文档内容
专题24.1 圆的有关性质
（知识梳理+17个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题）
【原卷版】
知识梳理 技巧点拨......................................................................2
知识点梳理01：圆的定义及表示方法...................................................2
知识点梳理02：圆的表示方法.........................................................2
知识点梳理03：点与圆的位置关系.....................................................2
知识点梳理04：圆的有关概念.........................................................3
优选题型 考点讲练......................................................................3
考点1 利用垂径定理求值.............................................................3
考点2 利用垂径定理求平行弦问题.....................................................4
考点3 利用垂径定理求同心圆问题.....................................................4
考点4 利用垂径定理求解其他问题.....................................................5
考点5 垂径定理的推论...............................................................7
考点6 垂径定理的实际应用...........................................................8
考点7 利用弧、弦、圆心角的关系求解.................................................9
考点8 利用弧、弦、圆心角的关系求证.................................................9
考点9 圆心角概念辨析及简单运算....................................................10
考点10 求圆弧的度数...............................................................11
考点11 圆周角的概念辨析及简单运算.................................................12
考点12 圆周角定理.................................................................13
考点13 同弧或等弧所对的圆周角相等.................................................14
考点14 半圆(直径）所对的圆周角是直角..............................................14
考点15 90度的圆周角所对的弦是直径...............................................15
考点16 已知圆内接四边形求角度.....................................................16
考点17 求四边形外接圆的直径.......................................................17
中考真题 实战演练.....................................................................18
难度分层 拔尖冲刺.....................................................................20
基础夯实..........................................................................20培优拔高..........................................................................23
知识点梳理01：圆的定义及表示方法
1. 定义：
（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的
图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．
“圆”是指“圆周”（一条封闭曲线）而不是“圆面”．
（2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
{圆心：确定圆的位置，
确定一个圆需要两个要素
半径：确定圆的大小．
知识点梳理02：圆的表示方法
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
2. 圆的特性
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；
（2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上；
（3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形．
知识点梳理03：点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为
{点P在圆内⟺dr．
知识点梳理04：圆的有关概念
1. 弦与直径
连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）．2. 弧、半圆、劣弧、优弧、圆心角
（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
（2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
{ 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示（如图中AB´C)
（3）弧
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个点表示（如图中A´B)
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
3. 同心圆、等圆与等弧
圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆．
能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等
弧．
同圆或等圆的半径相等．
考点1 利用垂径定理求值
【典例精讲】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在同心圆中，大圆的弦AB与小圆相交于点C和
点D，已知AB=8，CD=6．
(1)BD长为______
(2)当大圆的半径是5时，求小圆的半径长．
【变式训练】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，已知A´B．(1)用无刻度直尺和圆规作A´B的中点P．（保留作图痕迹）
(2)连接AB，AP，圆圆认为AB=2AP，你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由．
考点2 利用垂径定理求平行弦问题
【典例精讲】（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知⊙O的直径为34cm，AB，CD是⊙O的两条弦，
AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，则AB和CD之间的距离是（ ）
A．7cm或23cm B．14cm或46cm C．7cm D．23cm
【变式训练】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，⊙O的半径为3，弦MN=2❑√3,Rt△ABC
的直角顶点B在弦MN上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在⊙O上，且AB=3．关于嘉嘉和淇淇
的说法判断正确的是（ ）
嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，∠C的度数是30°．”
淇淇说：“连接OA，当OA与弦MN平行时，点B到OA的距离为2．”
A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误
考点3 利用垂径定理求同心圆问题
【典例精讲】（2024·广东湛江·模拟预测）如图，在破残的圆形残片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于
点C，交弦AB于点D，已知AB=8cm，CD=2cm．(1)求作此残片所在的圆的圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求出（1）中所作圆的半径．
【变式训练】将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如
图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（
）cm.
