分点．其中正确结论的序号是
（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】①连接OB，△OAB是等腰三角形，则两底角相等为30°，在Rt△ABC中可求得∠ABC的度数，
做差得∠OBC，再利用30°的三角函数值得到线段间的关系；
②在Rt△OBC中，OB是斜边＞直角边BC的长度，而OA＝OB，可判断；
③过点O作OE⊥AB于点E，利用角平分线的性质定理，得到OC＝OE来判断；
④延长BC，交⊙O于点D，连接AD，可得到DC＝BC，加上∠C为90°，可推断△ABD为等腰三角形，而∠ABC＝60°，可判断△ABD是等边△，即可得出.
【详解】①如图，连接OB，则OA=OB．
∵∠C=90°,∠OAB=30°，
∴∠ABO=∠OAB=30°,∠ABC=60°，
∴∠CBO=30°,∴OB=2OC．
∴AO=2CO，故①正确；
②在Rt△OCB中，∠C=90°,OB>BC,∵AO=OB，
∴AO>BC，故②错误；
③如图，过点O作OE⊥AB于点E，
∵∠ACB=90°,∠ABO=∠CBO=30°，
∴OC=OE，
∴以O圆心，OC为半径的圆与AB相切，故③正确；
④如图，延长BC，交⊙O于点D，连接AD．
∵∠ACB=90°,∴DC=BC．
∴AD=AB，
∵∠ABC=60°，
∴△ADB是等边三角形．
∴AD=AB=BD,∴A´D=A´B=B´D，
∴A,B,D是⊙O的三等分点，故④正确；
故正确的有①③④．
【点睛】本题综合性较强，考查了特殊角的三角函数值、角平分线的性质定理、等腰三角形、等边三角形
的判定和性质，需要熟练掌握灵活应用性质及判定.
10．（3分）（2023秋·九年级课时练习）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中选取
9个格点（格线的交点称为格点）．若以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在
圆内，则r的取值范围为（ ）A．2√2