A．6 B．4❑√2 C．4❑√3 D．4❑√5
考点4 利用垂径定理求解其他问题
【典例精讲】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，AB为⊙O的弦，请用尺规作图法在⊙O上找
一点C，连接AC，BC，使得△ABC是以AC为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式训练】（25-26九年级上·山西忻州·期中）如图是某小区的一处电动自行车的存放车棚．图1是
其横截面的示意简图，AD为垂直于地面的支柱，并用BC，BE为斜支架做支撑，大棚顶部用抛物线形的
膜结构材料覆盖．支柱AD一端固定在地面，一端与棚顶相连于D处；斜支架BC，BE的一端都固定在AD
支柱上的B处，另一端分别固定在棚顶的C和E处．已知点C离地面的高度为2m，最高点F离地面的高度
为2.9m，离点C的水平距离为3m．【数学建模】（1）在图2中，以过点C且以垂直与地面的直线CO为y轴，水平地面直线OA为x轴，建立
平面直角坐标系．棚顶上某处离地面的高度为ym，该处离CO的水平距离为xm，求y与x之间的函数关系
式．
【问题解决】（2）工人师傅在遮阳棚的顶部安装干粉灭火器，如图2所示，要在点G悬挂干粉灭火器，已
知绳长1.3m，干粉灭火器离地面的高度为1.5m．
①点G的坐标为 ．
②若车棚的俯视图如图3所示，若点C和点H的水平距离为3.5m，整个车棚的HM的长度为16m．悬挂干
粉灭火器保护半径为3m，要使车棚下的每一个区域都被保护，至少得安装 个干粉灭火器．
考点5 垂径定理的推论
【典例精讲】（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，
OD⊥BC交BC于点E．(1)求证：BD=CD；
(2)若BE=3，AC=8，求OD的长．
【变式训练】（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知AB是⊙O的一条弦，P是⊙O内一点，在下列
情形时，分别经过点P作一条弦CD，使CD=AB．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字
说明）
(1)如图（1），点P在AB上；
(2)如图（2），点P不在AB上．
考点6 垂径定理的实际应用
【典例精讲】（25-26九年级上·云南曲靖·期中）昆明龙川桥作为云南现存最早的石拱桥之一，其拱结
构设计兼顾水利功能与工程美学．主孔可视为圆弧形，如图所示，当前河面宽度AB约为4米，拱高CN约为1米，求：
(1)该圆弧的半径是多少；
(2)若大雨过后，河面宽度变为DE=3米，求水面涨高了多少？
【变式训练】（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明
朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹
是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒
的最大深度CD为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离，D在圆上，OD⊥AB于点C）．
求该圆的半径．
考点7 利用弧、弦、圆心角的关系求解
【典例精讲】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在⊙O中，若A´B=C´D，则下列判断错误的是（
）A．AB=CD B．AC=CB
C．A´C=B´D D．∠AOC=∠BOD
【变式训练】（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，AB是⊙O的直径，B´C=C´D=D´E，若
∠AEO=54°，则∠BOC=（ ）
A．28° B．32° C．36° D．40°
考点8 利用弧、弦、圆心角的关系求证
【典例精讲】（25-26九年级上·江西赣州·期中）如图，已知D，E分别为半径OA，OB的中点，C为
A´B的中点．
(1)求证：CD=CE；
(2)若∠AOB=120°，OA=6，求△OAC面积．
【变式训练】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在扇形AOB中，点C、D在A´B上，A´D=C´B，
点F、E分别在半径OA、OB上，OF=OE，连接DE、CF．(1)求证：DE=CF；
(2)设点P为C´D的中点，连接CD、EF、PO，线段PO交CD于点M、交EF于点N．如果PO∥DE，
求证：四边形MNED是矩形．
考点9 圆心角概念辨析及简单运算
【典例精讲】（22-23九年级上·江苏·期中）已知∠APE，有一量角器如图摆放，中心O在PA边上，
OA为0°刻度线，OB为180°刻度线，角的另一边PE与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分
别为160°，68°，则∠APE= °．
【变式训练】（21-22七年级下·浙江舟山·期末）公元前240年前后，在希腊的亚历山大城图书馆当馆
长的埃拉托色尼通过测得有关数据，求得了地球圆周的长度，他是如何测量的呢？如图所示，由于太阳距
离地球很远，太阳射来的光线可以看作平行线，在同时刻，光线与A城和地心的连线OP所夹的锐角记为∠1，光线与B城和地心的连线OQ重合，通过测量A，B两城间的路程（即弧AB）和∠1的度数，利用圆的
有关知识，地球圆周的长度就可以大致算出来了．已知弧AB的长度约为800km，若∠1≈7.2°，则地球的
周长约为 km．
考点10 求圆弧的度数
【典例精讲】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，以点C为圆心，BC
为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
(1)若∠A=35°，求D´E的度数；
(2)若BC=6,AC=8，求BD的长．
【变式训练】（22-23九年级上·北京·月考）如图，AB为⊙O的弦，C，D为圆上的两个动点，记弦
AB所对的圆心角度数为α，弦CD所对的圆心角度数为β． 若α+β=180°，给出如下四个结论：①∠A+∠C=90°；
②若β=2α，则CD=❑√3AB；
③若B为弧AD的中点，则OA⊥CD；
④AB2+CD2=4OC2．
上述结论中一定正确的有 （填写所有正确结论的序号）．
考点11 圆周角的概念辨析及简单运算
【典例精讲】（24-25九年级上·湖北孝感·期中）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，BD平分
∠ABC交⊙O于D，连OD交AC于E．
(1)若∠CAB=40°，求∠ODB的度数；
(2)若AB=10,AC=8，求DE的长度．
【变式训练】（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）如图，直线l经过⊙O的圆心 O，且与⊙O交于
A、B两点，点C在⊙O上，且 ∠AOC=30∘，点P是直线l上的一个动点 (与圆心O不重合)， 直线CP
与⊙O相交于另一点Q，如果QP=QO，则∠OCP= .考点12 圆周角定理
【典例精讲】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，
AC⊥BD，若∠AOD=120°，AD=3，则AC的长度为（ ）
3❑√2+❑√6 9❑√2
A．3 B．2❑√3 C． D．
2 4
【变式训练】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，锐角△ABC内接于⊙O,AD⊥BC于点
D,BG⊥AC于点G，交AD于点E，延长BG交⊙O于点F，连接AF，CF．
(1)当∠ACB=37°，∠BAC=66°时，求∠AFC的度数．
(2)求证：AE=AF．
(3)当OE⊥AD时，求证：AF=2ED．
考点13 同弧或等弧所对的圆周角相等
【典例精讲】．（25-26九年级上·湖南株洲·月考）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，∠ADC=120°，连接BD．
(1)求∠ADB的度数；
(2)求证：BD=AD+CD．
【变式训练】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，若
∠BDC=31°，则∠ABC=（ ）
A．31° B．59° C．62° D．69°
考点14 半圆(直径）所对的圆周角是直角
【典例精讲】（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，
∠ADC=120°，则∠BAC的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【变式训练】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，
C´D=D´B=B´E，连CE交直径AB于点F，BC交AD于点G．(1)求证：AD⊥CE；
(2)若点G为AD中点，AF=2，求AD的长．
考点15 90度的圆周角所对的弦是直径
【典例精讲】（25-26九年级上·江西上饶·期中）按要求作图：
(1)如图（1），已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，请你仅用无刻度的直尺
作出∠ABC的平分线BP；
(2)如图（2），已知△ACD中，AD=CD，以AB为直径的⊙O经过A、C、D三点，请你用无刻度的
直尺作出∠ABC的平分线BQ．
【变式训练】．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）定义：同一个圆中，互相垂直的两条弦叫做“垂
弦”，“垂弦”的交点叫做“垂弦点”．(1)如图1，AC、AB是⊙O的一组“垂弦”，点A为“垂弦点”，BC_____（填“是”或“不是”）直
径；
(2)如图2，AB、CD是⊙O的两条弦，CF为直径，A´D=B´F，请判断AB与CD是否是一组“垂弦”，
并说明理由；
(3)如图3，点D是⊙O上一个动点，AB、CD是⊙O的一组“垂弦”，点E为“垂弦点”，若A´D的度数
为m∘，B´C的度数为n∘，试探究m+n是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
(4)如图4，AB、CD是⊙O的一组“垂弦”，点E为“垂弦点”，若AD=6，BC=6❑√3，求阴影部分的
面积．
考点16 已知圆内接四边形求角度
【典例精讲】（25-26九年级上·云南红河·期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，
若 ⟺ ⟺ ，则 的度数为（ ）
∠ACD=40°,AC=CD
∠ABC
A．110° B．140° C．120° D．70°【变式训练】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=29°，
∠C=33°，将△ABC绕A点顺时针方向旋转，旋转后的三角形为△AB′C′（点B与点B′对应，点C与
点C′对应），若点C′落在⊙O上，则∠CAB′= ．
考点17 求四边形外接圆的直径
【典例精讲】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】
（1）如图①，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，求证：A、B、C、D四点共圆．小明认为：连接
AC，取AC的中点O，连接OB、OD即可证明，请你按照小明思路完成证明过程．
【尝试应用】
（2）如图②，在正方形ABCD中，点E是边AB上任意一点，连接DE，交AC于点F，请利用无刻度的直
尺与圆规在线段CF上确定点P，使∠DPE=90°．（不写作法，保留作图痕迹）
【拓展延伸】
（3）在（2）的基础上，若AB=6，BE=2AE，直接写出线段DP的长．
【变式训练】（2023·陕西西安·三模）在菱形ABCD中，AD=2，∠D=60°，∠EAF的两边分别交边DC、CB于点E、F，且∠EAF=60°，记△AEF的外心为点P，则P、C两点间的最小距离为
．
【演练1】（2025·青海西宁·中考真题）如图，AB,AC是⊙O的弦，AB=AC，半径OE,OF分别与
弦AB,AC垂直，垂足分别为G，H，AM∥OF交OE于点M，AN∥OE交OF于点N，连接OA．
(1)求证：∠AOE=∠AOF；
(2)求证：四边形AMON是菱形；
(3)若AB=16，OA=10，则OM=_______．
【演练2】（2025·四川巴中·中考真题）如图，A、B、C是⊙O上的点，BC是圆的直径，在BA延长线
上取一点D，使AD=AC，连接CD，则∠ACD为（ ）
A．70° B．50° C．45° D．40°
【演练3】（2025·海南·中考真题）如图，点E是▱ABCD内一动点，且∠AEB=90°，AB=4，
BC=7．
（1）△AEB面积的最大值为 ；
（2）连接CE，分别取CD、CE的中点M、N，连接MN．若∠BAD=120°，则线段MN长度的最小值
为 ．【演练4】（2025·山西·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是⊙O上位于AB异侧的两点，
连接AD、CD．若A´C=B´C，则∠D的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【演练5】（2025·安徽·中考真题）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连
接OC，∠DAB+2∠ABC=180°．
(1)求证：OC∥AD；
(2)若AD=2，BC=2❑√3，求AB的长．基础夯实
1．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=46°，则∠ADC的度数
为（ ）
A．46° B．45° C．54° D．44°
2．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，AB、CD是⊙O的直径，A´E=B´D，若∠AOE=35°，
则∠COE的度数是（ ）
A．35° B．60° C．65° D．70°
3．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图， AB为⊙O的直径， C、D是⊙O上的两个点， 连接
CA，CD，AD． 若∠ADC=131°， 则∠CAB的度数是 （ ）
A．31° B．40° C．41° D．49°
4．（25-26九年级上·重庆永川·期中）如图，⊙O的半径OD垂直弦AB于点C，交⊙O于点D，连接
OA．如果AB=8，CD=1，那么⊙O的半径为 ．5．（25-26九年级上·重庆永川·期中）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，且
AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，则弦AB与CD之间的距离为 cm．
6．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，△ABC是⊙O内接三角形，D是A´C中点，若
∠DAC=25°，则∠B的度数为 °．
7．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD于点E ，连
接AC，AD．求证：∠CAD=2∠BAD．
8．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，在⊙O中，AB=AC，半径OM⊥AB，ON⊥AC，垂
足为D，E．(1)求证： ⟺ ⟺ ；
BM=CN
(2)若⊙O的半径为5，AB=8，则EN=______．
9．（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，点C在以AB为直径的⊙O上．
(1)作∠ACB的平分线CD交⊙O于点D；
(2)在（1）的条件下，连接DO，求证：DO⊥AB．
10．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，三角板30°，90°角顶点A，C在圆形纸片上．请你利用
直尺和圆规求作该圆形纸片的直径CE．
(1)小实的作法如下：如图1，分别以C，D两点为圆心，CD长为半径作弧，交圆内于点O，连接CO并延
长，交圆于点E，则CE就是所求作的直径．请说明理由．
(2)请你在图2中作出圆形纸片的直径CE，要求与小实作法不同（保留作图痕迹，不写作法）．培优拔高
11．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，⊙O为△ABC的外接圆，且AB是⊙O的直径，点D是
⊙O上的一点，连接BD，CD，若∠ABC=30°，则∠D=（ ）
A．100° B．110° C．115° D．120°
12．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶
的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为6米．
若点C为运行轨道的最低点，水深（点C到弦AB所在直线的距离）1米，⊙O半径长为（ ）
A．1米 B．3米 C．4米 D．5米
13．（2025·四川南充·一模）如图，△ABC内接于⊙O，以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交
1
CA，CB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交⊙O内于点P，连接
2
CP，并延长交⊙O于点D，连接AD，BD，连接OD，与AB交于点E，则下列结论不一定成立的是
（ ）A．AD=BD B．AE=BE
C．∠CAD+∠CBD=180° D．AD∥BC
14．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，AB是⊙O的直径，若AC=4，∠D=60°，则BC的长
等于 ．
15．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图， 是五边形 的外接圆，C是 ⟺ 的中点，若
⊙O ABCDE
BD
∠C=110°，∠D=100°，则∠A的度数为 °
16．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）如图，P为矩形ABCD外一点，且点P到AB的中点O的距离为
1，AB=2，BC=3，当线段PO绕点O旋转时，PD的最大值为 ．17．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，
AC∥OD．
(1)求证：B´D=C´D；
(2)若A´C的度数为58°，求∠AOD的度数．
18．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，在⊙O中，弦BC的长为6，OD⊥BC于点D，点A是
⊙O上的动点（不与点B，C 重合），且∠BAC为锐角，连接OA．
(1)若AB是⊙O的直径，且AC=8，求△ABC的面积；
(2)若△ABC面积的最大值为12，
①求线段OD的长；
②点E是线段OA上的一点，连接DE，若∠ACB−∠ABC=2∠OED，求线段BE的最大值．19．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知 与 都是等腰直角三角形(❑√2 )，
△ABC △CDE AC
